खुशी का सिद्धांत। मक्खन के साथ एक सैंडविच की चक्करदार उड़ान

मैं हेब के पाठकों को उनकी पुस्तक "खुशी के सिद्धांत" के अध्याय के साथ उपशीर्षक के साथ परिचित करना चाहता हूं "विधि के कानूनों के गणितीय नींव।" यह अभी तक लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक प्रकाशित नहीं हुई है, बहुत ही अनौपचारिक रूप से बता रही है कि कैसे गणित आपको दुनिया और लोगों के जीवन को जागरूकता की एक नई डिग्री के साथ देखने की अनुमति देता है। यह उन लोगों के लिए है जो विज्ञान में रुचि रखते हैं और उनके लिए जो जीवन में रुचि रखते हैं। और चूँकि हमारा जीवन जटिल है, और बड़े, अप्रत्याशित, पुस्तक में मुख्य रूप से संभावना सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों पर जोर दिया गया है। यहाँ प्रमेय सिद्ध नहीं हुए हैं और विज्ञान के मूल तत्व नहीं दिए गए हैं, यह किसी भी तरह से पाठ्यपुस्तक नहीं है, लेकिन इसे मनोरंजक विज्ञान कहा जाता है। लेकिन यह वास्तव में ऐसा लगभग चंचल दृष्टिकोण है जो हमें अंतर्ज्ञान विकसित करने की अनुमति देता है, ज्वलंत उदाहरणों वाले छात्रों के लिए व्याख्यान को उज्ज्वल करता है और अंत में, गैर-गणितज्ञों और हमारे बच्चों को समझाता है कि हमें अपने शुष्क विज्ञान में ऐसी दिलचस्प चीजें मिलीं।



इस अध्याय में, हम एक सैंडविच के कानून की जांच करते हैं और मोंटे कार्लो विधि और आयामी विश्लेषण का उपयोग करके एक संपूर्ण अध्ययन का आयोजन करते हैं। और अंत में, लोकप्रिय मिथक को मिटा दें कि तेल इस अर्थ कानून का कारण है।

सैंडविच गिरने का विषय न तो आम जनता और न ही शोधकर्ताओं को है। दशकों से, प्रयोगों का आयोजन किया गया है, फिल्मों की शूटिंग की गई है, लेख लिखे गए हैं, किंवदंतियों और गलत निष्कर्षों के साथ एक गिरते सैंडविच उग आया है। बहुत से बेकार पहेलियों ने इतना ध्यान आकर्षित नहीं किया, और अगर आपको लगता है कि यह सब लाड़-प्यार कर रहा है, तो ध्यान रखें कि पुरस्कार भी, हालांकि, इसके समाधान के लिए भी गंभीर नहीं हैं। 1995 में, रॉबर्ट मैथ्यूज को यूरोपियन जर्नल ऑफ फिजिक्स में प्रकाशित अपने काम के लिए "फॉलिंग सैंडविच, मर्फीज लॉ, एंड फंडामेंटल कॉन्स्टेंट्स" के लिए शोनोबेल पुरस्कार मिला। कॉमिक विषय और वैज्ञानिक समुदाय की संगत प्रतिक्रिया के बावजूद, यह एक पूरी तरह से दिलचस्प लेख है जिसमें स्लाइडिंग प्रक्रिया का गहन विश्लेषण किया जाता है और एक दूरगामी निष्कर्ष निकाला जाता है: कोई फर्क नहीं पड़ता कि एन्थ्रोपोमोर्फिक जीव जो वायुमंडल में रहते हैं, वे एक सैंडविच के कानून के लिए बर्बाद हो जाएंगे। बेकार शोध की ऐसी विजय के बाद, कोई भी विषय को बंद कर सकता था, लेकिन एक दिलचस्प समस्या के उदाहरण के रूप में दिलचस्प और निष्पक्ष उपयोगी तरीकों पर विचार करने का अवसर क्यों याद करता है!

मोंटे कार्लो में इडा सैंडविच फेंकते हैं!

हम शायद ही कभी एक सिक्के की तरह सैंडविच टॉस करते हैं, कम से कम जब हम दो साल से अधिक पुराने हो जाते हैं। अधिक बार नहीं, हम अनजाने में एक ही प्रयोग के बारे में दोहराते हैं: एक सैंडविच, मूल रूप से मक्खन के साथ रखा जाता है, हमारे हाथों से फिसल जाता है, या मेज से बाहर निकल जाता है। फिसलने की प्रक्रिया में, यह मुड़ता है, हवा में उड़ता है, और अंत में, मेज पर या फर्श पर नीचे की ओर गिरता है। गिरावट का प्रारंभिक चरण कई मापदंडों से प्रभावित होता है: उंगलियों या टेबल की सतह के खिलाफ घर्षण, सैंडविच की प्रारंभिक स्थिति और इसकी प्रारंभिक गति, गिरने की ऊंचाई, और अंत में, सैंडविच का आकार। हमारे पास कई इनपुट मापदंडों और एक आउटपुट के साथ एक गतिशील प्रणाली है - फर्श पर सैंडविच की स्थिति। सिस्टम के अंदर, जैसा कि एक सिक्के के मामले में, यांत्रिक कानून काम करते हैं, जो अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित हैं और वे नियतात्मक हैं । इसका मतलब यह है कि उनमें कोई दुर्घटना नहीं है - परिणाम केवल इनपुट डेटा पर निर्भर करता है, और मापदंडों के सटीक पुनरावृत्ति के साथ, हमें समान परिणाम प्राप्त करना चाहिए। यह सैंडविच मॉडल पर लागू होता है, जिसे अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, लेकिन असली सैंडविच, किसी न किसी और अद्वितीय के बारे में, जो रेस्तरां में, सड़क पर या सोफे पर असली लोगों द्वारा गिराए जाते हैं? निर्धारक प्रणाली के इनपुट में यादृच्छिक मापदंडों को लागू करके वास्तविक दुनिया की परिवर्तनशीलता का वर्णन किया जा सकता है।

हालांकि, यहां तक ​​कि यादृच्छिक चर का बीजगणित, जिसमें केवल जोड़ और गुणा शामिल है, एक आसान काम नहीं है, लेकिन हमारे पास अंतर समीकरण हैं! हम इन आकर्षक विल्डों में नहीं चढ़ते हैं, लेकिन कई क्षेत्रों में अच्छी तरह से विकसित तकनीक का उपयोग करते हैं - मोंटे कार्लो विधि । इसमें विभिन्न यादृच्छिक मापदंडों के साथ बार-बार परीक्षण के परिणामस्वरूप, संचय के आंकड़े शामिल होते हैं और एक निश्चित जटिल प्रणाली के गुणों का निर्धारण होता है। मैं फिर से जोर देता हूं: अध्ययन के तहत प्रणाली स्टोचस्टिक नहीं है और अराजक नहीं है, और यह यादृच्छिक इनपुट डेटा के लिए अनुमानित प्रतिक्रिया करता है। मोंटे कार्लो पद्धति में, यादृच्छिकता की आवश्यकता केवल कुशलता से संभव के रूप में कई विकल्पों को सुलझाने और सभी यथार्थवादी "कोणों" को देखने के लिए होती है, जो प्रणाली के व्यवहार का एक विचार प्राप्त करती है।

