अधिक विभिन्न ब्लर्स की आवश्यकता है

गाऊसी ब्लर फिल्टर के साथ छवि धुंधला व्यापक रूप से विभिन्न प्रकार के कार्यों में उपयोग की जाती है। लेकिन कभी-कभी आप सभी अवसरों के लिए केवल एक फिल्टर की तुलना में थोड़ी अधिक विविधता चाहते हैं, जिसमें केवल एक पैरामीटर समायोजन के लिए उधार देता है - इसका आकार। इस लेख में, हम कई अन्य धुंधला कार्यान्वयन देखेंगे।

परिचय

गॉसियन ब्लर इफेक्ट एक लीनियर ऑपरेशन है और गणितीय रूप से फिल्टर मैट्रिक्स के साथ इमेज के एक कनविक्शन को दर्शाता है। उसी समय, छवि में प्रत्येक पिक्सेल को कुछ वज़निंग कारकों के साथ पास के लोगों के योग द्वारा बदल दिया जाता है।

फ़िल्टर को गाऊसी कहा जाता है क्योंकि यह एक फ़ंक्शन से बना है जिसे गाऊसी के रूप में जाना जाता है, $$$e ^ {- x ^ 2}$ :



एक दो-आयामी संस्करण, जो इसके घूर्णन द्वारा ऑर्डिनेट अक्ष के बारे में प्राप्त करता है, $$$e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)}$ :



निर्देशांक की प्रत्येक जोड़ी के लिए यहां $$$(x, y)$ केंद्र से दूरी की गणना सूत्र द्वारा की जाती है $$$\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}$ , जो गॉसियन फ़ंक्शन के तर्क के रूप में पारित किया गया है - और, जैसा कि आप आसानी से देख सकते हैं, $$$e ^ {- \ left (\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} \ right) ^ 2}$ कम हो गया $$$e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)}$ ।

मैट्रिक्स एक खंड पर बनाया गया है $$$[- 3.3]$ और नमूने के कुछ स्तर के साथ, यह इस तरह दिखेगा:

$$

$$\ छोड़ दिया (शुरू करें {सरणी} {ccccccc} 1.52 \ गुना 10 ^ {- 8} और 2.26 \ गुना 10 ^ {- 6} & 0.0000454 & 0.000123 & 0.0000454 & 2.26 \ गुना 10 बार} - - 6} & 1.52 \ _ समय 10 ^ {- 8} \\ 2.26 \ गुना 10 ^ {- 6} और 0.000335 और 0.00674 और 0.0183 & 0.00674 & 0.000335 और 2.26 \ गुना 10 ^ {- 6} \\ 0.0000454 और 0.00674 और 0.135 और 0.368 और 0.135 & 0.00674 & 0.0000454 \\ 0.000123 और 0.0183 और 0.368 और 1.00 & 0.368 और 0.0183 और 0.000123 \\ 0.0000454 और 0.00674 और 0.135 और 0.368 और 0.135 और 0.00354 और 0.0000454 और 0.0000454 और 0.003645 और 0.00354 और ०.३ 0.00४ और ०.३ 0.00४ और ०.३०४४४ 0.0183 और 0.00674 & 0.000335 और 2.26 \ गुना 10 ^ {- 6} \\ 1.52 \ बार 10 ^ {- 8} और 2.26 \ गुना 10 ^ {- 6} और 0.0000454 और 0.000123 और 0.0026454 और 2.26 \ गुना 10 ^ { -6} और 1.52 \ गुना 10 ^ {- 8} \\ \ अंत {सरणी} \ सही)$$

या, यदि हम मैट्रिक्स तत्वों के मूल्यों को एक चमक स्तर के रूप में मानते हैं, तो इस तरह:



सिग्नल प्रोसेसिंग के संदर्भ में, यह आवेग प्रतिक्रिया कहलाता है, क्योंकि यह ठीक है कि एक एकल आवेग (इस मामले में, एक पिक्सेल) के साथ इस फिल्टर के दोषी होने का परिणाम क्या होगा।

