आइए सभी 3 डी इंजन से quaternions को हटा दें

ग्राफिक्स प्रोग्रामर तीन-आयामी मोड़ रिकॉर्ड करने के लिए चतुर्धातुक का उपयोग करते हैं। हालांकि, चतुर्धातुक को समझना मुश्किल है क्योंकि उनका अध्ययन सतही रूप से किया जाता है । हम सिर्फ विश्वास पर अजीब गुणा सारणी और अन्य गूढ़ परिभाषाएं लेते हैं, और उन्हें "ब्लैक बॉक्स" के रूप में उपयोग करते हैं जो हमें जरूरत वाले वैक्टर को घुमाते हैं। क्यों $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ ^ = =$ और $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ ? हम एक वेक्टर क्यों लेते हैं और इसे बदलने के लिए "काल्पनिक" वेक्टर में बदल देते हैं, उदाहरण के लिए $$$\ mathbf {q} (x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k}) \ mathbf {q} ^ {*}$ ? लेकिन अगर सब कुछ सही है, तो कौन परवाह करता है?

एक रोटर नामक घुमाव का वर्णन करने का एक तरीका है, जो जटिल संख्याओं (2 डी में) और चतुर्भुज (3 डी में) के क्षेत्र को संदर्भित करता है, और यहां तक ​​कि किसी भी आयाम के लिए सामान्यीकृत करता है।

हम रोटार को लगभग पूरी तरह से खरोंच से बना सकते हैं, इसके बजाय कुछ भी नहीं से quaternions को परिभाषित करने और यह समझाने की कोशिश कर रहे हैं कि वे कैसे रेट्रोएक्टली काम करते हैं। इसमें अधिक समय लगता है, लेकिन यह मुझे इसके लायक लगता है, क्योंकि इन्हें समझना बहुत आसान है!

इसके अलावा, तीन आयामी रोटार के विज़ुअलाइज़ेशन और समझ के लिए, चौथे स्थानिक आयाम का उपयोग करना आवश्यक नहीं है।

यह बहुत अच्छा होगा यदि वे रोटरों के स्थान पर, चतुर्भुजों के उपयोग और अध्ययन को दबाने लगे। उन्हें प्रतिस्थापित करना बहुत सरल है, लेकिन कोड लगभग समान रहेगा । सब कुछ जो चतुर्धातुक के साथ किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक्सल लॉक (गिम्बल लॉक) को इंटरपोल्ट और हटाने के साथ, रोटार के साथ किया जा सकता है। लेकिन हम बहुत अधिक समझने लगते हैं।

(मूल लेख में, सभी चार्ट इंटरैक्टिव हैं, और लेख एक वीडियो द्वारा पीछा किया जाता है। प्ले बटन पर क्लिक करके, आप वीडियो के संबंधित अनुभाग को शुरू कर सकते हैं। आप लेख के संबंधित अनुभाग पर जाने के लिए वीडियो के तहत संक्रमण बटन पर भी क्लिक कर सकते हैं। आप विंडो का विस्तार कर सकते हैं ताकि वीडियो के लिए अधिक स्थान हो। , या इसके लिए एक स्थिर आकार निर्धारित करें।)

1. विमानों को चालू करना

1.1। टर्न दो आयामी विमानों पर किया जाता है।

तीन-आयामी अंतरिक्ष में, हम आमतौर पर कुल्हाड़ियों के चारों ओर घूमते हुए अनुभव करते हैं, जैसे कि एक धुरी पर घूमता हुआ पहिया, लेकिन इसके बजाय उस विमान का प्रतिनिधित्व करना अधिक सही होगा जिस पर पहिया निहित है। यह विमान धुरी के लंबवत है।


यह बूढ़ी महिला विमान में एक पहिया घूमती है $$$\ mathbf {xz}$ धुरी के लंबवत $$$\ mathbf {y}$ ।

ऐसा इसलिए होता है क्योंकि यदि हमने वेक्टर को दो भागों में विभाजित किया है, जिसमें से एक विमान पर स्थित है ( $$$\ mathbf {v} _ \ समानांतर$ ), और दूसरा बाहर है ( $$$\ mathbf {v} _ \ perp$ ), फिर रोटेशन आंतरिक भाग को घुमाता है, और बाहरी अपरिवर्तित रहता है।


प्लेन में घूमता है $$$yx$ [ मूल लेख में इस एनीमेशन और कैमरे को स्थानांतरित किया जा सकता है ]

