कलमन फ़िल्टर

कलमन फ़िल्टर पर बहुत सारे अलग-अलग लेख हैं, लेकिन इसमें वह व्याख्या करना मुश्किल है, जिसमें एक स्पष्टीकरण हो, जहाँ से सभी फ़िल्टरिंग फ़ार्मुलों की खोज हो। मुझे लगता है कि इसके बिना यह विज्ञान पूरी तरह से समझ में नहीं आता है। इस लेख में मैं सब कुछ सरल तरीके से समझाने की कोशिश करूंगा।

कलमन फ़िल्टर विभिन्न प्रकार के डेटा को फ़िल्टर करने के लिए बहुत शक्तिशाली उपकरण है। इसके पीछे मुख्य विचार यह है कि किसी को शारीरिक प्रक्रिया के बारे में जानकारी का उपयोग करना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि आप कार के स्पीडोमीटर से डेटा को फ़िल्टर कर रहे हैं तो इसकी जड़ता आपको मापने की त्रुटि के रूप में एक बड़ी गति विचलन का इलाज करने का अधिकार देती है। कलमन फ़िल्टर इस तथ्य से भी दिलचस्प है कि किसी तरह यह सबसे अच्छा फ़िल्टर है। हम ठीक से चर्चा करेंगे कि इसका क्या मतलब है। लेख के अंत में मैं दिखाऊंगा कि कैसे सूत्रों को सरल बनाना संभव है।

प्रारंभिक

सबसे पहले, चलो प्रायिकता सिद्धांत से कुछ परिभाषाओं और तथ्यों को याद करते हैं।

यादृच्छिक चर

जब कोई कहता है कि उसे एक यादृच्छिक चर दिया गया है $$$\ xi$ , इसका मतलब है कि यह यादृच्छिक मान ले सकता है। विभिन्न मूल्य अलग-अलग संभावनाओं के साथ आते हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोई पासा गिराता है तो मूल्यों का समूह असतत होता है $$$\ {1,2,3,4,5,6 \}$ । जब आप गतिमान कण की गति से निपटते हैं तो स्पष्ट रूप से आपको मूल्यों के निरंतर सेट के साथ काम करना चाहिए। मान जो प्रत्येक प्रयोग (माप) के बाद निकलते हैं, जिन्हें हम दर्शाते हैं $$$x_1, x_2, ...$ , लेकिन कभी-कभी हम उसी अक्षर का उपयोग करेंगे, जैसा कि हम एक यादृच्छिक चर के लिए उपयोग करते हैं $$$\ xi$ । मूल्यों के निरंतर सेट के मामले में एक यादृच्छिक चर इसकी संभावना घनत्व फ़ंक्शन द्वारा विशेषता है $$$\ rho (x)$ । यह फ़ंक्शन एक संभावना दिखाता है कि यादृच्छिक चर एक छोटे से पड़ोस में पड़ता है $$$dx$ बिंदु का $$$x$ । जैसा कि हम तस्वीर पर देख सकते हैं, यह संभावना ग्राफ के नीचे रची हुई आयत के क्षेत्र के बराबर है $$$\ rho (x) dx$ ।

हमारे जीवन में अक्सर, यादृच्छिक चर में गॉस वितरण होता है, जब संभावना घनत्व होता है $$$\ rho (x) \ sim e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {2 \ sigma ^ 2}}$ ।

