विभाज्य तथ्य

हाल ही में, मैं फ़ार्म लाइब्रेरी के इस ट्वीट से पूरी तरह चकित था:


"यही होता है यदि आप गुणा नहीं करते हैं लेकिन भाज्य में विभाजित होते हैं।"

जब मैंने उसे देखा, तो मुझे अपना व्यवसाय छोड़ना पड़ा, एक नोटबुक पकड़ा और सूत्र की जांच की। मसौदा परिणाम तर्कसंगत लग रहा था। गुणक संस्करण के बाद से $$$एन!$ बढ़ती के साथ $$$एन$ अनन्तता की ओर जाता है, फिर "विभाजन" संस्करण शून्य होना चाहिए। और $$$\ frac {n ^ 2} {n!}$ उस तरह से व्यवहार करता है; बहुपद समारोह $$$n ^ 2$ एक शक्ति समारोह की तुलना में धीमी गति से बढ़ता है $$$एन!$ काफी बड़े के लिए $$$एन$ :

$$

$$\ frac {1} {1}, \ frac {4} {2}, \ frac {9} {6}, \ frac {16} {24}, \ frac {25} {120}, \ frac {36} } {720}, \ frac {49} {5040}, \ frac {64} {40320}, \ frac {81} {362880}, \ frac {100} {3628800}$$

लेकिन विभाजन परिणाम स्वरूप क्यों लेता है $$$\ frac {n ^ 2} {n!}$ ? यह कहां से आता है $$$n ^ 2$ ?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, मुझे भिन्नात्मक विभाजन के अध्ययन से जुड़े पुराने आघात को समाप्त करना था, लेकिन मैं दर्द का सामना कर रहा था। बाएं से दाएं ट्वीट के फॉर्मूले से चलते हुए, हम सबसे पहले मिलते हैं $$$\ frac {n} {n-1}$ । फिर, इस मान को विभाजित करके $$$n-2$ हमें मिलता है

$$

$$\ cfrac {\ frac {n} {n-1}} {n-2} = \ frac {n} {(n-1)} (n-2)}$$

इस तरह से जारी रखते हुए, हम समाप्त करते हैं:

$$

$$n \ / मैथबीन {/} (n-1) \ मैथबिन {/} (n-2) \ मैथबिन {/} (n-3) \ मैथबिन {/} \ cdots \ mathbin {/} 1 = \ frac / n } {(n-1) (n-2) (n-3) \ cdots 1} = \ frac {n} {(n-1)!}$$

ट्वीट में दिखाया गया परिणाम प्राप्त करने के लिए $$$\ frac {n ^ 2} {n!}$ , हम सिर्फ अंश और हर को गुणा करते हैं $$$एन$ । (हालांकि मेरे स्वाद के लिए, अभिव्यक्ति $$$\ frac {n} {(एन -1)!}$ अधिक स्पष्ट।)

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मैं आधिकारिक तौर पर मान्यता प्राप्त फैक्टरियल फैन हूं। अपने फाइबोनैचि दृश्यों को अपने साथ रखें; यहाँ मेरी पसंदीदा विशेषता है। जब भी मैं एक नई प्रोग्रामिंग भाषा सीखता हूं, तो मेरा पहला अभ्यास फैक्टरियल की गणना के लिए कई प्रक्रियाएँ लिखना है। वर्षों से, मैं इस विषय के कई रूपों के साथ आया हूं, उदाहरण के लिए, परिभाषा में एक प्रतिस्थापन $$$\ _$ पर $$$+$ (जो हमें त्रिकोणीय संख्या देता है)। लेकिन ऐसा लगता है कि मैंने पहले की जगह के बारे में कभी नहीं सोचा $$$\ _$ पर $$$\ mathbin {/}$ । यह अजीब बात है। चूंकि गुणा गुणात्मक और साहचर्य है, हम परिभाषित कर सकते हैं $$$एन!$ बस के रूप में सभी पूर्णांकों के उत्पाद से $$$1$ को $$$एन$ संचालन के आदेश के बारे में चिंता किए बिना। लेकिन विभाजित करते समय, आदेश को नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है। सामान्य मामले में $$$x \ mathbin {/} y \ ne y \ mathbin {/} x$ और $$$(x \ mathbin {/} y) \ mathbin {/} z \ ne x \ mathbin {/} (y \ mathbin {/} z)$ ।

