खेल के गणितीय मॉडल डब्बल

कठिनाई स्तर पढ़ना

• मैं सोचने के लिए बहुत छोटा हूं

  
  
  • परिचय और खेल के नियम
  • वे इसे कैसे करते हैं?
  • डोबबल के लिए हादसा मैट्रिक्स
  • खेल में कौन से दो कार्ड गायब हैं?
  • खेल में अधिकतम संभव 2 कार्ड से कम क्यों है?
  • धन्यवाद
  
  

• मुझे स्मार्ट बनाओ

  
  
  • परिचय और खेल के नियम
  • वे इसे कैसे करते हैं?
  • कार्ड का इससे क्या लेना-देना है?
  • छोटे आदेशों के प्रक्षेपी विमानों
  • डोबबल के लिए हादसा मैट्रिक्स
  • खेल में कौन से दो कार्ड गायब हैं?
  • खेल में अधिकतम संभव 2 कार्ड से कम क्यों है?
  • धन्यवाद
  
  

• बुरा सपना

  
  
  • परिचय और खेल के नियम
  • वे इसे कैसे करते हैं?
  • शिशुओं के लिए अंतिम ज्यामिति
  • कार्ड का इससे क्या लेना-देना है?
  • छोटे आदेशों के प्रक्षेपी विमानों
  • एक प्रक्षेपी विमान का निर्माण कैसे करें?
  • डोबबल के लिए हादसा मैट्रिक्स
  • खेल में कौन से दो कार्ड गायब हैं?
  • खेल में अधिकतम संभव 2 कार्ड से कम क्यों है?
  • धन्यवाद
  
  

परिचय और खेल के नियम

कुछ साल पहले मैंने डोबबल ( Dobble) खरीदा, इसका मूल नाम "स्पॉट इट!") है। यह एक बहुत ही सरल, तेज और मजेदार गेम है, जिसे मैं सामान्य रूप से सर्वश्रेष्ठ बोर्ड गेम में से एक मानता हूं।

प्रत्येक में 8 अलग-अलग प्रतीकों के साथ खेल सेट में 55 कार्ड हैं। ये कार्ड इस तरह दिखते हैं:

अंजीर। 1. गेम कार्ड का एक उदाहरण।

प्रत्येक दो कार्डों पर एक और केवल एक प्रतीक का मिलान होता है। उपरोक्त आकृति में, यह एक पेंसिल प्रतीक है:

अंजीर। 2. कार्ड पर पात्रों का मिलान।

जिस खिलाड़ी ने पहली बार मैच देखा था, वह खेल के दौर पर निर्भर करते हुए, ताश के पत्तों पर एक क्रिया करता है। उदाहरण के लिए, इसे खुद तक ले जाता है या किसी प्रतिद्वंद्वी को फेंक देता है।
अक्सर यह इस तथ्य की ओर जाता है कि जिन कार्डों के लिए खिलाड़ी मैचों की तलाश में हैं उनमें से एक बदल रहा है। इस वजह से, आपको एक नए मैच की तलाश करनी होगी, जो पूरी तरह से अलग प्रतीक हो:

अंजीर। 3, 4. पहले कार्ड को एक नए के साथ बदल दिया गया है। अब उनके बीच एक नया संयोग है - जोकर का प्रतीक।

वे इसे कैसे करते हैं?

पहली नज़र में, यह अविश्वसनीय लगता है कि दो कार्डों पर एक ही संयोग है, कोई और अधिक, कोई कम नहीं। सवाल तुरंत उठता है - खेल में कितने वर्ण हैं? वे बहुत कम नहीं हो सकते हैं (फिर कार्ड पर एक से अधिक मैच होंगे) या बहुत अधिक (फिर कार्ड पर कोई मैच नहीं हो सकता है)।
इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि प्रतीक एक विशेष क्रम में कार्ड पर स्थित हैं, जो कि किसी भी दो कार्ड के लिए एकमात्र मैच की गारंटी देता है।

