खुशी का सिद्धांत। दुर्घटनाएँ आकस्मिक नहीं हैं?

मैं हेब के पाठकों को उनकी पुस्तक "खुशी के सिद्धांत" के अध्याय के साथ उपशीर्षक के साथ परिचित करना चाहता हूं "विधि के कानूनों के गणितीय नींव।" यह अभी तक लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक प्रकाशित नहीं हुई है, बहुत ही अनौपचारिक रूप से बता रही है कि कैसे गणित आपको दुनिया और लोगों के जीवन को जागरूकता की एक नई डिग्री के साथ देखने की अनुमति देता है। यह उन लोगों के लिए है जो विज्ञान में रुचि रखते हैं और उनके लिए जो जीवन में रुचि रखते हैं। और चूँकि हमारा जीवन जटिल है, और बड़े, अप्रत्याशित, पुस्तक में मुख्य रूप से संभावना सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों पर जोर दिया गया है। यहाँ प्रमेय सिद्ध नहीं हुए हैं और विज्ञान के मूल तत्व नहीं दिए गए हैं, यह किसी भी तरह से पाठ्यपुस्तक नहीं है, लेकिन इसे मनोरंजक विज्ञान कहा जाता है। लेकिन यह वास्तव में ऐसा लगभग चंचल दृष्टिकोण है जो हमें अंतर्ज्ञान विकसित करने की अनुमति देता है, ज्वलंत उदाहरणों वाले छात्रों के लिए व्याख्यान को उज्ज्वल करता है और अंत में, गैर-गणितज्ञों और हमारे बच्चों को समझाता है कि हमें अपने शुष्क विज्ञान में ऐसी दिलचस्प चीजें मिलीं।



इस अध्याय में, हम पूर्व निर्धारित सिक्का उड़ान, स्थलाकृतिक नक्शे, गणितीय आपदाओं और यादृच्छिकता की प्रकृति पर चर्चा करते हैं। और जिस तरह से, चलो गणित के ऐसे वर्गों को देखते हैं जो उपायों के सिद्धांत और गतिशील अराजकता के सिद्धांत के रूप में हैं।

हर रोज होने वाले उथल-पुथल के स्रोत के रूप में अर्थ के नियमों के बारे में बातचीत, अक्सर सैंडविच के प्रसिद्ध कानून से शुरू होती है । यह केवल औपचारिक रूप से, आसानी से सत्यापित और व्यापक रूप से जाना जाता है:

एक सैंडविच हमेशा मक्खन को गिराता है।

यह स्पष्ट है कि यहां "हमेशा" शब्द एक अतिशयोक्ति है। यह उन परिस्थितियों की कल्पना करना आसान है जिसमें एक सैंडविच गिर जाएगा, जिससे तेलयुक्त पक्ष बरकरार रहेगा। इस कानून से लोग क्या समझते हैं? सबसे अधिक संभावना है, सैंडविच मक्खन को अक्सर ध्यान देने योग्य बनाने के लिए नीचे गिरता है। लेकिन क्या अनुकूल के मुकाबले गिरावट की संभावना अधिक है? सैंडविच अलग-अलग होते हैं, वे अलग-अलग परिस्थितियों में आते हैं, अलग-अलग ऊंचाइयों से ... ऐसे बहुत सारे पैरामीटर हैं कि इस तरह के कार्य में पैटर्न के बारे में बात करने का कोई मतलब नहीं है। कुछ भी हो सकता है। ऐसा होता है कि यह नीचे तेल में गिरता है, फिर यह अपमानजनक हो जाता है, हम कानून को याद करते हैं और इसे याद करते हैं। और अगर सैंडविच बिना रुकावट के गिरता है - तेल ऊपर के साथ, या अगर यह बिना तेल के निकलता है, तो इसके बारे में बात करने के लिए कुछ भी नहीं है - यह स्पष्ट है कि कानून कॉमिक है! अंत में, एक सैंडविच एक सिक्के की तरह है, जो गणितज्ञ दो संभावित मूल्यों के साथ यादृच्छिक चर प्राप्त करने के लिए उपयोग करते हैं: "ईगल" और "पूंछ"। यदि सिक्का "ईमानदार" है, तो यह बिल्कुल मायने नहीं रखता है कि किस तरफ गिरना है, और हम कहते हैं कि ईगल और पूंछ गिरने की संभावना समान और बराबर है $$$1/2$ । सिद्धांत रूप में, सैंडविच समान होना चाहिए। हम अगले अध्याय में उनके पास लौटेंगे, लेकिन अभी के लिए आइए सबसे संभावित सरल संभाव्य प्रणाली - सिक्का पर एक नज़र डालते हैं।

संभाव्यता-सिद्धांत संबंधी प्रयोगों में एक सिक्का कुछ विशेष जादुई तरीके से उछाला जाता है, ताकि टॉस के दौरान प्रारंभिक स्थिति, प्रारंभिक गति और स्पिन गति का चुनाव एक विशिष्ट परिणाम की संभावना को प्रभावित न करे। लेकिन यह स्पष्ट है कि यह असंभव है! सिक्का एक यांत्रिक प्रणाली है और यांत्रिकी के नियमों का पालन करता है, लेकिन उनमें यादृच्छिक चर नहीं होते हैं। एक सिक्के के रूप में इस तरह के एक साधारण शरीर की गति के नियमों में भविष्य विशिष्ट रूप से इस शरीर की पिछली स्थिति से निर्धारित होता है। यदि कोई रोबोट एक सिक्का फ़्लिप करता है, या लाप्लास दानव एक पौराणिक प्राणी है जिसे किसी भी मैकेनिकल सिस्टम के निर्देशांक और गति के बारे में पूरी जानकारी है, तो निरंतर प्रारंभिक डेटा के साथ समान परिणाम प्राप्त होंगे। हम, निश्चित रूप से, रोबोट या शैतान नहीं हैं, लेकिन क्या लोग वास्तव में सिक्कों को इतनी ढलान और अप्रत्याशित रूप से उछालते हैं कि यांत्रिकी के कानून दुर्घटनाओं का कारण बन सकते हैं?

और कहाँ, सामान्य तौर पर, यांत्रिकी के नियमों द्वारा वर्णित दुनिया में यादृच्छिकता आती है? यादृच्छिक कहां से आता है? वास्तव में अराजक या स्टोकेस्टिक सिस्टम, मौलिक रूप से अप्रत्याशित, और सिस्टम के बीच अंतर क्या है जिसमें व्यवहार का अनुमान लगाना मुश्किल है, लेकिन इसकी गणना की जा सकती है?

