शिपस्टिक का इतिहास

हर जगह घूमता है

हम उसे स्पाइकी कहते हैं, और मेरे जीवन में आज मैं उससे लगातार मिलता हूं:



यह एक त्रि-आयामी वस्तु से आता है, एक पॉलीहेड्रॉन जिसे "रोम्बिक सिक्सटीह" कहा जाता है।



लेकिन इसका इतिहास क्या है और हमने इसे अपना प्रतीक क्यों बनाया?

कांट की उत्पत्ति

1987 में, जब हम गणितज्ञ के पहले संस्करण को विकसित कर रहे थे, तो इसके नवाचारों में से एक था प्रतीकात्मक विवरणों के आधार पर रिज़ॉल्यूशन-इंडिपेंडेंट थ्री-डायमेंशनल ग्राफिक्स तैयार करना। शुरुआती प्रदर्शनों में, इसने हमें नियमित रूप से पॉलीहेड्रा के आश्चर्यजनक रूप से स्पष्ट चित्र बनाने की अनुमति दी। लेकिन, गणितज्ञ 1.0 की रिहाई के करीब, हम कुछ और प्रभावशाली उदाहरण का उपयोग करना चाहते थे। इसलिए, हमने अंतिम नियमित पॉलीहेड्रोन - आइकोसैहेड्रोन लेने का फैसला किया है - और इसे स्टार आकार देकर, या, और अधिक सही ढंग से, संचयन द्वारा इसे और अधिक जटिल बना सकते हैं। हां, वह पहला नोटबुक इंटरफ़ेस 30 साल पहले कैसा दिखता था।



पहले यह सिर्फ एक अच्छा प्रदर्शन था जो उस समय के हमारे कंप्यूटरों पर बहुत जल्दी काम करता था। लेकिन जल्द ही इसके द्वारा उत्पन्न त्रि-आयामी वस्तु को वास्तविक रूप से मैथमेटिका के लोगो के रूप में इस्तेमाल किया जाने लगा। और 1988 में 1.0 संस्करण जारी किया गया था, हर जगह स्टेलोसित आइकोसैहेड्रोन था:



समय के साथ, हमारे तारकीय पॉलीहेड्रॉन के लिए विभिन्न समर्पण दिखाई देने लगे - विभिन्न सामग्रियों और आकारों में:



लेकिन, Mathematica 1.0 के रिलीज़ होने के ठीक एक साल बाद, हम Mathematica 1.2 को रिलीज़ करने के लिए तैयार थे, और उत्पाद की जटिलता को व्यक्त करने के लिए, हमें एक परिष्कृत लोगो की आवश्यकता थी। हमारे डेवलपर्स में से एक, इगोर रिविन ने हाइपरबोलिक स्पेस में पॉलीहेड्रा पर अपने डॉक्टरेट थीसिस का बचाव किया - और उनके प्रयासों के लिए धन्यवाद, संस्करण 1.2 के लिए सामग्री को हाइपरबोलिक आइकोसैहेड्रॉन से सजाया गया था:



मेरे कर्मचारियों ने मुझे 1989 में अपने 30 वें जन्मदिन के लिए तत्कालीन-आधुनिक शिपास्तिक के साथ एक टी-शर्ट दी, और एक उद्धरण जिसे मैं इतने सालों बाद भी समर्थन करता हूं:


"कंपनी मजेदार है"

Mathematica 1.2 के विमोचन के बाद, हमारी विपणन सामग्री में एक व्यक्ति को हाइपरबोलिक नियमित पॉलीहेड्रा का पूरा संग्रह मिल सकता है, लेकिन 1991 में संस्करण 2.0 के आगमन के साथ, हमने तय किया कि हमें हाइपरबोलिक आइकोसैहेड्रॉन सबसे ज्यादा पसंद है:



लेकिन हमने अन्य नुकीले रूपों का पता लगाना जारी रखा। लियोनार्डो दा विंची द्वारा ल्यूक पैसिओली की पुस्तक "ईश्वरीय अनुपात" के लिए स्टेल्टेड इकोसैहेड्रॉन (आश्चर्यजनक रूप से सटीक परिप्रेक्ष्य के साथ बनाया गया) के "लकड़ी के मॉडल" के ड्राइंग से प्रेरित होकर, हमने एक संस्करण 2.0 कमांडर का आदेश दिया, जहां पांच इंटरसेक्टिंग टेट्राहेड्रोन की व्यवस्था की जाती है ताकि उनके बाहरी कोने डोडेकेड्रॉन बन सकें।



आज, 1991 से अपने अभिलेखागार के माध्यम से, मुझे "व्याख्यात्मक" कोड मिलता है, और यह देखकर अच्छा लगता है कि इसे वुल्फराम भाषा के हमारे नवीनतम संस्करण में आसानी से निष्पादित किया गया है (हालांकि आज इसे थोड़ा और सुरुचिपूर्ण ढंग से लिखा जा सकता है):



इन वर्षों में, यह एक अजीब अनुष्ठान बन गया है - मैथेमेटिका के अगले मुख्य संस्करण के लॉन्च की तैयारी में, हम गंभीर बैठकों का आयोजन करेंगे जहां हम "एक नया शिपास्टिक चुनने" में लगे हुए हैं। कभी-कभी आपको पूरी तरह से अलग एल्गोरिदम का उपयोग करके बनाए गए सैकड़ों विभिन्न विकल्पों में से चुनना होगा:



लेकिन, हालांकि रंग पट्टियाँ उत्परिवर्तित होती हैं, और शिपास्टिक्स अक्सर सिस्टम में नई विशेषताओं की उपस्थिति को दर्शाते हैं (यद्यपि कुछ हद तक स्पष्ट रूप से), हमारे पास एक हाइपरबोलिक डोडेकाहेड्रोन के लिए विकल्प चुनने की 30 साल की परंपरा है:



हाल ही में, यह पैरामीट्रिक स्पेस का अध्ययन करने के लिए प्रथागत हो गया है - हालांकि अब हम पहले से ही सैकड़ों मापदंडों को जमा कर चुके हैं:



हाइपरबोलीक डोडेकाहेड्रोन में 20 चोटियां हैं - यह 2008 में गणितज्ञ की 20 वीं वर्षगांठ मनाने के लिए आदर्श थी। लेकिन जब हम 2013 में 25 वीं वर्षगांठ के लिए कुछ ऐसा ही करना चाहते थे, तो हमें 25 चक्करों के साथ नियमित पॉलीहेड्रा की कमी की समस्या का सामना करना पड़ा। लेकिन (वास्तव में, स्फियर पॉइंट फ़ंक्शन [25]) का उपयोग करते हुए, हम एक अनुमानित आंकड़ा बनाने में सक्षम थे, और कंपनी के सभी कर्मचारियों के लिए 3 डी प्रिंटर पर मुद्रित किया था, जिसमें कर्मचारियों की सेवा की लंबाई के अनुरूप आकार थे।

वफ़र वुल्फराम | अल्फा |

2009 में, हम वुल्फराम की रिलीज के लिए तैयार हो रहे थे। अल्फा, और सिस्टम को एक लोगो की जरूरत थी। कई अवधारणाएँ थीं:



हम इस बात पर जोर देना चाहते थे कि वुल्फराम | गणना के माध्यम से अल्फा काम करता है, और नहीं, कहते हैं, एक खोज इंजन के रूप में। और कुछ समय के लिए हम गियर के साथ कुछ का उपयोग करना चाहते थे। लेकिन हम यह भी चाहते थे कि लोगो लंबे समय तक चलने वाले मैथमेटिका लोगो से मिलता जुलता हो। इसने उन परियोजनाओं में से एक को जन्म दिया जैसे "हमारा सामान्य पागल हो गया": नुकीले रूपों से गियर तंत्र का निर्माण।

हंगरी के एक मैकेनिकल इंजीनियर सैंडोर कबाई, मैथमेटिका और वोल्फ्राम लैंग्वेज के एक लंबे समय के उपयोगकर्ता ने "नुकीला गियर" का प्रस्ताव देकर हमारी मदद की:



संस्करण 2 से अन्तर्विभाजक टेट्राहेड्रों की ओर लौटते हुए, उन्होंने कुछ इस तरह बनाया:



2009 में, 3 डी प्रिंटर बहुत लोकप्रिय हो गए, और हमने सोचा कि वुल्फराम के लिए एक लोगो बनाना अच्छा होगा। अल्फा जो मुद्रित किया जा सकता था। हाइपरबोलिक पॉलीहेड्रॉन फिट नहीं हुआ - स्पाइक्स टूट सकता है और खतरा पैदा कर सकता है। "सुरक्षित स्पाइक्स" के साथ 4 वें संस्करण के स्पाइक्स जैसे आकार, लालित्य की कमी थी।

थोड़ी देर के लिए हम गियर्स के साथ एक विचार पर चढ़ गए। लेकिन अंत में, उन्होंने तय किया कि यह साधारण पॉलीहेड्रॉन पर एक और नज़र डालने के लायक है। लेकिन हम कौन सा पॉलीहेड्रोन चुन सकते हैं?