Google प्राथमिक कौशल हमें स्टैकओवरफ़्लो वेबसाइट की ओर ले जाते हैं, जो बताता है कि ऐसा क्यों होता है: http://stackoverflow.com/questions/6240113/what-are-the-mathematical-computational-principles-behind-this-game

खेल परिमित ज्यामिति के सिद्धांतों का उपयोग करता है । यद्यपि इस वाक्यांश में शब्द "ज्यामिति" है, लेकिन यह अवधारणा ज्यामिति की तुलना में अधिक दहनशीलता को संदर्भित करती है। यह कई बिंदुओं के साथ संचालित होता है, जो कि, विशेष रूप से, एक प्रक्षेप्य तल के रूप में स्थित हो सकते हैं ।

खेल में कार्ड और प्रतीक 7 वें क्रम के अनुमानित विमान के तत्व हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक कार्ड पर n + 1 प्रतीक है, और खेल में अद्वितीय प्रतीकों की कुल संख्या n ^ 2 + n + 1 है , अर्थात। 57 अक्षर।

दोनों निचले और उच्चतर क्रम के विमान हैं। उदाहरण के लिए, एक 5 वा क्रम विमान है। इसके लिए, कार्ड पर 6 प्रतीकों को दिखाया गया है, और खेल में अद्वितीय प्रतीकों की कुल संख्या 5 ^ 2 + 5 + 1 = 31 है। इस कॉन्फ़िगरेशन के प्रोजेक्टिव प्ले का उपयोग गेम के सरल संस्करण में किया जाता है जिसे "डोबल 1,3,3" कहा जाता है।

प्रक्षेपवक्र के लिए बिंदु और रेखाओं के बीच संबंध घटना मैट्रिक्स का उपयोग करके सेट किया गया है । इसकी उपस्थिति "डोबबल गेम के लिए इंसिडेंस मैट्रिक्स" खंड में प्रस्तुत की गई है।

शिशुओं के लिए अंतिम ज्यामिति

मूल लेख लिखने से बहुत बाद में , मैंने अलेक्सी सवेटेव के एक व्याख्यान में भाग लिया, जहां उन्होंने प्रोजेक्टिव ज्यामिति के बारे में बहुत कम और अधिक समझने योग्य बात की। लेकिन चूंकि मेरे पास लेख के आधे हिस्से को फिर से लिखने की ताकत या इच्छा नहीं है, इसलिए मैं सिर्फ उनकी पुस्तक "मानविकी के लिए गणित" की सिफारिश करता हूं, अगर उँगलियों पर कार के उपकरण को समझाने के लिए मेरे प्रयास से यह समझ से बाहर या उबाऊ होगा।

सबसे पहले, विकिपीडिया पर जाएँ और कुछ लेख पढ़ें। पहला लेख परिमित ज्यामिति की अवधारणा का वर्णन करता है:

एक परिमित ज्यामिति किसी भी ज्यामितीय प्रणाली का एक परिमित संख्या वाला बिंदु है । [1]

अब तक, सब कुछ सरल है। यदि आप कागज पर एक कलम के साथ कई बिंदु खींचते हैं, तो वे पहले से ही कुछ प्रकार के परिमित ज्यामिति बनाएंगे।
एक आश्चर्य कई और इंतजार कर रहा है:

उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन ज्यामिति परिमित नहीं है, क्योंकि यूक्लिडियन रेखा में असीमित संख्या में अंक होते हैं, या यों कहें कि वास्तव में जितने अंक होते हैं, उतने ही अंक होते हैं। [1]

हमारे लिए, इसका मतलब है कि कागज का टुकड़ा, जिस पर हमारे बिंदु खींचे गए हैं , परिमित ज्यामिति के संदर्भ में एक विमान नहीं है । यह सिर्फ एक डॉट कैरियर है।

विमान पर दो प्रकार की ज्यामिति होती है: परिग्रह और प्रक्षेप्य । एफाइन ज्यामिति में, लाइनों के समानांतरवाद की सामान्य धारणा का उपयोग किया जाता है। [1]