वास्तव में, हमने पहले से ही इस पद्धति का उपयोग किया है, एक पहाड़ी पर साइकिल चालकों को देखकर और अभी भी इसका उपयोग कार्यालय में समय सीमा की व्यवस्था करके और बंद समाज में धन साझा करने के लिए करेंगे। संभावना और मात्रा या क्षेत्र के माप के बीच एक-से-एक पत्राचार, जिसके बारे में हमने पहले बात की थी, हमें संख्यात्मक एकीकरण के लिए मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करने की अनुमति देता है। आगामी सैंडविच प्रयोग की एक विशेषता यह है कि हम रुचि वितरण (सटीक या अनुभवजन्य) में रुचि नहीं लेंगे, लेकिन समस्या के मापदंडों पर संभावना की निर्भरता में। हम सवाल के जवाब की तलाश करेंगे: सैंडविच कानून किन परिस्थितियों में पूरा हुआ? हम अपने डायनेमिक सिस्टम के इनपुट के लिए विभिन्न विशिष्ट मापदंडों की आपूर्ति करेंगे और तेल की बूंदों और तेल के नीचे के आंकड़े एकत्र करेंगे। इस प्रकार, प्रयोगों की एक श्रृंखला का परिणाम एक संख्या होगा - एक तेल गिरने की संभावना।

मुझे यकीन है कि फर्श पर जानबूझकर असली सैंडविच गिराना गलत है, इसलिए हम गणितीय मॉडलिंग का उपयोग करेंगे। एक सैंडविच गिरने की समस्या को हल करने के लिए, मैंने उपलब्ध भौतिक दुनिया सिमुलेटरों में से एक को चुना जो ऑनलाइन गेम बनाने के लिए उपयोग किया जाता है। उन्होंने एक वर्चुअल टेबल और फर्श, साथ ही साथ दो सैंडविच बनाने की अनुमति दी। एक मेज के किनारे पर दिखाई दिया, और दूसरा - "उसकी उंगलियों से फिसल गया", अर्थात, एक बिंदु समर्थन से फिसल गया। सैंडविच की प्रारंभिक स्थिति और कोण, क्षैतिज गति (टेबल से सैंडविच को नष्ट करने का मामला), घर्षण गुणांक, सैंडविच का आकार और गिरावट की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए मेरी शक्ति में है। प्रयोग कुछ इस तरह दिखते हैं:

भौतिक दुनिया के एक सिम्युलेटर में आभासी सैंडविच के पतन के साथ प्रयोग।

जिस समय सैंडविच फर्श को छूता है, सैंडविच का कोण तय हो जाता है, या बल्कि, वेक्टर का कोण सामान्य होता है। इस कोण की साइन का संकेत हमें बताएगा कि तेल किस तरफ से निकला: एक सफल मामला सकारात्मक मूल्य से मेल खाता है, और नीचे की स्थिति एक नकारात्मक मूल्य से मेल खाती है। परिणाम तालिका में दर्ज किया गया है, और नया आभासी सैंडविच गिरने के लिए तैयार है। हम जो कार्य निर्धारित करते हैं वह यह है: किसी दिए गए ऊंचाई से गिरने पर एक सैंडविच गिरने वाले तेल की संभावना का आकलन करना।

मोंटे कार्लो विधि मानती है कि यादृच्छिक चर को मापदंडों के रूप में उपयोग किया जाता है। और यहाँ यह एक यादृच्छिक चर क्या है के बारे में कुछ शब्द कहने के लायक है । चलो गणितज्ञों और गणितीय संरचनाओं पर वापस जाते हैं। एक पासा पर एक संख्या में गिरावट, या एक नदी में जल स्तर के परिणामों को अनुकरण करने के लिए किस संरचना का उपयोग किया जा सकता है, क्योंकि पानी पर लगातार उत्तेजना है? एक घंटे में चौराहे से गुजरने वाली कारों की संख्या के साथ कैसे काम करें? क्या संरचना एक इलेक्ट्रॉन की स्थिति का वर्णन कर सकती है? एक ओर, ये एक विशिष्ट परिभाषित मूल्यों के सेट से विशिष्ट संख्या हैं: एक हड्डी के लिए, उदाहरण के लिए, एक सेट से $$$\ {1,2,3,4,5,6 \}$ , और इस मूल्य को एक प्रयोग करके प्राप्त करना आसान है। हालांकि, एक दूसरा प्रयोग एक अलग परिणाम देगा, यह स्पष्ट रूप से सिर्फ एक संख्या नहीं है: आज यह एक है, कल यह एक और है। एक दार्शनिक सवाल भी उठ सकता है: क्या यह "नदी में पानी के स्तर", या कारों की संख्या के कुछ सटीक मूल्य के बारे में बात करने के लिए समझ में आता है, क्योंकि इन मूल्यों को "पकड़ा" और दर्ज नहीं किया जा सकता है? किसी भी अर्थ में, एक यादृच्छिक चर का सटीक ज्ञान हो सकता है?

अक्सर, जब ऐसे यादृच्छिक चर के बारे में बात की जाती है, तो वे केवल औसत मूल्य तक सीमित होते हैं, लेकिन यह भ्रमित होने या यहां तक ​​कि जानबूझकर भ्रमित करने का एक शानदार तरीका है। दो नंबर: माध्य और मानक विचलन, पहले से ही बेहतर हैं, लेकिन यह स्पष्ट रूप से हमारे लिए ब्याज की वस्तु के बारे में सभी जानकारी नहीं है। शायद ये संख्या नहीं हैं, लेकिन सेट हैं? कहो, आप नदी में जल स्तर का वर्णन संभव मानों के अंतराल के रूप में कर सकते हैं, उत्तेजना को ध्यान में रखते हुए और कारों के साथ एक उदाहरण के लिए, कहते हैं कि एक घंटे में 1 से 100 कारें गुजरती हैं, आदि। लेकिन यह देखना आसान है कि संभावित मूल्यों का सेट भी पर्याप्त नहीं है, उदाहरण के लिए, सड़क पर कारों की संख्या के माप की पुनरावृत्ति के साथ, कुछ संख्याएं अधिक बार घटित होंगी, और कुछ हम बिल्कुल भी इंतजार नहीं करेंगे। पिछले अध्याय में, हमने प्रायिकता स्थान पर एक फ़ंक्शन के रूप में प्रायिकता का एक माप पेश किया। एक यादृच्छिक मात्रा के लिए, इस स्थान की प्रारंभिक घटनाएं इसकी परिभाषा के डोमेन के तत्व होंगी, और माप इस मात्रा के लिए संभाव्यता वितरण को निर्धारित करता है । और अब यह संपूर्ण और सटीक जानकारी है। किसी फ़ंक्शन को तालिका के आधार पर, हिस्टोग्राम या ग्राफ़ के रूप में किसी अन्य फ़ंक्शन द्वारा विश्लेषणात्मक रूप से या एक अनुमान के रूप में दर्शाया जा सकता है। ये सभी अभ्यावेदन एक ही वस्तु के मॉडल हैं - एक यादृच्छिक चर, और यहां सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि इस फ़ंक्शन के गणितीय गुणों के रूप में विशिष्ट प्रकार का प्रतिनिधित्व इतना अधिक नहीं है। संभाव्यता वितरण के लिए, गुण अलग-अलग हैं: मापदंडों की संख्या, मोड की संख्या, एन्ट्रापी, अनंत विभाज्यता, परिवर्धन, स्थिरता, पूर्णता, और इसी तरह। प्रयोग से प्राप्त एक अज्ञात यादृच्छिक चर को मॉडलिंग करते हुए, सटीक परिभाषित गुणों के साथ ज्ञात वितरण के एक विशाल शस्त्रागार से आंकड़े, इतना "सबसे समान" फ़ंक्शन का चयन नहीं करता है, बल्कि एक ऐसा फ़ंक्शन है जो मनाया यादृच्छिक चर के साथ इसके गुणों में पूरी तरह से मेल खाता है। यह सांख्यिकीय परिकल्पनाओं के परीक्षण के लिए सांख्यिकीय विश्लेषण और तकनीकों का सार है जो हर उस छात्र से परिचित होते हैं जिन्होंने आँकड़ों को छुआ है।

