स्थानिक अभिविन्यास का अनुमान, या महोनी और माजिक फिल्टर से कैसे डरें नहीं

हम किस बारे में बात कर रहे हैं

माजविक फ़िल्टर के बारे में पोस्ट के हेबर पर उपस्थिति अपने तरीके से एक प्रतीकात्मक घटना थी। जाहिरा तौर पर, ड्रोन के लिए सामान्य उत्साह ने निष्क्रिय माप द्वारा शरीर के उन्मुखीकरण का आकलन करने के कार्य में रुचि को पुनर्जीवित किया। इसी समय, कलमन फ़िल्टर पर आधारित पारंपरिक तरीके जनता को संतुष्ट करने के लिए बंद हो गए - या तो कंप्यूटिंग संसाधनों के लिए उच्च आवश्यकताओं के कारण जो ड्रोन के लिए अस्वीकार्य थे, या जटिल और अनजाने सेटिंग्स के कारण।

सी। पर फिल्टर का एक बहुत ही कॉम्पैक्ट और कुशल कार्यान्वयन के साथ पोस्ट किया गया था। हालांकि, टिप्पणियों के आधार पर, इस कोड के भौतिक अर्थ, साथ ही साथ पूरे लेख, किसी के लिए अस्पष्ट बने रहे। खैर, हम ईमानदारी से स्वीकार करते हैं: माजविक फिल्टर बहुत सरल और सुरुचिपूर्ण सिद्धांतों पर आधारित सामान्य रूप से फिल्टर के समूह का सबसे जटिल है। मैं अपनी पोस्ट में इन सिद्धांतों पर विचार करूंगा। यहां कोड नहीं होगा। मेरी पोस्ट अभिविन्यास आकलन एल्गोरिदम के एक विशिष्ट कार्यान्वयन के बारे में एक कहानी नहीं है, बल्कि किसी दिए गए विषय पर अपने स्वयं के बदलावों का आविष्कार करने के लिए एक निमंत्रण है, जो बहुत कुछ हो सकता है।

ओरिएंटेशन व्यू

मूल बातें याद करें। अंतरिक्ष में शरीर के उन्मुखीकरण का आकलन करने के लिए, आपको सबसे पहले कुछ मापदंडों का चयन करना होगा जो एक साथ विशिष्ट रूप से इस अभिविन्यास को निर्धारित करते हैं, अर्थात। अनिवार्य रूप से संबंधित समन्वय प्रणाली का अभिविन्यास $$$xyz$ अपेक्षाकृत सशर्त रूप से नियत प्रणाली - उदाहरण के लिए, भौगोलिक प्रणाली NED (उत्तर, पूर्व, नीचे)। फिर आपको कीनेमेटिक समीकरण बनाने की आवश्यकता है, अर्थात्। जाइरोस्कोप से कोणीय वेग के माध्यम से इन मापदंडों के परिवर्तन की दर को व्यक्त करें। अंत में, किसी को गणना में एक्सेलेरोमीटर, मैग्नेटोमीटर आदि से वेक्टर माप शुरू करने की आवश्यकता होती है। अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने के सबसे सामान्य तरीके यहां दिए गए हैं:

यूलर एंगल्स - रोल (रोल, $$$\ phi$ ), पिच (पिच, $$$$ थीटा$ ), पाठ्यक्रम (शीर्षक, $$$\ psi$ )। यह अभिविन्यास मापदंडों का सबसे सहज और सबसे संक्षिप्त सेट है: मापदंडों की संख्या स्वतंत्रता की घूर्णी डिग्री की संख्या के बराबर है। इन कोणों के लिए, हम यूलर के गतिज समीकरण लिख सकते हैं। वे सैद्धांतिक यांत्रिकी के बहुत शौकीन हैं, लेकिन नेविगेशन समस्याओं में वे कम उपयोग के हैं। सबसे पहले, कोणों को जानना किसी भी वेक्टर के घटकों को एक भौगोलिक समन्वय प्रणाली से जुड़े या सीधे इसके विपरीत से परिवर्तित करने की अनुमति नहीं देता है। दूसरे, degrees 90 डिग्री की पिच पर, गतिज समीकरण पतित हो जाते हैं, रोल और कोर्स अनिश्चित हो जाते हैं।