फार्म लाइब्रेरी ट्वीट में, डिवाइडर अवरोही क्रम में हैं: $$$n, n-1, n-2, \ ldots, 1$ । सबसे स्पष्ट रूप से, यह एक आरोही क्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा: $$$1, 2, 3, \ ldots, n$ । यदि हम विभाजन के तथ्य को परिभाषित करते हैं तो क्या होता है $$$1 \ mathbin {/} 2 \ mathbin {/} 3 \ mathbin {/} \ cdots \ mathbin {}} $$ ? स्कूल आंशिक विभाजन एल्गोरिथ्म में एक और वापसी हमें एक सरल उत्तर देती है:

$$

$$1 \ mathbin {/} 2 \ mathbin {/} 3 \ mathbin {/} \ cdots \ mathbin {/} n = \ frac {1} {2 \ _ \ _ 3 \ _ \ _ 3 \ _ \ _ 4 \ गुना \ cdots \ टाइम्स \} = \ \ frac {1} {n!}$$

दूसरे शब्दों में, जब हम कई बार विभाजन करते हैं, तब से गिनती करते हैं $$$1$ को $$$एन$ अंतिम परिणाम पारस्परिक के बराबर होगा $$$एन!$ । (मैं इस वाक्य के अंत में एक विस्मयादिबोधक चिह्न लगाना चाहूंगा, लेकिन अफसोस!) यदि आप इस प्रश्न के लिए एक कैनोनिकल उत्तर की तलाश कर रहे हैं "क्या हम गुणा करने के बजाय विभाजित करते समय प्राप्त करते हैं? $$$एन!$ ? ”, फिर मैं कहूंगा कि $$$\ frac {1} {n!}$ से बेहतर उम्मीदवार है $$$\ frac {n} {(n - 1)!}$ । हम सममिति को स्वीकार क्यों नहीं करते $$$एन!$ और इसका उलटा मूल्य?

बेशक, सेट में एन पूर्णांक मान रखने के कई अन्य तरीके हैं $$$\ {1 \ ldots n \}$ । लेकिन वास्तव में कितना? जैसा कि यह निकला, बिल्कुल $$$एन!$ ! इसलिए, ऐसा लग सकता है कि वहाँ है $$$एन!$ डिविजन फंक्शन को परिभाषित करने के अनूठे तरीके $$$एन!$ । हालांकि, ऊपर दिखाए गए दो क्रमों के उत्तर का अध्ययन करने से हमें समझ में आता है कि एक सरल पैटर्न यहां काम करता है। अनुक्रम का जो भी तत्व पहले दिखाई देता है, वह एक बड़े अंश के अंश में प्रकट होता है, और अन्य सभी तत्वों का गुण भाजक होता है। इसलिए, अंत में, केवल है $$$एन$ विभिन्न परिणाम (यह मानते हुए कि हम हमेशा विभाजन के संचालन को बाएं से दाएं सख्ती से करते हैं)। किसी भी पूर्णांक के लिए $$$k$ से रेंज में है $$$1$ को $$$एन$ सेटिंग करके $$$k$ लाइन की शुरुआत में, हम बनाते हैं $$$एन!$ के बराबर है $$$k$ अन्य सभी कारकों से विभाजित। आप इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$

$$\ cfrac {k} {\ frac {n!} {k}}, \ text {जिसे}} \ frac {k ^ 2} {n!} $ में परिवर्तित किया जा सकता है$$

और इसलिए हमने इस ट्वीट में कैसे इस बारे में थोड़ी सी पहेली को हल किया $$$\ frac {n} {(एन -1)!}$ में बदल गया $$$\ frac {n ^ 2} {n!}$ ।
यह ध्यान देने योग्य है कि ये सभी कार्य शून्य में परिवर्तित हो जाते हैं $$$एन$ अनंत करने के लिए। एक अस्मितावादी दृष्टिकोण से, $$$\ frac {1 ^ 2} {n!}, \ frac {2 ^ 2} {n!}, \ ldots, \ frac {n ^ 2} {n!}$ समान।

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टा-दा! मिशन पूरा हुआ। समस्या हल हो गई है। काम हो गया। अब हम सभी चीजों को जानते हैं जो हमें फैक्ट्रियों को विभाजित करने की आवश्यकता है, है ना?

