🗝️ 👩‍❤️‍💋‍👩 👩🏾‍🌾 जूलिया और एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में एक चार्ज कण की गति 🕴🏽 🤯 🗾

हम उदाहरण के रूप में सबसे आम विकासवादी समीकरणों में से एक का उपयोग करके अंतर समीकरणों को हल करने और कल्पना करने के कौशल को मजबूत करते हैं, अच्छे पुराने सिलेब को याद करते हैं और समझने की कोशिश करते हैं कि क्या हमें इसकी आवश्यकता है ... कट तस्वीर के तहत (सात सौ के लिए किलोबाइट)

सुनिश्चित करें कि सॉफ़्टवेयर ताज़ा है

julia>] (v1.0) pkg>update #   (v1.0) pkg> status Status `C:\Users\\.julia\environments\v1.0\Project.toml` [537997a7] AbstractPlotting v0.9.0 [ad839575] Blink v0.8.1 [159f3aea] Cairo v0.5.6 [5ae59095] Colors v0.9.5 [8f4d0f93] Conda v1.1.1 [0c46a032] DifferentialEquations v5.3.1 [a1bb12fb] Electron v0.3.0 [5789e2e9] FileIO v1.0.2 [5752ebe1] GMT v0.5.0 [28b8d3ca] GR v0.35.0 [c91e804a] Gadfly v1.0.0+ #master (https://github.com/GiovineItalia/Gadfly.jl.git) [4c0ca9eb] Gtk v0.16.4 [a1b4810d] Hexagons v0.2.0 [7073ff75] IJulia v1.14.1+ [`C:\Users\\.julia\dev\IJulia`] [6218d12a] ImageMagick v0.7.1 [c601a237] Interact v0.9.0 [b964fa9f] LaTeXStrings v1.0.3 [ee78f7c6] Makie v0.9.0+ #master (https://github.com/JuliaPlots/Makie.jl.git) [7269a6da] MeshIO v0.3.1 [47be7bcc] ORCA v0.2.0 [58dd65bb] Plotly v0.2.0 [f0f68f2c] PlotlyJS v0.12.0+ #master (https://github.com/sglyon/PlotlyJS.jl.git) [91a5bcdd] Plots v0.21.0 [438e738f] PyCall v1.18.5 [d330b81b] PyPlot v2.6.3 [c4c386cf] Rsvg v0.2.2 [60ddc479] StatPlots v0.8.1 [b8865327] UnicodePlots v0.3.1 [0f1e0344] WebIO v0.4.2 [c2297ded] ZMQ v1.0.0

चलो पिछले गाइड के माध्यम से चलते हैं

और समस्या के बयान के लिए आगे बढ़ें

एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कणों की गति

आवेशित कण पर आवेशित $q$ गति के साथ EMF में आगे बढ़ रहा है $यू$ लोरेंत्ज़ बल कार्य करता है: $\ vec {F} _L = q \ left (\ vec {E} + \ left [\ vec {u} \ टाइम्स \ vec {B} \ right] \ right)$ । यह सूत्र कई सरलीकरणों के साथ मान्य है। सापेक्षता के सिद्धांत के सुधारों की उपेक्षा करते हुए, हम कण द्रव्यमान को स्थिर मानते हैं, इसलिए गति के समीकरण का रूप है: $\ frac {d} {dt} (m \ vec {u}) = q \ left (\ vec {E} + \ left [\ vec {u} \ टाइम्स \ vec {B} \ right] \ right)$

हमें विद्युत क्षेत्र के साथ Y अक्ष, चुंबकीय क्षेत्र के साथ Z अक्ष, और सादगी के लिए मान लें कि प्रारंभिक कण वेग XY विमान में निहित है। इस मामले में, कण के पूरे प्रक्षेपवक्र भी इस विमान में झूठ होंगे। गति के समीकरण रूप ले लेंगे:

$\ बाईं \ {\ _ शुरू करें {मैट्रिक्स} m \ ddot {x} = qB \ dot {y} \\ m \ ddot {y} = qE-qB \ dot {x} \ end {मैट्रिक्स} \ सही।$

Obezrazmerim: $x ^ * = \ frac {x} {\ lambda}, \, y ^ * = \ frac {y} {\ lambda}, \, \ tau = \ frac {ct} {\ _ lambda}, \ _, B ^ * = \ frac {Bmc} {q \ lambda}, \, E ^ * = \ frac {Emc ^ 2} {q \ lambda}$ । तारांकन आयामी मात्रा का संकेत देते हैं, और $\ lambda$ - माना भौतिक प्रणाली का चारित्रिक आकार। हम चुंबकीय क्षेत्र में आवेशित कण की गति के समीकरणों का एक आयामहीन सिस्टम प्राप्त करते हैं:

