अगर कोई ठोस सबूत नहीं है तो क्या सबूत गणितज्ञों को मना सकते हैं?

नया सांख्यिकीय मॉडल संख्या सिद्धांत से लंबे समय से स्वीकृत मान्यताओं को कमजोर करता है। यदि आप केवल कठोर सबूत वास्तव में मायने रखते हैं तो आप उस पर कितना भरोसा कर सकते हैं?

अण्डाकार वक्र y ² = x ³ - 4x + 1 पर कौन से बिंदु तर्कसंगत हैं? उन्हें खोजने के लिए, आपको तर्कसंगत बिंदुओं के जोड़े के माध्यम से लाइनें खींचने की आवश्यकता है। वे सभी बिंदु जहाँ से होकर गुजरती हैं, वे भी तर्कसंगत होंगे।

हाल ही में, चार शोधकर्ता एक ऐसे मॉडल के साथ आए हैं जो अनुसंधान के अपने क्षेत्र के पूरे सामान्य ज्ञान को उलट देता है। उन्होंने यह सुझाव देने के लिए कम्प्यूटेशनल डेटा का उपयोग किया कि प्रचलित मौलिक अवधारणाओं में से कई दशकों के दृश्य गलत थे।

और ये जीवविज्ञानी, मौसम विज्ञानी या भौतिक विज्ञानी नहीं हैं। उनके वैज्ञानिक क्षेत्र में, अनुभवजन्य मॉडल में सच्चाई के संबंध में एक कहावत नहीं है। वे गणितज्ञ हैं, अनुशासन के प्रतिनिधि हैं, जिनकी मानक मुद्रा - एक निर्विवाद तार्किक प्रमाण - आमतौर पर उन्हें उन विवादों से बचाता है जो अन्य क्षेत्रों को प्रभावित करते हैं। और फिर भी यहां वे अपने मॉडल के साथ कह रहे हैं कि शायद यह लंबे समय से आयोजित विचारों में से कुछ को संशोधित करने का समय है।

2016 में ऑनलाइन प्रकाशित एक मॉडल और यूरोपियन मैथमेटिकल सोसाइटी के जर्नल में छपने के लिए तैयार एक बीजीय समीकरण के रैंक के रूप में इस तरह के एक आदरणीय गणितीय अवधारणा से संबंधित है। रैंक एक उपाय है जो समीकरण के कितने समाधान तर्कसंगत संख्याओं से संबंधित है, और जो तर्कहीन हैं। उच्च रैंक के समीकरणों में अधिक तर्कसंगत समाधान होते हैं और अधिक जटिल होते हैं।

20 वीं शताब्दी की शुरुआत से, गणितज्ञ इस सवाल में रुचि रखते हैं कि क्या समीकरण के रैंक की ऊंचाई पर प्रतिबंध हैं। सबसे पहले, लगभग सभी ने सोचा कि प्रतिबंध मौजूद होना चाहिए। लेकिन 1970 के दशक तक, प्रचलित राय बदल गई थी - अधिकांश गणितज्ञों ने यह मानना ​​शुरू कर दिया था कि रैंक असीमित था, जिसका अर्थ है कि असीम रूप से बड़े रैंकों के साथ घटता का पता लगाना संभव है। तो ऐसा हुआ, हालांकि कुछ गणितज्ञों का मानना ​​था कि इस राय के समर्थन में कोई मजबूत तर्क नहीं थे।

“प्रतिबंधों की अनुपस्थिति के बारे में लोग बहुत अधिक सत्तावादी हैं। हालांकि, जब आप समझना शुरू करते हैं, तो यह पता चलता है कि इसके लिए सबूत बेहद कमजोर हैं, ” एंड्रयू ग्रानविले ने कहा, मॉन्ट्रियल विश्वविद्यालय और यूनिवर्सिटी कॉलेज लंदन के गणितज्ञ।

आज, सबूत अन्यथा का सुझाव देते हैं। मॉडल की उपस्थिति के दो साल बाद, उसने कई गणितज्ञों को आश्वस्त किया कि एक निश्चित प्रकार के बीजीय समीकरणों की रैंक वास्तव में सीमित थी। हालांकि, सभी को नहीं लगता कि यह मॉडल कायल है। समझौते का अभाव उन सवालों को उठाता है जो अक्सर गणितीय परिणामों से संबंधित नहीं होते हैं - क्या वजन अनुभवजन्य साक्ष्य एक ऐसे क्षेत्र में हो सकता है जिसमें केवल कठोर सबूत मायने रखता है?

