तर्क, व्याख्या और भविष्य की समझ

तर्क से संबंधित खोज

तर्क कई चीजों का आधार है। लेकिन स्वयं तर्क की नींव क्या है?

प्रतीकात्मक तर्क में, "यह एक दिलचस्प निबंध है" टाइप के बयानों (या "प्रस्ताव") को दर्शाने के लिए p और q जैसे प्रतीकों को पेश किया जाता है। तर्क के कुछ नियम अभी भी हैं, उदाहरण के लिए, किसी भी p और किसी भी q के लिए अभिव्यक्ति NOT (p AND q) समान है (NOT p) OR (NOT q)।

लेकिन ये "तर्क के नियम" कहाँ से आते हैं? तर्क एक औपचारिक प्रणाली है। यूक्लिडियन ज्यामिति की तरह, इसका निर्माण स्वयंसिद्धों पर किया जा सकता है। लेकिन स्वयंसिद्ध क्या हैं? आप p और q = q और p जैसे कथनों से शुरू कर सकते हैं, या NOT p = p नहीं। लेकिन कितने स्वयंसिद्ध आवश्यक हैं? वे कितने सरल हो सकते हैं?

यह सवाल लंबे समय से दर्दनाक है। लेकिन 29 जनवरी, 2000 को रविवार को 20:31 पर, मेरे कंप्यूटर की स्क्रीन पर एकमात्र स्वयंसिद्ध दिखाई दिया। मैंने पहले ही दिखाया है कि कुछ भी सरल नहीं हो सकता है, लेकिन मैंने जल्द ही स्थापित किया कि यह एक छोटा सा स्वयंसिद्ध सभी तर्क बनाने के लिए पर्याप्त था:


मुझे कैसे पता चला कि वह सच थी? क्योंकि मैंने कंप्यूटर को यह साबित कर दिया। और यहाँ मैंने " ए न्यू टाइप ऑफ़ साइंस " पुस्तक में छपे प्रमाण को पहले से ही ( वुल्फराम डेटा रिपॉजिटरी में उपलब्ध है ):


वुल्फराम भाषा के नवीनतम संस्करण का उपयोग करके, कोई भी एक मिनट से अधिक समय में इस प्रमाण को उत्पन्न नहीं कर सकता है। और उसका हर कदम सत्यापित करना आसान है । लेकिन परिणाम सच क्यों होगा? इसे कैसे समझा जाए?

मशीन लर्निंग और एआई से संबंधित सभी प्रकार के कंप्यूटिंग सिस्टम और एप्लिकेशन के बारे में इसी तरह के सवाल तेजी से पूछे जा रहे हैं। हां, हम देखते हैं कि क्या हो रहा है। लेकिन क्या हम इसे समझ सकते हैं?

मुझे लगता है कि यह मुद्दा गहराई से स्वाभाविक है - और विज्ञान और प्रौद्योगिकी के भविष्य के लिए, और सभी बौद्धिक विकास के भविष्य के लिए महत्वपूर्ण है।

लेकिन इससे पहले कि हम इस बारे में बात करते हैं, आइए उस स्वयंसिद्ध चर्चा पर चर्चा करें जिसे मैंने खोजा था।

कहानी

औपचारिक अनुशासन के रूप में तर्क अरस्तू से आता है, जो ईसा पूर्व चौथी शताब्दी में रहता था। चीजों (जानवरों, कारणों, आदि) को सूचीबद्ध करने में उनके जीवन के काम के हिस्से के रूप में, अरस्तू ने तर्कों के अनुमेय रूपों की एक सूची तैयार की और उनके लिए प्रतीकात्मक टेम्पलेट्स का निर्माण किया, जो संक्षेप में, दो हजार साल आगे तर्क की मुख्य सामग्री प्रदान करते थे।

हालांकि, 15 वीं शताब्दी तक, बीजगणित का आविष्कार किया गया था, और इसके साथ चीजों की स्पष्ट तस्वीर दिखाई दी थी। लेकिन यह 1847 तक नहीं था कि जॉर्ज बुल ने अंततः बीजगणित के समान तर्क तैयार किए, जैसे कि तार्किक संचालन जैसे कि और या बीजगणित के नियमों के समान नियमों के अनुसार काम करना।

कुछ वर्षों के बाद, लोग पहले से ही तर्क के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली लिख रहे थे। एक विशिष्ट उदाहरण था:


लेकिन और, या तर्क के लिए वास्तव में आवश्यक नहीं हैं? 20 वीं शताब्दी के पहले दशक के बाद, कई लोगों को पता चला कि एकमात्र ऑपरेशन जिसे अब हम नंद कहते हैं, पर्याप्त होगा, और, उदाहरण के लिए, p OR q को (p NAND p) NAND (q NAND q) के रूप में गणना की जा सकती है। नंद की "कार्यात्मक पूर्णता" हमेशा के लिए विचित्र रह सकती है यदि यह अर्धचालक प्रौद्योगिकी के विकास के लिए नहीं थी - यह आधुनिक माइक्रोप्रोसेसर के सभी अरबों तार्किक ऑपरेशनों को कार्यान्वित करता है जो केवल NAND फ़ंक्शन या संबंधित NOR का प्रदर्शन करने वाले ट्रांजिस्टर के संयोजन का उपयोग करता है।

ठीक है, तो तर्क के स्वयंसिद्ध नंद के संदर्भ में क्या दिखते हैं? 1913 में हेनरी शेफ़र द्वारा रिकॉर्ड किया गया उनका पहला संस्करण यहाँ दिया गया है (यहाँ डॉट नंद को दर्शाता है):


1910 में, प्रिंसिपिया मैथेमेटिका, अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड और बर्ट्रेंड रसेल द्वारा गणित के तर्क और दर्शन पर तीन-खंड का काम, इस विचार को लोकप्रिय बनाता है कि शायद सभी गणित तर्क से काटे जा सकते हैं। यह देखते हुए, इस सवाल का अध्ययन करना काफी दिलचस्प था कि तर्क के स्वयंसिद्ध कितने सरल हो सकते हैं। इस क्षेत्र में सबसे महत्वपूर्ण काम लविवि और वारसॉ (तब ये शहर पोलैंड का हिस्सा थे) में किया गया था, विशेष रूप से, जान लुकासेविच (1920 में अपने काम के एक साइड इफेक्ट के रूप में, उन्होंने एक "पोलिश" रिकॉर्ड का आविष्कार किया, जिसे ब्रैकेट्स की आवश्यकता नहीं है)। 1944 में, 66 वर्ष की आयु में, लुकासेविच सोवियत सेना से आगे निकल गए और 1947 में आयरलैंड में समाप्त हो गए।

इस बीच, आयरिशमैन कैरव मेरेडिथ, जो विनचेस्टर और कैम्ब्रिज में पढ़ते थे, और कैम्ब्रिज में गणित के शिक्षक बन गए थे, को उनके शांतिवाद के कारण 1939 में आयरलैंड लौटने के लिए मजबूर किया गया था। 1947 में, मेरेडिथ ने डबलिन में लुकासेविच के व्याख्यान में भाग लिया, जिसने उन्हें अपने जीवन के बाकी हिस्सों के लिए सरल स्वयंसिद्ध खोज करने के लिए प्रेरित किया, जो उन्होंने किया।

1949 तक, मेरेडिथ ने दो-स्वयंसिद्ध प्रणाली की खोज की:


लगभग 20 साल बाद, 1967 में वह इसे सरल बनाने में सफल रहे:


क्या इसे और सरल करना संभव है? मेरेडिथ वर्षों से इसके साथ छेड़छाड़ कर रहा है, यह पता लगा रहा है कि आप अतिरिक्त नंद को कहां निकाल सकते हैं। लेकिन 1967 के बाद, उन्होंने आगे कोई प्रगति नहीं की (और 1976 में मृत्यु हो गई), हालांकि 1969 में उन्हें तीन-स्वयंसिद्ध सेवा मिली:


जब मैंने तर्क की स्वयंसिद्ध प्रणालियों का अध्ययन करना शुरू किया, तो मुझे मेरेडिथ के काम के बारे में कुछ भी नहीं पता था। इस विषय में मेरी दिलचस्पी यह समझने की कोशिश के हिस्से के रूप में हुई कि व्यवहार सरल नियमों से क्या हो सकता है। 1980 के दशक में, मैंने अप्रत्याशित खोज की , यहां तक ​​कि सबसे सरल संभव नियमों के साथ सेलुलर ऑटोमेटा - जैसे मेरा पसंदीदा नियम 30 - अविश्वसनीय रूप से जटिल व्यवहार को जन्म दे सकता है।

1990 के दशक को इस घटना की व्यापकता को समझने की कोशिश में खर्च करने के बाद, मैं आखिरकार यह देखना चाहता था कि इसे गणित पर कैसे लागू किया जा सकता है। गणित में, हम, वास्तव में, स्वयंसिद्ध (उदाहरण के लिए, अंकगणित में, ज्यामिति में, तर्क में) के साथ काम करना शुरू करते हैं, और फिर उनके आधार पर हम जटिल प्रमेयों के एक पूरे सेट को साबित करने की कोशिश करते हैं।

हालाँकि, स्वयंसिद्ध कितना सरल हो सकता है? यही मैं 1999 में स्थापित करना चाहता था। पहले उदाहरण के रूप में, मैंने तर्क (या, समकक्ष, बूलियन बीजगणित) का अध्ययन करने का निर्णय लिया। मेरी सभी अपेक्षाओं का खंडन करते हुए, सेलुलर ऑटोमेटा, ट्यूरिंग मशीनों और अन्य प्रणालियों के साथ मेरा अनुभव - यहां तक ​​कि आंशिक अंतर समीकरणों सहित - यह सुझाव देता है कि आप बस सबसे सरल मामलों को सूचीबद्ध करना शुरू कर सकते हैं और कुछ बिंदु पर कुछ देख सकते हैं दिलचस्प।

लेकिन क्या इस तरह से "तर्क को खोलना" संभव है? ऐसा कहने का केवल एक ही तरीका था। और 1999 के अंत में, मैंने सभी संभव स्वयंसिद्ध प्रणालियों के स्थान की खोज शुरू करने के लिए सब कुछ व्यवस्थित किया, जो सबसे सरल से शुरू होता है।

एक अर्थ में, स्वयंसिद्ध की कोई भी प्रणाली p · q पर, बाधाओं का एक सेट परिभाषित करती है। वह यह नहीं कहती है कि p · q क्या है, वह केवल वह गुण देती है जो p · q को संतुष्ट करना चाहिए (उदाहरण के लिए, वह कह सकती है कि q · p = p · q)। फिर सवाल यह है कि क्या इन गुणों से व्युत्पन्न संभव है तर्क के सभी प्रमेय जो कि पकड़ते हैं जब p · q नंद है [p, q]: न तो अधिक और न ही कम।

कुछ को सीधे सत्यापित किया जा सकता है। हम स्वयंसिद्धों की प्रणाली को ले सकते हैं और देख सकते हैं कि p · q स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं, यदि p और q हैं, कहते हैं, सत्य और असत्य। यदि स्वयंसिद्ध की प्रणाली है कि q · p = p · q, तो हाँ, p · q नंद [p, q] हो सकता है - लेकिन जरूरी नहीं। यह भी हो सकता है और [पी, क्यू] या बराबर [पी, क्यू], या कई अन्य विकल्प हैं जो तर्क में एनएंड फ़ंक्शन के समान स्तरों को संतुष्ट नहीं करते हैं। लेकिन जब तक हम स्वयंसिद्ध प्रणाली {(p (p · p) · q) · (q · p) = q} प्राप्त करते हैं, तब तक हम उस अवस्था में पहुँच जाते हैं जिसमें नंद [p, q] (और नोर [p के बराबर) , q]) केवल कामकाजी p · q मॉडल हैं - कम से कम अगर हम मान लें कि q और p में केवल दो संभावित मान हैं।

क्या यह तर्क के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली है? नहीं। क्योंकि इसका तात्पर्य है, उदाहरण के लिए, एक वैरिएंट का अस्तित्व जहाँ p और q के तीन मान हैं, लेकिन यह तर्क में नहीं है। हालांकि, तथ्य यह है कि एक स्वयंसिद्ध से स्वयंसिद्ध की यह प्रणाली वह है जो हमें आवश्यकता है कि यह इंगित करता है कि यह एक एकल स्वयंसिद्ध की तलाश में है जिसमें से तर्क को पुन: पेश किया जाता है। यह ठीक वैसा ही है जैसा मैंने जनवरी 2000 में किया था (हमारे समय में इस कार्य को वुल्फ्राम लैंग्वेज, ग्रुपिंग के काफी नए और बहुत सुविधाजनक कार्य के लिए धन्यवाद दिया गया है)।

यह सत्यापित करना काफी आसान था कि स्वयंसिद्ध जिसमें 3 या उससे कम NAND (या "पॉइंट ऑपरेटर") काम नहीं करते थे। रविवार 29 जनवरी को सुबह 5 बजे तक (हाँ, तब मैं एक उल्लू था), मैंने पाया कि 4 नंद वाले स्वयंसिद्ध काम नहीं करेंगे। जब मैंने सुबह लगभग 6 बजे काम बंद कर दिया, तो मेरे हाथों में पाँच नंदों के साथ 14 उम्मीदवार थे। लेकिन रविवार की शाम को काम करना जारी रखा और अतिरिक्त परीक्षण किए, मुझे उन सभी को छोड़ना पड़ा।