स्मरण करें कि स्वयंसिद्ध वर्णन क्या ज्यामिति को दर्शाता है:

एक विमान पर Affine ज्यामिति एक गैर-रिक्त सेट X है (जिसके तत्वों को "अंक" कहा जाता है), L के X के सबसेट संग्रह के गैर-रिक्त संग्रह के साथ (जिनके तत्वों को "प्रत्यक्ष" कहा जाता है), जैसे:

1. दो अलग-अलग बिंदुओं के लिए, केवल एक ही रेखा होती है जिसमें दोनों बिंदु होते हैं।
2. एक पंक्ति और एक बिंदु p not से संबंधित नहीं है, वहाँ एक और केवल एक पंक्ति ℓ ℓ होती है जिसमें p होता है , जो ℓ ℓ ℓ ∅ = ℓ होता है ।
3. चार बिंदुओं में से कई हैं, जिनमें से कोई भी एक ही पंक्ति में नहीं है। [1]

ये स्वयंसिद्ध हमें यह समझने का अवसर देते हैं कि परिमित ज्यामिति में सरलतम समतल विमान कैसा दिखता है:

सरलतम समतल विमान में केवल 4 बिंदु होते हैं, और इसे दूसरे क्रम का समतल विमान कहा जाता है। अंकों की प्रत्येक जोड़ी एक अद्वितीय रेखा को परिभाषित करती है, इसलिए संकेतित विमान में 6 रेखाएं होती हैं। [1]

बहुत स्पष्ट नहीं है? यह सही है। यदि आप एफाइन ज्यामिति की परिभाषा को करीब से देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि यह सेट सिद्धांत (तत्व, सेट, उपधारा) की अवधारणाओं से संचालित होता है।
इसका मतलब यह है कि लाइनें यूक्लिडियन ज्यामिति की सामान्य लाइनों की तरह बिल्कुल भी नहीं दिख सकती हैं।

वास्तव में, यह है। यदि आप दूसरे क्रम के समतल विमान की तस्वीर देखते हैं, तो हम निम्नलिखित चित्र देखेंगे:

अंजीर। 5. दूसरे क्रम का एथेनियन विमान। (स्रोत ru.wikipedia.org )

यहां के बिंदु साधारण काले बिंदुओं जैसे दिखते हैं, लेकिन सीधी रेखाएं बहुरंगी खंड हैं। एक ही रंग की रेखाओं को समानांतर माना जाता है।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां की लाइनें अनंत लंबाई की नहीं हैं। गुप्त रूप से, मैं कहूंगा कि यहाँ लंबाई की कोई अवधारणा नहीं है, और सीधी रेखाओं का कोई भी आकार हो सकता है, जैसा कि हम जल्द ही देखेंगे।

निश्चित रूप से% उपयोगकर्ता नाम% अभी भी संदेह है कि इस विमान की छवि affine ज्यामिति के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है। आइए देखें:

1. हम 2 अंक लेते हैं, उदाहरण के लिए, ऊपरी बाएँ और निचले बाएँ।
   इन दोनों बिंदुओं में केवल एक बाईं ओर लाल रेखा होती है।
   सही लाल रेखा में इनमें से कोई भी बिंदु नहीं होता है, और शेष रेखाओं में उनमें से केवल एक होती है।
2. बायीं लाल सीधी रेखा और दायें ऊपरी बिंदु को लें। जाहिर है, केवल एक सीधी रेखा (दाएं लाल) बाएं लाल रेखा के समानांतर है, क्योंकि यह ऊपरी दाएं बिंदु से गुजरती है, लेकिन दो बाएं बिंदुओं में से किसी के माध्यम से नहीं गुजरती है।
3. यह आंकड़ा स्पष्ट रूप से दिखाता है कि हम चाहे जो 3 अंक लें, उनमें से एक लाइन से अलग लाइन पर है, जिस पर दोनों अन्य बिंदु झूठ बोलते हैं।
   एक वर्ग के विकर्णों को बनाने वाली दो पंक्तियाँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, क्योंकि उनके पास सामान्य बिंदु नहीं होते हैं।