प्रारंभ में, एक गौसियन को एक अनंत अंतराल पर परिभाषित किया गया है। लेकिन इस तथ्य के कारण कि यह जल्दी से कम हो जाता है, लेकिन गणना के मूल्यों को शून्य के करीब से बाहर करना संभव है - क्योंकि वे अभी भी परिणाम को प्रभावित नहीं करेंगे। वास्तविक अनुप्रयोगों में, मूल्य सामान्यीकरण भी आवश्यक है ताकि दृढ़ संकल्प के बाद छवि की चमक में बदलाव न हो; और उस छवि को धूमिल करने के मामले में जिसमें प्रत्येक पिक्सेल का रंग समान होता है, छवि को खुद को बदलना नहीं चाहिए।

सुविधा के लिए, सामान्यीकरण का उपयोग अक्सर निर्देशांक में भी किया जाता है, एक अतिरिक्त पैरामीटर शुरू करके $$$\ _ सिग्मा$ ("सिग्मा" के रूप में पढ़ें) - सीमा में एक तर्क पर विचार करने के लिए $$$[- 1,1]$ , और $$$\ _ सिग्मा$ गाऊसी के संपीड़न अनुपात को निर्धारित करता है:

$$

$$\ frac {e ^ {- \ frac {x ^ 2 + y ^ 2} {2 \ sigma ^ 2}}}} {2 \ pi \ sigma ^ 2}$$

डिवाइडर को सामान्य करना $$$2 \ pi \ sigma ^ 2$ अनन्तता पर एक निश्चित अभिन्न के माध्यम से यहां विश्लेषणात्मक रूप से प्राप्त किया गया:

$$

$$\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- \ frac {x ^ 2 + y ^ 2} {2 \ sigma ^ 2} \ " dx डाई = 2 \ pi \ sigma ^ 2$$

इस तथ्य के कारण कि समानता रखती है $$$e ^ {- \ left (x ^ 2 + y ^ 2 \ right)} = e ^ {- x ^ 2} e ^ {- y ^ 2}$ गाऊसी धुंधला को क्रमिक रूप से, पहले पंक्तियों में और फिर स्तंभों में लागू किया जा सकता है - जो आपको गणना के साथ काफी बचत करने की अनुमति देता है। इस मामले में, एक आयामी मामले के लिए सामान्यीकरण सूत्र का उपयोग करना आवश्यक है -

$$

$$\ frac {e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2 \ sigma ^ 2}}} {\ sqrt {2 \ pi \ sigma ^ 2}}$$

शुरुआत

एक मनमाने फिल्टर के लिए, हमें सबसे पहले एक वेरिएबल से अपने स्वयं के क्षीणन समारोह को परिभाषित करने की आवश्यकता है $$$च$ जिसमें से दो वेरिएबल्स के फंक्शन को रीप्लेस करके रोटेशन से प्राप्त किया जाता है $$$x$ पर $$$\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}$ जहाँ $$$x$ और $$$य$ ये रेंज में मैट्रिक्स तत्व के निर्देशांक हैं $$$(- 1,1)$ , और जो तब मैट्रिक्स के तत्वों को आबाद करने के लिए उपयोग किया जाता है। सामान्यीकरण को विश्लेषणात्मक रूप से नहीं माना जाएगा, लेकिन मैट्रिक्स के सभी तत्वों का एक सीधा जोड़ - यह दोनों सरल और अधिक सटीक है - क्योंकि विवेकाधिकार के बाद फ़ंक्शन को "बाहर निकाल दिया गया" है और सामान्यीकरण मान विवेक के स्तर पर निर्भर करेगा।

मामले में मैट्रिक्स तत्वों को खरोंच से गिना जाता है, समन्वय होता है $$$x$ या $$$य$ सूत्र द्वारा गणना की जाती है

$$

$$\ frac {2 सूचकांक} {आकार -1} -1$$

जहाँ $$$सूचकांक$ - पंक्ति या स्तंभ में तत्व की क्रम संख्या, और $$$आकार$ - तत्वों की कुल संख्या।

