समस्या कथन

मैं दूसरे दिन इंटरनेट पर सर्फिंग कर रहा था और एक बहुत ही उत्सुक चीज ने मेरा दिमाग पकड़ लिया: मेंडोकिनो मोटर । यह एक अत्यंत कम घर्षण वाला रोटर है: मूल में दो सुइयों पर एक ग्लास सिलेंडर लटका हुआ था, लेकिन आधुनिक लोग चुंबकीय निलंबन का उपयोग करते हैं। यह एक ब्रशलेस इंजन है: रोटर में सोलर बैटरी लगी होती है, जो रोटर के चारों ओर लिपटे कॉयल के लिए करंट उत्पन्न करती है। रोटर एक निश्चित चुंबकीय क्षेत्र में घूमता है, सौर बैटरी एक के बाद एक प्रकाश स्रोत के संपर्क में आ रही है। यह एक बहुत ही सुंदर समाधान है जो घर पर बहलाना संभव है।

यहाँ वीडियो है जो बताता है कि यह कैसे काम करता है (रूसी में):


लेकिन इस वीडियो में इंजन की तुलना में एक और उत्सुकता थी। वीडियो वर्णन में दिमित्री कोरज़ेव्स्की लिखते हैं: "आप चुंबक के साथ साइड सपोर्ट को नहीं बदल सकते हैं! अब इस बारे में मुझसे मत पूछो! "

DIsc अस्वीकरण: मैं भौतिकी विशेषज्ञ नहीं हूं और कुछ चीजों में बहुत गलत हो सकता है, इसलिए सुधारों का स्वागत है।



आइए एक बार फिर चर्चा करते हैं कि रोटर के चुंबकीय निलंबन प्रणाली कैसे काम करती है। यदि हम दो मैग्नेट लेते हैं, तो संभावित आइसोलिन इस तरह दिखता है, जो मैग्नेट के बीच की दूरी पर निर्भर करता है:



तो, हम एक स्टेटर पर दो स्थिर मैग्नेट लगाते हैं। रोटर के अक्ष पर रखा गया चुंबक बग़ल में नहीं जाना चाहेगा, क्योंकि संभावित आइसोलिन में एक निश्चित स्थानीय न्यूनतम बिंदु होता है। इसके बजाय, यह रोटर के अक्ष के साथ बाहर पॉप करना चाहेगा। हम इनमें से दो सिस्टम बनाते हैं और अंत में, रोटर का अक्ष रेडियल रूप से स्थिर होता है, लेकिन बाद में अस्थिर होता है। हम एक ग्लास की दीवार और वॉयला के खिलाफ रोटर को बांधकर इसे ठीक करते हैं - हमारे पास कम-घर्षण असर है।

लेकिन कांच की दीवार थोड़ी है ... सौंदर्यवादी रूप से प्रसन्न नहीं है, है ना? यह केवल तार्किक है हम रोटर को पूरी तरह से हवा में निलंबित करना चाहते हैं, इस तरह की कोई यांत्रिक बैसाखी के साथ। और जाहिर है, दिमित्री एक ही सवाल के साथ बमबारी की गई थी, यही वजह है कि उसे विवरण में सही नोट करना पड़ा कि यह असंभव है। और मुझे यकीन है कि दिमित्री केवल वह नहीं है जो इस से थक गया है।

हमें यह देखने दो , मैं बोली:

यदि इस आरेख में बेस मैग्नेट को फैलाया और उन्मुख किया जाता है तो क्या होगा? क्या यह अक्षीय विमान में स्थिरता देगा, और दर्पण की आवश्यकता को दूर करेगा?

या यहाँ , मैं बोली:

मेंडोकिनो मोटर पर एक पक्ष मुक्त क्यों तैरता है जबकि दूसरे में एक दीवार पर एक टिप होता है? मुझे पता है कि प्रश्न तुच्छ लग सकता है, लेकिन मैंने इस विचार पर काम किया है कि शाफ्ट के दोनों किनारों पर काउंटर बल के रूप में उपयोग करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समान मैग्नेट का उपयोग क्यों नहीं किया जाता है? मैंने जो भी मतलब है उसका एक बहुत मोटा jpg संलग्न किया। शाफ्ट के अंत में हरे रंग के मैग्नेट का जिक्र है। क्या कोई सिद्धांत या कानून इसे रोक रहा है?

