असंभव पैन और अन्य पेनरोज़ टाइल जीतता है

1974 में, ब्रिटिश गणितज्ञ रोजर पेनरोज़ ने टाइलों का एक क्रांतिकारी सेट बनाया, जिसका उपयोग कभी भी दोहराए जाने वाले पैटर्न के साथ एक अनंत विमान को भरने के लिए किया जा सकता है। 1982 में, इजरायल के क्रिस्टलोग्राफर डैनियल शेख्टमैन ने एक धातु मिश्र धातु की खोज की जिसके परमाणुओं को भौतिक विज्ञान में सामना करने से पहले कभी भी एक क्रम में व्यवस्थित नहीं किया गया था। पेनरोज़ ने बड़े पैमाने पर सार्वजनिक मान्यता प्राप्त की, शायद ही कभी गणितज्ञों को दिया गया। शेखतमान को नोबेल पुरस्कार मिला। दोनों वैज्ञानिकों ने मानव अंतर्ज्ञान को चुनौती दी और प्रकृति की संरचना को समझने की मूल बातें बदल दीं, यह पाया कि अत्यधिक परिवर्तनशील वातावरण में भी अनंत परिवर्तनशीलता हो सकती है।

उनकी खोजों के मूल में "निषिद्ध समरूपता" निहित है, इसलिए ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह समरूपता और पुनरावृत्ति के बीच गहरे निहित संबंध का खंडन करता है। समरूपता प्रतिबिंब की कुल्हाड़ियों पर आधारित है - लाइन के एक तरफ जो कुछ भी है वह दूसरे पर दोहराया गया है। गणित में, यह कनेक्शन टाइलिंग स्पेस के पैटर्न द्वारा व्यक्त किया जाता है। सममित आकृतियाँ, जैसे आयताकार और त्रिभुज, अंतराल और ओवरले के बिना विमान को भर सकते हैं, एक लगातार दोहराए जाने वाले पैटर्न का निर्माण करते हैं। दोहराए जाने वाले पैटर्न को "आवधिक" कहा जाता है और उन्हें "स्थानांतरण समरूपता" कहा जाता है। यदि आप पैटर्न (पैटर्न) को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाते हैं, तो यह समान दिखेगा।

एक साहसी और महत्वाकांक्षी वैज्ञानिक के रूप में, पेनरोज़ को समान पैटर्न और दोहराव में नहीं, बल्कि अनंत परिवर्तनशीलता में दिलचस्पी थी। अधिक विशेष रूप से, वह "एपेरियोडिक" टाइलिंग में रुचि रखते थे, अर्थात्, आंकड़े के सेट जो बिना अंतराल और ओवरले के एक अनंत विमान को भर सकते हैं, और टाइलिंग पैटर्न को कभी भी दोहराया नहीं जाता है। यह एक मुश्किल काम था क्योंकि वह समरूपता के दो, तीन, चार या छह अक्षों के साथ आंकड़े (टाइल) का उपयोग नहीं कर सकता था - आयताकार, त्रिकोण, वर्ग या हेक्सागोन्स - क्योंकि एक अनंत विमान पर वे आवधिक और दोहराए गए पैटर्न बनाएंगे। यही है, उन्हें उन आंकड़ों का उपयोग करने की आवश्यकता थी जो विमान को भरने के दौरान अंतराल को छोड़ने के लिए सोचा गया था - वे आंकड़े जिन्होंने समरूपता को मना किया है।

नॉन-रिपीटिंग पैटर्न का अपना प्लेन बनाने के लिए, पेनरोस ने पांच-अक्ष समरूपता की ओर रुख किया - विशेष रूप से पेंटागन के लिए, क्योंकि उनके अनुसार, यह "पेंटागन्स को देखने के लिए सिर्फ अच्छा है"। पेनरोज़ के आंकड़ों के बारे में उल्लेखनीय बात यह थी कि हालांकि उन्हें ये आंकड़े आयतों की रेखाओं और कोनों से मिले, लेकिन उन्होंने बदसूरत अंतराल नहीं छोड़ा। वे एक दूसरे के खिलाफ कसकर फिट होते हैं, झुकते हैं और विमान को मोड़ते हैं, हमेशा दोहराव के करीब होते हैं, लेकिन कभी नहीं पहुंचते।