हम देख सकते हैं कि घंटी के आकार का कार्य $$$\ rho (x)$ बिंदु पर केंद्रित है $$$\ _मु$ और इसकी विशेषता चौड़ाई चारों ओर है $$$\ _ सिग्मा$ ।
चूँकि हम गौसियन डिस्ट्रीब्यूशन के बारे में बात कर रहे हैं, तो यह एक पाप होगा कि यह उल्लेख नहीं है कि यह कहाँ से आता है। साथ ही संख्या $$$ई$ और $$$\ pi$ दृढ़ता से गणित में प्रवेश किया जाता है और इसे सबसे अप्रत्याशित स्थानों में पाया जा सकता है, इसलिए गॉसियन डिस्ट्रीब्यूशन की संभावना के सिद्धांत में गहरी जड़ें हैं। निम्नलिखित उल्लेखनीय कथन आंशिक रूप से कई प्रक्रियाओं में गौस वितरण की उपस्थिति की व्याख्या करता है:
एक यादृच्छिक चर दें $$$\ xi$ एक मनमाना वितरण है (वास्तव में मनमानी पर कुछ प्रतिबंध हैं, लेकिन वे प्रतिबंधात्मक नहीं हैं)। चलो प्रदर्शन करते हैं $$$एन$ प्रयोग और एक राशि की गणना $$$\ xi_1 + ... + \ xi_n$ गिरे हुए मूल्यों में। चलिए बहुत सारे प्रयोग करते हैं। यह स्पष्ट है कि हर बार हमें राशि का एक अलग मूल्य मिलेगा। दूसरे शब्दों में, यह योग अपने स्वयं के वितरण कानून के साथ एक यादृच्छिक चर है। यह पता चला है कि पर्याप्त रूप से बड़े के लिए $$$एन$ इस राशि के वितरण का नियम गौसियन वितरण को जाता है (वैसे, घंटी की विशेषता चौड़ाई की तरह बढ़ रही है $$$\ sqrt एन$ । और पढ़ें: केंद्रीय सीमा प्रमेय वास्तविक जीवन में बहुत सारे मूल्य हैं जो बड़ी संख्या में स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का योग हैं। इसलिए इस मूल्यों में गॉस डिस्ट्रीब्यूशन है।

मतलब मूल्य

परिभाषा के अनुसार, यादृच्छिक चर का एक औसत मूल्य एक ऐसा मूल्य है जो हम एक सीमा में प्राप्त करते हैं यदि हम अधिक से अधिक प्रयोग करते हैं और गिरे हुए मूल्यों का मतलब गणना करते हैं। एक औसत मूल्य को विभिन्न तरीकों से दर्शाया जाता है: गणितज्ञों द्वारा निरूपित किया जाता है $$$E \ xi$ (उम्मीद), भौतिकविदों द्वारा निरूपित $$$\ overline {\ xi}$ या $$$<\ xi>$ । हम इसे निरूपित करेंगे जैसे गणितज्ञ करते हैं।

उदाहरण के लिए, गाऊसी वितरण का एक औसत मूल्य $$$\ rho (x) \ sim e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {2 \ sigma ^ 2}}$ के बराबर है $$$\ _मु$ ।

झगड़ा

गाऊसी वितरण के लिए, हम स्पष्ट रूप से देखते हैं कि यादृच्छिक चर अपने औसत मूल्य के एक निश्चित क्षेत्र के भीतर गिर जाता है $$$\ _मु$ । आइए हम एक बार फिर गौसियन वितरण का आनंद लें:

तस्वीर पर, कोई भी देख सकता है कि एक क्षेत्र की एक विशिष्ट चौड़ाई जहां मूल्यों में ज्यादातर गिरावट है $$$\ _ सिग्मा$ । हम एक मनमाने ढंग से यादृच्छिक चर के लिए इस चौड़ाई का अनुमान कैसे लगा सकते हैं? हम इसकी संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का एक ग्राफ खींच सकते हैं और केवल नेत्रहीन रूप से विशेषता रेंज का मूल्यांकन कर सकते हैं। हालांकि इस मूल्यांकन के लिए एक सटीक बीजीय तरीका चुनना बेहतर होगा। हमें औसत मान से विचलन की एक औसत लंबाई मिल सकती है: $$$E | \ xi-E \ xi$ । यह मान एक विशिष्ट विचलन का एक अच्छा अनुमान है $$$\ xi$ । हालाँकि हम यह अच्छी तरह से जानते हैं, कि सूत्रों में निरपेक्ष मूल्यों का उपयोग करने में कितनी समस्या है, इस प्रकार इस सूत्र का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।

एक सरल दृष्टिकोण (गणना के दृष्टिकोण से सरल) की गणना करना है $$$E (\ xi-E \ xi) ^ 2$ ।