सिक्का समस्या पर 1986 में जोसेफ केलर ने विचार किया था। हम इस प्रक्रिया में अनिश्चितता की घटना के लिए एक सरल स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं, जो केलर के लेख के तर्क पर आधारित है। सिक्का किस तरफ गिरेगा यह उसकी उड़ान के समय पर निर्भर करता है। $$$टी$ और कोणीय वेग से $$$\ _ ओमेगा$ । यदि आप प्रति इकाई समय में क्रांतियों में कोणीय वेग को मापते हैं, तो सिक्का द्वारा किए गए क्रांतियों की संख्या अत्यंत सरल रूप से व्यक्त की जाती है $$$n = t \ omega$ । यह निर्भरता निर्देशांक में समान क्रांतियों की संख्या निर्धारित करती है $$$(t, \ omega)$ , और वे, बदले में, एक समान और विषम क्रांतियों के अनुरूप क्षेत्रों को सीमित करते हैं।

एक चित्र जो उड़ान में एक सिक्का द्वारा किए गए क्रांतियों की संख्या की समता को दर्शाता है। आयत उस क्षेत्र को दर्शाता है जिसमें सिक्के पर भाग्य-कहने की प्रक्रिया सबसे अधिक बार होती है।

इस तरह के एक आरेख में यह दिखाना संभव है कि एक सिक्का फ्लिप का परिणाम क्या होगा, प्रति सेकंड क्रांतियों की एक ज्ञात संख्या से मुड़ जाता है, और एक ज्ञात फ्लिप समय के बाद पकड़ा जाता है। यदि हम एक सफेद पट्टी में गिरते हैं, तो वही पक्ष बाहर निकलेगा जो शीर्ष पर था, जब नारंगी में, तो - विपरीत। समान गति की रेखाएं हाइपरबोलस हैं और यह देखा जा सकता है कि जैसे-जैसे गति बढ़ती है, क्षेत्रों का विकल्प अधिक से अधिक लगातार होता जाता है, और क्षेत्र स्वयं पतले हो जाते हैं। मानव हाथ अपूर्ण है और प्रारंभिक मूल्यों का बहुत छोटा बिखराव एक बार में कई क्षेत्रों को कवर करता है, जिसके परिणाम अप्रत्याशित होते हैं। हाथ की सीमा में (आरेख में आयत), पर्याप्त की एक ऑफसेट $$$5 \%$ एक सफेद पट्टी से एक नारंगी तक कूदने के लिए। सवाल यह है: इस निर्माण से असली यांत्रिक सिक्के का "ईमानदारी" कैसे पालन होता है? परिणामस्वरूप आरेख से ईगल या पूंछ के नुकसान की संभावना कैसे प्राप्त करें?

तत्काल कार्रवाई!

हम इस तरह के गणित में थोड़ी-सी डुबकी लगाएंगे, जो हम चर्चा कर रहे हैं, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए स्कूल में नहीं पढ़ाया जाता है। हमने प्रस्तावना में कहा है कि गणितज्ञ संख्या या ज्यामितीय आकृतियों का अध्ययन नहीं करते हैं, जैसा कि स्कूल के पाठ्यक्रम का अध्ययन करने के बाद हो सकता है। वे गणितीय संरचनाओं (अमूर्त बीजगणित, आधे छल्ले, फ़ील्ड, मोनॉयड, टोपोलॉजिकल स्पेस और अन्य सार सामान) के साथ काम करते हैं, उनका वर्णन करते हैं, जैसा कि ऐसा लगता है, अभ्यास करने के लिए पूरी तरह से अनासक्त, उन्हें परिभाषित करना, उनके गुणों का अध्ययन करना, प्रमेय साबित करना। और फिर उन्होंने ज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में इस तरह की संरचनाओं को खोजने के लिए अपने कौशल को बेहतर बनाया, जिससे विशुद्ध रूप से लागू क्षेत्रों में आश्चर्यजनक रूप से उपयोगी सफलताएं मिलीं। अब हम इस तरह के गणित पर थोड़ा विचार करेंगे और विचार करेंगे कि कैसे माप की एक बहुत ही अमूर्त अवधारणा के आधार पर संभाव्यता सिद्धांत का निर्माण किया जाता है।

हमने सिक्के के मैकेनिक्स और प्राप्त क्षेत्रों का वर्णन किया जो कुछ गुणों के साथ समाधान के सेट का वर्णन करते हैं। क्षेत्र समतल आंकड़े हैं, उन्हें सही ढंग से संभावनाओं से कैसे स्थानांतरित किया जाए? हमें अपने क्षेत्रों को मापने की आवश्यकता है और हम स्वाभाविक रूप से उनके क्षेत्र में आते हैं। क्षेत्र - एक सपाट आकृति का एक माप है । यह एक फ़ंक्शन के लिए एक सटीक गणितीय शब्द है जो एक सेट को एक निश्चित गैर-नकारात्मक संख्यात्मक मान के साथ जोड़ता है। उपायों के उदाहरण गणना किए गए सेट (एक बैग में सेब की संख्या, उदाहरण के लिए), साथ ही लंबाई , क्षेत्र , आंकड़ों की मात्रा में मात्रा हैं ।

गणित में एक पूरा खंड है जिसे माप सिद्धांत कहा जाता है । इस सिद्धांत का जन्म XIX - XX सदियों (एमिल बोरेल और हेनरी लेब्स लीग के मूल में खड़ा था) के मोड़ पर हुआ था और गणितज्ञों के लिए बहुत जटिल वस्तुओं: कैंटर और फ्रैक्टल सेटों के विश्लेषण के पर्याप्त अवसर खोले गए थे। इसने कार्यात्मक विश्लेषण और आधुनिक संभाव्यता सिद्धांत का आधार बनाया, जिसकी नींव उल्लेखनीय रूसी गणितज्ञ आंद्रेई कोलमोगोरोव द्वारा रखी गई थी। संभावना की परिभाषा, एक उपाय के रूप में, आप असतत और निरंतर सेट दोनों के लिए संभाव्यता के सभी मूल गुणों को देखने की अनुमति देते हैं।

यद्यपि हमारी पुस्तक एक पाठ्यपुस्तक नहीं है, लेकिन पक्षी की आंखों के दृश्य से संभाव्यता थोरियम की अवधारणाओं को देखने और गणित के स्वाद को महसूस करने के लिए थोड़ा रुकने के लायक है। शुरू करने के लिए, हम किसी भी उपाय के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं। उन्हें बेहतर ढंग से कल्पना करने के लिए, आप "माप" शब्द के बजाय "मात्रा" या "लंबाई" या "क्षेत्र" शब्दों का उपयोग कर सकते हैं।

1. खाली सेट का माप शून्य है।
2. परिमित उपायों के लिए संपूर्ण मापनीय सेट का माप परिमित है।
3. सबसेट का माप सेट के माप से अधिक नहीं है
4. दो मनमाने सेटों के मिलन का माप इन सेटों के माप के योग के बराबर होता है, जो उनके प्रतिच्छेदन के माप को मापता है (योगात्मकता)।
5. एक सबसेट के पूरक का माप पूरे सेट के माप और सबसेट के माप के बीच अंतर के बराबर है।

क्या कोई गैर-नकारात्मक संख्यात्मक कार्य एक उपाय हो सकता है? बिलकुल नहीं। उदाहरण के लिए, आयु किसी व्यक्ति को पूरी तरह से विशिष्ट संख्या प्रदान करती है। लेकिन दो लोगों की उम्र को उनकी उम्र के योग के रूप में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। और दौड़ने की गति कोई माप नहीं है - दो व्यक्ति तेज गति से दो बार नहीं दौड़ते। लेकिन संवेग (संवेग) या ऊर्जा में पहले से ही एक माप के गुण होते हैं। वजन, धन की मात्रा, ज्ञान की मात्रा, रोने की मात्रा, हालांकि हमेशा आसानी से मापने योग्य चीजें नहीं हैं, कई लोगों के लिए एक उपाय के रूप में भी काम कर सकते हैं।

