खुशी का सिद्धांत। कुछ भी नहीं पता करने के लिए एक वैज्ञानिक तरीके के रूप में सांख्यिकी

मैं हेब के पाठकों को उनकी पुस्तक "खुशी के सिद्धांत" के अध्याय के साथ उपशीर्षक के साथ परिचित करना जारी रखता हूं "विधि के कानूनों के गणितीय नींव।" यह अभी तक लोकप्रिय विज्ञान पुस्तक प्रकाशित नहीं हुई है, बहुत ही अनौपचारिक रूप से बता रही है कि कैसे गणित आपको दुनिया और लोगों के जीवन को जागरूकता की एक नई डिग्री के साथ देखने की अनुमति देता है। यह उन लोगों के लिए है जो विज्ञान में रुचि रखते हैं और उनके लिए जो जीवन में रुचि रखते हैं। और चूँकि हमारा जीवन जटिल है, और बड़े, अप्रत्याशित, पुस्तक में मुख्य रूप से संभावना सिद्धांत और गणितीय आँकड़ों पर जोर दिया गया है। यहाँ प्रमेय सिद्ध नहीं हुए हैं और विज्ञान के मूल तत्व नहीं दिए गए हैं, यह किसी भी तरह से पाठ्यपुस्तक नहीं है, लेकिन इसे मनोरंजक विज्ञान कहा जाता है। लेकिन यह वास्तव में ऐसा लगभग चंचल दृष्टिकोण है जो हमें अंतर्ज्ञान विकसित करने की अनुमति देता है, ज्वलंत उदाहरण वाले छात्रों के लिए व्याख्यान को उज्ज्वल करता है और अंत में, गैर-गणितज्ञों और हमारे बच्चों को समझाता है कि हमारे शुष्क विज्ञान में हमें क्या दिलचस्प मिला।


यह अध्याय सांख्यिकी, मौसम और यहां तक ​​कि दर्शन के बारे में है। चिंता मत करो, बस थोड़ा सा। सभ्य समाज में टैबलेटक ​​के लिए और अधिक उपयोग नहीं किया जा सकता है।

संख्याएं धोखा दे रही हैं, खासकर जब मैं उन्हें खुद करता हूं; इस अवसर पर, डिसरेली को जिम्मेदार ठहराया गया कथन सत्य है: "तीन प्रकार के झूठ हैं: झूठ, झूठ और झूठ।"
मार्क ट्वेन

गर्मियों में कितनी बार हम बाहर जाने की योजना बनाते हैं, पार्क में टहलने जाते हैं या पिकनिक मनाते हैं, और फिर बारिश हमारी योजनाओं को तोड़ देती है, हमें घर में कैद कर देती है! और ठीक है, अगर यह एक या दो बार एक सीज़न में हुआ, तो कभी-कभी ऐसा लगता है कि मौसम सप्ताहांत के बाद चल रहा है, शनिवार या रविवार को फिर से मिल रहा है!

ऑस्ट्रेलियाई शोधकर्ताओं द्वारा एक अपेक्षाकृत हालिया लेख प्रकाशित किया गया था: "पीक तापमान के साप्ताहिक चक्र और शहरी थर्मल द्वीपों की तीव्रता।" वह समाचार मीडिया द्वारा उठाया गया था और निम्नलिखित शीर्षक के साथ परिणाम फिर से प्रकाशित किया गया था: "क्या आपको नहीं लगता! वैज्ञानिकों ने पाया है कि सप्ताहांत पर मौसम वास्तव में सप्ताह के दिनों से भी बदतर है। ” उद्धृत पेपर ऑस्ट्रेलिया के कई शहरों में कई वर्षों से तापमान और वर्षा पर आंकड़े प्रदान करता है, और वास्तव में शनिवार और रविवार के कुछ घंटों से तापमान में कमी का पता चलता है। उसके बाद, एक स्पष्टीकरण दिया जाता है जो बढ़ते यातायात प्रवाह के कारण स्थानीय मौसम को वायु प्रदूषण के स्तर से जोड़ता है। इससे कुछ समय पहले, जर्मनी में इसी तरह का एक अध्ययन किया गया था और लगभग उसी निष्कर्ष पर पहुंचा था।

सहमत, एक डिग्री के अंश एक बहुत ही सूक्ष्म प्रभाव है। लंबे समय से प्रतीक्षित शनिवार को खराब मौसम के बारे में शिकायत करते हुए, हम चर्चा कर रहे हैं कि क्या दिन धूप या बरसात का था, इस तथ्य को पंजीकृत करना आसान है, और बाद में याद रखना, बिना सटीक उपकरण भी। हम इस विषय पर अपने छोटे से अध्ययन का आयोजन करेंगे और एक अद्भुत परिणाम प्राप्त करेंगे: हम आत्मविश्वास से कह सकते हैं कि हमें नहीं पता कि सप्ताह का दिन और मौसम कामचटका में संबंधित हैं या नहीं। एक नकारात्मक परिणाम के साथ अध्ययन आमतौर पर पत्रिकाओं के पन्नों पर और समाचार फ़ीड में नहीं आते हैं, लेकिन आपके और मेरे लिए यह समझना महत्वपूर्ण है कि मैं किस आधार पर, सामान्य तौर पर, यादृच्छिक प्रक्रियाओं के बारे में आत्मविश्वास से कुछ कह सकता हूं। और इस संबंध में, एक नकारात्मक परिणाम एक सकारात्मक से खराब नहीं है।

आँकड़ों की रक्षा में एक शब्द

सांख्यिकी को पापों के द्रव्यमान के लिए दोषी ठहराया जाता है: झूठ में और हेरफेर की संभावनाओं में और अंत में, अतुलनीयता में। लेकिन मैं वास्तव में ज्ञान के इस क्षेत्र का पुनर्वास करना चाहता हूं, यह दिखाने के लिए कि यह कार्य कितना मुश्किल है, इसका उद्देश्य क्या है और यह कितना मुश्किल है, यह उस आंकड़े को समझने में उत्तर देना है।

संभाव्यता सिद्धांत वितरण या व्यापक संयोजन गणना के रूप में यादृच्छिक चर के सटीक ज्ञान का उपयोग करता है। मैं एक बार फिर इस बात पर जोर देता हूं कि एक यादृच्छिक चर का सटीक ज्ञान होना संभव है। लेकिन क्या होगा अगर यह सटीक ज्ञान हमारे लिए अप्राप्य है, और हमारे निपटान में एकमात्र चीज अवलोकन है? नई दवा के डेवलपर के पास सीमित संख्या में परीक्षण हैं, ट्रैफिक फ्लो कंट्रोल सिस्टम के निर्माता के पास वास्तविक सड़क पर केवल माप की एक श्रृंखला है, समाजशास्त्री के पास सर्वेक्षणों के परिणाम हैं, इसके अलावा, वह सुनिश्चित कर सकते हैं कि कुछ सवालों के जवाब देते समय, उत्तरदाता बस झूठ बोला।

यह स्पष्ट है कि एक अवलोकन कुछ भी नहीं देता है। दो - कुछ नहीं से थोड़ा अधिक, तीन, चार ... एक सौ ... आपको एक यादृच्छिक चर के किसी भी ज्ञान को प्राप्त करने के लिए कितनी टिप्पणियों की आवश्यकता है जिसे आप गणितीय परिशुद्धता के साथ सुनिश्चित कर सकते हैं? और यह किस तरह का ज्ञान होगा? सबसे अधिक संभावना है, इसे एक तालिका या हिस्टोग्राम के रूप में प्रस्तुत किया जाएगा जो यादृच्छिक चर के कुछ मापदंडों का मूल्यांकन करना संभव बनाता है, उन्हें आंकड़े कहा जाता है (उदाहरण के लिए, परिभाषा का डोमेन, माध्य या विचरण, विषमता, आदि)। शायद हिस्टोग्राम को देखने से वितरण के सटीक आकार का अनुमान लगाया जा सकेगा। लेकिन ध्यान! - सभी अवलोकन परिणाम खुद यादृच्छिक चर होंगे! जब तक हमें वितरण का सही ज्ञान नहीं होता है, तब तक सभी अवलोकन परिणाम हमें यादृच्छिक प्रक्रिया का केवल एक संभावित विवरण देते हैं! एक यादृच्छिक प्रक्रिया का एक यादृच्छिक विवरण अभी भी यहां भ्रमित नहीं होगा, या यहां तक ​​कि जानबूझकर भ्रमित करना चाहता है!