यदि आपने पिछली तस्वीर की सामग्री को अच्छी तरह से समझा है, तो चित्र अधिक जटिल है:

अंजीर। 6. तीसरे क्रम का एथेनियन विमान। (स्रोत ru.wikipedia.org )

यहाँ हम 9 अंक और 12 रेखाएँ देखते हैं। हां,% उपयोगकर्ता नाम%, ये दीर्घवृत्त वास्तव में परिमित ज्यामिति के संदर्भ में सीधी रेखाएं हैं।
एक ही रंग के आकृतियाँ समानांतर रेखाएँ हैं। उन्हें नोटिस करना मुश्किल है, इसलिए हम चित्र को कई में विभाजित करते हैं:

विमान संख्या 1	विमान संख्या 2	विमान संख्या 3	विमान संख्या 4

अंजीर। 7. तीसरे क्रम के समतल विमान की समानांतर सीधी रेखाएँ।

यहाँ, स्वयंसिद्धों के निष्पादन की जाँच में थोड़ा अधिक समय लगेगा:

1. हम 2 किसी भी बिंदु को लेते हैं, उदाहरण के लिए, केंद्रीय ऊपरी और निचला दायां। उनके माध्यम से बैंगनी लाइनों में से केवल एक गुजरता है।
2. बायीं लाल रेखा और निचले दायें बिंदु को लें। दूसरे क्रम के विमान के समान, केवल एक दाईं लाल रेखा इस बिंदु से होकर गुजरती है, लेकिन तीन में से किसी भी बाएं बिंदु से नहीं गुजरती है।
3. यहाँ 2 क्रम के समतल के मामले में यह थोड़ा अधिक जटिल है। स्वयंसिद्ध का कथन कहता है कि आपको चार बिंदुओं में से कम से कम एक (गैर-रिक्त) सेट को खोजने की आवश्यकता है, जिसमें तीन एक से अधिक पंक्ति में झूठ नहीं बोलते हैं।
   जाहिर है, तीन बिंदुओं के साथ 12 सेट जिसके माध्यम से आंकड़ा पास की रेखाएं इस स्थिति को संतुष्ट नहीं करती हैं। लेकिन यह संतोषजनक है, उदाहरण के लिए, चार कोने का एक सेट।

एक अधिक सामान्य मामले में, ऑर्डर n के एक परिमित चक्कर विमान में n ^ 2 अंक और n ^ 2 + n लाइनें हैं; प्रत्येक पंक्ति में n अंक होते हैं, और प्रत्येक बिंदु n + 1 लाइनों से संबंधित होता है। [1]

संपन्न ज्यामिति समाप्त होने के साथ, हम विमान पर दूसरी प्रकार की ज्यामिति से गुजरते हैं - प्रक्षेप्य।

अनुमानित ज्यामिति में, इसके विपरीत, किसी भी दो रेखाएं एकमात्र संभव बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और इसलिए समानांतर रेखाएं मौजूद नहीं हैं। [1]

पिछला वाक्य प्रोजेक्टिव ज्यामिति के दूसरे स्वयंसिद्ध का वर्णन करता है। पहले और तीसरे एथेनियन में समान हैं।

चूंकि तीसरे स्वयंसिद्ध को कम से कम चार बिंदुओं के अस्तित्व की आवश्यकता होती है, इसलिए पहले दो स्वयंसिद्ध स्थितियों को पूरा करने के लिए विमान में कम से कम 7 अंक होने चाहिए। अनुमानित विमानों के इस सरलतम भाग में भी 7 रेखाएँ हैं; प्रत्येक बिंदु तीन रेखाओं से संबंधित है, और प्रत्येक पंक्ति में तीन बिंदु हैं। इस तरह के एक अनुमानित विमान को अक्सर "फ़ानो विमान" कहा जाता है । [1]