हमें अब एक समस्या है, एक अर्थ में, विपरीत। हमें सैंडविच के पैरामीटर को यादृच्छिक चर के साथ सेट करने की आवश्यकता है, जिसमें सांख्यिकीय डेटा नहीं है, लेकिन इन मात्राओं के आवश्यक गुणों द्वारा निर्देशित है। यह मोंटे कार्लो विधि का एक महत्वपूर्ण और दिलचस्प हिस्सा है, जिस पर समाधान और इसकी शुद्धता दोनों निर्भर करती हैं।

1. सैंडविच के आयाम। वे क्या हो सकते हैं? उचित आकार के कैनपेस में एक सेंटीमीटर होता है $$$3$ चौड़ा, और एक अच्छा छात्र "बस्ट" सेंटीमीटर हो सकता है $$$15$ । अक्सर, सैंडविच में से आकार होते हैं $$$6$ को $$$10$ देखें। इस मामले में, एक व्यावहारिक अर्थ में, मिलीमीटर या मीटर चौड़ाई के सैंडविच के सामना करने की संभावना शून्य है। मैं सैंडविच के बारे में कुछ और नहीं कह सकता और मैं निर्दिष्ट सीमा में समान रूप से वितरित सैंडविच के आकार को स्वीकार करूंगा। पसंद अपूर्ण है, फिर भी हम छोटे या विशाल लोगों की तुलना में सामान्य सैंडविच अधिक बार पाते हैं। लेकिन बाद में हम देखेंगे कि इस कमज़ोर जगह को खूबसूरती से दरकिनार किया जा सकता है।

2. प्रारंभिक स्थिति। यहां, आगे की हलचल के बिना, हम टेबल के किनारे पर सैंडविच को स्थानांतरित करने के लिए एक समान वितरण सेट करेंगे, यदि केवल गिरता है।

3. घर्षण का गुणांक। यह एक आयाम रहित मात्रा है, जो केवल सामग्री पर निर्भर करती है। तालिकाओं और मेज़पोश अलग-अलग हैं, उंगलियां अलग-अलग ताकत के साथ एक सैंडविच निचोड़ती हैं। से गुणांक सीमा $$$0.01$ को $$$0.5$ , जबकि चरम मूल्यों की संभावना नहीं है, औसतन, आप आसपास कुछ उम्मीद कर सकते हैं $$$0.3$ । गैर-नकारात्मक मूल्य के किसी भी घंटी के आकार का असममित वितरण, उदाहरण के लिए, एक गामा वितरण या एक लॉग-सामान्य, हमारी मदद करेगा।

4. प्रारंभिक गति। हम शायद ही कभी उच्च गति पर सैंडविच लॉन्च करते हैं, और अक्सर हम उन्हें बिल्कुल नहीं फेंकते हैं, लेकिन ऐसा होता है। गति के परिमाण के बारे में सभी जानते हैं कि यह सकारात्मक है और यह माना जा सकता है कि स्वाइप करने पर, हम औसत हाथों के रूप में चलते हैं, यानी लगभग गति से $$$0.5$ एम / एस यदि केवल एक मात्रा के बारे में जाना जाता है, तो एक घातीय वितरण द्वारा इसका वर्णन करना उचित है (क्यों, हम बाद में बात करेंगे जब हम वितरण के एन्ट्रापी के बारे में सीखते हैं)। इसका मोड शून्य है, इसलिए एक बड़ी प्रारंभिक गति के बिना गिरने वाले सैंडविच का अनुपात काफी सभ्य होगा। "पूंछ" में सैंडविच होगा, अनजाने में फ्लाइट में लॉन्च किया जाता है जब टेबल से crumbs फुसफुसाते हैं।

5. हम तालिका की ऊंचाई को ठीक करेंगे, इसमें से एक सौ सैंडविच छोड़ेंगे, नीचे गिरे हुए तेल की संख्या की गणना करेंगे और इसे तालिका में डालेंगे, या ग्राफ पर ऊंचाई की संभावना को प्रतिबिंबित करेंगे।

यहाँ मक्खन के साथ एक सैंडविच गिराने की संभावनाएँ हैं जो हमें मिलती हैं:

तेल सैंडविच की संभावना गिरावट की ऊंचाई के आधार पर अलग-अलग परिस्थितियों के साथ अलग-अलग सैंडविच को लैंडिंग करती है। प्रत्येक ऊंचाई के लिए $$$100$ परीक्षण।

कुछ प्रवृत्ति दिखाई देती है, लेकिन एक बहुत व्यापक प्रसार निकला है। औसत होने पर, यह पता चलता है कि गिरने की ऊंचाई की संभावना लगभग स्वतंत्र है और मुश्किल से आधी से अधिक है। क्या आप इस तरह के प्रयोग पर भरोसा कर सकते हैं? क्या वह एक सैंडविच के कानून का खंडन करता है? शायद हमने सैंडविच को पर्याप्त रूप से नहीं फेंका - इतना शोर डेटा था! आइए फेंको की संख्या बढ़ाएं और देखें कि क्या होता है:

बड़ी संख्या में परीक्षणों (प्रत्येक ऊंचाई के लिए 500) के लिए गणना की गई विभिन्न सैंडविच नीचे उतरने वाले तेल की संभावना।

कम उत्सर्जन हैं, लेकिन यह और भी स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है कि सैंडविच का कानून बहुत कमजोर है। लेकिन क्या हमने अपने प्रयोगों को सही ढंग से किया? मोंटे कार्लो विधि मोहक सरल लगती है: अपने आप को जानें कि क्या भयानक डेटा है और देखें कि क्या होता है। गणित एक ईमानदार बात है: वह किस तरह का प्रश्न देने के लिए तैयार है । लेकिन क्या यह जवाब समझ में आता है सवाल पर निर्भर करता है।

प्रयोगों को शुरू करने से पहले, खिलौने की तरह हमारे जैसा नहीं, लेकिन असली और महंगा, एक परिक्रमा उपग्रह, कण त्वरक या तेल के साथ एक हजार असली सैंडविच का उपयोग करके, तैयारी के काम को अंजाम देना आवश्यक है। और यह समझने के लिए शक्तिशाली और सुंदर तरीकों में से एक है कि समस्या के आयामों का विश्लेषण कैसे किया जाए।

हमने सामान्यीकृत निर्देशांक, संवेग और बलों द्वारा एक सैंडविच बनाया - भौतिक मात्रा, जो बदले में, विश्लेषणात्मक भौतिकी के समीकरणों से जुड़े हुए हैं। भौतिकी में, मात्रात्मक मात्रा जिसके साथ हम सौदा करते हैं, जिसे हम समीकरणों में मापते हैं और प्रतिस्थापित करते हैं, सामान्य संख्याओं में "फिट" नहीं होते हैं - उनके पास एक अतिरिक्त संरचना है, जिसे आयाम कहा जाता है । सभी सही गणितीय अभिव्यक्तियाँ समझ में नहीं आती हैं अगर आयामी मात्रा में भाग लेते हैं। मान लीजिए कि गति और द्रव्यमान को जोड़ने का कोई मतलब नहीं है, बल और दूरी की तुलना करना असंभव है। हालांकि, हम गति और द्रव्यमान के उत्पाद पर विचार कर सकते हैं, जिसे एक नया आयाम प्राप्त हुआ है - गति या गति; गति को पार करना और दूरी से विभाजित करना संभव है, इस प्रकार त्वरण के आयाम वाले मान प्राप्त करना।