दो-आयामी अंतरिक्ष में केवल एक विमान है जिसमें रोटेशन संभव है ( कोई बाहरी हिस्सा नहीं है )। इसलिए, यह मानने के लिए कि घूर्णन तीसरी धुरी के आसपास होता है (2 डी विमान के लिए लंबवत) सख्ती से गलत बोल रहा है, क्योंकि घुमावों को पूरा करने के लिए हमें एक और आयाम नहीं जोड़ना चाहिए।

यदि हम रोटेशन के लंबवत अक्ष के बारे में दो-आयामी "फ्लैट ज़मींदार" (जो 2 डी विमान के अंदर रहते हैं और दो-आयामी स्थान से बाहर नहीं निकलते हैं) को बताते हैं, तो वह पूछेगा: "यह अक्ष किस दिशा में है? मैं उसकी कल्पना नहीं कर सकता! "

1.2। मुड़ने की सही दिशा

इसके अलावा, जब हम एक अक्ष के चारों ओर घूमने के बारे में सोचते हैं, तो रोटेशन की दिशा परिभाषित नहीं होती है, और इसलिए इसे एक नियम (तथाकथित "राइट-हैंड नियम") द्वारा निर्धारित किया जाना चाहिए।

हालांकि, अगर हम मानते हैं कि विमानों के अंदर मोड़ आते हैं, तो दिशा स्पष्ट हो जाती है: विमान में रोटेशन $$$\ mathbf {xy}$ एक रोटेशन का मतलब है कि एक इकाई (इकाई) वेक्टर ले जाता है $$$\ mathbf {x}$ (इकाई) वेक्टर के लिए $$$\ mathbf {y}$ विमान के अंदर वे एक साथ बनते हैं। प्लेन में घूमता है $$$\ mathbf {yx}$ विपरीत दिशा में एक घुमाव है: यह वेक्टर को स्थानांतरित करता है $$$\ mathbf {y}$ वेक्टर को $$$\ mathbf {x}$ ।

2. बायवेक्टर

2.1। बाहरी काम

एक वेक्टर को घुमाते समय रोटेशन अक्ष की गणना करने के लिए $$$\ mathbf {a}$ एक और वेक्टर के लिए $$$\ mathbf {b}$ हम उन दोनों के वेक्टर वेक्टर को प्राप्त करने के लिए दो वैक्टर के वेक्टर उत्पाद को लेते हैं। लेकिन हमें विमान को "छोड़ने" की आवश्यकता क्यों है अगर रोटेशन अनिवार्य रूप से एक दो-आयामी ऑपरेशन है?

इसके बजाय, हम एक बाहरी उत्पाद (जिसे द्वि-आयामी वेक्टर उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है), दो वैक्टर, एक नया तत्व बनाते हैं, जिसे "बाइवेक्टर" (या 2-वेक्टर) कहा जाता है $$$\ mathbf {B}$ दो वैक्टर मिलकर एक प्लेन का प्रतिनिधित्व करते हैं। यदि वेक्टर उत्पाद प्लेन के लिए एक सामान्य वेक्टर बनाता है , तो बाहरी उत्पाद प्लेन को ही बनाता है । विमान के लिए सामान्य की गणना अप्रासंगिक है।

$$ $$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

$$$\ mathbf {B}$ वैक्टर से निर्मित समानांतर चतुर्भुज के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $$$\ mathbf {a}$ और $$$\ mathbf {b}$ विमान में है कि वे एक साथ बनाते हैं।

सबसे पहले, एक द्विभाजक का विचार अजीब लग सकता है, लेकिन जल्द ही हम देखेंगे कि वे लगभग वैक्टर के रूप में मौलिक हैं । यदि सदिश की तुलना एक सीधी रेखा से की जा सकती है, तो द्विभाजक एक विमान के समान है ... बाह्य उत्पाद के गुण विमानों के महत्वपूर्ण गुणों को पकड़ते हैं।

2.2। बायवेक्टरों का आधार

वैक्टर की तरह Bivectors के घटक होते हैं। लेकिन वे विमानों के आधार पर निर्धारित किए जाते हैं, न कि सीधी रेखाएं , जैसे वैक्टर।

तीन ऑर्थोगोनल बेसल प्लेन हैं $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ । $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$ और $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$ जैसा कि हम आकृति से देखते हैं।

लेकिन पहले, आइए एक सरल दो-आयामी मामले को देखें ...

