नए साक्ष्य दो प्रकार के अनंत वक्रों के अस्तित्व को प्रदर्शित करते हैं

गोल्डफेल्ड परिकल्पना पर अलेक्जेंडर स्मिथ के काम से अण्डाकार वक्रों के मूलभूत गुणों का पता चला

दो अण्डाकार वक्र, रैंक की अवधारणा की विषमता को प्रदर्शित करते हैं। बाईं ओर के वक्र को समीकरण y ² = x ³ + 1 द्वारा वर्णित किया गया है, केवल पांच तर्कसंगत बिंदुओं से होकर गुजरता है और रैंक 0. है। दाईं ओर के वक्र को समीकरण y ² = x ³ + 8 द्वारा वर्णित किया गया है, जो अनंत संख्या में तर्कसंगत बिंदुओं से होकर गुजरता है और इसमें रैंक 1 है।

अण्डाकार वक्रों के कई प्रकार हो सकते हैं, लेकिन उनकी वास्तविक किस्मों में केवल दो हैं। यह हार्वर्ड विश्वविद्यालय से स्नातक छात्र द्वारा प्राप्त नए साक्ष्य का परिणाम है।

अण्डाकार घटता विदेशी प्रतीत होता है, लेकिन ये अचूक ज्यामितीय वस्तुएं हैं, जो सीधी रेखाओं, परवल या ईलिप्स से अधिक जटिल नहीं हैं। पिछले साल ऑनलाइन प्रकाशित अपने काम में , अलेक्जेंडर स्मिथ ने चालीस साल पहले रैंक की अण्डाकार वक्रों की मौलिक विशेषता के बारे में सिद्ध किया। स्मिथ ने सिद्ध किया कि वक्रों के दिए गए परिवार में एक की विशेषता है, आधे की रैंक 0 है और आधे की रैंक 1 है।

यह परिणाम कई शताब्दियों के लिए गणितज्ञों के कब्जे वाली वस्तुओं की एक सहायक विशेषता स्थापित करता है, जिसका महत्व विशेष रूप से हाल के दशकों में बढ़ा है।

“हम 1000 से अधिक वर्षों से इस बारे में सोच रहे हैं, और अब हमारे पास दीर्घवृत्त घटता की एक संभावित समझ है। यह बेहद महत्वपूर्ण है, ” प्रिंस -टन विश्वविद्यालय के गणितज्ञ शॉ-वू झांग ने कहा कि जब उन्होंने अभी भी प्रिंसटन में एक छात्र थे, तो स्मिथ को अपने काम पर सिफारिशें दी थीं।

एलिप्टिक वक्र्स तीसरी शक्ति के लिए उठाए गए चर के साथ समीकरण हैं, उदाहरण के लिए, y ² = x ³ + 1. वे हाल के दशकों में कई महत्वपूर्ण गणितीय प्रमाणों में दिखाई दिए हैं, जिसमें 1994 से फ़र्मेट के महान प्रमेय का सबसे महत्वपूर्ण प्रमाण शामिल है । उनके महत्व का एक हिस्सा इस तथ्य में निहित है कि वे सबसे जटिल प्रकार के बहुपद समीकरणों से संबंधित हैं, जिनके बारे में गणितज्ञों के कुछ प्रकार के प्रणालीगत विचार हैं।

कोलंबिया विश्वविद्यालय के गणितज्ञ डोरियन गोल्डफेल्ड ने कहा, " एलिप्टिकल कर्व्स एक दिलचस्प मामला है,", जिन्होंने 1979 में एक परिकल्पना का प्रस्ताव रखा था जिसे उनका नाम मिला।