क्या गणितीय आँकड़े एक सटीक विज्ञान बनाता है? इसकी विधियां हमें स्पष्ट रूप से सीमित ढांचे में हमारी अज्ञानता को समाप्त करने और आत्मविश्वास का एक कम्प्यूटेशनल उपाय प्रदान करने की अनुमति देती हैं, इस ढांचे के भीतर, हमारा ज्ञान तथ्यों के अनुरूप है। यह वह भाषा है जिसमें कोई अज्ञात यादृच्छिक चर के बारे में तर्क कर सकता है ताकि तर्क समझ में आए। इस तरह का दृष्टिकोण दर्शन, मनोविज्ञान या समाजशास्त्र में बहुत उपयोगी है, जहां सकारात्मक ज्ञान प्राप्त करने की किसी भी आशा के बिना लंबी तर्क और चर्चा में संलग्न होना बहुत आसान है, और विशेष रूप से, प्रमाण। बहुत सारा साहित्य सक्षम सांख्यिकीय डेटा प्रसंस्करण के लिए समर्पित है, क्योंकि यह चिकित्सकों, समाजशास्त्रियों, अर्थशास्त्रियों, भौतिकविदों, मनोवैज्ञानिकों के लिए एक बिल्कुल आवश्यक उपकरण है ... एक शब्द में, तथाकथित "वास्तविक दुनिया" पर शोध करने वाले सभी वैज्ञानिकों के लिए, जो केवल इसके बारे में हमारी अज्ञानता की डिग्री में आदर्श गणितीय से अलग है।

अब इस अध्याय के एपिग्राफ पर एक और नज़र डालते हैं और महसूस करते हैं कि आँकड़े, जो कि इतने असमान रूप से झूठ के तीसरे डिग्री कहे जाते हैं, केवल वही चीजें हैं जो प्राकृतिक विज्ञान के पास हैं। क्या यह ब्रह्माण्ड की क्षुद्रता का मुख्य नियम नहीं है! हमारे लिए ज्ञात प्रकृति के सभी नियम, भौतिक से आर्थिक तक, गणितीय मॉडल और उनके गुणों पर आधारित हैं, लेकिन वे माप और टिप्पणियों के दौरान सांख्यिकीय तरीकों से सत्यापित होते हैं। रोजमर्रा की जिंदगी में, हमारा दिमाग सामान्यीकरण करता है और पैटर्न को देखता है, अलग करता है और दोहराए जाने वाले चित्रों को पहचानता है, यह संभवतः सबसे अच्छा है जो मानव मस्तिष्क कर सकता है। यह वही है जो इन दिनों कृत्रिम बुद्धि सिखा रहा है। लेकिन मन अपनी ताकत बचाता है और व्यक्तिगत टिप्पणियों से निष्कर्ष निकालने के लिए इच्छुक है, इन निष्कर्षों की सटीकता या वैधता के बारे में ज्यादा चिंता नहीं करता है। इस अवसर पर, स्टीफन ब्रैस्ट की पुस्तक इसोला से एक अद्भुत आत्मनिर्भर कथन आया है: “हर कोई एक उदाहरण के लिए सामान्य निष्कर्ष निकालता है । कम से कम मैं तो यही करता हूं । ” और जब हम कला, पालतू जानवरों की प्रकृति या राजनीति पर चर्चा कर रहे हैं, तो आप इस बारे में ज्यादा चिंता नहीं कर सकते। हालांकि, हवाई जहाज का निर्माण करते समय, हवाई अड्डे की डिस्पैच सेवा का आयोजन या नई दवा का परीक्षण करना, आप अब इस तथ्य का उल्लेख नहीं कर सकते हैं कि "यह मुझे लगता है", "अंतर्ज्ञान बताता है" और "जीवन में सब कुछ होता है"। यहां आपको अपने दिमाग को कठोर गणितीय तरीकों के ढांचे तक सीमित करना होगा।

हमारी पुस्तक एक पाठ्यपुस्तक नहीं है, और हम सांख्यिकीय विधियों का विस्तार से अध्ययन नहीं करेंगे और खुद को केवल एक ही चीज़ तक सीमित रखेंगे - परिकल्पना के परीक्षण की तकनीक। लेकिन मैं तर्क और ज्ञान के इस क्षेत्र की विशेषता के परिणाम के रूप को दिखाना चाहता हूं। और, शायद, पाठकों में से कुछ, भविष्य के छात्र, न केवल यह समझेंगे कि वे इन सभी क्यूक्यू आरेखों, टी और एफ वितरण के साथ, उन्हें आंकड़ों के साथ क्यों सताते हैं, लेकिन एक और महत्वपूर्ण सवाल सामने आएगा: यह कैसे संभव है - निश्चित रूप से एक दुर्घटना के बारे में? और वास्तव में हम आंकड़ों का उपयोग करके क्या सीखते हैं?

आंकड़ों के तीन व्हेल

गणितीय आँकड़ों के मुख्य स्तंभ संभाव्यता सिद्धांत, बड़ी संख्या के नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय हैं ।

बड़ी संख्या का कानून, एक नि: शुल्क व्याख्या में, यह बताता है कि एक यादृच्छिक चर की टिप्पणियों की एक बड़ी संख्या लगभग निश्चित रूप से इसके वितरण को दर्शाती है , ताकि अवलोकन किए गए आँकड़े: औसत, विचरण और अन्य विशेषताएं यादृच्छिक चर के अनुरूप सटीक मानों की ओर बढ़ें। दूसरे शब्दों में, एक अनंत संख्या में डेटा के साथ देखे गए मानों का हिस्टोग्राम लगभग निश्चित रूप से उस वितरण को जाता है जिसे हम सच मान सकते हैं। यह वह कानून है जो संभाव्यता और सैद्धांतिक की "रोजमर्रा की" आवृत्ति व्याख्या को एक संभावना स्थान में उपायों के रूप में जोड़ता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय, फिर से, एक मुक्त व्याख्या में, कहता है कि यादृच्छिक चर के वितरण के सबसे संभावित रूपों में से एक सामान्य (गौसियन) वितरण है। सटीक शब्द अलग-अलग लगता है: सामान्य वितरण द्वारा पहचान किए गए वास्तविक यादृच्छिक चर की बड़ी संख्या का औसत मूल्य, सामान्य वितरण द्वारा वर्णित है। यह प्रमेय आमतौर पर कार्यात्मक विश्लेषण विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है, लेकिन हम बाद में देखेंगे कि इसे समझा जा सकता है और यहां तक ​​कि सिस्टम राज्य की संभावना की माप के रूप में एन्ट्रापी की अवधारणा को पेश करके विस्तार किया जा सकता है: एक सामान्य वितरण में कम से कम प्रतिबंधों के साथ सबसे बड़ा एन्ट्रॉपी है। इस अर्थ में, एक अज्ञात यादृच्छिक चर, या एक यादृच्छिक चर का वर्णन करते समय यह इष्टतम है, जो कई अन्य चर का संयोजन है, जिसका वितरण भी अज्ञात है।

