मन और गणित का रहस्य

प्राचीन मिस्र में, गणितज्ञों ने सबूत का उपयोग नहीं किया था। उनके सभी बयान केवल अनुभवजन्य रूप से प्रमाणित थे। फिर भी, पिरामिड खड़े हो गए, और विमानों ने उड़ान भरी । और, शायद, कोई भी सख्त सबूत की मांग नहीं करेगा अगर यह किसी चीज का खंडन करने की इच्छा के लिए नहीं था। यूनानियों के साथ मिलकर, गणित ने एक नया जीवन पाया जिसमें एक वृत्त को विभाजित करने जैसी समस्याएं, दो की जड़ की तर्कहीनता और एक कोण के त्रिशूल की समस्या दिखाई दी। उस पल से, स्वयंसिद्ध, तर्क के नियम, और प्रमेय की आवश्यकता थी। लेकिन आधुनिक गणित इस बात में भी दिलचस्पी रखता है कि क्या साबित करना संभव है और क्या नहीं। गोडेल के अपूर्णता प्रमेय, तर्क की औपचारिकता और साक्ष्य के सिद्धांत को बढ़ावा दिया गया । मैं एक सिद्धांत और एक स्वयंसिद्ध प्रस्ताव रखता हूं जो कुछ बचे हुए सवालों के जवाब देने और हमारी चेतना की सीमाओं को रेखांकित करने में मदद करेगा। विशेष रूप से, ये पूर्णता, समानता की समस्या और हमारी कल्पना की स्वयंसिद्धता के प्रश्न हैं।



वस्तुओं का सिद्धांत
गणितीय तर्क बयानों के बीच संबंध का अध्ययन करते हैं, लेकिन उनकी आंतरिक संरचना नहीं। लेकिन खुद बयानों को औपचारिक रूप देने की कोशिश करते हैं। मान लीजिए हमारे पास कुछ वस्तुएं हैं। हमें उन्हें सेट या कुछ और करने की आवश्यकता नहीं होगी। अब वस्तुओं के किसी भी क्रमबद्ध जोड़े के लिए एक तीसरा ऑब्जेक्ट दिया जाए - उनका "इंटरकनेक्शन"। हम इसे इस तरह लिखेंगे:

$$

$$a * b = ab = c; *: (a, b) \ mapsto c$$

परिणामी संरचना को मैग्मा (एक बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक सेट) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन कुछ सेट पर नहीं, बल्कि पूरी तरह से मनमाना। और अब हम कथन को एक दिए गए मैग्मा में बीजगणितीय समानता (या असमानता) के रूप में परिभाषित करते हैं ।
अब मैं समझाता हूं कि यह परिभाषा कितनी सटीक रूप से उच्चारण की आंतरिक संरचना को दर्शाती है। उदाहरण के लिए, हमें निम्नलिखित कथन दिया जाए:
मार्कर बोर्ड को नीला कर सकता है।
हम इसे समानता के रूप में लिखते हैं:
$$$M * D = SD$ - मार्कर लगाना ( $$$एम$ ) बोर्ड पर ( $$$डी$ ), हमें एक ब्लू बोर्ड मिलता है ( $$$सीडी$ )।
अब एक और अधिक जटिल उदाहरण:
एक आदमी बारिश में सड़क पर दौड़ता है।

$$

$$\ start {मामलों} आदमी * भागो = करो; \\ आदमी * बारिश = स्थित \ "के तहत"; \\ स्ट्रीट * आदमी = अपने आप पर \ _ है। \ अंत {मामलों}$$

यहां यह ध्यान देने योग्य है कि "टू डू", "टू हैव ऑन योरसेल्फ" भी ऑब्जेक्ट हैं। इस तरह की प्रणाली हमारे बयान को बिल्कुल परिभाषित करती है। बेशक, ऐसा डिज़ाइन जंगली और असुविधाजनक लग सकता है, लेकिन केवल इस तरह की प्रस्तुति की संभावना हमारे लिए महत्वपूर्ण है। आगे इसके और भी महत्वपूर्ण उदाहरण होंगे।