कहने की जरूरत नहीं है, अगला कदम 6 नंद के साथ स्वयंसिद्धों की जांच करना था। उनमें से 288,684 थे। लेकिन मेरे कोड ने कुशलता से काम किया, और स्क्रीन पर दिखाई देने से पहले बहुत समय नहीं बीता (हाँ, गणितज्ञ संस्करण 4 से):


पहले तो मुझे समझ नहीं आया कि मैंने क्या किया। मुझे केवल इतना पता था कि मेरे पास 6 नंदों के साथ 25 कोई नहीं है, जो 5 नंद के साथ स्वयंसिद्धों से आगे बढ़ने में सक्षम है। लेकिन क्या उनके बीच स्वयंसिद्ध थे जो तर्क उत्पन्न करते थे? मेरे पास एक अनुभवजन्य पद्धति थी जो अनावश्यक स्वयंसिद्धों को छोड़ने में सक्षम थी। लेकिन किसी विशेष स्वयंसिद्ध की शुद्धता को सुनिश्चित करने का एकमात्र तरीका यह साबित करना था कि यह सफलतापूर्वक पुन: पेश करने में सक्षम था, उदाहरण के लिए, तर्क के लिए शेफ़र का स्वयंसिद्ध।

कार्यक्रमों के साथ यह थोड़ा सा खेल था, लेकिन कुछ दिनों के बाद मैंने पाया कि प्राप्त 25 में से अधिकांश स्वयंसिद्धों ने काम नहीं किया। नतीजतन, दो बच गए:



और मेरे बहुत खुशी के लिए, मैं एक कंप्यूटर का उपयोग कर साबित करने में सक्षम था कि दोनों तर्क के लिए स्वयंसिद्ध हैं। तकनीक का उपयोग तर्क के लिए सरल स्वयंसिद्ध की अनुपस्थिति की गारंटी देता है। इसलिए, मुझे पता था कि मैं लक्ष्य तक पहुँच गया था: खोजों की एक शताब्दी (या शायद कुछ सहस्राब्दी) के बाद, हम अंत में कह सकते हैं कि हमने तर्क के लिए सबसे सरल स्वयंसिद्ध शब्द खोज लिया है।

इसके तुरंत बाद, मैंने सामान्य रूप से 6 नंदों के साथ दो स्वयंसिद्ध प्रणालियों की खोज की, जो, जैसा कि मैंने साबित किया, तर्क को पुन: पेश करने में सक्षम हैं:



और अगर हम दिए गए के लिए कम्यूटेटी पी · क्यू = क्यू · पी लेते हैं, तो तर्क केवल 4 नंद वाले स्वयंसिद्ध से प्राप्त किया जा सकता है।

यह महत्वपूर्ण क्यों है?

ठीक है, यह कहने में सक्षम होने के लिए बहुत अच्छा है कि किसी ने "अरस्तू द्वारा शुरू किया गया काम पूरा किया" (या कम से कम बोले) और तर्क के लिए स्वयंसिद्ध की सरलतम संभव प्रणाली की खोज की। क्या यह सिर्फ एक नौटंकी है, या इस तथ्य के महत्वपूर्ण परिणाम हैं?

प्लेटफ़ॉर्म से पहले जो मैंने ए न्यू काइंड ऑफ साइंस में विकसित किया था, मुझे लगता है कि इस तथ्य को सिर्फ एक जिज्ञासा से अधिक कुछ समझना मुश्किल होगा। लेकिन अब यह स्पष्ट होना चाहिए कि यह सभी प्रकार के बुनियादी सवालों से जुड़ा है, जैसे कि गणित को एक खोज या एक आविष्कार माना जाना चाहिए।

गणित जो लोग करते हैं, वे कुछ विशेष प्रणालियों के स्वयंसिद्धों पर आधारित होते हैं - जिनमें से प्रत्येक गणित के एक विशिष्ट क्षेत्र (तर्क, समूह सिद्धांत, ज्यामिति, सेट सिद्धांत) को परिभाषित करता है। लेकिन सारगर्भित बात करते हुए, स्वयंसिद्ध प्रणालियों की एक अनंत संख्या है - जिनमें से प्रत्येक गणित के एक क्षेत्र को परिभाषित करता है जिसका अध्ययन किया जा सकता है, भले ही लोगों ने अभी तक ऐसा नहीं किया हो।

ए न्यू काइंड ऑफ साइंस नामक पुस्तक से पहले, मेरा स्पष्ट रूप से मतलब था कि कंप्यूटिंग ब्रह्मांड में "कहीं न कहीं" मौजूद है, जो लोगों ने बनाया और अध्ययन किया है, उससे "कम दिलचस्प" होना चाहिए। लेकिन सरल कार्यक्रमों के बारे में मेरी खोजों से संकेत मिलता है कि सिस्टम "बस कहीं बाहर" उन लोगों की तुलना में कोई कम समृद्ध संभावनाएं नहीं हैं जो सावधानीपूर्वक लोगों द्वारा चुने गए हैं।

तो गणित के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली के बारे में क्या? मौजूदा "कहीं न कहीं" की तुलना करने के लिए लोगों ने क्या अध्ययन किया, आपको यह जानने की जरूरत है कि क्या गणित के मौजूदा क्षेत्रों के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली झूठ बोलती है। और, लोगों द्वारा बनाई गई पारंपरिक प्रणालियों के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वे कहीं बहुत, बहुत दूर होना चाहिए - और सामान्य तौर पर वे तभी मिल सकते हैं जब आप पहले से ही जानते हों कि आप कहां हैं।

लेकिन स्वयंसिद्ध प्रणाली की मेरी खोज ने इस सवाल का जवाब दिया "तर्क कितना दूर है?" सेलुलर ऑटोमेटन जैसी चीजों के लिए, यह संख्या के लिए बहुत आसान है (जैसा कि मैंने 1980 के दशक में किया था) सभी संभव सेलुलर ऑटोमेटा। स्वयंसिद्ध प्रणालियों के साथ ऐसा करना थोड़ा कठिन है - लेकिन बहुत अधिक नहीं। एक दृष्टिकोण में, मेरे स्वयंसिद्ध 411; 3; 7; 118 - या, वुल्फराम भाषा में कहा जा सकता है:


और, कम से कम संभव कार्यात्मक रूपों के स्थान पर (चर के निशान को ध्यान में नहीं रखते हुए) इस स्वयंसिद्ध के स्थान का एक दृश्य प्रतिनिधित्व है:


इतनी बड़ी संख्या में औपचारिक प्रणालियों के लिए तर्क के मूलभूत महत्व को देखते हुए, लोग अध्ययन करते हैं, किसी को लगता है कि किसी भी उचित प्रतिनिधित्व में, तर्क स्वयंसिद्ध सरलतम प्रणालियों में से एक से मेल खाता है। लेकिन, कम से कम एक प्रस्तुति में नंद का उपयोग करते हुए, ऐसा नहीं है। उसके लिए, अभी भी स्वयंसिद्ध प्रणाली की एक बहुत ही सरल प्रणाली है, लेकिन यह संभवतया उन सभी संभावित लोगों से स्वयंसिद्धों की एक सौ हजार प्रणाली बन जाएगी, जो आपको मिल सकती हैं यदि आप सरलतम से शुरू होने वाले अक्षतंतुओं की प्रणाली को क्रमबद्ध करना शुरू करते हैं।

इसे देखते हुए, अगला अगला प्रश्न यह होगा: स्वयंसिद्ध अन्य सभी प्रणालियों के बारे में क्या? वे कैसे व्यवहार करते हैं? यह मुद्दा है कि पुस्तक ए न्यू काइंड ऑफ साइंस की पड़ताल। और इसमें मैं इस बात की पुष्टि करता हूं कि प्रकृति में देखी जाने वाली व्यवस्थाएं इन सबसे "अन्य नियमों" द्वारा सबसे अधिक बार वर्णित की जाती हैं जिन्हें हम संभावनाओं को क्रमबद्ध करके पा सकते हैं।

स्वयंसिद्ध प्रणालियों के लिए, मैंने एक चित्र बनाया जो यह दर्शाता है कि "गणित के क्षेत्रों" में क्या हो रहा है जो कि स्वयंसिद्ध विभिन्न प्रणालियों के अनुरूप है। श्रृंखला एक्सिओम्स की एक निश्चित प्रणाली के परिणामों को दिखाती है, और बॉक्स एक्सिओम की किसी दिए गए सिस्टम में एक निश्चित प्रमेय की सच्चाई को दर्शाते हैं (हाँ, कुछ बिंदु पर गोडेल का प्रमेय लागू होता है, जिसके बाद एक्सिओम की दी गई प्रणाली में किसी दिए गए प्रमेय को सिद्ध करना या उसे तोड़ना अविश्वसनीय रूप से कठिन हो जाता है, अभ्यास के साथ); मेरे तरीकों से, यह तस्वीर में दिखाए गए के दाईं ओर थोड़ा सा होता है)।


क्या गणित के क्षेत्रों में कुछ विशेष रूप से विशेष है जो "लोगों द्वारा शोधित" हैं? इस और अन्य चित्रों को देखते हुए, कुछ भी स्पष्ट नहीं है। मुझे संदेह है कि इन क्षेत्रों में केवल एक ही विशेषता है - ऐतिहासिक तथ्य जो उनका अध्ययन किया गया था। (आप "वे वास्तविक दुनिया का वर्णन करते हैं" या "मस्तिष्क कैसे काम करता है, इससे संबंधित है" जैसे बयान दे सकते हैं, लेकिन पुस्तक में वर्णित परिणाम इसके विपरीत बताते हैं)।

खैर, तर्क के लिए मेरी स्वयंसिद्ध प्रणाली का क्या महत्व है? इसका आकार आपको तर्क की अंतिम सूचना सामग्री को एक स्वयंसिद्ध प्रणाली के रूप में महसूस करता है। और यह हमें विश्वास दिलाता है - कम से कम अब के लिए - कि हमें "प्राकृतिक कारणों" के लिए "खोज" के रूप में "मनुष्य द्वारा आविष्कार किए गए निर्माण" के रूप में तर्क पर अधिक विचार करने की आवश्यकता है।

यदि कहानी अलग तरह से चलती है, और हम एक्सिओम्स के कई संभावित सरल सिस्टमों के लिए लगातार खोज करेंगे (जैसा कि किताब में किया गया है), तो हम शायद लॉजिक के लिए एक्साइज की प्रणाली को "ओपन" करेंगे, जैसे कि वह सिस्टम जिसके गुण हमें दिलचस्प लगते हैं। लेकिन जब से हमने सभी संभव स्वयंसिद्ध प्रणालियों की इतनी कम संख्या का अध्ययन किया है, मुझे लगता है कि तर्क को "आविष्कार" के रूप में विचार करना उचित होगा - विशेष रूप से निर्मित निर्माण।

एक अर्थ में, मध्य युग में, तर्क ऐसा दिखता था - जब संभव syllogisms (स्वीकार्य प्रकार के तर्क) bArbArA और cElErAnt जैसे लैटिन mnemonics के रूप में प्रतिनिधित्व करते थे। इसलिए, अब हम तर्क के लिए स्वयंसिद्ध की सबसे सरल प्रणाली के रूप में जो कुछ भी जानते हैं उसका एक मात्रिक प्रतिनिधित्व खोजना दिलचस्प है।

((P · q) · r) से शुरू होकर · (p · ((p · r) · p) = r, प्रत्येक p · q को उपसर्ग या पोलिश प्रविष्टि के रूप में दर्शाया जा सकता है (एचपी कैलकुलेटर के "रिवर्स पोलिश एंट्री" के विपरीत) ) Dpq के रूप में - इसलिए, पूरे स्वयंसिद्ध को = DDDpqrDpDDprpr लिखा जा सकता है। इस विषय पर एक अंग्रेजी मेनेमोनिक भी है - एफआईजीईआरयू क्यू क्यू, जहां यू, आर, ई द्वारा भूमिकाएं पी, क्यू, आर निभाई जाती हैं। या आप निम्नलिखित वाक्य में शब्दों के पहले अक्षर को देख सकते हैं (जहां बी ऑपरेटर है, और पी, क्यू, आर एक, पी, सी हैं): "बिट द्वारा बिट, एक प्रोग्राम सभी मामलों के लिए बूलियन बीजगणित का सबसे अच्छा द्विआधारी स्वयंसिद्ध"। एक कार्यक्रम के माध्यम से धीरे-धीरे बूलियन बीजगणित का सबसे अच्छा द्विआधारी स्वयंसिद्ध सभी मामलों का वर्णन करता है]।

प्रमाण यांत्रिकी

ठीक है, तो आप मेरी स्वयंसिद्ध प्रणाली की शुद्धता कैसे साबित करेंगे? पहली बात जो मन में आती है वह यह दिखाना है कि तर्क के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली की एक प्रसिद्ध प्रणाली से कटौती करना संभव है - उदाहरण के लिए, स्वयंसिद्ध प्रणाली स्वयंसिद्ध:


यहां तीन स्वयंसिद्ध हैं, और हमें प्रत्येक को प्राप्त करने की आवश्यकता है। यहाँ आप वुल्फराम भाषा के नवीनतम संस्करण का उपयोग करते हुए, पहले उत्पादन के लिए क्या कर सकते हैं:


यह उल्लेखनीय है कि अब ऐसा करना संभव हो गया है। "साक्ष्य के उद्देश्य" में यह लिखा है कि सबूत के लिए 54 चरणों का उपयोग किया गया था। इस ऑब्जेक्ट के आधार पर, हम "नोटबुक" उत्पन्न कर सकते हैं जो प्रत्येक चरण का वर्णन करता है:


सामान्य तौर पर, मध्यवर्ती नींबू का पूरा अनुक्रम यहां साबित होता है, जो हमें अंतिम परिणाम को कम करने की अनुमति देता है। नींबू के बीच आपसी निर्भरता का एक पूरा नेटवर्क है:


लेकिन स्कैफ़र स्वयंसिद्ध प्रणाली में सभी तीन स्वयंसिद्धों की व्युत्पत्ति में शामिल नेटवर्क - बाद के लिए, अविश्वसनीय 504 चरणों का उपयोग किया जाता है:


हां, यह स्पष्ट है कि ये नेटवर्क बहुत भ्रामक हैं। लेकिन इस जटिलता का क्या मतलब है, इस पर चर्चा करने से पहले, आइए इस साक्ष्य के प्रत्येक चरण पर क्या होता है।

मुख्य विचार सरल है। कल्पना कीजिए कि हमारे पास एक स्वयंसिद्ध शब्द है जिसे बस p · q = q · p के रूप में लिखा गया है (गणितीय रूप से इसका मतलब है कि ऑपरेटर कम्यूटेटिव है)। अधिक सटीक रूप से, स्वयंसिद्ध कहता है कि किसी भी अभिव्यक्ति के लिए p और q, p · q, q · p के बराबर है।

ठीक है, मान लें कि हम इस स्वयंसिद्ध से घटाना चाहते हैं कि (a · b) · (c · d) = (d · c) · (b · a)। यह d · c को c · d, b · a · b, और अंत में (c · d) · (a · b) से (a · b) · (c · d) में परिवर्तित करने के लिए स्वयंसिद्ध का उपयोग करके किया जा सकता है )।

FindEquationalProof अनिवार्य रूप से एक ही काम करता है, हालांकि यह बिल्कुल उसी क्रम में इन चरणों का पालन नहीं करता है, और समीकरण के बाईं ओर और दाईं ओर दोनों को बदलता है।


ऐसे प्रमाण प्राप्त करने के बाद, आप बस प्रत्येक चरण को ट्रैक कर सकते हैं और सत्यापित कर सकते हैं कि वे बताए गए परिणाम दे रहे हैं। लेकिन सबूत कैसे पाएं? क्रमपरिवर्तन और परिवर्तनों के कई संभावित अनुक्रम हैं। एक अनुक्रम कैसे खोजें जो सफलतापूर्वक अंतिम परिणाम लाता है?

कोई भी यह तय कर सकता है: सभी संभावित अनुक्रमों की कोशिश क्यों नहीं की जाती है, और यदि उनके बीच काम करने का क्रम है, तो अंततः इसे ढूंढना चाहिए?समस्या यह है कि आप जल्दी से एक खगोलीय संख्या के अनुक्रम में पहुंच सकते हैं। स्वचालित रूप से प्रमेयों को साबित करने की कला के थोक में सत्यापित करने के लिए अनुक्रमों की संख्या को कम करने के तरीके खोजने होते हैं।

यह जल्दी से तकनीकी विवरण में फिसल जाता है, लेकिन मूल विचार चर्चा करना आसान है यदि आप बीजगणित की मूल बातें जानते हैं। मान लीजिए हम एक बीजीय परिणाम को साबित करने की कोशिश कर रहे हैं जैसे


ऐसा करने के लिए एक गारंटीकृत तरीका है: बस प्रत्येक पक्ष को प्रकट करने के लिए बीजगणित के नियमों को लागू करके, आप तुरंत उनकी समानता देख सकते हैं:


यह काम क्यों करता है?क्योंकि ऐसे अभिव्यक्तियों के साथ काम करने का एक तरीका है, उन्हें व्यवस्थित रूप से कम करना जब तक कि वे एक मानक रूप नहीं लेते। क्या स्वयंसिद्ध प्रणालियों की मनमानी प्रणाली में एक ही ऑपरेशन करना संभव है?

एकदम से नहीं। बीजगणित में, यह काम करता है क्योंकि इसमें एक विशेष गुण होता है जो यह सुनिश्चित करता है कि आप हमेशा अभिव्यक्ति को सरल बनाने के मार्ग पर "आगे बढ़ सकते हैं"। लेकिन 1970 के दशक में, अलग-अलग वैज्ञानिकों ने कई बार स्वतंत्र रूप से खोजा (नथ-बेंडिक्स एल्गोरिथ्म या ग्रोब्नेर आधार जैसे नामों के तहत ) कि अगर स्वयंसिद्ध प्रणाली में आवश्यक आंतरिक संपत्ति नहीं है, तो भी इस प्रणाली में "परिवर्धन" की खोज करना संभव है जिसमें यह वहाँ है।

यह वही होता है जो सामान्य साक्ष्यों में होता है जो FindEquationalProof (Valdmeister के सिस्टम, "पेड़ों के मास्टर") के आधार पर प्रदान करता है। तथाकथित हैं "क्रिटिकल पेयर लेमेस," जो प्रत्यक्ष रूप से प्रमाण को आगे नहीं बढ़ाते, लेकिन इसके लिए सक्षम पथों के उद्भव को संभव बनाते हैं। इस तथ्य के कारण सब कुछ जटिल है, हालांकि अंतिम अभिव्यक्ति जो हम प्राप्त करना चाहते हैं, वह काफी कम है, इसके रास्ते में, आपको बहुत अधिक मध्यवर्ती अभिव्यक्तियों से गुजरना पड़ सकता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, पहले स्कैफ़र स्वयंसिद्ध के प्रमाण में ऐसे मध्यवर्ती चरण हैं:


इस मामले में, सबसे बड़ा कदम मूल स्वयंसिद्ध की तुलना में 4 गुना बड़ा है:


ऐसे भावों को एक पेड़ के रूप में दर्शाया जा सकता है। मूल स्वयंसिद्ध वृक्ष की तुलना में यहां उनका वृक्ष है:


और यह इस प्रकार है कि स्कैफ़र के स्वयंसिद्धों में से प्रत्येक के प्रमाण के दौरान मध्यवर्ती चरणों के आकार विकसित होते हैं:

यह इतना कठिन क्यों है?

क्या यह कोई आश्चर्य है कि यह सबूत इतना जटिल है? वास्तव में नहीं, वास्तव में। आखिरकार, हम अच्छी तरह से जानते हैं कि गणित जटिल हो सकता है। सिद्धांत रूप में, यह हो सकता है कि गणित में सभी सत्य साबित करना आसान होगा। लेकिन 1931 के गोडेल के प्रमेय के दुष्प्रभावों में से एक यह है कि यहां तक ​​कि जिन चीजों के सबूत हैं, उनके लिए रास्ता मनमाने ढंग से लंबा हो सकता है।

यह बहुत अधिक सामान्य घटना का एक लक्षण है, जिसे मैं कम्प्यूटेशनल इरेड्यूसिबिलिटी कहता हूं । एक सेलुलर ऑटोमेटन के एक साधारण नियम द्वारा नियंत्रित प्रणाली पर विचार करें (निश्चित रूप से, मेरे किसी भी निबंध में हमेशा सेलुलर ऑटोमेटा होगा)। इस सिस्टम को चलाएं।


यह तय किया जा सकता है कि यदि प्रणाली एक सरल नियम पर आधारित है, तो यह समझने का एक त्वरित तरीका होना चाहिए कि सिस्टम क्या करता है। लेकिन ऐसा है नहीं।कम्प्यूटेशनल तुल्यता के मेरे सिद्धांत के अनुसार , एक प्रणाली का संचालन अक्सर गणना से मेल खाता है, जिसकी जटिलता किसी भी गणना के साथ मेल खाती है जो हम सिस्टम के व्यवहार को समझने के लिए कर सकते हैं। इसका अर्थ है कि प्रणाली का वास्तविक व्यवहार, वास्तव में, कम्प्यूटेशनल कार्य की ऐसी मात्रा से मेल खाता है, जिसे सिद्धांत रूप में कम नहीं किया जा सकता है।

उपरोक्त तस्वीर के बारे में: मान लीजिए कि हम यह पता लगाना चाहते हैं कि पैटर्न अंत में मर जाता है या नहीं। हम इसे पूरा करना जारी रख सकते हैं, और अगर हम भाग्यशाली हैं, तो यह अंततः किसी चीज में बदल जाएगा, जिसका भाग्य स्पष्ट होगा। हालांकि, सामान्य तौर पर, इस बात पर कोई ऊपरी सीमा नहीं है कि हमें कितना समय देना है, वास्तव में, प्रमाण पर।

जब तार्किक साक्ष्य के साथ ऐसा कुछ होता है, तो यह थोड़ा अलग तरीके से होता है। कुछ नियमों के अनुसार काम शुरू करने के बजाय, हम पूछते हैं कि क्या कई चरणों से गुजरकर एक निश्चित परिणाम प्राप्त करने का एक तरीका है, जिनमें से प्रत्येक एक निश्चित नियम का पालन करता है। और एक व्यावहारिक कम्प्यूटेशनल कार्य के रूप में यह कार्य, अधिक जटिल है। लेकिन जटिलता का सार कम्प्यूटेशनल इरेड्यूसबिलिटी की एक ही घटना है, और यह घटना बताती है कि सिस्टम क्या करेगा इसका अध्ययन करने की प्रक्रिया के बारे में संक्षेप में जाने का कोई सामान्य तरीका नहीं है।

कहने की जरूरत नहीं है कि दुनिया में कई चीजें हैं - विशेष रूप से प्रौद्योगिकी और वैज्ञानिक मॉडलिंग के साथ-साथ उन क्षेत्रों में जहां नियमों के विभिन्न रूप हैं - पारंपरिक रूप से कम्प्यूटेशनल इरेड्यूसबिलिटी से बचने के लिए और काम करने के लिए डिज़ाइन किया गया है ताकि उनके काम का परिणाम तुरंत दिखाई दे, गणना की एक अनियमित मात्रा को पूरा करने की आवश्यकता के बिना।

लेकिन कम्प्यूटेशनल तुल्यता के मेरे सिद्धांत के परिणामों में से एक यह है कि ये मामले विलक्षण और अप्राकृतिक हैं - उनका तर्क है कि कम्प्यूटेशनल ब्रह्मांड की सभी प्रणालियों में कम्प्यूटेशनल इरेड्यूसिबिलिटी मौजूद है।

गणित के बारे में क्या? हो सकता है कि गणित के नियमों को विशेष रूप से कम्प्यूटेशनल रिड्यूसबिलिटी प्रदर्शित करने के लिए चुना गया हो। और कुछ मामलों में यह मामला है (और एक अर्थ में, यह तर्क में भी होता है)। लेकिन अधिकांश भाग के लिए, ऐसा लगता है कि गणित के स्वयंसिद्ध प्रणाली अक्षतंतुओं के सभी संभावित प्रणालियों के स्थान के लिए atypical नहीं हैं - जहां कम्प्यूटेशनल अतार्किकता व्याप्त है।

हमें सबूतों की आवश्यकता क्यों है?