पेनरोज़ के मोज़ेक ने दो मुख्य कारणों से जनता का ध्यान आकर्षित किया है। सबसे पहले, उसने सिर्फ दो प्रकार के आकार से असीम रूप से बदलते पैटर्न उत्पन्न करने का एक तरीका पाया। दूसरे, उनकी टाइलें सरल, सममित आंकड़े थीं, जो अपने आप में असामान्य गुणों का कोई संकेत नहीं दिखाती थीं।


पेनरोज़ ने अपने एपेरियोडिक सेट के कई प्रकार के आंकड़े बनाए। सबसे प्रसिद्ध में से एक "सांप" और "डार्ट" कहा जाता है। "पतंग" बच्चों की पतंग की तरह दिखता है, और "डार्ट" एक चुपके बॉम्बर की सरलीकृत रूपरेखा की तरह दिखता है। दोनों स्पष्ट रूप से समरूपता के अक्षों के साथ विभाजित हैं और उनमें से प्रत्येक की सतह पर सरल सममित आर्क हैं। पेनरोज़ ने आकृतियों को रखने के लिए एक नियम को परिभाषित किया: टाइलों के "उचित" प्लेसमेंट के लिए, इन आर्क्स को मेल खाना चाहिए, जो कि अछूता वक्र बनाते हैं। इस नियम के बिना, "सांप" और "डार्ट्स" को दोहराए जाने वाले पैटर्न में व्यवस्थित किया जा सकता है। यदि आप इस नियम का पालन करते हैं, तो पुनरावृत्ति कभी नहीं होती है। "स्नेक" और "डार्ट" अनंत रूप से विमान को भरते हैं, अपने पांच अक्षों के चारों ओर नृत्य करते हैं, तारों और डिकैगनों का निर्माण करते हैं, वक्रों, तितलियों और फूलों को मोड़ते हैं। आंकड़े दोहराए जाते हैं, लेकिन उनमें नई विविधताएँ दिखाई देती हैं।

अर्कांसस विश्वविद्यालय के गणित के नैदानिक ​​प्रोफेसर एडमंड हैरिस, जिन्होंने पेनरोज़ टाइल्स के बारे में एक डॉक्टरेट लिखा था, इस तरह की तुलना प्रदान करता है। “कल्पना कीजिए कि आप चौकों की दुनिया में रहते हैं। आप चलना शुरू करते हैं, और जब आप वर्ग के अंत तक पहुँचते हैं, तो अगला एक समान होता है, और आप जानते हैं कि यदि आप अंतहीन रूप से आगे बढ़ते रहेंगे तो आप क्या देखेंगे। " पेनरोज़ टाइल्स की प्रकृति बिल्कुल विपरीत है। “आपके पास जो भी जानकारी है, पैटर्न का जो भी हिस्सा आप देखते हैं, आप कभी भी अनुमान नहीं लगा सकते हैं कि आगे क्या होगा। हमेशा कुछ ऐसा होगा जो आपने पहले नहीं देखा होगा। ”

एक विमान के एपेरियोडिक विभाजन के उत्सुक पहलुओं में से एक यह है कि स्थिति की जानकारी किसी भी तरह लंबी दूरी पर प्रेषित की जाती है - एक जगह पर रखी गई पेनरोज़ टाइल, सैकड़ों टाइलों (और हजारों और लाखों में) से भी रोकती है। "स्थानीय बाधा किसी तरह एक वैश्विक बाधा पैदा करती है," हैरिस कहते हैं। "इससे पता चलता है कि ये टाइलें किसी भी पैमाने पर कुछ भी आवधिक नहीं बनाएंगी।" आपके पास किसी स्थान पर "सांप", या किसी दूरस्थ स्थान पर "डार्ट" रखने का विकल्प हो सकता है। कोई भी टाइल करेगा, लेकिन दोनों नहीं।


ये टाइलें, एक अंतहीन, गैर-दोहराए जाने वाले पैटर्न का निर्माण करती हैं, जो कि फाइबोनैचि अनुपात को व्यक्त करती हैं, जिसे "गोल्डन अनुपात" के रूप में भी जाना जाता है। दो संख्याओं को सुनहरा अनुपात कहा जाता है, यदि किसी छोटी संख्या का अनुपात किसी बड़ी संख्या के अनुपात से दो संख्याओं के योग के समान हो। इस मामले में, "डार्ट" के क्षेत्र में "सांप" के क्षेत्र का अनुपात स्वर्णिम अनुपात है। "शॉर्ट" के लंबे पक्ष का अनुपात इसके छोटे पक्ष का भी स्वर्णिम अनुपात है।