2.3। द्वि-आयामी द्विभाजक

2 डी में, केवल एक विमान है, अर्थात् $$$\ mathbf {xy}$ । यही है, एक द्वि-आयामी बिवरकटर में केवल एक घटक होता है। वैक्टर से बना एक bivector के लिए $$$\ mathbf {a}$ और $$$\ mathbf {b}$ नंबर है $$$B_ {xy}$ दो वैक्टर द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल (चिन्ह के साथ) के बराबर।

$$ $$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = B_ {xy} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y})$$

2 डी बायवेक्टर के साथ मूल लेख में, आप (एकल) वैक्टर को बदलकर इंटरेक्टिव ग्राफ पर प्रयोग कर सकते हैं, जिसमें यह शामिल है:


आप देख सकते हैं कि जब वैक्टर के बीच का कोण बदलता है, तो समांतर चतुर्भुज क्षेत्र बदल जाता है (कोण के साइन के अनुसार)।

यदि वैक्टर समान या समानांतर हैं, तो वे एक नियमित विमान नहीं बनाते हैं और परिणाम शून्य होगा। यह साधारण संपत्ति परिभाषित करती है कि एक ट्रैक्टर क्या है:

$$ $$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {a} = 0$$

दो वैक्टर के योग को देखते हुए, आप देख सकते हैं कि संपत्ति इस प्रकार है:

$$ $$\ start {eqnarray} (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) \ wedge (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) & = & 0 \\ \ mathbf {{} \ wedge \ mathbf { a} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {b} और = और 0 \\ \ mathbf { b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & amp; 0 \ end {eqnarray}$$

इसलिए:

$$ $$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a}$$

रोटेशन की दिशा की तरह, बाहरी कार्य में तर्कों का क्रम महत्वपूर्ण है। तर्कों को फिर से दर्ज करने से परिणाम का संकेत बदल जाता है (इसे "एंटीसिममेट्री" कहा जाता है)।

चार्ट पर, संकेत को एक रंग से दर्शाया गया है जो नीले से हरे रंग में बदलता है। बारी आने पर संकेत बदल जाता है $$$\ mathbf {a}$ में $$$\ mathbf {b}$ दक्षिणावर्त से वामावर्त में ले जाता है (यानी, यदि यह दिशा से मेल खाता है (से) $$$\ mathbf {x}$ को $$$\ mathbf {y}$ ) या दिशा (से) $$$\ mathbf {y}$ को $$$\ mathbf {x}$ ))।

आप देख सकते हैं कि बाहरी उत्पाद के गुणों को व्यवस्थित किया जाता है ताकि वे विमानों और घुमावों के गुणों को बता सकें।

2.4। नोनिट वैक्टर के दो-आयामी द्विभाजक

जाहिर है, वैक्टर को इकाई की लंबाई का नहीं होना चाहिए, और यह प्रतिबंध इस ग्राफ पर हटा दिया गया है:


एक चिन्ह के साथ समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दोनों वैक्टर की लंबाई के लिए आनुपातिक है: $$$B_ {xy} = पाप (\ Alpha) \ | a \ | \ | b | $$ जहाँ $$$\ अल्फा$ के बीच का कोण है $$$\ mathbf {a}$ और $$$\ mathbf {b}$ । उदाहरण के लिए, जब एक वेक्टर की लंबाई दोगुनी हो जाती है, तो क्षेत्र दोगुना हो जाता है।

हम वैक्टर को घटकों के रूप में प्रतिस्थापित करके सही मूल्य प्राप्त कर सकते हैं:

$$ $$\ start {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = (a_x \ mathbf {x} + a_y \ mathbf {y}) \ wedge (b_x \ mathbf {x} + b_y \ mathbf { y}) \\ & = & a_x b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x}) + a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf (y}) + a_y b_x (\ mathbf {y}) \ wedge \ mathbf {x}) + a_y b_y (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & = a_x b_y (\ mathbf {x} / wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x () \ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) \\ & = a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) - a_y b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} ) \\ & = & (a_x b_y - a_y b_x) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \ end {eqnarray}$$

$$ $$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

2.5। 3 डी बायवेक्टर

वेक्टर निर्देशांक के रूप में भी $$$\ mathbf {v}$ तीन ऑर्थोगोनल आधार अक्षों पर वेक्टर के अनुमानों पर विचार किया जा सकता है ( $$$\ mathbf {x}$ । $$$\ mathbf {y}$ । $$$\ mathbf {z}$ ), बायक्टर के निर्देशांक $$$\ mathbf {B}$ तीन ऑर्थोगोनल बेसल विमानों पर एक विमान से छोटे अनुमानों को माना जा सकता है।

वेक्टर के अनुमान प्रत्येक आधार वेक्टर के साथ इस वेक्टर की लंबाई होते हैं, और बाइसेक्टर के अनुमान प्रत्येक आधार विमान पर विमान के क्षेत्र होते हैं।

वेक्टर के लिए:

$$ $$\ mathbf {v} = \ bbox [5px, border-bottom: 2px ठोस लाल] {v_x} \ mathbf {x} + \ bbox [5px, border-bottom: 2px ठोस हरा] {vy} \ mathbf {y} + \ bbox [5px, बॉर्डर-बॉटम: 2px सॉलिड ब्लू] {v_z} \ mathbf {z$$