सहज स्तर पर, लगभग सभी अब प्रायिकता की अवधारणा से परिचित हैं। टॉक शो पर राजनीतिक वैज्ञानिकों और पत्रकारों द्वारा यह अनुमान लगाया जाता है, यह ग्लोबल वार्मिंग या कल की बारिश के बारे में बात करने पर चर्चा की जाती है, इसके बारे में चुटकुले में बताया गया है: Tver पर डायनासोर के मिलने की संभावना क्या है? - एक सेकंड: या तो एक बैठक या नहीं। आधुनिक गणित में, संभाव्यता की अवधारणा को एक विशेष सेट पर माप के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे प्रायिकता स्थान कहा जाता है । इसमें संघ और चौराहे और बहिष्कार के संचालन का उपयोग करते हुए प्राप्त होने वाली प्राथमिक घटनाओं और उनके संयोजन दोनों शामिल हैं। एक प्रारंभिक घटना का एक उदाहरण: "हड्डी फेंकते समय एक ट्रिपल का नुकसान।" एक घटना का एक उदाहरण जो प्राथमिक नहीं है: "दो को छोड़कर किसी भी संख्या का नुकसान।" इसलिए, हम संभाव्यता के गुणों को सूचीबद्ध करते हैं:

1. एक असंभव घटना की संभावना शून्य है।
2. संपूर्ण संभावना स्थान के लिए संभावना एकता के बराबर है।
3. यदि एक घटना दूसरे पर भी लागू होती है, तो दूसरी की संभावना पहले की संभावना से अधिक नहीं होती है। यहां घटनाओं के लिए संबंध "उलट" सेट के लिए "एक सबसेट" के बराबर है और इसका मतलब यह नहीं है कि "एक कारण है"।
4. दो में से कम से कम एक मनमानी घटनाओं के घटित होने की संभावना, इनमें से प्रत्येक घटना की संभावनाओं के योग के बराबर है, इस संभावना को घटाकर कि घटनाएं एक साथ घटित होंगी।
5. घटित होने वाली घटना की संभावना एक घटना घटने की संभावना है।

उपायों और संभावनाओं के गुणों पर करीब से नज़र डालें और आप देखेंगे कि हम उन्हीं गुणों के बारे में बात कर रहे हैं।

प्रायिकता के सभी गुण एक उपाय के रूप में इसकी परिभाषा से उत्पन्न नहीं होते हैं: घटनाओं की स्वतंत्रता की अवधारणा और संभाव्यता से उत्पादों के रूप में एक साथ दो या अधिक स्वतंत्र घटनाओं की संभावना की गणना करने की विधि सशर्त संभावना के माध्यम से पेश की जाती है , लेकिन ये अवधारणा कोलमोगोरोव परिभाषा के अनुरूप हैं।

असतत यादृच्छिक चर गणना योग्य सेटों के अनुरूप हैं, उनमें, एक प्राकृतिक माप तत्वों की संख्या की एक साधारण गणना है। तदनुसार, एक असतत संभाव्य स्थान में संभावना विकल्पों की संयुक्त गणना है जो हर छात्र के लिए परिचित है। निरंतर यादृच्छिक चर के लिए, माप के रूप में प्रायिकता, लंबाई या क्षेत्र की तरह अधिक है, और यहां हम संभावना घनत्व के बारे में बात कर रहे हैं।

उपाय के साथ संभावना अनुरूपता वहाँ समाप्त नहीं होती है। औसत मूल्य क्या है? यह एक बिंदु के द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति का एक एनालॉग है, जिसमें बिंदु द्रव्यमान या एक ज्ञात घनत्व के साथ एक ठोस होता है। और इन राशियों की गणना उसी तरह की जाती है। और औसतन विशेषता के आसपास यादृच्छिक चर का फैलाव कैसे होता है: विचरण ? जैसे जड़ता का क्षण द्रव्यमान के केंद्र के आसपास द्रव्यमान के वितरण की विशेषता रखता है । और फिर, एक नमूना या वितरण के लिए विचरण की गणना करने के सूत्र शरीर के एक सेट की जड़ता या एक चालाक शरीर के ठोस शरीर के क्षण के लिए सूत्रों के साथ मेल खाते हैं।

वैसे, अगर हम संभाव्यता की परिभाषाओं और गुणों को "अधिकतम" और "न्यूनतम" के साथ उत्पाद में बदल देते हैं, तो हम एक वैकल्पिक सिद्धांत का निर्माण कर सकते हैं, इसे संभावनाओं का सिद्धांत कहा जाता है। इस तरह गणित काम करता है। हम अमूर्त तर्क के साथ शुरू करते हैं: संख्या जोड़ और गुणा के संचालन के साथ एक बीजगणित बनाते हैं, लेकिन एक सीमित संख्या के अंतराल पर, आप न्यूनतम और अधिकतम के संचालन के साथ समान बीजगणित का निर्माण कर सकते हैं। हम एक नए बीजगणित पर माप की अवधारणा का निर्माण करते हैं और पता लगाते हैं कि यह दुनिया का एक नया दृष्टिकोण खोलता है! संभाव्यता सिद्धांत के विपरीत, इस तरह के सिद्धांत में दो समन्वित उपायों का निर्माण किया जा सकता है - संभावना और आवश्यकता , और, संभावना के विपरीत, वे घटनाओं के संयोजन और प्रतिच्छेद दोनों के संचालन के साथ अच्छे समझौते में हैं। यह दिशा अमेरिकी लोटी ज़ादेह द्वारा बनाई गई थी, जो मूल रूप से एक अज़रबैजान है, जो फजी लॉजिक के आधार के रूप में कार्य करता है और इसका उपयोग स्वचालित पैटर्न मान्यता और निर्णय लेने की प्रणालियों में किया जाता है।

अतुल्य, लेकिन सच है!