जैसा कि आप शायद पहले ही देख चुके हैं, हमें दूसरों से कुछ कनेक्शन के अलावा, वस्तुओं से किसी चीज की आवश्यकता नहीं है। और यह सही है। उदाहरण के लिए, शब्दकोश से सभी परिभाषाओं को अन्य शब्दों के लिंक के रूप में दिया गया है। एक बिंदु और एक सीधी रेखा अनिश्चित अवधारणाएं हैं, लेकिन उनके सभी अंतर्संबंध परिभाषित हैं। यह हमें एक महत्वपूर्ण विचार की ओर ले जाता है।
किसी भी स्वयंसिद्ध प्रणाली को वस्तुओं के संबंधों द्वारा परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि ऐसे ऑब्जेक्ट्स के जोड़े हैं जो एक बिंदु के साथ सीधी रेखा के समान एक दूसरे के सापेक्ष व्यवहार करते हैं, तो वे होंगे। सबसे तुच्छ उदाहरण सेटों का एक परिवार है, जहां तत्व बिंदु हैं। किसी भी दो सेटों का प्रतिच्छेदन एक एकल तत्व या एक खाली सेट है। और किसी भी तीन तत्वों को विशिष्ट रूप से पूरे सेट और इतने पर परिभाषित करें। यही है, अगर मैं सिर्फ वस्तुओं का नाम बदल देता हूं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा।
Axiomatics मैग्मा है।

हम सेट पर मैग्मा देने के लिए नहीं कहते हैं, क्योंकि सभी सेटों का कोई सेट नहीं है:

$$

$$\ # 2 ^ {एक्स}> \ # एक्स$$

हम कहते हैं कि अगर कोई वस्तु नहीं है और अगर कम से कम एक वस्तु मौजूद है तो अक्षतंतु परस्पर विरोधी है।
सुविधा के लिए, हमने जो परिभाषाएँ प्राप्त की हैं उन्हें वस्तुओं का सिद्धांत या वस्तुओं का शास्त्रीय सिद्धांत कहा जाता है।

कल्पना
चूँकि वस्तुओं का सिद्धांत भी एक स्वयंसिद्धता है, इसलिए इसे वस्तुओं की अपनी भाषा में वर्णित किया जा सकता है। यही है, हम सभी प्रकार की वस्तुओं का वर्णन सभी प्रकार के स्वयंसिद्धों में करना चाहेंगे। सख्ती से नहीं, हमें मानव कल्पना के गणितीय विवरण की आवश्यकता है। मैं इसके लिए निम्नलिखित एकल स्वयंसिद्ध प्रस्ताव देता हूं:

$$

$$\ forall (x) _i, (y) _i, (x ') _ j, (y') _ j, z \ \ अस्तित्व x \ \ forall i \ _ I, j \ _ में \ _ शुरू {मामलों} xx_ = y_i \\ x'_jx = y'_j \\ xx = z \ end {मामले}$$

इसे "वहाँ सब कुछ है जो आप कल्पना कर सकते हैं" के रूप में वर्णित किया जा सकता है। ध्यान दें कि हमें कम से कम एक वस्तु के अस्तित्व की आवश्यकता नहीं है। ऐसा इसलिए किया जाता है ताकि स्वयंसिद्ध संगतता कम से कम एक वस्तु के अस्तित्व के बराबर हो। अब हम कई प्रमेय सिद्ध करते हैं:
प्रमेय 1. वस्तुओं का सिद्धांत या तो एक खाली सेट है या एक सेट नहीं है।

प्रमेय 2. एक वस्तु है जिसके लिए यह निश्चित नहीं है कि यह एक सेट है या नहीं।

दूसरी प्रमेय का परिणाम निरंतरता परिकल्पना है। इसे निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: एक समुच्चय एक वस्तु है जिसकी शक्ति एक गणनीय समुच्चय की शक्ति से अधिक है, लेकिन सातत्य से कम है?
हम एक्सियोमेटिक्स को छोटा कहते हैं यदि इसके कई ऑब्जेक्ट हैं और बड़े नहीं तो।
प्रमेय 3. कोई बड़ी स्वयंसिद्धता अपूर्ण है।

यह हमें मानवीय चेतना की सीमाओं की ओर ले जाता है। हमेशा ऐसे कथन होंगे जो हम न तो सिद्ध कर सकते हैं और न ही अस्वीकार कर सकते हैं। और यह, जैसा कि यह पता चला है, कैंटर विरोधाभास का एक परिणाम है। इसका एक विशेष मामला गोडेल की प्रमेय है। यहाँ से वस्तुओं के सिद्धांत की अपूर्णता का अनुसरण किया जाता है। हम यह सुनिश्चित करने के लिए नहीं कह सकते हैं कि एक वस्तु क्या है और क्या नहीं है। उदाहरण के लिए, एक शील्ड जिसे तोड़ा नहीं जा सकता है वह एक वस्तु है या नहीं? और तलवार जो सब कुछ तोड़ देती है? हालाँकि, वे एक साथ मौजूद नहीं हो सकते। और इस तरह की एक पसंद करने के बाद, आपको इसे बार-बार बनाना होगा।
दो वस्तुओं के नाम बताइए $$$x$ और $$$य$ बराबर अगर:
$$$\ forall z \ xz = yz \ wedge zx = zy$
और कई के लिए बराबर $$$X$ हैं:
$$
दो वस्तुओं को दिया जाए। दो वस्तुओं का विभाजन $$$x$ और $$$य$ ऐसी वस्तु को बुलाओ $$$z$ यही कारण है कि:

$$

$$zx \ neq zy \ vee xz \ neq yz$$

चूँकि कोई भी दो पिंड एक सेट बनाते हैं, बंटवारा किन्हीं दो वस्तुओं के लिए होता है। इसलिए:
प्रमेय 4. समान वस्तुएँ मौजूद नहीं हैं।
यह कहना आसान नहीं है कि गणित में कोई समानता नहीं है, केवल समरूपताएं हैं।
उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए कि दो जुड़वां बच्चे हैं जो बिल्कुल एक जैसे दिखते हैं। सड़क से उठाए गए कई लोगों के लिए, यह एक ही व्यक्ति है, केवल इसकी एक प्रति है। लेकिन मां के लिए, ये दो अलग लोग हैं। इसलिए, लोगों के सम्मान के साथ, वे समान हैं, लेकिन माँ के सम्मान के साथ, वे नहीं हैं। हम केवल यह कह सकते हैं कि जुड़वां मनुष्यों के लिए आइसोमोर्फिक हैं, लेकिन समान नहीं हैं। प्रमेय 4 के संबंध में, एक बहुत ही विरोधाभासी परिणाम प्राप्त किया जा सकता है। हमें कोई वस्तु दी जाए $$$ए$ । और हम कम से कम चाहेंगे $$$ए = ए$ । लेकिन वस्तु दे दो $$$ए$ सुविधा के लिए, नाम भी $$$ए ’$ , बस एक पदनाम। तो होना ही चाहिए $$$A = A '$ । लेकिन अब मैं इन वस्तुओं को दो अलग-अलग लोगों के रूप में सोच सकता हूं और उनके विभाजन को पा सकता हूं। यही है, विरोधाभासी रूप से, लेकिन ए खुद के बराबर नहीं है। यही है, वस्तुओं के सिद्धांत में किसी वस्तु के बारे में एक भी सच्चा कथन नहीं है।
वास्तव में, संपूर्ण बिंदु यह है कि हम स्पष्ट रूप से यह नहीं कह सकते हैं कि हमारे पास कौन सी वस्तु है। हम केवल एक निश्चित सेट के लिए एक ऑब्जेक्ट सेट कर सकते हैं, लेकिन असीम रूप से ऐसे कई ऑब्जेक्ट हैं। इसके अलावा, उनमें से किसी भी संख्या से अधिक हैं। इसलिए, वस्तु ए की बात करते हुए, हमारा मतलब है कि यह हमारे लिए कोई मायने नहीं रखता है कि हमें किन गुणों की आवश्यकता है जो हमारे पास है। लेकिन किसी भी वस्तु के लिए, हम एक ऐसी संपत्ति के साथ आ सकते हैं जो उन्हें अलग करेगी। उदाहरण के लिए: नाम, विवरण लंबाई, रूप, स्थान, और इसी तरह। हालांकि, यह, आम तौर पर बोलना, इसका मतलब यह नहीं है कि हम एक मनमाना वस्तु या उनका कारक नहीं चुन सकते हैं।

लागू अर्थ
यदि हम एक्सटोमैटिक्स को गणना करने योग्य कहेंगे, यदि इसके कथनों (समानताएं और असमानताएं) का समूह गणना करने योग्य है । परिभाषा के अनुसार, एन्यूमरेटेड एक्सोटोमैटिक्स के लिए एक एल्गोरिथ्म है जो स्वचालित रूप से प्रमेयों को साबित कर सकता है और नए लोगों को तैयार कर सकता है। इसके अलावा, बयानों की हमारी परिभाषा के आधार पर, ऐसा एल्गोरिथ्म एक एल्गोरिथ्म के समान होगा जो कुछ बीजीय संरचना के साथ काम करता है। इस तरह की व्याख्या संभावित रूप से गणितज्ञों को साक्ष्य का आविष्कार करने से बचाने के लिए एक लंबे समय से आयोजित सपने को पूरा करती है।

