एमआईटी पाठ्यक्रम "कंप्यूटर सिस्टम सुरक्षा"। व्याख्यान 16: साइड चैनल के माध्यम से हमलों, भाग 2

मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी। व्याख्यान पाठ्यक्रम # 6.858। "कंप्यूटर सिस्टम की सुरक्षा।" निकोलाई ज़ेल्डोविच, जेम्स मिकेंस। 2014 साल

कंप्यूटर सिस्टम सुरक्षा सुरक्षित कंप्यूटर सिस्टम के विकास और कार्यान्वयन पर एक कोर्स है। व्याख्यान खतरे के मॉडल को कवर करते हैं, हमले जो सुरक्षा से समझौता करते हैं, और हाल के वैज्ञानिक कार्यों के आधार पर सुरक्षा तकनीक। विषयों में ऑपरेटिंग सिस्टम (OS) सुरक्षा, सुविधाएँ, सूचना प्रवाह प्रबंधन, भाषा सुरक्षा, नेटवर्क प्रोटोकॉल, हार्डवेयर सुरक्षा और वेब अनुप्रयोग सुरक्षा शामिल हैं।

व्याख्यान 1: "परिचय: खतरे के मॉडल" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 2: "हैकर हमलों का नियंत्रण" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 3: "बफर ओवरफ्लो: शोषण और संरक्षण" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 4: "पृथक्करण का पृथक्करण" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 5: "सुरक्षा प्रणालियाँ कहाँ से आती हैं?" भाग 1 / भाग 2
व्याख्यान 6: "अवसर" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 7: "मूल ग्राहक सैंडबॉक्स" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 8: "नेटवर्क सुरक्षा मॉडल" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 9: "वेब अनुप्रयोग सुरक्षा" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 10: "प्रतीकात्मक निष्पादन" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 11: "उर / वेब प्रोग्रामिंग भाषा" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 12: नेटवर्क सुरक्षा भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 13: "नेटवर्क प्रोटोकॉल" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 14: "एसएसएल और एचटीटीपीएस" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 15: "मेडिकल सॉफ्टवेयर" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3
व्याख्यान 16: "साइड चैनल हमलों" भाग 1 / भाग 2 / भाग 3

श्रोता: पहले x और y का निर्धारण कैसे करें?

प्रोफेसर: इसके लिए आपको बाइनरी प्रतिनिधित्व में प्रदर्शक को देखना होगा। मान लीजिए कि मैं सी ^1011010 के मूल्य की गणना करने की कोशिश करता ^हूं , तो डिग्री में बड़ी संख्या में बिट्स भी हो सकते हैं। यदि हम पुनः स्क्वेरिंग करना चाहते हैं, तो हमें सबसे कम बिट देखने की जरूरत है - यहाँ यह 0 है।



इस प्रकार, हम समानता सी ^1011010 = (सी ¹⁰¹¹⁰¹ ) ^{2 प्राप्त करते हैं}

अगला, हमें ¹⁰¹¹⁰¹ सी की गणना करने की आवश्यकता है, यहां हम इस नियम का उपयोग नहीं कर सकते, क्योंकि यह 2x नहीं है - यह x प्लस 1 होगा। इसलिए, हम इस समानता को लिखते हैं:

c ¹⁰¹¹⁰¹ = (c ¹⁰¹¹⁰ ) ² c, क्योंकि यह उपसर्ग 101101 = 10110 + 1 है।

इसलिए, हम वर्ग को c से गुणा करते हैं, इसलिए हम इसका उपयोग फिर से वर्ग के लिए करते हैं।

"स्लाइडिंग विंडो" के लिए हमें निचले छोर से अधिक बिट्स पर कब्जा करने की आवश्यकता है। यदि आप यहां से एक एस निकालने के बजाय एक "स्लाइडिंग विंडो" के साथ एक चाल करना चाहते हैं, तो इस विशाल तालिका को ध्यान में रखते हुए हम एक बार में 3 बिट्स ले सकते हैं, सी 7 से चिपके हुए। यदि हम डिग्री के पहले 3 बिट्स लेते हैं, तो हमें c ¹⁰¹¹⁰¹ = (c ¹⁰¹ ) ⁸ c ^{101 मिलता है} ।