ये दोनों कानून हमारे ज्ञान की विश्वसनीयता के मात्रात्मक अनुमानों पर आधारित हैं। यहां हम सांख्यिकीय पुष्टि या अनुमान के खंडन के बारे में बात कर रहे हैं, जिसे कुछ सामान्य नींव और गणितीय मॉडल से बनाया जा सकता है। यह अजीब लग सकता है, लेकिन अपने आप में, आँकड़े नए ज्ञान का उत्पादन नहीं करते हैं। तथ्यों का एक सेट एक निश्चित संरचना बनाने वाले तथ्यों के बीच संबंध बनाने के बाद ही ज्ञान में बदल जाता है। यह ऐसी संरचनाएं और संबंध हैं जो हमें भविष्यवाणियों को बनाने और कुछ के आधार पर सामान्य धारणा बनाने की अनुमति देते हैं जो आंकड़ों से परे हैं। ऐसी धारणाओं को परिकल्पना कहा जाता है । यह एक समय है, जो मर्फीलॉजी के नियमों को याद करता है, पर्सेन्टाइज पोस्ट :

किसी भी घटना को समझाने वाले उचित परिकल्पनाओं की संख्या अनंत है।

गणितीय आँकड़ों का कार्य इस अनंत संख्या को सीमित करना है, या उन्हें एक तक कम करना है, और जरूरी नहीं कि यह बिल्कुल सही हो। अधिक जटिल (और अक्सर अधिक वांछनीय) परिकल्पना पर जाने के लिए, अवलोकन डेटा का उपयोग करना, सरल और अधिक सामान्य परिकल्पना का खंडन करना, या इसे सुदृढ़ करना और सिद्धांत के आगे विकास को त्यागना आवश्यक है। इस तरह से अक्सर परिकल्पित परीक्षण को अशक्त कहा जाता है, और इसमें एक गहरी समझ है।

अशक्त परिकल्पना के रूप में क्या कार्य कर सकता है? एक निश्चित अर्थ में, कुछ भी, कोई भी बयान, लेकिन इस शर्त पर कि इसे माप की भाषा में अनुवाद किया जा सकता है। सबसे अधिक बार, परिकल्पना कुछ पैरामीटर का अपेक्षित मूल्य है, जो माप के दौरान एक यादृच्छिक चर में बदल जाता है, या दो यादृच्छिक चर के बीच एक कनेक्शन (सहसंबंध) की अनुपस्थिति। कभी-कभी इसे वितरण का प्रकार, एक यादृच्छिक प्रक्रिया, कुछ गणितीय मॉडल प्रस्तावित किया जाता है। प्रश्न का शास्त्रीय सूत्रीकरण इस प्रकार है: क्या अवलोकन हमें अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार करने की अनुमति देते हैं या नहीं? अधिक सटीक रूप से, हम किस निश्चितता के साथ कह सकते हैं कि अशक्त परिकल्पना के आधार पर टिप्पणियों को प्राप्त नहीं किया जा सकता है? इसके अलावा, अगर हम सांख्यिकीय आंकड़ों के आधार पर यह साबित करने में असमर्थ थे कि अशक्त परिकल्पना झूठी है, तो इसे सच माना जाता है।

और यहां आप सोच सकते हैं कि शोधकर्ताओं को क्लासिक तार्किक गलतियों में से एक बनाने के लिए मजबूर किया जाता है, जो कि सोनोरस लैटिन नाम के विज्ञापन अज्ञानी को सहन करता है। यह एक बयान की सच्चाई का एक तर्क है, जो उसके झूठ के सबूतों की कमी पर आधारित है। एक क्लासिक उदाहरण सीनेटर जोसेफ मैक्कार्थी द्वारा कहे गए शब्द हैं, जब उन्हें अपने आरोप का समर्थन करने के लिए तथ्य प्रस्तुत करने के लिए कहा गया था कि एक निश्चित व्यक्ति एक कम्युनिस्ट है: “मुझे इस मुद्दे पर बहुत कम जानकारी है, सक्षम अधिकारियों के सामान्य बयान के अलावा कि उनकी डोजियर में कुछ भी नहीं है। कम्युनिस्टों के साथ अपने संबंधों को बाहर करने के लिए । ” या यहां तक ​​कि उज्जवल: "बिगफुट मौजूद है, क्योंकि कोई भी अन्यथा साबित नहीं हुआ है । " एक वैज्ञानिक परिकल्पना और इसी तरह की चाल के बीच अंतर को पहचानना दर्शन के पूरे क्षेत्र का विषय है: वैज्ञानिक ज्ञान की पद्धति । इसके हड़ताली परिणामों में से एक है फालसिफ़ेबिलिटी की कसौटी , 20 वीं शताब्दी के पहले छमाही में उल्लेखनीय दार्शनिक कार्ल पॉपर द्वारा सामने रखा गया। इस मानदंड को वैज्ञानिक ज्ञान को अवैज्ञानिक से अलग करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, और, पहली नज़र में, यह विरोधाभासी लगता है:

एक सिद्धांत या परिकल्पना को केवल तभी वैज्ञानिक माना जा सकता है यदि कोई अस्तित्व है, यहां तक ​​कि काल्पनिक रूप से, इसका खंडन करने का एक तरीका है।

क्षुद्रता का नियम क्या नहीं है! यह पता चला है कि कोई भी वैज्ञानिक सिद्धांत स्वचालित रूप से संभावित रूप से गलत है, और एक सिद्धांत जो "परिभाषा के अनुसार" सत्य है, को वैज्ञानिक नहीं माना जा सकता है। इसके अलावा, गणित और तर्क जैसे विज्ञान इस कसौटी पर खरे नहीं उतरते। हालांकि, उन्हें प्राकृतिक विज्ञानों के लिए नहीं, बल्कि औपचारिक लोगों के लिए संदर्भित किया जाता है , जिन्हें मिथ्या व्यवहार के लिए परीक्षण की आवश्यकता नहीं होती है। और यदि हम एक ही समय के एक और परिणाम को जोड़ते हैं: गोडेल के अपूर्णता के सिद्धांत , जो बताता है कि किसी भी औपचारिक प्रणाली के भीतर एक बयान तैयार करना संभव है जो न तो साबित हो सकता है और न ही अस्वीकृत हो सकता है, तो यह स्पष्ट नहीं हो सकता है, सामान्य रूप से, इस सभी विज्ञान में संलग्न होने के लिए। हालांकि, यह समझना महत्वपूर्ण है कि पॉपर के मिथ्याकरण सिद्धांत एक सिद्धांत की सच्चाई के बारे में कुछ नहीं कहता है, लेकिन केवल यह वैज्ञानिक है या नहीं। यह निर्धारित करने में मदद कर सकता है कि क्या एक सिद्धांत एक भाषा देता है जिसमें यह दुनिया के बारे में बात करने के लिए समझ में आता है या नहीं।

लेकिन फिर भी, क्यों, अगर हम सांख्यिकीय आंकड़ों के आधार पर परिकल्पना को अस्वीकार नहीं कर सकते, तो क्या हम इसे सच मानने के हकदार हैं? तथ्य यह है कि सांख्यिकीय परिकल्पना शोधकर्ता की इच्छा या वरीयताओं से नहीं ली गई है, इसे किसी भी सामान्य औपचारिक कानूनों से पालन करना चाहिए। उदाहरण के लिए, केंद्रीय सीमा प्रमेय से, या अधिकतम एन्ट्रापी के सिद्धांत से। ये कानून हमारी अज्ञानता की डिग्री को सही तरीके से दर्शाते हैं, बिना अनावश्यक, अनावश्यक मान्यताओं या परिकल्पना के। एक अर्थ में, यह प्रसिद्ध दार्शनिक सिद्धांत का प्रत्यक्ष उपयोग है जिसे ओकाम के उस्तरा के रूप में जाना जाता है:

कम मान्यताओं के आधार पर क्या किया जा सकता है और अधिक के आधार पर नहीं किया जाना चाहिए।