रोटेशन मैट्रिक्स - मैट्रिक्स $$$\ mathbf {C}$ 3 × 3 आकार, जिसके द्वारा आपको भौगोलिक प्रणाली में समान वेक्टर प्राप्त करने के लिए संबंधित समन्वय प्रणाली में किसी भी वेक्टर को गुणा करना होगा: $$$\ mathbf {r} _ {NED} = \ mathbf {C} \ mathbf {r} _ {xyz}$ । मैट्रिक्स हमेशा ऑर्थोगोनल होता है, अर्थात $$$\ mathbf {C} = \ mathbf {C} ^ {T}$ । इसके लिए गतिज समीकरण का रूप है $$$\ _ {\ _ mathbf {C}} = \ mathbf {C} \ mathbf {\ Omega}$ ।
यहां $$$\ mathbf {\ Omega}$ - एक जुड़े समन्वय प्रणाली में जाइरोस्कोप द्वारा मापा कोणीय वेग घटकों का एक मैट्रिक्स:

$$

$$\ mathbf {\ Omega} = \ start {bmatrix} 0 & - \ omega_ {z} & \ omega_ {y} \\ \ omega_ {z} & 0 & - \ omega_ {x} \\ - \ omega_ {y } & \ omega_ {x} & 0 \\ \ end {bmatrix}$$

रोटेशन मैट्रिक्स Euler कोण की तुलना में थोड़ा कम स्पष्ट है, लेकिन उनके विपरीत, यह आपको सीधे वैक्टर को बदलने की अनुमति देता है और किसी भी कोणीय स्थिति में अर्थ नहीं खोता है। कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण से, इसका मुख्य दोष अतिरेक है: स्वतंत्रता के तीन डिग्री के लिए, नौ मापदंडों को एक बार में पेश किया जाता है, और उन सभी को गतिज समीकरण के अनुसार अद्यतन करने की आवश्यकता होती है। मैट्रिक्स की ऑर्थोगोनलिटी का उपयोग करके समस्या को थोड़ा सरल किया जा सकता है।

रोटेशन का चतुर्भुज अतिरेक और पतन के खिलाफ एक कट्टरपंथी लेकिन बहुत अचूक उपाय है। यह चार घटक वस्तु है। $$$\ mathbf {q} = q_ {0} + q_ {1} \ mathbf {i} + q_ {2} \ mathbf {j} + q_ {3} \ mathbf {k}$ - संख्या नहीं, वेक्टर नहीं और मैट्रिक्स नहीं। चतुष्कोण को दो कोणों से देखा जा सकता है। सबसे पहले, स्केलर की औपचारिक राशि के बारे में कैसे $$$q_ {0}$ और वेक्टर $$$q_ {1} \ mathbf {i} + q_ {2} \ mathbf {j} + q_ {3} \ mathbf {k}$ जहाँ $$$\ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}$ - यूनिट अक्ष वैक्टर (जो, निश्चित रूप से, बेतुका लगता है)। दूसरे, जटिल संख्याओं के सामान्यीकरण के रूप में, जहां अब हम एक नहीं, बल्कि तीन अलग-अलग काल्पनिक इकाइयों का उपयोग करते हैं $$$\ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}$ (जो कम बेहूदा नहीं लगता)। कैसे एक मोड़ से संबंधित है? यूलर के प्रमेय के माध्यम से: किसी निकाय को हमेशा एक दिए गए अभिविन्यास से दूसरे में एक परिमित रोटेशन के साथ किसी भी कोण पर स्थानांतरित किया जा सकता है $$$\ अल्फा$ एक गाइड वेक्टर के साथ कुछ अक्ष के आसपास $$$\ mathbf {u}$ । इन कोण और अक्ष को एक चतुर्भुज में जोड़ा जा सकता है: $$$\ mathbf {q} = \ mathrm {cos} (\ alpha / 2) + \ mathbf {u} \ mathrm {sin} (\ alp / 2)$ । मैट्रिक्स की तरह, किसी भी वेक्टर को एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में सीधे रूपांतरित करने के लिए एक चतुर्भुज का उपयोग किया जा सकता है: $$$\ $ । जैसा कि आप देख सकते हैं, अभिविन्यास का चतुर्भुज प्रतिनिधित्व भी अतिरेक से ग्रस्त है, लेकिन मैट्रिक्स की तुलना में बहुत कम है: एक अतिरिक्त पैरामीटर केवल एक है। क्वाटर्न्स की व्यापक समीक्षा पहले से ही हैबे पर थी। उन्होंने ज्यामिति और 3 डी ग्राफिक्स के बारे में बात की। हम कीनेमेटीक्स में भी रुचि रखते हैं, क्योंकि चतुर्धातुक परिवर्तन की दर मापा कोणीय वेग से संबंधित होनी चाहिए। इसी गतिज समीकरण का रूप है $$$\ dot {\ mathbf {q}} = 1/2 \ mathbf {q} \ mathbf {\ omega}$ वेक्टर कहां है $$$\ mathbf {\ omega}$ शून्य स्केलर भाग के साथ एक चतुर्भुज भी माना जाता है।