$\ बाईं \ {\ _ शुरू करें {मैट्रिक्स} \ frac {d ^ 2x} {d \ tau ^ 2} = B \ frac {dy} {d \ tau} \\ \ frac {d ^ 2y} {d \ tau ^ 2} = EB \ frac {dx} {d \ tau} \ end {मैट्रिक्स} \ right।$

चलो आदेश कम करें:

$\ बाईं \ {\ _ शुरू करें {मैट्रिक्स} \ frac {dx} {d \ tau} = U_x \\ \ frac {डाई} {d \ tau} = U_y \\ \ frac {dU_x} [d \ tau} = BU_y \\ \ frac {dU_y} {d \ tau} = E-BU_x \ end {मैट्रिक्स} \ सही।$

मॉडल के प्रारंभिक विन्यास के रूप में, हम चुनते हैं: $B = 2$ टेस्ला, $E = 5 \ cdot 10 ^ 4$ वी / एम $v_0 = 7 \ cdot 10 ^ 4$ एम / एस एक संख्यात्मक समाधान के लिए, हम डिफ़रेंशियल पैकेज का उपयोग करते हैं:

कोड और ग्राफिक्स

 using DifferentialEquations, Plots pyplot() M = 9.11e-31 # kg q = 1.6e-19 # C C = 3e8 # m/s λ = 1e-3 # m function modelsolver(Bo = 2., Eo = 5e4, vel = 7e4) B = Bo*q*λ / (M*C) E = Eo*q*λ / (M*C*C) vel /= C A = [0. 0. 1. 0.; 0. 0. 0. 1.; 0. 0. 0. B; 0. 0. -B 0.] syst(u,p,t) = A * u + [0.; 0.; 0.; E] # ODE system u0 = [0.0; 0.0; vel; 0.0] # start cond-ns tspan = (0.0, 6pi) # time period prob = ODEProblem(syst, u0, tspan) # problem to solve sol = solve(prob, Euler(), dt = 1e-4, save_idxs = [1, 2], timeseries_steps = 1000) end Solut = modelsolver() plot(Solut)

यहां हम यूलर विधि का उपयोग करते हैं, जिसके लिए चरणों की संख्या निर्दिष्ट है। इसके अलावा, उत्तर मैट्रिक्स में सिस्टम का पूरा समाधान नहीं बचा है, लेकिन केवल 1 और 2 सूचकांकों, अर्थात्, एक्स और खिलाड़ी के निर्देशांक (हमें गति की आवश्यकता नहीं है)।

 X = [Solut.u[i][1] for i in eachindex(Solut.u)] Y = [Solut.u[i][2] for i in eachindex(Solut.u)] plot(X, Y, xaxis=("X"), background_color=RGB(0.1, 0.1, 0.1)) title!(" ") yaxis!("Y") savefig("XY1.png")#

परिणाम की जाँच करें। हम x के बजाय एक नया चर पेश करते हैं $\ tilde {x} = x-ut$ । इस प्रकार, एक परिवर्तन एक्स अक्ष की दिशा में गति यू के साथ मूल के सापेक्ष एक नई समन्वय प्रणाली के लिए किया जाता है:

$\ छोड़ \ {\ शुरू {मैट्रिक्स} \ ddot {\ tilde {x}} = qB \ dot {y} / m \\ \ ddot {y} = qE / m-qB \ dot {x} / m -qBu} / m \ end {मैट्रिक्स} \ सही।$

यदि आप चुनते हैं $यू = ई / बी$ और निरूपित करें $\ _ ओमेगा = क्यूबी / एम$ , तो सिस्टम सरल हो जाएगा:

$\ बाईं \ {\ शुरू {मैट्रिक्स} \ ddot {\ tilde {x}} = \ omega \ dot {y} \\ \ ddot {y} = - \ omega \ dot {\ tilde {x} \ end {अंत { मैट्रिक्स} \ सही।$

विद्युत क्षेत्र अंतिम समानता से गायब हो गया है, और वे एक समान चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में एक कण की गति के समीकरण हैं। इस प्रकार, नए समन्वय प्रणाली (x, y) में कण एक सर्कल में बढ़ना चाहिए। चूंकि यह नई समन्वय प्रणाली स्वयं गति के साथ मूल के सापेक्ष चलती है $यू = ई / बी$ , तब परिणामी कण गति में X अक्ष के साथ एकसमान गति और XY समतल में चक्र के चारों ओर घूमना शामिल होगा। जैसा कि आप जानते हैं, इन दो आंदोलनों को एक साथ जोड़ने पर होने वाला प्रक्षेपवक्र आम तौर पर एक ट्रिचॉइड है । विशेष रूप से, यदि प्रारंभिक वेग शून्य है, तो इस तरह की गति का सबसे सरल मामला महसूस किया जाता है - साइक्लॉयड के साथ ।
हमें सुनिश्चित करें कि बहाव वेग वास्तव में E / V के बराबर है । ऐसा करने के लिए:

हम पहले तत्व (अधिकतम) के बजाय जानबूझकर कम मान सेट करके प्रतिक्रिया मैट्रिक्स को खराब कर देंगे
हम प्रतिक्रिया मैट्रिक्स के दूसरे कॉलम में अधिकतम तत्व की संख्या पाते हैं, जो कि ऑर्डिनेट द्वारा विलंबित है
हम इसी समय मान द्वारा अधिकतम एब्सिसा मूल्य को विभाजित करके आयाम रहित बहाव वेग की गणना करते हैं

 Y[1] = -0.1 numax = argmax( Y ) X[numax] / Solut.t[numax]

आउट: 8.334546850446588e-5

 B = 2*q*λ / (M*C) E = 5e4*q*λ / (M*C*C) E/B

आउट: 8.33333333333333332e-5
सातवें क्रम तक!
सुविधा के लिए, हम एक फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं जो मॉडल पैरामीटर और ग्राफ़ के हस्ताक्षर लेता है, जो प्रोजेक्ट फ़ोल्डर में बनाई गई पीएनजी फ़ाइल के नाम के रूप में भी काम करेगा (जूनो / एटम और जुपिटर में काम करता है)। गैडली के विपरीत, जहां ग्राफ़ परतों में बनाए गए थे और फिर प्लॉट () फ़ंक्शन द्वारा प्रदर्शित किए गए, प्लॉट्स में, एक फ्रेम में अलग-अलग ग्राफ़ बनाने के लिए, उनमें से पहला प्लॉट () फ़ंक्शन द्वारा बनाया गया है, और बाद वाले प्लॉट () का उपयोग करके जोड़े गए हैं। जूलिया में स्वीकृत वस्तुओं को बदलने वाले कार्यों के नाम एक विस्मयादिबोधक चिह्न के साथ समाप्त होने के लिए प्रथागत हैं।

 function plotter(ttle = "qwerty", Bo = 2, Eo = 4e4, vel = 7e4) Ans = modelsolver(Bo, Eo, vel) X = [Ans.u[i][1] for i in eachindex(Ans.u)] Y = [Ans.u[i][2] for i in eachindex(Ans.u)] plot!(X, Y) p = title!(ttle) savefig( p, ttle * ".png" ) end

शून्य प्रारंभिक गति से, जैसा कि अपेक्षित था, हम एक चक्रवात प्राप्त करते हैं:

 plot() plotter("Zero start velocity", 2, 4e4, 7e4)

हम कण के प्रक्षेपवक्र को प्राप्त करते हैं, जब प्रेरण, तीव्रता और जब चार्ज साइन बदलते हैं। मुझे आपको याद दिलाना है कि एक बिंदु का मतलब किसी फ़ंक्शन के अनुक्रमिक निष्पादन के साथ है

दूर ले जाया गया

 plot() plotter.("B   ", 0, [3e4 4e4 5e4 6e4] )

 plot() plotter.("E  B ", [1 2 3 4], 0 )

 q = -1.6e-19 # C plot() plotter.(" ")

और देखते हैं कि प्रारंभिक वेग में परिवर्तन कण के प्रक्षेपवक्र को कैसे प्रभावित करता है:

 plot() plotter.(" ", 2, 5e4, [2e4 4e4 6e4 8e4] )

सिलाब के बारे में थोड़ा

हैबे के बारे में सिलाब के बारे में पहले से ही पर्याप्त जानकारी है, उदाहरण के लिए 1 , 2 , और यहाँ ऑक्टेव के बारे में इसलिए हम खुद को विकिपीडिया और होम पेज से लिंक करेंगे।

अपने दम पर, मैं चेकबॉक्स, बटन और ग्राफ़ के साथ एक सुविधाजनक इंटरफ़ेस की उपस्थिति के बारे में जोड़ूंगा, और एक दिलचस्प Xcos दृश्य मॉडलिंग टूल। बाद का उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में सिग्नल का अनुकरण करने के लिए:

स्पॉइलर

और यहाँ एक बहुत ही सुविधाजनक गाइड है:

वास्तव में, हमारा कार्य सिलाब में भी हल किया जा सकता है:

कोड और चित्र

 clear function du = syst(t, u, A, E) du = A * u + [0; 0; 0; E] // ODE system endfunction function [tspan, U] = modelsolver(Bo, Eo, vel) B = Bo*q*lambda / (M*C) E = Eo*q*lambda / (M*C*C) vel = vel / C u0 = [0; 0; vel; 0] // start cond-ns t0 = 0.0 tspan = t0:0.1:6*%pi // time period A = [0 0 1 0; 0 0 0 1; 0 0 0 B; 0 0 -B 0] U = ode("rk", u0, t0, tspan, list(syst, A, E) ) endfunction M = 9.11e-31 // kg q = 1.6e-19 // C C = 3e8 // m/s lambda = 1e-3 // m [cron, Ans1] = modelsolver( 2, 5e4, 7e4 ) plot(cron, Ans1 ) xtitle ("   ","t","x, y, dx/dt, dy/dt"); legend ("x", "y", "Ux", "Uy"); scf(1)//    plot(Ans1(1, :), Ans1(2, :) ) xtitle (" ","x","y"); xs2png(0,'graf1');//       xs2jpg(1,'graf2');// ,  -

यहाँ ode diffurs को हल करने के लिए फ़ंक्शन पर जानकारी दी गई है । सिद्धांत रूप में, सवाल भीख माँगता है

हमें जूलिया की आवश्यकता क्यों है?

... अगर सिलाब, ऑक्टेव और नेम्पी, स्किपी जैसी अद्भुत चीजें हैं?
अंतिम दो के बारे में मैं यह नहीं कहूंगा - मैंने इसकी कोशिश नहीं की है। और सामान्य तौर पर यह प्रश्न जटिल है, तो आइए एक त्वरित जानकारी लें:

साइलैब
एक हार्ड ड्राइव पर यह 500 एमबी से थोड़ा अधिक लगेगा, यह जल्दी से शुरू होता है और तुरंत उपलब्ध अंतर गणना, ग्राफिक्स और बाकी सब कुछ होता है। शुरुआती लोगों के लिए अच्छा: एक उत्कृष्ट मार्गदर्शक (ज्यादातर स्थानीयकृत), रूसी में कई किताबें हैं। आंतरिक त्रुटियों के बारे में पहले से ही यहां और यहां कहा गया है , और चूंकि उत्पाद बहुत आला है, समुदाय सुस्त है, और अतिरिक्त मॉड्यूल बहुत दुर्लभ हैं।

जूलिया
जैसे ही पैकेज जोड़े जाते हैं (विशेष रूप से किसी भी अजगर-ए ला जुपिटर और मैथ्लोटलिब), यह 376 एमबी से बढ़कर छह गीगाबाइट से थोड़ा अधिक होता है। वह रैम को भी नहीं छोड़ता है: 132 एमबी की शुरुआत में और बृहस्पति में शेड्यूल की साजिश रचने के बाद, यह शांति से एक जीबी तक पहुंच जाएगा। यदि आप जूनो में काम करते हैं, तो सब कुछ लगभग साइलैब में है : आप दुभाषिया में कोड को तुरंत निष्पादित कर सकते हैं, आप बिल्ट-इन नोटपैड में प्रिंट कर सकते हैं और इसे एक फ़ाइल के रूप में सहेज सकते हैं, एक चर ब्राउज़र, एक कमांड लॉग और ऑनलाइन मदद है। व्यक्तिगत रूप से, मैं स्पष्ट () की कमी से नाराज हूं, अर्थात, मैंने कोड लॉन्च किया, फिर इसे सही करने और नाम बदलना शुरू कर दिया, और पुराने चर बने रहे (बृहस्पति में कोई चर ब्राउज़र नहीं है)।

लेकिन यह सब आलोचनात्मक नहीं है। पहले जोड़े के लिए सिलाब काफी उपयुक्त है, माथे, एक कर्सर, या बीच में कुछ की गणना करना एक बहुत ही कामचलाऊ उपकरण है। हालांकि समानांतर कंप्यूटिंग और कॉलिंग sishn / फोरट्रान फ़ंक्शन के लिए समर्थन भी है, जिसके लिए इसे गंभीरता से उपयोग नहीं किया जा सकता है। बड़ी सरणियाँ उसे भयभीत करती हैं, बहुआयामी लोगों को सेट करने के लिए, आपको सभी प्रकार के अश्लीलता से निपटना पड़ता है, और शास्त्रीय कार्यों के दायरे से परे गणना ओएस के साथ एक साथ सब कुछ छोड़ सकती है।

और इन सभी पीड़ाओं और निराशाओं के बाद, आप सुरक्षित रूप से जूलिया के यहाँ भी जा सकते हैं। हम अध्ययन करना जारी रखेंगे, समुदाय का लाभ बहुत ही संवेदनशील है, समस्याएं जल्दी से निपट जाती हैं, और जूलिया में कई और रोचक विशेषताएं हैं जो सीखने की प्रक्रिया को एक रोमांचक यात्रा में बदल देगी!

जूलिया और एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में एक चार्ज कण की गति

एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में आवेशित कणों की गति

सिलाब के बारे में थोड़ा

हमें जूलिया की आवश्यकता क्यों है?

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