इस मान को प्रसरण कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$$\ sigma_ \ xi ^ 2$ । विचरण की द्विघात जड़ यादृच्छिक चर की विशेषता विचलन का एक अच्छा अनुमान है। इसे मानक विचलन कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, कोई गॉसियन वितरण के लिए गणना कर सकता है $$$\ rho (x) \ sim e ^ {- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {2 \ sigma ^ 2}}$ विचरण बराबर है $$$\ _ सिग्मा ^ 2$ इस प्रकार मानक विचलन है $$$\ _ सिग्मा$ । यह परिणाम वास्तव में हमारे ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से मेल खाता है। वास्तव में यहां एक छोटा धोखा छिपा है। वास्तव में गॉस वितरण की एक परिभाषा में आप संख्या देखते हैं $$$2$ एक अभिव्यक्ति के हर में $$$- \ frac {(x- \ mu) ^ 2} {2 \ sigma ^ 2}$ । यह $$$2$ मानक विचलन के लिए उद्देश्य में वहाँ खड़ा है $$$\ _ सिग्मा_ \ xi$ के बराबर होना $$$\ _ सिग्मा$ । तो गॉस वितरण का सूत्र एक तरह से लिखा गया है, जो ध्यान में रखते हैं कि कोई अपने मानक विचलन की गणना करेगा।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर

यादृच्छिक चर एक दूसरे पर निर्भर हो सकते हैं या नहीं। कल्पना करें कि आप फर्श पर सुई फेंक रहे हैं और इसके दोनों सिरों के निर्देशांक माप रहे हैं। यह दो निर्देशांक यादृच्छिक चर हैं, लेकिन वे एक दूसरे पर निर्भर करते हैं, क्योंकि उनके बीच की दूरी हमेशा सुई की लंबाई के बराबर होनी चाहिए। यदि पहले के परिणाम दूसरे के परिणामों पर निर्भर नहीं करते हैं तो रैंडम चर एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं। दो स्वतंत्र चर के लिए $$$\ xi_1$ और $$$\ xi_2$ उनके उत्पाद का मतलब उनके मतलब के उत्पाद के बराबर है: $$$E (\ xi_1 \ cdot \ xi_2) = E \ xi_1 \ cdot \ xi_2$

कलमन फ़िल्टर

समस्या बयान

द्वारा निरूपित करते हैं $$$x_k$ एक मान जिसे हम मापने और फिर फ़िल्टर करने का इरादा रखते हैं। यह एक समन्वय, वेग, त्वरण, आर्द्रता, तापमान, दबाव आदि हो सकता है

आइए हम एक साधारण उदाहरण से शुरू करते हैं, जो हमें सामान्य समस्या के सूत्रीकरण की ओर ले जाएगा। कल्पना करें कि आपके पास एक रेडियो कंट्रोल टॉय कार है जो केवल आगे और पीछे चल सकती है। इसके द्रव्यमान, आकार और प्रणाली के अन्य मापदंडों को जानकर हमने गणना की है कि कार के वेग पर नियंत्रित जॉयस्टिक कैसे कार्य करता है $$$v_k$ ।


निम्नलिखित सूत्र द्वारा कार का समन्वय होगा

$$

$$x_ {k + 1} = x_k + v_kdt$$

वास्तविक जीवन में हम नहीं कर सकते हैं, हम समन्वय के लिए एक सटीक सूत्र नहीं बना सकते हैं क्योंकि कार पर कुछ छोटी-मोटी गड़बड़ी हवा, धक्कों, सड़क पर पत्थरों की तरह काम कर रही है, इसलिए कार की वास्तविक गति की गणना एक से अलग होगी । तो हम एक यादृच्छिक चर जोड़ते हैं $$$\ xi_k$ अंतिम समीकरण के दाहिने हाथ की ओर:

$$

$$x_ {k + 1} = x_k + v_kdt + \ xi_k$$

हमारे पास कार पर एक जीपीएस सेंसर भी है जो कार के समन्वय को मापने की कोशिश करता है $$$x_k$ । बेशक, इस माप में एक त्रुटि है, जो एक यादृच्छिक चर है $$$\ eta_k$ । इसलिए सेंसर से हमें एक गलत डेटा मिलेगा:

$$

$$z_k = x_k + \ eta_k$$

हमारा उद्देश्य सच्चे समन्वय के लिए एक अच्छा अनुमान लगाना है $$$x_k$ , एक गलत सेंसर के डेटा को जानना $$$z_k$ । यह अच्छा अनुमान हम द्वारा निरूपित करेंगे $$$x ^ {ऑप्ट}$ ।
सामान्य तौर पर समन्वय $$$x_k$ किसी भी मूल्य (तापमान, आर्द्रता, ...) और हमारे द्वारा निरूपित सदस्य को नियंत्रित करने के लिए खड़ा हो सकता है $$$u_k$ (एक कार के साथ उदाहरण में $$$u_k = v_k \ cdot dt$ )। समन्वय और सेंसर माप के लिए समीकरण निम्न होंगे:

(1)

आइए चर्चा करते हैं, हम इन समीकरणों में क्या जानते हैं।

• $$$u_k$ एक ज्ञात मूल्य है जो सिस्टम के एक विकास को नियंत्रित करता है। हम इसे सिस्टम के मॉडल से जानते हैं।
• यादृच्छिक चर $$$\ xi$ सिस्टम के मॉडल और यादृच्छिक चर में त्रुटि का प्रतिनिधित्व करता है $$$\ eta$ एक सेंसर की त्रुटि है। उनके वितरण कानून समय पर निर्भर नहीं करते (पुनरावृत्ति सूचकांक पर) $$$k$ )।
• त्रुटियों के साधन शून्य के बराबर हैं: $$$E \ eta_k = E \ xi_k = 0$ ।
• हम रैंडम वेरिएबल्स के डिस्ट्रीब्यूशन लॉ को नहीं जान सकते, लेकिन हम उनके वेरिएन्स को जानते हैं $$$\ _ सिग्मा_ \ xi$ और $$$\ _ sigma_ \ eta$ । ध्यान दें कि संस्करण समय पर निर्भर नहीं करते हैं (पर) $$$k$ ) इसी वितरण कानूनों के बाद से न तो।
• हम मानते हैं कि सभी यादृच्छिक त्रुटियाँ एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं: उस समय त्रुटि $$$k$ उस समय त्रुटि पर निर्भर नहीं करता है $$$k '$ ।

ध्यान दें कि एक निस्पंदन समस्या एक चौरसाई समस्या नहीं है। हमारा उद्देश्य संवेदक के डेटा को सुचारू बनाना नहीं है, हम केवल उस मूल्य को प्राप्त करना चाहते हैं जो वास्तविक समन्वय के जितना संभव हो उतना करीब है $$$x_k$ ।

कलमन एल्गोरिथ्म

हम एक प्रेरण का उपयोग करेंगे। कल्पना कीजिए कि कदम पर $$$k$ हमने पहले ही फ़िल्टर किए गए सेंसर का मान ढूंढ लिया है $$$x ^ {ऑप्ट}$ , जो कि वास्तविक समन्वय का एक अच्छा अनुमान है $$$x_k$ । याद रखें कि हम उस समीकरण को जानते हैं जो वास्तविक समन्वय को नियंत्रित करता है:

$$

$$x_ {k + 1} = x_k + u_k + \ xi_k$$

इसलिए सेंसर के मूल्य प्राप्त करने से पहले हम यह कह सकते हैं कि यह वह मूल्य दिखाएगा जो कि करीब है $$$x ^ {ऑप्ट} + u_k$ । दुर्भाग्य से अभी तक हम कुछ अधिक सटीक नहीं कह सकते हैं। लेकिन कदम पर $$$k + 1$ हम सेंसर से एक गैर सटीक रीडिंग होगा $$$z_ {k + 1}$ ।
कलमन का विचार निम्नलिखित है। वास्तविक समन्वय का सर्वोत्तम अनुमान प्राप्त करने के लिए $$$x_ {k + 1}$ हमें गैर सटीक सेंसर के पढ़ने के बीच एक सुनहरा मध्य मिलना चाहिए $$$z_ {k + 1}$ और $$$x ^ {ऑप्ट} + u_k$ - हमारी भविष्यवाणी, जिसे हमने सेंसर पर देखने की उम्मीद की है। हम एक वजन देंगे $$$K$ सेंसर के मूल्य और $$$(1-K)$ अनुमानित मूल्य:

$$

$$x ^ {opt} _ {k + 1} = K \ cdot z_ {k + 1} + ((1-K) \ cdot (x_k ^ {opt} + u_k)$$