उपायों की पहली संपत्ति तुच्छ लगती है, लेकिन इसकी विषमता में यह दिलचस्प है। यदि सबसेट का माप शून्य है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि यह खाली है! उदाहरण के लिए, एक रेखा समतल पर बिंदुओं का एक सबसेट है, लेकिन इसका क्षेत्रफल (माप) शून्य है। अधिक विदेशी उदाहरण हैं - कैंटर और फ्रैक्टल सेट, एक जटिल संरचना वाले, जिसमें अनंत संख्या में अंक होते हैं, एक निश्चित क्षेत्र या वॉल्यूम को नेत्रहीन "कब्जा" करते हैं, लेकिन फिर भी शून्य उपाय नहीं करते हैं।

शून्य माप की कुछ वस्तुएं: एक तल पर एक रेखा, छिटपुट जूलिया सेट, मेन्जर भग्न स्पंज।

इस दृष्टांत को तैयार करते समय, मुझे उच्च संकल्प के साथ एक पारदर्शी पृष्ठभूमि पर जूलिया के डिस्कनेक्ट सेट की अद्भुत छवि मिली। सदिश संपादक में डालने के बाद, मुझे एक अजीब सी कठिनाई आई - इसे चुनने के लिए माउस के साथ इस छवि में आना बहुत मुश्किल था। यह इतना "ढीला" है कि एक भरे हुए पिक्सेल में जाने की संभावना एक पारदर्शी पृष्ठभूमि में होने की तुलना में काफी कम थी। संभावना स्थान में, शून्य माप के सबसेट भी मौजूद हो सकते हैं, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि इन सबसेट से घटनाएँ असंभव हैं। चौथे से पाँचवें प्रयासों तक, मैं अभी भी छवि का चयन कर सकता था, क्योंकि पिक्सेल का आकार सीमित है। लेकिन क्या होगा यदि मैं अपने निपटान में अनंत संकल्प के साथ जूलिया के एक वास्तविक असंगत सेट पर पहुंच गया?

कल्पना कीजिए कि आप एक सॉफ्टवेयर रैंडम नंबर जनरेटर का उपयोग कर रहे हैं जो एक मनमाना वास्तविक संख्या पैदा करता है $$$0$ को $$$1$ । किसी संख्या के गिरने की संभावना क्या है? $$$0$ ? और संख्या $$$1/2$ या $$$ई / \ pi$ ? इन सभी मामलों में, उत्तर होगा - शून्य! बल्कि, कंप्यूटर के लिए उपलब्ध सबसे छोटी सकारात्मक संख्या, तथाकथित मशीन एप्सिलॉन, क्योंकि कंप्यूटर दशमलव स्थानों की एक सीमित संख्या के साथ संचालित होता है। रुको, तुम कहते हो, किस अर्थ में शून्य है? समान संख्याएँ असंभव नहीं हैं। आइए एक प्रयोग करें, जिसके परिणामस्वरूप हमें कुछ विशिष्ट संख्या मिलती है, और जब हम इसे प्राप्त करते हैं, तो "निर्माण द्वारा" इसके स्वरूप की संभावना शून्य नहीं हो सकती है। यह सही है, लेकिन कब तक इंतजार करना चाहिए जब तक कि वास्तव में 0 ड्रॉप आउट न हो जाए? लगभग अंतहीन! तथ्य यह है कि एक खंड पर एक बिंदु की तरह एक एकल संख्या, शून्य माप और एक ईमानदार शून्य संभावना है। केवल एक निरंतर खंड का माप, यहां तक ​​कि एक बहुत छोटा भी, नॉनजेरो है। तो हम संभावना के बारे में बात नहीं कर रहे हैं, लेकिन संभावना घनत्व के बारे में, जो, जब एक संभावना स्थान में सबसेट के एक परिमित माप से गुणा किया जाता है, एक परिमित मूल्य देगा - इस सबसेट में गिरने की संभावना। वैसे, अनंत सटीकता के साथ हमारा आदर्श यादृच्छिक संख्या जनरेटर हो सकता है, इसके साथ कुछ तर्कसंगत संख्या (कुछ ठोस नहीं, लेकिन कोई भी) प्राप्त करने की संभावना शून्य भी होगी। यह सबूत है कि तर्कसंगत संख्याएं वास्तविक संख्याओं के सेट के शून्य माप का एक घना सबसेट बनाती हैं, जिसने 19 वीं शताब्दी के अंत में शोर किया।

यदि कोई धैर्यपूर्वक एक सिक्के के साथ एक हजार प्रयोग करता है और खुशी से आपको बताता है कि उसे "ईगल" के रूप में कई "ईगल" मिले, तो आप सुरक्षित रूप से संदेह व्यक्त कर सकते हैं या दुर्लभ भाग्य पर उसे बधाई दे सकते हैं। यद्यपि एक सिक्का और एक असतत यादृच्छिक प्रक्रिया को टॉस करना, जैसा कि आंकड़े जमा होते हैं, संभावना स्थान की शक्ति बढ़ जाएगी और घटना का माप: "" ईगल "की संख्या" पूंछ "की संख्या के साथ मेल खाती है" घट जाएगी। यह दिखाया जा सकता है, स्टर्लिंग सूत्र का उपयोग करते हुए, कि इस "सबसे संभावित" घटना की संभावना परीक्षणों की संख्या में वृद्धि के साथ शून्य हो जाती है $$$1 / \ sqrt {\ pi n}$ । सौ जातियों के लिए, यह पांच प्रतिशत से थोड़ा अधिक है, दस हजार के लिए - केवल आधा प्रतिशत। ऐसे मामलों में, गणितज्ञ कहते हैं: लगभग निश्चित रूप से "ईगल" की संख्या "पूंछ" की संख्या के बराबर नहीं होगी । कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितना अजीब लगता है, लेकिन "लगभग निश्चित रूप से" एक सटीक गणितीय शब्द है, जिसका अर्थ है कि घटना शून्य माप की संभावना स्थान के सबसेट का पूरक है। हम निम्नलिखित अध्यायों में से एक में इन विचारों पर लौटेंगे जब हम खुद से पूछेंगे: हम में से प्रत्येक अपने आप को सामान्य कैसे मान सकते हैं।

एक असली सिक्के की ईमानदारी की जाँच

चलो सिक्का और इसकी ईमानदारी पर वापस जाएं। संभाव्यता की कोलमोगोरोव परिभाषा ने अपनी आवृत्ति परिभाषा (घटित घटनाओं की सापेक्ष आवृत्ति) और ज्यामितीय (संभावनाओं के कुल "वॉल्यूम" में एक घटना के "वॉल्यूम" के अंश के रूप में) को समेट लिया। इस प्रकार, एक घूर्णन सिक्के के लिए गणना की गई आरेख में सफेद धारियों के क्षेत्र का अंश उसी पक्ष के गिरने की संभावना को दर्शाता है जिसे हमने फेंक दिया था।