उदाहरण के लिए, 5 बाय 5 मैट्रिक्स के लिए, यह इस तरह दिखेगा:

$$

$$\ left (\ start {array} {ccccc} f (-1, -1) & f \ left (- \ frac {1} {2}, - 1 \ right) & f (0, -1) & f \ बाएँ (\ frac {1} {2}, - 1 \ दाएँ) और f (1, -1) \\ f \ बाएँ (-1, - \ frac {1} {2} \ दाएँ) और f \ बाएँ (- \ frac {1} {2}, - \ frac {1} {2} \ right) और f \ left (0, - \ frac {1} {2} \ राइट) और f \ left (\ frac) 1} {2}, - \ frac {1} {2} \ सही) और f \ left (1, - \ frac {1} {2} \ राइट) \\ f (-1.0) & f \ left (- \ frac {1} {2}, 0 \ right) और f (0,0) & f \ left (\ frac {1} {2}, 0 \ right) और f (1,0) \\ f \ बाएँ (-1, \ frac {1} {2} \ दाएँ) और f \ बाएँ (- \ frac {1} {2}, \ frac {1} {2} \ सही) और f \ बाएँ (0,) \ frac {1} {2} \ राइट) और f \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {1} {2} \ राइट) और f \ left (1, \ frac {1}} 2 } \ दाएँ) \\ f (-1,1) और f \ बाएँ (- \ frac {1} {2}, 1 \ दाएँ) और f (0,1) और f \ बाएँ (\ frac {1}) 2}, 1 \ दाईं ओर) और f (1,1) \\ \ अंत {सरणी} \ सही)$$

या, यदि हम अभी भी शून्य हैं सीमा मानों को बाहर करते हैं, तो निर्देशांक की गणना सूत्र द्वारा की जाएगी

$$

$$\ frac {2 सूचकांक-आकार + 1} {आकार}$$

और मैट्रिक्स तदनुसार रूप लेगा

$$

$$\ बाएँ (\ start {array} {ccccc} f \ left (- \ frac {4} {5}, - \ frac {4} {5} \ right) और f \ left (- \ frac {2} { 5}, - \ frac {4} {5} \ right) और f \ left (0, - \ frac {4} {5} \ right) और f \ left (\ frac {2} {5}, - \) frac {4} {5} \ right) और f \ left (\ frac {4} {5}, - \ frac {4} {5} \ right) \\ f \ left (- \ frac {4} {5) }, - \ frac {2} {5} \ right) और f \ left (- \ frac {2} {5}, - \ frac {2} {5} \ राइट) और f \ left (0, - \) frac {2} {5} \ right) और f \ left (\ frac {2} {5}, - \ frac {2} {5} \ right) और f \ left (\ frac {4} {5}, 2) -> frac {2} {5} \ right) \\ f \ left (- \ frac {4} {5}, 0 \ right) और f \ left (- \ frac {2} {5}, 0 \ दाएँ) ) & f (0,0) और f \ left (\ frac {2} {5}, 0 \ right) और f \ left (\ frac {4} {5}, 0 \ right) \\ f \ left ( -> frac {4} {5}, \ frac {2} {5} \ right) & f \ left (- \ frac {2} {5}, \ frac {2} {5} \ right) और f \ _ बाएँ (0, \ frac {2} {5} \ दाएँ) और f \ बाएँ (\ frac {2} {5}, \ frac {2} {5} \ दाएँ) और f \ बाएँ (\ frac {4) {5}, \ frac {2} {5} \ right) \\ f \ left (- \ frac {4} {5}, \ frac {4} {5} \ right) और f \ left (- \ frac) {२} {५}, \ frac {४} {५} (दाएं) और f \ बायां (०, \ frac {४} {५} (दाएं)) \ frac {4} {5} (दाएं) और f \ बाएं (\ frac {4} {5}, \ frac {4} {5} \ सही) \\ \ अंत {सरणी} \ दाएं)$$

सूत्र द्वारा मैट्रिक्स तत्वों की गणना करने के बाद, उनकी राशि की गणना करना और मैट्रिक्स को उसमें विभाजित करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि हमें एक मैट्रिक्स मिलता है

$$

$$\ छोड़ दिया (\ start {array} {ccc} 1 & 4 & 1 \\ 4 & 20 & 4 \\ 1 & 4 & 1 \\ \ end {array} \ right)$$