इस प्रकार, जब हम अशक्त परिकल्पना को स्वीकार करते हैं, तो उसके खंडन की अनुपस्थिति के आधार पर, हम औपचारिक रूप से और ईमानदारी से बताते हैं कि प्रयोग के परिणामस्वरूप हमारी अज्ञानता की डिग्री समान स्तर पर बनी रही । बिगफुट के उदाहरण में, स्पष्ट रूप से या स्पष्ट रूप से, इसके विपरीत माना जाता है: सबूतों की कमी है कि यह रहस्यमय प्राणी कुछ ऐसा नहीं लगता है जो इसके बारे में हमारे ज्ञान की डिग्री बढ़ा सकता है।

सामान्य तौर पर, मिथ्यात्व के सिद्धांत के दृष्टिकोण से, किसी चीज के अस्तित्व के बारे में कोई भी कथन अवैज्ञानिक है, क्योंकि साक्ष्य की कमी कुछ भी साबित नहीं करती है। एक ही समय में, किसी भी चीज की अनुपस्थिति के दावे को एक प्रति, अप्रत्यक्ष साक्ष्य प्रदान करके या एक निर्माण के अस्तित्व को साबित करके आसानी से नकारा जा सकता है। और इस अर्थ में, एक सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण वांछित प्रभाव की अनुपस्थिति के आरोपों का विश्लेषण करता है और इस अर्थ में, इस कथन का सटीक खंडन प्रदान कर सकता है। यह वही है जो शब्द "शून्य परिकल्पना" पूरी तरह से उचित है: इसमें सिस्टम के बारे में आवश्यक न्यूनतम ज्ञान शामिल है।

आंकड़ों को भ्रमित कैसे करें और कैसे सुलझाना है

इस बात पर ज़ोर देना बहुत ज़रूरी है कि यदि आँकड़ों से संकेत मिलता है कि अशक्त परिकल्पना को अस्वीकार किया जा सकता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि हमने किसी वैकल्पिक परिकल्पना की सच्चाई को साबित कर दिया है।सांख्यिकी को तर्क के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, इसमें सूक्ष्म त्रुटियों का एक समूह निहित है, खासकर जब निर्भर घटनाओं के लिए सशर्त संभावनाएं खेल में आती हैं। उदाहरण के लिए: यह बहुत संभावना नहीं है कि एक व्यक्ति पोप हो सकता है ($$~ 1 / 7 बिलियन) इस से उत्पन्न कि पोप जॉन पॉल द्वितीय एक आदमी नहीं था? बयान बेतुका लगता है, लेकिन, दुर्भाग्य से, इस तरह के एक "स्पष्ट" निष्कर्ष सिर्फ असत्य है: परीक्षण से पता चला कि रक्त शराब सामग्री के लिए एक मोबाइल परीक्षण कोई और नहीं देता है$\sim 1/7$$$झूठी सकारात्मक और झूठे नकारात्मक परिणामों दोनों का 1 % , इसलिए, में$1\%$$$98 % मामलों में, वह एक शराबी चालक की सही पहचान करेगा। चलो परीक्षण करते हैं$98\%$$$1000 ड्राइवर और चलो$1000$$$उनमें से 100 वास्तव में नशे में होंगे। नतीजतन, हम प्राप्त करते हैं$100$$$900 × 1 % = 9 गलत सकारात्मक और$900\times1\%=9$$$100 × 1 % = 1 गलत-नकारात्मक परिणाम: अर्थात्, एक शराबी के लिए जो फिसल गया, उसमें नौ निर्दोष रूप से यादृच्छिक ड्राइवर होंगे। क्षुद्रता का नियम क्या नहीं है! नशे के ड्राइवरों के अनुपात के बराबर होने पर ही समानता देखी जाएगी$100\times1\%=1$$$1 / 2 , या यदि झूठी सकारात्मक और झूठी नकारात्मक परिणामों के अंश के अनुपात शांत नशे में ड्राइवरों के लिए वास्तविक रिश्तेदार के करीब हो जाएगा। इसके अलावा, जितना अधिक देश का सर्वेक्षण किया जाएगा, हमारे द्वारा वर्णित डिवाइस का उपयोग उतना ही अनुचित होगा!यहां हमेंआश्रित घटनाओं कासामना करना पड़ता है। याद रखें, प्रायिकता की कोलमोगोरोव परिभाषा ने घटनाओं के संयोजन की संभावना को जोड़ने की एक विधि की बात की थी: दो घटनाओं के संयोजन की संभावना उनकी संभावनाओं के योग के बराबर होती है जो उनके प्रतिच्छेदन की संभावना को घटाती है। हालांकि, ये परिभाषाएं यह नहीं बताती हैं कि घटनाओं के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे की जाती है। ऐसा करने के लिए, एक नई अवधारणा पेश की गई है:सशर्त संभावनाऔर एक दूसरे पर घटनाओं की निर्भरता सामने आती है।$1/2$


घटनाओं ए और बी के प्रतिच्छेदन की संभावना को घटना बी की संभावना और घटना की संभावना के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है। $$ए , अगर यह ज्ञात है कि एक घटना हुई है$A$$$$B$ :

$$

$$P(A \cap B) = P(B)P(A|B).$$

अब आप तीन बराबर तरीकों से घटनाओं की स्वतंत्रता निर्धारित कर सकते हैं: घटनाक्रम $$$A$ और $$बी स्वतंत्र अगर$B$$$$P(A|B) = P(A)$ , या $$$P(B|A) = P(B)$ , या $$$P(A\cap B) = P(A)P(B)$ ।
यह पहले अध्याय में शुरू की गई संभावना की औपचारिक परिभाषा को पूरा करता है।

अंतःक्रिया एक कम्यूटेटिव ऑपरेशन है, अर्थात$$$P(A\cap B) = P(B\cap A)$ । इसका तात्पर्य बायेसियन प्रमेय से है:

$$

$$P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A),$$

जिसका उपयोग सशर्त संभावनाओं की गणना के लिए किया जा सकता है।

ड्राइवरों और शराब परीक्षण के साथ हमारे उदाहरण में, हमारे पास घटनाएं हैं:$$ए - चालक नशे में है,$A$$$बी - परीक्षण ने सकारात्मक परिणाम दिया। संभावनाओं:$B$$$पी ( ए ) = 0.1 - संभावना है कि रोका चालक नशे में है;$P(A) = 0.1$$$P ( B | A ) = 99 % - संभावना है कि परीक्षण एक सकारात्मक परिणाम देगा यदि यह ज्ञात हो कि चालक नशे में है (बाहर रखा गया है)$P(B|A) = 99\%$$$1 % गलत नकारात्मक)$1\%$$$पी ( ए | बी ) = 99 % - संभावना है कि परीक्षण नशे में है, अगर परीक्षण ने सकारात्मक परिणाम दिया (बाहर रखा गया$P(A|B) = 99\%$$$1 झूठे सकारात्मक परिणाम)। हम गणना करते हैं$1%$$$$पी (बी)$ - सड़क पर एक सकारात्मक परीक्षा परिणाम प्राप्त करने की संभावना:

$$

$$P (B) = \ frac {P (A) P (A | B)} {P (B | A)} = P (A) = 0.1$$

अब हमारा तर्क औपचारिक हो गया है और जैसा कि आप जानते हैं, शायद कुछ लोगों के लिए अधिक समझ में आता है। सशर्त संभाव्यता की अवधारणा आपको तार्किकता सिद्धांत की भाषा में तार्किक रूप से तर्क करने की अनुमति देती है। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि बेयस प्रमेय ने निर्णय सिद्धांत में, पैटर्न मान्यता प्रणालियों में, स्पैम फिल्टर में, प्रोग्राम जो साहित्यिक चोरी परीक्षण और कई अन्य सूचना प्रौद्योगिकियों में परीक्षण करते हैं, में व्यापक आवेदन पाया है।