एक मायने में, किसी चीज़ की सच्चाई जानने के लिए सबूत की ज़रूरत होती है। बेशक, विशेष रूप से हमारे समय में, साक्ष्य ने पृष्ठभूमि में फीका कर दिया है, जिससे शुद्ध संगणना का मार्ग प्रशस्त होता है। व्यवहार में, "कदम पीछे" और कुछ की सच्चाई के प्रमाण का निर्माण करने की इच्छा से कुछ उत्पन्न करने की इच्छा बहुत अधिक आम है।

शुद्ध गणित में, हालांकि, किसी को अक्सर उन अवधारणाओं से निपटना पड़ता है, जिनमें कम से कम नाममात्र, अनंत संख्या में मामले ("सभी अपराधों के लिए सत्य", आदि) शामिल हैं, जिसके लिए माथे की गणना काम नहीं करेगी। । और जब प्रश्न की पुष्टि हो जाती है ("क्या यह कार्यक्रम एक त्रुटि के साथ समाप्त हो सकता है?" या "क्या मैं इस क्रिप्टोकरेंसी को दो बार खर्च कर सकता हूं?") सभी संभावित मामलों की गणना करने की तुलना में इसे साबित करने की कोशिश करना अधिक उचित है।

लेकिन वास्तविक गणितीय अभ्यास में, सत्य स्थापित करने से अधिक प्रमाण है। जब यूक्लिड ने अपनी " शुरुआत " लिखी, तो उन्होंने बस परिणामों का संकेत दिया, और "उन्हें पाठक को छोड़ दिया"। लेकिन, एक तरह से या किसी अन्य, विशेष रूप से पिछली शताब्दी में, साक्ष्य कुछ इस तरह से बदल गया है जो न केवल पर्दे के पीछे होता है, बल्कि मुख्य माध्यम है जिसके माध्यम से अवधारणाओं को प्रसारित करना आवश्यक है।

मुझे ऐसा लगता है कि इतिहास के कुछ प्रश्नों के परिणामस्वरूप, आज एक वस्तु के रूप में साक्ष्य की पेशकश की जाती है जिसे लोगों को समझना चाहिए, और कार्यक्रमों को केवल एक चीज माना जाता है जिसे कंप्यूटर को निष्पादित करना चाहिए। ऐसा क्यों हुआ? ठीक है, कम से कम अतीत में, सबूत को पाठ के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है - इसलिए, यदि कोई भी इसका उपयोग करता है, तो केवल लोग। और कार्यक्रम लगभग हमेशा कंप्यूटर भाषा के रूप में दर्ज किए गए थे। और बहुत लंबे समय के लिए, इन भाषाओं को बनाया गया था ताकि वे कम या ज्यादा सीधे कम-स्तरीय कंप्यूटर संचालन में अनुवाद कर सकें - अर्थात, कंप्यूटर ने उन्हें तुरंत समझ लिया, लेकिन लोगों के पास नहीं है।

लेकिन पिछले कुछ दशकों में मेरे काम का एक मुख्य लक्ष्य मामलों की इस स्थिति को बदलना था, और वोल्फग्राम भाषा में एक वास्तविक "कम्प्यूटेशनल संचार की भाषा" विकसित करना जिसमें कम्प्यूटेशनल विचारों को प्रसारित किया जा सके ताकि उन्हें कंप्यूटर और लोगों द्वारा समझा जा सके।

ऐसी भाषा के कई परिणाम होते हैं। उनमें से एक सबूत की भूमिका बदल रहा है। मान लीजिए हम कुछ गणितीय परिणामों को देखते हैं। अतीत में, इसे समझने का एकमात्र प्रशंसनीय तरीका यह था कि लोगों को पढ़े जाने वाले साक्ष्य दिए जाएं। लेकिन अब एक और बात संभव है: आप वुल्फ्राम भाषा के लिए एक कार्यक्रम दे सकते हैं जो परिणाम की गणना करता है। और यह कई मायनों में परिणाम की सच्चाई को व्यक्त करने का एक बहुत समृद्ध तरीका है। कार्यक्रम का प्रत्येक भाग कुछ सटीक और अस्पष्ट है - हर कोई इसे शुरू कर सकता है। पाठ के कुछ हिस्से को समझने की कोशिश के रूप में ऐसी कोई समस्या नहीं है, कुछ अंतराल में भरने की आवश्यकता होती है। सब कुछ स्पष्ट रूप से पाठ में इंगित किया गया है।

सबूत के बारे में क्या? क्या सबूत लिखने के कोई स्पष्ट और सटीक तरीके हैं? संभावित रूप से हां, हालांकि यह विशेष रूप से आसान नहीं है। और यद्यपि वुल्फ्राम भाषा की नींव लगभग 30 वर्षों से है, केवल आज एक उचित तरीका इसके साथ संरचनात्मक रूप से सीधे साक्ष्य प्रस्तुत करने के लिए प्रकट हुआ है, जैसे कि ऊपर मेरे एक स्वयंसिद्ध शब्द।

आप वुल्फराम भाषा में उसी तरह से साक्ष्य बनाने की कल्पना कर सकते हैं जिस तरह से लोग प्रोग्राम बनाते हैं - और हम इस कार्यक्षमता के उच्च-स्तरीय संस्करण प्रदान करने के लिए काम कर रहे हैं जो "सबूतों के साथ मदद करता है"। हालाँकि, किसी ने मेरे स्वयंसिद्ध प्रणाली का प्रमाण नहीं बनाया - एक कंप्यूटर ने इसे पाया। और यह प्रोग्राम की तुलना में प्रोग्राम के आउटपुट की तरह अधिक है। हालांकि, एक कार्यक्रम की तरह, एक अर्थ में, परिणाम को सत्यापित करने के लिए प्रमाण "रन" भी हो सकता है।

स्पष्टता पैदा करना

अधिकांश समय, वुल्फराम भाषा या वोल्फ्राम का उपयोग करने वाले लोग | अल्फा, कुछ गिनना चाहते हैं। उन्हें परिणाम प्राप्त करने की आवश्यकता है, यह नहीं समझें कि उन्हें सिर्फ ऐसे परिणाम क्यों मिले। लेकिन वोल्फ्राम में। अल्फा, विशेष रूप से गणित और रसायन विज्ञान जैसे क्षेत्रों में, छात्रों के बीच एक लोकप्रिय विशेषता "चरण-दर-चरण" समाधानों का निर्माण है।


जब वुल्फ्राम | अल्फा सिस्टम गणना करता है, उदाहरण के लिए, एक अभिन्न, यह सभी प्रकार की शक्तिशाली एल्गोरिदम तकनीकों का उपयोग करता है जो उत्तर प्राप्त करने के लिए अनुकूलित होते हैं। लेकिन जब उसे गणना के चरणों को दिखाने के लिए कहा जाता है, तो वह कुछ और करती है: उसे चरणों में समझाने की आवश्यकता है कि यह परिणाम क्यों प्राप्त हुआ है।

यह समझाने में कोई लाभ नहीं होगा कि वास्तव में परिणाम कैसे प्राप्त किया गया था; यह मनुष्यों के लिए एक बहुत ही अनुचित प्रक्रिया है। उसे यह समझने की आवश्यकता है कि परिणाम प्राप्त करने के लिए लोगों द्वारा सीखे गए कार्यों का क्या उपयोग किया जा सकता है। अक्सर वह कुछ उपयोगी चाल के साथ आता है। हां, उसके पास ऐसा करने का एक व्यवस्थित तरीका है, जो हमेशा काम करता है। लेकिन इसमें बहुत सारे "यांत्रिक" चरण हैं। एक "ट्रिक" (प्रतिस्थापन, आंशिक एकीकरण, आदि) सामान्य मामले में काम नहीं करेगा, लेकिन इस विशेष में यह उत्तर के लिए एक तेज़ तरीका देगा।

अन्य चीजों के स्पष्ट संस्करण प्राप्त करने के बारे में क्या? उदाहरण के लिए, सामान्य मामले में कार्यक्रमों का काम। या मेरी स्वयंसिद्ध प्रणाली का प्रमाण।

कार्यक्रमों के साथ शुरू करते हैं। मान लीजिए हमने एक कार्यक्रम लिखा और यह बताना चाहते हैं कि यह कैसे काम करता है। पारंपरिक दृष्टिकोणों में से एक कोड में टिप्पणियों को शामिल करना है। यदि हम एक पारंपरिक निम्न-स्तरीय भाषा में लिखते हैं, तो यह सबसे अच्छा तरीका हो सकता है। लेकिन कम्प्यूटेशनल संचार की एक भाषा के रूप में वुल्फराम भाषा का संपूर्ण सार यह है कि भाषा को अतिरिक्त पाठ शामिल करने की आवश्यकता के बिना विचारों के संचरण की अनुमति देनी चाहिए।

वुल्फराम भाषा कार्यक्रम को प्रक्रिया का अच्छा विवरण बनाने के लिए प्रयास किया जाना चाहिए, साथ ही सादे अंग्रेजी पाठ को प्रक्रिया का अच्छा विवरण बनाने के लिए। हालाँकि, आप वुल्फ्राम भाषा कोड का एक टुकड़ा प्राप्त कर सकते हैं जो बहुत स्पष्ट रूप से बताता है कि सब कुछ अपने आप कैसे काम करता है।

बेशक, अक्सर ऐसा होता है कि कोड का वास्तविक निष्पादन उन चीजों की ओर जाता है जो कार्यक्रम से स्पष्ट रूप से पालन नहीं करते हैं। मैं जल्द ही सेलुलर ऑटोमेटा जैसे चरम मामलों का उल्लेख करूंगा। लेकिन अभी के लिए, आइए कल्पना करें कि हमने एक कार्यक्रम बनाया है जिसके द्वारा हम कल्पना कर सकते हैं कि यह आम तौर पर क्या करता है।

उस मामले में, मैंने पाया कि वुल्फराम नोटबुक के रूप में प्रस्तुत कंप्यूटिंग निबंध यह समझाने के लिए एक महान उपकरण है कि क्या हो रहा है। यह महत्वपूर्ण है कि वुल्फ्राम भाषा, यह आपको कार्यक्रमों के सबसे छोटे हिस्सों को अलग से चलाने की अनुमति देता है (इनपुट और आउटपुट डेटा के रूप में संबंधित प्रतीकात्मक अभिव्यक्तियों के साथ)। उसके बाद, आप प्रोग्राम के उन चरणों के अनुक्रम की कल्पना कर सकते हैं, जो कंप्यूटिंग नोटबुक का आधार बनाते हैं।

व्यवहार में, इनपुट और आउटपुट डेटा के विज़ुअलाइज़ेशन बनाना अक्सर आवश्यक होता है। हां, सब कुछ एक स्पष्ट प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। लेकिन लोगों के लिए किसी भी एक आयामी भाषा जैसी लाइन की तुलना में चीजों के दृश्य प्रतिनिधित्व को समझना बहुत आसान है।

बेशक, अच्छे दृश्य बनाना कला के समान है। लेकिन वोल्फ्राम भाषा में, हमने इस कला को स्वचालित करने के लिए बहुत काम किया - अक्सर काफी परिष्कृत मशीन सीखने और अन्य एल्गोरिदम की मदद से जो नेटवर्क या ग्राफिक तत्वों के लेआउट जैसी चीजों का प्रदर्शन करते हैं।

एक साधारण प्रोग्राम ट्रैकिंग के साथ शुरू करने के बारे में क्या? ऐसा करना कठिन है। मैं दशकों से इसके साथ प्रयोग कर रहा हूं, और परिणामों से पूरी तरह संतुष्ट नहीं हूं। हां, आप ज़ूम इन कर सकते हैं और देख सकते हैं कि क्या हो रहा है। लेकिन मुझे पूरी तस्वीर को समझने के लिए पर्याप्त अच्छी तकनीकें नहीं मिलीं, और स्वचालित रूप से कुछ विशेष उपयोगी चीजें दे दीं।

कुछ स्तर पर, यह कार्य रिवर्स इंजीनियरिंग के समान है। आपको एक मशीन कोड, एक चिप सर्किट, जो कुछ भी दिखाया गया है। और आपको एक कदम पीछे ले जाने और उस उच्च-स्तरीय विवरण को फिर से बनाने की ज़रूरत है जिसमें से उस व्यक्ति को हटा दिया गया है, जो किसी भी तरह से "संकलित" करता है कि वह क्या देखता है।

इंजीनियरिंग के लिए पारंपरिक दृष्टिकोण में, जब लोग चरणों में एक उत्पाद बनाते हैं, तो हमेशा जो वे बनाते हैं, उसके परिणामों का अनुमान लगाने की क्षमता रखते हैं, यह दृष्टिकोण सिद्धांत रूप में काम कर सकता है। लेकिन अगर इसके बजाय आप एक इष्टतम कार्यक्रम की तलाश में कंप्यूटिंग ब्रह्मांड के चारों ओर घूमते हैं (जैसा कि मैं तर्क के लिए एक प्रणाली खोजने के लिए संभव स्वयंसिद्ध प्रणालियों की तलाश कर रहा था), तो इस कार्यक्रम के पीछे कोई "मानव इतिहास" या स्पष्टीकरण होगा इसकी कोई गारंटी नहीं है।

प्राकृतिक विज्ञान में एक ऐसी ही समस्या सामने आई है। आप देखते हैं कि एक जैविक प्रणाली में सभी प्रकार की प्रक्रियाओं का एक जटिल समूह कैसे विकसित होता है। क्या "स्पष्टीकरण" खोजने के लिए उन्हें "रिवर्स इंजीनियरिंग" के अधीन करना संभव है? यह कभी-कभी कहा जा सकता है कि प्राकृतिक चयन के साथ विकास को बढ़ावा मिलेगा। या यह कि यह अक्सर कंप्यूटिंग ब्रह्मांड में पाया जाता है, इसलिए इसकी घटना की संभावना अधिक होती है। लेकिन इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि प्राकृतिक दुनिया को जरूरी बनाया गया है ताकि लोग इसे समझा सकें।

स्वाभाविक रूप से, जब चीजों को मॉडलिंग करते हैं, तो हम अनिवार्य रूप से केवल उन पहलुओं पर विचार करते हैं जो हमें रुचि रखते हैं, और बाकी सब कुछ आदर्श करते हैं। और विशेष रूप से चिकित्सा जैसे क्षेत्रों में, आपको अक्सर एक उथले निर्णय पेड़ के साथ एक अनुमानित मॉडल के साथ काम करना पड़ता है, जिसे स्पष्ट करना आसान है।