हम देख सकते हैं कि दुनिया भर में बहुत से लोग इस अनैतिक रूप से यांत्रिक भाग से छुटकारा पाना चाहते हैं। मैं अपनी विद्वानों में वापस बहुत ध्यान नहीं दे रहा था, इसलिए यह मेरे लिए बिल्कुल स्पष्ट नहीं था कि पूरी तरह से स्थिर चुंबकीय निलंबन प्रणाली क्यों संभव नहीं थी। एक दिन दोपहर के भोजन में मैंने अपने पर्यवेक्षक से एक विश्व-प्रसिद्ध वैज्ञानिक (अनुप्रयुक्त गणित में, भौतिकी में नहीं) से यह प्रश्न पूछा: "यह असंभव क्यों है?"। और तुम जानते हो क्या, वह यह भी नहीं जानता था!

ऊपर पोस्ट किए गए फ़ोरम ने भी उस प्रश्न का उचित उत्तर नहीं दिया। सर्वश्रेष्ठ-मामले में, किसी ने इर्नशॉ के प्रमेय नामक किसी चीज का उल्लेख किया, जो पहली नज़र में समझने के लिए उधार नहीं देता है। इसमें कहा गया है कि: बिंदु प्रभार का एक संग्रह स्थिर स्थिर संतुलन विन्यास में केवल आरोपों के इलेक्ट्रोस्टैटिक बातचीत द्वारा बनाए नहीं रखा जा सकता है। क्या आपको मिल गया? मैं निश्चित रूप से नहीं किया। मान लीजिए कि मैं उन तथ्यों को स्वीकार कर सकता हूं, जिनके बारे में हम आरोपों के बारे में बात कर रहे हैं, न कि मैग्नेट। फिर क्या?

पहला दृष्टांत

जब मैं किसी चीज के चारों ओर अपना सिर नहीं लपेट सकता, तो मैं उसे खींचता हूं। सरलता के लिए, यह 2 डी में स्पष्ट करते हैं। चौकोर पैटर्न में रखे गए चार स्थिर आवेशों की कल्पना कीजिए, और केंद्र में एक नि: शुल्क प्रभार। इस तरह:



संतुलन में स्वतंत्र प्रभार नहीं है, फिर? कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कहाँ चलता है, यह एक निश्चित शुल्क के करीब जाता है, जिससे पुश बल बढ़ता है! आइए एक नि: शुल्क चार्ज की संभावित ऊर्जा का एक नक्शा खींचने की कोशिश करें। मुझे स्कूल में भौतिकी की बहुत सी कक्षाएं याद आती हैं, इसलिए मेरे ज्ञान का भंडार विकिपीडिया है। इसलिए, यदि आपके पास केवल एक निश्चित शुल्क है, तो यह आसपास के क्षेत्र में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता बनाता है:

निर्वात में एक बिंदु आवेश के इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता (या कूलम्ब क्षमता) के लिए समीकरण:

मेरे विचार के सभी प्रयोगों में सभी गुणांक 0 या 1 हैं। इसलिए q आवेश 1 है, और अज्ञात k भी 1. है। इसका मतलब है कि एक निश्चित आवेश 1 / r के रूप में मापी जाने वाली संभावित ऊर्जा बनाता है, जहाँ r की दूरी है। प्रभारी।

हमारे मामले में, फिक्स्ड चार्ज के क्षेत्र के भीतर फ्री चार्ज की संभावित ऊर्जा भी 1 / r के बराबर होती है। (निष्पक्ष होने के लिए, ऊर्जा k * q1 * q2 / r के बराबर होती है, लेकिन हम गणना को आसान बनाने के लिए गुणांक उठाते हैं)। कई शुल्कों के लिए हम बस सभी संभावनाओं को जोड़ते हैं।