लेकिन मुसीबत! हमारे आरेख में प्रत्येक पट्टी का क्षेत्र अनंत है (यदि हम समन्वय विमान की पूरी तिमाही पर विचार करते हैं)। हालांकि, माप की संवेदनशीलता हमें यह दिखाने के लिए अनुमति देगी कि यह छायांकित और सफेद क्षेत्रों के क्षेत्रों को एक ही होने से नहीं रोकता है। स्पष्ट रूप में, हमारे घटता के समीकरणों का रूप है$$$\omega = n/t$ । यदि वक्र के नीचे का क्षेत्र $$ω = 1 / t बराबर है$\omega = 1/t$$$एस , फिर एडिटिविटी संपत्ति के कारण, वक्र के नीचे का क्षेत्र$S$$$ω = n / t बराबर होगा$\omega = n/t$$$$S_n = n S$ । बदले में, हमें व्यक्तिगत स्ट्रिप्स के लिए: $$$S_{n} - S_{n-1} = n S - (n-1)S = S$ ।यह पता चला है कि क्षेत्र में अंतर हाइपरबोला की "संख्या" पर निर्भर नहीं करता है। यह हाइपरबोलस के संबंध में कुछ विशेष नहीं है, फॉर्म के किसी भी वक्र के लिए एक ही निष्कर्ष निकाला जा सकता है$$y = n f ( x ) , यदि केवल फ़ंक्शन$y = n f(x)$$$f औसत दर्जे का था। और यदि ऐसा है, तो परिभाषा के पूरे क्षेत्र के लिए, आरेख के सफेद भाग में या छायांकित में समान रूप से संभावित है, जैसा कि "ईमानदार" सिक्के के लिए अपेक्षित है। जिन तर्कों का हमने अभी उल्लेख किया है, वे काफी सरल प्रतीत होते हैं, लेकिन वे बहुत ही सामान्य परिणाम देते हैं, जो किसी भी मात्रात्मक मात्रा पर लागू होते हैं। माप की अमूर्त अवधारणा ने हमें तर्क और सामान्य ज्ञान के ढांचे के भीतर रहते हुए, आपस में अंतहीन मात्रा की तुलना करने की अनुमति दी। अमूर्तता अच्छी है, लेकिन यह तर्क दिया जा सकता है कि वास्तव में हम सभी संभावित मापदंडों के साथ सिक्कों को उछाल नहीं रहे हैं। जैसा कि उच्च गति वाले कैमरे के प्रयोगों से पता चला है कि कोणीय वेगों की सीमा से कम होती है$f$



$$20 से$20$$$40 क्रांतियों प्रति सेकंड, और उड़ान की अवधि आधे से एक सेकंड तक है। इस क्षेत्र को आरेख में एक आयत द्वारा हाइलाइट किया गया है। इसमें, सफेद धारियों का कुल क्षेत्रफल नारंगी लोगों की तुलना में थोड़ा बड़ा है, और हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उछलने के दौरान उसी तरफ से गिरने की संभावना होगी जो होगी$40$$$$50.6\%$ ।

2007 में, स्टैनफोर्ड से पर्सी डेकोनेस एट अल के एक समूह ने एक लेख प्रकाशित किया जो एक सिक्के को उछालने की प्रक्रिया का विस्तृत विश्लेषण प्रदान करता है। एक उड़ान और घूमने वाली डिस्क के यांत्रिकी का एक विस्तृत विवरण, जो न केवल घूमता है, बल्कि पूर्वगामी भी है - रोटेशन की धुरी खुद उड़ान में घूमती है, यह दिखाती है कि "ऊपर से ईगल" स्थिति से मैन्युअल टॉस के साथ, "ईगल" एक सौवें तक गिरने की संभावना आधे से अधिक है।

यह बहुत है या थोड़ा है? इस तरह के अंतर को बनाने के लिए आपको कितने प्रयोगों की आवश्यकता है? जैसे ही प्रायोगिक डेटा जमा होता है, माध्य की मानक त्रुटि, उस त्रुटि को दर्शाती है जिसके साथ माध्य मान की गणना की जा सकती है, परीक्षणों की संख्या के वर्गमूल के अनुपात में घट जाती है:$$σ μ = σ / √n यहाँ$\sigma_{\mu} = \sigma/\sqrt{n}$$$σ अध्ययनित वितरण के लिए मानक विचलन है। हमारे मामले में, संभावना के साथ बर्नौली वितरण के लिए$\sigma$$$0.51 जो बराबर है$0.51$$$$\sqrt{0.51\times0,49}\approx0.5$ । आत्मविश्वास से एक सौवें के औसत के विचलन की पहचान करने के लिए, यह विचलन अधिक होना चाहिए $$3 मानक विचलन। इस प्रकार, हम परीक्षणों की संख्या का अनुमान लगा सकते हैं:$3$

$$

$$n = \left(\frac{\sigma}{\sigma_{\mu}}\right)^2 = \left(\frac{3\times0.5}{0.01}\right)^2 \approx 22500$$

तो कई बार आपको परिणाम के यांत्रिकी पूर्वनिर्धारण पर ध्यान देने के लिए एक सिक्का फ्लिप करने की आवश्यकता होती है। इसका मतलब स्पष्ट करने के लिए, मैं एक ईगल के नुकसान की संभावना की गणना करने के लिए आदर्श और थोड़ा अपूर्ण "सिक्कों" के दो सौ परीक्षणों का एक उदाहरण दूंगा, जैसे, एक ईगल। प्रत्येक परीक्षण के होते हैं$$40,000 तोले। शब्द "सिक्का" और "टॉसिंग" उद्धरण चिह्नों में हैं, क्योंकि वास्तव में उन्होंने भौतिक सिक्के का उपयोग नहीं किया था, लेकिन एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर जो बर्नौली वितरण का पालन करता है।$40000$

अपूर्णता को ठीक करने के लिए एक आदर्श और थोड़ा अपूर्ण सिक्का उछालने के साथ प्रयोग।

उसके बाद ही देखा जाता है$$देखे गए मानों के "क्लाउड" के 20,000 परीक्षण स्पष्ट रूप से अलग होने लगते हैं। खैर, घरेलू उपयोग के लिए, हम मान सकते हैं कि सिक्का दो समान रूप से संभावित विकल्पों के यादृच्छिक विकल्प का एक अच्छा जनरेटर है।$20000$

पर्यटक कानून

संभाव्यता के ज्यामितीय और आवृत्ति निर्धारण की समानता से अर्थ के एक नियम का रहस्य पता चलता है, जो पर्यटकों, भूवैज्ञानिकों और उन सभी के बीच जाना जाता है जो स्थलाकृतिक मानचित्र का उपयोग करते हैं:

जिस स्थान पर पर्यटक जाता है, वह या तो मानचित्र के किनारे या शीट के किनारे पर होता है।

मान लीजिए कि हम मानचित्र के सभी हिस्सों में स्थित वस्तुओं में समान रूप से रुचि रखते हैं। लेकिन हम शून्य माप की वस्तुओं में शायद ही कभी रुचि रखते हैं - एक नक्शे का उपयोग करने का पूरा उद्देश्य वस्तु के परिवेश का सर्वेक्षण करना है, अर्थात् कुछ परिमित क्षेत्र। एक छोटा सा अंश हमारे लिए पर्याप्त है$$पूरे नक्शे के क्षेत्र से α$\alpha$$$एस , वस्तु को पाने के लिए कैसे को समझने के लिए। इसलिए, यदि वस्तु कुछ महत्वपूर्ण दूरी पर मोड़ या किनारे पर पहुंचती है$S$$$डीए , हम पर्यटक के कानून को पूरा करने पर विचार करेंगे। मानचित्र के कुल क्षेत्र में सीमावर्ती क्षेत्रों का हिस्सा हमें इस कानून के अनुभव का अनुभव करने का मौका देगा। यह है कि नक्शे के अप्रिय हिस्से कब दिखते हैं$ड$$$α = 0.5 % और एक मोड़ में।$\alpha=0.5\%$

ग्रे "खराब" क्षेत्रों को इंगित करता है। एक कार्ड के लिए आधा प्रतिशत क्षेत्र के साथ एक भूखंड 40 सेमी चौड़ा अलग से दिखाया गया है, इसका व्यास 3 सेमी से थोड़ा अधिक है।