इन उदाहरणों को मेडिकल परीक्षण या कानूनी प्रथाओं के छात्रों द्वारा सावधानीपूर्वक समझा जाता है। लेकिन, मुझे डर है कि पत्रकारों या राजनेताओं को न तो गणितीय आँकड़े और न ही संभाव्यता सिद्धांत सिखाया जाता है, लेकिन वे सांख्यिकीय आंकड़ों के लिए उत्सुकता से अपील करते हैं, स्वतंत्र रूप से उनकी व्याख्या करते हैं और प्राप्त "ज्ञान" को जनता तक पहुंचाते हैं। इसलिए, मैं अपने पाठक से आग्रह करता हूं: मैंने खुद गणित का पता लगाया, मुझे इसे दूसरे के लिए निकालने में मदद करें! मैं अज्ञानता के लिए कोई अन्य मारक नहीं देखता।

हम अपनी सुस्ती मापते हैं

हम कई सांख्यिकीय तरीकों में से केवल एक पर विचार करेंगे और लागू करेंगे: सांख्यिकीय परिकल्पनाओं का परीक्षण। उन लोगों के लिए जो पहले से ही अपने जीवन को प्राकृतिक या सामाजिक विज्ञान से जोड़ चुके हैं, इन उदाहरणों में आश्चर्यजनक रूप से कुछ नया नहीं होगा।

मान लीजिए कि हम बार-बार औसत मूल्य वाले एक यादृच्छिक चर को मापते हैं $$$\ _मु$ और मानक विचलन $$$\ _ सिग्मा$ । केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार, मनाया मतलब मूल्य सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा। बड़ी संख्या के कानून से यह इस प्रकार है कि इसका औसत बढ़ जाएगा $$$\ _मु$ , और सामान्य वितरण के गुणों से यह निम्नानुसार है $$$एन$ माप, माध्य के देखे गए विचरण में कमी आएगी $$$\ सिग्मा / \ sqrt {n}$ । मानक विचलन को औसत माप की पूर्ण त्रुटि माना जा सकता है, इस मामले में सापेक्ष त्रुटि बराबर होगी $$$\ डेल्टा = \ सिग्मा / (\ sqrt {n} \ mu)$ । ये बहुत सामान्य निष्कर्ष हैं, जो पर्याप्त रूप से बड़े हैं $$$एन$ जांच किए गए यादृच्छिक चर के विशिष्ट वितरण फॉर्म से। दो उपयोगी नियम (कानून नहीं) उनका अनुसरण करते हैं:

1. परीक्षणों की न्यूनतम संख्या $$$एन$ वांछित रिश्तेदार त्रुटि से निर्धारित किया जाना चाहिए $$$\ डेल्टा$ । इसके अलावा, अगर

$$

$$n \ geq \ left (\ frac {2 \ sigma} {\ mu \ delta} \ right): 2,$$

तब संभावना है कि निर्दिष्ट औसत के भीतर मनाया औसत कम से कम रहेगा $$$95 \%$ । पर $$$\ _मु$ शून्य के करीब, सापेक्ष त्रुटि पूर्ण को बदलने के लिए बेहतर है।

2. परिकल्पना शून्य परिकल्पना है कि मनाया मतलब है $$$\ _मु$ । फिर, यदि मनाया औसत परे नहीं जाता है $$$\ mu \ pm 2 \ sigma / \ sqrt {n}$ , तो संभावना है कि अशक्त परिकल्पना सत्य है कम से कम $$$95 \%$ ।


यदि इन नियमों में प्रतिस्थापित किया जाता है $$$2 \ सिग्मा$ पर $$$3 \ सिग्मा$ , तब आत्मविश्वास की डिग्री बढ़ जाएगी $$$99.7 \%$ यह एक बहुत मजबूत नियम है $$$3 \ सिग्मा$ , जो भौतिक विज्ञान में मान्यताओं को प्रयोगात्मक रूप से स्थापित तथ्य से अलग करता है।

बर्नौली वितरण के लिए इन नियमों के आवेदन पर विचार करना हमारे लिए उपयोगी होगा, एक यादृच्छिक चर का वर्णन करता है जो सफलता की निश्चित संभावना के साथ, सशर्त रूप से "सफलता" और "विफलता" नामक दो मान लेता है। $$$पी$ । इस मामले में $$$\ mu = p$ और $$$\ sigma = \ sqrt {p (1-p)}$ , इसलिए हमें प्राप्त होने वाले प्रयोगों और विश्वास अंतराल की आवश्यक संख्या के लिए

$$

$$n \ geq \ frac {4} {\ delta ^ 2} \ frac {1-p} {p} \ quad और \ quad np \ pm 2 \ sqrt {np (1-p)} $$$

नियम $$$2 \ सिग्मा$ बर्नौली वितरण का उपयोग हिस्टोग्राम्स की साजिश करते समय विश्वास अंतराल को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। अनिवार्य रूप से, हिस्टोग्राम की प्रत्येक पट्टी दो मूल्यों के साथ एक यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करती है: "हिट" - "चूक", ​​जहां मारने की संभावना एक सिम्युलेटेड प्रायिकता फ़ंक्शन से मेल खाती है। एक प्रदर्शन के रूप में, हम तीन वितरणों के लिए कई नमूने उत्पन्न करेंगे: वर्दी, ज्यामितीय और सामान्य, जिसके बाद हम देखे गए तितर बितर के साथ देखे गए डेटा के बिखराव अनुमानों की तुलना करते हैं। और यहां हम फिर से केंद्रीय सीमा प्रमेय की गूँज देखते हैं, इस तथ्य में प्रकट होता है कि हिस्टोग्राम में औसत मूल्यों के आसपास डेटा का वितरण सामान्य के करीब है। हालांकि, शून्य के पास प्रसार असममित हो जाता है और एक और बहुत ही संभावित वितरण - घातांक तक पहुंचता है। यह उदाहरण अच्छी तरह से दिखाता है कि मेरे कहने का क्या मतलब है कि आंकड़ों में हम एक यादृच्छिक चर के मापदंडों के यादृच्छिक मूल्यों के साथ काम कर रहे हैं।


उदाहरण नियम द्वारा किए गए तितर बितर अनुमान के अनुपात को दर्शाता है $$$2 \ सिग्मा$ और तीन यादृच्छिक चर के लिए फैला हुआ है।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि नियम $$$2 \ सिग्मा$ और भी $$$3 \ सिग्मा$ हमें गलतियों से न बचाएं। वे किसी भी बयान की सच्चाई की गारंटी नहीं देते हैं, न ही सबूत हैं। सांख्यिकी एक परिकल्पना के अविश्वास की डिग्री को सीमित करती है, और कुछ भी नहीं।

गणितज्ञ और संभाव्यता सिद्धांत में एक उत्कृष्ट पाठ्यक्रम के लेखक, जियान कार्लो रोटा ने एमआईटी में अपने व्याख्यान में एक उदाहरण दिया। एक वैज्ञानिक पत्रिका की कल्पना करें जिसके संपादकों ने एक दृढ़ इच्छाशक्ति वाला निर्णय लिया: विशेष रूप से सकारात्मक परिणामों के साथ लेख प्रकाशित करने के लिए स्वीकार करने के लिए जो नियम को पूरा करते हैं $$$2 \ सिग्मा$ या सख्त। उसी समय, संपादकीय कॉलम इंगित करता है कि पाठक सुनिश्चित कर सकते हैं कि संभावना के साथ $$$95 \%$ पाठक को इस पत्रिका के पृष्ठों पर गलत परिणाम नहीं मिलेगा! काश, इस कथन को उसी तर्क से आसानी से नकारा जा सकता है, जिसने शराब के लिए ड्राइवरों का परीक्षण करते समय हमें झूठा अन्याय किया था। चलो $$$1000$ शोधकर्ताओं ने अनुभव किया $$$1000$ परिकल्पना, जिनमें से केवल कुछ हिस्सा सच है, कहते हैं, $$$10 \%$ । परिकल्पना परीक्षण के अर्थ के आधार पर, हम यह उम्मीद कर सकते हैं $$$900 \ times0.05 = $ 4$ गलत परिकल्पनाओं को गलती से अस्वीकार नहीं किया जाएगा, और साथ ही लॉग इन किया जाएगा $$$100 \ times0.95 = 95$ सही परिणाम। का कुल $$$130$ एक अच्छा तीसरा गलत होगा!