"कोई गणितीय औचित्य नहीं है कि यह मॉडल वही है जो हमें चाहिए," काम के सह-लेखक ओहियो विश्वविद्यालय के गणितज्ञ जेनिफर पार्क ने कहा। "इसके अलावा, एक प्रयोगात्मक दृष्टिकोण से, बहुत सारी चीजें काम करती हैं।"

इंगित करने के लिए बिंदु

यदि आपको एक समीकरण दिया जाता है, तो आप ग्राफ पर इसके समाधानों का एक वक्र बना सकते हैं। गणितज्ञ जानना चाहते हैं कि इनमें से कितने समाधान तर्कसंगत हैं - वे संख्याओं के प्रकार से संबंधित हैं, जिन्हें दो पूर्णांक (1/2, -3 या 4483/929) के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

तर्कसंगत समाधान व्यवस्थित रूप से ढूंढना कठिन है, लेकिन गणितज्ञों के पास ऐसी तकनीकें हैं जो कुछ शर्तों के तहत काम करती हैं। समीकरण x ² + y ² = 1. को लीजिए, इस समीकरण के हल का ग्राफ एक वृत्त है। सर्कल के सभी तर्कसंगत बिंदुओं को खोजने के लिए, हम एक निश्चित समाधान के साथ शुरू करते हैं - मान लीजिए कि उस बिंदु से, जिस पर x = 1 और y = 0 है। फिर इस बिंदु के माध्यम से एक रेखा खींचें जो एक दूसरे बिंदु पर सर्कल को काटती है। यदि हमारी रेखा का ढलान तर्कसंगत है, तो दूसरा चौराहा बिंदु भी एक तर्कसंगत समाधान होगा। एक रेखा खींचकर, हमने तर्कसंगत निर्णयों की संख्या एक से दो कर दी।



और वहां रुकने की कोई जरूरत नहीं है। हम दूसरी तर्कसंगत बिंदु के माध्यम से एक और तर्कसंगत ढलान के साथ एक सीधी रेखा खींचकर प्रक्रिया को दोहराते हैं - यह तीसरे तर्कसंगत बिंदु पर सर्कल को काटता है। अनंत तक इस तरह से जारी रखते हुए, हम अंततः सर्कल के सभी तर्कसंगत बिंदुओं को पाएंगे, जिनमें से एक अनंत संख्या है।

और एक सर्कल के मामले में, आपको केवल एक बिंदु से शुरू करने की आवश्यकता है, और आप उन सभी को पा सकते हैं। सभी अन्य लोगों को खोजने के लिए शुरुआत में आपको जितने तर्कसंगत निर्णय लेने की आवश्यकता होती है, उन्हें वक्र की रैंक के रूप में जाना जाता है। एक एकल संख्या में तर्कसंगत निर्णयों के अनंत सेट का वर्णन करने के लिए रैंक एक साफ तरीका है। "यह इन वक्रों के तर्कसंगत समाधान का वर्णन करने का सबसे अच्छा तरीका है," MIT में एक गणितज्ञ, ब्योर्न पुएन , पार्क के साथ मॉडल के सह-लेखक, डार्टमाउथ कॉलेज के जॉन वोइट और यूनिवर्सिटी ऑफ विस्कॉन्सिन के मेलानी मैकटेट वुड ने कहा।

एक वृत्त द्विघात समीकरण है, या दूसरी डिग्री का एक समीकरण ("डिग्री" का अर्थ है समीकरण की शर्तों के सबसे बड़े अंश का परिमाण)। सौ से अधिक वर्षों के लिए, गणितज्ञों ने जाना कि दूसरी डिग्री के समीकरणों के लिए तर्कसंगत समाधान कैसे प्राप्त करें।

अगले प्रकार के समीकरण अण्डाकार वक्र हैं, जिसमें तीसरे डिग्री तक उठाए गए चर हैं। गणितीय अनुसंधान के सबसे आकर्षक क्षेत्र में अण्डाकार वक्र मौजूद हैं। वे दूसरे क्रम के समीकरणों की तुलना में अधिक जटिल हैं, इसलिए वे अध्ययन के लिए दिलचस्प हैं, लेकिन वे बहुत जटिल नहीं हैं। सीधी रेखाएँ खींचने की परिवर्तित प्रक्रिया अभी भी अण्डाकार वक्रों पर लागू होती है, लेकिन चौथे क्रम और उच्चतर के समीकरणों के साथ काम करना बंद कर देती है।