इस मामले में, हमारे पास (सी ¹⁰¹ ) ^{8 के} लिए गणना की समान मात्रा है, लेकिन आप तालिका में सी ¹⁰¹ का मान देख सकते हैं। और (सी ¹⁰¹ ) ⁸ के रूप में हिस्सा कहता है कि आप इसकी कीमत की गणना करने के लिए "स्लाइडिंग विंडोज़" का उपयोग करने जा रहे हैं।



यह बहुत समय बचाता है, क्योंकि यह पूर्व-गुणा मूल्यों का उपयोग करना संभव बनाता है। 10 साल पहले यह माना जाता था कि 32 डिग्री तक के मूल्यों की एक तालिका कम्प्यूटेशनल दक्षता के संदर्भ में इष्टतम योजना है, क्योंकि यहां कुछ प्रकार का समझौता है, है ना? आप इस तालिका को बनाने में समय बिताते हैं, लेकिन यह बहुत बड़ा नहीं होना चाहिए यदि आप अक्सर कुछ रिकॉर्ड का उपयोग नहीं करने जा रहे हैं। मान लीजिए अगर आप ⁵⁰⁰ डिग्री तक के मानों की एक तालिका बनाते हैं, लेकिन आप 128 से अधिक मूल्य वाले घातांक का उपयोग नहीं करने जा रहे हैं, तो बस अपना समय बर्बाद करें।

श्रोता: पहले से इतनी विशालकाय मेज न बनाने का कोई कारण है? यही है, गणना में सीमित डिग्री की मानों की गणना की जा सकती है?

प्रोफेसर: यदि आप पहले से वॉल्यूमेट्रिक गणना नहीं करना चाहते हैं ... तो, दो चीजें हैं। एक यह है कि तब आपके पास यह जांचने के लिए एक कोड होना चाहिए कि क्या तालिका में आवश्यक रिकॉर्ड भरा हुआ है या नहीं, और यह संभवतः सीपीयू प्रक्रियाओं की शाखाओं की भविष्यवाणी करने की सटीकता को कम कर देगा। इसी समय, सामान्य मामले में, प्रोसेसर अधिक धीमी गति से काम करेगा, क्योंकि यह जांचना होगा कि आवश्यक रिकॉर्ड तालिका में है या नहीं। दूसरी बात, जो कुछ हद तक कष्टप्रद है, कैश साइड पैटर्न के माध्यम से विभिन्न साइड चैनलों के माध्यम से तालिका प्रविष्टियों का रिसाव हो सकता है। इसलिए यदि आपके पास उसी प्रोसेसर पर चलने वाली कोई अन्य प्रक्रिया है, तो आप देख सकते हैं कि कौन से कैश पते कैश से हटा दिए गए हैं या धीमा हो गए हैं, क्योंकि किसी के पास रिकॉर्ड ³ सी या ³¹ सी रिकॉर्ड करने के लिए एक्सेस है। और यह तालिका जितनी बड़ी हो जाती है, यह निर्धारित करना उतना आसान होता है कि आरएसए कुंजी बनाने के लिए कौन से घातांक बिट्स का उपयोग किया जाता है।

यह विशाल तालिका यह बताने में सक्षम है कि प्रोसेसर के लिए कौन सा कैश पता खो गया था, जो इंगित करता है कि एन्क्रिप्शन प्रक्रिया को तालिका में इस प्रविष्टि तक पहुंच होनी चाहिए। बदले में, यह आपको बताता है कि बिट्स का अनुक्रम आपके निजी कुंजी के घातांक में दिखाई देता है। इसलिए, मुझे लगता है कि गणितीय रूप से आप इस तालिका को आवश्यकतानुसार भर सकते हैं, लेकिन व्यवहार में आप यह नहीं चाहते हैं कि यह विशाल आकार का हो। इसके अलावा, आप बड़ी तालिका प्रविष्टियों का प्रभावी ढंग से उपयोग नहीं कर पाएंगे। बार-बार अपेक्षाकृत छोटी तालिका के रिकॉर्ड का उपयोग करना बहुत अधिक उपयोगी है, उदाहरण के लिए, सी ^{7 की} गणना करने के लिए ^, आप मूल्य सी ^{3 का} उपयोग दो बार और इसी तरह कर सकते हैं।