आइए हम अपने मुफ़्त चार्ज की संभावित ऊर्जा का एक नक्शा बनाते हैं। मैं इसके लिए ऋषि का उपयोग करता हूं:

var('x,y') def unit_potential(a,b,x,y): return 1/(sqrt((xa)^2 + (yb)^2)) def system_potential(x,y): return unit_potential(1,1,x,y)+unit_potential(-1,1,x,y)+unit_potential(1,-1,x,y)+unit_potential(-1,-1,x,y) contour_plot(system_potential(x,y), (x, -2, 2), (y, -2, 2), cmap='hsv', contours=30, region=5-system_potential(x,y), figsize=12, colorbar=True) 

हमारा नक्शा है। श्वेत (छिद्रित) बिंदु वह जगह है जहां संभावित ऊर्जा अनंत हो जाती है:



हम केंद्र में ऊर्जा के स्थानीय न्यूनतम स्तर को स्पष्ट रूप से देखते हैं। जहां भी केंद्र प्रभारी स्थानांतरित करना चाहता है, ऊर्जा बढ़ेगी, इसलिए छोटी गड़बड़ी इसे केंद्र में वापस लाएगी - स्थिर संतुलन का बिंदु। क्या अर्णवश गलत था, तब? नहीं, वह नहीं था, मैंने सिर्फ दृष्टांत गलत तरीके से दिया। और यह सवाल पूछने वाले लोगों में एक आम गलती है। अब कुछ मिनट के लिए रुकें और अनुमान लगाएं: मुझे क्या याद आया?

वास्तव में, इस मामले में, गलती यह थी कि द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, निश्चित आवेश -Ln r के रूप में मापी गई संभावित ऊर्जा बनाता है, जहाँ r आवेश की दूरी है, और 1 / r नहीं। बस समय के लिए मेरे शब्द ले लो और मुझे बहुत कुछ समझाए बिना समीकरण को सही करने दें। सही कोड इस तरह दिखता है:

 var('x,y') def unit_potential(a,b,x,y): return -ln(sqrt((xa)^2 + (yb)^2)) def system_potential(x,y): return unit_potential(1,1,x,y)+unit_potential(-1,1,x,y)+unit_potential(1,-1,x,y)+unit_potential(-1,-1,x,y) contour_plot(system_potential(x,y), (x, -2, 2), (y, -2, 2), cmap='hsv', contours=30, region=5-system_potential(x,y), figsize=12, colorbar=True) 

और यह वह मानचित्र है जो इसका उत्पादन करता है:



ध्यान दें कि कहीं भी स्थानीय न्यूनतम नहीं है। केंद्र काठी बिंदु है, या अस्थिर संतुलन का बिंदु है। जैसे ही नि: शुल्क शुल्क केंद्र से दूर एक माइक्रोन ले जाता है, यह अनिवार्य रूप से सिस्टम से बाहर उड़ जाएगा, जिस तरह से तेजी से,

एक सेकंड पर लटकाएं, आपने समीकरण को क्या किया?

शुरू में, जब मुझे एहसास हुआ कि मेरी गणना पूरी तरह से इर्नशॉ प्रमेय के विपरीत है, मुझे एहसास हुआ कि मैंने कहीं न कहीं गलती की है। शुरू से ही मेरे कदमों का पता लगाना सबसे आसान है। मैंने एक गहरी सांस ली और मैक्सवेल के समीकरणों के बारे में पढ़ने लगा। फिर से, मैं स्कूल में बहुत अच्छा नहीं था: ग्रेड में नहीं (ये उत्कृष्ट थे), लेकिन ज्ञान की मात्रा में मैंने इससे दूर ले लिया। उदाहरण के लिए, मैं तुरंत मैक्सवेल समीकरणों को भूल गया, क्योंकि विश्वविद्यालय और उससे परे मुझे उनके साथ काम नहीं करना था।

यह पता चला है कि वे काफी सरल हैं, खासकर अगर हम इलेक्ट्रोस्टैटिक कानूनों के बारे में बात कर रहे हैं! चार मैक्सवेल समीकरण हैं, इनमें से प्रत्येक कानून के लिए एक:

• गौस कानून, हमें बाद में इसकी आवश्यकता होगी। संक्षेप में, यह एक संरक्षण कानून है: ऊर्जा को कुछ भी नहीं बनाया जा सकता है, न ही इसे नष्ट किया जा सकता है।
• चुंबकीय क्षेत्र के लिए गॉस कानून, जो मूल रूप से एक ही बात है। और हम चुंबकीय क्षेत्र में अभी तक नहीं गए हैं, क्योंकि हम केवल चार्ज कणों के बारे में बात कर रहे हैं। उस कानून को छोड़ो।
• फैराडे कानून: गतिमान चुम्बक एक विद्युत क्षेत्र बनाते हैं। यह दिलचस्प है, हम इसे बाद में देखेंगे।
• एम्परर कानून: एक विद्युत क्षेत्र को स्थानांतरित करना एक चुंबकीय क्षेत्र बनाता है। हमारे उद्देश्यों के लिए बेकार।

तो, ये चार कानून दो वैक्टर ई और बी, बिजली और चुंबकीय क्षेत्र को बांधते हैं। ये वैक्टर चार तर्कों (एक्स, वाई, जेड, टी) के साथ कार्य करते हैं और प्रत्येक चार तर्क एक तीन आयामी वेक्टर के खिलाफ एक दूसरे से अलग हो जाते हैं। हम चुंबकीय क्षेत्र में दिलचस्पी नहीं रखते हैं, इसलिए आइए इलेक्ट्रिक क्षेत्रों, या ई (x, y, z, t) पर एक नज़र डालें। हम इलेक्ट्रोस्टैटिक दायरे में मत भूलना, इसलिए ई समय भर में स्थिर है। आप एक नदी के रूप में इस सदिश की कल्पना कर सकते हैं, जहां प्रत्येक बिंदु पर हम कहते हैं कि पानी कहां और कितनी तेजी से जाता है।

फैराडे कानून कहता है कि एक समय-स्थिर ई फ़ील्ड (हम वहां इलेक्ट्रोस्टैटिक्स बात कर रहे हैं) में कोई कर्ल नहीं है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता विद्युत क्षेत्रों से कैसे जुड़ी है? सरल: यदि ई क्षेत्र कर्ल-कम है (जैसा कि वहां मामला है), तो हम यू को इस तरह से बना सकते हैं कि (नदी के उदाहरण पर वापस जा रहे हैं), पानी की 1 मीटर की परत (सभी ऊंचाइयों पर) से ढका हुआ है! ) और "रिलीज: यह, जल प्रवाह की गति और दिशा ई क्षेत्र का निर्माण करेगा। या, गणित के संदर्भ में, यह एक स्केलर यू फ़ंक्शन को खोजने के लिए संभव है, जिसके ढाल ई क्षेत्र के बराबर है।

गौस कानून कहता है: एक छोटा सा पड़ोस लो। यदि हमने इसमें जानबूझकर शुल्क नहीं लगाया है, तो पड़ोस में बहने वाले "पानी" की मात्रा बहने वाली राशि के बराबर है। यदि हम स्मार्ट ध्वनि देना चाहते हैं, तो ई क्षेत्र का विचलन शून्य है।

याद रखें: ई फ़ील्ड स्केलर फ़ंक्शन यू का व्युत्पन्न है। यदि इसका विचलन शून्य है, तो इसका मतलब है कि यू का लैपलियन शून्य है। लाप्लासियन फ़ंक्शन के "वक्रता" के लिए एक स्मार्ट शब्द है। यदि हम एक-चर कार्यों के बारे में बात कर रहे हैं, तो लैपेलियन केवल दूसरा व्युत्पन्न है। दो-चर कार्यों में, लैपलियन दो व्युत्पन्न का योग है। यदि यह शून्य के बराबर है, तो एक दिशा में वक्रता को दूसरी दिशा में वक्रता द्वारा रद्द किया जाना चाहिए। मतलब, क्रिस्प्स मौजूद हो सकते हैं:



लेकिन शून्य-लैपेलियन फ़ंक्शन में स्थानीय न्यूनतम (या अधिकतम) नहीं है, जिसका अर्थ है कि क्रिस्प्स की अनुमति है, लेकिन पहाड़ियों को निम्नलिखित हैं:



कल्पना कीजिए कि (कर्व्ड) सर्कल के तार साबुन के पानी में डूब जाएंगे। साबुन फिल्म तब एक शून्य-लैपेलियन सतह बनाती है:



यह तथाकथित "न्यूनतम सतह" होगा। साबुन फिल्म जितना संभव हो उतना छोटा होने की कोशिश करती है, इसलिए यह तर्कसंगत है कि अगर यह एक निश्चित स्थानीय अधिकतम होता है, तो हम इसे चिकना करके एक छोटी फिल्म करेंगे, इसलिए कोई भी नहीं है। इसलिए, इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता एक न्यूनतम सतह का एक प्रकार है जिसमें स्थानीय अधिकतम नहीं होता है (जब तक कि हमने आरोपों को जानबूझकर नहीं रखा है)।

1 / आर फ़ंक्शन में तीन आयामों में एक शून्य लैपेलियन है, लेकिन दो में नहीं! यदि हम दो-आयामी उदाहरणों को आकर्षित करना चाहते हैं, तो हमें एक डिरिक्लेट समस्या को हल करना होगा - 2 डी के लिए, यह -ln आर।

1- या 2-आयामी अंतरिक्ष में उलटा वर्गों के फार्मूले का उपयोग शेष अक्षों के साथ प्रभार के आंदोलन को किसी अन्य तरीके से प्रतिबंधित करने के लिए मेल खाता है। इस मामले में, यह स्पष्ट है कि एक स्थिर विन्यास बनाना संभव है - बस एक कार्डबोर्ड ट्यूब लें, इसे लंबवत रखें और इसके चुंबक को नीचे रखें। फिर वहां एक और चुंबक को रखना संभव है जो संतुलन में होगा - क्षैतिज रूप से यह ट्यूब द्वारा प्रतिबंधित है (यानी यह एक आयामी स्थान में है), और एक ऊर्ध्वाधर बल पर और एक चुंबक के प्रतिकर्षण का असंतुलन होता है। इर्नशॉ के प्रमेय को या तो व्युत्क्रम वर्गों के कानून के साथ लागू करने की आवश्यकता है - लेकिन 3 डी में, या किसी भी आयाम के स्थान पर, लेकिन संबंधित क्षमता के साथ। "कॉरेस्पोंडिंग" का अर्थ है मैक्सवेल के समीकरणों से प्राप्त किया गया।

इर्नशॉ की प्रमेय और उसके परिणाम

इसलिए, एक मुक्त आवेशित कण के साथ हमारे उदाहरण पर वापस जा रहे हैं। इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की क्षमता में स्थानीय न्यूनतम नहीं होते हैं और, कण की संभावित ऊर्जा में स्थानीय न्यूनतम नहीं होते हैं। इसलिए एक कण स्थिर क्षेत्र में स्थिर संतुलन तक नहीं पहुंच सकता है। बधाई हो, हमने सिर्फ एर्नशॉ प्रमेय साबित किया है। लेकिन अधिक जटिल प्रणालियों के बारे में कैसे? वहां प्रमेय कैसे लागू करें?

यहाँ एक और उदाहरण है, जो मेरे बॉस के अनुसार, अर्नेश प्रमेय को बाधित करना चाहिए था। आइए दो आरोपों को ठीक करें और दोनों छोरों पर आवेशों के साथ वजन-रहित अस्थिर छड़ी से मिलकर एक गतिशील शरीर बनाएं:



सहज रूप से, यदि हम छड़ी को बाएं या दाएं से थोड़ा आगे बढ़ाते हैं, तो सिरों में से एक निश्चित शुल्क के करीब पहुंच जाएगा, जो इसे दूर धकेल देगा और छड़ी को मूल स्थिति में वापस लौटा देगा। तो क्या पकड़ है? आइए दो स्थिर आवेशों के इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता का एक नक्शा बनाएं:

 var('x,y') def unit_potential(a,b,x,y): return -ln(sqrt((xa)^2 + (yb)^2)) def system_potential(x,y): return unit_potential(0,1,x,y)+unit_potential(0,-1,x,y) contour_plot(system_potential(x,y), (x, -2, 2), (y, -2, 2), cmap='hsv', contours=30, figsize=12, colorbar=True) 