अण्डाकार वक्र विभिन्न रैंकों में आते हैं। कुछ अण्डाकार घटता के साथ, आप एक तर्कसंगत बिंदु से शुरू कर सकते हैं, ड्राइंग लाइनों की प्रक्रिया को लागू कर सकते हैं और सभी तर्कसंगत समाधान नहीं ढूंढ सकते हैं। आपको दूसरा तर्कसंगत बिंदु जोड़ने की आवश्यकता हो सकती है जो पहले से संबंधित नहीं है। इसके साथ, आप लाइनों को खींचने के लिए एक नई प्रक्रिया शुरू करेंगे, और आपको तर्कसंगत बिंदुओं का संतुलन मिलेगा। एक वक्र, जिसके सभी तर्कसंगत बिंदुओं को जानने के लिए आपको शुरू में दो तर्कसंगत बिंदुओं को जानना होगा, दो के बराबर रैंक है।

अण्डाकार वक्र की रैंक की ऊंचाई पर कोई सिद्ध प्रतिबंध नहीं है। समीकरण के उच्च पद, व्यापक और अधिक जटिल वक्र के तर्कसंगत समाधान का सेट। "रैंक किसी भी तरह से निर्णयों के सेट की जटिलता को मापता है," पुनेन ने कहा।

फिर भी, रैंक गणितज्ञों द्वारा इसे सिद्धांत में वर्णित करने के प्रयासों को समाप्त कर देता है। यदि आपको अण्डाकार वक्र दिया जाता है, तो इसके बीच कोई स्पष्ट संबंध नहीं होगा कि यह कैसा दिखता है और इसकी रैंक क्या है। "अगर मेरे पास एक अण्डाकार वक्र है, और मैं गुणांक को थोड़ा समायोजित करता हूं, तो इसकी रैंक मौलिक रूप से बदल जाती है," पार्क ने कहा। - आप एक से गुणांक को बदल सकते हैं, और रैंक एक मिलियन में कूद जाएगा। कोई नहीं जानता कि रैंक कैसे व्यवहार करता है। ”

एक सामान्य सिद्धांत की कमी ने गणितज्ञों को सबूत के छोटे सेट को पीछे हटाने के लिए प्रेरित किया, जो कि रैंक पर प्रतिबंध के अस्तित्व पर अटकल लगाने के लिए उनके पास है। "देखने की बात यह है कि रैंक पर कोई प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि लोग हर समय अधिक से अधिक उच्च रैंक पाते हैं," ग्रैनविले ने कहा। वर्तमान रिकॉर्ड धारक रैंक 28 का एक अण्डाकार वक्र है, जिसे 2006 में हार्वर्ड विश्वविद्यालय के गणितज्ञ नोआम एल्किस द्वारा खोजा गया था।

लेकिन फिर यह नया मॉडल दिखाई दिया, और कहा कि यह लगभग निश्चित रूप से सड़क का अंत था।

लगभग 21 पर आश्चर्य

प्रत्यक्ष अनुसंधान के लिए बहुत जटिल या दुर्गम होने वाली घटनाओं का अध्ययन करने के लिए, वैज्ञानिक मॉडल का उपयोग करते हैं। प्रयोगशाला में एक ब्लैक होल का एक एनालॉग बनाने के बाद, वे इस घटना क्षितिज के किनारे पर चलने के बिना, वास्तविक ब्लैक होल कैसे व्यवहार करते हैं, इसके बारे में कुछ जानने में सक्षम हो सकते हैं।

गणितज्ञ ऐसा ही करते हैं। एक अच्छा उदाहरण primes का अध्ययन है। गणितज्ञ जुड़वाँ बच्चों के बारे में सवाल का जवाब जानना चाहते हैं - क्या 2 (3 और 5, 11 और 13) से भिन्न होने वाले जोड़े की अनंत संख्या है। एक विस्तृत उत्तर उनके ज्ञान से परे हो जाता है, लेकिन उन्होंने ऐसे मॉडल बनाए जो जुड़वाँ संख्याओं की आवृत्ति की भविष्यवाणी करते हैं - और उत्तर ऐसा लगता है कि वे अनंत बार घटित होते हैं।

नया मॉडल स्वयं अण्डाकार वक्रों का सीधे अध्ययन नहीं करता है। वह मैट्रिक्स कोर के रूप में ऐसी गणितीय वस्तु की खोज करता है। नाभिक अण्डाकार वक्रों को संदर्भित करता है, जैसे लोगों को चूहे समान चीज नहीं हैं, लेकिन वे अध्ययन करने में आसान हैं, और यह आशा की जाती है कि वे दूसरों के प्रयोगों के आधार पर कुछ के बारे में निष्कर्ष निकालने के लिए पर्याप्त हैं। विशेष रूप से, गुठली के पास रैंक का अपना संस्करण है। नाभिक के रैंक के वितरण का अध्ययन करने के बाद - कितने नाभिकों की संख्या 1 है, कितने नाभिकों की रैंक 2 है, और इसी तरह - चार गणितज्ञों ने अंडाकार घटता के रैंक के वितरण का एक विचार प्राप्त करने की उम्मीद की। वास्तव में, वे शर्त लगाते हैं कि नाभिक और अण्डाकार वक्रों के रैंकों का वितरण एक दूसरे के समान है।