पेनरोज़ टाइल्स को खुद के छोटे संस्करणों में भी विभाजित किया जा सकता है। एक "साँप" में दो छोटे "साँप" और एक "डार्ट" के दो भाग होते हैं। "डार्ट" में एक छोटा "साँप" और दो "डार्ट" आसन होते हैं। (पेनरोज़ की किसी भी उचित टाइलिंग में, "डार्ट्स" के इन हिस्सों को एक-दूसरे के साथ जोड़ दिया जाता है। गणित के दृष्टिकोण से, यह उन्हें पूरे "डार्ट्स" के रूप में माना जाता है) "मान लीजिए कि हमारे पास पेनरोज़ मोज़ेक का एक टुकड़ा है, जिसमें" साँप "और बी " डार्ट्स "शामिल हैं। उन्होंने कहा, "हैरिस कहते हैं। "अगर मैं उन्हें वश में कर लेता हूं, तो मुझे 2 ए + बी " सांप "मिलेंगे, और ए + बी " डार्ट्स ""।

यदि आप इस प्रतिस्थापन को अनंत बार करते हैं, तो आप प्रत्येक प्रकार की टाइल की कुल हिस्सेदारी की गणना कर सकते हैं, जैसे कि एक अनंत विमान पर रखी गई हो। ऐसी गणनाओं में, एक दोहराव पैटर्न हमेशा एक तर्कसंगत संख्या की ओर जाता है। यदि अनुपात एक अपरिमेय संख्या है, तो इसका मतलब है कि पैटर्न वास्तव में पूरी तरह से कभी नहीं दोहराएगा। पेनरोज़ टाइल्स के लिए गणना में, न केवल अपरिमेय संख्या प्राप्त की जाती है, उनका अनुपात फाइबोनैचि अनुपात है - "डार्ट्स" से "सांप" का अनुपात टाइल्स की कुल संख्या के लिए "सांप" के अनुपात के बराबर है।

यह देखते हुए कि फाइबोनैचि अनुपात प्रकृति में सर्वव्यापी है - अनानास से लेकर खरगोश की आबादी तक - यह और भी विचित्र है कि यह अनुपात टाइलिंग प्रणाली के लिए मौलिक है, जो, ऐसा प्रतीत होता है, भौतिक दुनिया से इसका कोई लेना-देना नहीं है। पेनरोज़ ने विज्ञान में कुछ नया बनाया है, जो वास्तव में पेचीदा है कि यह प्रकृति के अनुसार काम नहीं करना चाहिए। ऐसा लगता था कि पेनरोज़ ने जानवरों की एक नई प्रजाति के बारे में एक विज्ञान कथा लिखी थी, और तब प्राणी विज्ञानी ने पृथ्वी पर रहने वाली इस प्रजाति की खोज की। वास्तव में, पेनरोज़ टाइल्स सुनहरे अनुपात के साथ जुड़ी हुई हैं, जिस गणित का हमने आविष्कार किया है, और हमारे आसपास की दुनिया का गणित।


निषिद्ध समरूपता के अध्ययन को लेते हुए, पेनरोज़ यह अनुमान नहीं लगा सकता था कि वह इस सोच में बदलाव का हिस्सा बन गया था जिसके कारण गणितीय विज्ञान के एक नए क्षेत्र की खोज हुई थी। आखिरकार, समरूपता शुद्ध गणित और प्राकृतिक दुनिया दोनों के लिए मौलिक है। एस्ट्रोफिजिसिस्ट मारियो लिवियो ने समरूपता को "प्रकृति की संरचना को नष्ट करने के लिए सबसे आवश्यक उपकरणों में से एक" कहा। प्रकृति मनुष्यों के समान वर्गों और हेक्सागोन्स का उपयोग करती है: वे सरल, कुशल और क्रमबद्ध हैं। यदि पेंटागन आंतरिक डिजाइन में फर्श टाइल्स को भरने जैसे सरल कार्य के लिए भी अव्यावहारिक लग रहा था, तो, निश्चित रूप से, यह माना जाता था कि उनका उपयोग क्रिस्टल जैसे ठोस पदार्थों में परमाणु बनाने के लिए नहीं किया जा सकता था।