एक वर्ग कार्ड के लिए ।$$$d = \sqrt{\alpha S}$ । अप्रिय स्ट्रिप्स में एक क्षेत्र होगा $$$d \sqrt{S} = S\sqrt{\alpha}$ ।चार धारियां, दो ऊर्ध्वाधर और दो क्षैतिज, किनारे पर स्थित होंगी, कोई भी अतिरिक्त मोड़, क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर, एक और पट्टी जोड़ देगा। उसी समय, स्ट्रिप्सिंग स्ट्रिप्स एक क्षेत्र के साथ अतिरिक्त वर्गों को जोड़ते हैं$$$d^2 = \alpha S$ । कार्ड को मोड़कर ताकि यह निकल जाए $$$एन$ क्षैतिज और $$$एम$ ऊर्ध्वाधर झुकता है, हमें अप्रिय क्षेत्र का कुल क्षेत्रफल बराबर मिलता है: $$$S (n + 2) \ sqrt {\ Alpha} + S (m + 2) \ sqrt {\ Alpha} -S (n + 2) (m + 2) \ अल्फा$ । इसे पूरे मानचित्र के क्षेत्र में ले जाने पर, हमें कुल क्षेत्रफल का एक अप्रिय हिस्सा मिलता है:

$$

$$p = (n + m + 4) \ sqrt {\ Alpha} - (n + 2) (m + 2) \ अल्फा $$$

यह आंकड़ा उन क्षेत्रों को दर्शाता है जिनमें यह अनुपात अधिक है $$$50 \ _$ विभिन्न मूल्यों के लिए $$$\ अल्फा$ ।

जिन क्षेत्रों में नक्शे के मोड़ पर या इसके किनारे पर होने की संभावना बढ़ जाती है। अंक पूरे नक्शे के क्षेत्र से माना पड़ोस के क्षेत्र के अंश को दर्शाते हैं।

यह पता चला है कि एक पर्यटक के संबंध में पहले से ही दो बार आधे में मुड़ा हुआ कार्ड औपचारिक रूप से बेईमान माना जा सकता है। सबसे अधिक बार, कार्ड में तीन ऊर्ध्वाधर और तीन क्षैतिज तह होते हैं, जिसके बारे में एक संभावना के साथ अर्थ कानून को पूरा करने की संभावना मिलती है $$$60 \%$ पर $$$\ अल्फा = 0.5 \%$

मौका कहां से आता है?

स्मारिका दुकानों में आप "इच्छाओं की पसंद" के लिए चुंबकीय पेंडुलम पा सकते हैं। वे, भी, यांत्रिक यादृच्छिक जनरेटर हैं और कभी-कभी गलती से उन्हें "अराजक पेंडुलम" कहा जाता है। कुछ प्रारंभिक स्थिति और गति से आंदोलन शुरू करते हुए, पेंडुलम "अप्रत्याशित" दोलनों की एक श्रृंखला करता है और अंत में एक सेक्टर में रुक जाता है। हालांकि, यहां उतार-चढ़ाव अप्रत्याशित नहीं हैं, वे प्रारंभिक स्थितियों के लिए बस बहुत संवेदनशील हैं। प्रत्येक क्षेत्र के लिए जिसमें पेंडुलम रुक सकता है, समन्वय-वेग अंतरिक्ष में एक आकर्षण क्षेत्र है। यह ऐसी प्रारंभिक स्थितियों का एक सेट है जिसके तहत पेंडुलम आवश्यक रूप से संकेतित क्षेत्र में एक निश्चित बिंदु पर आकर्षित होगा। पेंडुलम के रुकने के बिंदु को एक आकर्षित करने वाला बिंदु कहा जाता है - एक आकर्षित करने वाला बिंदु। चित्र से एक पेंडुलम के मामले में, निर्देशांक और वेग का स्थान चार-आयामी है, और इसलिए आकर्षण के क्षेत्र को दिखाना आसान नहीं है। लेकिन अगर हम खुद को केवल दो क्षेत्रों तक सीमित रखते हैं और समस्या को एक-आयामी (जैसे पेंडुलम को डफिंग ऑसिलेटर) कहा जाता है, तो प्रारंभिक मूल्यों का स्थान एक विमान में बदल जाएगा, ताकि आकर्षण क्षेत्रों को देखा जा सके। वे एक जटिल यिन-यांग प्रतीक की तरह दिखते हैं, जल्दी से संकीर्ण स्ट्रिप्स में बदल जाते हैं जो आकर्षण के क्षेत्रों को अलग करते हैं।

इच्छाओं के एक आयामी पेंडुलम के लिए आकर्षित करने वालों के क्षेत्र - डफिंग थरथरानवाला।

जैसा कि सिक्का के मामले में, प्रारंभिक स्थितियों को थोड़ा स्थानांतरित करने पर, हम एक से दूसरे को आकर्षित करते हैं। पासा और रूलेट उसी तरह काम करते हैं, लेकिन वे खुद यादृच्छिक जनरेटर नहीं हैं। ये वास्तव में अराजक प्रणाली नहीं हैं और उनके व्यवहार की सही गणना की जा सकती है।

लेकिन असली मौका क्या है? एक सच्चे स्टोचस्टिक प्रणाली का एक अच्छा उदाहरण सड़क पर कारों की उपस्थिति है। लोग सहमत नहीं हैं, उनकी योजनाओं का समन्वय नहीं करते हैं, सड़क के बाहर पहनावा का प्रत्येक तत्व स्वतंत्र रूप से कार्य करता है। और यद्यपि लोगों के व्यवहार में कुछ निश्चित पैटर्न हैं - सुबह और शाम के समय, रात में खाली सड़कें, आदि, हमारे पास नहीं है और उनमें से किसी की उपस्थिति की भविष्यवाणी करने के लिए आंदोलन में प्रत्येक भागीदार के बारे में पर्याप्त जानकारी कभी नहीं होगी। क्वांटम स्तर पर प्राथमिक कणों के यांत्रिकी, अस्थिर परमाणुओं के क्षय, आनुवंशिक कोड में परिवर्तन, सबसे अधिक संभावना है, स्टॉक एक्सचेंज पर भूकंप और स्टॉक उद्धरण भी स्टोकेस्टिक हैं। केवल एक चीज जो शोधकर्ता के लिए बनी हुई है, वह है उन्हें यादृच्छिक चर के रूप में विचार करना और संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में उनका वर्णन करना।