तो, यहाँ फिर से स्क्वेरिंग और "स्लाइडिंग विंडो" विधियों द्वारा आरएसए अनुकूलन है। मुझे नहीं पता कि क्या वे अभी भी "स्लाइडिंग विंडोज़" के इस आकार का उपयोग करते हैं, लेकिन किसी भी स्थिति में यह गणना प्रक्रिया को गति देता है, क्योंकि अन्यथा आपको प्रतिपादक के प्रत्येक बिट को वर्ग करना होगा और फिर प्रत्येक बिट से गुणा करना होगा। इसलिए, यदि आपके पास 500-बिट एक्सपोनेंट है, तो आपको 500 वर्ग और लगभग 256 गुणा को c से पूरा करना होगा। "स्लाइडिंग विंडो" के साथ आपको अभी भी 512 वर्ग बनाने होंगे, क्योंकि इससे बचा नहीं जा सकता है, लेकिन तालिका से प्रविष्टियों के उपयोग के कारण c द्वारा गुणा की संख्या 256 से घटकर लगभग 32 हो जाएगी।

यह सामान्य अनुकूलन योजना है, जो गणना प्रक्रिया को लगभग डेढ़ गुना बढ़ाती है। यह एक काफी सरल अनुकूलन है। संख्याओं के साथ दो स्मार्ट चालें हैं जो गुणा प्रक्रिया को अधिक कुशल बनाती हैं।

पहला मोंटगोमरी परिवर्तन है, दूसरे में हम देखेंगे कि यह हमारे लिए विशेष रूप से महत्वपूर्ण क्यों है। यह अनुकूलन हमारे लिए एक समस्या को हल करने की कोशिश कर रहा है, जो यह है कि हर बार जब हम गुणा करते हैं, तो हमें एक संख्या मिलती है जो बढ़ते क्रम में बढ़ती रहती है। विशेष रूप से, दोनों "स्लाइडिंग विंडोज़" और फिर से स्क्वेरिंग में, आपने वास्तव में वाई की शक्ति को बढ़ाते हुए 2 संख्याओं को एक साथ गुणा किया।

समस्या यह है कि यदि गुणन के लिए इनपुट डेटा c ^x और c ^y , मान लें, तो 512 बिट्स हैं, तो गुणा परिणाम का आकार 1000 बिट्स होगा। उसके बाद, आप इस 1000-बिट परिणाम को लेते हैं और इसे 512 बिट्स की तरह फिर से गुणा करते हैं, यह 1500, 2000, 2500 बिट्स का आकार बन जाता है और सब कुछ बढ़ता है और बढ़ता है।

हालाँकि, आप ऐसा नहीं चाहते हैं, क्योंकि गुणन गुणा संख्याओं के क्रम को बढ़ाता है। इस वजह से, हमें अपना नंबर आकार जितना संभव हो उतना छोटा रखना चाहिए, मूल रूप से 512 बिट्स के बराबर, क्योंकि ये सभी गणनाएं मॉड पी या मॉड क्यू हैं।

हम इस संख्या को कम कर सकते हैं, कह सकते हैं, हम गणना करना चाहते हैं ((( ^x ) ² ) ² ) ² । आप क्या कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, cx modulo p की गणना करें, फिर इसे फिर से modulo p और एक बार फिर से modulo p को चुकता करें। यह विधि अपेक्षाकृत अच्छी है, क्योंकि यह हमें अपनी संख्या का आकार 512 बिट्स के भीतर रखने की अनुमति देती है, अर्थात हम जितना छोटा हो सकते हैं। यह उन संख्याओं के आकार को कम करने के अर्थ में अच्छा है जिन्हें हमें गुणा करने की आवश्यकता है, लेकिन वास्तव में, इस मॉड्यूल के साथ संचालन में गणना की लागत "काफी बढ़ जाती है"।