फ़िल्टर योजनाएँ

अभिविन्यास की गणना करने के लिए सबसे भोली दृष्टिकोण अपने आप को एक कीनेमेटिक समीकरण के साथ बांटना है और इसके अनुसार हम जो भी पैरामीटर चाहते हैं उसके अनुसार अपडेट करें। उदाहरण के लिए, यदि हमने रोटेशन मैट्रिक्स चुना, तो हम C += * Omega * dt की भावना से किसी चीज के साथ एक चक्र लिख सकते हैं। परिणाम निराश करेगा। गायरोस्कोप, विशेष रूप से एमईएमएस, में बड़े और अस्थिर शून्य ऑफसेट होते हैं - परिणामस्वरूप, यहां तक ​​कि पूर्ण आराम में, गणना की गई अभिविन्यास में असीमित संचय त्रुटि (बहाव) होगी। महोनी, माजविक, और कई अन्य लोगों द्वारा आविष्कार किए गए, मुझे छोड़कर नहीं, का उद्देश्य इस बहाव के लिए एक्सीलरोमीटर, मैग्नेटोमीटर, जीएनएसएस रिसीवर्स, लैग्स, आदि से माप को शामिल करना था। इस प्रकार एक साधारण बुनियादी सिद्धांत के आधार पर, अभिविन्यास फिल्टर का एक पूरा परिवार पैदा हुआ था।

मूल सिद्धांत। अभिविन्यास बहाव के लिए क्षतिपूर्ति करने के लिए, यह आवश्यक है कि जाइरोस्कोप्स द्वारा मापा कोणीय वेग को जोड़ा जाए जो अन्य सेंसर के वेक्टर माप के आधार पर निर्मित एक अतिरिक्त नियंत्रण कोणीय वेग है। नियंत्रण कोणीय वेग वेक्टर को अपने ज्ञात वास्तविक दिशाओं के साथ मापा वैक्टर की दिशाओं को संयोजित करने का प्रयास करना चाहिए।

कलमन फ़िल्टर के सही शब्द के निर्माण की तुलना में एक पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण यहाँ लिया गया है। मुख्य अंतर यह है कि नियंत्रण कोणीय वेग शब्द नहीं है, लेकिन अनुमानित मूल्य (मैट्रिक्स या चतुर्धातुक) के लिए एक कारक है । इससे होने वाले महत्वपूर्ण फायदे:

• एक मूल्यांकन फ़िल्टर स्वयं के लिए अभिविन्यास के लिए बनाया जा सकता है, न कि उस से उन्मुखीकरण के छोटे विचलन के लिए। इसके अलावा, अनुमानित मान स्वचालित रूप से उन सभी आवश्यकताओं को पूरा करेगा जो कार्य लागू करता है: मैट्रिक्स ऑर्थोगोनल होगा, चतुर्भुज सामान्यीकृत।
• नियंत्रण कोणीय वेग का भौतिक अर्थ कलमन फ़िल्टर में सुधार शब्द की तुलना में बहुत स्पष्ट है। सभी जोड़तोड़ साधारण तीन आयामी भौतिक स्थान में वैक्टर और मैट्रिस के साथ किए जाते हैं, और एक सार बहुआयामी राज्य अंतरिक्ष में नहीं। यह फिल्टर के शोधन और समायोजन को बहुत सरल करता है, और एक बोनस के रूप में यह आपको बड़े आयाम वाले मेट्रिक्स और भारी मैट्रिक्स पुस्तकालयों से छुटकारा पाने की अनुमति देता है।

अब देखते हैं कि यह विचार विशिष्ट फ़िल्टर विकल्पों में कैसे लागू किया जाता है।

महोनी फिल्टर। मूल महोनी लेख के सभी उग्र गणित को सरल समीकरणों (32) को सही ठहराने के लिए लिखा गया था । हम उन्हें अपने अंकन में फिर से लिखते हैं। यदि हम जायरोस्कोप के शून्य विस्थापन के अनुमान को अनदेखा करते हैं, तो दो प्रमुख समीकरण बने रहते हैं - रोटेशन मैट्रिक्स के लिए गतिज समीकरण (मैट्रिक्स के रूप में नियंत्रण कोणीय वेग के साथ) $$$\ mathbf {\ Omega} '$ ) और वेक्टर के रूप में इस बहुत वेग के गठन का कानून $$$\ mathbf {\ omega} '$ । सादगी के लिए, हम मानते हैं कि कोई त्वरण या चुंबकीय पिकअप नहीं हैं, और इसके कारण हम मुक्त गिरावट त्वरण को माप सकते हैं $$$- \ hat {\ mathbf {g}} _ {xyz}$ एक्सीलरोमीटर और पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र से $$$\ hat {\ mathbf {m}} _ {xyz}$ मैग्नेटोमीटर से। दोनों वैक्टर सेंसर से एक जुड़े हुए समन्वय प्रणाली में मापे जाते हैं, और भौगोलिक प्रणाली में उनकी स्थिति ज्ञात है: $$$- \ mathbf {g} _ {NED}$ इशारा करते हुए $$$\ mathbf {m} _ {NED}$ - चुंबकीय उत्तर की ओर। तब महोनी फिल्टर समीकरण इस तरह दिखाई देंगे:

$$

$$\ _ {\ _ mathbf {C}} = \ mathbf {C} (\ mathbf {\ Omega} + \ mathbf {\ _ Omega} ’) \\ \ mathbf {\ _ omega’} = \ _ {g} \ hat {\ _ mathbf {g}} _ {xyz} \ टाइम्स \ mathbf {C} ^ {T} \ mathbf {g} _ {NED} + k_ {m} \ hat {\ mathbf {m}} _ = xyz} \ टाइम्स \ mathbf {C} ^ {T} \ mathbf {m} _ {NED}$$

दूसरे समीकरण को ध्यान से देखें। दाईं ओर पहला शब्द एक वेक्टर उत्पाद है। इसमें पहला कारक गुरुत्वाकर्षण का मापा त्वरण है, दूसरा सच है। चूँकि कारक एक समन्वय प्रणाली में होने चाहिए, इसलिए दूसरा कारक गुणा करके एक कनेक्टेड सिस्टम में बदल जाता है $$$\ mathbf {C} ^ {T}$ । एक वेक्टर उत्पाद के रूप में निर्मित कोणीय वेग, कारक वैक्टर के विमान के लंबवत है। यह आपको संबंधित समन्वय प्रणाली की अनुमानित स्थिति को घुमाने की अनुमति देता है जब तक कि कारक वैक्टर दिशा में नहीं आते - तब वेक्टर उत्पाद शून्य पर रीसेट हो जाएगा और रोटेशन बंद हो जाएगा। फ़ैक्टर $$$k_ {g}$ इस तरह की प्रतिक्रिया की कठोरता निर्धारित करता है। दूसरा शब्द एक चुंबकीय वेक्टर के साथ एक समान ऑपरेशन करता है। वास्तव में, महोनी फिल्टर अच्छी तरह से ज्ञात थीसिस का प्रतीक है: दो अलग-अलग समन्वय प्रणालियों में दो नॉनकोलिनियर वैक्टर का ज्ञान आपको इन प्रणालियों के पारस्परिक अभिविन्यास को विशिष्ट रूप से पुनर्स्थापित करने की अनुमति देता है। यदि दो से अधिक वैक्टर हैं, तो यह उपयोगी माप अतिरेक प्रदान करेगा। यदि केवल एक वेक्टर है, तो स्वतंत्रता की एक घूर्णी डिग्री (इस वेक्टर के चारों ओर आंदोलन) को तय नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि केवल एक वेक्टर दिया जाता है $$$- \ mathbf {g}$ , तो आप रोल और पिच के बहाव को समायोजित कर सकते हैं, लेकिन पाठ्यक्रम नहीं।

बेशक, महोनी फिल्टर को रोटेशन मैट्रिक्स का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है। नॉनोनोनिकल क्वाटरनियन वेरिएंट भी हैं।

वर्चुअल जाइरो प्लेटफॉर्म। महोनी फिल्टर में, हमने नियंत्रण कोणीय वेग लागू किया $$$\ mathbf {\ omega '}$ संबंधित समन्वय प्रणाली के लिए। लेकिन आप इसे भौगोलिक समन्वय प्रणाली की अनुमानित स्थिति पर लागू कर सकते हैं। गतिज समीकरण तब रूप लेता है

$$

$$\ dot {\ mathbf {C}} = \ mathbf {C} \ mathbf {\ Omega} - \ mathbf {\ Omega} '\ mathbf {C}$$