व्याख्या की प्रकृति

वाक्यांश "कुछ समझाया जा सकता है" का क्या मतलब है? संक्षेप में, इसका मतलब है कि लोग इसे समझ सकते हैं।

कुछ समझने के लिए लोगों की क्या आवश्यकता है? हमें किसी तरह यह महसूस करने की जरूरत है। जटिल व्यवहार के साथ एक ठेठ सेलुलर ऑटोमोबोन ले लो। इसके विकास में हर कदम पर जाने के लिए कंप्यूटर को कोई समस्या नहीं है। जबरदस्त प्रयासों और श्रम के साथ, एक व्यक्ति कंप्यूटर के काम को पुन: पेश कर सकता है।

लेकिन यह नहीं कहा जा सकता है कि इस मामले में एक व्यक्ति एक सेलुलर ऑटोमेटन क्या करता है "समझ" जाएगा। इसके लिए, एक व्यक्ति को उच्च स्तर पर सेलुलर ऑटोमेटन के व्यवहार के बारे में आसानी से बात करनी होगी। या, दूसरे शब्दों में, एक व्यक्ति को एक ऑटोमेटन के व्यवहार के बारे में "एक कहानी बताने" में सक्षम होना चाहिए जिसे अन्य लोग समझ सकते हैं।

क्या ऐसा करने का एक सार्वभौमिक तरीका है? नहीं, कम्प्यूटेशनल इरेड्यूसबिलिटी के कारण। हालांकि, ऐसा हो सकता है कि कुछ विशेषताएं जो लोगों के लिए महत्वपूर्ण हैं, उन्हें कुछ सीमाओं के साथ उच्च स्तर पर समझाया जा सकता है।

यह कैसे काम करता है? ऐसा करने के लिए, आपको एक निश्चित उच्च-स्तरीय भाषा बनाने की आवश्यकता है जो उन विशेषताओं का वर्णन कर सके जो हमारी रुचि रखते हैं। सेलुलर ऑटोमेटन के एक विशिष्ट ड्राइंग का अध्ययन करते हुए, व्यक्ति बड़ी संख्या में अलग-अलग कोशिकाओं के रंगों के संदर्भ में नहीं बोलने की कोशिश कर सकता है, लेकिन उच्च स्तर की संरचनाओं के संदर्भ में। मुख्य बात यह है कि आप ऐसी संरचनाओं की कम से कम आंशिक सूची को संकलित कर सकते हैं: हालांकि कई विवरण होंगे जो वर्गीकरण में फिट नहीं होते हैं, कुछ संरचनाएं सामान्य हैं।

और अगर हम सेलुलर ऑटोमेटन के व्यवहार को "समझाना" शुरू करना चाहते हैं, तो हम संरचनाओं का नामकरण करके शुरू करेंगे, और फिर हम इन संरचनाओं के दृष्टिकोण से क्या हो रहा है, इस बारे में बात करेंगे।


सेलुलर ऑटोमेटन मामले में एक सरलीकरण विशेषता है: चूंकि यह सरल निर्धारक नियमों के आधार पर संचालित होता है, इसलिए इसमें समान रूप से दोहराई जाने वाली संरचनाएं हैं। प्रकृति में, उदाहरण के लिए, हम आमतौर पर इस तरह के समान पुनरावृत्ति का सामना नहीं करते हैं। केवल एक है, उदाहरण के लिए, एक बाघ, दूसरे के समान, इसलिए हम उन्हें दोनों "बाघ" कहते हैं, हालांकि उनके परमाणुओं की व्यवस्था समान नहीं है।

इस सबका सामान्य अर्थ क्या है? इसमें प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के विचार का उपयोग करना शामिल है। हम कहते हैं कि हम एक निश्चित प्रतीक को निर्दिष्ट कर सकते हैं - अक्सर यह शब्द - जिसका उपयोग प्रतीकात्मक रूप से चीजों की एक पूरी कक्षा का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है, इन चीजों के सभी घटकों के प्रत्येक विवरण को विस्तार से सूचीबद्ध किए बिना।

यह सूचना संपीड़न के समान है: हम प्रतीकात्मक निर्माणों का उपयोग उन चीजों का वर्णन करने के लिए एक छोटा रास्ता खोजने के लिए करते हैं जो हमारी रुचि रखते हैं।

मान लीजिए कि हमने एक विशाल संरचना तैयार की है, उदाहरण के लिए, एक गणितीय एक:


पहला चरण किसी प्रकार के उच्च-स्तरीय आंतरिक प्रतिनिधित्व का निर्माण करना है। उदाहरण के लिए, हम पुन: प्रयोज्य संरचनाओं का पता लगा सकते हैं। और हम उन्हें नाम दे सकते हैं। और फिर उनकी मदद से पूरी संरचना का "कंकाल" दिखाएं:


हां, "डिक्शनरी कम्प्रेशन" के समान यह योजना, व्याख्यात्मकता के पहले स्तर तक पहुँचने के लिए उपयोगी है।

लेकिन चलो मेरे स्वयंसिद्ध प्रणाली के प्रमाण पर वापस आते हैं। इस प्रमाण में बनाए गए नींबू विशेष रूप से पुन: प्रयोज्य तत्वों के रूप में चुने गए हैं। हालाँकि, उन्हें छोड़कर, हम अभी भी ऐसे सबूतों से बचे हुए हैं जिन्हें लोग तुरंत नहीं समझ सकते।

और क्या कर सकते हैं? हमें और भी उच्च स्तर के विवरण के साथ आने की जरूरत है। यह क्या हो सकता है?

अवधारणाओं की अवधारणा

यदि आप किसी को कुछ समझाने की कोशिश कर रहे हैं, तो ऐसा करना बहुत आसान होगा यदि आप कुछ और पाते हैं, लेकिन इसी तरह कि एक व्यक्ति पहले से ही समझ सकता है। कल्पना कीजिए कि आप पाषाण युग से किसी व्यक्ति को आधुनिक ड्रोन की अवधारणा कैसे समझाएंगे। यह करना मुश्किल होगा। लेकिन 50 साल पहले रहने वाले एक व्यक्ति और पहले से ही हेलीकॉप्टर और मॉडल हवाई जहाज को देखने वाले व्यक्ति को यह समझाना बहुत आसान होगा।

और अंत में, लब्बोलुआब यह है कि जब हम किसी चीज़ की व्याख्या करते हैं, तो हम इसे उस भाषा में करते हैं, जिसे हम दोनों को जानते हैं और जिस पर हम उसे समझाते हैं। और भाषा जितनी समृद्ध होती है, उतने कम नए तत्वों को हमें यह बताने के लिए पेश करना पड़ता है कि हम क्या समझाने की कोशिश कर रहे हैं।

एक पैटर्न है जो मन के पूरे इतिहास में दोहराता है। चीजों का एक निश्चित सेट कई बार देखा जाता है। धीरे-धीरे, वे समझने लगते हैं कि ये चीजें किसी तरह से समान हैं, और उन सभी को एक नई अवधारणा के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, जो किसी नए शब्द या वाक्यांश में वर्णित है।

मान लीजिए कि हम पानी, रक्त और तेल जैसी चीजों को नोटिस करते हैं। कुछ बिंदु पर, हम समझते हैं कि "तरल" की एक सामान्यीकृत अवधारणा है, और उन सभी को तरल के रूप में वर्णित किया जा सकता है। और जब हमारे पास इस तरह की अवधारणा होती है, तो हम इसके संदर्भ में तर्क करना शुरू कर सकते हैं, अधिक अवधारणाओं को खोज सकते हैं - चिपचिपापन कहें, इसके आधार पर।

किसी अवधारणा में चीजों को संयोजित करना कब समझ में आता है? एक कठिन सवाल जिसका जवाब इस अवधारणा के साथ किया जा सकता है, वह सब कुछ पूर्वाभास किए बिना नहीं हो सकता। व्यवहार में, किसी व्यक्ति की भाषा और विचारों के विकास की प्रक्रिया में, क्रमिक सन्निकटन की एक निश्चित प्रक्रिया देखी जाती है।

आधुनिक मशीन लर्निंग सिस्टम में, बहुत अधिक तेजी से जानकारी का योग होता है। कल्पना कीजिए कि हमने दुनिया भर में सभी प्रकार की वस्तुओं को ले लिया, और जो कुछ भी होता है उसे देखने के लिए उन्हें फ़ीचरस्पेसप्लॉट फ़ंक्शंस खिलाया। यदि हमें सुविधाओं के स्थान पर कुछ क्लस्टर मिलते हैं, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उनमें से प्रत्येक को एक निश्चित "अवधारणा" के अनुरूप परिभाषित किया जा सकता है, जो उदाहरण के लिए, एक शब्द के साथ चिह्नित किया जा सकता है।

ईमानदारी से, फ़ीचरस्पेसप्लॉट का क्या होता है - जैसा कि मानव बौद्धिक विकास की प्रक्रिया में है - एक अर्थ में, एक कदम-दर-चरण प्रक्रिया है। फ़ीचर स्पेस द्वारा ऑब्जेक्ट्स को वितरित करने के लिए, फ़ीचरस्पेसप्लॉट उन विशेषताओं का उपयोग करता है, जिन्हें श्रेणीबद्ध करने के पिछले प्रयासों से निकालना सीखा।

ठीक है, अगर हम दुनिया को स्वीकार करते हैं जैसा कि यह है, सबसे अच्छी श्रेणियां क्या हैं - या अवधारणाएं - जिनका उपयोग चीजों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है? यह सवाल लगातार विकसित हो रहा है। सामान्य तौर पर, सभी सफलताओं - यह विज्ञान, प्रौद्योगिकी या कुछ और हो - अक्सर एक उपयोगी तरीके से एक नई श्रेणी या अवधारणा की पहचान करने की संभावना के बोध से जुड़ी होती हैं।

लेकिन हमारी सभ्यता के विकास की प्रक्रिया में एक निश्चित सर्पिल है। सबसे पहले, एक निश्चित निश्चित अवधारणा को परिभाषित किया जाता है - मान लीजिए, एक कार्यक्रम का विचार। उसके बाद, लोग इसका उपयोग करना शुरू करते हैं और इसकी शर्तों को प्रतिबिंबित करते हैं। बहुत जल्द, इस अवधारणा के आधार पर कई अलग-अलग अवधारणाएं बनाई जाती हैं। और फिर अमूर्तता का एक और स्तर निर्धारित किया जाता है, पिछले एक के आधार पर नई अवधारणाएं बनाई जाती हैं।

इतिहास आधुनिक सभ्यता के ज्ञान के तकनीकी सेट और ज्ञान के अपने बौद्धिक सेट की विशेषता है। दोनों वहाँ और अवधारणाओं के टॉवर और अमूर्त के स्तर एक के बाद एक जा रहे हैं।

सीखने की समस्या

ताकि लोग एक निश्चित अवधारणा का उपयोग करके संवाद कर सकें, उन्हें इसके बारे में जानने की जरूरत है। और, हाँ, कुछ अवधारणाएँ (जैसे कि वस्तुओं की स्थिरता) स्वतः ही लोगों द्वारा प्रकृति को देखते हुए पहचानी जाती हैं। लेकिन मान लीजिए, यदि आप आधुनिक अंग्रेजी के सामान्य शब्दों की सूची को देखते हैं, तो यह स्पष्ट हो जाएगा कि हमारी आधुनिक सभ्यता द्वारा उपयोग की जाने वाली अधिकांश अवधारणाएं उन पर लागू नहीं होती हैं जो लोग स्वयं को प्रकृति का अवलोकन करते समय महसूस करते हैं।

इसके बजाय - जो आधुनिक मशीन लर्निंग की बहुत याद दिलाता है - उन्हें दुनिया के एक विशेष ज्ञान "पर्यवेक्षण के तहत" की आवश्यकता है, जो कुछ अवधारणाओं के महत्व पर जोर देने के लिए आयोजित किया गया है। और अधिक अमूर्त क्षेत्रों (जैसे गणित) में, उन्हें संभवतः अपने तत्काल सार रूप में अवधारणाओं में चलाने की आवश्यकता होती है।

ठीक है, लेकिन क्या हमें सभ्यता के संचित बौद्धिक ज्ञान की मात्रा में वृद्धि के साथ हर समय अधिक से अधिक सीखने की आवश्यकता होगी? चिंता हो सकती है कि कुछ बिंदु पर हमारा मस्तिष्क बस विकास के साथ नहीं रह पाएगा, और हमें कुछ अतिरिक्त मदद करनी होगी। लेकिन यह मुझे लगता है कि यह, सौभाग्य से, उन मामलों में से एक है जहां समस्या को "सॉफ़्टवेयर स्तर पर" हल किया जा सकता है।

समस्या यह है: इतिहास के किसी भी क्षण में अवधारणाओं का एक निश्चित समूह है जो इस अवधि में दुनिया में जीवन के लिए महत्वपूर्ण है। और, हां, सभ्यता के विकास के साथ, नई अवधारणाएं सामने आती हैं और नई अवधारणाएं पेश की जाती हैं।हालांकि, एक और प्रक्रिया है: नई अवधारणाएं अमूर्तता के नए स्तरों को पेश करती हैं, आमतौर पर बड़ी संख्या में पहले की अवधारणाएं शामिल हैं।