बाइसेक्टर के लिए:

$$ $$\ mathbf {B} = \ bbox [5px, border-bottom: 2px ठोस मूंगा] {B_ {xy}} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + \ bbox / 5px, सीमा-नीचे: 2px ठोस सोना] {B_ {xz}} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) + \ bbox [5px, border-bottom: 2px ठोस DarkViolet] {B_ {yb}} (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z})$$

जहाँ $$$B_ {xy}$ । $$$B_ {xz}$ । $$$B_ {yz}$ जैसे संख्याएँ हैं $$$v_x$ । $$$v_y$ । $$$v_z$ (वे चार्ट पर रंगों के अनुरूप रंगों द्वारा रेखांकित होते हैं)।

एक 3 डी bivector के घटक एक बुनियादी 2D विमान पर एक bivector के सिर्फ तीन 2D अनुमान हैं।

पहले की तरह ही विधि का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि घटकों का वास्तविक मान द्वि-आयामी मामले से XY घटक की तरह दिखता है, लेकिन सभी तीन विमानों पर लागू होता है:

$$ $$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

$$ $$B_ {xz} = a_x b_z - b_x a_z$$

$$ $$B_ {yz} = a_y b_z - b_y a_z$$

आप मूल लेख में एक इंटरेक्टिव चार्ट पर 3 डी बायवेक्टर के साथ प्रयोग कर सकते हैं:



यदि हम बाईवेक्टर को इसके मानदंड से विभाजित करते हैं, तो हम वैक्टर की दो लंबाई कम करते हैं और कोण के साइन की (निरपेक्ष) मान है, यानी हमारे पास बाइवर होगा $$$\ _ {\ mathbf {B}}$ का निर्माण किया जाएगा, जैसे कि दो वैक्टर शुरू में लंबवत थे और एक इकाई की लंबाई थी। यह दोनों वैक्टरों से युक्त प्लेन का बहुत साफ प्रतिनिधित्व है। तो:

$$ $$\ mathbf {B} = | \ mathbf {a} \ | \ | | mathbf {b} \ | \ mid sin (\ alpha) \ mid \ hat {\ mathbf {B}}$$

क्या कुछ आपको बाहरी काम की याद दिलाता है? 3 डी में, एक बाहरी काम की परिभाषा एक वेक्टर काम की परिभाषा के समान है। वास्तव में, एक सदिश उत्पाद से प्राप्त 3 डी में एक वेक्टर (उदाहरण के लिए, एक सामान्य वेक्टर) में तीन घटक द्विभाजक के घटकों के बराबर होंगे (संख्या समान होगी, लेकिन आधार अलग है)।

$$$$ प्रदर्शन $ $ \ _ {शुरू {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & & (a_x b_y - b_x a_y) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & & + & (a_x b_z - b_x a_z) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) \\ & + & (a_y b_z - b_y a_z (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z} ) \\ \\ \ mathbf {a} \ टाइम्स \ mathbf {b} & = और & (a_x b_y - b_x a_y) \ \ mathbf {z} \\ & - & (a_x b_z - b_x a_z) \ \ mathbf {y} \\ & & + & (a_y b_z - b_y a_z) \ \ mathbf {x} \ end {eqnarray} $ $ प्रदर्शन $ $

एक द्विभाजक की परिभाषा का एक ज्यामितीय अर्थ है, और कहीं से भी प्रकट नहीं होता है। मुझे याद है कि जब मैंने वेक्टर उत्पादों का अध्ययन किया था, तो मैंने सोचा था: “वह क्या करता है जो एक वेक्टर को लौटाता है जिसकी लंबाई इन दो वैक्टरों द्वारा गठित समानांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर है? यह इतना यादृच्छिक लगता है। और हम समांतर चतुर्भुज क्षेत्र को वेक्टर की लंबाई में क्यों बदल सकते हैं? "

2.6। वैक्टर और बायवेक्टर के शब्दार्थ

3 डी में, बिवरकटर में तीन निर्देशांक होते हैं, प्रति विमान एक: $$$\ mathbf {xy}$ । $$$\ mathbf {xz}$ और $$$\ mathbf {yz}$ )। वैक्टर में भी तीन निर्देशांक होते हैं, एक प्रति धुरी ( $$$\ mathbf {x}$ । $$$\ mathbf {y}$ और $$$\ mathbf {z}$ )। प्रत्येक विमान एक धुरी के लंबवत है। यह संयोग केवल तीन आयामों (*) में उत्पन्न होता है और यही कारण है कि हम लगातार वैक्टर के साथ द्विभाजक को भ्रमित करते हैं ।