हम अपनी छड़ी की संभावित ऊर्जा का वर्णन कैसे करते हैं? छड़ी में स्वतंत्रता के तीन डिग्री (आंदोलन के लिए दो और रोटेशन के लिए एक) है, इसलिए ग्राफ चार-आयामी होगा। आइए अब के लिए रोटेशन को अनदेखा करें और केवल छड़ी को साइड में ले जाने दें। हम एक छड़ी (उदाहरण के लिए, इसके केंद्र) पर एक बिंदु को ठीक करते हैं और इसके केंद्र के लिए छड़ी की संभावित ऊर्जा का नक्शा तैयार करते हैं। इस स्थिति में, छड़ी की कुल संभावित ऊर्जा दोनों छोरों पर इसके आवेशों की संभावित ऊर्जा का योग है:

 var('x,y') def unit_potential(a,b,x,y): return -ln(sqrt((xa)^2 + (yb)^2)) def system_potential(x,y): return unit_potential(0,1,x,y)+unit_potential(0,-1,x,y) def energy(x,y): return system_potential(x+2,y)+system_potential(x-2,y) contour_plot(energy(x,y), (x, -3, 3), (y, -2, 2), cmap='hsv', contours=30, figsize=12, colorbar=True) 

तो, स्टिक की ऊर्जा में चार चोटियाँ होती हैं (प्रत्येक छोर दो में से प्रत्येक चार्ज को मार सकता है)। जैसा कि अपेक्षित था, छड़ी क्षैतिज रूप से नहीं चलेगी - इसके बजाय, यह लंबवत रूप से आगे बढ़ेगी!

यह केवल तार्किक है, क्योंकि हमें ऊर्जा कैसे मिली? हमने प्रत्येक शुल्क की संभावित ऊर्जा को जोड़ा। हम जानते हैं कि प्रत्येक आवेश की संभावित ऊर्जा एक शून्य-लैपलियन फ़ंक्शन है। इसका योग, इसलिए एक शून्य लैपेलियन भी है। इसलिए, किसी भी चार्ज किए गए शरीर की संभावित ऊर्जा (न केवल हमारी छड़ी!) एक स्थिर विद्युत क्षेत्र में न्यूनतम नहीं हो सकती है!

निष्कर्ष

उन लोगों के चुंबकीय और विद्युत क्षेत्रों की सहज छवियां जो भौतिकी में निकटता से काम नहीं करते हैं, भ्रामक हो सकते हैं। हमारा दिमाग हमें एनर्जी मिनिमम की इमेज बनाकर बेवकूफ बनाता है। दुर्भाग्य से, यह मामला नहीं है, और यांत्रिक सहायता के बिना मेंडोकिनो मोटर बनाना बहुत मुश्किल है, अगर असंभव नहीं है।

शोषण करने के लिए क्या खामियां हैं? इर्नशॉ का प्रमेय (यदि हम इसे मैग्नेट पर लागू करते हैं) केवल स्थिर, स्थिर मैग्नेट की प्रणालियों पर लागू होता है।

1. हम एक गतिशील चुंबकीय क्षेत्र बना सकते हैं।
2. डायनामैग्नेटिज्म और सुपरकंडक्टर्स भी अर्नेश प्रमेय के अंतर्गत नहीं आते हैं।
3. चलती (और विशेष रूप से, घूर्णन) निकायों पर चर्चा नहीं की जाती है, लेविट्रॉन सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है।

नहीं, यह निराशाजनक नहीं है। यकीन है, इन खामियों में से किसी का उपयोग कर एक मेंडोसिनो मोटर के सौंदर्यशास्त्र को मार दिया जाएगा, लेकिन एक स्वतंत्र रूप से लेविटेटिंग धातु की वस्तु का जादू सभी को लुभाएगा!

अंतिम नोट: यह इर्नशॉ का प्रमेय था जो ठोस पदार्थ के गैर-अस्तित्व को साबित करता है, इसलिए एक परमाणु के स्वीकृत मॉडल को अस्वीकार कर रहा है, जिससे "ग्रह" परमाणु मॉडल का जन्म हुआ।