खैर, शायद एक और सवाल है। कंप्यूटर क्या कहेगा? यदि हम अपने पसंदीदा फैक्टरियल एल्गोरिथ्म को लेते हैं, और एक ट्वीट में प्रस्तावित किया जाता है, तो ऑपरेटर की सभी घटनाओं को प्रतिस्थापित करता है $$$\ _$ (या * ) on / , क्या होगा? कौन सा $$$एन$ विभाजन के विकल्प $$$एन!$ कार्यक्रम हमें देंगे?

यहाँ जूलिया पर एक कार्यक्रम के रूप में factorials की गणना के लिए मेरा पसंदीदा एल्गोरिथ्म है:

 function mul!(n) if n == 1 return 1 else return n * mul!(n - 1) end end 

इस एल्गोरिथ्म ने पुनरावृत्ति की अवधारणा के लिए पीढ़ियों की पूरी पीढ़ी को पेश किया। पाठ के रूप में, यह पढ़ता है: यदि $$$एन$ है $$$1$ तो $$$mul! (n)$ है $$$1$ । अन्यथा, आपको फ़ंक्शन की गणना करने की आवश्यकता है $$$mul। (n-1)$ और फिर परिणाम को गुणा करें $$$एन$ ।

_{आप पूछ सकते हैं कि क्या होता है} $$_{$एन$ शून्य या नकारात्मक होगा। आप पूछ सकते हैं, लेकिन यह बेहतर नहीं है। हमारे वर्तमान लक्ष्यों के लिए} $$_{$n \ in \ mathbb {N}$ ।}

किसी भी सकारात्मक के साथ शुरू करना $$$एन$ पुनरावर्ती कॉलों का क्रम जल्द या बाद में घट जाएगा $$$n = 1$ ।

एकल-पंक्ति जूलिया परिभाषा शैली का उपयोग करते हुए एक फ़ंक्शन को अधिक सफलतापूर्वक लिखा जा सकता है:

 mul!(n) = n == 1 ? 1 : n * mul!(n - 1) 

असाइनमेंट ऑपरेटर का सही हिस्सा सशर्त अभिव्यक्ति है, या फॉर्म का टर्नेरी ऑपरेटर a ? b : c a ? b : c । यहां परीक्षण की बूलियन स्थिति है, जिसे या तो true या false लौटना चाहिए। यदि a true , तो अभिव्यक्ति b मूल्यांकन किया b है, और परिणाम संपूर्ण अभिव्यक्ति का मूल्य बन जाता है। अन्यथा, c गणना c जाती है।

बस यह सुनिश्चित करने के लिए कि मैंने सब कुछ सही किया है, यहां इस कार्यक्रम द्वारा गणना किए गए पहले 10 तथ्य हैं:

 [mul!(n) for n in 1:10] 10-element Array{Int64,1}: 1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 

अब, इस परिभाषा को बदलें और एकमात्र घटना को बदल दें * in / , बाकी सब को अपरिवर्तित छोड़ दें (फ़ंक्शन नाम को छोड़कर)।

 div!(n) = n == 1 ? 1 : n / div!(n - 1) 

और यही वह कार्यक्रम है यदि हम इसे मूल्यों के लिए चलाएंगे $$$एन$ से $$$1$ को $$$20$ :

 [div!(n) for n in 1:20] 20-element Array{Real,1}: 1 2.0 1.5 2.6666666666666665 1.875 3.2 2.1875 3.657142857142857 2.4609375 4.063492063492063 2.70703125 4.432900432900433 2.9326171875 4.773892773892774 3.14208984375 5.092152292152292 3.338470458984375 5.391690662278897 3.523941040039063 5.675463855030418 

क्या? यह निश्चित रूप से शून्य में कनवर्ट करना पसंद नहीं करता है, ठीक उसी तरह जैसे $$$\ frac {1} {n!}$ या $$$\ frac {n} {n - 1}$ । वास्तव में, मान इस तरह नहीं दिखते हैं, क्योंकि वे अभिसरण नहीं होने जा रहे हैं। नीचे दिए गए ग्राफ को देखते हुए, अनुक्रम में दो इंटरलेव्ड घटक होते हैं, जिनमें से प्रत्येक को धीरे-धीरे अनन्तता की ओर बढ़ने लगता है, और दूसरे से विचलन भी होता है।


