ऐसे कई कार्य हैं जिनमें एक लंबे समय के संकेत को खंडों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक को अलग से संसाधित किया जाता है। विशेष रूप से, इस दृष्टिकोण का उपयोग संश्लेषण में खिड़की फूरियर रूपांतरण, या इसके विपरीत का उपयोग करके संकेत का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है; वर्णक्रमीय प्रसंस्करण के साथ-साथ शोर को हटाने, टेम्पो परिवर्तन, गैर-रैखिक फ़िल्टरिंग, ऑडियो डेटा संपीड़न और अन्य जैसे।

विभाजन की प्रक्रिया को गणितीय रूप से एक ऑफसेट के साथ कुछ वजन ( खिड़की ) फ़ंक्शन द्वारा गुणा द्वारा दर्शाया गया है। सरलतम विंडो के लिए - आयताकार - यह इस तरह दिख सकता है:

स्रोत संकेत:



विभाजन:







आप बस उन्हें जोड़कर मूल सिग्नल को पुनर्स्थापित कर सकते हैं।

अधिक जानकारी

हालाँकि द्वारा कई कारणों से, एक आयताकार फ़ंक्शन सबसे अच्छा विंडो फ़ंक्शन नहीं है। वर्णक्रमीय विश्लेषण में, (आमतौर पर तेजी से) फूरियर रूपांतरण को असतत करता है, विश्लेषण किया गया डेटा ब्लॉक "लूप" लगता है, जो किनारों पर अंतराल और स्पेक्ट्रम के विरूपण की ओर जाता है:



यह रिवर्स संश्लेषण के लिए भी उपयुक्त नहीं है - चूंकि किसी भी परिवर्तन से ब्रेक भी हो जाएगा - उदाहरण के लिए, अगर हम भागों में से एक को उलटने की कोशिश करते हैं:



इन कमियों को खत्म करने के लिए, ओवरलैप का उपयोग किया जाता है - जब प्रत्येक बाद की खिड़की पिछले एक से डेटा का हिस्सा कैप्चर करती है; और वजन खिड़की, क्रमशः, धीरे-धीरे किनारों पर गिर जाती है।

50% पर ओवरलैप

50% के ओवरलैप के साथ अक्सर वे हन्ना खिड़की ("उठाया कोसिन" के रूप में भी जाना जाता है) का उपयोग करते हैं:








इसके अलावा कोसाइन फ़ंक्शन की समरूपता के कारण, उन्हें एकता के लिए अभिव्यक्त किया गया है:



अब, रिवर्स संश्लेषण के साथ, हमें अंतराल नहीं मिलेगा - लेकिन केवल इस शर्त पर कि खिड़की की सीमाओं पर मान अभी भी शून्य हो जाएंगे। उदाहरण के लिए, जब किसी एक हिस्से को उलट दिया जाता है, तो चिकनाई का उल्लंघन नहीं किया जाएगा:

डबल ओवरले प्रसंस्करण

तेजी से फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) का उपयोग करके सिग्नल को संसाधित करने के लिए एल्गोरिथ्म पर अधिक विस्तार से विचार करें:

1. विंडो ओवरले के साथ खंडों में सिग्नल को विभाजित करना;
2. प्रत्यक्ष एफएफटी;
3. स्पेक्ट्रम प्रसंस्करण;
4. उलटा एफएफटी;
5. बार-बार विंडो ओवरले (क्योंकि रिवर्स एफएफटी के बाद, सीमाएं जरूरी नहीं कि बिना ब्रेक के डॉक हो जाए);
6. परिणामी खंडों का योग।

इसके अलावा, यदि स्पेक्ट्रम प्रसंस्करण नहीं किया जाता है, तो आउटपुट सिग्नल इनपुट सिग्नल के समान होना चाहिए (केवल अपरिहार्य समय देरी के साथ)।

हनी विंडो का उपयोग करते समय, 50% का ओवरलैपिंग अब पर्याप्त नहीं है, जैसा कि डिप्स होगा:



चूंकि डबल ओवरलैपिंग स्क्वैरिंग के लिए समान है, इसलिए स्पष्ट समाधान होगा कि हनो विंडो की जड़ का उपयोग स्क्वेरिंग की भरपाई के लिए किया जाए:



इस मामले में, हालांकि, खिड़की किनारों पर चिकनी होना बंद हो गई - पहले व्युत्पन्न में एक अंतर दिखाई दिया।


आप दूसरे तरीके से जा सकते हैं - 75% के ओवरलैप का उपयोग करें, और फिर खिड़कियां भी एक स्थिर में अभिव्यक्त होंगी - केवल अंदर नहीं $$$1$ , और में $$$\ frac {3} {2}$ :



इस मामले में, हम सिर्फ भाग्यशाली थे। यदि हम योग में वर्ग का विस्तार करते हैं, तो हम देख सकते हैं कि यह दो हन्ना खिड़कियों की एक रचना है, लेकिन विभिन्न पैमानों पर, जो हमें उन आवश्यकताओं को पूरा करने की अनुमति देता है जिनकी हमें आवश्यकता है:

$$

$$\ बाएँ (\ frac {\ cos (2 \ pi x) +1} {2} \ दाएँ) ^ 2 = \ frac {\ cos (2 \ pi x) +1} {2} + \ frac {\ cos (4 \ pi x) -1} {8}$$

अन्य विंडो फ़ंक्शन के साथ, ऐसी चाल काम नहीं करेगी; साथ ही, सभी मानक विंडो फ़ंक्शंस 50% ओवरलैप पर भी एक निरंतरता में समन प्रदान नहीं कर सकते हैं।

विचार

हम हन्न खिड़की को एक स्वतंत्र कार्य के रूप में नहीं मान सकते हैं, लेकिन एक ऑफसेट के साथ दो टुकड़ा करने योग्य निरंतर कार्यों (एक अलग लेख उनके बारे में विस्तृत चर्चा के लिए समर्पित) के बीच अंतर था। उदाहरण के लिए, निम्न फ़ंक्शन का उपयोग करना

$$

$$\ बाईं \ {\ _ शुरू {सरणी} {ll} -1 & x \ leqslant -1 \\ 1 & x \ geqslant 1 \\ \ sin \ left (\ frac {\ pi x} {2} \ right) & # -1 <x <1 \\ \ अंत {सरणी} \ सही$$

लिख सकते हैं

$$

$$f (x + 1) -f (x-1)$$

ऐसी दो खिड़कियों के योग के घटकों पर विचार करने के बाद, एक स्थिर में संक्षेप करने की उनकी क्षमता अधिक दृश्य हो जाएगी:



खंड पर $$$[0,2]$ हमें कार्यों के अलावा पारस्परिक मुआवजा मिला $$$-f (x-1)$ और $$$f ((x + 1) -2)$ क्योंकि $$$f ((x + 1) -2) = f (x-1)$

आप उदाहरण के लिए, अधिक ओवरलैप के साथ एक और ऑफसेट चुन सकते हैं:

$$

$$f \ left (x + \ frac {1} {2} \ right) -f \ बाएँ (x- \ frac {1} {2} \ right)$$

और फिर, जब चरणों में स्थानांतरण $$$\ frac {1} {2}$ , वे भी एक निरंतर में अभिव्यक्त होंगे:



यह देखा जा सकता है कि यदि आप विंडो फ़ंक्शन के घटकों को पुनर्व्यवस्थित करते हैं, तो आपको वही हनी विंडो मिलती है।

इस प्रकार, विभिन्न प्रतिबंध कार्यों का उपयोग करके, आवश्यक आकार की खिड़कियां बनाना संभव है।

अंतिम सूत्र

अब यह केवल पैमाना तय करने के लिए रह गया है ताकि परिभाषा क्षेत्र और मूल्य ओवरलैप की मात्रा पर निर्भर न हों। एक अंतराल पर एक खिड़की को परिभाषित करना $$$[0,1]$ हमें मिलता है

$$

$$\ frac {f \ left (\ frac {2 tx} {t-1} -1 \ right) -f \ left (\ frac {2 t (x-1)} {t-1} +1 \ right) } {2}$$