क्रिस्टल परमाणुओं के त्रि-आयामी अक्षांशों से मिलकर होते हैं। क्रिस्टल नए परमाणुओं को जोड़कर बढ़ते हैं और अक्षांशों का विस्तार करते हैं। यह सबसे कुशलता से होता है जब परमाणुओं को दोहराते हुए पैटर्न दिखाई देते हैं। दशकों के लिए, इतिहास वहां समाप्त हो गया: क्रिस्टल संरचनाओं को दोहरा रहे थे। बिंदु।

लेकिन फिर, 1982 में, शेख़्तमैन हाइफ़ा में टेक्नीशन यूनिवर्सिटी से रचनात्मक अवकाश पर चले गए और राष्ट्रीय मानक ब्यूरो में काम करना शुरू कर दिया। वह एक एल्यूमीनियम-मैंगनीज मिश्र धातु प्रयोगशाला में लड़खड़ाया। इसकी क्रिस्टलीय संरचनाओं द्वारा निर्मित विवर्तन पैटर्न क्रिस्टलोग्राफरों के लिए ज्ञात किसी भी मानक समरूपता से मिलते जुलते नहीं थे। वास्तव में, परमाणुओं ने बहुत पेंटागन, रंबोल, "सांप" और "डार्ट्स" में पंक्तिबद्ध किया, जो पेनरोज ने गणित की दुनिया में खोजा था।

"बेशक, मैं पेनरोज़ टाइल्स से परिचित था," शेकचमैन कहते हैं। लेकिन उनके पास इस मिश्र धातु के साथ उनके संबंध पर संदेह करने का कोई कारण नहीं था। “मुझे समझ नहीं आया कि यह क्या है। अगले महीनों में, मैंने अपने प्रयोगों को बार-बार दोहराया। अपनी रचनात्मक छुट्टी के अंत तक, मुझे ठीक-ठीक पता था कि यह क्या नहीं है, लेकिन मुझे अभी भी पता नहीं था कि यह क्या है। ”

समझने के लिए कि उन्होंने क्या खोजा था, पेन्क्रोस की तरह शेख़्तमैन को अपने सामान्य सहज विचारों पर सवाल उठाना था। उसे दोहराव की कमी के साथ निषिद्ध समरूपता और इसके पंचकोणीय भ्रम को स्वीकार करना पड़ा। इज़राइल में रहते हुए, वह यह मानने के लिए अनिच्छुक था कि उसने एक गैर-दोहराए जाने वाले क्रिस्टलीय परमाणु संरचना की खोज की थी। हालांकि, क्रिस्टल विज्ञान की दुनिया में कोई भी पहली बार इस खोज को क्रिस्टलों में शामिल नहीं कर सका। इसलिए, उन्हें "क्वासिक क्रिस्टल" कहा जाता था।

पेनरोज़ का विचित्र गणित प्राकृतिक दुनिया में टूट गया था। "80 वर्षों के लिए, क्रिस्टल को" आदेशित और आवधिक "संरचनाओं के रूप में परिभाषित किया गया है, क्योंकि 1912 के बाद से हमने जो सभी क्रिस्टल का अध्ययन किया था, वे स्केचमैन बताते हैं। “यह केवल 1992 में था कि क्रिस्टल के अंतर्राष्ट्रीय संघ ने क्रिस्टल शब्द के लिए एक नई परिभाषा का चयन करने के लिए एक समिति का आयोजन किया। यह नई परिभाषा क्रिस्टलोग्राफी के लिए एक बदलाव है। ”

यह केवल सोच की सरल जड़ता नहीं थी, जिसने शेखमैन की समझ और खोज को स्वीकार करने से रोका। एपेरियोडिक क्रिस्टलीय संरचनाएं केवल अपरिचित नहीं थीं - उन्हें अप्राकृतिक माना जाता था। याद रखें कि एक पेनरोज़ टाइल का स्थान इससे हजारों टाइलों में आकृतियों को प्रभावित कर सकता है - स्थानीय प्रतिबंध वैश्विक बनाते हैं। लेकिन अगर परमाणु से परमाणु का निर्माण होता है, तो प्रकृति का एक नियम नहीं होना चाहिए जो पेनरोज़ टाइल्स में निहित प्रतिबंध बनाता है।

यह पता चला कि क्रिस्टल हमेशा परमाणु से परमाणु नहीं बनाते हैं। “बहुत जटिल इंटरमेटेलिक यौगिकों में, तत्व बहुत बड़े हैं। वे स्थानीय नहीं हैं। जब परमाणुओं के क्रमिक विकास के बजाय, एक ही समय में बड़े क्रिस्टल टुकड़े बनते हैं, तो एक-दूसरे से बहुत दूर स्थित परमाणु, पेनरोज़ टाइल्स की तरह, पारस्परिक स्थिति को प्रभावित कर सकते हैं।