हम अक्सर प्रौद्योगिकी में इसका निरीक्षण कर सकते हैं। एक समय था जब आपको कंप्यूटर पर काम करने के लिए बहुत कम-स्तरीय विवरणों की आवश्यकता होती थी। लेकिन समय के साथ, ये विवरण समाप्त हो गए, इसलिए अब आपको केवल एक सामान्य अवधारणा की आवश्यकता है। आप आइकन पर क्लिक करते हैं और प्रक्रिया शुरू होती है - आपको ऑपरेटिंग सिस्टम के संचालन की जटिलताओं, बीच में आने वाले हैंडलर, शेड्यूलर और अन्य सभी विवरणों को समझने की आवश्यकता नहीं है।

और निश्चित रूप से, वुल्फराम भाषा इसका एक शानदार उदाहरण प्रदान करती है। यह बहुत सारे निम्न-स्तरीय विवरणों को स्वचालित करने में बहुत प्रयास करता है (उदाहरण के लिए, एल्गोरिदम का उपयोग किया जाना चाहिए) और उपयोगकर्ताओं को उच्च-स्तरीय अवधारणाओं में सोचने की अनुमति देता है।

हां, लोगों को अभी भी जरूरत है जो उन विवरणों को समझते हैं जो अमूर्तता से गुजरते हैं (हालांकि मुझे यकीन नहीं है कि आधुनिक पत्थर काटने वालों को आधुनिक उपकरणों की आवश्यकता है)। लेकिन अधिकांश भाग के लिए, शिक्षा उच्च स्तर के ज्ञान पर ध्यान केंद्रित कर सकती है।

यह अक्सर माना जाता है कि सीखने की प्रक्रिया में उच्च-स्तरीय अवधारणाओं को प्राप्त करने के लिए, किसी व्यक्ति को पहले किसी तरह से इतिहास को संक्षेप में प्रस्तुत करना होगा कि ये अवधारणाएं ऐतिहासिक रूप से कैसे आईं। लेकिन आमतौर पर - और, शायद, हमेशा - ऐसा प्रतीत होता है। आप एक चरम उदाहरण दे सकते हैं: कल्पना करें कि कंप्यूटर का उपयोग करने का तरीका जानने के लिए, आपको पहले गणितीय तर्क के पूरे इतिहास से गुजरना होगा। हालांकि, यह वास्तव में ज्ञात है कि लोग कंप्यूटिंग के आधुनिक अवधारणाओं को तुरंत बदल देते हैं, बिना किसी प्रकार के इतिहास का अध्ययन करने की आवश्यकता के।

लेकिन तब क्या, अवधारणाओं के नेटवर्क की स्पष्टता दिखती है? क्या ऐसी अवधारणाएँ हैं जिन्हें केवल अन्य अवधारणाओं को समझने से समझा जा सकता है? पर्यावरण के साथ बातचीत के आधार पर लोगों के प्रशिक्षण (या एक तंत्रिका नेटवर्क के प्रशिक्षण) को देखते हुए, उनका आदेश शायद मौजूद हो सकता है।

लेकिन यह मुझे लगता है कि कंप्यूटिंग की सार्वभौमिकता के समान एक निश्चित सिद्धांत बताता है कि हाथ में "शुद्ध मस्तिष्क" के साथ, आप कहीं से भी शुरू कर सकते हैं। इसलिए, अगर कुछ एलियंस श्रेणी सिद्धांत के बारे में सीखेंगे और लगभग कुछ नहीं, तो वे संदेह के बिना अवधारणाओं का एक नेटवर्क बनाएंगे जहां यह सिद्धांत जड़ में है, और जिसे हम अंकगणित की मूल बातें के रूप में जानते हैं, उनका अध्ययन किया जाएगा। हमारे संस्थान के अनुरूप कहीं।

बेशक, ऐसे एलियंस हमसे बहुत अलग तरीके से अपने प्रौद्योगिकियों के सेट और उनके वातावरण का निर्माण कर सकते हैं - ठीक उसी तरह जैसे हमारी कहानी पूरी तरह से अलग हो सकती है अगर कंप्यूटर को सफलतापूर्वक 19 वीं शताब्दी में विकसित किया जा सकता है, और 20 वीं के मध्य में नहीं।

गणित की प्रगति

मैं अक्सर इस बात पर प्रतिबिंबित करता था कि गणित के ऐतिहासिक प्रक्षेपवक्र किस हद तक संयोग की भूमिका के अधीन है, और यह किस हद तक अपरिहार्य था। जैसा कि मैंने पहले ही उल्लेख किया है, औपचारिक प्रणालियों के स्तर पर, स्वयंसिद्ध की कई संभावित प्रणालियाँ हैं जिन पर आप कुछ ऐसा बना सकते हैं जो औपचारिक रूप से गणित जैसा दिखता है।

लेकिन गणित का वास्तविक इतिहास स्वयंसिद्ध प्रणाली के साथ शुरू नहीं हुआ। यह बेबीलोन के समय में वाणिज्य के लिए अंकगणितीय और भूमि विकास के उद्देश्य से ज्यामिति के उपयोग के प्रयासों के साथ शुरू हुआ। और इन व्यावहारिक जड़ों से, बाद में अमूर्त के स्तर को जोड़ा जाने लगा, जिसने अंततः आधुनिक गणित का नेतृत्व किया - उदाहरण के लिए, संख्याओं को धीरे-धीरे सकारात्मक पूर्णांक से तर्कसंगत बनाया गया, फिर जड़ों तक, फिर सभी पूर्णांकों तक, दशमलव अंशों तक, जटिल संख्याओं के लिए, बीजगणितीय तक। संख्या, बटेरों के लिए , और इसी तरह।

क्या अमूर्तता के विकास के ऐसे मार्ग की एक अनिवार्यता है? मुझे शक है, कुछ हद तक, हाँ। शायद यह अन्य प्रकार की अवधारणाओं के गठन के मामले में है। एक निश्चित स्तर तक पहुंचने के बाद, आपको विभिन्न चीजों का अध्ययन करने का अवसर मिलता है, और समय के साथ, इन चीजों के समूह अधिक सामान्य और सार निर्माण के उदाहरण बन जाते हैं - जो बदले में एक नए स्तर का निर्धारण करते हैं, जिससे कोई भी कुछ नया सीख सकता है।

क्या इस चक्र से बाहर निकलने का कोई तरीका है? एक संभावना गणितीय प्रयोगों से संबंधित हो सकती है। एक गणितीय प्रणाली से संबंधित चीजों को व्यवस्थित रूप से साबित कर सकता है। लेकिन एक व्यक्ति रामानुजन की तरह गणितीय रूप से सिर्फ गणितीय तथ्यों को देख सकता है एक बार उस पर ध्यान दिया $$$e^{\pi \sqrt{163}}$



उसी तरह से जो एक स्वयंसिद्ध प्रणाली को संख्याबद्ध कर सकता है, एक गणित में संभावित प्रश्नों की संख्या की कल्पना कर सकता है। लेकिन इससे तुरंत समस्या खड़ी हो जाती है। गोडेल की प्रमेय में कहा गया है कि स्वयंसिद्ध की प्रणालियों में जैसे कि अंकगणित से संबंधित हैं, "औपचारिक रूप से असाध्य" प्रमेय हैं जो कि axioms की इस प्रणाली के ढांचे के भीतर साबित या अव्यवस्थित नहीं हो सकते हैं।

हालांकि, गोडेल द्वारा बनाए गए विशिष्ट उदाहरण गणित की कक्षाओं में वास्तव में क्या हो सकता है, उससे बहुत दूर लग रहे थे। और लंबे समय तक यह माना जाता था कि किसी तरह से अस्थिरता की घटना कुछ ऐसी थी जो सिद्धांत रूप में मौजूद है, लेकिन "वास्तविक गणित" से संबंधित नहीं होगी।

हालांकि, कम्प्यूटेशनल ब्रह्मांड के मेरे सिद्धांत और कम्प्यूटेशनल ब्रह्मांड में मेरे अनुभव के अनुसार, मुझे पूरा यकीन है कि ऐसा नहीं है - और यह वास्तव में अनचाहेपन भी विशिष्ट गणित में बहुत करीब है। मुझे आश्चर्य नहीं होता अगर आज गणित की समस्याओं का एक ठोस हिस्सा ( रीमैन परिकल्पना , पी = एनपी, आदि) अघुलनशील हो।

लेकिन अगर चारों ओर बहुत अधिक अस्थिरता है, तो यह कैसे होता है कि गणित में बहुत सी चीजें सफलतापूर्वक हल हो जाती हैं? मुझे लगता है कि इसका कारण यह है कि सफलतापूर्वक हल की गई समस्याओं को विशेष रूप से इसलिए चुना गया ताकि असंगति से बचा जा सके, सिर्फ इसलिए कि गणित का विकास कैसे हुआ है। क्योंकि, यदि हम वास्तव में, अवधारणाओं के आधार पर अमूर्तता के क्रमिक स्तरों को बनाते हैं, जो हमने सिद्ध कर दिया है, तो हम उस मार्ग को प्रशस्त कर रहे हैं, जो अज्ञानता में परिवर्तित हुए बिना आगे बढ़ सकता है।

बेशक, प्रायोगिक गणित या "बेतरतीब सवाल" हमें तुरंत अनचाहेपन से भरे क्षेत्र में ले जा सकते हैं। लेकिन, कम से कम अब के लिए, गणित के मूल अनुशासन ने इस तरह से विकसित नहीं किया है।

और इन "गणित के यादृच्छिक तथ्यों" के बारे में क्या? हां, बौद्धिक अनुसंधान के अन्य क्षेत्रों के साथ भी ऐसा ही है। "यादृच्छिक तथ्य" बौद्धिक विकास के मार्ग में शामिल नहीं हैं जब तक कि कुछ संरचना - आमतौर पर कुछ अमूर्त अवधारणाएं - उनके आसपास निर्मित नहीं होती हैं।

एक अच्छा उदाहरण ऐसी प्रणालियों में जटिलता की उत्पत्ति की मेरी पसंदीदा खोज है, आमतौर पर 30 सेलुलर ऑटोमेटा। हां, हजारों साल पहले भी इसी तरह की घटनाएं देखी गई थीं (उदाहरण के लिए, primes के अनुक्रम में यादृच्छिकता)। लेकिन व्यापक वैचारिक मंच के बिना, कुछ लोगों ने उन पर ध्यान दिया।

एक अन्य उदाहरण नेस्टेड सीक्वेंस (भग्न) है। XIII सदी के मोज़ेक में वे कैसे मिले, इसके कुछ उदाहरण हैं, लेकिन किसी ने भी उन पर ध्यान नहीं दिया जब तक कि 1980 के दशक में एक पूरा मंच भग्न के आसपास पैदा नहीं हुआ।

एक ही कहानी बार-बार दोहराती है: जब तक अमूर्त अवधारणाओं को परिभाषित नहीं किया जाता है, तब तक नई अवधारणाओं के बारे में बात करना मुश्किल होता है, यहां तक ​​कि जब एक घटना का सामना करना पड़ता है जो उन्हें प्रदर्शित करता है।

मुझे संदेह है कि यह गणित में मामला है: दूसरों के शीर्ष पर कुछ अमूर्त अवधारणाओं का एक निश्चित अपरिहार्य स्तर है, जो गणित के मार्ग को निर्धारित करता है। क्या यह तरीका अनोखा है? कोई शक नहीं, नहीं। संभावित गणितीय तथ्यों के विशाल स्थान में, कुछ निश्चित दिशाएँ होती हैं जिन्हें आगे के निर्माण के लिए चुना जाता है। लेकिन आप दूसरों को चुन सकते हैं।

क्या इसका मतलब यह है कि गणित में विषय अनिवार्य रूप से ऐतिहासिक दुर्घटनाओं से प्रेरित हैं? जितना आप सोच सकते हैं उतना नहीं। दरअसल, जैसे-जैसे गणित को बार-बार खोजा गया, बीजगणित और ज्यामिति जैसी चीजों के साथ शुरू हुआ, एक उल्लेखनीय प्रवृत्ति है जिसमें विभिन्न दिशाएं और अलग-अलग दृष्टिकोण एक दूसरे के परिणामों के बराबर या इसके अनुरूप होते हैं।

शायद, कुछ हद तक, यह कम्प्यूटेशनल तुल्यता के सिद्धांत का एक परिणाम है, और कम्प्यूटेशनल सार्वभौमिकता की घटना: हालांकि गणित के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किए जाने वाले बुनियादी नियम (या "भाषा") भिन्न होते हैं, अंत में उनके बीच अनुवाद का एक तरीका है - और अमूर्त के अगले स्तर पर चुना हुआ रास्ता अब इतना महत्वपूर्ण नहीं होगा।

तार्किक प्रमाण और अमूर्तता का स्वचालन

तार्किक प्रमाणों पर वापस जाएं। वे विशिष्ट गणित से कैसे संबंधित हैं? अब तक, कोई रास्ता नहीं। हां, प्रमाण में मानक गणितीय प्रमाण के समान ही रूप है। लेकिन यह "गणित के लोगों के अनुकूल" नहीं है। ये केवल यांत्रिक भाग हैं। यह उच्च-स्तरीय अमूर्त अवधारणाओं से जुड़ा नहीं है जो मानव गणित के लिए समझ में आएगा।

यदि हमें यह पता चलता है कि गणितीय साहित्य में पहले से ही सबूत के गैर-तुच्छ लम्हे मिले हैं, तो हमें बहुत मदद मिलेगी (मुझे नहीं लगता कि ऐसा था, लेकिन प्रमेयों द्वारा हमारी खोज संभावनाएं अभी तक इस स्तर तक नहीं पहुंच पाई हैं कि हम सुनिश्चित हो सकते हैं)। लेकिन अगर वे दिखाई देते हैं, तो यह शायद हमें इन नींबूओं को गणित में अन्य चीजों के साथ जोड़ने और अमूर्त अवधारणाओं के अपने सर्कल को परिभाषित करने का एक तरीका देगा।

लेकिन इसके बिना सबूत को कैसे समझा जा सकता है?