जहाँ $$$च$ - फॉर्म का टुकड़ावार निरंतर कार्य

$$

$$\ बाईं \ {\ _ शुरू {सरणी} {ll} -1 & x \ leqslant -1 \\ 1 & x \ geqslant 1 \\ g (x) & -1 <x <1 \\ \ end {सरणी} \ सही है।$$

और $$$जी$ - बिंदुओं के बीच कुछ प्रक्षेप समारोह $$$(- 1, -1)$ और $$$(1,1)$ ।

पैरामीटर $$$टी$ ओवरलैप का स्तर निर्धारित करता है - एक विभक्त जो उस चरण को निर्धारित करता है जिसके द्वारा प्रत्येक अगली विंडो को स्थानांतरित किया जाना चाहिए, $$$x_ {n + 1} = x_n + \ frac {1} {t}$ , और एक से अधिक होना चाहिए, $$$t> 1$ ।

ओवरलैप प्रतिशत $$$पी$ सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है

$$

$$p = \ frac {100 (t-1)} {t}$$

और इसके विपरीत

$$

$$t = \ frac {100} {100-p}$$

खिड़की की अंतिम उपस्थिति ओवरलैप के स्तर और सीमित कार्य की पसंद दोनों पर निर्भर करेगी।

कुछ दिलचस्प उदाहरण

यहां हम कुछ तैयार किए गए समाधानों को देखेंगे, जिसके लिए सब कुछ शुरू किया गया था। सादगी के लिए, हम एक सरल प्रक्षेप कार्य पर विचार करते हैं $$$g (x)$ , किसी भी अन्य दीर्घकाय के बिना।

बहुपत्नी खिड़कियाँ

वे कम से कम कम्प्यूटेशनल रूप से महंगे हैं। पहले से प्राप्त सूत्र का उपयोग करना

$$

$$\ frac {2 x \ Gamma \ left (n + \ frac {1} {2} \ right) \, _2F_1 \ left (\ frac {1} {2}, 1-n; \ frac {3} / 2}; ; x ^ 2 \ सही)} {\ sqrt {\ pi} \ Gamma (n)}$$

हम उच्च व्युत्पन्न पर शून्य की एक दी गई संख्या के साथ एक बहुपद प्राप्त करते हैं जो किनारों पर खिड़की की आवश्यक चिकनाई प्रदान करते हैं।


N के विभिन्न मूल्यों के साथ खिड़कियों में 75% के ओवरलैप के साथ, खिड़कियां इस तरह दिखेंगी:



और रूट निष्कर्षण के मामले में - इस तरह (75% ओवरलैप का उपयोग करते समय):



या तो (50% ओवरलैप का उपयोग करते समय):

सबसे चिकनी खिड़की

समारोह

$$

$$\ tanh \ left (\ frac {k x} {\ sqrt {1-x ^ 2}} \ right)$$

यह दिलचस्प है कि यह असीम रूप से भिन्न है और किनारों पर इसके सभी डेरिवेटिव 0 हैं (जो कि भेदभाव नियमों के आधार पर इसके डेरिवेटिव पर विचार करके साबित किया जा सकता है - प्रत्येक शब्द में एक शून्य कारक होगा)। यह हमें इसके आधार पर खिड़कियां बनाने की अनुमति देता है, जिनके सभी डेरिवेटिव्स में कोई अंतराल नहीं है:

विंडो दृश्य "स्कर्ट"

इस प्रकार की खिड़की की आवश्यकता एफएफटी रिज़ॉल्यूशन को बढ़ाने के कारण होती है, लेकिन केंद्र में उनकी एकाग्रता को बढ़ाकर उच्च आवृत्तियों पर "समय-आवृत्ति अनिश्चितता" के प्रभाव को कम करती है।