अंजीर। 8. फ़ैनो प्लेन। (सोर्स en.wikipedia.org )

इस आंकड़े में, सभी 7 लाइनों को तुरंत समझना मुश्किल है, इसलिए यहां एक ही विमान का एक टट्टू संस्करण है:

अंजीर। 9. रंगीन रेखाओं वाला फेनो प्लेन। (स्रोत mathpuzzle.com । एड पेग जूनियर से अनुमति के साथ प्रयुक्त)

तो, फ़ानो विमान 7-अंक और 7 लाइनों के साथ एक 2-ऑर्डर प्रक्षेपी विमान है।

कार्ड का इससे क्या लेना-देना है?

यदि हम परिमित ज्यामिति के 2 स्वयंसिद्धों का सुधार करते हैं, तो "रेखा" को "प्रतीक" और "बिंदु" को "कार्ड" से बदल दें?

परिणाम यह है:

1. दो अलग-अलग कार्डों के लिए, केवल एक प्रतीक है, जो दोनों कार्डों पर दिखाया गया है।
2. दो अलग-अलग प्रतीकों के लिए, केवल एक कार्ड है जिसमें ये दोनों प्रतीक हैं।

अब, इस ज्ञान के आधार पर, आइए देखें कि डोबल सबसे सरल मामले में कैसा दिखेगा। इसमें 7 कार्ड और 7 वर्ण होंगे, प्रत्येक कार्ड में 3 वर्ण होंगे (जैसे कि 3 बिंदु एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं):

अंजीर। 10. डोबल के लिए कार्ड के सबसे छोटे संभव सेट का एक उदाहरण।

निम्नलिखित 7 वर्ण यहाँ उपयोग किए गए हैं:

। । । । । ।
कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम 2 कार्ड लेते हैं, उनके पास एक सामान्य प्रतीक होगा, जिस रेखा के बगल में दर्शाया गया है कि दोनों कार्ड झूठ बोलते हैं।
उदाहरण के लिए, निचले बाएं कोने में कार्ड और दाईं ओर के मध्य में कार्ड का एक सामान्य प्रतीक है । इसे रेखा के बगल में दिखाया गया है। ।

छोटे आदेशों के प्रक्षेपी विमानों

वुल्फ्राम पर आप छोटे ऑर्डर के प्रोजेक्टिव विमानों का एक दृश्य प्रदर्शन पा सकते हैं: http://demonstrations.wolfram.com/ProjectivePlanesOfLowOrder/
इसे सीडीएफ प्रारूप (कम्प्यूटेशनल दस्तावेज़ प्रारूप) में एक दस्तावेज के रूप में डिज़ाइन किया गया है, जिसके लिए आपको सीडीएफ प्लेयर स्थापित करने की आवश्यकता है।

यहाँ आदेश 3 के एक अनुमानित विमान का एक उदाहरण है:

अंजीर। 11. 3 आदेशों के अनुमानित विमान की छवि।

यह समझना मुश्किल है कि क्या हो रहा है, इसलिए 2 मनमानी लाइनें लें:

अंजीर। 12. 3 क्रम के प्रक्षेप्य तल की दो पंक्तियों का प्रतिच्छेदन।

जैसा कि हम देखते हैं, वे बिल्कुल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। लाइनों में स्वयं 4 अंक होते हैं।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक बिंदु से 4 रेखाएं गुजरती हैं, आपको एक इंटरैक्टिव दस्तावेज़ में लाइनों के प्रदर्शित जोड़े को स्विच करना होगा और कुछ बिंदु पर ध्यान केंद्रित करना होगा।

उच्चतर आदेशों के अनुमानित विमानों को नीचे दिए गए आंकड़ों में दिखाया गया है।

अंजीर। 13. क्रम 4 का प्रक्षेप्य तल

अंजीर। 14. क्रम 5 का प्रक्षेप्य तल

अंजीर। 15. क्रम 7 का प्रक्षेप्य तल

उपरोक्त अनुक्रम में, 6 वें क्रम के प्रक्षेप्य तल के लिए कोई छवि नहीं है। यह कोई गलती नहीं है।