क्योंकि जिस तरह से आपको mod p मिलता है वह विभाजन में है। और विभाजन गुणन से भी बदतर है। मैं विभाजन के लिए एल्गोरिदम को सूचीबद्ध नहीं करूंगा, लेकिन यह बहुत धीमा है। आमतौर पर आप जब भी संभव हो विभाजन कार्यों से बचने की कोशिश करते हैं, क्योंकि यह आसान प्रोग्रामिंग नहीं है। तथ्य यह है कि आपको कुछ प्रकार के अनुमानित एल्गोरिदम, न्यूटन के तरीकों और इसी तरह का उपयोग करने की आवश्यकता है, और यह सब गणना प्रक्रिया को धीमा कर देगा।

गुणन अधिक लाभदायक है, लेकिन संख्याओं के आकार को कम करने के लिए mod p या mod q संचालन का उपयोग करना गुणन से अधिक खर्च होगा। मैं आपको इससे बचने का एक तरीका बताऊंगा और मोंटगोमरी ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करके त्वरित गणना कैसे करें।

मूल विचार पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए है जो आप एक मोंटगोमरी परिवर्तन के रूप में गुणा करने जा रहे हैं। यह वास्तव में बहुत आसान है। ऐसा करने के लिए, हम बस एक निश्चित जादुई मूल्य आर द्वारा हमारी संख्या को गुणा करते हैं। एक सेकंड के बाद मैं आपको बताऊंगा कि यह क्या है। लेकिन आइए सबसे पहले जानें कि जब हम R का एक मनमाना मूल्य चुनते हैं तो क्या होता है।

इसलिए, हम 2 नंबर, ए और बी लेते हैं, और उन्हें मॉन्टगोमरी प्रतिनिधित्व में परिवर्तित करते हैं, प्रत्येक को आर से गुणा करते हैं। फिर मॉन्टगोमरी ट्रांसफॉर्म में ए और बी के उत्पाद इस तरह दिखाई देंगे:

ab <-> (aR) (bR) / R = abR

यही है, आप आरआर को आरआर से गुणा करते हैं और आर स्क्वेर द्वारा एबी का उत्पाद प्राप्त करते हैं। अब हमारे पास दो रुपये हैं, यह थोड़ा कष्टप्रद है, लेकिन आप इसे आर। द्वारा विभाजित कर सकते हैं। नतीजतन, हमें आर द्वारा उत्पाद का उत्पादन मिलता है। यह थोड़ा अस्पष्ट है कि हमें इस संख्या को एक बार फिर से गुणा करने की आवश्यकता क्यों है। आइए पहले पता करें कि क्या यह सही है, और फिर हम समझेंगे कि यह तेज क्यों होगा।
यह इस अर्थ में सही है कि यह बहुत आसान है। यदि आप कुछ संख्याओं को गुणा करना चाहते हैं, तो आपको उन्हें आर के इस मूल्य से गुणा करना होगा और मोंटगोमरी ट्रांसफ़ॉर्म प्राप्त करना होगा। हर बार जब हम इन 2 नंबरों को गुणा करते हैं, तो हमें उन्हें R से विभाजित करना होगा, और फिर फॉर्म abR के रूपांतरण के परिणामी रूप को देखना होगा। फिर, जब हम स्क्वेरिंग, गुणा, और इन सभी चीजों को पूरा करते हैं, तो हम परिणाम के सामान्य, साधारण रूप में वापस आ जाएंगे, बस अंतिम बार आर द्वारा विभाजित किया जाएगा।