प्रोग्रामिंग में, वे दोनों एक ही मेमोरी लेआउट हैं, लेकिन अलग-अलग ऑपरेशन। 3 डी बाइवेक्टर के बजाय 3 डी वेक्टर का उपयोग करना एक बाइवेक्टर के "प्रकार रूपांतरण" के समान है।

यहाँ एक उदाहरण है: आप देख सकते हैं कि सामान्य वैक्टर "रिवर्स ट्रांसफर" मैट्रिक्स का उपयोग करके सामान्य वैक्टर की तुलना में अलग-अलग रूपांतरित होते हैं $$$(\ mathbf {M} ^ {T}) ^ {- 1}$ मैट्रिक्स के बजाय। ऐसा इसलिए है क्योंकि, वास्तव में, वे वास्तव में वैक्टर नहीं हैं, लेकिन बायवेक्टर हैं, जिन्हें "प्रकार रूपांतरण" द्वारा वैक्टर में बदल दिया जाता है। भौतिकी में, "अक्षीय वेक्टर" नामक एक हैक होता है, जिसे वेक्टर उत्पाद द्वारा प्राप्त वैक्टर को साधारण वैक्टर से अलग करने के लिए पेश किया गया था। एक bivector एक वस्तु का एक सच्चा "प्रकार" है और इसे तदनुसार माना और संसाधित किया जाना चाहिए।

3. ज्यामितीय उत्पाद

3.1। एक दूसरे पर वैक्टर का गुणन

ज्यामितीय उत्पाद $$$\ mathbf {a b}$ (एक प्रतीक के बिना चिह्नित) एक और ऑपरेशन है जिसे वैक्टर के साथ किया जा सकता है। ज्यामितीय उत्पाद को परिभाषित किया जाता है ताकि वैक्टर उलटा मात्रा (उदा। $$$\ mathbf {a} \ mathbf {a} ^ {- 1} = 1$ , जहां 1 सिर्फ नंबर 1 है!) और सुविधाजनक गुण हैं, उदाहरण के लिए, समरूपता () $$$\ mathbf {a} (\ mathbf {b} \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ mathbf {b}) \ mathbf {c}$ )। इसका उद्देश्य वैक्टर को गुणा करने में सक्षम होना है ताकि (जैसा कि मैट्रिस के मामले में हो) गुणन ज्यामितीय संचालन से मेल खाता है।


किसी उत्पाद को परिभाषित करने के लिए, हम पहले ध्यान देते हैं कि किसी उत्पाद को विभाजित करना संभव है (या कोई भी फ़ंक्शन जो दो तर्क लेता है) उस भाग के योग में जो हम तर्क और स्वैप वाले भाग को स्वैप नहीं करते हैं जो निम्नानुसार बदलता है:

$$ $$\ start {eqnarray} \ mathbf {a} \ mathbf {b} & = & \ _ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {}} mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \\ & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf { b} \ mathbf {a}) + \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \ end {eqrray}$$

पहला शब्द अब तर्कों के क्रम पर निर्भर नहीं करता है $$$\ mathbf {a}$ और $$$\ mathbf {b}$ (इसे "सममित" भाग) कहा जाता है, और तर्कों के स्थानों को बदलने पर दूसरा शब्द बदलता है (इसे "एंटीसिममेट्रिक" भाग कहा जाता है)।

दो वैक्टर के स्केलर उत्पाद (जिसे आंतरिक उत्पाद भी कहा जाता है) सममित है और दूरी की माप है ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = \ | \ mathbf {a} \ _ ^ $$ ), इसलिए, एक ज्यामितीय दृष्टिकोण से, यह उपयोगी लगता है कि हम इसे सममित भाग के बराबर बनाते हैं:

$$ $$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf (b)$$

इसी तरह, दो वैक्टर का बाहरी उत्पाद एंटीसिमेट्रिक है, इसलिए इसे एंटीसिमेट्रिक भाग के बराबर करना उपयोगी होगा:

$$ $$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf (b)$$

इसके अलावा, स्केलर उत्पाद में दो वैक्टर के बीच कोण का कोसाइन होता है ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ _ | | | \ mathbf {b} \ | cos (\ alp)$ ), जबकि बाहरी उत्पाद में कोण का साइन होता है। साथ में, वे पूरी तरह से वैक्टर के बीच के कोण का वर्णन करते हैं, साथ ही साथ वे जिस विमान को बनाते हैं।


अर्थात्, ज्यामितीय उत्पाद इसके बराबर है:

$$ $$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

यह अजीब है क्योंकि दो वैक्टर को गुणा करने से दो अलग-अलग चीजों का योग होता है: एक अदिश और एक द्विभाजक। हालांकि, यह एक जटिल संख्या एक अदिश राशि और एक "काल्पनिक" संख्या का योग है, इसलिए आप इसे पहले से ही इस्तेमाल कर सकते हैं। यहाँ, बिवरक्टर भाग जटिल संख्या के "काल्पनिक" भाग से मेल खाता है। केवल यह "काल्पनिक" मान नहीं है, यह केवल एक द्विभाजक है जिसे हम वास्तव में रेखांकन दिखा सकते हैं!