यह उदाहरण पूरी तरह से हमारे घरेलू कानून का प्रदर्शन करता है, जिसे अभी तक मर्फ़ोलॉजी के एंथोलॉजी में शामिल नहीं किया गया है, चेर्नोमिर्डिन का कानून :

हम सबसे अच्छा चाहते थे, लेकिन यह हमेशा की तरह निकला।

गलत परिणामों के प्रतिशत का एक सामान्य अनुमान प्राप्त करना आसान है, जो पत्रिका के मुद्दों में शामिल होगा, यह मानते हुए कि सही परिकल्पना का हिस्सा है $$$0 <\ अल्फा <1$ और एक गलत परिकल्पना को स्वीकार करने की संभावना के बराबर है $$$पी$ :

$$

$$x = \ frac {(1- \ अल्फा) पी} {\ अल्फा (1-पी) + (1- \ अल्फा) =} $$$

जर्नल में प्रकाशित किए जा सकने वाले जानबूझकर गलत परिणामों के हिस्से को सीमित करने वाले क्षेत्रों को आंकड़े में दिखाया गया है।

परिकल्पना के परीक्षण के विभिन्न मानदंडों को अपनाने पर स्पष्ट रूप से गलत परिणामों वाले प्रकाशनों के प्रतिशत का अनुमान। यह देखा जा सकता है कि नियम से परिकल्पना स्वीकार करना $$$2 \ सिग्मा$ कसौटी पर जोखिम भरा हो सकता है $$$4 \ सिग्मा$ पहले से ही बहुत मजबूत माना जा सकता है।

निश्चित रूप से हम यह नहीं जानते हैं। $$$\ अल्फा$ , और हम कभी नहीं जान पाएंगे, लेकिन यह निश्चित रूप से एकता से कम है, जिसका अर्थ है कि, किसी भी मामले में, संपादकीय कॉलम के बयान को गंभीरता से नहीं लिया जा सकता है। आप अपने आप को कठोर मानदंडों तक सीमित कर सकते हैं $$$4 \ सिग्मा$ लेकिन इसके लिए बहुत बड़ी संख्या में परीक्षणों की आवश्यकता होती है। इसलिए, संभावित मान्यताओं के सेट में सच्चे परिकल्पनाओं की हिस्सेदारी बढ़ाना आवश्यक है। अनुभूति की वैज्ञानिक पद्धति के मानक दृष्टिकोण इस उद्देश्य से हैं - परिकल्पनाओं की तार्किक संगति, तथ्यों और सिद्धांतों के साथ उनकी संगति, जिन्होंने उनकी प्रयोज्यता, गणितीय मॉडल पर निर्भरता और महत्वपूर्ण सोच को साबित किया है।

और फिर से मौसम के बारे में

अध्याय की शुरुआत में, हमने इस तथ्य के बारे में बात की कि सप्ताहांत और खराब मौसम अधिक बार संयोग करते हैं जितना हम चाहते हैं। आइए इस अध्ययन को पूरा करने का प्रयास करें। प्रत्येक बरसात के दिन को एक यादृच्छिक चर के अवलोकन के रूप में माना जा सकता है - सप्ताह का वह दिन जो प्रायिकता के साथ बर्नौली वितरण का पालन करता है $$$1/7$ । आइए, हम एक नीरस परिकल्पना के रूप में मान लेते हैं कि सप्ताह के सभी दिन मौसम के संदर्भ में समान होते हैं और उनमें से किसी में भी बारिश की संभावना समान रूप से हो सकती है। हमारे पास दो दिन का अवकाश है, इसलिए हमें एक बुरे दिन और एक दिन समान के संयोग की संभावित संभावना मिलती है $$$2/7$ , यह मूल्य बर्नोली वितरण पैरामीटर होगा। कितनी बार बारिश होती है? वर्ष के अलग-अलग समय पर, अलग-अलग तरीकों से, लेकिन पेट्रोपावलोव्स्क-कामचत्स्की में, औसतन एक वर्ष में नब्बे बरसात या बर्फीले दिन होते हैं। इसलिए वर्षा के साथ दिनों की धारा में तीव्रता होती है $$$90/365 \ लगभग / 4$ । आइए गणना करें कि कितने बारिश के सप्ताहांत में हमें यह सुनिश्चित करने के लिए पंजीकरण करना चाहिए कि कुछ पैटर्न है। परिणाम तालिका में दिखाए गए हैं।

अवलोकन की अवधि	गर्मी	साल	$$$5$ वर्ष
टिप्पणियों की अपेक्षित संख्या	$$$23$	$$$90$	$$$456$
सकारात्मक परिणामों की अपेक्षित संख्या	$$$6$	$$$26$	$$$130$
महत्वपूर्ण विचलन	$$$4$	$$$9$	$$$19$
खराब का महत्वपूर्ण अनुपात दिनों की कुल संख्या	$$$42 \%$	$$$33 \%$	$$$29 \%$

ये संख्या किस बारे में बात कर रहे हैं? यदि यह आपको लगता है कि एक वर्ष के लिए "गर्मियों में नहीं" रहा है, तो यह बुराई चट्टान आपके सप्ताहांत को बारिश भेजकर उनका पीछा कर रही है, यह जाँच और पुष्टि की जा सकती है। हालांकि, गर्मियों के दौरान, दुष्ट चट्टान को केवल तभी पकड़ा जा सकता है, जब सभी सप्ताहांत के दो से अधिक पांचवां भाग बरसात का हो। अशक्त परिकल्पना का सुझाव है कि सप्ताहांत के केवल एक चौथाई को खराब मौसम के साथ मेल खाना चाहिए। अवलोकन के पांच वर्षों में, व्यक्ति पहले से ही सूक्ष्म विचलन को नोटिस करने की उम्मीद कर सकता है जो कि आगे निकल जाते हैं $$$5 \%$ और, यदि आवश्यक हो, उनके स्पष्टीकरण के साथ आगे बढ़ें।

मैंने स्कूल की मौसम डायरी का लाभ उठाया, जो 2014 से 2018 तक आयोजित की गई थी, और पता चला कि इन पांच वर्षों में क्या हुआ $$$459$ बरसात के दिन $$$141$ सप्ताहांत में गिर गया। यह वास्तव में, अपेक्षित संख्या से अधिक है $$$11$ दिन, लेकिन महत्वपूर्ण विचलन के साथ शुरू होता है $$$19$ दिन, इसलिए, जैसा कि हमने बचपन में कहा था: "गिनती नहीं है।" यहां डेटा की एक श्रृंखला और एक हिस्टोग्राम है जो सप्ताह के दिनों तक खराब मौसम के वितरण को दर्शाता है। हिस्टोग्राम में क्षैतिज रेखाएं उस अंतराल को इंगित करती हैं जिसमें समान वितरण से एक यादृच्छिक विचलन डेटा की समान मात्रा के लिए मनाया जा सकता है।


पांच वर्षों के अवलोकन के दौरान प्राप्त आंकड़ों की प्रारंभिक श्रृंखला और सप्ताह के दिनों के बुरे दिनों का वितरण।