जेनिफर पार्क, ब्योर्न पुनेन और मेलानी वुड

"विश्वास की छलांग खेल में आती है," पार्क ने कहा। "हम आशा करते हैं कि शायद गणितीय वस्तुओं का एक और सेट है जो बहुत अधिक समझ में आता है और एक ही रैंक वितरण के रूप में दीर्घवृत्तीय गुच्छे हैं।"

जब चार शोधकर्ताओं ने यह काम किया, तो अधिकांश गणितज्ञों ने रैंक को असीमित माना। हालांकि, मॉडल ने एक अलग कहानी बताई। वह कहती है कि 21 से अधिक की रैंक के साथ केवल अण्डाकार वक्रों की एक परिमित संख्या है। और यदि उनमें से एक परिमित संख्या है, तो उनमें से एक में उच्चतम रैंक होगी - जिसका अर्थ होगा कि रैंक में अभी भी ऊपरी सीमा है। जब चार गणितज्ञों ने यह देखा, तो उन्होंने महसूस किया कि उनके हाथों में एक जीवित परिणाम था।

वुड ने कहा, "यह भविष्यवाणी किसी से मेल नहीं खाती, जिसमें सभी को विश्वास था कि कम से कम वे सार्वजनिक रूप से क्या स्वीकार करते हैं।" "किसी को भी विश्वास नहीं था कि रैंक एक सीमा हो सकती है।"

यदि मॉडल में विश्वास के बजाय एक गंभीर कदम की आवश्यकता होती है, तो जब मॉडल रिपोर्ट करता है कि सामान्य ज्ञान गलत था, तो एक भी बड़े कदम की आवश्यकता है। हालांकि, इस परिणाम के पक्ष में काफी सारे सबूत बोलते हैं। यह मॉडल अन्य गणितज्ञों द्वारा बनाए गए पिछले मॉडल पर आधारित है जिन्होंने अण्डाकार वक्रों के विभिन्न गुणों का अध्ययन किया है। उन मॉडलों ने समय की कसौटी पर खड़ा किया है; इनमें से कुछ भविष्यवाणियां भी साबित हुई हैं।

"किसी ने भी खरोंच से शुरू करने और एक नया मॉडल बनाने का सुझाव नहीं दिया," वुड ने कहा। "सवाल यह था कि मौजूदा मॉडल को कैसे समृद्ध किया जाए जो लोग पहले से ही मानते हैं।"

मॉडल पर विश्वास करने का एक अन्य कारण यह था कि 21 का रैंक मूल्य किसी भी मनमाने ढंग से सीमा नहीं लगता है। दस साल पहले, ग्रानविले ने एक और मॉडल बनाया था, जिसमें से यह भी कहा गया था कि 21 से अधिक रैंक के साथ केवल अण्डाकार वक्रों की एक सीमित संख्या होनी चाहिए। ग्रानविले मॉडल वर्तमान में एक समान नहीं था - और यह तथ्य कि दोनों ने रैंक 21 को महत्वपूर्ण माना था। कई गणितज्ञों के दृष्टिकोण से एक साधारण संयोग के विपरीत।

"हमारे पास दो पूरी तरह से अलग-अलग हेयुरिस्टिक मॉडल हैं और दोनों ने एक ही नंबर दिया, 21 - इसने लोगों को आश्चर्यचकित किया," पार्क ने कहा।

शायद सबसे ठोस कारण यह है कि मॉडल विश्वसनीय लगता है तथ्य यह था कि इसकी अन्य भविष्यवाणियां लगभग अण्डाकार वक्रों के सिद्ध गुणों से मेल खाती थीं। मॉडल का सामान्यीकृत निष्कर्ष - 21 से अधिक की रैंक के साथ अण्डाकार घटता की एक परिमित संख्या का अस्तित्व - सभी अण्डाकार घटता पर लागू होता है। हालांकि, उनके कुछ परिवार हैं, जिनमें से कई गणितज्ञों ने पहले से ही रैंकों की सीमाओं का निर्धारण किया है। मॉडल ने इन परिवारों में से कई के लिए रैंक मूल्यों की भी भविष्यवाणी की थी, और इसकी भविष्यवाणियां समान थीं, या यहां तक ​​कि उन सीमाओं के साथ मेल खाती थीं जो गणितज्ञों ने पहले से निर्धारित की हैं।