तब इसके सभी तत्वों का योग 40 होगा, और सामान्य होने के बाद यह रूप लेगा

$$

$$\ बाईं (\ शुरू {सरणी} {ccc} \ frac {1} {40} & \ frac {1} {10} & \ frac {1} {40} \\ \ frac {1} {10} & \ _ frac {1} {2} & \ frac {1} {10} \\ \ frac {1} {40} और \ frac {1} {10} & \ frac {1} {40} \\ \ end {सरणी } (दाएं)$$

और इसके सभी तत्वों का योग 1 हो जाता है।

रैखिक क्षीणन

सबसे पहले, सबसे सरल कार्य करें - लाइन:

$$

$$\ बाईं \ {\ _ शुरू करें {सरणी} {ll} 1-x, & x <1 \\ 0, और x \ geqslant 1 \\ \ end {सरणी} \ सही $$$

यहां एक टुकड़ा-रहित निरंतर परिभाषा की आवश्यकता है कि फ़ंक्शन शून्य पर जाने की गारंटी है और रोटेशन के दौरान मैट्रिक्स के कोनों पर कोई कलाकृतियां दिखाई नहीं देती हैं। इसके अलावा, चूंकि रोटेशन निर्देशांक के वर्गों के योग की जड़ का उपयोग करता है, जो हमेशा सकारात्मक होता है, यह केवल मानों के सकारात्मक भाग में फ़ंक्शन को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है। नतीजतन, हम प्राप्त करते हैं:

नरम रैखिक क्षीणन

तिरछी रेखा से शून्य कार्यों के लिए एक तेज संक्रमण सुंदरता की भावना के साथ विरोधाभास का कारण बन सकता है। इसे हल करने के लिए, फ़ंक्शन हमारी सहायता करेगा।

$$

$$1- \ frac {n x-x ^ n} {n-1}$$

जिसमें $$$एन$ डॉकिंग की "कठोरता" को निर्धारित करता है, $$$n> 1$ । उदाहरण के लिए $$$n = 3$ हमें मिलता है

$$

$$\ बाईं \ {\ _ शुरू {सरणी} {ll} 1- \ frac {3 xx ^ 3} {2}, और x <1 \\ 0, & x \ geqslant 1 \\ \ end {सरणी} \ सही।$$

और फ़िल्टर अपने आप जैसा दिखेगा

अतिशयोक्तिपूर्ण क्षीणन

फ़िल्टर को अधिक "तेज" और अधिक सुचारू रूप से एक और फ़ंक्शन करके शून्य पर जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक हाइपरबोला, और एक पैराबोला के साथ सिंक द्वारा शून्य को एक चिकनी संक्रमण सुनिश्चित करना।



सभी गणना और सरलीकरण के बाद, हम सूत्र प्राप्त करते हैं

$$

$$\ बाईं \ {\ _ शुरू {सरणी} {ll} \ frac {(x-1) ^ 2 (k x + k + 1)} {(k + 1) (k x + 1)}, & x <1 \\ 0, और x \ geqslant 1 \\ \ end {सरणी} \ right$$

किस पैरामीटर में $$$k> 0$ क्षीणन की प्रकृति निर्धारित करता है:



और फ़िल्टर स्वयं दिखेगा (के लिए) $$$k = ५$ ) कैसे

बोकेह प्रभाव

आप दूसरे तरीके से जा सकते हैं - फिल्टर के शीर्ष को तेज नहीं, बल्कि बेवकूफ बनाने के लिए। इसे लागू करने का सबसे आसान तरीका यह है कि डंपिंग फ़ंक्शन को एक स्थिर के रूप में सेट करें:

$$

$$\ बाईं \ {\ _ शुरू {सरणी} {ll} 1, & x <1 \\ 0, और x \ geqslant 1 \\ \ end {सरणी} \ $$$

लेकिन इस मामले में, हमें मजबूत पिक्सेलशन मिलता है, जो सुंदरता की भावना के विपरीत है। किनारों पर इसे चिकना बनाने के लिए, एक उच्च-क्रम वाला पेराबोला हमारी मदद करेगा, जिससे, इसे ऑर्डिनेट अक्ष के साथ स्थानांतरित करके और इसे चुकता करके, हम प्राप्त करते हैं

$$

$$\ बाएँ \ {\ शुरू {सरणी} {ll} \ बाएं (1-x ^ n \ दाएँ) ^ 2, और x <1 \\ 0, और x \ geqslant 1 \\ \ end {सरणी} \ सही।$$