यह देखा जा सकता है कि शुक्रवार के बाद से, वास्तव में, खराब मौसम के साथ दिनों की संख्या में वृद्धि हुई है। लेकिन पूर्वापेक्षाएँ इस वृद्धि का कारण खोजने के लिए पर्याप्त नहीं हैं: एक ही परिणाम यादृच्छिक संख्याओं के माध्यम से छाँटकर प्राप्त किया जा सकता है। निष्कर्ष: मौसम को देखने के पांच साल के लिए, मैंने लगभग दो हजार रिकॉर्ड जमा किए, लेकिन सप्ताह के दिनों तक मौसम के वितरण के बारे में कुछ नया नहीं सीखा।

जब आप डायरी प्रविष्टियों को देखते हैं, तो यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट होता है कि मौसम अकेले नहीं आता है, बल्कि दो से तीन दिन की अवधि या यहां तक ​​कि साप्ताहिक चक्रवातों में भी। क्या यह किसी तरह परिणाम को प्रभावित करता है? आप इस अवलोकन को ध्यान में रखने की कोशिश कर सकते हैं, और मान सकते हैं कि औसतन दो दिनों तक बारिश होती है (वास्तव में,) $$$1.7$ दिन), फिर सप्ताहांत को अवरुद्ध करने की संभावना बढ़ जाती है $$$3/7$ । इस तरह की संभावना के साथ, पांच साल के मैचों की अपेक्षित संख्या होनी चाहिए $$$195 \ pm21$ , अर्थात् से $$$174$ को $$$216$ समय। मान देखा $$$141$ इस सीमा में नहीं आते हैं और इसलिए, खराब मौसम के दोहरे दिनों के प्रभाव की परिकल्पना को सुरक्षित रूप से अस्वीकार किया जा सकता है। क्या हमने कुछ नया सीखा? हां, हमने सीखा: यह प्रतीत होगा कि प्रक्रिया की एक स्पष्ट विशेषता किसी भी प्रभाव को प्रभावित नहीं करती है। यह विचार करने योग्य है, और हम इसे थोड़ा बाद में करेंगे। लेकिन मुख्य निष्कर्ष यह है कि किसी भी अधिक सूक्ष्म प्रभावों पर विचार करने का कोई कारण नहीं है, क्योंकि टिप्पणियों और, सबसे महत्वपूर्ण बात, उनकी संख्या, लगातार सरलतम स्पष्टीकरण के पक्ष में बोलते हैं।

लेकिन हमारी नाराजगी पांच साल या वार्षिक आंकड़ों तक नहीं है, मानव स्मृति इतनी लंबी नहीं है। सप्ताहांत में तीन या चार बार बारिश होने पर यह शर्म की बात है! इसे कितनी बार देखा जा सकता है? खासकर अगर आपको याद है कि गंदा मौसम अकेले नहीं आता है। कार्य निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: “क्या संभावना है कि $$$एन$ एक पंक्ति में सप्ताहांत बरसात होगी? ” यह मान लेना उचित है कि खराब मौसम तीव्रता के साथ पॉइसन धारा बनाता है $$$1/4$ । इसका मतलब है कि औसतन, किसी भी अवधि के दिनों का एक चौथाई खराब होगा। केवल सप्ताहांत को देखते हुए, हमें प्रवाह की तीव्रता को नहीं बदलना चाहिए, और सभी सप्ताहांत खराब मौसम का होना चाहिए, औसतन, एक चौथाई भी। इसलिए, हम अशक्त परिकल्पना को सामने रखते हैं: खराब मौसम की धारा पॉइसन है, एक ज्ञात पैरामीटर के साथ, जिसका अर्थ है कि पॉइसन घटनाओं के बीच के अंतराल को एक घातीय वितरण द्वारा वर्णित किया गया है। हम असतत अंतराल में रुचि रखते हैं: $$$0, \ 1, \ 2, \ 3$ दिन, इसलिए हम घातीय वितरण के असतत एनालॉग का उपयोग कर सकते हैं - पैरामीटर के साथ ज्यामितीय वितरण $$$1/4$ । आंकड़ा दिखाता है कि हमने क्या किया और यह देखा जा सकता है कि हम पोइसन प्रक्रिया का अवलोकन कर रहे हैं कि यह धारणा अस्वीकार करने के लिए उचित नहीं है।


असफल सप्ताहांत और सैद्धांतिक की श्रृंखला की लंबाई का मनाया वितरण। पतली रेखा उन टिप्पणियों की संख्या के लिए अनुमेय विचलन दिखाती है जो हमारे पास हैं।

आप स्वयं से यह प्रश्न पूछ सकते हैं: आपको कितने वर्षों तक अवलोकन करने की आवश्यकता है ताकि अंतर में $$$11$ दिनों की पुष्टि या यादृच्छिक विचलन के रूप में पुष्टि की जा सकती है? यह गणना करना आसान है: मनाया गया संभावना $$$141/459 = 0.307$ उम्मीद से अलग $$$2/7 = $ 0.28$ पर $$$0.02$ । सौवें में अंतर दर्ज करने के लिए, इससे अधिक नहीं की एक पूर्ण त्रुटि $$$0.005$ वह बनाता है $$$1.75 \%$ मापा आकार से। यहां से हमें आवश्यक नमूना आकार मिलता है $$$n \ geq (4 \ cdot 5/7) / (0.0175 ^ 2 \ cdot 2/7) \ लगभग 32000$ बारिश के दिन। इसके बारे में ले जाएगा $$$4 \ cdot 32000/365 \ लगभग 360$ निरंतर मौसम संबंधी टिप्पणियों के वर्ष, क्योंकि हर चौथे दिन केवल बारिश होती है या फिर बारिश होती है। काश, यह उस समय से अधिक है जब कामचटका रूस का हिस्सा है, इसलिए मुझे यह पता लगाने का कोई मौका नहीं है कि चीजें "वास्तव में" कैसी हैं। विशेष रूप से यदि आप इस बात को ध्यान में रखते हैं कि इस समय के दौरान जलवायु नाटकीय रूप से बदलने में कामयाब रही - लघु हिमयुग से, प्रकृति अगले इष्टतम पर बाहर आ गई।

तो कैसे ऑस्ट्रेलियाई शोधकर्ताओं ने डिग्री के अंशों में तापमान के विचलन को रिकॉर्ड करने का प्रबंधन किया और क्यों इस अध्ययन पर विचार करने के लिए समझ में आता है? तथ्य यह है कि उन्होंने प्रति घंटा तापमान डेटा का उपयोग किया जो किसी भी यादृच्छिक प्रक्रिया द्वारा "थिन आउट" नहीं थे। तो परे $$$30$ मौसम संबंधी टिप्पणियों के वर्षों में एक लाख से अधिक रीडिंग जमा करने में कामयाब रहे, जो माध्य के मानक विचलन को कम करने की अनुमति देता है $$$500$ मानक दैनिक तापमान विचलन के संबंध में। यह डिग्री के दसवीं में सटीकता के बारे में बात करने के लिए पर्याप्त है। इसके अलावा, लेखकों ने एक और सुंदर विधि का उपयोग किया जो समय चक्र की उपस्थिति की पुष्टि करता है: समय श्रृंखला का यादृच्छिक मिश्रण। इस तरह के मिश्रण सांख्यिकीय गुणों को संरक्षित करते हैं, जैसे प्रवाह की तीव्रता, हालांकि, यह अस्थायी पैटर्न को मिटा देता है, जिससे प्रक्रिया वास्तव में पॉइसन बन जाती है। कई सिंथेटिक और प्रायोगिक श्रृंखलाओं की तुलना हमें यह सत्यापित करने की अनुमति देती है कि पॉइसन से प्रक्रिया के देखे गए विचलन महत्वपूर्ण हैं। इसी तरह, भूकंपविज्ञानी ए। ए। गुसेव ने दिखाया कि किसी भी क्षेत्र में भूकंप, क्लस्टरिंग के गुणों के साथ एक प्रकार का आत्म-प्रवाह होता है। इसका मतलब यह है कि भूकंप बहुत अप्रिय प्रवाह सील बनाने के लिए समय में क्लस्टर करते हैं। बाद में यह पता चला कि बड़े ज्वालामुखी विस्फोट के अनुक्रम में समान संपत्ति है।

