गणितज्ञों ने पॉलिनॉमिअल्स को हैक आरएसए को हैक करने में मदद नहीं की

हाल ही में, सामग्री क्वांटा पत्रिका में प्रकाशित हुई थी, जिसमें लेखक ने एक ऐसी घटना के बारे में बात की थी जो अनुभवहीन पाठकों के दृष्टिकोण से आश्चर्यचकित थी, गणितज्ञों द्वारा साबित की गई थी। इसका सार यह है कि एक निश्चित प्रकार के लगभग सभी बहुपद अप्रासंगिक हैं, अर्थात् वे विघटित नहीं हो सकते हैं। यह प्रमाण शुद्ध गणित के कई क्षेत्रों में लागू होता है। लेकिन यह भी आधुनिक जीवन के एक स्तंभ के लिए अच्छी खबर है - डिजिटल एन्क्रिप्शन।

डिजिटल जानकारी के विश्वसनीय भंडारण के लिए, आरएसए एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए एन्क्रिप्शन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह इस योजना का एक पंप-अप संस्करण है, जिसमें सातवें ग्रेडर भी दोस्तों के साथ संदेशों का आदान-प्रदान कर सकते हैं: प्रत्येक अक्षर को एक संख्या सौंपी जाती है, जिसे एक गुप्त, पूर्व-सहमत कुंजी द्वारा गुणा किया जाता है। एक संदेश को डिक्रिप्ट करने के लिए, बस इसे एक गुप्त कुंजी में विभाजित करें।

RSA एन्क्रिप्शन एक समान तरीके से काम करता है। हम बहुत सरलीकृत स्पष्टीकरण देते हैं। उपयोगकर्ता एक संदेश के साथ आता है और उस पर कुछ गणितीय कार्य करता है, जिसमें बहुत बड़ी संख्या से गुणा करना (कई सौ अंक लंबा)। संदेश को डिक्रिप्ट करने का एकमात्र तरीका परिणाम के सरल कारकों को खोजना है *।

आरएसए एन्क्रिप्शन की सुरक्षा इस तथ्य पर आधारित है कि गणित बहुत बड़ी संख्या के प्रमुख कारकों को खोजने के त्वरित तरीके नहीं जानते हैं। और अगर एन्क्रिप्टेड संदेश आपके लिए अभिप्रेत नहीं था, और आपके पास इसे डिक्रिप्ट करने के लिए एक कुंजी नहीं है, तो इस कुंजी को खोजने के प्रयास में एक अच्छा हजार साल लग सकते हैं। इसके अलावा, यह सबसे आधुनिक कंप्यूटरों के लिए भी सही है, जिसकी मदद से अभी भी सही सरल कारकों का चयन करना संभव नहीं होगा।

लेकिन एक वर्कअराउंड है। प्रत्येक संख्या को एक अद्वितीय बीजीय समीकरण के रूप में दर्शाया जा सकता है। और, एक संख्या के प्रमुख कारकों की खोज के विपरीत, एक बहुपद के प्रमुख कारकों की खोज बहुत आसान है। और जैसे ही बहुपद को ऐसे प्रमुख कारकों में विघटित किया जाता है, इस जानकारी का उपयोग मूल संख्या के प्रमुख कारकों की खोज के लिए किया जा सकता है।

यहाँ यह कैसे काम करता है।

चरण एक: किसी भी संख्या को चुनें जिसके प्रमुख कारक आपको पता लगाने की आवश्यकता है। सादगी के लिए, संख्या 15 लें।

चरण दो: 15 बाइनरी में अनुवाद करता है:

1111।

चरण तीन: यह द्विआधारी अभिव्यक्ति बहुपद में सभी द्विआधारी संख्याओं को बहुपद के गुणांक में बदलकर एक बहुपद में बदल जाती है:



(नोट: यह बहुपद 15 है यदि x = 2. संख्या 2 बाइनरी सिस्टम का आधार है।)

चौथा चरण: बहुपद का कारक है:



चरण पाँच: x = 2 इन कारकों में से प्रत्येक में प्रतिस्थापित है:



निष्कर्ष: 5 और 3 15 के प्रमुख कारक हैं।

हां, यह 15 जैसी छोटी संख्या के सरल कारकों को खोजने का एक अत्यधिक जटिल तरीका है, जो मन में पता लगाना आसान है। हालांकि, जब बड़ी संख्या में सैकड़ों की संख्या शामिल होती है, तो यह बहुपद विधि एक अद्भुत लाभ प्रदान करती है। प्राइम नंबर को डिकम्पोज करने के लिए, तेज एल्गोरिदम मौजूद नहीं है। लेकिन बड़े बहुपद को विघटित करने के लिए ऐसे एल्गोरिदम हैं। इसलिए, जैसे ही आप एक बड़ी संख्या को एक बड़ी बहुपद में बदलने का प्रबंधन करते हैं, आप संख्या के सरल कारकों को खोजने के बहुत करीब पहुंच सकते हैं।

क्या इसका मतलब है कि RSA एन्क्रिप्शन जोखिम में है? वास्तव में नहीं। और बहुपद के बारे में एक नया, हाल ही में साबित हुआ पैटर्न ठीक इसी के साथ जुड़ा हुआ है।

कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के गणितज्ञ इमैनुएल ब्रूली और पीटर वरजू ने साबित किया कि गुणांक 0 और 1 के साथ बहुपद के रूप में लंबे समय तक बन जाते हैं, संभावना है कि उन्हें विस्तारित किया जा सकता है। और यदि बहुपद को विघटित नहीं किया जा सकता है, तो इसका उपयोग उन संख्याओं के सरल कारकों की खोज के लिए नहीं किया जा सकता है जिनकी गणना करने की आवश्यकता है।

Brull और Varju के साक्ष्य वास्तव में सुझाव देते हैं कि RSA एन्क्रिप्शन को क्रैक करने के लिए एक समाधान कहीं नहीं जाता है। RSA में उपयोग की जाने वाली बहुत बड़ी संख्या बहुत लंबे बहुपद के अनुरूप है। कैम्ब्रिज के वैज्ञानिकों का तर्क है कि इस लंबाई के बहुपदों को ढूंढना लगभग असंभव है जिसे विघटित किया जा सकता है। दोनों क्रिप्टोग्राफर्स और गणितज्ञों को लंबे समय से संदेह है कि यह ऐसा है। हालांकि, जब विश्व साइबरस्पेसिटी कुछ गणितीय तकनीक का उपयोग करने की असंभवता पर निर्भर करता है, तो यह प्रमाण देना हमेशा अच्छा होता है कि यह तकनीक वास्तव में काम नहीं करती है।