यह समझना कि हम यहां क्या देख रहे हैं, यह div! फ़ंक्शन के आउटपुट प्रकार को बदलने के लिए उपयोगी होगा div! । डिवीजन ऑपरेटर / का उपयोग करने के बजाय, जो मान को फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबर के रूप में लौटाता है, हम इसे // ऑपरेटर से बदल सकते हैं, जो सटीक तर्कसंगत मान लौटाता है, जो न्यूनतम अवधि के लिए गोल है।

 div!(n) = n == 1 ? 1 : n // div!(n - 1) 

यहाँ n 1:20 लिए मानों का एक क्रम है:

 20-element Array{Real,1}: 1 2//1 3//2 8//3 15//8 16//5 35//16 128//35 315//128 256//63 693//256 1024//231 3003//1024 2048//429 6435//2048 32768//6435 109395//32768 65536//12155 230945//65536 262144//46189 

सूची दिलचस्प पैटर्न से भरी है। यह एक डबल हेलिक्स है जिसमें विषम संख्या में भी और विषम संख्या में पूरक धागे होते हैं। यहां तक ​​कि संख्याएं भी नहीं हैं, वे सभी डिग्री हैं $$$2$ । इसके अलावा, वे जोड़े में दिखाई देते हैं - पहले अंश में, फिर हर में - और उनका क्रम गैर-घटता है। लेकिन अंतराल हैं; सभी डिग्रियां मौजूद नहीं हैं $$$2$ । विषम धागा और भी जटिल दिखता है, विभिन्न छोटे सरल गुणांक संख्या में दिखाई देते हैं और गायब हो जाते हैं। (अभाज्य संख्या कम से कम, कम होनी चाहिए $$$एन$ )।

इस परिणाम ने मुझे चौंका दिया। मुझे बहुत अधिक मधुर अनुक्रम देखने की उम्मीद थी, जैसे मैंने कागज पर गणना की। इन सभी टूट और डाउन जंप का कोई मतलब नहीं था। अनुपात में असीमित वृद्धि की ओर सामान्य रुझान का कोई मतलब नहीं था। सभी बड़ी और बड़ी संख्याओं को प्राप्त करते हुए, हम लगातार कैसे विभाजित कर सकते हैं?

इस बिंदु पर, आप पढ़ने को रोक सकते हैं और अपने स्वयं के सिद्धांत के साथ आने की कोशिश कर सकते हैं कि ये ज़िगज़ैग नंबर कहाँ से आते हैं। यदि आपको एक संकेत की आवश्यकता है, तो आपके पास यह है, और एक बहुत मजबूत है, लगभग एक बिगाड़ने वाला: अंजीर अनुक्रम के ऑनलाइन एनसाइक्लोपीडिया में न्यूमेरिटर्स के एक क्रम या हर के एक क्रम की तलाश करें।

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यहाँ एक और सुराग है। div! कार्यक्रम में एक छोटा सा बदलाव div! पूरी तरह से उत्पादन धर्मान्तरित। बस n // div!(n - 1) को div!(n - 1) // n साथ बदलकर अंतिम अभिव्यक्ति को div!(n - 1) // n

 div!(n) = n == 1 ? 1 : div!(n - 1) // n 

अब परिणाम इस तरह दिखते हैं:

 10-element Array{Real,1}: 1 1//2 1//6 1//24 1//120 1//720 1//5040 1//40320 1//362880 1//3628800 

यह उस समूह का उलटा कार्य है जिसे हम पहले ही देख चुके हैं, विभाजकों के बढ़ते क्रम में बाएँ से दाएँ जाने से उत्पन्न मूल्यों की एक श्रृंखला $$$1 \ मैथबिन {/} 2 \ मैथबिन {/} 3 \ मैथबिन {/} \ cdots \ मैथबिन {}} $$ ।

आश्चर्य नहीं कि एक प्रक्रिया में अंतिम अभिव्यक्ति को बदलने से परिणाम बदल जाता है। अंत में, हम जानते हैं कि विभाजन न तो सराहनीय है और न ही सहयोगी। लेकिन यह समझना मुश्किल है कि मूल कार्यक्रम द्वारा उत्पन्न मूल्यों का अनुक्रम इस तरह के अजीब वक्र आकार क्यों देता है। क्या तंत्र दो की ऐसी युग्मित शक्तियों को जन्म देता है और विषम और समान मूल्यों को वैकल्पिक करता है?