गोल्डफेल की परिकल्पना अण्डाकार वक्रों के रैंक के बारे में भविष्यवाणियाँ करती है। जैसा कि हमने हाल ही में एक लेख में वर्णित किया है, " क्या सबूत गणितज्ञों को मना कर सकते हैं अगर कोई कठोर प्रमाण नहीं है? " रैंक एक वक्र के तर्कसंगत समाधान के सेट की जटिलता का एक उपाय है (समाधान जो भिन्न के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है)। और यद्यपि वक्र की रैंक पर कोई सिद्ध प्रतिबंध नहीं है - अब तक 28 उच्चतम को सर्वोच्च रैंक माना जाता है - गोल्डफेल्ड परिकल्पना की भविष्यवाणी है कि औसतन आधे अंडाकार वक्रों की रैंक 0 है, और दूसरे आधे में 1 है।

यह आपको स्पष्ट नहीं लग सकता है कि 1 से अधिक रैंक वाले अण्डाकार कर्व्स कैसे मौजूद हो सकते हैं यदि अण्डाकार कर्व्स में से आधे की रैंक 0 है और दूसरे हाफ की 1 है। यदि आपके पास पिंग-पोंग बॉल्स का एक बॉक्स है, और यदि आप जानते हैं कि वास्तव में आधा है वे काले हैं, और आधे सफेद हैं, फिर लाल नहीं हो सकते।

इससे भी अधिक भ्रामक तथ्य यह है कि अण्डाकार 2 या उच्चतर रैंक के साथ घटता है, न केवल कुछ, बल्कि एक अनंत संख्या। प्रतीत होता है बेतुका परिणाम अनन्तताओं के साथ काम करने वाले चालाक आंकड़ों का परिणाम है। भले ही रैंक 2 और इसके बाद के संस्करण के बहुत सारे घटता हैं, रैंक 0 और 1 के साथ बहुत सारे वक्र हैं कि रैंक 2 और उच्चतर के साथ घटता सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नहीं हैं। यदि आप एक बॉक्स में सभी घटता डालते हैं और उन्हें वहां से बेतरतीब ढंग से बाहर निकालते हैं, तो एक वक्र को 1 से अधिक की रैंक के साथ बाहर निकालने की संभावना आधिकारिक तौर पर शून्य के बराबर होती है।

इसका क्या मतलब है कि वक्र की रैंक 0 है? इस तरह के वक्रों में परिमेय बिंदुओं की सीमित संख्या होती है - और 16 से अधिक नहीं, जैसा कि बैरी मजूर ने 1970 के दशक में साबित किया था।


डोरियन गोल्डफील्ड

यह मानने के कारण हैं कि बहुत बड़ी संख्या में अण्डाकार वक्रों की एक रैंक होगी 0. यदि आप कल्पना करते हैं कि एक विमान के साथ एक वक्र कैसे चलता है, तो यह देखा जाएगा कि अधिकांश बिंदु जिसके माध्यम से यह गुजरता है वह तर्कसंगत नहीं होगा। इन बिंदुओं को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, भले ही वे मनमाने ढंग से जटिल हों। संभावना है कि एक यादृच्छिक वक्र कई तर्कसंगत बिंदुओं को संक्रमित करता है - एक अनंत सेट - छोटा होता है।

"मैं इसे इस तरह से लेता हूं: यदि आप एक यादृच्छिक अण्डाकार वक्र लेते हैं, तो इसके पास 0. रैंक होने का कारण होगा। यह तर्कसंगत अंक नहीं चाहता है," स्मिथ ने कहा।

रैंक 1 घटता की व्यापकता को इसी तरह से समझाया गया है। रैंक 1 घटता में असीम रूप से कई तर्कसंगत बिंदु होते हैं, लेकिन उनमें से सभी बहुत करीने से संरेखित होते हैं, ताकि आप उन्हें काफी सरल प्रक्रिया में एक-दूसरे से जोड़ सकें।

रैंक 2 और उच्चतर के घटता के लिए, तर्कसंगत बिंदुओं के सेट अधिक जटिल हैं। उनमें तर्कसंगत बिंदुओं के कई अनंत उपसमूह होते हैं जो एक दूसरे से जुड़े नहीं होते हैं।