हालांकि वोल्फ्राम इस तरह की संरचना का एक चित्रमय प्रतिनिधित्व करता है, यह प्रक्षेपी ज्यामिति के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट नहीं करता है, और एक प्रक्षेपी विमान नहीं है।

यह माना जाता है, लेकिन अभी भी साबित नहीं हुआ है, कि एक परिमित विमान का क्रम हमेशा एक प्रमुख शक्ति है । [1]

एक प्रक्षेपी विमान का निर्माण कैसे करें?

प्रक्षेप्य तल का ग्राफिक प्रतिनिधित्व दिलचस्प और स्पष्ट दिखता है, लेकिन अंक के ऐसे संयोजन को कैसे खोजना है ताकि यह उपरोक्त गुणों के पास हो?

सबसे आसान तरीका उन साइटों पर जाकर है, जो विभिन्न आदेशों के अनुमानित विमानों के लिए पूर्व-गणना आंकड़ों की मेजबानी करते हैं।

उदाहरण के लिए, ऑर्डर 7 के प्रोजेक्टिव प्लेन के लिए, आप निम्न पृष्ठ पर जा सकते हैं: https://web.archive.org/web/20170619110638/https://www.uwyo.edu/moorhouse/pub/planes/pg27.txt
संख्याओं का एक मैट्रिक्स वहां प्रस्तुत किया गया है। डोबल के संदर्भ में लाइनें कार्ड (डॉट्स) हैं। लाइनों में संख्याएं वर्णों (लाइनों) की सीरियल संख्याएं हैं, जो शून्य से शुरू होती हैं, जो प्रत्येक कार्ड पर खींची जाती हैं (इस बिंदु से गुजरती हैं)।

आप गणितीय पैकेज की सेवाओं का भी उपयोग कर सकते हैं, जैसे कि मैटलैब, प्रक्षेप्य तल के घटना मैट्रिक्स का निर्माण करने के लिए। [२] [३]

घटना का मिलान

घटना मैट्रिक्स ग्राफ अभ्यावेदन में से एक है जो ग्राफ़ के घटना तत्वों (किनारे (आर्क) और वर्टेक्स) के बीच संबंधों को इंगित करता है। मैट्रिक्स के कॉलम किनारों के अनुरूप हैं, पंक्तियों को कोने में। मैट्रिक्स सेल में एक नॉनज़ेरो मूल्य वर्टेक्स और एज (उनकी घटना ) के बीच संबंध को इंगित करता है। [2]

घटना मैट्रिक्स का सबसे सरल उदाहरणों में से एक से जुड़े दो कोने के अप्रत्यक्ष ग्राफ के लिए 2x1 मैट्रिक्स हो सकता है:

अंजीर। 16. एक किनारे से जुड़े दो कोने का एक अप्रत्यक्ष ग्राफ, और इसकी घटना मैट्रिक्स।

एक ग्राफ और इसकी घटना मैट्रिक्स का एक और अधिक जटिल उदाहरण:

अंजीर। 17. एक अप्रत्यक्ष ग्राफ जिसमें 4 कोने और इसकी घटना मैट्रिक्स है।

जैसा कि पिछले उदाहरण से देखा जा सकता है, प्रत्येक कॉलम में ग्राफ के घटना मैट्रिक्स में बिल्कुल दो इकाइयाँ हैं, क्योंकि एक किनारे दो कोने जोड़ता है।
प्रोजेक्टिव प्लेन एक हाइपरग्राफ है , क्योंकि एक लाइन (एज) कई बिंदुओं (वर्टिकल) को जोड़ती है। इसलिए, प्रक्षेपी विमान के घटना मैट्रिक्स में, प्रत्येक स्तंभ में इकाइयां n + 1 बार होती हैं, जहां n प्रक्षेपित तल का क्रम होता है।