सबसे पहले, हम वांछित प्रकार के विंडो फ़ंक्शन का निर्धारण करते हैं - उदाहरण के लिए, निम्नानुसार है:

$$

$$- \ log \ left (k ^ 2 x ^ 2 + 1 \ right) + \ log \ left (k ^ 2 + 1 \ right) - \ frac {k ^ 2 \ बाईं (1-x ^ 2 \ right) } {k ^ 2 + 1}$$

यहां, पहला शब्द स्वयं फ़ंक्शन का रूप निर्धारित करता है, दूसरा - एब्सिस्सा अक्ष के साथ चौराहे प्रदान करता है, तीसरा (परबोला) चिकनी डॉकिंग के लिए किनारों पर व्युत्पन्न को रीसेट करता है; और पैरामीटर $$$k$ शिखर के "तीखेपन" को परिभाषित करता है। इस रूप में, यह अभी तक उपयोग के लिए उपयुक्त नहीं है - पहले आपको एकीकरण और स्केलिंग के माध्यम से प्रतिबंध समारोह प्राप्त करने की आवश्यकता है:

$$

$$\ frac {kx \ left (k ^ 2 \ बाएँ (x ^ 2 + 3 \ दाएँ) +6 \ दाएँ) +3 \ बाएँ (k ^ 2 + 1 \ दाएँ) \ बाएँ (kx \ बाएँ (\ log \) बाएँ (k ^ 2 + 1 \ दाएँ) - \ log \ बाएँ (k ^ 2 x ^ 2 + 1 \ दाएँ) \ दाएँ) -2 \ tan ^ {- 1} (kx) \ दाएँ)} {4 k ^ 3-6 \ बाएँ (k ^ 2 + 1 \ right) \ tan ^ {- 1} (k) +6 k}$$

सुविधा के लिए, आप पैरामीटर को बांध सकते हैं $$$k$ ओवरलैप के स्तर पर $$$टी$ - उदाहरण के लिए, ताकि खिड़की के केंद्र में 4 व्युत्पन्न 0 है - और फिर $$$k$ के रूप में माना जाएगा $$$\ sqrt {3} (टी -1)$ :



यहां, स्पष्टता के लिए, सभी खिड़कियां समान पैमाने पर कम हो जाती हैं।

सुई दृश्य खिड़की

यह पिछली विंडो का अधिक "आक्रामक" संस्करण है। एक हाइपरबोले को आधार के रूप में चुना गया था, जिसमें से, क्रमिक परिवर्तनों के माध्यम से

$$

$$\ frac {1} {x} \ to \ frac {1} {\ sqrt {x ^ 2}} \ to \ frac {1} {\ sqrt {x ^ 2 + 1}} \ to \ frac {1} {\ sqrt {k ^ 2 x ^ 2 + 1}} \ to \ frac {\ left (1-x ^ 2 \ right) ^ 2} {\ sqrt {k ^ 2 x ^ 2 + 1}}$$

और एकीकरण और स्केलिंग के रूप में समान चरणों का उपयोग करने से सूत्र मिला

$$

$$\ frac {kx \ left (2 k ^ 2 \ बाएँ (x ^ 2-4 \ दाएँ) -3 \ दाएँ) \ sqrt {k ^ 2 x ^ 2 + 1} + \ बाएँ (8 \ बाएँ (k ^) 4 + k ^ 2 \ दाएँ) +3 \ दाएँ) \ sinh ^ {- 1} (kx)} {\ बाएँ (8 \ बाएँ (k ^ 4 + k ^ 2 \ दाएँ) +3 \ दाएँ) \ sinh ^ {-1} (k) -3 k \ sqrt {k ^ 2 + 1} \ left (2 k ^ 2 + 1 \ right)}$$