बेशक, संभावित पॉलीहेड्रा की एक अनंत संख्या है। लेकिन हमारे लोगो के लिए, हम एक सममित और कुछ हद तक, "सही" पॉलीहेड्रॉन चुनना चाहते थे। पांच नियमित पॉलीहेड्रा (या "प्लैटोनिक ठोस") - जिनके चेहरे एक ही नियमित बहुभुज हैं - सभी का "सबसे नियमित" माना जा सकता है:



13 अधिक आर्किमिडीज़ निकाय हैं - उनके समान कोने हैं, और नियमित बहुभुज हैं, हालांकि विभिन्न प्रकार के, चेहरे के रूप में कार्य करते हैं:



पॉलीहेड्रा के कई प्रकार "शुद्धता" हैं। एक उदाहरण "सजातीय पॉलीहेड्रा" है जो 1993 के मैथमेटिका जर्नल के एक पोस्टर से पता चलता है:



इन वर्षों में, एरिक वेनस्टीन ने संग्रह एकत्र किया, जो 1999 तक मैथवर्ल्ड में बदल गया था, उन्होंने लेख को यथासंभव बहुभुज पर शामिल करने की कोशिश की। 2006 में, मैथेमेटिका और वुल्फ्राम भाषा में विभिन्न व्यवस्थित डेटा के समावेश के भाग के रूप में, हमने मैथवर्ल्ड के साथ बहुभुज डेटा को शामिल करना शुरू किया। नतीजतन, 2007 में संस्करण 6.0 की रिलीज के बाद, इसमें पॉलीहेड्रोनडैटा फ़ंक्शन दिखाई दिया, जिसमें 187 उल्लेखनीय पॉलीगॉन पर व्यापक डेटा था:



Mathematica और Wolfram भाषा में, आप हमेशा नियमित बहुभुज उत्पन्न कर सकते हैं, लेकिन अब यह करना आसान हो गया है। संस्करण 6.0 के साथ, हमने वुल्फ्राम डिमॉन्स्ट्रेशन प्रोजेक्ट भी जारी किया, जो जल्दी से पॉलीहेड्रा से संबंधित विभिन्न डेमो के साथ फिर से भरना शुरू कर दिया।

उनमें से एक मेरी बेटी कतेरीना द्वारा बनाई गई थी जब वह 10 साल की थी (आज वह ज्यामिति से संबंधित दिशाओं में विकसित करना जारी रखती है): ये "पॉलीहेड्रल कोआलास" हैं, जो पॉलीहेड्रोनडैटा से सभी उपयोग किए गए पॉलीहेड्रा द्वारा टूट गए हैं]:



ऐसी पृष्ठभूमि के खिलाफ, 2009 में हम वुल्फराम के लिए "एक पॉलीहेड्रॉन" चुनना चाहते थे | अल्फा | सब कुछ शुक्रवार 6 फरवरी को तय किया गया था, जब मैंने अपने दम पर काम करने की ठानी।

मैंने उस नोटबुक को संरक्षित किया है, और यह दिखाता है कि मैंने पहली बार पोलीहेड्रा के कोने पर गोले रखने के संदिग्ध विचार को लागू करने की कोशिश की:



लेकिन, जैसा कि नोटबुक हिस्ट्री में दर्ज किया गया था, ठीक दो मिनट बाद, मैंने शुद्ध पॉलीहेड्रोन पर स्विच किया - वे सभी नारंगी थे, जिन्हें हम तब लोगो के लिए उपयोग करना चाहते थे:





पॉलीहेड्रा को नाम से वर्णानुक्रम में व्यवस्थित किया गया था, और 28 वीं पंक्ति में वह दिखाई दिया - एक रोम्बिक हेक्साह्रोन।



कुछ ही मिनटों बाद, 00:24:24, 7 फरवरी, 2009 को, मैंने इस रंबिक हेक्साहेड्रॉन की खोज की और इसे एक सममित स्थिति में बदल दिया, जिसका हम अब उपयोग करते हैं:



मैं यह देखना चाहता था कि यह ग्रे और सिल्हूट में कैसा दिखेगा, और चार मिनट बाद मैंने इसका पता लगाने के लिए ColorSeparate का उपयोग किया:



मैंने तुरंत एक ई-मेल लिखना शुरू किया, जिसे मैंने 00:32 बजे भेजा:

मुझे वास्तव में RhombicHexecontahedron पसंद है। इसका एक दिलचस्प और बहुत ही सममित आकार है। यह मुझे लगता है कि इसकी सटीकता बस हमें सूट करती है, और सिल्हूट बहुत उचित लगता है।



जाहिर है, मैंने अभी नोटबुक से RhombicHexecontahedron की नकल की है (मुझे संदेह है कि मैं बिना त्रुटियों के हेक्सागोन [hexecontahedron] लिख सकता था)। अपने अभिलेखागार से, मुझे पता है कि यह पहली बार मैंने पॉलीहेड्रॉन का नाम लिखा था, जो कि मेरा पसंदीदा बनने के लिए किस्मत में है।

वोल्फ्राम भाषा में, एक विषमकोण हेक्साहेड्रोन की एक छवि प्राप्त करना बहुत आसान था, और इसके साथ खेलते हैं:



सोमवार तक, यह स्पष्ट था कि रंबल हेक्साहेड्रोन जीत गया था - और हमारा दृश्य विभाग वुल्फराम के लिए लोगो के रूप में इसे बनाने में व्यस्त था। अल्फा | हमने इसके विभिन्न झुकावों की कोशिश की, लेकिन अंत में हम "पूर्ण दृश्य" में सममित स्थिति पर बैठ गए, जिसे मैंने चुना। (हमें सबसे उपयुक्त कोण के लिए सर्वश्रेष्ठ "फोकल लंबाई" चुनने की भी आवश्यकता थी)।



संस्करण 1.0 से हमारे स्टैक्ड आइकोसैहेड्रॉन की तरह, रंबिक हेक्साहेड्रॉन के 60 चेहरे हैं। लेकिन किसी भी तरह, "पांच पंखुड़ियों" के संयोजन के लिए धन्यवाद, यह बहुत अधिक सुरुचिपूर्ण दिखता है। इस तरह के चेहरों के छायांकन को चुनने के लिए काफी प्रयास किया गया था ताकि दो-आयामी ड्राइंग सही ढंग से तीन-आयामी ऑब्जेक्ट परिलक्षित हो। लेकिन जल्द ही हमने अपने लोगो का पहला आधिकारिक संस्करण पेश किया:



वह जल्दी से हर जगह दिखाई देने लगी, और, हमारे शुरुआती विचारों के लिए एक श्रद्धांजलि के रूप में, अक्सर गियर्स के साथ सजाया गया एक पृष्ठभूमि के खिलाफ:



कुछ साल बाद, हमने किनारों की छायांकन को थोड़ा ठीक किया, जिससे वोल्फ्राम का निर्माण हुआ। अल्फा लोगो, जो अभी भी उपयोग में है:



रम्बिक षट्भुज

एक विषमकोण हेक्साहेड्रॉन क्या है? अंग्रेजी में, इसे हेक्साकोन्टाहेड्रोन कहा जाता है, क्योंकि इसमें 60 चेहरे हैं, और τοντα (हेक्साकोन्ट) "60" के लिए ग्रीक शब्द है। इसके चेहरे सुनहरे rhombuses हैं , जिन्हें इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि उनके विकर्ण सुनहरे अनुपात के अनुसार एक-दूसरे से संबंधित हैं: √ = (1 + √5) / 2 & sime; 1,618:



रंबिक हेक्साहेड्रोन इकोसैहेड्रॉन और डोडेकेहेड्रॉन (उनके बीच इकोसोडोडेकेरड्रोन के साथ) के बीच एक दिलचस्प मध्यवर्ती शरीर है। रंबिक हेक्साहेड्रोन के 12 आंतरिक कोने नियमित रूप से आइकोसैड्रोन बनाते हैं, और 20 बाहरी कोने नियमित डोडेकेर्रॉन बनाते हैं। 30 "मध्यवर्ती चोटियों" के रूप में icosododecahedron, 32-मुखर (इसमें 20 त्रिकोणीय और 12 पंचकोणीय चेहरे हैं):