अब विचार करें कि R द्वारा विभाजन के लिए सबसे उपयुक्त संख्या का चयन कैसे करें R को बहुत तेज संचालन से विभाजित करें। और यहां सबसे अच्छी बात यह है कि यदि आर द्वारा विभाजन एक छोटी संख्या होने पर बहुत तेज है, और हमें यह मॉड क्यू भी अक्सर नहीं करना है। विशेष रूप से, aR, मान लें, का आकार भी लगभग 500 बिट्स होगा, क्योंकि यह सब वास्तव में mod p या mod q है। इस प्रकार, आरआर 500 बिट्स है, बीआर भी 500 बिट्स होगा, जिससे कि उत्पाद (आरआर) (बीआर) 1000 बिट्स होगा। आर एक सुविधाजनक 500-बिट संख्या, पी के आकार का भी होगा। और अगर हम डिवीजन ऑपरेशन को काफी तेज कर सकते हैं, तो एब का परिणाम भी लगभग 500-बिट संख्या होगा, ताकि हम अतिरिक्त डिवीजन की आवश्यकता के बिना गुणा कर सकें। आर द्वारा विभाजित करना अधिक लाभदायक है और हमें एक छोटा परिणाम देता है, जो अधिकांश स्थितियों में मॉड पी के उपयोग से बचा जाता है।

तो यह अजीब आर संख्या क्या है जो मैं हर समय बात कर रहा हूं? इसका मूल्य 2 से 512 डिग्री है:

आर = 2 ⁵¹²

यह 1 और शून्य का एक गुच्छा होगा, इसलिए इस तरह की संख्या से गुणा करना आसान है, क्योंकि यह परिणाम में सिर्फ शून्य का एक गुच्छा जोड़ना पर्याप्त है। यदि परिणाम के कम से कम महत्वपूर्ण बिट शून्य हैं, तो डिवीजन भी सरल हो सकता है। इसलिए यदि आपके पास 512 शून्य के साथ बिट्स के ढेर से एक मूल्य है, तो 2 से 512 डिग्री तक विभाजित करना बहुत सरल होगा - आप बस दाहिनी ओर शून्य गिराते हैं, और यह पूरी तरह से सही विभाजन ऑपरेशन है।

छोटी समस्या यह है कि जब आप यह गुणा करते हैं तो वास्तव में हमारे पास दाहिनी ओर शून्य नहीं होता है। हमारे पास सभी 512 बिट्स का उपयोग करके वास्तविक 512-बिट संख्या है।

(आरआर) बाय (बीआर) का उत्पाद भी 1000 बिट्स के क्रम की एक वास्तविक संख्या है, इसलिए हम कम से कम महत्वपूर्ण बिट्स को नहीं छोड़ सकते। लेकिन एक उचित दृष्टिकोण इस तथ्य पर आधारित है कि केवल एक चीज जो हमें चिंतित करती है वह है मॉड पी का मूल्य। इस प्रकार, आप हमेशा अपने मॉड पी के समकक्ष बदले बिना इस मूल्य में कई पी जोड़ सकते हैं। नतीजतन, हम पी मानों के गुणकों को जोड़ सकते हैं ताकि सभी कम से कम महत्वपूर्ण बिट शून्य हो जाएं। आइए कुछ सरल उदाहरण देखें। मैं बोर्ड पर 512 बिट्स लिखने नहीं जा रहा हूं, लेकिन मैं केवल एक छोटा उदाहरण दूंगा।

मान लीजिए कि हमारी स्थिति में आर = 2 ⁴ = 10000 है। यह वास्तव में है की तुलना में बहुत छोटा आकार है। आइए देखें कि यह मोंटगोमरी परिवर्तन कैसे काम करता है। हम mod q की गणना करने की कोशिश करते हैं, जहां q = 7। बाइनरी फॉर्म में q = 7 (111) है।

आगे मान लीजिए कि हमने कुछ गुणा (aR) (bR) किया, और बाइनरी प्रतिनिधित्व में परिणाम 11010 है, अर्थात, यह उत्पाद (aR) (bR) का मान होगा। हम इसे R से कैसे विभाजित करते हैं?