मैंने पाया कि एक ज़िगज़ैग अनुक्रम में जो हो रहा है, उसे पुनरावर्ती के बजाय प्रक्रिया के पुनरावृत्त संस्करण पर आसान बनाना है। (यह कथन उन लोगों के लिए कष्टप्रद लग सकता है, जो पुनरावर्ती परिभाषाओं को सरल पाते हैं, लेकिन यह अभी हुआ है।) यहां वह है जो कार्यक्रम दिखता है:

 function div!_iter(n) q = 1 for i in 1:n q = i // q end return q end 

मैं घोषणा करता हूं कि एक कार्यात्मक चक्र के साथ यह प्रक्रिया एक पुनरावर्ती कार्य के समान है, इस अर्थ में कि अगर div!(n) और div!_iter(n) कुछ सकारात्मक पूर्णांक n लिए परिणाम लौटाता है, तो यह हमेशा समान रहेगा। यहाँ मेरा प्रमाण है:

 [div!(n) for n in 1:20] [div!_iter(n) for n in 1:20] 1 1//1 2//1 2//1 3//2 3//2 8//3 8//3 15//8 15//8 16//5 16//5 35//16 35//16 128//35 128//35 315//128 315//128 256//63 256//63 693//256 693//256 1024//231 1024//231 3003//1024 3003//1024 2048//429 2048//429 6435//2048 6435//2048 32768//6435 32768//6435 109395//32768 109395//32768 65536//12155 65536//12155 230945//65536 230945//65536 262144//46189 262144//46189 

इन नंबरों को उत्पन्न करने वाली प्रक्रिया को समझने के लिए, चर के अनुक्रमिक मूल्यों पर विचार करें $$$मैं$ और $$$q$ हर बार जब आप एक लूप चलाते हैं। शुरू में $$$मैं$ और $$$q$ बराबर हैं $$$1$ ; इसलिए, चक्र के पहले पास के बाद, अभिव्यक्ति q = i // q देता है $$$q$ अर्थ $$$\ frac {1} {1}$ । तो $$$i = 2$ , और $$$q = \ frac {1} {1}$ , वह, एक नया अर्थ है $$$q$ है $$$\ frac {2} {1}$ । तीसरी पुनरावृत्ति में $$$i = 3$ , और $$$q = \ frac {2} {1}$ वह हमें देता है $$$\ frac {i} {q} \ rightarrow \ frac {3} {2}$ । यदि यह अभी भी भ्रमित है, तो कल्पना करें $$$\ frac {i} {q}$ कैसे $$$i \ गुना \ frac {1} {q}$ । यहां एक महत्वपूर्ण अवलोकन यह है कि प्रत्येक लूप चक्र के साथ $$$q$ विपरीत मूल्य मिलता है, बन रहा है $$$\ frac {1} {q}$ ।

यदि आप इन ऑपरेशनों का विस्तार करते हैं और श्रृंखला के प्रत्येक तत्व में शामिल गुणा और विभाजनों को देखते हैं, तो एक पैटर्न उत्पन्न होता है:

$$

$$\ frac {1} {1}, \ quad \ frac {2} {1}, \ quad \ frac {1 \ cdot 3} {2}, \ quad \ frac {2 \ cdot 4} {1 \ cdot x }, \ quad \ frac {1 \ cdot 3 \ cdot 5} {2 \ cdot 4} \ quad \ frac {2 \ cdot 4 \ cdot 6} {1 \ cdot 3 \ cdot 5}$$

सामान्य रूप में:

$$

$$\ frac {1 \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ \ _ " {2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdot \ cdots \ cdot n} {1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot \ cdots \ cdot (n-1)} \ quad (\ पाठ {सम}} $$$

---

कार्यों $$$1 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot \ cdots \ cdot n$ विषम के लिए $$$एन$ और $$$2 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdot \ cdots \ cdot n$ के लिए भी $$$एन$ उनका अपना नाम है! उन्हें डबल फैक्टरियल कहा जाता है, और जैसा लिखा जाता है $$$n !!$ ।

_{भयानक शब्दावली, है ना? बेहतर होगा कि उन्हें "अर्ध-तथ्यात्मक" कहा जाए। और अगर मुझे पता नहीं था, तो मैं पढ़ूंगा} $$_{$n !!$ एक तथ्यात्मक तथ्य के रूप में।}