यह पता चला है कि यह दृष्टिकोण बहुत फलदायी भौतिक उपमाओं का मार्ग प्रशस्त करता है। यह याद रखने के लिए पर्याप्त है कि जाइरोस्कोपिक तकनीक किसके साथ शुरू हुई थी - एक गिंबल में gyro-stabilized प्लेटफॉर्म पर आधारित ऊर्ध्वाधर और जड़त्वीय नेविगेशन सिस्टम।


www.theairlinepilots.com

मंच का उद्देश्य भौगोलिक समन्वय प्रणाली का भौतिककरण था। निलंबन फ्रेम पर कोण सेंसर द्वारा वाहक का अभिविन्यास इस प्लेटफॉर्म के सापेक्ष मापा गया था। यदि जाइरोस्कोप में एक बहाव था, तो उनके बाद मंच भी सूख गया, और कोण सेंसर की रीडिंग में त्रुटियां जमा हुईं। इन त्रुटियों को खत्म करने के लिए, प्लेटफ़ॉर्म पर स्थापित एक्सीलरोमीटर से प्रतिक्रिया प्रस्तुत की गई थी। उदाहरण के लिए, उत्तर अक्ष के चारों ओर क्षितिज से प्लेटफ़ॉर्म का विचलन पूर्व अक्ष के एक्सेलेरोमीटर द्वारा माना गया था। इस संकेत ने नियंत्रण कोणीय वेग स्थापित करने की अनुमति दी $$$\ mathbf {\ omega '}$ प्लेटफार्म को क्षितिज पर लौट रहा है।

हम अपने कार्य में समान दृश्य अवधारणाओं का उपयोग कर सकते हैं। वर्णित कीनेमेटिक समीकरण को तब निम्न प्रकार से पढ़ा जाना चाहिए: अभिविन्यास में परिवर्तन की दर दो घूर्णी गतियों के बीच का अंतर है - वाहक की पूर्ण गति (पहला शब्द) और आभासी गायरो मंच (दूसरी अवधि) की पूर्ण गति। सादृश्य को नियंत्रित करने वाले कोणीय वेग के गठन के कानून तक बढ़ाया जा सकता है। वेक्टर $$$- \ hat {\ mathbf {g}} _ {NED} = - \ mathbf {C} \ hat {\ mathbf {g}} _ {xyz}$ यह एक्सेलेरोमीटर की गवाही का प्रतिनिधित्व करता है, माना जाता है कि यह एक जाइरो प्लेटफॉर्म पर खड़ा है। फिर, भौतिक कारणों से, आप लिख सकते हैं:

$$

$$\ _ omega '_ {N} = - gk_ {g} \ hat {g} _ {E}, \; \ omega '_ {E} = gk_ {g} \ hat {g} _ {N}$$

महोनी फिल्टर की भावना में वेक्टर गुणा करके, औपचारिक रूप से ठीक उसी परिणाम पर पहुंचना संभव होगा, लेकिन अब एक कनेक्टेड में नहीं, बल्कि एक भौगोलिक समन्वय प्रणाली में। क्या यह केवल आवश्यक है?

मंच और स्ट्रैपडाउन जड़त्वीय नेविगेशन के बीच एक उपयोगी सादृश्य का पहला संकेत, जाहिर है, प्राचीन बोइंग पेटेंट में । तब इस विचार को सालीचेव द्वारा सक्रिय रूप से विकसित किया गया था, और हाल ही में - मेरे द्वारा भी । इस दृष्टिकोण के स्पष्ट लाभ:

• नियंत्रण कोणीय वेग को समझने योग्य भौतिक सिद्धांतों के आधार पर बनाया जा सकता है।
• स्वाभाविक रूप से, क्षैतिज और दिशात्मक चैनल, जो उनके गुणों और सुधार विधियों में बहुत भिन्न होते हैं, अलग हो जाते हैं। महोनी फिल्टर में उन्हें मिलाया जाता है।
• जीएनएसएस डेटा के उपयोग के कारण त्वरण के प्रभाव के लिए क्षतिपूर्ति करना सुविधाजनक है, जो कि तीन अक्षों के बजाय भौगोलिक रूप से सटीक रूप से जारी किए जाते हैं।
• एल्गोरिथ्म को उच्च-सटीक जड़त्वीय नेविगेशन के मामले में सामान्यीकृत करना आसान है, जहां पृथ्वी के आकार और रोटेशन को ध्यान में रखना आवश्यक है। महोनी योजना में यह कैसे किया जाए, मैं कल्पना नहीं कर सकता।