वास्तव में, दो वैक्टरों को गुणा करते हुए, हम उनके उपयोगी गुणों ("एक दूसरे पर उनके अनुमानों की लंबाई" / "कोण के कोसाइन" की गणना करते हैं () $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$ ) और "वह विमान जो वे एक साथ बनाते हैं" / "कोण की साइन" ( $$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ )), जिसे हम एक साथ एक प्लस साइन के साथ जोड़ते हैं। एक ज्यामितीय उत्पाद "संपत्ति समूहों" का संचालन भी देता है जो उन पर लागू किया जा सकता है, और इन ऑपरेशनों में ज्यामितीय व्याख्याएं होती हैं (उदाहरण के लिए: रोटेशन और वैक्टर का प्रतिबिंब)। यह हम जल्द ही देखेंगे।

आप ज्यामितीय उत्पाद को साइन और कोसाइन के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं: $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ _ \ _ | \ mathbf {b} \ | (cos (\ Alpha) + sin (\ Alpha) \ mathbf {B})$ जहाँ $$$\ mathbf {B}$ विमान पर दोनों वैक्टरों का एक द्विभाजक है, जो दो इकाई लंबवत वैक्टर से बना है।

3.2। गुणन सारणी

गुणन तालिका हमें उत्पाद को और अधिक विशिष्ट बनाने की अनुमति देती है: आइए देखें कि क्या होता है यदि हमें आधार वैक्टर के उत्पाद मिलते हैं ( $$$\ mathbf {x}$ । $$$\ mathbf {y}$ । $$$\ mathbf {z}$ )।

किसी भी आधार वेक्टर के लिए, उदाहरण के लिए एक अक्ष $$$\ mathbf {x}$ , परिणाम बराबर होगा $$$1$ :

$$ $$\ mathbf {x} \ mathbf {x} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x} = 1$$

आधार वैक्टर के किसी भी जोड़े के लिए, उदाहरण के लिए, कुल्हाड़ियों $$$\ mathbf {x}$ और $$$\ mathbf {y}$ , इसका परिणाम एक द्विभाजक होगा, जो एक साथ मिलकर बनाते हैं:

$$ $$\ mathbf {x} \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$$

(यानी हम नाम कर सकते हैं $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ केवल $$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$ , क्योंकि यह एक और एक ही है! "

यह हमें निम्न तालिका देता है:

$$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$		$$$\ mathbf {b}$
		$$$\ mathbf {x}$	$$$\ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {z}$
$$$\ mathbf {a}$	$$$\ mathbf {x}$	$$$1$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {y}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$1$	$$$\ mathbf {y} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {y} \ mathbf {z}$	$$$1$

वास्तव में, यह तालिका तुच्छ है, तुलना, उदाहरण के लिए, चतुर्धातुक की तालिका के साथ।

3.3। परावर्तन सूत्र (पारंपरिक रूप)

एक वेक्टर पर प्रतिबिंब [मूल लेख में, प्रत्येक वेक्टर को स्थानांतरित किया जा सकता है]

अगर हमारे पास एक इकाई वेक्टर है $$$\ mathbf {a}$ और वेक्टर $$$\ mathbf {v}$ हम प्रतिबिंबित कर सकते हैं $$$\ mathbf {v}$ एक विमान सीधा के माध्यम से $$$\ mathbf {a}$ ।

यह सामान्य तरीके से किया जाता है: हम साझा करते हैं $$$\ mathbf {v}$ विमान के लंबवत भाग पर: $$$\ mathbf {v} _ \ perp = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}$ , और विमान के समानांतर भाग: $$$\ mathbf {v} _ \ समानांतर = \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ \ perp = \ mathbf {v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {}}) \ mathbf {a}$ ।

फिर, वेक्टर को प्रतिबिंबित करने के लिए, हम लंबवत भाग को फ्लिप करते हैं, और समानांतर भाग को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं:

$$ $$\ start {eqnarray} R _ {\ _ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} _ \ समानांतर - \ mathbf {v} _ \ _ perp \\ और = & (\ mathbf { v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) - ((\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) \\ & = & \ mathbf {v} - 2 (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