डबल फैक्टोरियल एन को समान समानता के n और सभी छोटे सकारात्मक पूर्णांकों के उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है। अतः जिगजैग मूल्यों का हमारा जिज्ञासु क्रम बस है $$$\ frac {n !!} {(n-1) !!}$ ।

हेनरी डब्ल्यू गोल्ड और जॉक्लीएन क्वेंटेंस (अलास, पेवल के पीछे) का 2012 का एक लेख डबल फैक्टोरियल के उपयोग की खोज करता है। जितना आप सोच सकते हैं उससे कहीं अधिक वे आम हैं। 17 वीं शताब्दी के मध्य में, जॉन वालिस ने निम्नलिखित पहचान प्राप्त की:

$$

$$\ frac {\ pi} {2} = \ frac {2 \ _ cdot 2 \ cdot 4 \ cdot 4 \ cdot 6 \ cdot 6 \ cdots} {1 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdots} = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ frac {(2n) !!} ^ 2} {(2n + 1) !! (2n - 1) !!}$$

डबल फैक्टोरियल वैल्यू के क्यूब को सम्‍मिलित करने वाली एक अजनबी सीरीज़ भी इसमें सम्‍मिलित है $$$\ frac {2} {\ pi}$ । उनकी खोज श्रीनिवास रामानुजन के अलावा किसी और ने नहीं की थी।

गॉल्ड और कियन्स ने द्विपद गुणांक के लिए डबल फैक्टोरियल को भी समान माना। मानक द्विपद गुणांक को निम्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$

$$\ binom {n} {k} = \ frac {n!} {k! (n-k)!}$$

दोहरी संस्करण इस तरह दिखता है:

$$

$$\ छोड़ दिया (\! \ binom {n} {k}! \ right) = \ frac {n}} {k !! (n-k) !!}$$

ध्यान दें कि हमारे ज़िगज़ैग नंबर इस विवरण के अनुरूप हैं, और इसलिए दोहरे गुटों के द्विपद गुणांक माना जा सकता है। विशेष रूप से, वे ऐसी संख्याएँ हैं:

$$

$$\ छोड़ दिया (\! \ binom {n} {1} \! \ right) = \ बाएँ (\! \ binom {n} {n - 1} \! \ right) = \ frac {n !!} {1 !! (एन -1) !!}$$

सादा बीन $$$\ binom {n} {1}$ बहुत दिलचस्प नहीं; वह सिर्फ बराबर है $$$एन$ । लेकिन डबल संस्करण $$$\ छोड़ दिया (\! \ binom {n} {1} \! \ right)$ जैसा कि हमने देखा, एक अधिक जीवंत नृत्य नाच रहा है। और सामान्य द्विपद के विपरीत, यह हमेशा पूर्णांक नहीं होता है। (केवल पूर्णांक मान हैं $$$1$ और $$$2$ )।

दो गुटों के भागफल के रूप में ज़िगज़ैग नंबरों पर एक नज़र उनके गुणों में से कुछ को समझाती है, वैकल्पिक रूप से और विषम मूल्यों के साथ शुरू होती है। हम यह भी देख सकते हैं कि अनुक्रम में सभी सम संख्याएँ 2 की शक्तियाँ क्यों हैं। उदाहरण के साथ विचार करें $$$n = 6$ । इस अंश का अंश है $$$2 \ cdot 4 \ cdot 6 = 48$ से प्राप्त हो रहा है $$$6$ फ़ैक्टर $$$3$ । लेकिन हरक है $$$1 \ cdot 3 \ cdot 5 = $ 1$ । ऊपर और नीचे की तिकड़ी सिकुड़ जाती हैं, हमें छोड़ देती हैं $$$\ frac {16} {5}$ । इस तरह की कटौती प्रत्येक मामले में होती है। हर बार सम संख्याओं के अनुक्रम में एक विषम कारक दिखाई देता है $$$एम$ , यह आवश्यक रूप से है $$$2 \ cdot m$ लेकिन इस समय तक $$$एम$ पहले से ही विषम संख्या के अनुक्रम में दिखाई देना चाहिए।