माजविक फिल्टर। माजविक ने कठिन रास्ता चुना। यदि महोनी, जाहिरा तौर पर, सहज रूप से अपने फैसले पर आए, और फिर इसे गणितीय रूप से उचित ठहराया, तो शुरू से ही माजविक ने खुद को एक औपचारिकता साबित कर दिया। उन्होंने अनुकूलन समस्या को हल करने का बीड़ा उठाया। उसने जैसे तर्क किया। रोटेशन के चतुर्धातुक के अभिविन्यास सेट करें। आदर्श मामले में, कुछ मापा वेक्टर की गणना की दिशा (हमें यह है $$$- \ mathbf {g}$ ) सत्य के साथ मेल खाता है। तब होगा $$${\ mathbf {q}} ^ {- 1} \ mathbf {g} _ {NED} \ mathbf {q} = \ hat {\ mathbf {g}} _ {xyz}$ । वास्तव में, यह हमेशा प्राप्त करने योग्य नहीं है (विशेषकर यदि दो से अधिक वैक्टर हैं), लेकिन आप विचलन को कम करने की कोशिश कर सकते हैं $$$\ mathbf {F} = {\ mathbf {q} ^ {- 1} \ mathbf {g} _ {NED} \ mathbf {q}} - \ hat {\ mathbf {g}} \ _ xyz}$ सटीक समानता से। ऐसा करने के लिए, हम न्यूनतम मानदंड का परिचय देते हैं

$$

$$E = \ frac {1} {2} | \ mathbf {F} | ^ {2} \ rightarrow \ mathrm {min}$$

न्यूनतमकरण को एक ढाल वंश की आवश्यकता होती है - ढाल के विपरीत दिशा में छोटे चरणों में आगे बढ़ना $$$\ n नबला ई$ , यानी। फ़ंक्शन में सबसे तेज़ वृद्धि के विपरीत $$$ई$ । वैसे, माजविक एक गलती करता है: अपने सभी कार्यों में वह परिचय नहीं देता है $$$ई$ और आग्रहपूर्वक लिखते हैं $$$\ nabla \ mathbf {F}$ के बजाय $$$\ n नबला ई$ , हालांकि यह वास्तव में बिल्कुल गणना करता है $$$\ n नबला ई$ ।

नतीजतन, ढाल मूल निम्न स्थिति की ओर जाता है: अभिविन्यास बहाव के लिए क्षतिपूर्ति करने के लिए, कीनेमेटिक समीकरण के लिए आनुपातिक एक नया नकारात्मक शब्द गतिज समीकरण से जोड़ा जाना चाहिए $$$\ n नबला ई$ :

$$

$$\ _ {\ _ mathbf {q}} = \ frac {1} {2} \ mathbf {q} \ mathbf {\ omega} - \ beta \ frac {\ nabla E} {| \ n \ n \ _}} $$$

यहां माजविक हमारे "मूल सिद्धांत" से थोड़ा हटकर है: वह सुधार शब्द को कोणीय वेग से नहीं जोड़ता है, बल्कि चतुर्धातुक परिवर्तन की दर तक जाता है, और यह बिल्कुल वैसी बात नहीं है। परिणामस्वरूप, यह पता चल सकता है कि अद्यतन किए गए क्वाटर्नियन एकल रहना बंद कर देते हैं और तदनुसार, अभिविन्यास का प्रतिनिधित्व करने की क्षमता खो देते हैं। इसलिए, माजविक फिल्टर के लिए, क्वाटरनियन का कृत्रिम सामान्यीकरण एक महत्वपूर्ण ऑपरेशन है, जबकि अन्य फिल्टर के लिए यह वांछनीय है, वैकल्पिक नहीं।

त्वरण का प्रभाव

अब तक, यह माना गया है कि कोई वास्तविक त्वरण नहीं हैं और एक्सेलेरोमीटर केवल गुरुत्वाकर्षण त्वरण को मापते हैं $$$- \ mathbf {g}$ । इससे एक ऊर्ध्वाधर मानक प्राप्त करना संभव हो गया और, इसकी मदद से, रोल और पिच बहाव के लिए क्षतिपूर्ति करना। हालांकि, सामान्य मामले में, एक्सीलेरोमीटर, उनके ऑपरेटिंग सिद्धांत की परवाह किए बिना, स्पष्ट त्वरण को मापते हैं - सच्चे त्वरण और गुरुत्वाकर्षण त्वरण के वेक्टर अंतर $$$\ mathbf {f} = \ mathbf {a} - \ mathbf {g}$ । स्पष्ट त्वरण की दिशा ऊर्ध्वाधर के साथ मेल नहीं खाती है, और त्वरण के कारण होने वाली त्रुटियां रोल और पिच अनुमानों में दिखाई देती हैं।

यह एक आभासी gyro मंच के सादृश्य का उपयोग करके वर्णन करना आसान है। उसकी सुधार प्रणाली को डिज़ाइन किया गया है ताकि प्लेटफ़ॉर्म उस कोणीय स्थिति में रुक जाए जिसमें एक्सेलेरोमीटर के संकेत, उस पर स्थापित हो, शून्य पर रीसेट हो, अर्थात। जब मापा वेक्टर $$$\ mathbf {f}$ एक्सेलेरोमीटर की संवेदनशीलता के अक्षों के लंबवत हो जाता है। यदि कोई त्वरण नहीं है, तो यह स्थिति क्षितिज के साथ मेल खाती है। जब क्षैतिज त्वरण होता है, तो gyro प्लेटफ़ॉर्म को विक्षेपित किया जाता है। हम कह सकते हैं कि gyro प्लेटफॉर्म एक दृढ़ता से नम पेंडुलम या साहुल रेखा के समान है।