3.4। प्रतिबिंब का सूत्र (ज्यामितीय उत्पाद के लिए देखें)

इस स्तर पर, हम स्केलर उत्पाद को बदल सकते हैं $$$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}$ एक ज्यामितीय उत्पाद के रूप में इसके संस्करण पर $$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ mathbf {v})$ , और निम्नलिखित प्राप्त करें:

$$ $$\ start {eqnarray} R _ {\ _ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} - 2 (\ frac {1} {2} (\ mathbf) (v) \ mathbf {a } + \ _ mathbf {a} \ mathbf {v})) \ mathbf {a} \\ & = & \ mathbf {v} - \ mathbf {v} \ mathbf {a} ^ 2 - mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \\ & = & - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

( $$$\ mathbf {a} ^ 2 = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = 1$ जैसा $$$\ mathbf {a}$ एक इकाई वेक्टर है)

यह हमें बिल्कुल वैसा ही देता है, लेकिन एक अलग प्रविष्टि में। इस तरह के एक मौलिक ऑपरेशन को एन्कोडिंग के लिए एक सूत्र के बजाय एक साधारण उत्पाद के रूप में रिकॉर्ड का उपयोग करना बहुत ही उपयोगी होगा!

3.5। दो प्रतिबिंब एक मोड़ हैं: 2 डी में स्थिति

यह पता चला है कि अगर हम पर लागू होते हैं $$$\ mathbf {v}$ दो लगातार प्रतिबिंब (एक वेक्टर के साथ पहले) $$$\ mathbf {a}$ और फिर वेक्टर के साथ $$$\ mathbf {b}$ ), तो हम वैक्टर के बीच के कोण से दो बार रोटेशन प्राप्त करते हैं $$$\ mathbf {a}$ और $$$\ mathbf {b}$ ।

हम नीचे दिए गए ग्राफ में प्रतिबिंब के प्रत्येक बाद के चरण को दिखा सकते हैं:


आप मूल लेख में वैक्टर भी बदल सकते हैं। $$$\ mathbf {a}$ । $$$\ mathbf {b}$ और $$$\ mathbf {v}$ , लेकिन ग्राफ पर वैक्टर के प्रारंभिक विन्यास ("वेक्टर वेक्टर पोजिशन" बटन पर क्लिक करें) विशेष रूप से स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है कि परिणामस्वरूप परिणाम एक डबल कोण पर क्यों होता है। एक और अच्छा विन्यास के रूप में स्थापित है $$$\ mathbf {a}$ और $$$\ mathbf {b}$ कुल्हाड़ियों $$$\ mathbf {x}$ और $$$\ mathbf {y}$ ।

3.6। दो प्रतिबिंब एक मोड़ है: 3 डी में स्थिति

3 डी वेक्टर के मामले में $$$\ mathbf {v}$ दो भागों में विभाजित किया जा सकता है, जिनमें से एक दिए गए विमान पर स्थित है $$$\ mathbf {a}$ और $$$\ mathbf {b}$ , और दूसरा विमान के बाहर स्थित है (इसे लंबवत)। जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ में दिखाया गया है, जब वेक्टर प्रत्येक विमानों द्वारा परिलक्षित होता है, तो इसका बाहरी भाग समान रहता है। अंदर के लिए, हम वापस 2 डी में हैं, और यह सिर्फ दो बार कोण को घुमाता है!

3.7। रोटार

ज्यामितीय उत्पाद के दृष्टिकोण से, दो प्रतिबिंब केवल निम्नलिखित के अनुरूप हैं:

$$ $$R _ {\ mathbf {b}} (R _ {mathbf {a}} ((mathbf {v})) = - \ mathbf {b} (- \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} ) \ mathbf {b} = \ mathbf {b} \ mathbf {a} \: \ mathbf {v} \: \ mathbf {a} \ mathbf {b}$$

हम बुलाते हैं $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ रोटर क्योंकि गुणा से $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ वेक्टर के दोनों किनारों पर, हम एक रोटेशन करते हैं ( $$$\ mathbf {b} \ mathbf {a}$ के रूप में ही है $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$, केवल उल्टे भाग-बायवेक्टर को)।

रोटर आवेदन $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$वेक्टर के दोनों किनारों को वेक्टर के विमान में इस वेक्टर को घुमाया जाता है $$$\ mathbf {a}$और $$$\ mathbf {b}$बीच में दो बार कोण $$$\ mathbf {a}$और $$$\ mathbf {b}$।

और वह सब है!