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ज़िगज़ैग संख्या का अनुक्रम प्रश्न का एक उचित उत्तर है: “यदि हम विभाजित करते हैं, तो गुणा करने के बजाय क्या होता है $$$एन!$ ? " या कंप्यूटर प्रोग्राम उन्हें पैदा करने के लिए सिर्फ एक गलत एल्गोरिथ्म है? मेरी निजी राय में, $$$\ frac {1} {n!}$ - अधिक सहज उत्तर, लेकिन $$$\ frac {n !!} {(n - 1) !!}$ - और अधिक दिलचस्प।

इसके अलावा, एक ज़िगज़ैग अनुक्रम का बहुत अस्तित्व हमारे क्षितिज को व्यापक बनाता है। जैसा कि ऊपर कहा गया है, यदि आप जोर देते हैं कि डिवीजन एल्गोरिथ्म को हमेशा संख्यात्मक की सूची के माध्यम से जाना चाहिए $$$एन$ , प्रत्येक कदम पर बाईं ओर संख्या को दाईं ओर से विभाजित करते हुए, कुल होता है $$$एन$ संभव परिणाम, और वे सभी बहुत समान दिखते हैं। लेकिन ज़िगज़ैग समाधान बहुत व्यापक संभावनाएं प्रदान करता है। हम समस्या को इस प्रकार तैयार कर सकते हैं: संख्यावाचक का सेट लें $$$\ {1 \ dots n \}$ , इसका सबसेट चुनें और इस सबसेट के सभी तत्वों को उल्टा करें; अब हम सभी संख्याओं को गुणा करते हैं, दोनों व्युत्क्रम और प्रत्यक्ष। यदि उलटा उपसमुच्चय खाली है, तो परिणाम एक नियमित तथ्य होगा $$$एन!$ । यदि सभी संख्यात्मक उनके मानों के विपरीत हो गए हैं, तो हम विपरीत प्राप्त करते हैं $$$\ frac {1} {n!}$ । और अगर हर दूसरा अंश परिवर्तित किया जाता है, तो शुरू होता है $$$n - 1$ , फिर परिणाम एक ज़िगज़ैग अनुक्रम का एक तत्व होगा।

ये उपलब्ध कई विकल्पों में से कुछ हैं; कुल में वहाँ है $$$2 ^ एन$ का सबसेट $$$एन$ तत्वों। उदाहरण के लिए, आप प्रत्येक संख्या के व्युत्क्रम को ले सकते हैं जो अभाज्य या प्रमुख शक्ति है $$$(2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, \ dots)$ । छोटे पर $$$एन$ परिणाम उछल रहे हैं, लेकिन लगातार कम से कम बने हुए हैं $$$1$ :


हालाँकि, अगर मैंने इस चार्ट को और जारी रखा $$$एन$ , वह समताप मंडल में उतर जाता। संख्या रेखा पर प्राइम की डिग्री बहुत विरल हो जाती है।

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अब मैं एक प्रश्न पूछूंगा। हमने तथ्यात्मक रूपांतरों को शून्य के करीब पहुंचते देखा $$$एन$ उदाहरण के लिए अनन्तता $$$1 / n!$ । हमने अन्य विविधताओं को बढ़ते हुए देखा है $$$एन$ असीमित, खुद सहित $$$एन!$ और संख्या zigzag। क्या फैक्टोरियल प्रक्रिया की कोई किस्में ऐसी हैं जो कुछ परिमित सीमा में परिवर्तित हो जाती हैं जो शून्य नहीं है?

सबसे पहले, निम्नलिखित एल्गोरिथ्म मेरे पास हुआ:

 function greedy_balance(n) q = 1 while n > 0 q = q > 1 ? q /= n : q *= n n -= 1 end return q end 

हम पूर्णांक मानों से लूप करते हैं $$$एन$ के लिए नीचे $$$1$ प्रक्रिया में वर्तमान उत्पाद / भागफल की गणना $$$q$ । प्रत्येक चरण पर, यदि वर्तमान मूल्य $$$q$ बड़ा $$$1$ , हम इसे अगले अंश द्वारा विभाजित करते हैं, अन्यथा, हम गुणा करते हैं। यह योजना किसी प्रकार के प्रतिक्रिया प्रबंधन या लक्ष्य खोज व्यवहार को लागू करती है। अगर $$$q$ बहुत बड़ा हो रहा है, हम इसे कम करते हैं; यदि बहुत छोटा है, तो हम इसे बढ़ाते हैं। मैंने सुझाव दिया कि प्रयास करते हुए $$$एन$ अनंत करने के लिए $$$q$ के बगल में मूल्यों की लगातार संकुचित सीमा में परिवर्तित हो जाएगा $$$1$ ।