शायद सबूत को अंजाम देने का कोई और तरीका है, मौलिक रूप से मौजूदा गणित से अधिक दृढ़ता से संबंधित है। लेकिन अब भी हमारे पास जो साक्ष्य हैं, उनमें से कोई भी नई अवधारणाओं की कल्पना कर सकता है जो उच्च स्तर की अमूर्तता को परिभाषित करेगा और इस प्रमाण को और अधिक सामान्य संदर्भ में रखेगा।

यकीन नहीं है कि यह कैसे करना है। मैं एक पुरस्कार (मेरे 2007 के ट्यूरिंग अवार्ड जैसा कुछ) नामांकित करने पर विचार कर रहा था) "सबूत को एक समझने योग्य रूप में बदलने के लिए।" हालांकि, यह पूरी तरह से समझ से बाहर है कि कोई "व्याख्यात्मकता" का मूल्यांकन कैसे कर सकता है। एक घंटे के वीडियो को रिकॉर्ड करने के लिए कहा जा सकता है जिसमें प्रमाण का एक सफल विवरण दिया जाएगा, जो एक विशिष्ट गणितज्ञ के लिए उपयुक्त होगा - लेकिन यह बहुत व्यक्तिपरक होगा।

लेकिन उसी तरह जैसे कि नेटवर्क के सुंदर लेआउट की खोज को स्वचालित करना संभव है, शायद हम सबूत को स्पष्ट करने की प्रक्रिया को स्वचालित कर सकते हैं। वर्तमान प्रमाण, वास्तव में, स्पष्टीकरण के बिना, कई सौ नींबूओं पर विचार करने का सुझाव देता है। लेकिन मान लीजिए कि हम "दिलचस्प" नींबू की एक छोटी संख्या को परिभाषित कर सकते हैं। शायद हम किसी तरह उन्हें प्रसिद्ध गणित के अपने कैनन में जोड़ सकते हैं, और फिर हम उन्हें सबूत समझने के लिए उपयोग कर सकते हैं।

भाषाओं के विकास के साथ एक समानता है। वुल्फ्राम भाषा का निर्माण करके, मैं "कम्प्यूटेशनल काम के टुकड़े" की पहचान करने की कोशिश करता हूं जो लोगों को अक्सर चाहिए। हम उन लोगों से भाषा में निर्मित कार्य बनाते हैं, जिनके विशिष्ट नाम हैं जिनका उपयोग लोग उनका उल्लेख करने के लिए कर सकते हैं।

इसी तरह की एक प्रक्रिया चल रही है - हालांकि प्राकृतिक भाषाओं के विकास में - इतने सारे संगठित नहीं हैं। "अर्थ के टुकड़े" जो उपयोगी साबित होते हैं, अंततः भाषा में अपने शब्दों को प्राप्त करते हैं। कभी-कभी वे कई मौजूदा शब्दों के वाक्यांशों से शुरू होते हैं। लेकिन सबसे प्रभावशाली व्यक्ति आमतौर पर मौजूदा शब्दों से इतनी दूर हो जाते हैं कि वे नए शब्दों के रूप में प्रकट होते हैं, जिन्हें परिभाषित करना काफी कठिन होता है।

वुल्फ्राम भाषा को विकसित करने में, जिनके कार्यों को अंग्रेजी शब्दों का उपयोग करना कहा जाता है, मैं किसी व्यक्ति की अंग्रेजी भाषा की सामान्य समझ (और कभी-कभी सामान्य कंप्यूटर अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाने वाले शब्दों की समझ पर निर्भर करता हूं)।

गणितीय कैनन में जोड़ने के लिए किस नींबू को निर्धारित करने में कुछ ऐसा ही करना होगा। यह न केवल यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक होगा कि प्रत्येक लेम्मा किसी भी तरह "अनिवार्य रूप से दिलचस्प" होगी, बल्कि मौजूदा गणितीय अवधारणाओं और परिणामों से "कटौती करने में आसान" होने वाले नींबू का चयन करने के लिए भी।

लेकिन क्या लेम्मा "अनिवार्य रूप से दिलचस्प" बनाता है? यह कहा जाना चाहिए कि इससे पहले कि मैं अपनी पुस्तक पर काम करता, मैंने गणित के किसी भी क्षेत्र में पाठ्यपुस्तकों के विवरण और महान दुर्घटनाओं और ऐतिहासिक दुर्घटनाओं में नींबू (या टॉवर) की पसंद को दोषी ठहराया।

लेकिन, मूल तर्क से प्रमेयों का विस्तार से विश्लेषण करने के बाद, मुझे कुछ अलग तरह का पता लगा तो आश्चर्य हुआ। मान लीजिए कि हमने उनके आकार के क्रम में तर्क के सभी सही प्रमेयों का निर्माण किया है
(उदाहरण के लिए, पी = पी पहले, पी एंड पी = पी - थोड़ी देर बाद, आदि) होगा। इस सूची में बहुत अधिक अतिरेक है। अधिकांश प्रमेय उन प्रमेयों के एक तुच्छ विस्तार के रूप में सामने आते हैं जो पहले ही सूची में दिखाई दे चुके हैं।

लेकिन कभी-कभी एक प्रमेय प्रकट होता है जो नई जानकारी का उत्पादन करता है जो कि प्रमेयों के आधार पर सिद्ध नहीं किया जा सकता है जो पहले ही सूची में दिखाई दे चुके हैं। एक उल्लेखनीय तथ्य: 14 ऐसे प्रमेय हैं , और वे, संक्षेप में, उन प्रमेयों के बिल्कुल अनुरूप हैं, जिन्हें आमतौर पर तर्क पर पाठ्यपुस्तकों में नाम दिए गए हैं (यहाँ is है, या ∨ है, और ¬ नहीं है)।


दूसरे शब्दों में, इस मामले में नाम या "दिलचस्प" प्रमेय ठीक वही हैं जो एक न्यूनतम आकार की नई जानकारी के बारे में बयान करते हैं। हां, इस परिभाषा के अनुसार, कुछ समय के बाद कोई नई जानकारी नहीं होगी, क्योंकि हम सभी आवश्यक चीजों को साबित करने के लिए आवश्यक सभी स्वयंसिद्ध शब्द प्राप्त करेंगे - हालांकि आप स्वीकार्य प्रमाणों की जटिलता को सीमित करने के लिए शुरू करके आगे जा सकते हैं।

नंद प्रमेयों के बारे में क्या, उदाहरण के लिए, जो प्रमाण में पाए जाते हैं? फिर, आप क्रम में सभी सच्चे प्रमेयों का निर्माण कर सकते हैं, और पा सकते हैं कि कौन सी सूची से पिछले प्रमेयों के आधार पर साबित नहीं किया जा सकता है:


NAND की ऐसी कोई ऐतिहासिक परंपरा नहीं है जैसे AND, OR और NOT। और, जाहिर है, कोई भी मानव भाषा नहीं है जिसमें नंद को एक शब्द द्वारा दर्शाया गया है। लेकिन नंद प्रमेयों की सूची में, उपरोक्त में से पहली को आसानी से नंद के रूप में पहचाना जाता है। उसके बाद, उन्हें नाम देने के लिए केवल कुछ अनुवादों की आवश्यकता होती है: a = (a (a) · (a) a डबल नकार की तरह है, a = (a · a) · (a (b) अवशोषण के नियम की तरह है , (a) · ए) बी = (ए · बी) · बी "कमजोर पड़ने" के समान है, और इसी तरह।

खैर, अगर हम नंद तर्क के कुछ "प्रमुख सिद्धांत" सीखने जा रहे हैं, तो ये किस तरह के सिद्धांत होने चाहिए? शायद ये सबूतों में "लोकप्रिय नींबू" होना चाहिए।

बेशक, किसी भी प्रमेय के कई संभावित प्रमाण हो सकते हैं। लेकिन मान लीजिए कि हम केवल उन सबूतों का उपयोग करेंगे जो FindEquationalProof पैदा करता है। तब यह पता चलता है कि पहले हजार नंद प्रमेयों के प्रमाण में सबसे लोकप्रिय लेम्मा एक · एक · एक ((· ए) · ए) है, इसके बाद टाइप के नींबू (एक · (एक (एक) · एक)) · a (a (a (a (a) a)) = a।

ये नींबू क्या हैं? वे FindEquationalProof द्वारा उपयोग की जाने वाली विधियों के लिए उपयोगी हैं। लेकिन लोगों के लिए, वे बहुत उपयुक्त नहीं लगते हैं।

उन नींबूओं के बारे में क्या जो छोटे हो जाते हैं? ए · बी = बी · ए निश्चित रूप से सबसे लोकप्रिय नहीं है, लेकिन सबसे छोटा है। (a · a) · (a · a) = a अधिक लोकप्रिय है, लेकिन अधिक लंबा है। और फिर इस तरह के नींबू हैं (· ए) · (बी · ए) = ए।

ये नींबू कितना उपयोगी होगा? इसे सत्यापित करने का एक तरीका यहां दिया गया है। आइए पहले हज़ार नंद प्रमेयों को देखें और मूल्यांकन करें कि कैसे लेम्मों का जोड़ इन प्रमेयों के प्रमाण को कम करता है (कम से कम FindEquationalProof द्वारा पाए गए):


एक · बी = बी · एक बहुत सफल है, और अक्सर लगभग 100 कदम से सबूत को विभाजित करता है। (a · a) · (a (a) = a बहुत कम सफल है; यह कभी-कभी "भ्रमित" भी करता है FindEquationalProof, आपको आवश्यकता से अधिक कदम उठाने के लिए मजबूर करता है (रेखांकन पर नकारात्मक मान)। (a · a) · (b · a) = संकुचन के साथ अच्छी तरह से मुकाबला करता है, लेकिन a · b = b · a के रूप में अच्छा नहीं है। यद्यपि, यदि आप इसे एक · बी = बी · ए के साथ जोड़ते हैं, तो परिणामस्वरूप कटौती अक्सर अधिक होती है।

विश्लेषण जारी रखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक विशेष लेम्मा उनकी मूल लंबाई के संबंध में साक्ष्य की लंबाई को कम करके तुलनात्मक रूप से शामिल करती है। लेकिन समस्या यह है कि यदि आप कुछ "उपयोगी नींबू" जैसे · बी = बी · ए (ए) (ए) · (बी · ए) = ए जोड़ते हैं, तो अभी भी बहुत सारे लंबे सबूत हैं - यानी, बहुत सारे की जरूरत है समझने के लिए।

हम क्या समझ सकते हैं?

चीजों को मॉडल करने के विभिन्न तरीके हैं। कई सौ वर्षों के लिए, सटीक विज्ञान गणितीय समीकरणों को खोजने के विचार पर हावी थे जो यह दिखाने के लिए हल किए जा सकते थे कि सिस्टम कैसे व्यवहार करेगा। लेकिन मेरी पुस्तक के आगमन के बाद से, प्रोग्राम बनाने की दिशा में एक सक्रिय बदलाव आया है जिसे आप यह देखने के लिए चला सकते हैं कि सिस्टम कैसे व्यवहार करेंगे।

कभी-कभी ऐसे कार्यक्रम एक विशिष्ट कार्य के लिए लिखे जाते हैं; कभी-कभी उन्हें लंबे समय तक खोजा जाता है। और हमारे समय में, इस तरह के कार्यक्रमों का कम से कम एक वर्ग मशीन व्यवहार का उपयोग करके प्राप्त होता है, सिस्टम व्यवहार के ज्ञात उदाहरणों से रिवर्स आंदोलन विधि द्वारा।

और इन विभिन्न प्रकार के मॉडलिंग के साथ "क्या हो रहा है" यह समझना कितना आसान है? गणितीय समीकरणों का "सटीक समाधान" खोजना एक बड़ा प्लस है - फिर सिस्टम के व्यवहार को एक सटीक गणितीय सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है। लेकिन जब यह नहीं है, तब भी अक्सर कुछ गणितीय बयानों को लिखना संभव होता है जो अन्य प्रणालियों और व्यवहारों से संबंधित होते हैं।

जैसा कि मैंने ऊपर लिखा है, एक कार्यक्रम के साथ - जैसे कि सेलुलर ऑटोमेटन - सब कुछ अलग हो सकता है। बहुत बार ऐसा होता है कि हम तुरंत कम्प्यूटेशनल इरेड्यूसबिलिटी का सामना करते हैं, जो कि एक छोटे रास्ते पर जाने की हमारी क्षमता को सीमित करता है और जो हो रहा है उसे "समझाता है"।

मशीन सीखने और तंत्रिका नेटवर्क के बारे में क्या? एक अर्थ में, तंत्रिका नेटवर्क प्रशिक्षण प्राकृतिक विज्ञानों में चल रही प्रेरक खोज के संक्षिप्त योग की तरह है। हम कोशिश कर रहे हैं, उदाहरण के साथ शुरू करके, सिस्टम व्यवहार के एक मॉडल को कम करने के लिए। लेकिन क्या तब मॉडल को समझना संभव होगा?