आयाम विश्लेषण और समानता सिद्धांत का जन्म लॉर्ड रेले के समय से बहुत पहले हुआ था। उनका उपयोग मैकेनिक्स, इलेक्ट्रोडायनामिक्स, एस्ट्रोफिजिक्स और कॉस्मोलॉजी में किया जाता है, जिससे भयावह लालित्य के साथ जटिल कार्यों को करना संभव हो जाता है। हालांकि, इस क्षेत्र में अनुसंधान पूरा नहीं हुआ है और मात्रात्मक (आयामी) मात्राओं द्वारा गठित संरचना की एक कठोर परिभाषा केवल 2016 में स्पेनिश गणितज्ञ अल्वारो रैपोसो द्वारा दी गई थी।

भौतिक फ़ार्मुलों पर आयामों द्वारा लगाए गए अवरोधों को अक्सर विद्यार्थियों और छात्रों द्वारा अतिरिक्त गंदगी के रूप में माना जाता है जिनकी निगरानी करने की आवश्यकता होती है। लेकिन दूसरी ओर, तार्किक रूप से लगातार बाधाएं बेहद उपयोगी हैं! वे गलत अभिव्यक्तियों को फ़िल्टर करते हैं, वे आपको इसके विस्तृत समाधान से पहले एक भौतिक समस्या के समाधान की संरचना की "भविष्यवाणी" करने की अनुमति देते हैं, वे प्रयोगात्मक डेटा की योजना और विश्लेषण करने में एक शक्तिशाली उपकरण हैं।

लेकिन वह दिलचस्प है। हमने कार्यक्रम में सैंडविच के पतन की गणना की, आयामी नहीं बल्कि साधारण संख्याओं का उपयोग करते हुए। एक आयाम से एक भौतिक मात्रा को "स्पष्ट" कैसे किया जा सकता है और इसे एक संख्या में बदल सकता है? इस उद्देश्य के लिए, हम भौतिक मात्राओं के मापन की परिचित इकाइयों से परिचित हैं: ये सभी मीटर, पाउंड, मिनट और न्यूटन। माप की इकाइयां मात्रा के आयामी हिस्से पर ले जाती हैं, हमें एक कारक के साथ छोड़कर - एक वास्तविक संख्या, जो एक कंप्यूटर पहले से ही निपट सकता है। उदाहरण के लिए, चयनित दिशा में गति है $$$60$ किमी / घंटा को संख्या द्वारा दर्शाया जा सकता है $$$60$ । लेकिन एक सूक्ष्मता है: संख्यात्मक प्रतिनिधित्व माप की इकाइयों की पसंद पर निर्भर करता है। यदि आप अन्य इकाइयों (कहते हैं, मीटर और सेकंड) का चयन करते हैं , तो एक ही गति को एक अलग संख्या द्वारा दर्शाया जाएगा: $$$16.7$ । संख्या अलग हैं, लेकिन मात्रा एक है, और यह किसी भी इकाइयों की हमारी पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

सवाल उठता है: क्या किसी भी मायने में इकाइयों की एक "सर्वश्रेष्ठ" प्रणाली है? यह पता चला है कि इसके लिए, समस्या को हल करते समय, माप की इकाइयों के रूप में समस्या में शामिल आयामी मात्रा का उपयोग करना आवश्यक है।

इस अध्याय में, हमारे पास उड़ान भरने वाले सैंडविच हैं, पिछले एक उड़ने वाले सिक्कों में, हम एक और उड़ान का उदाहरण देते हैं। विभिन्न पक्षियों के उड़ान गुणों की तुलना कैसे की जानी चाहिए? यह स्पष्ट है कि पक्षियों के विकास की गति अलग-अलग है: कबूतर के लिए - $$90 किमी / घंटा, तेज गति से -$90$$$क्रेन, गौरैया या मॉल के लिए 140 किमी / घंटा -$140$$$50 किमी / घंटा, हमिंगबर्ड के लिए -$50$$$80 किमी / घंटा लेकिन ये सभी पक्षी उड़ान के आकार और तरीके में काफी भिन्न होते हैं। अगर तोते की लंबाई तोते में मापी जाती है, और उसके पंखों को फड़फड़ाने की अवधि में समय को मापा जाता है, तो आप कुछगतिप्राप्त कर सकते हैं, जैसा कि वे कहते हैं। आप उन गतिओं को विभाजित कर सकते हैं जो इन पक्षियों को प्रतिजन में विकसित कर सकते हैं और एक आयाम रहित गति प्राप्त कर सकते हैं, जिससे पता चलता है कि पक्षी अपने पंखों के एक फ्लैप में कितनी देर तक यात्रा कर सकता है। यहाँ इस तुलना का परिणाम है:$80$

पक्षी	गति, किमी / घंटा	शरीर की लंबाई	, 1/	, /
	140	18	5	0,9	43
	90	30	5	1,5	17
	80	8	200	16	1,4
	50	1	2.5	2.5	5
	50	40	9	3.6	3,8
	46	12	13	1,6	8

यह देखा जा सकता है कि स्विफ्ट को सही मायने में सबसे अच्छा उड़ता माना जाता है, लेकिन हमिंगबर्ड अक्षम रूप से ऊर्जा की खपत करता है, हालांकि, इस पक्षी को कबूतर की तरह लंबे समय तक उड़ान भरने का काम नहीं है। आयाम रहित मात्रा में अनुवादित होने पर क्रेन, स्पैरो और बतख की समान निरपेक्ष गति में काफी अंतर होता है। इस तरह की गणना का उपयोग वास्तविक बड़े विमान को अनुकरण करने के लिए किया जाता है, जो हवा की सुरंग में एक छोटे मॉडल का परीक्षण करता है। यदि इन दोनों प्रणालियों के सभी आयामहीन पैरामीटर करीब हैं, तो उन्हें शारीरिक रूप से समान माना जा सकता है और मॉडलिंग समझ में आता है। हमने पहले से ही लोरेंज आरेखों पर पूर्ण के बजाय सापेक्ष इकाइयों को दर्शाते हुए इस दृष्टिकोण का उपयोग किया है। इसने हमें विभिन्न घटनाओं और वितरणों के बीच तुलना करने की अनुमति दी।

यह स्पष्ट है कि एक सैंडविच की उड़ान का विश्लेषण करते समय इकाइयों की सबसे उपयुक्त प्रणाली क्या होगी। बेशक, लंबाई को सैंडविच में मापा जाना चाहिए। समय की एक इकाई के लिए, हम मान ले सकते हैं$$√एल / जी जहां$\sqrt{l/g}$$$एल सैंडविच की लंबाई है, और$l$$$g गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है। और तालिका की ऊंचाई को मीटर में नहीं मापा जाना चाहिए, लेकिन इसकी अपनी इकाइयों में। इस प्रकार परिणाम प्राप्त करने के बाद, हम तुरंत इसे कैनपेस के मामले में और एक ठोस "बस्ट शू" दोनों के लिए सामान्य कर सकते हैं। इसलिए, हम गणना दोहराते हैं, लेकिन ग्राफ पर हम सापेक्ष इकाइयों में तालिका की ऊंचाई दर्शाते हैं। यदि हमने सब कुछ सही किया है, तो दो अलग-अलग आकार के सैंडविच के लिए, हमें बहुत समान ग्राफिक्स मिलना चाहिए। आइए इसे देखें:$g$

तेल की सैंडविच की संभावना एक निश्चित निश्चित मूल्य से नीचे उतरती है, घटना की विभिन्न ऊंचाइयों पर, सापेक्ष इकाइयों में गणना की जाती है। ब्लू डॉट्स 5 सेमी के आकार के साथ एक सैंडविच के अनुरूप होते हैं, लाल डॉट्स 10 सेमी के अनुरूप होते हैं।