गुणांक $$$K$ को कलमन गुणांक कहा जाता है। यह चलना सूचकांक पर निर्भर करता है, और कड़ाई से बोलना चाहिए जो हमें लिखना चाहिए $$$K_ {k + 1}$ । लेकिन सूत्रों को एक अच्छे आकार में रखने के लिए हम सूचकांक को छोड़ देंगे $$$K$ ।
हमें कलमन गुणांक का चयन उस तरह से करना चाहिए जैसा कि अनुमानित समन्वय करता है $$$x ^ {ऑप्ट} _ {के + 1}$ वास्तविक समन्वय के लिए जितना संभव हो उतना करीब होगा $$$x_ {k + 1}$ ।
उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि हमारा सेंसर बहुत सुपर सटीक है तो हम इसके पढ़ने पर भरोसा करेंगे और उसे एक बड़ा वजन देंगे () $$$K$ एक के करीब है)। यदि सेंसर इसके विपरीत सटीक नहीं है, तो हम अपने सैद्धांतिक रूप से अनुमानित मूल्य पर भरोसा करेंगे $$$x ^ {ऑप्ट} _k + u_k$ ।
सामान्य स्थिति में, हमें अपने अनुमान की त्रुटि को कम करना चाहिए:

$$

$$e_ {k + 1} = x_ {k + 1} -x ^ {opt} _ {k + 1}$$

हम समीकरण (1) (जो नीले फ्रेम पर हैं) का उपयोग करते हैं, त्रुटि के लिए समीकरण को फिर से लिखने के लिए:

$$

$$e_ {k + 1} = (1-K) (e_k + \ xi_k) - K \ eta_ {k + 1}$$

अब चर्चा करने का समय आ गया है, "त्रुटि को कम करने के लिए" अभिव्यक्ति का क्या अर्थ है? हम जानते हैं कि त्रुटि एक यादृच्छिक चर है इसलिए हर बार अलग-अलग मान लेते हैं। दरअसल उस सवाल पर कोई अनोखा जवाब नहीं है। इसी तरह यह एक यादृच्छिक चर के विचरण के मामले में था, जब हम इसकी संभावना घनत्व समारोह की विशेषता चौड़ाई का अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे थे। इसलिए हम एक साधारण मानदंड चुनेंगे। हम वर्ग का एक मतलब कम से कम होगा:

$$

$$E (e ^ 2_ {k + 1}) \ rightarrow min$$

आइए हम अंतिम अभिव्यक्ति को फिर से लिखें:

$$

$$E (e ^ 2_ {k + 1}) = ((1-K) ^ 2 (E_k ^ 2 + \ sigma ^ 2_ \ xi) + K ^ 2 \ sigma ^ 2_ \ eta$$

अंतिम अभिव्यक्ति इसका न्यूनतम मूल्य लेती है, जब इसकी व्युत्पत्ति शून्य होती है। तो कब:

$$

$$\ displaystyle K_ {k + 1} = \ frac {Ee ^ 2_k + \ sigma ^ 2_ \ xi} {Ee ^ 2_k + \ sigma ^ 2_ \ xi + \ sigma ^ 2_ \ eta}$$

यहां हम कलमन गुणांक को अपनी उपधारा के साथ लिखते हैं, इसलिए हम इस तथ्य पर जोर देते हैं कि यह चलना के कदम पर निर्भर करता है। हम माध्य वर्ग त्रुटि के लिए समीकरण का विकल्प देते हैं $$$E (e ^ 2_ {k + 1})$ कलमन गुणांक $$$K_ {k + 1}$ जो इसके मूल्य को कम करता है:

$$

$$\ displaystyle E (e ^ 2_ {k + 1}) = \ frac {\ _ sigma ^ 2_ \ eta (Ee ^ 2_k + \ sigma ^ 2_ \ xi)} {Ee - 2_k + \ sigma ^ 2_ \ xi + \ sigma ^ 2_ \ eta}$$