माजविक फिल्टर के बारे में पोस्ट के लिए टिप्पणियों में, एक सवाल चारों ओर उड़ गया कि क्या यह उम्मीद करना संभव है कि यह फिल्टर तुलना में त्वरण के लिए अतिसंवेदनशील है, उदाहरण के लिए, महोनी फिल्टर। काश, यहां वर्णित सभी फ़िल्टर समान भौतिक सिद्धांतों का शोषण करते हैं और इसलिए समान समस्याओं से ग्रस्त हैं। गणित के साथ भौतिकी को धोखा देना असंभव है। फिर क्या करना है?

विमानन gyro-verticals के लिए पिछली शताब्दी के मध्य में सबसे सरल और सबसे कठिन तरीका वापस आविष्कार किया गया था: त्वरण या पाठ्यक्रम के कोणीय वेग की उपस्थिति को कम करने या पूरी तरह से शून्य करने के लिए (जो एक मोड़ में प्रवेश का संकेत देता है)। एक ही विधि को वर्तमान प्लेटफ़ॉर्म सिस्टम पर लागू किया जा सकता है। इस मामले में, मूल्यों द्वारा त्वरण का अनुमान लगाया जाना चाहिए $$$\ hat {f} _ {N}, \ hat {f} _ {E}$ लेकिन नहीं $$$\ hat {f} _ {x}, \ hat {f} _ {y}$ जो बदले में खुद शून्य हैं। हालाँकि आकार में $$$\ hat {\ mathbf {f}} _ {NED}$ गुरुत्वाकर्षण त्वरण के अनुमानों से वास्तविक त्वरण को भेद करना हमेशा संभव नहीं होता है, जो कि जीरो प्लेटफॉर्म के झुकाव के कारण होता है, जिसे समाप्त किया जाना चाहिए। इसलिए, विधि मज़बूती से काम नहीं करती है - लेकिन इसके लिए किसी अतिरिक्त सेंसर की आवश्यकता नहीं होती है।

एक अधिक सटीक विधि GNSS रिसीवर से बाहरी गति माप के उपयोग पर आधारित है। यदि गति ज्ञात हो $$$\ mathbf {v}$ , तो यह संख्यात्मक रूप से विभेदित हो सकता है और वास्तविक त्वरण प्राप्त कर सकता है $$$\ _ {\ _ mathbf {v}}$ । फिर अंतर $$$\ hat {\ mathbf {f}} _ {NED} - \ dot {\ mathbf {v}}$ बिल्कुल बराबर होगा $$$- \ hat {\ mathbf {g}} _ {NED}$ मीडिया आंदोलन की परवाह किए बिना। इसका उपयोग ऊर्ध्वाधर के मानक के रूप में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप प्रपत्र में gyro प्लेटफ़ॉर्म के नियंत्रण कोणीय वेग को निर्दिष्ट कर सकते हैं

$$

$$\ _ omega '_ {N} = gk_ {g} (\ hat {f} _ {E} - \ dot {v} _ {E}), \ _; \ omega '_ {E} = - gk_ {g} (\ hat {f} _ {N} - \ dot {v} _ {N})$$

सेंसर ज़ीरो ऑफ़सेट्स

उपभोक्ता-ग्रेड गायरोस्कोप और एक्सेलेरोमीटर की एक उदास विशेषता समय और तापमान में शून्य ऑफसेट की बड़ी अस्थिरता है। उन्हें खत्म करने के लिए, बस कारखाना या प्रयोगशाला अंशांकन पर्याप्त नहीं है - आपको ऑपरेशन के दौरान पुनर्मूल्यांकन करने की आवश्यकता है।