प्रारंभिक सेटिंग में, हमने विभिन्न आकारों के माध्यम से छांटा और परिणामों का एक बादल प्राप्त किया, जिसमें हमारे लिए ब्याज की निर्भरता छिपी हुई थी। परीक्षणों की संख्या में वृद्धि के साथ, हमने इस बादल का औसतन किया और एक निर्बाध उत्तर प्राप्त किया। अधिक स्पष्ट रूप से यह दिखाने के लिए कि मेथोडोलॉजिकल त्रुटि में क्या शामिल है, कल्पना करें कि हम सैंडविच गिरने की संभावना की गणना करना चाहते हैं, बेतरतीब ढंग से सैंडविच और ऊंचाई के प्रारंभिक स्थितियों और आकारों को देखते हुए। यह एक बार में प्राप्त किए गए सभी परिणामों को औसत करने के बराबर है। नतीजतन, हमें एक आश्वस्त मध्य मैदान मिलता है - एक संभावना बहुत करीब$$1 / 2 , सिक्का टॉस के रूप में! यह एक बहुत ही तार्किक और अपेक्षित परिणाम है, लेकिन यह पूरी तरह से निर्बाध है। विभिन्न आकारों के लिए बहुत सारे डेटा को औसत करके, हम पहले से ही इस निष्कर्ष के करीब हैं। लेकिन अगर मॉडलिंग का उद्देश्य पैटर्न की पहचान करना है, तो यह मापदंडों की संख्या को कम करने के लिए समझ में आता है। स्पष्ट डेटा अब स्पष्ट रूप से मीन के कानून के पक्ष में बोलता है, इसे सीमित करता है, हालांकि, एक निश्चित सीमा तक ऊंचाइयों तक:$1/2$

$$2 से$2$$$$6$ सैंडविच का आकार (टेबल के ऊपर कोहनी की ऊंचाई से लेकर एक खड़े व्यक्ति की बाहों की ऊंचाई तक)। इस सीमा के बाहर, सैंडविच गिरने से पहले दाईं ओर मुड़ने का एक उच्च मौका है।

लेकिन क्या होगा अगर आप आगे देखें और सैंडविच को खिड़की से बाहर फेंक दें? यह स्पष्ट है कि जब यह एक बड़ी ऊंचाई से गिरता है तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह किस पक्ष में आता है, जो सैंडविच में बदल जाएगा, और वायु प्रतिरोध गिरने को स्थिर करता है, लेकिन सैद्धांतिक रूप से, हम क्या देखने की उम्मीद करते हैं? संभवतया, उड़ान के समय में वृद्धि होने पर संभाव्यता में कुछ उतार-चढ़ाव देखे जाने चाहिए। आइए देखें:
ऊँचाई से गिरने पर तेल सैंडविच के उतरने की संभावना।

हमने आवृत्ति के साथ अनुमान लगाया, लेकिन यह उत्सुक है कि आयाम घटता है, और संभावना के उतार-चढ़ाव में परिवर्तित होता है $$$0.5$ । यह क्या बात कर सकता है? क्या यह उसी तरह का प्रभाव है जैसे सिक्के के मामले में, जब उड़ान की अवधि में वृद्धि के साथ प्रारंभिक स्थितियों के विचलन के परिणाम अधिक महत्वपूर्ण हो जाते हैं? यह पता चला है कि इस मामले में संभावनाओं के समीकरण की प्रकृति अलग है।

थोड़ा और आयामी विश्लेषण

कोई फर्क नहीं पड़ता कि हमारी पुस्तक का विषय कितना निराशाजनक हो सकता है, हम गणित की भाषा बोलते हैं, और वह सटीक समाधान के लिए प्रयास करता है। मोंटे कार्लो पद्धति ने हमें समाधान का एक विचार प्राप्त करने की अनुमति दी, लेकिन इसे ब्रूट बल कहा गया। यह कम से कम कुछ के रूप में दिलचस्प नहीं है, लेकिन एक विश्लेषणात्मक समाधान है। आयामों का विश्लेषण हमें मोंटे कार्लो विधि द्वारा प्राप्त निर्भरता का एक सैद्धांतिक रूप प्राप्त करने की अनुमति देगा। इसके लिए, हमें अंतर समीकरणों को हल करने की आवश्यकता नहीं है, इसके अलावा, हमारे सभी विचार पूरी तरह से आदिम और स्पष्ट संबंधों की सीमाओं से परे नहीं जाते हैं। यह आयामी विश्लेषण का आकर्षण है, जो, हालांकि, कभी-कभी एक चाल की तरह दिखता है। तो चलिए शुरू करते हैं, सादगी की खातिर खुद को सीमित करते हुए केवल लंबाई के सैंडविच को फिसलते हुए $$$ल$ ऊंचाई तालिका से $$$ज$ शून्य क्षैतिज गति के साथ।

1. गिरने वाले सैंडविच के रोटेशन का कोण समय और कोणीय वेग पर निर्भर करता है:

$$

$$\ varphi = t \ omega।$$

2. कोणीय वेग स्लाइडिंग समय और कोणीय त्वरण के उत्पाद के बराबर है:

$$

$$\ omega = t_0 \ varepsilon।$$

3. फिसलने का समय गुरुत्वाकर्षण के त्वरण और सैंडविच की लंबाई के भाग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जो निम्न अनुपात में तालिका के संपर्क में आया:

$$

$$t_0 \ propto \ sqrt {\ frac {l_0} {g}}$$

यहां $$$l_0$ - टेबल पर सैंडविच की लंबाई पड़ी है। यहाँ हम संकेत द्वारा सूचित आनुपातिकता संबंध का उपयोग करते हैं $$$\ propto$ । अभिव्यक्ति $$$y \ propto x$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$$y = C x$ जहाँ $$$सी$ - कुछ अज्ञात स्थिर। मुझे वास्तव में यह रवैया पसंद है। आनुपातिकता "सब कुछ" को जटिल बनाती है जो एक स्थिर में बदल जाती है: दोनों तथ्य यह है कि घूर्णन के दौरान गुरुत्वाकर्षण का क्षण बदलता है और फिसलने पर रोटेशन का केंद्र बदल जाता है। यह सब, ज़ाहिर है, आपको एक सटीक गणना के लिए जानने की आवश्यकता है, लेकिन परिणाम केवल एक आयामहीन गुणांक है, और हमारे विश्लेषण में यह एक भूमिका नहीं निभाता है। एक आइकन के साथ, हमने खुद को थकाऊ एकीकरण से बचाया।

4. कोणीय त्वरण गुरुत्वाकर्षण के त्वरण से होता है और यह उस कंधे पर निर्भर करता है जिस पर गुरुत्वाकर्षण लागू होता है:

$$

$$\ varepsilon \ propto \ frac {g} {l-l_0}$$

और फिर से हस्ताक्षर $$$\ propto$ हमें अपने विमान में पड़ी धुरी के लिए प्लेट की जड़ता के क्षण की गणना नहीं करने की अनुमति दी, साथ ही गुरुत्वाकर्षण के बदलते प्रक्षेपण (ये दो और अभिन्न अंग हैं)।

5. अंत में, गिरने का समय तालिका की ऊंचाई और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण पर निर्भर करता है:

$$

$$t \ propto \ sqrt {\ frac {H} {g}}।$$

6. पहले सूत्र में इन सभी अभिव्यक्तियों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक सरल परिणाम प्राप्त करते हैं:

$$

$$\ varphi \ propto \ sqrt {\ frac {l_0 H} {l (l-l_0)}},$$

जो, यदि आप सैंडविच में सभी लंबाई को मापते हैं, तो बदल जाता है

$$

$$\ varphi \ propto \ sqrt {\ frac {x h} {1-x}}$$

यहां $$$l_0 = x l$ और $$$H = h l$ । खैर, सब कुछ परिवर्तित होता है - कोण आयाम रहित होता है और यह आयाम रहित गुणांक पर निर्भर करता है। यह कोण समय के पैमाने पर निर्भर नहीं करता है, शुद्ध ज्यामिति बनी हुई है। हर तब खतरनाक नहीं होता $$$x> 0.5$ सैंडविच बिल्कुल नहीं गिरेगा (हम शून्य क्षैतिज गति पर विचार कर रहे हैं), इसलिए $$$0 <x <0.5$ ।