इसलिए हमने अपनी समस्या हल कर ली है। हमें कलमैन गुणांक की गणना करने के लिए पुनरावृति सूत्र मिला।

उदाहरण

इस लेख की शुरुआत से कथानक पर काल्पनिक जीपीएस सेंसर से फ़िल्टर किए गए डेटम हैं, जो काल्पनिक कार पर बसे हैं, जो निरंतर त्वरण के साथ चलते हैं $$$एक$ ।

$$

$$x_ {t + 1} = x_t + at \ cdot dt + \ xi_t$$

विश्लेषण

अगर कोई यह देखता है कि कलमैन गुणांक कैसे करता है $$$K_k$ पुनरावृति से परिवर्तन $$$k$ , यह देखना संभव है कि यह निश्चित मूल्य को स्थिर करता है $$$K_ {छुरा}$ । उदाहरण के लिए, यदि चौकोर का अर्थ है सेंसर और मॉडल एक-दूसरे के प्रति दस से एक के रूप में सम्मान करते हैं, तो पुनरावृत्ति कदम से कलामन गुणांक निर्भरता की साजिश निम्नलिखित होगी:


अगले उदाहरण में हम चर्चा करेंगे कि कैसे हमारे जीवन को सरल बना सकता है।

दूसरा उदाहरण

व्यवहार में ऐसा होता है कि हम भौतिक मॉडल से लगभग कुछ भी नहीं जानते हैं कि हम क्या फ़िल्टर कर रहे हैं। कल्पना कीजिए कि आपने अपने पसंदीदा एक्सेलेरोमीटर से उस माप को फ़िल्टर करने का निर्णय लिया है। वास्तव में आप आगे नहीं जानते कि एक्सेलेरोमीटर कैसे स्थानांतरित किया जाएगा। केवल एक चीज जिसे आप जानते हैं कि सेंसर की त्रुटि का विचरण है $$$\ सिग्मा ^ 2_ \ eta$ । इस कठिन समस्या में हम भौतिक मॉडल से यादृच्छिक चर तक सभी अज्ञात जानकारी डाल सकते हैं $$$\ xi_k$ :

$$

$$x_ {k + 1} = x_k + \ xi_k$$

इस तरह की प्रणाली को सख्ती से बोलने से उस स्थिति को संतुष्ट नहीं किया जाता है जिसे हमने यादृच्छिक चर पर लगाया है $$$\ xi_k$ । चूंकि यह हमारे लिए आंदोलन की भौतिकी के लिए अज्ञात जानकारी रखता है। हम यह नहीं कह सकते कि यह अलग-अलग समय है जब त्रुटियां एक-दूसरे से स्वतंत्र होती हैं और उनके साधन शून्य के बराबर होते हैं। दूसरे शब्दों में, इसका मतलब है कि इस तरह की स्थितियों के लिए कलमन सिद्धांत लागू नहीं होता है। लेकिन वैसे भी हम कलमन सिद्धांत की मशीनरी का उपयोग करने के लिए कुछ उचित मूल्यों का चयन करके कोशिश कर सकते हैं $$$\ sigma_ \ xi ^ 2$ और $$$\ sigma_ \ eta ^ 2$ फ़िल्टर किए गए डेटम का सिर्फ एक अच्छा ग्राफ प्राप्त करने के लिए।
लेकिन एक बहुत सरल तरीका है। हमने देखा कि कदम बढ़ाने के साथ $$$k$ कलमन गुणांक हमेशा निश्चित मान को स्थिर करता है $$$K_ {छुरा}$ । इसलिए गुणांक के मूल्यों का अनुमान लगाने के बजाय $$$\ _ सिग्मा ^ 2_ \ xi$ और $$$\ सिग्मा ^ 2_ \ eta$ और कलमैन गुणांक की गणना $$$K_k$ कठिन सूत्रों द्वारा, हम मान सकते हैं कि यह गुणांक स्थिर है और बस इस स्थिरांक का चयन करें। यह धारणा फ़िल्टरिंग परिणामों पर बहुत अधिक प्रभाव नहीं डालेगी। पहले तो हम वैसे भी कलमन मशीनरी हमारी समस्या के लिए बिल्कुल लागू नहीं है और दूसरी बात यह है कि कलमैन गुणांक जल्दी स्थिर हो जाता है। अंत में सब कुछ बहुत सरल हो जाता है। हमें कलमान सिद्धांत से लगभग किसी भी सूत्र की आवश्यकता नहीं है, हमें बस एक उचित मूल्य का चयन करने की आवश्यकता है $$$K_ {छुरा}$ और पुनरावृति सूत्र में सम्मिलित करें