कुल में, रोम्बिक हेक्साहेड्रोन में 62 कोने और 120 किनारे (साथ ही 120-62 + 2 = 60 इंच) हैं। इसमें तीन प्रकार के कोने ("आंतरिक", "मध्य" और "बाहरी") होते हैं, जो कि icosahedron, icosododecahedron और dodecahedron के 12 + 30 + 20 कोने से संबंधित है। इन छोरों पर क्रमशः 3, 4 और 5 किनारे एक साथ परिवर्तित होते हैं। प्रत्येक चेहरे पर एक "आंतरिक" शीर्ष होता है, जिस पर 5 किनारे मिलते हैं, एक बाहरी शीर्ष जहां तीन किनारे मिलते हैं, और दो "मध्यवर्ती" होते हैं, जहां 4 किनारे मिलते हैं। बाहरी और भीतरी कोने सुनहरे rhombuses के तीव्र कोण वाले कोण हैं, और मध्यवर्ती लोग obtuse-angled हैं।

सुनहरी छलाँगों की नुकीली चोटियों पर कोण 2 तन ( ¹ (the ⁻¹ ), 63.43 ° है, और कुंद-नुकीली चोटियों पर 2 tan ⁻¹ (φ) p 116.47 ° है। इस तरह के कोण आपको केवल रेड सपोर्ट ( डोडेकेहेड्रन के मामले में) का उपयोग करके ज़ोमेटूल कंस्ट्रक्टर से एक रोम्बिक हेक्साहेड्रोन को इकट्ठा करने की अनुमति देते हैं:



60 "आंतरिक टिका" के रोम्बिक हेक्साहेड्रोन के 120 किनारों में से, डायहेड्रल कोण 4 144/5 = 144 ° है, और 60 बाहरी लोगों के लिए यह 2π / 5 = 72 ° है। बाहरी और भीतरी कोने द्वारा अनुबंधित कोण and / 5 और 3 5/5 हैं।

एक विषमकोण हेक्साहेड्रॉन बनाने के लिए, आपको इसके कोने के त्रि-आयामी निर्देश को जानना होगा। उन्हें इस तथ्य का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जाता है कि रेकॉम्बिक हेक्साहेड्रोन इकोसैहेड्रन समूह के संबंध में अपरिवर्तनीय है, इसलिए आप एक सुनहरा रोम्बस के साथ शुरू कर सकते हैं और बस 60 मेट्रिक्स जोड़ सकते हैं जो आइकोसाहेड्रॉन समूह के तीन आयामी प्रतिनिधित्व का निर्माण करते हैं। यह, उदाहरण के लिए, {φ ±,} 1,0}, {± 1, ± gives, ± (1 + φ)}, {± 2φ, 0,0}, {± φ, ± () में कोने के अंतिम निर्देशांक देता है 1 + 2±), 0}, {φ (1 +,), 1 (1 + φ), φ (1 + ±)} और सभी संभावित संकेतों के साथ उनके चक्रीय क्रमपरिवर्तन।

इस तथ्य के अलावा कि एक टॉम्बिक हेक्साहेड्रोन के चेहरे सुनहरे rhombuses हैं, एक rhombic hexahedron का निर्माण 20 गोल्डन rhombohedrons से किया जा सकता है (जिसमें सभी छह चेहरे गोल्डन rhombuses हैं):



अन्य पॉलीहेड्रा से एक रोम्बिक हेक्साहेड्रॉन बनाने के अन्य तरीके हैं। यह पाँच अन्तर्विभाजक क्यूब्स से और चेहरे के संपर्क में 182 डोडेकाहेड्रोन से प्राप्त किया जा सकता है:



आप एक साठ-साठ-हेक्साहेड्रोनों की निरंतर पच्चीकारी नहीं कर सकते हैं, लेकिन वे एक-दूसरे के साथ अच्छी तरह से मेष करते हैं (और, हां, मैंने दर्जनों पेपर शिपस्टिक्स को इस तरह से तह करते हुए देखा):



आप उनसे सभी प्रकार के छल्ले और अन्य विन्यास भी बना सकते हैं:



रंबिक हेक्साहेड्रॉन (आरएस) का एक करीबी रिश्तेदार रंबिक तीस-टेट्राहेड्रॉन (आरटी) है। आरएस और आरटी के चेहरे ऐसे होते हैं जो सुनहरे रंग के होते हैं। लेकिन आरएस के पास उनमें से 60 हैं, और आरटी के पास 30 हैं। यहां एक अलग आरटी जैसा दिखता है:



कई आरटी पूरी तरह से आरएस जेब में निवेश किए जाते हैं, और इसी तरह की चीजें निकलती हैं:



Sandor Kabay, जो पहले उल्लेख किया गया था, 2002 के आसपास RSh और RT में रुचि हो गई। वुल्फराम डिमॉन्स्ट्रेशंस प्रोजेक्ट की शुरुआत के बाद, उन्होंने स्लोवेनियाई गणितज्ञ इसिडोर हाफनर के साथ मिलकर, आरएस, आरटी और उनकी कई संपत्तियों से संबंधित परियोजना में सौ से अधिक प्रदर्शन किए:

स्पाइकी पेपर मॉडल

जैसे ही हमने तय किया कि शिपास्तिक आरएस होंगे, हमने उनके 3 डी मॉडल बनाने शुरू कर दिए। अब Printout3D [PolyhedronData [...] फ़ंक्शन का उपयोग करके ऐसा करना बहुत सरल है, और पहले से ही गणना किए गए मॉडल तृतीय-पक्ष संसाधनों पर पाए जा सकते हैं।

मई 2009 में, जब वुल्फराम | अल्फा को लॉन्च किया गया था, हमारे पास पहले से ही बहुत सारे 3D स्पाइक्स थे:



लेकिन, इस घटना के बाद पहले छुट्टी के मौसम की तैयारी करते हुए, हमने सभी को अपना खुद का त्रि-आयामी शिपास्टिक बनाने का अवसर देने का फैसला किया। सबसे पहले, हमने प्लास्टिक के साथ लेपित 20 rhombohedral मैग्नेट के साथ विकल्प पर विचार किया। लेकिन वे महंगे निकले, और बहुत अच्छे से एक साथ नहीं चिपके।

इससे हमें शिपास्तिक को कागज या पतले कार्डबोर्ड से बनाने का विचार आया। इसलिए, पहले हम एक ऐसी योजना बनाना चाहते थे, जिसे शिपास्तिका में बदला जा सके:



मेरी बेटी कतेरीना ने एक परीक्षक के रूप में कार्य किया (और उसका अभी भी एक परीक्षण नमूना है), लेकिन यह स्पष्ट हो गया कि तह प्रक्रिया में बहुत सारी असहज परिस्थितियां दिखाई देती हैं, जिसमें यह स्पष्ट नहीं होता है कि एक स्थिति से दूसरी स्थिति में कैसे जाना है। आप बड़ी संख्या में लेआउट बना सकते हैं (उनमें से 43,380 केवल डोडेकाहेड्रोन और इकोसैहेड्रॉन के लिए हैं) - और हमने सोचा कि शायद उनमें से कुछ बेहतर चुनना संभव होगा:



लेकिन, जब हम इस तरह की योजना नहीं पा रहे थे, तो हमारे पास एक नया (स्पष्ट) विचार था: यदि मॉडल कानों पर पकड़ करेगा, तो इसे कुछ टुकड़ों से क्यों नहीं बनाया जाएगा? हमने जल्दी से महसूस किया कि इसके लिए आपको इस तरह के केवल 12 समान टुकड़े लेने की आवश्यकता है:



उनकी मदद से, हमने " पेपर मूर्तियों के लिए सेट " बनाया:



एक दिलचस्प कार्य निर्देश लिखना था जो समझना आसान था, लेकिन कई पुनरावृत्तियों के बाद, निर्देश अच्छी तरह से विकसित और सरल हो गए:



और कागज के बाद शिपास्तिक लोगों के पास चले गए, हमारे उपयोगकर्ताओं ने हमें "जमीन पर" सभी प्रकार के शिपास्टिक चित्र भेजने शुरू किए:

रंबल षट्भुज का रास्ता

प्राचीन मिस्र से कई-तरफा घन

यह ज्ञात नहीं है कि किसने पहले प्लेटोनिक ठोस का वर्णन किया था। शायद यह पाइथोगोरियन्स (जो बहुपरत पाइराइट क्रिस्टल के बड़े भंडार के पास रहते थे) द्वारा किया गया था। शायद उनसे पहले किसी ने ऐसा किया था। शायद यह प्लेटो का एक समकालीन था, एथेंस की टीटेट । लेकिन, किसी भी स्थिति में, प्लेटो (सी। 400 ईसा पूर्व) के समय तक, पांच प्लैटोनिक ठोस ज्ञात थे। और जब यूक्लिड ने अपने तत्वों (सी। 300 ग्राम ईसा पूर्व) को लिखा, तो इस काम के स्तंभों में से एक अन्य नियमित पॉलीहेड्रा की अनुपस्थिति का प्रमाण था। यह प्रमाण मूल यूक्लिडियन स्वयंसिद्धों - 32 से सबसे बड़ी संख्या में कदम उठाने के लिए जाना जाता है।