सैंडविच किस तरफ गिरेगा यह कोण के साइन के संकेत से निर्धारित होता है $$$\ varphi$ यानी फंक्शन $$$\ mathrm {साइन} (\ sin \ varphi)$ । यह फ़ंक्शन देता है $$$-1$ "तेल ऊपर" और के मामले के लिए $$$1$ "तेल नीचे।" अगर हम इसे एक सीमा तक लाते हैं, तो हम एक निर्धारित सैंडविच गिरने की संभावना को व्यक्त करने के लिए इस फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं $$$0$ को $$$1$ :

$$

$$P _ {\ downarrow} (x, h) = \ frac12 \ left [1+ \ _ mathrm {sign} (\ sin \ varphi) \ right] = \ frac12 \ left \ {1+ \ mathrm {साइन} \ left [ \ sin \ left (C \ sqrt {\ frac {xh} {1-x}} \ right) \ right] \ right \},$$

जहां तीर प्रतीकात्मक रूप से तेल की स्थिति को इंगित करता है। फ़ैक्टर $$$सी$ संभावना सूत्र में प्रकट होने वाला वह सब कुछ व्यक्त करता है जो आनुपातिक संकेत की सहायता से छिपा रहता है। यह वास्तव में एक बहुत ही मुश्किल चाल थी, इसने हमें थकाऊ एकीकरण (और यहां तक ​​कि तीन) से बचा लिया, लेकिन अब हम कैसे पता लगाते हैं कि यह गुणांक किसके बराबर है? प्रयोग, इसके अलावा, गिरावट के समय कोण को मापने के साथ एक एकल प्रयोग इस मूल्य का अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त है! सिम्युलेटर का उपयोग करते हुए, मैंने आसानी से पाया $$$C = 2.3$ ।

अगला कार्य गणितीय रूप से व्यक्त करना है कि प्रारंभिक स्थिति क्या है $$$x$ अलग हो सकता है। हम इस संभावना में रुचि रखते हैं कि एक सैंडविच मक्खन नीचे गिर जाएगा अगर $$$x$ बराबर होगा $$$0.2$ या $$$0.4$ या किसी भी संख्या से $$$0$ को $$$0.5$ । हमने यूनियन "या" का उपयोग किया, और इनमें से प्रत्येक मामले को हमारे द्वारा स्वतंत्र माना जाता है और एक विशिष्ट प्रयोग में अन्य सभी को छोड़कर। याद रखें कि प्रायिकता संभाव्यता स्थान का एक पैमाना है, और यदि ऐसा है, तो संभावना एडिटिव है। इससे हम केवल संभावनाओं को जोड़ सकते हैं $$$P _ {\ downarrow} (x, h)$ सभी मूल्यों के लिए $$$x$ , मूल्यों की एक विशिष्ट श्रेणी में गिरने की संभावना से पहले से गुणा। हम सेगमेंट को तोड़ते हैं $$$0$ को $$$0.5$ पर $$$एन$ योग के रूप में प्रायिकता अनुमान के कुछ भाग, और गणना:

$$

$$P _ {\ downarrow} (h) \ sim \ frac {2} {n} \ sum \ limit_ {i = 0} ^ n P _ {\ downarrow} \ left (\ frac {i} {2n}, h \ right) ),$$

यहाँ गुणक है $$$2 / एन$ यादृच्छिक चर के लिए संभावना व्यक्त करता है $$$x$ चौड़ाई के एक टुकड़े में मिलता है $$$1 / n$ । यहाँ एक महत्वपूर्ण संख्या विभाजन के लिए परिणाम कैसा दिखता है ( $$$n = 100$ ) और शून्य क्षैतिज वेग के साथ संख्यात्मक प्रयोगों की एक श्रृंखला:

जब यह एक महान ऊंचाई से गिरता है, तो एक सैंडविच के उतरने की संभावना का सैद्धांतिक और प्रायोगिक मूल्यांकन। प्रयोगों में प्रारंभिक क्षैतिज वेग शून्य है।

हमारे द्वारा पहले प्रस्तुत किए गए समाधान में अधिक यादृच्छिक पैरामीटर शामिल हैं, इसलिए यह अधिक चिकनी और करीब हो गया $$$0.5$ । लेकिन, सिद्धांत रूप में, अधिक सामान्य मामले के लिए आयामी विश्लेषण किया जा सकता है।

कृपया ध्यान दें कि संभावना $$$P _ {\ downarrow}$ बढ़ती के साथ आ रहा है $$$ज$ मूल्यों के करीब $$$0.5$ । और यह प्रारंभिक त्रुटियों की अनिश्चितता और प्रभाव के कारण बिल्कुल भी नहीं है। गणनाओं से पता चला कि यह मूल्यों द्वारा गठित कई हार्मोनिक्स को जोड़ने का परिणाम है $$$x$ जब योग $$$P _ {\ downarrow} (x, h)$ । यदि हम दुर्भाग्यपूर्ण सैंडविच के बारे में भूल जाते हैं और शेड्यूल जारी रखते हैं $$$P _ {\ downarrow}$ , तो हम देखते हैं कि संभाव्यता का अनुमान बहुत करीब से जारी रहेगा $$$0.5$ , धीरे-धीरे इस मूल्य के लिए प्रयास कर रहा है।

क्या प्रत्यक्ष गणना के बिना यह पता लगाना संभव है कि क्या संभाव्यता अभिसरण के लिए जारी रहेगी $$$0.5$ या यह फिर से बढ़ेगा? और इस घटना में गैर-तुच्छ और गहरे गणित के लिए भी जगह है। तथ्य यह है कि प्रत्येक मूल्य $$$x$ दोलनों की एक निश्चित आवृत्ति मेल खाती है, और पूरा सेट कुल फ़ंक्शन के तथाकथित स्पेक्ट्रम बनाता है। यदि स्पेक्ट्रम असतत है, अर्थात् अलग आवृत्तियों के होते हैं, तो कुल फ़ंक्शन (इसे फूरियर ट्रांसफॉर्म कहा जाता है) आवधिक होगा। सेगमेंट पर एक स्थिर के रूप में एक निरंतर स्पेक्ट्रम के लिए $$$0$ को $$$0.5$ एपेरियोडिक फ़ंक्शन वानिंग ऑसिलेशन के अनुरूप होगा। लेकिन हमने गणित की एक नई शाखा को देखा - कार्यात्मक विश्लेषण ।

मोंटे कार्लो विधि के दादाजी (गणितज्ञ स्टैनिस्लाव उलम को पिता माना जाता है) के महान एनरिको फर्मी ने अपने छात्रों को सरल मूल्यांकन करने, कागज़ या उंगलियों का एक टुकड़ा निकालने के लिए सिखाया, जिसे हम समस्या के सटीक समाधान के साथ आगे बढ़ने से पहले प्राप्त करने की उम्मीद करते हैं। यह आश्चर्यजनक है कि यदि मूल्यांकन सही निकला, तो यह स्पष्ट हो जाएगा कि समस्या का सार पकड़ लिया गया है, यदि नहीं, तो यह अधिक उपयोगी परिणाम है - इसका मतलब है कि कार्य जितना दिलचस्प लगता है उससे अधिक दिलचस्प निकला!