"हमारी सीमाओं ने उन सभी मामलों की सटीक भविष्यवाणी की है जो अन्य लोगों द्वारा अध्ययन किए गए थे," पार्क ने कहा। "लोगों को मेरी रिपोर्टों के बारे में संदेह है, लेकिन जब मैं अन्य संयोगों का उल्लेख करता हूं, तो वे इस पर बहुत आश्चर्यचकित होते हैं।"

साक्ष्य और साक्ष्य के बीच

मॉडल का बहुत समर्थन है, लेकिन हर कोई इसे नहीं मानता है, और यह गलत हो सकता है। सबसे महत्वपूर्ण संदेह नोरम एल्किस है, जो हार्वर्ड के गणितज्ञ हैं जिन्होंने एक दीर्घवृत्त वक्र के लिए रैंक रिकॉर्ड स्थापित किया है। दशकों के बाद से वे हार्वर्ड में सबसे कम उम्र के पूर्णकालिक प्रोफेसर बन गए, उन्होंने रैंक सीमा की अनुपस्थिति का संकेत देते हुए कई परिणाम प्राप्त किए हैं। एल्किस ने मुझे मेल से लिखा, "मेरी राय लंबे समय से नहीं बदली है - मुझे नहीं लगता कि हम इस मुद्दे पर इस या उस परिकल्पना का समर्थन करने के लिए अच्छी तरह से वाकिफ हैं।"

एल्किस का मानना ​​है कि मॉडल कई मायनों में सही ढंग से काम नहीं कर सकता है। यह अनियमित रूप से चयनित वक्रों को ध्यान में रखता है, या कुछ अर्थों में घटता औसत है। हालांकि, सबूत हैं, जिसमें स्वयं एलकिस द्वारा अनुसंधान, अण्डाकार वक्रों के परिवारों के अस्तित्व की संभावना के बारे में, जिनमें से प्रत्येक में अनंत संख्या में ऐसे वक्र शामिल हैं, जिनका व्यवहार विशिष्ट वक्रों के व्यवहार से काफी भिन्न होता है। एल्किस लिखते हैं, "यादृच्छिक वक्रों के अपेक्षित व्यवहार के आधार पर अनुमानी मॉडल पूरी कहानी को नहीं बता सकते हैं।"

यहां तक ​​कि मॉडल के लेखकों में से एक भी पूरी तरह से निश्चित नहीं है। "मैं कहूंगा कि मैं एक अज्ञेय की तरह रैंक में सीमित हूं," वुड ने कहा। वह मानती है कि एल्किस द्वारा बताई गई वजहों से मॉडल गलत हो सकता है। लेकिन अगर मॉडल कार्य के साथ सामना नहीं करता है, तो क्योंकि यह अण्डाकार घटता के कुछ छिपे हुए और अप्रत्याशित गुणों को ध्यान में नहीं रखता है। "सवाल यह है: यदि आप सीमित रैंक में विश्वास नहीं करते हैं, तो मॉडल किस जगह काम करना बंद कर देता है?" - वुड ने कहा।

"सबसे अधिक संभावना है, वे सही होंगे यदि कोई व्यक्ति किसी सरल कारण से नहीं आता है कि वे गलत क्यों हैं। मुझे इस बात का कोई अंदाजा नहीं है कि ऐसा कोई कारण मौजूद है या नहीं, ”एलकिस के साथ काम करने वाले हार्वर्ड ग्रेजुएट छात्र अलेक्जेंडर स्मिथ और अण्डाकार वक्रों के रैंकों का अध्ययन कर रहे हैं।

मॉडल के लेखक हठधर्मिता के लिए इसके महत्व को नहीं बढ़ाते हैं। वे साक्ष्य और सबूत के बीच अंतर को जानते हैं, और वे समझते हैं कि पूर्व का कोई भी पहाड़ उत्तरार्द्ध तक नहीं ले जाएगा। लेकिन वे मानते हैं कि उनका काम, बहुत कम से कम, सरल तर्क की एक सदी के बाद बुनियादी गणितीय अवधारणाओं पर प्रतिबिंब के लिए एक उचित आधार प्रदान करता है।

"शायद उच्च-क्रम अण्डाकार घटता खोजना गणितज्ञों के लिए एक चुनौती है," पार्क ने कहा। या, शायद, गणितज्ञों को "एक लोकप्रिय परिकल्पना के रूप में हम जिस पर विश्वास करते हैं, उसके बारे में अपनी राय पर पुनर्विचार करना चाहिए।"