जैसा कि कई वर्जनाओं के साथ होता है, निषिद्ध समरूपता को प्रकृति में अस्तित्व के स्वीकार्य रूपों में से एक के रूप में मान्यता दी गई है। Quasicrystals न केवल वैज्ञानिक अनुसंधान के एक नए क्षेत्र में अध्ययन का एक उद्देश्य बन गया: यह पता चला कि उनके पास कई उपयोगी गुण हैं जो उनकी असामान्य संरचना के कारण उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, परमाणुओं का उनका असममित विन्यास उन्हें कम सतह ऊर्जा प्रदान करता है, यानी थोड़ा उनसे चिपक सकता है। इस प्रकार, नॉन-स्टिक रसोई के बर्तनों में क्वासिकर्स्टैलिन कोटिंग्स का इस्तेमाल किया जाने लगा। (जब पेनरोज़ ने अपनी नई टाइलें बनाईं, तो वह कल्पना नहीं कर सकता था कि वे क्रिस्टलोग्राफी में इस्तेमाल किए जाएंगे, फ्राइंग का उल्लेख नहीं करने के लिए।) इसके अलावा, क्वासिक क्रिस्टल में आमतौर पर कम घर्षण और पहनने होते हैं, इसलिए वे रेजर और सर्जिकल के लिए आदर्श कोटिंग्स हैं। उपकरण, या मानव शरीर से संबंधित किसी भी अन्य तेज उपकरण।


चूंकि क्वासिक क्रिस्टल संरचनाएं कभी भी दोहराई नहीं जाती हैं, वे विद्युत चुम्बकीय विकिरण के अद्वितीय विवर्तन पैटर्न बनाते हैं। फोटोनिक्स के शोधकर्ता इस बात में रुचि रखते हैं कि वे प्रकाश संचरण, परावर्तन और फोटोलुमिनेसिस को कैसे प्रभावित करते हैं। यदि उन्हें ठंडा किया जाता है, तो उनका विद्युत प्रतिरोध लगभग शून्य स्तर तक गिर जाता है। लेकिन वे अवरक्त विकिरण को भी अवशोषित करते हैं, इसलिए वे बहुत जल्दी उच्च तापमान तक गर्म हो जाते हैं। इस वजह से, वे 3 डी प्रिंटर के लिए एक बहुत ही उपयोगी जोड़ बन जाते हैं, जिसमें प्लास्टिक पाउडर का इस्तेमाल शुरुआती सामग्री के रूप में किया जाता है। शेख्टमैन बताते हैं: यदि एक कैस्परिपरियोडिक पाउडर को इसके साथ मिलाया जाता है और अवरक्त विकिरण के संपर्क में आता है, तो क्वासिपरियोडिक पाउडर "बहुत जल्दी गर्म हो जाता है और आसपास के प्लास्टिक कणों को पिघला देता है, जिससे वे एक साथ चिपक जाते हैं।"

कोई नहीं जानता कि निषिद्ध समरूपता की कहानी कैसे समाप्त होती है। गणितज्ञ पेनरोज़ टाइल्स के गुणों का पता लगाना जारी रखते हैं। Quasicrystals मौलिक और अनुप्रयुक्त अनुसंधान दोनों में अध्ययन का विषय बने हुए हैं। लेकिन अभी तक यह यात्रा अविश्वसनीय रही है। पिछले 40 वर्षों में, पांच-अक्ष समरूपता अव्यावहारिक से मूल्यवान हो गई है, अप्राकृतिक से पूरी तरह से प्राकृतिक, निषिद्ध से प्रभावी है। और इस परिवर्तन के लिए, हमें दो वैज्ञानिकों को धन्यवाद देना चाहिए, जिन्होंने प्रकृति में अंतहीन विविधताओं के एक उल्लेखनीय नए रूप की खोज करने के लिए अपने सामान्य विचारों को छोड़ दिया।

लेखक के बारे में: पैचेन बार्स एक टोरंटो-आधारित पत्रकार और लेखक हैं। वह वर्तमान में शुद्ध गणित और प्राकृतिक दुनिया के बीच संबंधों पर एक किताब पर काम कर रहे हैं।