भिन्न पैरामीटर $$$एन$ आप फ़िल्टर विकल्पों की एक विस्तृत श्रृंखला प्राप्त कर सकते हैं:

$$

$$n = 0.5$$

$$

$$n = 2$$

$$

$$n = 10$$

$$

$$n = 50$$

और भिगोने के कार्य को थोड़ा संशोधित करके, आप फ़िल्टर के किनारों पर रिंग को अधिक स्पष्ट कर सकते हैं, उदाहरण के लिए इस तरह:

$$

$$\ बाएँ \ {\ शुरू {सरणी} {ll} \ बाएँ (1-x ^ n \ दाएँ) ^ 2 \ बाएँ (d + x ^ m \ दाएँ), और x <1 \\ 0, & x \ geqslant 1 \\ \ अंत {सरणी} \ सही।$$

यहाँ पैरामीटर $$$ड$ केंद्र की ऊंचाई निर्धारित करता है, और $$$एम$ - किनारों पर संक्रमण का तेज।
के लिए $$$d = 0.2, m = 2, n = 10$ हमें मिलता है



लेकिन इसके लिए $$$d = 0, m = 12, n = 2$

गाऊसी विविधताएं

गॉसियन के कार्य को भी सीधे संशोधित किया जा सकता है। ऐसा करने का सबसे स्पष्ट तरीका यह है कि हम घातांक का मानकीकरण करें - अब हम इस पर विचार नहीं करेंगे, लेकिन अधिक दिलचस्प विकल्प लेंगे:

$$

$$\ बाईं \ {\ शुरू {सरणी} {ll} ई ^ {\ frac {kx ^ 2} {x ^ 2-1}}, और -1 <x <1 \\ 0, और अन्यथा \\ \ end { सरणी} \ सही$$

इस तथ्य के साथ कि $$$x$ एक विभाजक के लिए प्रवृत्त $$$x ^ 2-1$ शून्य अंश तक जाता है $$$\ frac {k x ^ 2} {x ^ 2-1}$ शून्य से अनंत तक जाता है, और प्रतिपादक भी शून्य हो जाता है। इस प्रकार से विभाजन $$$x ^ 2-1$ के साथ फ़ंक्शन परिभाषा के डोमेन को संक्षिप्त करने की अनुमति देता है $$$(- \ infty, \ infty)$ को $$$(- 1,1)$ । इसके अलावा, जब $$$x = \ pm 1$ शून्य से विभाजन के कारण ( $$$1 ^ 2-1 = 0$ ) फ़ंक्शन का मान परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन इसकी दो सीमाएं हैं - एक तरफ सीमा (अंदर से) शून्य है, और दूसरी ओर, अनंत:

$$

$$\ underset {x \ to 1 ^ -} {\ text {lim}} e ^ {\ frac {k x ^ 2} {x ^ 2-1}} = 0$$

$$

$$\ underset {x \ to 1 ^ +} {\ text {lim}} e ^ {\ frac {k x ^ 2} {x ^ 2-1}} = \ infty$$

चूंकि अंतराल मान सीमा में शामिल नहीं है, तो एक तरफ सीमा में शून्य केवल काफी पर्याप्त है। दिलचस्प है, यह संपत्ति इस फ़ंक्शन के सभी डेरिवेटिव तक फैली हुई है, जो शून्य के साथ पूर्ण मिलान सुनिश्चित करती है।

पैरामीटर $$$k$ गाऊसी के साथ समानता निर्धारित करता है - यह जितना बड़ा होता है, उतना ही मजबूत समानता प्राप्त होती है - इस तथ्य के कारण कि एक तेजी से रैखिक खंड $$$\ frac {1} {x ^ 2-1}$ समारोह के केंद्र में आते हैं। कोई यह मान सकता है कि इस वजह से, सीमा में, आप मूल गॉसियन प्राप्त कर सकते हैं - लेकिन, दुर्भाग्य से, नहीं - कार्य अभी भी अलग हैं।