प्लेटोनिक ठोस का उपयोग पासा और आभूषणों के लिए किया जाता था। लेकिन उन्हें प्रकृति के बारे में सोचने में एक केंद्रीय भूमिका भी सौंपी गई थी - उदाहरण के लिए, प्लेटो ने सुझाव दिया था कि एक मायने में सब कुछ उनमें से हो सकता है: क्यूब्स से पृथ्वी, ऑक्टाहेड्रोन से हवा, इकोसैड्रोन से पानी, टेट्राहेड्रॉन से आग, और स्वर्ग ("ईथर") ) डोडेकेहेड्रोन से।

अन्य पॉलीहेड्रों के बारे में क्या? चौथी शताब्दी में ए.डी. अलेक्जेंड्रिया के पप ने लिखा है कि सदियों पहले आर्कमिडीज ने 13 अन्य "नियमित पॉलीहेड्रा" की खोज की थी - जाहिर है, जिसे अब आर्किमिडीयन निकाय कहा जाता है - हालांकि इसका विवरण खो गया है। और एक हजार साल के लिए, पॉलीहेड्रा के लिए बहुत कम हुआ है। लेकिन 15 वीं शताब्दी में, पुनर्जागरण की शुरुआत के साथ, पॉलीहेड्रोन अचानक फिर से फैशनेबल हो गए। लियोनार्डो दा विंची और अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने नियमित रूप से कला और डिजाइन में उनका उपयोग किया, कुछ आर्किमिडीज़ निकायों को फिर से खोजा - साथ ही नए पॉलीहेड्रा की खोज की, उदाहरण के लिए, आइकोडोसोडेकेरडॉन।

लेकिन पॉलीहेड्रा के लिए सबसे बड़ा कदम XVII सदी की शुरुआत में जोहान्स केपलर का काम था। यह सब एक सुंदर, यद्यपि पूरी तरह से गलत सिद्धांत के साथ शुरू हुआ। केपलर ने धार्मिक मान्यताओं के आधार पर, यह माना कि यूनिवर्स को गणितीय परिशुद्धता के साथ बनाया जाना चाहिए, और सुझाव दिया कि उस समय ज्ञात छह ग्रह, नेस्टेड क्षेत्रों के साथ घूमते हैं और लगभग पांच प्लैटोनिक ठोसों का वर्णन करते हैं:



अपनी 1619 की पुस्तक हारमोंस मुंडी, हार्मनी ऑफ द वर्ल्ड में केप्लर ने तर्क दिया कि संगीत, ग्रह और आत्माओं की कई विशेषताएं समान ज्यामितीय संबंधों और सिद्धांतों के अनुसार काम करती हैं। तर्कों की पुष्टि करने के लिए, केप्लर ने बहुभुज और पॉलीहेड्रा का अध्ययन किया, विशेष रूप से उन वस्तुओं में रुचि ले रहा है जो प्लैटोनिक ठोस जैसे पूर्ण सेट बनाते हैं।

उन्होंने "संपर्क पॉलीहेड्रा" का अध्ययन किया, जिसके साथ विमान को प्रशस्त किया - और पाया, उदाहरण के लिए, " राक्षसी टाइलें ", जैसा कि उन्होंने उन्हें बुलाया (पेंटागन, पेंटाग्राम और डिकैगन से मिलकर)। उन्होंने "स्टेलिएट पॉलीहेड्रॉन" का अध्ययन किया और प्लैटोनिक ठोस (और केपलर - पाइन्सोट बॉडी ) के विभिन्न स्टेलेट संस्करण पाए। 1611 में, उन्होंने बर्फ के टुकड़े की हेक्सागोनल संरचना के बारे में एक छोटी पुस्तक प्रकाशित की, जो उनके एक संरक्षक को नए साल के लिए एक उपहार के रूप में लिखा गया था। इस पुस्तक में उन्होंने तीन आयामी पैकिंग की चर्चा की (और गोलाकार परमाणु), इस परिकल्पना का प्रस्ताव है कि तीन आयामी अंतरिक्ष में गेंदों की घनी पैकिंग (हम नियमित रूप से दुकानों में फलों के पैक में इसके कार्यान्वयन का निरीक्षण करते हैं) एक चेहरा केंद्रित घन पैकिंग है (यह परिकल्पना औपचारिक रूप से केवल 2000 के बाद साबित हुई थी वर्ष - गणितज्ञ का उपयोग करते हुए)।

विभिन्न केपलर पैकेजों में, विभिन्न पॉलीहेड्रॉन छिपे हुए हैं। चलो किसी भी क्षेत्र से शुरू करते हैं, अपने पड़ोसियों को लेते हैं और पॉलीहेड्रोन के कोने बनाने के लिए अपने केंद्रों को जोड़ते हैं। केपलर की सबसे अच्छी पैकिंग में, 12 अन्य किसी भी क्षेत्र को स्पर्श करते हैं, और उनके केंद्रों से 12 कोने और 14 चेहरे के साथ एक क्यूबक्टाहेड्रोन प्राप्त होता है। लेकिन केप्लर ने एक और पैकेज, 8% कम घने वर्णन किया, जिसमें प्रत्येक क्षेत्र को 8 अन्य लोगों द्वारा कवर किया गया है, और अन्य 6 बहुत करीब हैं। यदि हम उनके केंद्रों को जोड़ते हैं, तो हमें एक तिरछे डोडेकेहेड्रॉन मिलते हैं, जिसमें 14 कोने और 12 चेहरे होते हैं:



इसकी खोज करने के बाद, केप्लर ने अन्य "रंबिक पॉलीहेड्रा" की खोज शुरू की। रम्बिक डोडेकाहेड्रॉन में जो उन्होंने पाया, रंबो में समबाहु त्रिभुज के जोड़े शामिल थे। लेकिन 1619 तक केप्लर ने सुनहरे छंदों का भी अध्ययन किया - और एक झोंपड़ी बत्तीस तरफा मिली, जिसके बाद उन्होंने अपनी पुस्तक में अपनी सुंदर छवि चित्रित की, जो रंबिक डोडेकाहेड्रोन के बगल में थी:



केप्लर ने तुरंत रंबल पॉलीगोन के लिए आवेदन पाया: वह 1610 में गैलीलियो द्वारा खोजे गए बृहस्पति के चार चंद्रमाओं की कक्षाओं के लिए उपयुक्त घोंसले के गोले का एक मॉडल बनाने के लिए उन्हें और एक घन का उपयोग करना चाहता था।

केप्लर ने रेकॉम्बिक हेक्साहेड्रोन को क्यों नहीं खोला? मुझे लगता है कि वह उसके काफी करीब आ गया। उन्होंने गैर-उत्तल स्टेलेट पॉलीहेड्रोन का अध्ययन किया। उन्होंने रंबिक पॉलीहेड्रा को देखा। लेकिन, जाहिरा तौर पर, उनके खगोलीय सिद्धांतों के लिए, एक मकबरा तीस-पक्षीय पर्याप्त था, जिसके बाद उन्होंने खोज बंद कर दी।

नतीजतन, निश्चित रूप से, केप्लर के नियम, जो पॉलीहेड्रोन से संबंधित नहीं हैं, खगोल विज्ञान के लिए मुख्य योगदान बन गए, जो इससे बच गए। लेकिन केपलर के पॉलीहेड्रॉन पर काम - यद्यपि एक गलत भौतिक सिद्धांत के ढांचे में किया गया - गणित के लिए एक शाश्वत योगदान है।

अगली तीन शताब्दियों में, विभिन्न शुद्धता के अधिक पॉलीहेड्रॉन पाए गए - और XX गणितज्ञों की शुरुआत से पहले से ही उनके कई प्रकारों को जानते थे:



लेकिन, जहां तक ​​मैं बता सकता हूं, उनमें कोई आरएस नहीं था। उनकी खोज ने हेल्मुट अनकेलबाक के काम की प्रतीक्षा की। 1910 में जन्मे, उन्होंने 1937 में म्यूनिख विश्वविद्यालय में गणित में अपने डॉक्टरेट की रक्षा की (हालांकि उन्होंने पहली बार भौतिकी का अध्ययन किया था)। उन्होंने कंफर्म मैपिंग पर कई काम लिखे, और - शायद पॉलीहेड्रा की मैपिंग के अध्ययन के कारण - 1940 में जर्मन में "एज-सिमेट्रिक पॉलीहेड्रा" नामक काम प्रकाशित किया।