जाहिर है, सभी चार महत्वपूर्ण बिट्स शून्य नहीं हैं, इसलिए हम उन्हें अलग नहीं कर सकते हैं, लेकिन हम मात्राओं को जोड़ सकते हैं जो कि q के गुणक हैं। विशेष रूप से, हम q में 2 बार जोड़ सकते हैं, बाइनरी प्रतिनिधित्व में 2q = 1110 के साथ। इसके अलावा, हमें 101000 मिलते हैं, मुझे आशा है कि मैंने सब कुछ ठीक किया।



तो हमें योग (aR) (bR) + 2q मिला। वास्तव में, हम + 2q के बारे में परवाह नहीं करते हैं, क्योंकि हम सभी के बारे में परवाह करते हैं mod q का मान है। अब हम लक्ष्य के करीब हैं, क्योंकि हमारे पास दाईं ओर तीन शून्य हैं। अब हम कुछ और q जोड़ सकते हैं। मान लीजिए कि इस बार यह 8q होगा, जो 111000 होगा। फिर से, हमारी पंक्तियों को जोड़ें और 1100000 प्राप्त करें। अब हमारे पास मूल (aR) (bR) + 2q + 8q = 1100000 है। अंत में, हम बहुत आसानी से इस बात को समझ सकते हैं आर, सिर्फ चार कम शून्य छोड़ने।



श्रोता: उत्पाद (aR) (bR) हमेशा १०२४ शून्य के साथ समाप्त होगा?

प्रोफेसर: नहीं, और मैं समझाऊंगा कि क्या भ्रम हो सकता है। मान लीजिए कि संख्या 512 बिट्स है, हमने इसे R से गुणा किया और 1000-बिट नंबर प्राप्त किया। इस स्थिति में, आप सही हैं, आरआर वह संख्या है जिसमें उच्च बिट्स ए हैं, और निम्न बिट्स सभी शून्य हैं। लेकिन फिर हम इसे छोटा करने के लिए mod q को निष्पादित करते हैं। इसलिए, सामान्य मामले में 1024 बिट्स का आकार एक दुर्घटना है, क्योंकि इस संख्या में केवल पहले रूपांतरण के दौरान ये कम शून्य हैं, लेकिन जब आप कुछ गुणा करते हैं, तो यह मनमाना बिट्स होगा।

आपको गुमराह न करने के लिए, मुझे aR के बाद और bR के बाद यहाँ mod q लिखना था - यहाँ मैं इसे जोड़ रहा हूँ - और जैसे ही आप मूल्य को कम करने के लिए रूपांतरण करते हैं, इस mod q की गणना करें।



प्रारंभिक रूपांतरण बल्कि श्रमसाध्य है, या कम से कम के रूप में महंगा के रूप में गुणा में पारंपरिक मॉडुलन। शांत बात यह है कि आप इस मूल्य का भुगतान एक बार करते हैं जब आप मोंटगोमरी रूपांतरण करते हैं, और फिर, गणना के प्रत्येक चरण पर इसे वापस परिवर्तित करने के बजाय, आप इसे केवल एक मोंटगोमरी दृश्य के रूप में रखते हैं।
याद रखें कि 512 बिट्स वाली शक्ति को बढ़ाने के लिए, आपको 500 से अधिक गुणा करना होगा, क्योंकि हमें कम से कम 500 वर्ग और कुछ और करना होगा। इसलिए यदि आप दो बार मॉड क्यू करते हैं और तब बहुत सारे सरल विभाजन ऑपरेशन प्राप्त करते हैं यदि आप संख्याओं के इस रूप में बने रहते हैं। और अंत में, आप R को इस फॉर्म ab पर लौटने के लिए एक डिवीजन करते हैं।

इसलिए, गुणा के प्रत्येक चरण के लिए mod q 500 बार करने के बजाय, आप mod q को दो बार करते हैं और फिर R को न्यूनतम लागत पर इन विभाजनों को करना जारी रखते हैं।
श्रोता: जब आप q के गुणक को जोड़ते हैं और फिर R से विभाजित करते हैं, तो क्या हमारे पास शेष है?
प्रोफेसर: वास्तव में mod q का अर्थ है शेष जब आप q से विभाजित करते हैं। सीधे शब्दों में कहें, x + yq mod q = x। इस मामले में, एक और उपयोगी संपत्ति है - कि सभी मॉड्यूल primes हैं। यह उतना ही सत्य है जितना कि यदि आपके पास (x + yq / R) mod q है, तो यह x / R mod q के बराबर है।