यहां आप पैरामीटर को बांध भी सकते हैं $$$k$ ओवरलैप के स्तर पर। 4 डी व्युत्पन्न के समीकरण का सीधा समाधान एक बोझिल परिणाम देता है, इसलिए छवि में पिछली खिड़की के लिए छवि बनाएं और परिभाषित करके समानता $$$k$ कैसे $$$k (t-1)$ इस प्रकार पैरामीटर की भूमिका सुनिश्चित करता है $$$k$ "ठीक ट्यूनिंग" के रूप में। पर $$$k = 2.22$ खिड़कियां इस तरह दिखेंगी:

असममित खिड़की

विंडो फ़ंक्शन को सममित नहीं होना चाहिए। मान लें कि हमें एक तेज हमले और चिकनी क्षीणन के साथ एक खिड़की की आवश्यकता है। हम इसे पहले से ही परिचित योजना के अनुसार प्राप्त कर सकते हैं - पहले फ़ंक्शन के वांछित रूप का निर्धारण करें, और फिर एकीकरण द्वारा हम प्रतिबंध फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं। यहां यह कार्य इस तथ्य के कारण थोड़ा अधिक जटिल है कि, विषमता के कारण, केंद्र अब मूल से नहीं गुजरेगा, इसलिए एक अतिरिक्त गणना कदम जोड़ा जाता है। यह इस तथ्य की ओर भी जाता है कि परिणामस्वरूप सूत्र अधिक बोझिल होते हैं। उदाहरण के लिए, सबसे सरल विकल्प पर विचार करें - एक बहुपद एक बहुपद भार खिड़की से गुणा करता है:

$$

$$(1-x) ^ 2 \ बाएँ (1-x ^ {10} \ दाएँ) ^ 2$$

यहाँ, भारित विंडो में x की डिग्री (अर्थात 10) हमले के "तेज" को निर्धारित करती है। हमने प्रतीकात्मक पैरामीटर के बजाय एक विशिष्ट मान का उपयोग किया, स्पष्टता के लिए सूत्रों को सरल बनाने के लिए - यदि आप चाहें, तो आप इसे बाद में पुनर्गणना कर सकते हैं।

एकीकरण के बाद, बस स्केलिंग पर्याप्त नहीं है - आपको अभी भी किनारों को संरेखित करने की आवश्यकता है:



ऐसा करने के लिए, हम पहले बाएं किनारे को संरेखित करने के लिए फ़ंक्शन को शिफ्ट करते हैं, और फिर दाएं किनारे पर दो को स्केल करते हैं और एक को घटाते हैं। तब हमें निम्नलिखित सूत्र मिलते हैं:

$$

$$\ frac {8775 \ बाएँ (\ frac {x ^ {27}} {27} - \ frac {2 x ^ {26}} {26} + \ frac {x ^ {25}} {25} - \ frac {2 x ^ {15}} {15} + \ frac {4 x ^ {14}} {14} - \ frac {2 x ^ {13}} {13} + \ frac {x ^ 3} {3} -x ^ 2 + x + \ frac {117592} {61425} (दाएं)} {9856} -1$$

अंतिम विंडो के लिए वांछित उपस्थिति के लिए, ओवरलैप का पर्याप्त बड़े स्तर पर प्रदान करना भी आवश्यक है:

निष्कर्ष

इसी तरह, आप किसी अन्य घंटी के आकार के कार्यों से खिड़कियां बना सकते हैं - उदाहरण के लिए, गाऊसी; और आप उन लोगों को भी संशोधित कर सकते हैं जो पहले से अधिक चिकनाई प्रदान करते हैं या वक्र के आकार को बदलते हैं।

विचार से बाहर, इस तरह के खिड़की कार्यों की वर्णक्रमीय रचना बनी रही - अलग अध्ययन को इसके लिए समर्पित होना चाहिए।

वुल्फराम मैथमेटिका दस्तावेज़ के रूप में लेख का थोड़ा और उन्नत संस्करण (विचाराधीन और छिपे हुए फ़ार्मुलों के तहत खिड़कियों में मापदंडों को गतिशील रूप से बदलने की क्षमता के साथ) डाउनलोड किया जा सकता है ।