उन्होंने बताया कि उनका लक्ष्य सभी संभावित पॉलीहेड्रा का एक व्यापक अध्ययन था जो शुद्धता की एक विशेष नई परिभाषा को संतुष्ट करता है: सभी किनारों की लंबाई समान है और पॉलीहेड्रोन के समरूपता के विमान में हैं। काम का मुख्य परिणाम इस संपत्ति के 20 विभिन्न पॉलीहेड्रा के साथ एक तालिका थी:


क्लिक करने योग्य

उनमें से ज्यादातर पहले से ही प्रसिद्ध थे। लेकिन अनकेलबाक ने उनमें से तीन को गुनगुनाया, जिसे उन्होंने नया माना: दो हेक्साकिसोसेहेड्रा (या डिसाकिस डोडेकाहेड्रोन), दो हेक्साकिसिकोसाहेद्रा (या डिसैडिसिएट्रोन्टाहेड्रोन) और जिसे उन्होंने रोंम्बेन्हेक्सकंटैडर, या एक रॉम्बिक हेक्साहॉकर कहा। और उन्होंने आरएसएच को अपनी मुख्य उपलब्धि के रूप में स्पष्ट रूप से माना, और अपने द्वारा बनाए गए अपने मॉडल की एक तस्वीर शामिल की:



वह RS कैसे लाया? उन्होंने डोडेकेहेड्रोन के साथ शुरुआत की, और समरूपता के अपने दो विमान को परिभाषित किया:



फिर इसके प्रत्येक चेहरे को विभाजित किया:



फिर, संक्षेप में, उसने प्रत्येक चेहरे के केंद्रों को एक निश्चित α द्वारा गुणा किए गए केंद्र से सामान्य दूरी के बराबर दूरी से निचोड़ा।



Α <1 के लिए, परिणामी चेहरे प्रतिच्छेद नहीं करते थे। लेकिन α के अधिकांश मूल्यों के लिए, उनके पक्ष समान नहीं थे। यह केवल एक निश्चित मामले में होता है - जब परिणामस्वरूप पॉलीहेड्रॉन बिल्कुल आरएस के साथ मेल खाता है।

Unelelbach ने अपने 1940 के काम को "क-सममित पॉलीहेड्रा" के अधिक कठोर अध्ययन के लिए "कम-समरूपता आवश्यकताओं" के साथ "वार्म-अप" माना। लेकिन पहले से ही, निश्चित रूप से, यह एक चमत्कार था कि द्वितीय विश्व युद्ध की शुरुआत के बाद, जर्मनी में एक गणितीय पत्रिका प्रकाशित हुई थी - इस प्रकाशन के तुरंत बाद, Unkelbach को सामने बुलाया गया, जहां उन्होंने कई सालों तक जर्मन बेड़े के लिए ध्वनिक टॉरपीडो विकसित किए।

उन्होंने पॉलीहेड्रा पर अधिक काम प्रकाशित नहीं किए, और 1968 में उनकी मृत्यु हो गई। वर्षों के बाद, वह कन्फर्मिंग मैपिंग में लौट आए, और मतदान के सिद्धांत पर भी प्रकाशित करना शुरू कर दिया, इसे एक अच्छी तरह से कार्यशील लोकतंत्र बनाने की कुंजी मानते हुए, और लोगों को बनाने के लिए गणितज्ञों को सोचने के लिए बाध्य किया गया। इसका उपयोग शुरू कर दिया।

लेकिन, 1940 के काम में भी, आरएस वहां हमेशा के लिए रह सकता था यदि 1946 में कोई हेरोल्ड स्कॉट मैकडोनाल्ड कॉक्सटर ने अपेक्षाकृत नए जर्नल अमेरिकन मैथमेटिकल रिव्यू के लिए इस काम की संक्षिप्त समीक्षा नहीं लिखी होती। उनकी समीक्षा कार्य में उल्लिखित पॉलीहेड्रोन को सूचीबद्ध करती है, क्योंकि एक प्रकृतिवादी एक अभियान पर उसके द्वारा खोजी गई नई प्रजातियों को सूचीबद्ध कर सकता है। मुख्य बात यह है कि उन्होंने वहां "उल्लेखनीय कविता हेक्साहेड्रॉन" का वर्णन किया है, और उल्लेख किया है कि "इसके चेहरे का आकार तीस-तरफा के चेहरों के आकार के साथ मेल खाता है, जिससे यह एक तारा आकार देकर प्राप्त होता है"।

20 वीं शताब्दी के मध्य में पॉलीहेड्रॉन गणित में एक लोकप्रिय विषय नहीं था, लेकिन कॉक्सटर उनका मुख्य समर्थक था - और किसी भी तरह उन सभी के साथ जुड़ा हुआ था जिन्होंने उनका अध्ययन किया था। 1948 में, उन्होंने द राइट पॉलिटिकल साइंटिस्ट नामक पुस्तक प्रकाशित की। यह व्यवस्थित रूप से नियमित रूप से पॉलीहेड्रा के विभिन्न परिवारों का वर्णन करता है, विशेष रूप से, और महान स्टेललेट तीस- सिरों वाले पॉलीहेड्रॉन - वास्तव में, जिसमें एक आरएस होता है:



लेकिन अपनी पुस्तक में, Coxeter ने स्पष्ट रूप से RS का उल्लेख नहीं किया है, और यद्यपि उन्हें कुछ पॉलीहेड्रॉन प्रेमियों के संदर्भों से सम्मानित किया गया था, RS को बहुत कम जाना जाता रहा।

quasicrystals

क्रिस्टल हमेशा प्रकृति में पॉलीहेड्रा के महत्वपूर्ण उदाहरण रहे हैं। लेकिन 19 वीं शताब्दी तक, जब परमाणु सिद्धांत अधिक से अधिक मान्यता प्राप्त कर रहा था, वैज्ञानिकों ने क्रिस्टलोग्राफी और क्रिस्टल में परमाणुओं की व्यवस्था के क्षेत्र में अधिक से अधिक गंभीर शोध करना शुरू कर दिया। पॉलीहेड्रा अक्सर दिखाई देने लगे, विशेष रूप से, क्रिस्टल में परमाणुओं ("कोशिकाओं") को दोहराने के ज्यामिति के निरूपण में।

1850 तक, यह ज्ञात था कि इस तरह के केवल 14 ज्यामिति हो सकते हैं - उनमें से एक भी है जो डोंबेकहेड्रॉन पर आधारित है। वे दूसरे, तीसरे, चौथे या छठे क्रम के समरूपों की उपस्थिति के लिए उल्लेखनीय हैं - जो, संक्षेप में, इस तथ्य का एक परिणाम है कि अंतरिक्ष केवल कुछ पॉलीहेड्रा से भरा जा सकता है, जैसे कि केवल नियमित बहुभुज जैसे कि वर्ग दो-आयामी विमान को भर सकते हैं, त्रिकोण और षट्भुज।

अन्य के बारे में क्या है, गैर-क्रिस्टलीय सामग्री - जैसे तरल पदार्थ या ग्लास? 20 वीं शताब्दी की शुरुआत के बाद से, लोगों को कम से कम लगभग पांचवें क्रम के समरूपों की उपस्थिति की संभावना में दिलचस्पी थी। सही इकोसैड्रोन के साथ अंतरिक्ष को भरना संभव नहीं होगा, लेकिन उनके बीच छोटे अंतराल के साथ अंतरिक्ष के बीस-तरफा अनुभाग बनाना संभव हो सकता है।

यह सवाल 1980 के दशक तक अनसुलझा रहा, जब एल्यूमीनियम और मैंगनीज के तेजी से ठंडा किए गए मिश्र धातु का उपयोग करके इलेक्ट्रॉन विवर्तन क्रिस्टलोग्राफी ने पांच गुना समरूपता की उपस्थिति का प्रदर्शन किया। इस समरूपता को प्राप्त करने के सिद्धांत पहले से ही मौजूद थे, और कुछ वर्षों के बाद, एक इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप द्वारा बनाई गई छवियां भी दिखाई दीं, जिन पर एक तीस-पक्षीय के आकार वाले कण दिखाई दे रहे थे:



और, जब लोगों ने कल्पना की कि कैसे इन तीस-हेप्टाहेड्रोन को एक-दूसरे के साथ जोड़ा जा सकता है, तो एक रोम्बिक छत्ता-हेक्सा दिखाई दिया - 12 रोम्बिक त्रिधारा के एक क्लस्टर में "छेद" के रूप में:



पहले तो इसे 20-नुकीला तारा कहा जाता था। लेकिन तब यह पॉलीहेड्रोन पर साहित्य में वर्णन के साथ जुड़ा हुआ था, और आरएस के रूप में पहचाना गया था।

इस बीच, rhombic तत्वों से ऑब्जेक्ट बनाने का विचार अधिक से अधिक लोकप्रियता प्राप्त कर रहा था। माइकल लॉन्ग हिगिंस, एक समुद्र विज्ञानी और समुद्र की लहर गठन में एक विशेषज्ञ, बड़े पैमाने पर शौक में शामिल हो गए, और 1987 में उन्होंने एक खिलौना rhombohedral तत्वों के आधार पर पेटेंट कराया, जिसमें से "केप्लर स्टार" (आरएस) या "केपलर बॉल" (रोम्बिक तीस) को इकट्ठा करना संभव था ):



और - हालांकि मुझे केवल इसके बारे में अब पता चला है - rhombohedral ब्लॉक, जिसे हमने 2009 में "शिपास्टिक्स" बनाने के लिए एक विकल्प के रूप में माना था, वास्तव में कंपनी डेक्स्ट्रो गणितीय खिलौने (Rhombo.com) द्वारा उत्पादित किया गया था, जो सैन में लोंगे-हिगिंस के आधार पर काम करता था। डिएगो।

तीन-आयामी आंकड़ों के साथ सफलतापूर्वक अंतरिक्ष भरने का मुद्दा - या यहां तक ​​कि दो-आयामी आंकड़ों के साथ एक विमान - बल्कि जटिल है। यह 1960 के दशक के बाद से ज्ञात है कि सामान्य स्थिति में, एक निश्चित सेट के रूप में विमान को भरा जा सकता है, इस समस्या का हल नहीं है। (सिद्धांत रूप में, यह जांचा जा सकता है कि क्या इनमें से 1000 रूपों को एक दूसरे के साथ बनाया जा सकता है, लेकिन हम जितने अधिक रूपों पर विचार करेंगे, उतने अधिक कंप्यूटिंग संसाधनों की आवश्यकता होगी।)

केपलर जैसे लोगों ने शायद यह मान लिया था कि यदि आकृतियों का एक सेट एक विमान को भर सकता है, तो यह एक दोहराव पैटर्न के रूप में किया जा सकता है। हालांकि, यह स्पष्ट हो जाने के बाद कि सामान्य स्थिति में यह समस्या हल नहीं हुई थी, 1974 में रोजर पेनरोज़ दो रूपों के साथ आए, जो कि पैटर्न को दोहराए बिना विमान को भर सकते हैं। 1976 तक, पेनरोज़ (और रॉबर्ट अम्मन) इन रूपों के सरलीकृत संस्करण के साथ आए थे:



और, हां, ये रूप रंबों जैसे दिखते हैं, हालांकि सोने के नहीं। लेकिन 36 °, 144 ° और 72 °, 108 ° के कोण के साथ, उनके पास 5-गुना और 10-गुना समरूपता है।

ये प्रकंद दोहराए जाने वाले पैटर्न को पूरा नहीं कर सकते हैं। लेकिन यह पता चला है कि वे एक व्यवस्थित नेस्टेड तरीके से निर्मित पैटर्न को बाहर कर सकते हैं:



और, हाँ, तीसरे चरण का मध्य भाग चपटे शिपास्टिक के समान है। लेकिन यह इसके साथ पूरी तरह से मेल नहीं खाता है, बाहरी rhombuses एक अलग प्रारूप है।

हालांकि, उनके बीच एक करीबी संबंध अभी भी मौजूद है। कल्पना कीजिए कि हम एक विमान से नहीं, बल्कि तीन आयामी तिर्यक तीस-वर्ग के आधे हिस्से से शुरू करेंगे, जिसमें सुनहरे छंद हैं:



ऊपर से, यह बिल्कुल नेस्टेड पेनरोज़ मोज़ेक डिज़ाइन की शुरुआत जैसा दिखता है। यदि हम इस प्रक्रिया को जारी रखते हैं, तो हमें यह मोज़ेक मिलता है:



यदि आप इसे "ओर से" देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि ये अभी भी एक ही सुनहरी कविता हैं:



इन "विरिंगा छतों" में से चार को संकलित करने के बाद, आप आरएस प्राप्त कर सकते हैं:



इन एम्बेडेड संरचनाओं के बीच क्या संबंध है और भौतिक क्सीसिस्टल बनाने का वास्तविक तरीका क्या है? यह अभी तक स्पष्ट नहीं है। लेकिन यह देखना काफी दिलचस्प है कि प्रकृति में आरएस के संकेत कैसे दिखाई देते हैं।

ऐतिहासिक रूप से, यह क्वैस्क्रिस्टल की चर्चा के लिए धन्यवाद था कि सैंडोर काबेई ने गणितज्ञ का उपयोग करते हुए आरएस का अध्ययन करना शुरू कर दिया, जिसके कारण एरिक वेनस्टेन ने उन्हें खोज लिया, जिससे उनका गणित और वोल्फग्राम भाषा में समावेश हो गया, जिसके कारण मुझे उनके लोगो में से एक का चयन करना पड़ा। इसके सम्मान में, हम अपने पेपर शिपस्टिक के अंदर एक पेनरोज़ मोज़ेक प्रिंट करते हैं:

चपटा कांटा

वुल्फराम के लिए हमारा शिपास्टिक | अल्फा 2009 में वुल्फ्राम की रिलीज के साथ दुनिया में फटा। लेकिन हमारे पास गणितज्ञों के लिए हमारा शिपस्टिक भी है, जो लंबे समय से विकसित और विकसित हो रहा है। इसलिए, जब हमने 2011 में अपना नया यूरोपीय मुख्यालय बनाया, तो दो शिपास्तिकों ने इसमें उपस्थिति के लिए प्रतिस्पर्धा की।

हमारे लंबे समय के कला निर्देशक जेरेमी डेविस निम्नलिखित के साथ आए: शिपास्टिक्स में से एक को ले लो और उसे केवल "कंकाल" का उपयोग करके "आदर्श" बनाएं। रुपये के साथ शुरू करने का निर्णय एक सरल था। लेकिन फिर हमने इसे चपटा कर दिया, और इसलिए अब परिचित लोगो का पहला संस्करण दिखाई दिया:

ब्राजील के आश्चर्य

जब मैंने यह लेख शुरू किया, तो मुझे लगा कि पूरी कहानी वहीं खत्म हो जाएगी। आखिरकार, मैंने पहले ही वर्णन किया है कि हमने अपने लिए आरएस को कैसे चुना और गणितज्ञ इसके साथ कैसे आए। लेकिन इससे पहले कि मैंने लिखना समाप्त किया, मैंने फैसला किया: "मैं सभी वर्षों के लिए शिपास्तिक के बारे में सभी पत्रों को देखूंगा, बस यह सुनिश्चित करने के लिए कि मैं कुछ भी याद नहीं करता हूं।"

और फिर मैंने जून 2009 में ब्राजील के कलाकार योलान्डा किप्रियनो का एक ई-मेल देखा। उसने लिखा कि उसने वोल्फ्राम के बारे में एक लेख देखा। एक ब्राज़ीलियाई समाचार पत्रिका में अल्फ़ा, शिपास्तिका पर ध्यान आकर्षित किया, और उसे अपनी साइट का लिंक प्रदान किया। तब से 9 साल से अधिक समय बीत चुका है, लेकिन मैंने अभी भी इस लिंक का पालन किया है, और निम्नलिखित को देखकर चकित था:



मैंने उसके पत्र को पढ़ना जारी रखा: "ब्राजील में, इस वस्तु को गिरमुंडोस या" मंदाकरू फूल "कहा जाता है और एक कलात्मक आभूषण के रूप में नैपकिन से बना है।"

क्या! ब्राजील में शिपास्तिक से जुड़ी एक परंपरा है, और सभी वर्षों से हमने इसके बारे में नहीं सुना है? जल्द ही मैंने नेट पर उनकी छवियों की खोज की। मॉडल का एक छोटा हिस्सा कागज से बना था, इसमें से अधिकांश कपड़े से बने थे - लेकिन उनमें से कई थे:



मैंने अपने ब्राज़ीलियन दोस्त को लिखा जो वोल्फ्राम के पहले संस्करणों पर काम करता था। अल्फा | उसने जल्दी से उत्तर दिया: "ये वस्तुएं वास्तव में परिचित लगती हैं। मेरी शर्म की बात है, मुझे दो और दो की तुलना करने की पर्याप्त इच्छा नहीं है, "और मुझे कला और शिल्प के कार्यों की स्थानीय सूची से चित्र भेजे:



शिकार शुरू हुआ: ये वस्तुएं क्या थीं और ये कहां से आई थीं? हमारी कंपनी के किसी व्यक्ति ने कहा कि चिली से उसकी परदादी ने ऐसी चीजों पर अत्याचार किया, और हमेशा उन्हें एक पूंछ बनाया। हमने ऐसे लोगों से संपर्क करना शुरू कर दिया, जिन्होंने नेट पर "लोक जहाज" की तस्वीरें पोस्ट की थीं। काफी बार यह पता चला कि उन्होंने अपनी प्रतियां दुकानों में खरीदीं। लेकिन कभी-कभी लोगों ने कहा कि वे जानते हैं कि उन्हें कैसे बनाना है। और सभी के पास लगभग एक ही कहानी थी: उन्होंने अपनी दादी से यह सीखा।

लोक स्पाइक्स को इकट्ठा करने का एक विशिष्ट तरीका - कम से कम हमारे समय में - कार्डबोर्ड से 60 हीरे काटना है। फिर सभी को कपड़े में लपेटना होगा, और उन्हें एक साथ सीना होगा:



लेकिन फिर एक गणितीय समस्या तुरंत पैदा होती है। क्या ये लोग 63 ° के कोण के साथ सुनहरे rhombuses को सही ढंग से चिह्नित और नक्काशी कर रहे हैं? आमतौर पर नहीं। वे समभुज त्रिकोणों के जोड़े से 60 ° के साथ रंबोम बनाते हैं - यह रजाई के निर्माण में उपयोग किया जाने वाला मानक रॉमबॉइड आकार है। तो कांटों के बारे में कैसे आते हैं? खैर, 60 ° और 63 ° के बीच का अंतर छोटा है, और यदि आप एक साथ चेहरे को सीवे करते हैं, तो पैंतरेबाज़ी के लिए उनके बीच पर्याप्त जगह होगी, इसलिए बिल्कुल सटीक कोण प्राप्त किए बिना पॉलीहेड्रॉन बनाना काफी सरल है। (अर्ध-शिपास्तिक भी हैं, जैसे कि अनकेलबाक के निर्माण में, चेहरों की जगह लकीरें नहीं हैं, बल्कि तेज "बाहरी त्रिकोण" हैं)।

इंटरनेट पर स्पाइक्स को अलग तरीके से नामित किया गया है। सबसे अधिक बार - गिरमुंडोस। अक्सर उन्हें एस्टेलस दा फेलिडिड ("खुशी के सितारे") कहा जाता है। इस तथ्य को कि उन्हें कभी-कभी "मोरेवियन स्टार" कहा जाता है, भ्रामक है, लेकिन वास्तव में, मोरेवियन सितारे बहुत तेज पॉलीहेड्रॉन हैं (जो कि अक्सर रंबोकोबूक्टाहेड्रॉन से बने होते हैं), जिन्हें हाल ही में लुमिनायर्स से लोकप्रियता मिली है।

एक लंबी जांच के बावजूद, मुझे अभी भी लोक स्पाइक्स के पूरे इतिहास का पता नहीं है। यहां मैंने वही खोजा है।सबसे पहले, आज ज्यादातर लोकप्रिय स्पाइक्स ब्राजील में केंद्रित हैं (हालांकि हमारे पास अन्य स्थानों में उनके स्वरूप के बारे में कहानियां हैं)। दूसरे, परंपरा काफी पुरानी लग रही है, यह निश्चित रूप से 20 वीं शताब्दी से पहले दिखाई दी थी, और, शायद, कई शताब्दियों पहले। जहां तक ​​मैं बता सकता हूं, यह मुंह से मुंह तक जाता है, जैसा कि आमतौर पर लोक कला के मामले में होता है, और मुझे इस विषय पर कोई वास्तविक ऐतिहासिक दस्तावेज नहीं मिला है।

मुझे सबसे अच्छी जानकारी एक निश्चित पाउला गुएरा द्वारा प्रदान की गई थी, जो एक पर्यटक कैफे में लोक स्पाइक्स बेचती थी जो कि वह दस साल पहले ऐतिहासिक शहर साओ लुइस डू पैराटिंग में स्थित थी। उसने कहा कि पूरे ब्राज़ील के लोग उसके कैफ़े में आए, लोक-स्पाइक देखे, और कुछ इस तरह से बोले, "मैंने लगभग 50 वर्षों से ऐसी चीज़ें नहीं देखी हैं।"

पाउला ने खुद को लोक स्पाइक्स के बारे में सीखा (वह उन्हें "स्टार" कहती है) एक बड़ी उम्र की महिला से, जो एक परिवार के खेत पर रहती थी, जो उन्हें तब से बना रही थी, जब वह एक लड़की थी और उसने अपनी माँ से यह सीखा। उसकी प्रक्रिया - जाहिरा तौर पर एक विशिष्ट - जिसमें कहीं न कहीं कार्डबोर्ड इकट्ठा करना शामिल था (मूल रूप से यह टोपी बक्से की तरह कुछ था), कपड़े से टुकड़ों को ढंकते हुए और उन्हें एक साथ सिलाई करते हुए आकार में लगभग 15 सेमी की एक वस्तु प्राप्त करने के लिए।

लोककथा कितनी पुरानी है? इसे केवल मौखिक परंपरा द्वारा सराहा जा सकता है। हमें ऐसे कई लोग मिले जिन्होंने देखा कि कैसे 1900 क्षेत्र में पैदा हुए अपने रिश्तेदारों द्वारा शिपस्टिक्स बनाए गए थे। पाउला ने कहा कि दस साल पहले वह एक 80 वर्षीय महिला से मिली थी, जिसने उसे बताया था कि जब वह 200 साल पहले एक कॉफी फार्म में बड़ी हो रही थी, तो वहां एक पूरी शेल्फ थी, जहां महिलाओं की चार पीढ़ियों द्वारा बनाई गई लोक स्पाइक थीं।

राष्ट्रीय जहाज़ के इतिहास का एक हिस्सा माँ से बेटी के लिए प्रेषित परंपराओं के इर्द-गिर्द घूमता है। ऐसा कहा जाता है कि माताओं ने अक्सर अपनी बेटियों के लिए शादी के तोहफे के रूप में स्पाइक्स बनाए। आमतौर पर, शिपस्टिक्स कपड़ों और अन्य चीजों के स्क्रैप से बनाए जाते थे जो बेटियों को उनके बचपन के बारे में याद दिलाते हैं - जैसे कि पैचवर्क रजाई आज कॉलेज जाने वाले बच्चों के लिए कर रहे हैं।

हालांकि, लोक स्पाइक्स के साथ एक और मोड़ की खोज की गई थी: अक्सर एक खिलौने पर सिलाई करने से पहले, मां ने पैसे के अंदर रखा था कि उनकी बेटी गंभीर मामलों में उपयोग कर सकती है। और बेटी ने अपने सिलाई की आपूर्ति के साथ अपने जहाज को रखा, जहां उसके पति ने शायद ही उसे पाया होगा। कुछ स्पाइक्स का उपयोग तकिया पिन के रूप में किया गया था - जो कि पतियों के लिए एक अतिरिक्त बाधा के रूप में कार्य कर सकती थी।

किन परिवारों ने लोक स्पाइक बनाने की परंपरा का समर्थन किया? लगभग 1750 के बाद से, ब्राजील के ग्रामीण इलाकों में कई कॉफी और चीनी बागान आए हैं, जो शहरों से दूर हैं। लगभग 20 वीं शताब्दी तक, किसान अक्सर लड़कियों को अपनी दुल्हन के पास ले जाते थे - अक्सर बहुत युवा, 13 साल की उम्र तक - दूरदराज के शहरों से। शायद ये दुल्हनें - आमतौर पर पुर्तगाली वंश के अच्छे परिवारों से आती हैं, अपेक्षाकृत अच्छी शिक्षा के साथ - साथ लोक काँट भी ले जाती हैं।

जाहिर है, समय के साथ, परंपरा बदतर परिवारों में फैल गई, और मूल रूप से वहां बनी रही। लेकिन 20 वीं शताब्दी के मध्य में - शायद जब देश में सड़कें दिखाई देने लगीं, शहरीकरण शुरू हुआ और लोगों ने खेतों को छोड़ना शुरू कर दिया - परंपरा लगभग मर गई। हालांकि, 1950 के दशक में दक्षिणी ब्राजील के ग्रामीण स्कूलों में लड़कियों को गुल्लक के रूप में उपयोग के लिए एक विशेष स्लॉट के साथ लोक स्पाइक बनाने के लिए कला कक्षाओं में पढ़ाया जाता था।