ऐसा सोचने का कारण यह है कि मॉड्यूलर अंकगणित में कोई वास्तविक विभाजन ऑपरेशन नहीं है, यह सिर्फ उलटा है। वास्तव में, इसका मतलब यह है कि अगर हमारे पास (x + yq) उल्टे R की गणना mod q द्वारा की जाती है, तो यह दो उत्पादों के योग के बराबर है: mod q द्वारा औंधा R का उत्पाद x और mod q द्वारा उल्टे R द्वारा yq का गुणनफल। इसके अलावा, अंतिम अवधि कम हो जाती है, क्योंकि यह q से गुणा किया जाता है।



2q, 8q, और इसी तरह की चीजों के लिए, एक सूत्र है जो गणना प्रक्रिया को गति देता है। मैंने इसे धीरे-धीरे किया, पहले 2q की गणना की, फिर 8q और इसी तरह, लेकिन व्याख्यान सामग्री का एक पूर्ण सूत्र है जिसका उपयोग किया जा सकता है, मैं बस इसे बोर्ड पर लिखने में समय बर्बाद नहीं करना चाहता। यह आपको यह गणना करने की अनुमति देता है कि आपको कितने q मूल्य चाहिए जो आपको जोड़ना चाहिए ताकि सभी कम से कम महत्वपूर्ण बिट्स 0 में बदल जाएं। फिर यह पता चला कि आर द्वारा विभाजन करने के लिए, आपको बस इस जादुई क्यू के कई गणना करने की आवश्यकता है, इसे जोड़ें, फिर निम्न को त्यागें। शून्य बिट्स, और यह आपके नंबर को 512 बिट्स पर वापस कर देगा चाहे आपको परिणाम का कोई भी आकार प्राप्त न हो।

लेकिन एक सूक्ष्मता है। एकमात्र कारण जो हम इस बारे में बात कर रहे हैं, क्योंकि यहां कुछ मजेदार हो रहा है, जो हमें समय के बारे में जानकारी प्राप्त करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यद्यपि हम आर द्वारा विभाजित हैं, हम अभी भी जानते हैं कि परिणाम लगभग 512 बिट्स होगा। लेकिन यह अभी भी q से अधिक हो सकता है, क्योंकि q 512-बिट संख्या नहीं है, यह R से थोड़ा कम हो सकता है।

तो यह हो सकता है कि आर द्वारा यह लाभप्रद विभाजन करने के बाद, हमें q को फिर से घटाना पड़ सकता है, क्योंकि हमें कुछ छोटा मिलता है, लेकिन फिर भी बहुत छोटा नहीं होता है। इसलिए एक मौका है कि इस विभाजन के बाद हमें फिर से q को घटाना पड़ सकता है। और इस घटाव का उपयोग हमले के हिस्से के रूप में किया जा सकता है, क्योंकि घटाव ऑपरेशन गणना समय जोड़ता है।



और किसी को पता चला - ये लोग नहीं हैं, लेकिन पिछले काम में कोई है - कि अतिरिक्त कमी या अतिरिक्त कमी नामक कुछ करने का मौका है। , . , xd mod q, - x mod q, 2R. .



, x mod q , . , cd.



, extra reduction , X , , , q.



, c, extra reduction , c — q. , , q . , extra reduction, , , X mod q , = q + έ, . , . , , , , extra reduction .

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- ? , , a b .

, , 512 , 64- , 32- . a : a ₁ a ₀ , a ₀ , a ₁ — . b – b ₁ b ₀ .

ab 3- : a ₁ b ₁ , a ₀ b ₀ , a ₁ b ₀ + a ₀ b ₁ . .



55:00

एमआईटी पाठ्यक्रम "कंप्यूटर सिस्टम सुरक्षा"। 16: « », 3


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