हमारे मामले में, एक साधारण अनुमान पर्याप्त है; सैंडविच समस्या अधिक गहन समाधान के लायक नहीं है। मोंटे कार्लो पद्धति ने हमें केवल समाधान के संकेत दिखाए, और आयामी विश्लेषण ने इसकी केवल कुछ सामान्य संरचना को दिखाया, लेकिन साथ में वे हमें दिखा सकते हैं कि वांछित संभावना कैसे काम करती है। अभिज्ञान गणितज्ञ को समाधान के ब्लूप्रिंट में तैयार संरचनाओं को देखने और दूरगामी मान्यताओं और निष्कर्ष बनाने की अनुमति देता है।

रॉबर्ट मैथ्यूज ने अपने ऐतिहासिक अध्ययन में, यह बताने के लिए आयामी विश्लेषण का भी उपयोग किया कि सैंडविच कानून मौलिक है। उनका निष्कर्ष इस तथ्य पर आधारित है कि एक जीव की अधिकतम ऊंचाई जो उसके अंगों पर पड़ी है, जिसका उद्देश्य तेल के साथ एक सैंडविच लेने के लिए फोरलेब्स को जैविक ऊतकों और गुरुत्वाकर्षण के ताकत गुणों द्वारा निर्धारित किया जाता है। बदले में, सैंडविच का चारित्रिक आकार प्राणी के पैमाने के अनुरूप होना चाहिए - और किसी भारी ग्रह पर बौना और कम गुरुत्वाकर्षण वाले ग्रह पर dylds आकार में अपने लिए सैंडविच का चयन करेगा। यहाँ हम आते हैं जिसे विज्ञान में अटकल कहा जाता है। यह अत्यधिक कीमतों पर किसी भी अच्छे का पुनर्विक्रय नहीं है, लेकिन संदिग्ध धारणाएं हैं जो एक तार्किक निर्माण का आधार बनती हैं। विशेष रूप से, हम मानते हैं कि प्राणियों के हाथ ऐसे हैं जिनके अनुपात हमारे समान हैं, और यह बहस से कहीं अधिक है।

तेल और हवा के बारे में

मर्फ़ोलॉजी में, एक्सएल के कानून का गलत उद्धरण। मेनका समूह:

जटिल समस्याओं में हमेशा सरल, समझने में आसान, गलत समाधान होते हैं।

आप अक्सर सुन सकते हैं कि सैंडविच का कानून तेल के लिए दोषी है, जो रोटी की तुलना में सघन है और इसलिए "outweighs" है। और यद्यपि यह हमारी पुस्तक के विषय पर लागू नहीं होता है, मैं इसे समाप्त करने के लिए इस प्रश्न का विश्लेषण करना चाहता हूं। ताकि बाद में कोई भी इस तथ्य का उल्लेख कर सके कि "वैज्ञानिकों ने यह साबित कर दिया है कि तेल की उपस्थिति सैंडविच के थप्पड़ को किस तरफ प्रभावित नहीं करती है!"

एक बच्चे के रूप में, हम कबूतर मक्खी या पूंछ के पंख को फेंकने से चकित थे, जो प्लास्टिसिन के एक सेंटीमीटर, व्यास में दो या उच्च में एक टुकड़े में फंस गए थे। यह चार मीटर तक उड़ गया, जिसके बाद यह सुंदर और सुचारू रूप से ऑटोरोटेशन में उतर गया, मफलर इंजन के साथ एक हेलीकॉप्टर की तरह। फिर हम बड़े हो गए, और हमारा मज़ा कम हानिरहित हो गया। हमें एक नट मिला और इसमें दो बोल्ट को विपरीत पक्षों से दबाया गया, कुचल मैच के सिर से भराई को संकुचित करना। यह बोल्ट में से किसी एक को एक टेप या बस रस्सी का एक टुकड़ा बांधने के लिए बना रहा, ठीक से अनचाहा और पंद्रह मीटर के लिए आकाश में चला गया। गिरावट में, एक प्रकाश टेप ने प्रक्षेप्य की ऊर्ध्वाधर स्थिति को स्थिर कर दिया, डामर पर एक उच्च-गुणवत्ता वाला प्रभाव प्रदान किया और एक छोटा विस्फोट, कभी-कभी अखरोट को टुकड़ों में फाड़ दिया। (यदि आप अपने बच्चों के साथ इस बचपन के अनुभव को साझा करने का निर्णय लेते हैं तो सावधान रहें!)

दोनों प्रयोगों में, हम देखते हैं कि एक हल्का पेन या टेप जल्दी से तंत्र के भारी हिस्से पर दिखाई दिया और गिरावट को स्थिर कर दिया। यह, जाहिर है, एक सहज राय की ओर जाता है कि भारी मक्खन और हल्की रोटी को भी इस तरह से व्यवहार करना चाहिए। एक गुब्बारे की कल्पना करें: एक सघन टोकरी हमेशा कम घने गुब्बारे के नीचे स्थित होती है। इसके अलावा, अनुभव बताता है कि यदि आप दो उंगलियों के साथ किसी वस्तु के ज्यामितीय मध्य को विषम रूप से वितरित द्रव्यमान के साथ पकड़ते हैं, तो यह इतना नीचे गिर जाएगा कि भारी हिस्सा नीचे है।

लेकिन ये दोनों घटनाएं गिरते हुए सैंडविच के मामले में काम नहीं करती हैं।

चलो दूसरी प्रक्रिया से शुरू करते हैं - "आउटवेइंग" के साथ। यह संयोग से नहीं था कि मैं ऊब गया हूं: "... यदि आप किसी वस्तु के ज्यामितीय मध्य बिंदु पर ले जाते हैं ..", इसका मतलब है कि स्पर्शरेखा के बिंदु एक निश्चित सीधी रेखा पर स्थित हैं, जो वस्तु के गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरने वाले रोटेशन की धुरी का निर्माण करती है। इस मामले में, वास्तव में, एक स्थिर स्थिति एक होगी जिसमें गुरुत्वाकर्षण का केंद्र अक्ष के नीचे है। लेकिन अगर उंगलियों द्वारा बनाई गई रोटेशन की धुरी गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से गुजरती है, तो सिस्टम उदासीन संतुलन में होगा - यह परवाह नहीं करेगा कि यह कैसे उन्मुख है।

एक छोटे वजन के साथ एक पंख क्या होता है, एक नट से एक बम, या एक टोकरी में गुब्बारे के साथ एक गुब्बारा आपको "सही" तरीके से नेविगेट करता है? एयर। वह हमारी वस्तुओं को "धारण" करता है ताकि धुरी गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के ऊपर से गुजर जाए। अधिक सटीक रूप से, एक आने वाली वायु धारा जो शरीर के क्षेत्र पर वितरित एक बल बनाती है। और इस बल के आवेदन का सशर्त बिंदु आकृति के वर्ग के ज्यामितीय केंद्र के पास स्थित होगा। इसे स्पष्ट करने के लिए, हम सशर्त गुब्बारे पर अभिनय करने वाले बलों को आकर्षित करेंगे, जैसा कि एक वस्तु पर एक असमान घनत्व होता है:

गुब्बारे को एक स्थिर स्थिति में लाने वाली ताकतें।

एक सैंडविच के बारे में क्या?