विदेशी सोच

श्रेणी सिद्धांत की एक श्रेणी है $$$\ mathfrak {सेट}$ । इस श्रेणी की वस्तुएँ सेट हैं। इसका मतलब है कि श्रेणी सिद्धांत के साथ $$$\ mathfrak {सेट}$ यह वस्तुओं के शास्त्रीय सिद्धांत की भाषा में तैयार नहीं किया जा सकता है, क्योंकि यह कई वस्तुओं से अधिक के संग्रह के साथ काम करता है ( $$$\ mathfrak {सेट}$ - एक बड़ी श्रेणी)। लेकिन इसे ठीक करने के लिए, यह अल्ट्रा-सेट के सिद्धांत का निर्माण करने के लिए पर्याप्त है। एक अल्ट्रा-सेट को या तो तत्वों या सेट से मिलकर बनाते हैं। फिर एक अल्ट्रा-सेट होता है जिसमें सभी सेट होते हैं। अब अल्ट्रा-सेट की अवधारणा के साथ कल्पना के स्वयंसिद्ध में सेट की अवधारणा की जगह, हम वांछित परिणाम प्राप्त करते हैं। वस्तुओं के प्राप्त सिद्धांत में, हम पहले से ही एक सेट की अवधारणा को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने में सक्षम होंगे। ऐसी प्रक्रिया एक से अधिक बार की जा सकती है, और दोनों दिशाओं में, क्योंकि एक अल्ट्रा-सेट जिसमें सभी अल्ट्रा-सेट मौजूद नहीं हैं। यह वस्तुओं के वैकल्पिक सिद्धांतों के उद्भव की ओर जाता है। लेकिन यह मामले का अंत नहीं है।
श्रेणी थ्योरी का एक क्षेत्र टोपोस थ्योरी है। वह ऐसे सभी स्थानों का वर्णन करती है जिसमें एक तत्व की अवधारणा है और "झूठ में है।" एक विशेष मामला शास्त्रीय सेट सिद्धांत है। इसके अलावा, जैसा कि ज्ञात है, कोई भी सेट सिद्धांत विशिष्ट रूप से कुछ तर्क को परिभाषित करता है। इसलिए, टोपोस सभी प्रकार के लॉजिक्स का भी वर्णन करता है। अब, यदि हम अपनी कल्पना के स्वयंसिद्ध शब्दों को फिर से देखते हैं, तो हम इसे हमारे "देशी" टॉपोस का एक निशान देखेंगे। "में झूठ बोल रही है:" $$ ", और बाइनरी लॉजिक समानता की अवधारणा में निहित है। आखिरकार, या $$$ए = बी$ या $$$A \ neq B$ ।
सैद्धांतिक रूप से, हम वस्तुओं के सिद्धांत को किसी अन्य टॉपोस में सुधार कर सकते हैं, जिससे हमारे स्वयं के कानूनों के साथ हमारे लिए एक असामान्य दुनिया प्राप्त हो सकती है। टोपोस थ्योरी के तथ्यों में से एक निरंतरता परिकल्पना की स्वतंत्रता है। यही है, कि यह समस्या अन्य खतरों में मौजूद है। जाहिर है, लगभग सब कुछ वहाँ एक समान उपस्थिति होगी। हालांकि, यह संभव है कि महत्वपूर्ण अंतर मिलेंगे जो हमें नए विचारों की ओर धकेलते हैं।

निष्कर्ष
हमारे शोध के परिणाम हैं: तार्किक बयानों की आंतरिक संरचना का औपचारिककरण, कल्पना का स्वयंसिद्ध, वस्तु सिद्धांत और चार सिद्धांत। उत्तरार्द्ध गणित में वैश्विक समानता की अनुपस्थिति, बड़ी स्वयंसिद्धता की अपूर्णता और कुछ पूर्व ज्ञात परिणामों की व्युत्पत्ति और एक सामान्य तरीके से उनके सामान्यीकरण (सातत्य परिकल्पना और गोडेल की प्रमेय) की व्याख्या करता है। तार्किक कथनों की संरचना का वर्णन भी अर्थ को लागू करता है, जो वाक्यों के अर्थ को समझने के लिए और अधिक सुविधाजनक बनाता है, जिससे उन्हें बीजगणितीय समानता के सिस्टम में तोड़ दिया जाता है। आगे के विकास में एक तर्क (टोपोस) की खोज शामिल है जिसमें बड़ी स्वयंसिद्धताएं पूर्ण होंगी। यह सभी गणित (सब कुछ के सिद्धांत) के एक एकीकृत स्वयंसिद्ध के लिए एक अवसर प्रदान करेगा।

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प्रोग्रामर के लिए श्रेणी सिद्धांत।
प्रमेयों का स्वत: प्रमाण। प्रस्तुति।
टोपोस सिद्धांत