अंजीर में दिखाए गए फ़ानो विमान के लिए। 9, घटना मैट्रिक्स निम्नानुसार होगा:

अंजीर। 18. फेनो विमान का घटना मैट्रिक्स।

धारणा को सरल बनाने के लिए, शून्य नहीं दिखाए जाते हैं, और इकाइयों को प्रतीक एक्स द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
प्रक्षेप्य तल के इस निरूपण में, बिंदुओं और रेखाओं का द्वैत सिद्धांत स्पष्ट रूप से दिखाई देता है - रेखा बिल्कुल 3 बिंदुओं से होकर गुजरती है, और साथ ही, बिंदु ठीक तीन रेखाओं से संबंधित है।

पाशविक बल द्वारा एक समतल विमान का निर्माण

घटना मैट्रिक्स के गुणों के बारे में वर्तमान ज्ञान किसी भी ऑर्डर एन के प्रोजेक्टिव प्लेन के लिए इसका निर्माण करने के लिए पर्याप्त है। ऐसा करने के लिए, आप निम्नलिखित छद्मकोश का उपयोग कर सकते हैं:

          n+1 ,          n+1 ,                                ,                

इस एल्गोरिथ्म के बाद, हम फानो विमान के लिए एक सममित मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं:

अंजीर। 19. छद्म कोड एल्गोरिथ्म द्वारा निर्मित फ़ानो विमान घटना मैट्रिक्स।

यह मैट्रिक्स पिछले एक से मेल नहीं खाता है। वास्तव में, यह कोई बात नहीं है।
घटना मैट्रिक्स की किसी भी दो पंक्तियों का क्रमांकन ग्राफ के शीर्ष रेखाओं को बदलने के बराबर है।
घटना मैट्रिक्स के किसी भी दो स्तंभों का क्रमांकन ग्राफ के किनारों (यदि उन्हें अग्रिम में क्रमांकित किया गया है) के पुनर्निर्माण के बराबर है।

डोबबल के लिए हादसा मैट्रिक्स

खेल मैट्रिक्स में घटना मैट्रिक्स के लिए, पंक्तियों कार्ड के लिए जिम्मेदार हैं, और उन पर पात्रों के लिए कॉलम जिम्मेदार हैं।
इस प्रकार, घटना मैट्रिक्स के किसी भी दो कॉलम की क्रमबद्धता कार्ड पर पात्रों के अनुक्रम में बदलाव के बराबर है। हालांकि, कार्ड पर प्रतीक अनियंत्रित हैं, इसलिए यह ऑपरेशन कार्ड की उपस्थिति को प्रभावित नहीं करता है।
दो पंक्तियों के पुनर्व्यवस्था का अर्थ है कि सभी कार्डों पर दो संबंधित चिह्न एक दूसरे को प्रतिस्थापित करते हैं।

अंतिम ऑपरेशन कार्ड की उपस्थिति को बदल देता है, जिसका अर्थ है कि खेल में हम जो अक्षर देखते हैं, वह संभव संयोजनों में से एक है।
किसी दिए गए कार्ड के लिए वर्ण सेट की संख्या पुनरावृत्ति के बिना 57 तत्वों और 8 तत्वों का एक संयोजन है। इसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है

Dobble के लिए घटना मैट्रिक्स नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया है। यह प्रत्यारोपित किया जाता है, अर्थात पंक्तियाँ प्रतीक हैं, और स्तंभ कार्ड हैं (चित्र क्लिक करने योग्य है)। हैबर आपको वांछित आकार और गुणवत्ता का चित्र सम्मिलित करने की अनुमति नहीं देता है, इसलिए पूर्ण आकार विकल्प एक अलग लिंक है: https://github.com/Skybladev2/DobbleMathModel/blob/master/images/Dobble%20incidence%20matrix.png

अंजीर। 20. खेल की घटना मैट्रिक्स।

खेल में कौन से दो कार्ड गायब हैं?