यादृच्छिकता का एक अन्य स्रोत

बेशक, भूकंप की तरह, मौसम, पोइसन प्रक्रिया द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है - ये गतिशील प्रक्रियाएं हैं जिनमें वर्तमान स्थिति पिछले वाले का एक कार्य है। हमारे साप्ताहिक मौसम अवलोकन एक साधारण स्टोचस्टिक मॉडल का पक्ष क्यों लेते हैं? तथ्य यह है कि हम सात दिनों के एक सेट के लिए वर्षा के गठन की नियमित प्रक्रिया को प्रदर्शित करते हैं, या, गणित की भाषा बोलते हुए, कटौती सात की प्रणाली पर। यह प्रक्षेपण प्रक्रिया अच्छी तरह से आदेशित श्रृंखला से अराजकता उत्पन्न करने में सक्षम है। उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए, अधिकांश वास्तविक संख्याओं के दशमलव संकेतन के अनुक्रम में एक दृश्यमान यादृच्छिकता है।

हम पहले ही तर्कसंगत संख्याओं के बारे में बात कर चुके हैं, जिन्हें पूर्णांक भिन्न के रूप में व्यक्त किया गया है। उनके पास एक आंतरिक संरचना है, जो दो संख्याओं से निर्धारित होती है: अंश और हर। लेकिन दशमलव के रूप में लिखते समय, आप संख्याओं के प्रतिनिधित्व में नियमितता से छलांग लगा सकते हैं जैसे कि $$$1/2 = 0.5 \ ओवरलाइन {0}$ , या $$$1/3 = 0. \ ओवरलाइन {3}$ आवधिक पुनरावृत्ति में पहले से ही काफी संख्या में यादृच्छिक क्रम जैसे कि $$$1/17 = 0. \ ओवरलाइन {0588235294117647}$ । अपरिमेय संख्याओं में एक परिमित या आवधिक दशमलव संकेतन नहीं होता है, और इस मामले में, अराजकता संख्याओं के अनुक्रम में सबसे अधिक बार शासन करती है। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि इन नंबरों में कोई आदेश नहीं है! उदाहरण के लिए, गणितज्ञों द्वारा सामना किया गया पहला अपरिमेय संख्या $$$\ sqrt {2}$ दशमलव संकेतन में संख्याओं का एक यादृच्छिक सेट उत्पन्न करता है। हालाँकि, दूसरी ओर, इस संख्या को अनंत निरंतर भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है:

$$

$$\ sqrt {2} = 1 + \ frac {1} {2+ \ frac {1} {2+ \ frac {1} {2+ ...}}}।$$

यह दिखाना आसान है कि यह श्रृंखला समीकरण को हल करके वास्तव में दो की जड़ के बराबर है:

$$

$$x-1 = \ frac {1} {2+ (x-1)}।$$

दोहराए गए गुणांक वाले निरंतर अंश शीघ्र ही लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए आवधिक दशमलव अंश, जैसे: $$$\ sqrt {2} = [1, \ बार {2}]$ । $$$\ sqrt {3} = [1, \ overline {1,2}]$ । इस अर्थ में प्रसिद्ध स्वर्णिम अनुपात सबसे सरल रूप से व्यवस्थित अपरिमेय संख्या है: $$$\ varphi = [1, \ बार {1}]$ । सभी परिमेय संख्याओं को परिमित निरंतर अंशों के रूप में दर्शाया जाता है, कुछ तर्कहीन - अनंत के रूप में, लेकिन आवधिक, उन्हें बीजगणितीय कहा जाता है, जिनके पास इस रूप में भी एक परिमित संकेतन नहीं है - पारलौकिक । ट्रान्सेंडैंटल की सबसे प्रसिद्ध संख्या है $$$\ pi$ , यह दशमलव में और निरंतर अंश के रूप में अराजकता पैदा करता है: $$$\ pi \ लगभग [3, 7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1, ...]$ । और यहाँ यूलर नंबर है $$$ई$ शेष ट्रांसेंडेंटल, एक निरंतर अंश के रूप में, दशमलव संकेतन में छिपी आंतरिक संरचना को प्रदर्शित करता है: $$$e \ लगभग [2,1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10, ...]$ ।

शायद, एक गणितज्ञ नहीं, पाइथागोरस के साथ शुरू, चालाक की दुनिया पर संदेह है, यह पता चलता है कि क्या आवश्यक है, इस तरह की एक मूलभूत संख्या $$ p i में ऐसी एक जटिल जटिल अव्यवस्थित संरचना है। बेशक, इसे काफी सुरुचिपूर्ण संख्यात्मक श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है, लेकिन ये श्रृंखला सीधे इस संख्या की प्रकृति के बारे में नहीं बोलते हैं और वे सार्वभौमिक नहीं हैं। मेरा मानना ​​है कि भविष्य के गणितज्ञ संख्याओं के कुछ नए निरूपण की खोज करेंगे, जैसा कि निरंतर अंशों के रूप में सार्वभौमिक है, जो संख्याओं में प्रकृति द्वारा छिपाए गए सख्त आदेश को प्रकट करेगा।$\ pi$

$$

$$*\ *\ *$$

इस अध्याय के परिणाम, अधिकांश भाग के लिए, नकारात्मक हैं। और एक लेखक के रूप में जो छिपे हुए पैटर्न और अप्रत्याशित खोजों के साथ पाठक को आश्चर्यचकित करना चाहता है, मुझे संदेह था कि क्या इसे पुस्तक में शामिल किया जाना चाहिए। लेकिन मौसम के बारे में हमारी बातचीत एक बहुत ही महत्वपूर्ण विषय है - प्राकृतिक विज्ञान के दृष्टिकोण का मूल्य और सार्थकता।

एक बुद्धिमान लड़की, सोन्या शतालोवा, जो दस साल की उम्र में आत्मकेंद्रित के चश्मे के माध्यम से दुनिया को देख रही थी, ने बहुत ही संक्षिप्त और सटीक परिभाषा दी: "विज्ञान संदेह पर आधारित ज्ञान की प्रणाली है"। वास्तविक दुनिया अस्थिर है और माप की जटिलता, दृश्यमान यादृच्छिकता और अविश्वसनीयता के पीछे छिपने का प्रयास करती है। प्राकृतिक विज्ञान में संदेह अपरिहार्य है। गणित निश्चित रूप से एक दायरे का लगता है, जिसमें, ऐसा लगता है कि कोई भी संदेह के बारे में भूल सकता है। और इस राज्य की दीवारों के पीछे छिपना बहुत ही आकर्षक है; बिना पहचाने जाने वाले विश्व मॉडल के बजाय जिन पर पूरी जांच की जा सकती है; गणना और गणना, सूत्र का लाभ कुछ भी पचाने के लिए तैयार है। लेकिन फिर भी, गणित एक विज्ञान है और इसमें संदेह एक गहरी आंतरिक ईमानदारी है जो तब तक आराम नहीं देता है जब तक कि गणितीय निर्माण अतिरिक्त मान्यताओं और अनावश्यक परिकल्पनाओं को मंजूरी नहीं देता है। गणित के दायरे में, वे एक जटिल, लेकिन सामंजस्यपूर्ण भाषा बोलते हैं, जो वास्तविक दुनिया के बारे में तर्क के लिए उपयुक्त है। इस भाषा से थोड़ा परिचित होना बहुत महत्वपूर्ण है,आंकड़ों को प्रतिरूपण करने से रोकने के लिए, तथ्यों को ज्ञान होने का दिखावा करने की अनुमति नहीं है, और वास्तविक विज्ञान के विपरीत अज्ञान और हेरफेर करने के लिए।