और फिर, कम्प्यूटेशनल irreducibility के साथ समस्याएं हैं। लेकिन आइए एक ऐसे मामले पर चर्चा करते हैं जिसमें हम कल्पना कर सकते हैं कि स्थिति कैसी दिखेगी जिसमें हम समझ सकते हैं कि क्या हो रहा है।

सिस्टम व्यवहार को अनुकरण करने के लिए एक तंत्रिका नेटवर्क का उपयोग करने के बजाय, आइए एक तंत्रिका नेटवर्क बनाने पर विचार करें जो दुनिया के कुछ पहलू को वर्गीकृत करता है: उदाहरण के लिए, चित्र लेना और उनकी सामग्री ("नाव", "जिराफ़", आदि) के अनुसार उन्हें वितरित करना। जब हम तंत्रिका नेटवर्क को प्रशिक्षित करते हैं, तो यह सही आउटपुट उत्पन्न करना सीखता है। लेकिन आप संभावित रूप से अंतर के अनुक्रम के आंतरिक निर्माण के रूप में इस प्रक्रिया की कल्पना कर सकते हैं (कुछ " बीस प्रश्नों का खेल "), जो अंततः सही निष्कर्ष निर्धारित करता है।

लेकिन ये अंतर क्या हैं? कभी-कभी हम उन्हें पहचान सकते हैं। उदाहरण के लिए, "क्या तस्वीर में बहुत नीला है?" लेकिन ज्यादातर समय ये दुनिया के कुछ गुण होते हैं जिन पर लोगों का ध्यान नहीं जाता है। शायद प्राकृतिक विज्ञान का एक वैकल्पिक इतिहास है, जिसमें उनमें से कुछ साबित होंगे। लेकिन वे धारणा या विश्लेषण के मौजूदा कैनन का हिस्सा नहीं हैं।

यदि हम उन्हें जोड़ना चाहते थे, तो शायद हम उनके लिए नाम लेकर आएंगे। लेकिन यह स्थिति तार्किक प्रमाण के साथ स्थिति के समान है। स्वचालित प्रणाली ने कुछ चीजें बनाई हैं जो परिणाम उत्पन्न करने के लिए मील के पत्थर के रूप में उपयोग करती हैं। लेकिन हम इन मील के पत्थरों को नहीं पहचानते हैं, इनका मतलब हमारे लिए कुछ भी नहीं है।

फिर, अगर हमने पाया कि कुछ विशिष्ट अंतर अक्सर तंत्रिका नेटवर्क में पाए जाते हैं, तो हम यह तय कर सकते हैं कि वे खुद के लिए अध्ययन करने के लायक हैं और दुनिया का वर्णन करने के तरीकों के मानक कैनन में जोड़ें।

क्या हम इस तरह के मतभेदों की एक छोटी संख्या की उम्मीद कर सकते हैं जिससे हम कुछ सार्थक बना सकें? ऐसा लगता है कि सवाल यह है कि क्या प्रमेयों की एक छोटी संख्या हमें तार्किक प्रमाण जैसी चीज़ को समझने में मदद करेगी।

मुझे लगता है कि उत्तर स्पष्ट नहीं है। यदि आप अध्ययन करते हैं, उदाहरण के लिए, गणित में वैज्ञानिक कार्यों का एक बड़ा सेट, तो आप विभिन्न प्रमेयों के उपयोग की आवृत्ति के बारे में प्रश्न पूछ सकते हैं। यह पता चलता है कि प्रमेयों की आवृत्ति लगभग पूरी तरह से जिपफ के कानून से मेल खाती है (और पहले स्थानों पर एक केंद्रीय सीमा होगी ,निहित कार्य प्रमेय और टोनेली-फ़ुबिनि प्रमेय )। ऐसा ही शायद उन अंतरों के साथ होता है जो "जानने लायक" होते हैं, या नए प्रमेयों के साथ जो "जानने लायक" होते हैं।

कई प्रमेयों का ज्ञान हमें पर्याप्त दूर तक आगे बढ़ने का अवसर देगा, लेकिन हमेशा एक अनंत घातीय पूंछ होगी, और हम अंत तक नहीं पहुंचेंगे।

ज्ञान का भविष्य

गणित, विज्ञान या प्रौद्योगिकी का अध्ययन करके, आप गुणात्मक विकास के समान बुनियादी मार्ग देख सकते हैं, जिसमें कभी-कभी बढ़ते हुए सार का एक सेट बनाया जा सकता है। इस प्रक्रिया को मात्रा देना अच्छा होगा। शायद यह गणना करना संभव है कि एक ही समय में पाए जाने वाले कुछ निश्चित शब्द या विवरण अमूर्तता के उच्च स्तर में शामिल हैं, जिस पर नए शब्द या विवरण उनके साथ संबंधित दिखाई देते हैं।

ट्यूरिंग मशीनों जैसे कम्प्यूटेशन के एक औपचारिक मॉडल का उपयोग करके इस प्रक्रिया का एक आदर्श मॉडल बनाना संभव हो सकता है। कल्पना कीजिए कि सबसे निचले स्तर पर एक मूल ट्यूरिंग मशीन है, जिसमें कोई सार नहीं है। अब कल्पना करें कि हम कुछ विशिष्ट यादृच्छिक प्रक्रिया के अनुसार इस ट्यूरिंग मशीन के लिए कार्यक्रमों का चयन करते हैं। फिर हम इन कार्यक्रमों को चलाते हैं और उन्हें देखने के लिए विश्लेषण करते हैं कि गणना के "उच्च" स्तर के कौन से मॉडल सफलतापूर्वक इन कार्यक्रमों के संयुक्त व्यवहार को पुन: पेश कर सकते हैं, उनमें से प्रत्येक में प्रत्येक चरण का प्रदर्शन किए बिना।

यह तय किया जा सकता है कि कम्प्यूटेशनल इर्रेड्यूबिलिटी इस तथ्य को जन्म देगा कि इस उच्च-स्तरीय कम्प्यूटेशन मॉडल का निर्माण अनिवार्य रूप से अधिक जटिल होगा। लेकिन मुख्य बिंदु यह है कि हम केवल कार्यक्रमों के संयुक्त व्यवहार को पुन: उत्पन्न करने का प्रयास कर रहे हैं, न कि उनके अलग व्यवहार का।

लेकिन क्या होता है अगर यह प्रक्रिया बार-बार खुद को दोहराती है, मनुष्य के आदर्श बौद्धिक इतिहास को पुन: पेश करती है और कभी भी अधिक से अधिक अमूर्तता का टॉवर बनाती है?

संभवतया, यहाँ हम भौतिकी में महत्वपूर्ण घटनाओं और रेनोवेशन समूह विधि के साथ एक सादृश्य आकर्षित कर सकते हैं। यदि हां, तो हम कल्पना कर सकते हैं कि हम अवधारणाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्लेटफार्मों के अंतरिक्ष में प्रक्षेपवक्र का निर्धारण कर सकते हैं। यह प्रक्षेपवक्र क्या करेगा?

शायद इसका एक निश्चित मूल्य होगा जब इतिहास में किसी भी क्षण अवधारणाओं के समान अध्ययन के बारे में एक ही राशि होती है - नई अवधारणाएं धीरे-धीरे खुलती हैं, और पुराने को अवशोषित किया जाता है।

गणित के लिए इसका क्या मतलब है? उदाहरण के लिए, अनुभवजन्य रूप से खोजे गए किसी भी "यादृच्छिक गणितीय तथ्य" को अंततः अमूर्तता के एक निश्चित स्तर तक पहुंचने पर विचार किया जाएगा। यह प्रक्रिया कैसे काम करेगी, इसकी कोई स्पष्ट समझ नहीं है। वास्तव में, अमूर्तता के किसी भी स्तर पर, हमेशा नए अनुभवजन्य तथ्य होते हैं जिनसे किसी को "कूदना" पड़ता है। यह भी हो सकता है कि "अमूर्त के स्तर को ऊपर उठाना" इन "कूद" के लिए आवश्यक से अधिक धीमा हो जाएगा।

समझ का भविष्य

भविष्य की समझ के लिए इसका क्या मतलब है?

अतीत में, जब लोगों ने प्रकृति का अध्ययन किया, तो उनके पास इसे समझने के कई कारण थे। कभी-कभी वे आत्माओं या देवताओं के रूप में इसके कुछ पहलुओं को व्यक्त करते हैं। लेकिन उन्होंने इसे स्वीकार कर लिया जैसा कि प्रक्रियाओं के कारणों के सभी विवरणों को समझने की संभावना के बारे में नहीं सोचते हुए।

आधुनिक विज्ञान के आगमन के साथ - और विशेष रूप से तब जब हमारे जीवन का अधिक से अधिक हिस्सा हमारे द्वारा विकसित प्रौद्योगिकियों के वर्चस्व वाले कृत्रिम वातावरण में बिताया जाता है - ये अपेक्षाएं बदल गई हैं। और जब हम एआई द्वारा की गई गणनाओं का अध्ययन करते हैं, तो हमें यह पसंद नहीं है कि हम उन्हें समझ न सकें।

हालांकि, हमारी दुनिया के सिस्टम क्या करते हैं और हमारे मस्तिष्क उनके व्यवहार से क्या गणना कर सकते हैं, के बीच एक प्रतिस्पर्धा होगी। यदि हम केवल उन प्रणालियों के साथ बातचीत करने का निर्णय लेते हैं जो कंप्यूटिंग शक्ति में मस्तिष्क की तुलना में बहुत सरल हैं, तो हम उम्मीद कर सकते हैं कि हम व्यवस्थित रूप से समझ सकते हैं कि वे क्या कर रहे हैं।

लेकिन अगर हम ब्रह्मांड में उपलब्ध सभी कंप्यूटिंग क्षमताओं का उपयोग करना चाहते हैं, तो अनिवार्य रूप से जिन प्रणालियों के साथ हम बातचीत करते हैं वे हमारे मस्तिष्क की प्रसंस्करण शक्ति को प्राप्त करेंगे। और इसका मतलब है कि, कम्प्यूटेशनल इरेड्यूसबिलिटी के सिद्धांत के अनुसार, हम कभी भी इन प्रणालियों के संचालन को "ओवरटेक" या "समझ" नहीं सकते हैं।

लेकिन फिर हम उनका उपयोग कैसे कर सकते हैं? वैसे, जैसे इंसान हमेशा प्रकृति की प्रणालियों का उपयोग करते थे। बेशक, हम उनके काम या क्षमताओं के सभी विवरणों को नहीं जानते हैं। लेकिन अमूर्तता के एक निश्चित स्तर पर, हम यह समझने के लिए पर्याप्त हैं कि उनकी मदद से अपने लक्ष्यों को कैसे प्राप्त किया जाए।

गणित जैसे क्षेत्रों के बारे में क्या? गणित में, हम अपने ज्ञान सेट के निर्माण के लिए उपयोग किए जाते हैं ताकि हम हर कदम को समझ सकें। लेकिन प्रायोगिक गणित - और साथ ही प्रमेयों के स्वत: प्रमाण जैसी विशेषताएं - स्पष्ट रूप से उन क्षेत्रों के अस्तित्व को बनाते हैं जिनमें ऐसी विधि हमारे लिए उपलब्ध नहीं होगी।

क्या हम उन्हें "गणित" कहेंगे? मुझे लगता है कि उन्हें चाहिए। लेकिन यह परंपरा उस से अलग है जिसे हम अंतिम सहस्राब्दी में उपयोग करते हैं। हम अभी भी वहाँ सार बना सकते हैं, और समझ के नए स्तरों का निर्माण कर सकते हैं।

लेकिन कहीं न कहीं इसके आधार में कम्प्यूटेशनल इरेड्यूसबिलिटी के विभिन्न संस्करणों के सभी प्रकार होंगे, जिन्हें हम मानव समझ के क्षेत्र में कभी भी स्थानांतरित नहीं कर सकते हैं। यह लगभग वही है जो तर्क के मेरे छोटे स्वयंसिद्ध प्रमाण में होता है। यह एक प्रारंभिक उदाहरण है जो मुझे लगता है कि गणित के मुख्य पहलुओं में से एक होगा - और भविष्य में और भी बहुत कुछ।