3 डी रोटार और क्वाटरन की तुलना

आप देख सकते हैं कि 3 डी रोटर बहुत सारे quaternions की तरह दिखते हैं:

$$ $$a + B_ {xy} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} + B_ {xz} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z} + B_ / yz} \ \ mathbf {y} \ _ wedge \ mathbf {z}$$

$$ $$a + b \ \ mathbf {i} + c \ \ mathbf {j} + d \ \ mathbf {k}$$

वास्तव में, कोड / गणित बहुत अधिक समान है! मुख्य अंतर यह है कि $$$\ mathbf {i}$। $$$\ mathbf {j}$और $$$\ mathbf {k}$द्वारा प्रतिस्थापित किया गया $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$। $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$और $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$लेकिन वे मूल रूप से एक ही काम करते हैं। कोड की तुलना यहां पाई जा सकती है । मैंने सब कुछ लागू नहीं किया, उदाहरण के लिए प्रक्षेप के लिए लॉग / ऍक्स्प, लेकिन वे बनाने में काफी सरल हैं।


हालाँकि, जैसा कि हमने देखा है, 3 डी रोटर एक त्रि-आयामी अवधारणा है जिसे विज़ुअलाइज़ेशन के लिए "चार-आयामी डबल घुमाव" या "स्टीरियोग्राफिक प्रोजेक्शन" के उपयोग की आवश्यकता नहीं होती है। 3 डी घुमावों की व्याख्या करने के लिए 4 डी में चलने वाले चतुष्कोणों की कल्पना करने की कोशिश एक भूस्थैतिक दृष्टिकोण से ग्रहों की गति को समझने की कोशिश की तरह है। यानी यह दृष्टिकोण बहुत जटिल है क्योंकि हम इसे गलत दृष्टिकोण से देखते हैं।

जैसा कि हमने देखा, वैक्टरों के बजाय, विमानों के अंदर घूमने के रूप में घूमने से हमें बहुत मदद मिलती है। उदाहरण के लिए, बेस बायवेक्टर के वर्ग देते हैं $$$-1$, मूल चतुर्भुजों की तरह ( $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ ^ = =$):

$$ $$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) ^ 2 = (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - (\ mathbf {y} \ mathbf {x}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - \ mathbf {y} (\ mathbf {x} \ mathbf {x}) \ mathbf {y} = - \ mathbf {y} \ mathbf { y} = -1$$

एक दूसरे के द्वारा दो बिवाइवर्स को गुणा करने से एक तीसरा बाइवेक्टर मिलता है, लेकिन वास्तव में यह तुच्छ है, और हमें यह याद रखने की आवश्यकता नहीं है कि $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$:

$$ $$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {y} \ mathbf {z}) = \ mathbf {x} (\ mathbf {y} \ mathbf {y} \ mathbf {z} = \ _} mathbf {x} \ mathbf {z}$$

(ध्यान दें कि हमने इस्तेमाल किया $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ mathbf {Y}$)

ये गुण एक ज्यामितीय उत्पाद का परिणाम हैं, और कहीं से भी उत्पन्न नहीं होते हैं!

अतिरिक्त पढ़ने

(वैसे, ज्यामितीय बीजगणित में न केवल रोटार हैं, बल्कि अन्य शांत चीजें भी हैं!)

• मैकडॉनल्ड द्वारा रैखिक और ज्यामितीय बीजगणित [ अमेज़न से लिंक ]
  
  एक उत्कृष्ट स्रोत, बहुत स्पष्ट और समझने योग्य, क्योंकि यह निहित था कि यह छात्रों के लिए रैखिक बीजगणित पाठ्यपुस्तक की जगह लेगा।
• डोरस्ट एट अल द्वारा कंप्यूटर विज्ञान के लिए ज्यामितीय बीजगणित। [ अमेज़न से लिंक करें ]
  
  एक महान स्रोत, क्योंकि कभी-कभी प्रोग्रामिंग आपको विषय को बेहतर ढंग से समझने की अनुमति देता है।

  नोट: इस पुस्तक में, लेखक यह स्पष्ट करते हैं कि ज्यामितीय बीजगणित चतुर्भुज (और इस तरह ...) की तुलना में धीमा है। वास्तव में, इसमें लगभग समान कोड होना चाहिए (यानी, आपको ज्यामितीय बीजगणित के लिए कोड नहीं लिखना चाहिए, एक सामान्यीकृत संरचना बनाना जिसमें सभी संभव प्रकार के k-vectors हो सकते हैं, बस लिख सकते हैं, यदि आवश्यक हो, प्रत्येक प्रकार के k-vectors के लिए एक संरचना है यही है, quaternions को बदलने के लिए, आप एक Bivector संरचना और एक Rotor संरचना, जो Scalar + Bivector) लिख सकते हैं।