ब्राजील के विभिन्न हिस्सों में लोक के स्पाइक्स का एक अलग इतिहास है। दक्षिणी सीमा क्षेत्रों (अर्जेंटीना और उरुग्वे के पास) में एक परंपरा है जिसके अनुसार "सेंट का सितारा मिगुएल ”(वह भी एक लोक जहाज है) गांवों में महिला-चिकित्सकों (यानी" चुड़ैलों ") द्वारा बनाया गया था, जिन्होंने खिलौने के निर्माण के दौरान, रोगी के स्वास्थ्य के बारे में सोचना था।

ब्राजील के अन्य हिस्सों में, खिलौने को अक्सर फूल और फलों के नाम कहा जाता था, जो उसे थोड़ा मिलता था। उत्तर पूर्व में - फ्लोर मांडकारू (कैक्टस फूलों के नाम से)। उष्णकटिबंधीय आर्द्रभूमि में - कैम्बोला (कारम्बोला फलों के सम्मान में, कभी-कभी "उष्णकटिबंधीय सितारे" कहा जाता है)। केंद्रीय वनाच्छादित क्षेत्रों में - पिंडीवा (लाल नुकीले फल के सम्मान में)।



लेकिन अधिक बार नहीं, लोकप्रिय शिपस्टिका को गिरमुंडो कहा जाता है, बल्कि एक पुराना पुर्तगाली शब्द है जिसका शाब्दिक अर्थ है "घूमता हुआ संसार"। जाहिर है, खिलौने ताबीज के रूप में उपयोग किए जाते थे जो हवा में अपने रोटेशन के साथ अच्छी किस्मत लाते हैं। पूंछ हाल ही में उनके साथ संलग्न होना शुरू हुई, लेकिन, जाहिर है, उन्हें घरों में लटकाए जाने की प्रथा थी, संभवतः छुट्टियों पर।

यह अक्सर स्पष्ट नहीं होता है कि शिपस्टिका को जन्म देने वाली कौन सी परंपराएं मूल थीं, और जो हाल ही में दिखाई दीं। साओ लुइस डो पैराटिंग में एपिफेनी डे परेड (स्थानीय नाम "तीन राजाओं का दिन" है) पर, लोक स्पाइक्स को बेथलेहम के स्टार के प्रतीक के रूप में इस्तेमाल किया गया था - लेकिन यह, जाहिरा तौर पर, एक बहुत प्राचीन परंपरा नहीं है, और स्पष्ट रूप से कोई कनेक्शन नहीं दिखाता है धर्म के साथ।

हमें कला प्रदर्शनियों में दिखने वाले लोक स्पाइक्स के कई उदाहरण मिले। उनमें से एक, 1963 में आयोजित, और पूर्वोत्तर ब्राजील की लोक कला के लिए समर्पित, वास्तुकार लीना बो बर्दी द्वारा आयोजित किया गया था। अन्य, जहां तीन-आयामी स्पाइक्स मैंने देखे हैं, सबसे बड़ा, 1997 में वास्तुकार और डिजाइनर व्लादिवो इम्पीओ द्वारा आयोजित किया गया था:



तो लोक स्पाइक कहां से आए? मैं अभी भी यह नहीं जानता। वे ब्राजील में दिखाई दे सकते थे, वे पुर्तगाल या यूरोप के किसी अन्य हिस्से से आ सकते थे। तथ्य यह है कि वे अपने निर्माण के लिए कपड़े के टुकड़े और सिलाई का इस्तेमाल करते थे, उनके अफ्रीकी या मूल अमेरिकी मूल के पक्ष में तर्क हो सकते हैं।

शिपस्टीक बनाने वाली एक आधुनिक शिल्पकार ने कहा कि उसकी परदादी - जिसने इस तरह के खिलौने बनाए थे और 19 वीं सदी के अंत में पैदा हुई थी - रोमगना नामक इटली के एक क्षेत्र से आती है (और एक ने कहा कि उसने अपनी दादी से शिपास्टिक्स बनाना सीखा, जो फ्रांसीसी कनाडाई से आए थे)। मुझे लगता है कि यह बहुत संभव है कि यूरोप में लोक स्पाइक एक बार आम थे, लेकिन कई पीढ़ियों पहले मृत्यु हो गई, और यह परंपरा वहां नहीं बची। और यद्यपि पिछली शताब्दियों के यूरोपीय चित्रों में बहुत सारे अलग-अलग पॉलीहेड्रोन दिखाई देते हैं, मुझे उनके बीच शिपास्तिक की किसी भी छवि के बारे में पता नहीं है (यह भी कि मैंने इस्लामी कला में शिपास्टिक नहीं देखा है)।

लेकिन मुझे पूरा यकीन है कि लोक स्पाइक के मूल में एक बिंदु है। ऐसी चीज का आविष्कार शायद ही दो बार हुआ होगा।

मुझे कहना होगा कि कला के क्षेत्र में यह मेरा पहला शिकार नहीं है। पहले एम्बेडेड पैटर्न ( Sierpinski ) की खोज अधिक सफल रही - जिसने अंततः मुझे इतालवी चर्च में क्रिप्ट की ओर अग्रसर किया, जहां मैंने देखा कि कैसे इस पैटर्न को 13 वीं शताब्दी से डेटिंग पत्थर की मोज़ेक के उदाहरण का उपयोग करके धीरे-धीरे खोजा गया था।

अब तक, शिपास्तिक को इतनी आसानी से नहीं दिया गया है - और स्थिति को जटिल करता है तथ्य यह है कि मूल रूप से यह कपड़े से बना था जो पत्थर के रूप में अच्छा नहीं रहता है।

जीवन में स्पाइक्स आते हैं

जो भी इसकी उत्पत्ति है, शिपास्तिक एक मजबूत और योग्य लोगो की भूमिका निभाता है। लेकिन कभी-कभी शिपास्टिक को फिर से जीवित करने के लिए यह मजेदार है - और वर्षों से हमने विभिन्न कारणों से विभिन्न वैयक्तिकृत शिपस्टीक्स का उत्पादन किया है: वुल्फ्राम



का उपयोग करते समय। अल्फा, सिस्टम आमतौर पर एक ज्यामितीय शिपास्टिक प्रदर्शित करता है। लेकिन कभी-कभी आपका अनुरोध इसे एनिमेट करता है - उदाहरण के लिए, pi दिन blog के लिए अनुरोध:

blog.stephenwolfram.com/data/uploads/2018/12/spikey-lives-happy-pi-day-video.mp4

हमेशा के लिए स्पाइक्स

पॉलीहेड्रा शाश्वत हैं। उन्हें 500 साल पहले की छवि में देखा जा सकता है, जो मेरे कंप्यूटर पर पॉलीहेड्रोन के समान स्पष्ट और आधुनिक दिखता है।

मैंने अपना काफी समय अमूर्त कंप्यूटिंग चीजों (उदाहरण के लिए, सेलुलर ऑटोमेटा) की खोज में बिताया। उनमें कुछ समयहीनता भी है। लेकिन उनके लिए मुझे कोई ऐतिहासिक सबूत नहीं मिला। अमूर्त वस्तुओं की तरह, उन्हें किसी भी समय बनाया जा सकता है। लेकिन वे आज हमारे वैचारिक प्लेटफार्मों और उपकरणों के लिए धन्यवाद के रूप में दिखाई दिए - और किसी ने भी उन्हें पहले नहीं देखा है।

पॉलीहेड्रा का समृद्ध इतिहास और निरंतरता हजारों साल पुरानी है। उपस्थिति में, वे जवाहरात से मिलते जुलते हैं। एक निश्चित प्रकार के सही पॉलीहेड्रोन को खोजना सभी संभावित आकृतियों के ज्यामितीय ब्रह्मांड में एक रत्न खोजने जैसा है।



RS ऐसे अद्भुत पत्थरों में से एक है, और, इसके गुणों का अध्ययन करते हुए, मैं इसे और भी अधिक सराहना करने लगा। लेकिन यह मानव इतिहास के साथ एक मणि भी है - और यह देखना बेहद दिलचस्प है कि एक बहुपत्नी के रूप में इस तरह का अमूर्त दुनिया भर के लोगों को इस तरह के अलग इतिहास और लक्ष्यों के साथ कैसे एकजुट कर सकता है।

रंबिक हेक्साहेड्रॉन का आविष्कार सबसे पहले किसने किया था? हम नहीं जानते हैं, और शायद कभी पता नहीं चलेगा। लेकिन अब हमारे पास यह है, वह हमेशा हमारे साथ रहेगा। मेरा पसंदीदा पॉलीहेड्रॉन।