लेकिन मौका का एक और स्रोत है - गतिशील अराजकता । अराजक प्रणालियाँ स्टोकेस्टिक लोगों से भिन्न होती हैं, जिसमें उन्हें सटीक समीकरणों और मापदंडों द्वारा वर्णित किया जाता है जिसमें यादृच्छिकता नहीं होती है। हालांकि, उनका व्यवहार न केवल जटिल है, बल्कि अराजक और वास्तव में अप्रत्याशित है। यदि हम इच्छाओं के पेंडुलम को बहुत सावधानी से देखना शुरू करते हैं, तो ठीक नियंत्रित आवृत्ति और आयाम के साथ, हम पाएंगे कि इसकी चिकनी चाल की गणना लंबे समय तक नहीं की जा सकती है। मनमाने ढंग से सटीक कंप्यूटर पर कोई भी एल्गोरिदम हमें मनमाने ढंग से दूर के भविष्य के लिए पेंडुलम के सटीक व्यवहार की गणना करने की अनुमति नहीं देगा। वह किसी भी क्षेत्र में नहीं रुकेगा, बल्कि सुचारू चाल चलेगा, लेकिन वह समन्वय-वेग अंतरिक्ष में दो बार एक ही बिंदु पर वापस नहीं आएगा। एक अत्यंत सरल अराजक प्रणाली का एक अन्य उदाहरण वसंत के साथ एक आदर्श टेबल पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में उछलती हुई एक आदर्श गेंद है। अपेक्षाकृत सरल लोरेंत्ज़ समीकरणों से पता चला कि हम कभी भी कुछ हफ़्ते से अधिक समय तक मौसम की भविष्यवाणी नहीं कर सकते - यह भी एक अराजक प्रणाली है।

गतिशील अराजकता का सिद्धांत ऐसी अप्रत्याशितता की प्रकृति की व्याख्या करने में सक्षम था। इच्छाओं की सरल एक-आयामी पेंडुलम, जिसकी हमने जांच की, उसके दो स्थिर स्थिर बिंदु थे - दो आकर्षित करने वाले, और एक अस्थिर, जिससे सिस्टम दूर होने की कोशिश कर रहा है, यह एक सफेद वृत्त द्वारा दिखाया गया है। अव्यवस्थित मोड में, एक सेट के बजाय आकर्षित करने वालों की एक अनंत संख्या में स्थिर प्रक्षेपवक्र प्रणाली में दिखाई देते हैं। यह सेट अनंत है, लेकिन इसमें शून्य माप है , और यह एक बहुत ही जटिल निराशाजनक संरचना है। एक बार इन प्रक्षेपवक्रों में से एक पर, सिद्धांत रूप में किसी भी परिमित एल्गोरिदम का उपयोग करके इसका पालन करना असंभव है। लेकिन सबसे आश्चर्य की बात, यह निकला कि यह अपने आप में अस्थिर प्रक्षेपवक्र की अनंत संख्या आकर्षक है! अराजक प्रणाली लगातार एक अजीब प्रक्षेपवक्र के आसपास से दूसरे पर कूदती है, जबकि सभी इस अजीब आकर्षण की सीमा के भीतर शेष हैं। तो इन सेटों को कहा जाता है: अजीब आकर्षण । यह है कि हार्मोनिक दोलनों के अधीन, इच्छाओं के एक पेंडुलम के लिए एक अजीब आकर्षण का खंड आकर्षक रूप से सुंदर दिखता है। एक आयामी पेंडुलम के लिए इस वस्तु को तीन आयामी अंतरिक्ष (समन्वय, गति, मजबूर दोलन के चरण) में वर्णित किया जा सकता है। यदि आप एक प्लेन द्वारा इस स्पेस में एक अट्रैक्टर को काटते हैं, तो आप इसकी संरचना देख सकते हैं, इसे पॉइनकेयर सेक्शन कहा जाता है। यहां प्रत्येक बिंदु प्रक्षेपवक्र का एक निशान है, और डॉट्स का रंग सापेक्ष गति को दर्शाता है जिसके साथ प्रक्षेपवक्र एक-दूसरे को बिखेरते हैं। यहाँ सुंदर अजीब आकर्षण के एक जोड़े हैं:


बाएं: एक स्प्रिंग-लोडेड टेबल पर उछलती हुई गेंद के प्रक्षेपवक्र के लिए पॉइंटकेयर सेक्शन। कई बिंदु ऊर्जा के संरक्षण के नियम के अनुरूप क्षेत्र की सतह से संबंधित हैं। सही: एक बड़ा क्षेत्र जो एक अजीब आकर्षण को जोड़ता है जो एक मोटी प्लेट के मजबूर कंपन के दौरान पैदा होता है।

अराजक प्रक्षेपवक्र की चिकनाई आपको भविष्य में थोड़ा देखने की अनुमति देती है। यह एक कष्टप्रद अवलोकन की व्याख्या करता है: एक तरफ, मौसम पूर्वानुमानकर्ता कभी-कभी एक सप्ताह के लिए मौसम की भविष्यवाणी नहीं कर सकते हैं, लेकिन दूसरी ओर, यदि आप कहते हैं कि कल भी वैसा ही मौसम होगा, तो आपको चार में से तीन मामलों में गलती नहीं होगी। । सामान्य तौर पर, मौसम के पूर्वानुमान के बारे में चुटकुले अनुचित हैं और हमें मानवीय विचार और दृढ़ता के लिए श्रद्धांजलि अर्पित करनी चाहिए, जिससे आधुनिक स्तर पर मौसम की भविष्यवाणी करना संभव हो गया!

एक सिद्धांत के रूप में गतिशील अराजकता बहुत जटिल और सुंदर है, यह अद्भुत लालित्य की छवियों को जन्म देती है, लेकिन यह उपयोगी भी हो सकती है। उदाहरण के लिए, एल्गोरिदम जिसके द्वारा कंप्यूटर में यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न की जाती हैं, नियतात्मक भी होती हैं। इस पुस्तक में उदाहरणों के लिए, मैंने एक छद्म यादृच्छिक संख्या जनरेटर का उपयोग किया था जो वास्तविक स्टोचस्टिक प्रक्रिया (अल्फा क्षय, या सड़क पर कारों की गिनती) को शुरू नहीं करता था, लेकिन पहले प्राप्त किए गए पिछले वाले के आधार पर अगले "यादृच्छिक" संख्या की गणना करता था।

सिक्कों से लेकर तितलियों तक और भाग्य से ही

सिस्टम में छोटे-छोटे विचलन वैश्विक परिवर्तनों में कैसे विकसित होते हैं, इस पर विचार "तितली प्रभाव" के रूप में होता है। आपको याद दिला दूं कि इस आशय का अर्थ है, पहली नज़र में, कुछ तुच्छ लोगों के दूरगामी नाटकीय परिणामों की एक श्रृंखला। अतीत के शोधकर्ताओं द्वारा कुचल, रे ब्रैडबरी की लघु कहानी "एंड द थंडर मारा" में तितली ने भविष्य के एक कट्टरपंथी पुनर्गठन का नेतृत्व किया। और उनके व्याख्यान में से एक, गतिशील अराजकता के सिद्धांत के निर्माता एडवर्ड लोरेन्ज, जिसका शीर्षक है: "क्या ब्राजील में तितली के पंख का एक फ्लैप टेक्सास में एक तूफान का कारण बन सकता है?"