“दो स्वतंत्र बिंदुओं की उपस्थिति की संभावना क्या है? - गोल्डफेल्ड ने कहा। "बहुत कम।" मेरी परिकल्पना कहती है कि ऐसा कम ही होना चाहिए। ”

जब गोल्डफेल ने पहली बार अपनी परिकल्पना को आगे बढ़ाया, तो अधिकांश गणितज्ञों ने इसे गलत माना। उन्होंने कम्प्यूटेशनल प्रयोगों के परिणामों की ओर इशारा किया, जिसमें से यह 2% या उससे अधिक के मामलों में 0% मामलों की तुलना में अधिक बार घटता है।

गोल्डफेल्ड ने उत्तर दिया कि वे बस सीमा को बहुत छोटा लेते हैं। उन्होंने कहा कि यदि आप केवल पहले 10 पूर्णांक का अध्ययन करते हैं, तो आप एक अत्यंत गलत अनुमान लगा सकते हैं कि 40% संख्याएँ अभाज्य हैं। इसी प्रकार, इन कम्प्यूटेशनल प्रयोगों ने अण्डाकार वक्रों के छोटे उपसमुच्चय से लेकर घटता के बड़े परिवारों तक सीमित किया है।

"मैंने कहा कि देखो primes! वह मेरा जवाब था। गोल्डफील्ड ने कहा, हमें ज्यादा ऊंचाई पर चढ़ने की जरूरत है, क्योंकि शुरुआत में बहुत मजा आ सकता है।

गोल्डफ़ेल्ड परिकल्पना सभी अण्डाकार वक्रों पर लागू नहीं होती है। यह अण्डाकार घुमाव, द्विघात घुमाव के एक विशेष परिवार का वर्णन करता है। उदाहरण: अण्डाकार वक्र साइबर ² = x ³ - x, जहां c एक स्थिर है। C का मान बदलकर, आप एक अण्डाकार वक्र को झुका रहे हैं। गोल्डफेल की परिकल्पना संपूर्ण अनंत किस्म की वक्रों को संदर्भित करती है जो कि सी के मूल्य को बदलकर प्राप्त की जा सकती है।

अलेक्जेंडर स्मिथ ने गवाही दी कि गोल्डफेल्ड सही था। एक नए पेपर में, वह साबित करता है कि 100% अण्डाकार कर्व्स (एक विशेष प्रकार के) की रैंक 0 या 1. होती है। उन्होंने यह भी साबित किया कि ये कर्व दो रैंकों के बीच समान रूप से विभाजित हैं, हालांकि एक कैच है। ५०-५० के विभाजन का उनका प्रमाण बिर्च - स्वाइनर्टन-डायर (बीजद) की परिकल्पना की वैधता पर आधारित है । बीएसडी की परिकल्पना गणित की सबसे प्रसिद्ध खुली समस्याओं में से एक है। गणितज्ञ अभी तक इसके प्रमाण के करीब नहीं आए हैं, लेकिन कुल मिलाकर वे इसे सच मानते हैं।

उस चेतावनी के साथ भी, स्मिथ का परिणाम महत्वपूर्ण माना जाता है। गणितज्ञों का कहना है कि वह बीएसडी की परिकल्पना को हतोत्साहित किए बिना गोल्डफेल्ड परिकल्पना को पूरी तरह से साबित करने का एक रास्ता दिखाता है। यह विधि अण्डाकार वक्रों की प्रकृति की एक नई समझ देती है।

यूनिवर्सिटी ऑफ विस्कॉन्सिन के गणितज्ञ मेलानी वुड ने कहा, "एलेक्स स्मिथ का काम बेहद दिलचस्प है, और मुझे लगता है कि इसका अध्ययन किया जाना बाकी है। "तथ्य यह है कि यह साबित किया जा सकता है बहुत महत्वपूर्ण और क्रांतिकारी है।"