$$

$$x ^ {opt} _ {k + 1} = K_ {stab} \ cdot z_ {k + 1} + ((1-K_ {stab}) \ cdot x_k ^ {opt}$$

अगले ग्राफ पर आप एक काल्पनिक सेंसर से दो अलग-अलग तरीकों से माप को फ़िल्टर कर सकते हैं। पहली विधि ईमानदार है, जो कलमन सिद्धांत के सभी सूत्रों के साथ है। दूसरी विधि सरलीकृत एक है।


हम देखते हैं कि इस दो तरीकों में बहुत बड़ा अंतर नहीं है। शुरुआत में थोड़ी भिन्नता है, जब कलमन गुणांक अभी भी स्थिर नहीं है।

विचार-विमर्श

हमने देखा है कि कलामन फ़िल्टर का मुख्य विचार गुणांक चुनना है $$$K$ एक तरह से कि फ़िल्टर्ड मूल्य

$$

$$x ^ {ऑप्ट} _ {k + 1} = Kz_ {k + 1} + (1-K) (x ^ {ऑप्ट} _k + u_k)$$

औसत में वास्तविक समन्वय के लिए जितना संभव हो उतना करीब होगा $$$x_ {k + 1}$ । हम देखते हैं कि फ़िल्टर किया गया मान $$$x ^ {ऑप्ट} _ {के + 1}$ सेंसर की माप से एक रैखिक कार्य है $$$z_ {k + 1}$ और पिछला फ़िल्टर किया गया मान $$$x ^ {ऑप्ट} _k$ । लेकिन पिछले फ़िल्टर किए गए मान $$$x ^ {ऑप्ट} _k$ स्वयं सेंसर के माप का एक रैखिक कार्य है $$$z_k$ और पूर्व-पूर्व फ़िल्टर किया गया मान $$$x ^ {ऑप्ट} _ {k-1}$ । और इसलिए श्रृंखला के अंत तक। इसलिए फ़िल्टर किया गया मान रैखिक रूप से पिछले सभी सेंसर के रीडिंग पर निर्भर करता है:

$$

$$x ^ {ऑप्ट} _ {k + 1} = \ lambda + \ lambda_0z_0 + \ ldots + \ lambda_ {k + 1} z_ {k + 1}$$

यही कारण है कि कलमन फ़िल्टर को रैखिक फ़िल्टर कहा जाता है। यह साबित करना संभव है कि कलमन फ़िल्टर सभी रैखिक फिल्टर से सर्वश्रेष्ठ है। इस अर्थ में सबसे अच्छा है कि यह त्रुटि के एक वर्ग औसत को कम करता है।

बहुआयामी मामला

बहुआयामी मामले में सभी कलमन सिद्धांत को सामान्य बनाना संभव है। फार्मूले कुछ अधिक विस्तृत लगते हैं, लेकिन उनके व्युत्पन्न होने का विचार अभी भी एक आयाम में है। उदाहरण के लिए, इस अच्छे वीडियो में आप उदाहरण देख सकते हैं।

साहित्य

मूल लेख जो कलमन द्वारा लिखा गया है, आप यहाँ डाउनलोड कर सकते हैं:
http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/Kalman1960.pdf