अब आप देख सकते हैं कि क्या हुआ:

$$

$$k = ५$$

$$

$$k = 2$$

$$

$$k = 0.5$$

$$

$$k = 0.1$$

$$

$$k = 0.01$$

आकार परिवर्तन

दो निर्देशांक से एक में संक्रमण फ़ंक्शन को बदलकर $$$\ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}$ , आप अन्य आकार प्राप्त कर सकते हैं, न कि केवल एक डिस्क। उदाहरण के लिए:

$$

$$f \ left (\ frac {\ left | x-y \ right | + \ बाएँ | x + y \ _ |} {2} \ right)$$

$$

$$f (\ बाएँ | x \ दाएँ | + \ बाएँ | y \ दाएँ |)$$

जटिल संख्याओं में जाने से, आप अधिक जटिल आंकड़े बना सकते हैं:

$$

$$f \ left (\ frac {\ _ left | \ Re \ left ((x + iy) (-1) ^ {\ frac {0} {3}} \ right) \ right) + \ _ बाएं \ _ \ _ \ _ ((x + iy) (-1) ^ {\ frac {1} {3}} \ राइट) \ _ + बाएँ + | \ Re \ left ((x + iy) (-1) ^ {\ frac { 2} {3}} \ राइट) \ राइट |} {\ sqrt {3}} \ राइट)$$

$$

$$f \ biggl (10 \ left | \ Re \ left ((x + iy) (-1) ^ {\ frac {1} {8}} \ right) \ right | \ biggr) \ cdot f (\ left) x + iy \ right |)$$

$$

$$f \ biggl (\ biggl | 5 \ left | x + iy \ right) (x + iy) \ Re \ biggl (\ cos \ left (\ frac {5}) {2} \ arg (x + iy) का दायां ) \ biggr) \ biggr | \ biggr) \ cdot f (\ left | x + iy \ _ $$$

इस मामले में, आपको यह सुनिश्चित करना चाहिए कि जब निर्देशांक परिवर्तित करना अंतराल से परे नहीं जाता है $$$(0,1)$ - ठीक है, या इसके विपरीत, तर्क के नकारात्मक मूल्यों के लिए भिगोना फ़ंक्शन को फिर से परिभाषित करें।

कुछ विशिष्ट उदाहरण

एक लेख विशिष्ट छवियों पर व्यावहारिक परीक्षण के बिना पूरा नहीं होगा। चूँकि हमारे पास वैज्ञानिक काम नहीं है, इसलिए हम लीना की छवि नहीं लेते हैं - हम कुछ नरम और भुलक्कड़ होंगे:


















एक ही फिल्टर, लेकिन पाठ के लिए:

निष्कर्ष

इसी तरह, आप अधिक जटिल फिल्टर बना सकते हैं, जिसमें तीखेपन या रूपरेखा शामिल हैं; और उन लोगों को भी संशोधित करें जो पहले से ही विचार कर रहे हैं।

विशेष रुचि नॉनलाइनियर फ़िल्टरिंग की है, जब फ़िल्टर गुणांक के मान निर्देशांक या छवि को सीधे फ़िल्टर किए जाने पर निर्भर करते हैं - लेकिन यह पहले से ही अन्य अध्ययनों के लिए एक विषय है।

अधिक विस्तार से, एक स्थिर के साथ डॉकिंग के लिए कार्यों की व्युत्पत्ति यहां पर मानी जाती है । यहाँ पर विचार किए जाने वाले विंडो फ़ंक्शंस का उपयोग क्षीणन क्रिया के रूप में भी किया जा सकता है - जो सभी आवश्यक है वह तर्क c (0,00) को स्केल करने के लिए है ( $$$\ frac {1} {2}$ , 1) या शुरू में सूत्र द्वारा विंडो कार्यों पर विचार करें $$$\ frac {1} {2} \ बाईं (f \ left (\ frac {t x + 1} {t-1} \ right) -f \ left (\ frac {t x-1} {t-1} $$ ।

इस लेख के लिए वुल्फ्राम मैथेमेटिका स्रोत दस्तावेज़ यहाँ डाउनलोड किया जा सकता है ।