सबसे पहले, अगर हम हवा को "बंद" करते हैं, तो यह आसानी से गिर जाएगा। मुक्त गिरावट में, शरीर द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर सटीक रूप से घूमता है, ताकि उसके पास किसी विशेष तरीके से मुड़ने का कारण न हो। जैसा कि वे स्कूल में कहते हैं: "एक गिरते हुए लिफ्ट में, भारहीनता देखी जाती है।" सैंडविच में मक्खन उतना ही वजन रहित होता है।

घने तेल पर्ची प्रक्रिया को प्रभावित कर सकते हैं, यह प्रभावी रूप से सटीक स्पर्श के ऊपर द्रव्यमान के केंद्र को बढ़ाएगा और कोणीय त्वरण के लिए अभिव्यक्ति में परिवर्तन करेगा $$$ल$ पर $$$\ sqrt {l ^ 2 + d ^ 2} = l \ sqrt {1+ \ डेल्टा ^ 2}$ जहाँ $$$\ डेल्टा = डी / एल$ - सैंडविच की सापेक्ष मोटाई। छोटे मूल्यों के लिए $$$\ डेल्टा$ इस अभिव्यक्ति की गणना इस प्रकार की जा सकती है $$$l (1+ \ डेल्टा ^ 2/2)$ । हम कहते हैं, जैसा कि वे कहते हैं, एक दूसरे क्रम का प्रभाव। के रूप में मोटाई के लिए एक अनुपात के साथ एक सैंडविच के लिए $$$5$ को $$$1$ , रिश्तेदार परिवर्तन से अधिक नहीं है $$$2%$ । और यह प्रभाव की अधिकतम ऊपरी सीमा है, क्योंकि हमने द्रव्यमान का केंद्र सैंडविच की मोटाई के लिए उठाया था, जो एक असीम रूप से घने तेल से मेल खाता है!

अब हम हवा को वापस चालू करते हैं, तेल घनत्व घनत्व रोटी घनत्व की तुलना में अधिक हो जाता है। हमारे पास एक वजनहीन लेकिन हवा प्रतिरोधी पैराशूट के साथ एक पतली घनी प्लेट है। जबकि सैंडविच का विमान क्षैतिज या ऐसा होता है, वायु प्रतिरोध का क्षण उस पर कार्य करने के लिए आनुपातिक बलों को बल देता है - वह क्षेत्र जिसके साथ वायु प्रवाह बातचीत करता है: $$$M _ {-} \ propto l ^ 2$ । सीधी स्थिति में, हवा में कमी आएगी और, तदनुसार, पल अलग होगा: $$$M_ {|}} \ propto l d$ । इन बिंदुओं का अनुपात: $$$M_ {|} / M _ {-} \ propto \ delta।$ मैंने यहां एक आनुपातिक संकेत लिखा था, क्योंकि प्रवाह के साथ और साथ स्थित प्लेट के लिए प्रतिरोध गुणांक अलग-अलग हैं, और वे मेरे लिए अज्ञात हैं। लेकिन उन्हें ज़रूरत नहीं है - यह पहले से ही स्पष्ट है कि एक ऊर्ध्वाधर स्थिति में हवा का प्रभाव (अर्थात्, यह तेल की स्थिति को असमान बनाता है) एक क्षैतिज एक की तुलना में कमजोर है। और अब हम याद करते हैं कि सैंडविच घूमता है, जिसका अर्थ है कि यह प्रवाह के लिए या तो अंत तक या विमान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। हम प्रतिरोध बलों की कार्रवाई का एक उपाय पेश कर सकते हैं। यदि रोटेशन का कोणीय वेग एक अवधि में महत्वपूर्ण रूप से नहीं बदलता है (और यह हवा के लिए मामला है), तो यह बल के समय के आनुपातिक रूप से कोणीय गति में परिवर्तन के रूप में लेने के लिए समझ में आता है। बदले में, इस अवधि के दौरान कार्रवाई की अवधि सैंडविच द्वारा कोण "बह" के आनुपातिक है। नतीजतन, कार्रवाई के क्षणों के उपाय $$$M_ {|}$ और $$$M _ {-}$ आनुपातिक होगा $$$M_ {|} | \ varphi_ {|}$ और $$$M _ {-} \ varphi _ {-}$ जहां अंत और विमान को स्वीप करने वाले कोण ड्राइंग में दिखाए गए हैं। हम प्रतिरोध बलों के काम को माप के रूप में इस्तेमाल कर सकते हैं और उसी अनुपात को प्राप्त कर सकते हैं। कोण अनुपात की गणना करना आसान है:

$$

$$\ frac {\ _ varphi_ {|}} {\ varphi _ {-}} = \ frac {\ _ varphi_ {|}}} {\ frac {\ pi} {2} - \ varphi_ {}} $$$

छोटे पर $$$d / l$ । $$$\ varphi_ {|}} \ sim \ delta$ (हम एक छोटे कोण के स्पर्शरेखा की संपत्ति का उपयोग करते हैं $$$10 \%$ कोणों पर सटीकता कम $$$30 ^ \ _$ ), और इसलिए, हमारे पास:

$$

$$\ frac {M_ {|}} varphi_ {|}} {M _ {-} \ _ varphi _ {-}} \ sim \ del \ \ frac {\ delta} {\ frac {\ _ pi} [2} - \ delta} \ _ प्रॉप्टो \ डेल्टा ^ 2।$$

फिर, यह पता चला है कि एक फ्लैट सैंडविच के लिए विषमता का प्रभाव दूसरे क्रम के प्रभाव से सीमित है। आमतौर पर, मक्खन का घनत्व रोटी के मुकाबले केवल दो गुना होता है, और द्रव्यमान के केंद्र का विस्थापन सैंडविच की मोटाई के एक तिहाई से अधिक नहीं होता है, जो मक्खन की उचित परत से अधिक नहीं होता है। यह अवलोकन तेल के प्रभाव को कम करेगा $$$0.2 \%$ ।

अगर यह पाठक को लगता है कि हम अब बंदूक से गौरैया पर फायर कर रहे थे, तो मैं उससे पूरी तरह सहमत हूं। लेकिन, सबसे पहले, मैं "outweighing" तेल के बारे में अधिक नहीं सुनना चाहता, दूसरी बात, मैं निराधार नहीं होना चाहता, और तीसरा, मैं यह दिखाना चाहता था कि भौतिक विज्ञानी कैसे मात्रा का अनुमान लगाते हैं, प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन पूरा डेटा नहीं है। बेशक, लैंडिंग के समय, मक्खन फर्श पर चिपक सकता है और सैंडविच को ऊपर कूदने और फिर से पलटने से रोक सकता है, लेकिन मैं निश्चित रूप से प्रभाव, लोचदार विरूपण और रोटी के टुकड़े की कूद के यांत्रिकी को इकट्ठा नहीं करूंगा। इसलिए इस समस्या के लिए बहुत सारे विश्लेषण सामने आए। और उसके लिए दूसरा Shnobelevskaya अब नहीं दिया जाएगा।

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हमारे मार्ग का लक्ष्य इतना महत्वपूर्ण नहीं था: खुद के मार्ग के रूप में, सैंडविच के कानून का खंडन या औचित्य। उन्होंने दिखाया कि विभिन्न गणितीय तरीकों का संयोजन आपको समस्या को विभिन्न कोणों से देखने की अनुमति देता है और समस्या के विस्तृत समाधान के बिना भी काफी सटीक ज्ञान प्रदान करता है। विभिन्न गणितीय विषयों, दृष्टिकोण और दृष्टिकोण की स्थिरता गणित की ताकत और सुंदरता है। मरीना त्सेवतेवा के अद्भुत शब्दों को याद करना उचित है: "मुझे नज़रिया नहीं चाहिए, मैं नज़रें रखना चाहता हूँ । " गणित के विभिन्न क्षेत्रों का अध्ययन शोधकर्ता को एक वास्तविक "वॉल्यूमेट्रिक" बहुआयामी दृष्टि दे सकता है, जो आपको ज्ञान के प्रतीत होने वाले बंद और छिपे हुए स्थान को देखने की अनुमति देता है।