लेकिन प्रयोग ने मुझे एक और आश्चर्यचकित कर दिया:


इस तरह की आरी की लहर वैसी नहीं है जैसी मुझे उम्मीद थी। उत्सुकता से, वक्र सममित रूप से चारों ओर नहीं है $$$1$ ; ऊपर से विचलन नीचे से बड़ा आयाम है। लेकिन यह विकृति गणितीय की तुलना में अधिक दृश्य है। क्योंकि $$$q$ से दूरी है $$$1$ को $$$10$ से उतना ही दूर $$$1$ को $$$\ frac {1} {10}$ लेकिन एक रेखीय पैमाने पर ऐसा नहीं दिखता है। आप इसे भागफल के लघुगणकीय ग्राफ को संकलित करके ठीक कर सकते हैं:


अब ग्राफ सममित है, या कम से कम लगभग समान है, और मूल्य के सापेक्ष केंद्रित है $$$0$ जो लघुगणक है $$$1$ । लेकिन एक और अधिक गंभीर रहस्य बना हुआ है। सॉवोथ तरंग बहुत नियमित है और इसकी अवधि होती है $$$4$ , जबकि अपेक्षित सीमा मूल्य की दिशा में संपीड़न के संकेत नहीं दिखा रहे हैं $$$\ log q = 0$ । संख्यात्मक मान बताते हैं कि कब $$$एन$ अनन्तता के लिए, वक्र की चोटियाँ थोड़ा अधिक मूल्य में परिवर्तित हो जाती हैं $$$q = \ frac {5} {3}$ , और चढ़ाव थोड़ा कम मूल्य पर आ रहे हैं $$$q = \ frac {3} {5}$ । (आधार का लघुगणक अनुरूप $$$10$ लगभग बराबर हैं $$$\ pm0.222$ )। मैं यह पता नहीं लगा सका कि ऐसा क्यों हो रहा है। शायद कोई समझा सकता है।

इस लालची एल्गोरिथ्म के साथ असफलता का मतलब यह नहीं है कि हम तथ्यात्मक रूपांतरित नहीं कर सकते $$$q = 1$ ।

_{यदि हम संख्यावाचक के लघुगणक के साथ काम करते हैं, तो यह प्रक्रिया एक प्रसिद्ध कम्प्यूटेशनल समस्या का मामला बन जाती है जिसे "संख्याओं के समूह को विभाजित करने की समस्या" कहा जाता है। हमें कई वास्तविक संख्याएं दी गई हैं, और हमें उन्हें दो सेटों में विभाजित करना चाहिए, जिनमें से योग समतुल्य है, या समानता के जितना संभव हो उतना करीब। यह एक सिद्ध रूप से कठिन काम है, लेकिन इसे ( पीडीएफ ) "सबसे सरल जटिल कार्य" भी कहा जाता है।}

किसी के लिए $$$एन$ हम यह पा सकते हैं कि जब कुछ अन्य अंशों के व्युत्क्रम मानों का उपयोग करते हुए हमें एक बेहतर सन्निकटन प्राप्त होता है $$$n! = 1$ । छोटे के लिए $$$एन$ हम जानवर बल द्वारा इस समस्या को हल कर सकते हैं: बस सब कुछ पर विचार करें $$$2 ^ एन$ सबसे अच्छा सबसे अच्छा है।

मैंने अधिकतम विभाजन की गणना की $$$n = 30$ जब आपको एक अरब विकल्प चुनने की आवश्यकता हो।


जाहिर है, ग्राफ चापलूसी हो रही है। आप किसी भी अन्य मान को सीमा में करने के लिए बाध्य करने के लिए उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं $$$0$ को $$$एन!$ ।

और इसलिए हमें ट्वीट के द्वारा पूछे गए सवाल का एक और जवाब मिलता है और अपनी यात्रा शुरू की। यदि हम विभाजित करते हैं और गुणा नहीं करते हैं तो क्या होता है $$$एन!$ ? कुछ भी हम चाहते हैं।