कुल में, खेल की घटना मैट्रिक्स के साथ तालिका में 57 पंक्तियाँ और 55 कॉलम हैं। इसका मतलब है कि खेल में 2 और कार्ड हो सकते हैं।
इसका मतलब यह है कि इन कार्डों पर होने वाले वर्ण बाकी की तुलना में खेल में कम सामान्य हैं। खेल के वर्णों की संख्या तालिका के अंतिम कॉलम में दिखाई गई है।

लापता कार्ड के पात्रों की संख्या इस प्रकार है:

• । । । । । । । । । । । । और
  (14 वर्ण कुल) 7 बार होते हैं।
• 6 बार होता है।

लापता कार्ड क्या दिखते हैं? इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, उपरोक्त सभी पात्रों को घटना मैट्रिक्स (स्नोमैन को छोड़कर) में ले जाएं, और इसे लापता कार्ड (उदाहरण के लिए, स्तंभ) पर रखें।

फिर हम सभी कार्ड (कॉलम) पाते हैं, जिस पर यह प्रतीक दर्शाया गया है। इसका मतलब है कि इन सभी कार्डों पर प्रतीक मेल खाते हैं, और कोई अन्य मैच नहीं हो सकता है।

चूंकि इन कार्डों में पहले से ही चयनित चरित्र के साथ एक मेल है, इसलिए अन्य स्तंभों पर दिखाई देने वाले सभी वर्णों के पारगम्य स्तंभ से बाहर निकलें।
छूटे हुए पात्र जो बाहर नहीं गिरे हैं, और बचे हुए कार्डों में से एक के पात्रों को बनाते हैं। चूंकि वे ठीक 8 वर्ष के थे, दूसरे गायब कार्ड का प्रकार स्पष्ट रूप से निर्धारित किया गया है।

ये 2 कार्ड इस प्रकार हैं:

अंजीर। 21. एक संभावित प्रकार का गुम कार्ड नंबर 56 और नंबर 57 है।

यह आखिरी सवाल का जवाब देने के लिए बना हुआ है - क्या इन कार्डों की अनुपस्थिति दो कार्डों के बीच एक ही प्रतीक के संयोग की संपत्ति को प्रभावित करती है (यानी अचानक किसी कार्ड के बीच कोई मेल नहीं हैं)?

जवाब स्पष्ट है, अगर आप अभी भी खेल के घटना मैट्रिक्स को देखते हैं - नहीं, यह नहीं है। किसी भी दो कार्ड (कॉलम) के बीच अभी भी एकमात्र संयोग है।

खेल में अधिकतम संभव 2 कार्ड से कम क्यों है?

प्रारंभ में, पांच मिनी-गेम के नियम बुकलेट में नहीं थे, लेकिन पांच अलग-अलग कार्ड पर थे। वहीं, सिर्फ 60 कार्ड ही प्रिंट हो सके। इसलिए, खेल के लेखकों ने 2 कार्ड निकालने का फैसला किया, ताकि अंत में यह नियमों के साथ प्रतीकों + 5 कार्ड के साथ 55 कार्ड निकला। (स्पष्टीकरण के लिए गिलियूम गिले-नव्स के लिए विशेष धन्यवाद।)

धन्यवाद

मैं लेख लिखने में उनकी मदद के लिए बोर्ड गेम स्टोर "Igroved" के नेटवर्क के लिए आभार व्यक्त करता हूं।
फानो प्लेन इमेज उपलब्ध कराने के लिए एड पेग जूनियर का धन्यवाद।
अलग से, मैं लेख को जांचने में मदद के लिए एक अनाम और मास्टर का उल्लेख करना चाहता हूं।
मैं लेख के प्रकाशन की तैयारी में उनकी मदद के लिए "टेबल सिटी" स्टोर को धन्यवाद देता हूं।
अपने पूरे दिल से मैं खेल के लेखकों इगोर पॉलोचिन, डेनिस ब्लांचोट, गुइल्यूम गिले-नेवीस के साथ-साथ खेल से छवियों का उपयोग करने के अधिकार के लिए असमोदे को धन्यवाद देता हूं।