हम स्पष्ट रूप से इस आशय का उल्लेख करते हैं, विलाप करते हुए: "यदि मैं कोने को मोड़ता नहीं, तो सब कुछ अलग होता!", "यदि वह इस ट्रेन में नहीं मिला होता, तो कोई तबाही नहीं होती!" या "इस तरह के trifles के कारण, वे झगड़ा और जुदा हो गए !!" लेकिन हम देखते हैं कि सही मायने में स्टोकैस्टिक क्वांटम दुनिया और दुनिया में अल्ट्रा-सटीक परमाणु घड़ियों का सह-अस्तित्व, सितारों और आकाशगंगाओं की दुनिया में स्थिर हैमिल्टन सिस्टम और शनि के छल्ले या कूपर के छल्ले, अणुओं की थर्मल गति और जैविक प्रणालियों या ऑटोमोबाइल तंत्र के संचालन की अद्भुत सटीकता। नहीं, एक तितली के पंख का प्रालंब तूफान को जन्म नहीं देता है, लेकिन एक ट्रेस के बिना गायब हो जाता है, जिससे भंवरों की एक श्रृंखला बनती है जो ऊर्जा और सूचना को तेजी से छोटे भंवरों तक पहुंचाती है, जब तक कि उतार-चढ़ाव की अराजकता में ऊर्जा और सूचना दोनों गायब नहीं हो जाते। यह स्पष्ट रूप से समझा जाना चाहिए कि छोटे विचलन प्रणाली के एक मौलिक पुनर्गठन की ओर ले जाते हैं यदि यह अस्थिर है या यदि प्रणाली एक द्विभाजन या तबाही के कगार पर है - तो यही है कि मापदंडों के छोटे परिवर्तनों के साथ प्रणाली के व्यवहार में वैश्विक पुनर्गठन को गणित की भाषा में कहा जाता है। और द्विभाजन हमेशा पैरामीटर स्पेस में शून्य माप के सेट बनाते हैं - ये बिंदु या सीमाएं हैं। छोटी-मोटी गड़बड़ी लगभग हर जगह आपदाओं का कारण नहीं बनती है (यह भी एक सटीक शब्द है "हर जगह, शून्य माप के एक सेट को छोड़कर"), और प्रकृति में अस्थिर राज्यों को "समय की परीक्षा" पास किए बिना शायद ही कभी देखा जाता है।

यदि दंपत्ति ने "बकवास के कारण" तोड़ दिया, तो उसे किसी भी मामले में टूटना तय था, वह अस्थिर थी। स्थिर जोड़े युद्धों और अकालों से गुजरते हैं, और फिर, कभी-कभी, वे टूट जाते हैं, लेकिन trifles के कारण नहीं, बल्कि गहरे परिवर्तनों के परिणामस्वरूप जो किसी व्यक्ति के जीवन में हो सकता है। ट्रेन दुर्घटना के कारण होने वाली घटनाओं की श्रृंखला में, एक महत्वपूर्ण घटना (एक विशिष्ट त्रुटि या घातक दुर्घटना) को बाहर करना आसान नहीं है और, सबसे अधिक संभावना है, कुंजी एक घटना नहीं है, लेकिन नियमों का एक व्यवस्थित उल्लंघन है, जिससे सिस्टम एक अस्थिर स्थिति में पहुंच जाता है। यदि सिस्टम में बहुत सारे पैरामीटर हैं, और उनमें से कुछ यादृच्छिक हैं, और हमारे जीवन को उस तरह से संरचित किया गया है, तो ऐसी प्रणाली में जानकारी खो जाती है, और यह संभव नहीं है कि हमारे जीवन में क्या सही क्षण में सब कुछ गलत हो गया। जो हुआ उसके बारे में पछतावे के साथ खुद को न सताएं, बल्कि अब जो हो रहा है, उस पर करीब से नज़र डालें, ताकि द्विभाजन के वास्तविक बिंदु को याद न करें।

इस संबंध में, हम मर्फ़ोलोजी के कानूनों में से एक को याद कर सकते हैं, जिसे एक निश्चित ड्रेसेन द्वारा पुनर्स्थापना कानून कहा जाता है:

किसी स्थिति को सुधारने का समय उस समय के विपरीत आनुपातिक होता है जब यह बिगड़ जाता है।

निम्नलिखित अवलोकन एक उदाहरण के रूप में दिया गया है: इसे तोड़ने के लिए फूलदान को गोंद करने में अधिक समय लगता है। यह कानून आश्चर्यजनक रूप से एक स्थिर प्रणाली की छूट प्रक्रिया के लिए विशेषता दरों के बीच के संबंध का वर्णन करता है, जिसे एक घटते मानदंड कानून द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$$e ^ {- \ lambda t}$ और एक अस्थिर प्रणाली में विनाशकारी प्रक्रिया के विकास की दर, रैखिक सन्निकटन में - एक छोटे गड़बड़ी की घातीय वृद्धि $$$e ^ {\ lambda t}$ । ये गति वास्तव में एक दूसरे के विपरीत आनुपातिक हैं। फूलदान उदाहरण, हालांकि, विश्राम नहीं है - सबसे संभावित राज्य के लिए एक संक्रमण। यह एक और प्रक्रिया के करीब है - स्व-संगठन के लिए , यह प्रक्रिया, पहली सन्निकटन के रूप में, लॉजिस्टिक कानून द्वारा वर्णित है और आपदा की तुलना में विश्राम करने की गति के करीब है।

विशिष्ट गैर-स्थिर प्रक्रियाएं: आपदा, विश्राम और आत्म-संगठन, एक ही विशेषता समय।

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कभी-कभी, बर्फ में चलते हुए, मुझे आश्चर्य होता है कि एक बर्फ का टुकड़ा मेरी नाक पर गिरता है। मुझे आश्चर्य है कि इस घटना की संभावना नगण्य थी। इसे देखते हुए, वह पैसिफिक ओशन के ऊपर आसमान में पैदा हुई, बादलों में अनियमित अशांत धाराओं में घिरी, लगातार बदलती दिशा में गिरती रही ... मेरी नाक की नोक पर! और फोटॉनों ने एक दूर के तारे से एक आश्चर्यजनक पथ क्या देखा? दसियों हज़ार वर्षों तक वे ब्रह्माण्ड से गुज़रे, वे धूल से नहीं निगल गए, वे एक क्षुद्रग्रह से नहीं मिले! वे एक दूर के तारे की क्वांटम दुनिया में पैदा हुए थे, और मेरी आंखों में रेटिना पर ऑप्सिन प्रोटीन की क्वांटम दुनिया में अपनी यात्रा समाप्त की। इस घटना की संभावना पर विचार करने में भी कोई मतलब नहीं है, यह शून्य है, लेकिन घटना होती है, और मुझे एक स्टार की टिमटिमाती रोशनी दिखाई देती है। अब यह स्पष्ट है कि यह सब इसलिए है क्योंकि मेरी नाक और यहां तक ​​कि अणुओं के क्षेत्र में एक गैर-शून्य माप है, लेकिन फिर भी आश्चर्यजनक है: जो लगभग निश्चित रूप से नहीं होना चाहिए था वह अभी भी हो रहा है!

दार्शनिकों को पूर्वनिर्धारित या आकस्मिक भाग्य, प्रकृति के हमारे ज्ञान के सत्य या प्रेत के बारे में बहस करने दें। मैं पाठक से आग्रह करता हूं कि वह दुनिया को गणितीय सार की ऊंचाई से देखे और उसकी सुंदरता और स्थिरता की प्रशंसा करे।