Gyroscopes। हम जीरोस्कोप के शून्य ऑफसेट से निपटेंगे $$$\ डेल्टा {\ mathbf {\ omega}}$ । संबंधित समन्वय प्रणाली की अनुमानित स्थिति दो विरोधी कारकों द्वारा निर्धारित कोणीय वेग के साथ अपनी वास्तविक स्थिति से दूर जाती है - जीरोस्कोप के शून्य विस्थापन और कोणीय वेग को नियंत्रित करना: $$$\ डेल्टा {\ mathbf {\ omega}} - \ mathbf {\ omega ’}$ । यदि सुधार प्रणाली (उदाहरण के लिए, महोनी फिल्टर में) निकास को रोकने में कामयाब रही, तो स्थिर स्थिति में यह होगा $$$\ डेल्टा {\ mathbf {\ omega}} = \ mathbf {\ omega ’}$ । दूसरे शब्दों में, नियंत्रण कोणीय वेग में $$$\ mathbf {\ omega '}$ एक अज्ञात वैध गड़बड़ी के बारे में जानकारी $$$\ डेल्टा {\ mathbf {\ omega}}$ । इसलिए, प्रतिपूरक अनुमान लागू किया जा सकता है: हम सीधे गड़बड़ी की भयावहता को नहीं जानते हैं, हालांकि, हम जानते हैं कि इसे संतुलित करने के लिए सुधारात्मक कार्रवाई की क्या आवश्यकता है। यह जीरोस्कोप के शून्य विस्थापन का अनुमान लगाने का आधार है। उदाहरण के लिए, महोनी में, कानून के अनुसार स्कोर अपडेट किया गया है

$$

$$\ _ {\ hat {\ delta \ mathbf {\ omega}}} = k_ {b} \ mathbf {\ _ omega '}$$

हालांकि, परिणाम अजीब है: अनुमान 0.04 रेड / एस तक पहुंच गया। शून्य ऑफसेट की ऐसी अस्थिरता सबसे खराब गाइरोस्कोप में भी नहीं होती है। मुझे संदेह है कि समस्या यह है कि महोनी जीएनएसएस या अन्य बाहरी सेंसर का उपयोग नहीं करता है - और त्वरण के प्रभाव से पूरी तरह से प्रभावित होता है। केवल ऊर्ध्वाधर अक्ष पर, जहां त्वरण नुकसान नहीं पहुंचाता है, अनुमान अधिक या कम मजबूत दिखता है:


महोनी एट अल।, 2008

Accelerometers। दर शून्य ऑफसेट एक्सेलेरोमीटर $$$\ डेल्टा {\ mathbf {f}}$ बहुत कठिन। उनके बारे में जानकारी उसी नियंत्रण कोणीय वेग से निकाली जानी है $$$\ mathbf {\ omega '}$ । हालाँकि, रेक्टिलिनियर मोशन में, एक्सीलरोमीटर के शून्य विस्थापन का प्रभाव वाहक के झुकाव या उस पर सेंसर ब्लॉक की स्थापना के तिरछेपन से अप्रभेद्य होता है। का कोई जोड़ नहीं $$$\ mathbf {\ omega '}$ एक्सीलेरोमीटर नहीं बनाते हैं। योजक केवल एक मोड़ पर दिखाई देता है, जो हमें गायरोस्कोप और एक्सेलेरोमीटर की त्रुटियों का अलग और स्वतंत्र रूप से मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। यह कैसे किया जा सकता है इसका एक उदाहरण मेरे लेख में है । यहाँ से चित्र हैं:

निष्कर्ष के बजाय: कलमन फ़िल्टर के बारे में क्या?

मुझे इसमें कोई संदेह नहीं है कि यहां वर्णित फिल्टर लगभग हमेशा पारंपरिक कलमन फ़िल्टर पर गति, कोड की कॉम्पैक्टनेस और सेटअप में आसानी के मामले में एक फायदा होगा - इसके लिए उन्हें बनाया गया था। मूल्यांकन की सटीकता के लिए, यहाँ सब कुछ इतना स्पष्ट नहीं है। मैं असफल रूप से डिज़ाइन किए गए कलमन फ़िल्टर से मिला, जो सटीकता में एक आभासी गायरो प्लेटफ़ॉर्म के साथ एक फिल्टर से हीन थे। माजविक ने कुछ कलमन अनुमानों के संबंध में अपने फ़िल्टर के लाभों को भी साबित किया। हालाँकि, एक ही अभिविन्यास आकलन कार्य के लिए, आप कम से कम एक दर्जन विभिन्न कलमन फ़िल्टर सर्किट का निर्माण कर सकते हैं, और प्रत्येक में अनगिनत सेटिंग्स होंगी। मेरे पास यह सोचने का कोई कारण नहीं है कि महोनी या माजिक फ़िल्टर संभव सबसे अच्छे कलमन फ़िल्टर की तुलना में अधिक सटीक होगा। और निश्चित रूप से, कलमन दृष्टिकोण को हमेशा सार्वभौमिकता का लाभ होगा: यह मूल्यांकन प्रणाली के विशिष्ट गतिशील गुणों पर कोई सख्त प्रतिबंध नहीं लगाता है।