बच्चों की पहेली चुंबकत्व के रहस्यों को प्रकट करने में कैसे मदद करती है

मैग्नेट प्राचीन काल से लोगों के लिए जाना जाता है, लेकिन फेरोमैग्नेटिज़्म का भौतिकी एक रहस्य है। अब एक परिचित पहेली भौतिकविदों को सवालों के जवाब देने के करीब लाती है

15 का खेल खिलाड़ी को ग्रिड के भीतर गिने टाइलों को स्थानांतरित करने की पेशकश करता है। यदि आप इलेक्ट्रॉनों के स्पिन के साथ संख्याओं को बदलते हैं, तो पहेली का उपयोग यह समझाने के लिए किया जा सकता है कि स्थायी मैग्नेट कैसे काम करता है।

वर्ष 1880 में कई महीनों के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका के पूरे क्षेत्रों ने नशे की लत के कारण दम तोड़ दिया, जो कि पहले किसी ने नहीं देखा था। इम्पीरिया, कंसास, 12 मार्च, 1880 को साप्ताहिक समाचार-डेमोक्रेट पत्रिका में लिखा गया, "एक महामारी सचमुच देश भर में फैल गई है," पूरे शहर लालच में हैं, लोग नींद खो देते हैं और पागल हो जाते हैं। " महामारी यूरोप में फैल गई, और यहां तक ​​कि न्यूजीलैंड के साथ ऑस्ट्रेलिया तक पहुंच गई।

रोग एक नया जुनून बन गया है: सरल यांत्रिक पहेली खिलौना "15" को हतोत्साहित करना। यह अभी भी जाना जाता है, और इसमें 4x4 वर्ग फ़ील्ड शामिल है जिसमें आप क्रम में उन्हें व्यवस्थित करने के लिए 15 गिने टाइल को स्थानांतरित कर सकते हैं।

आज के मानकों के अनुसार, खेल पुराने जमाने का लगता है, लेकिन 1880 में यह लोकप्रियता के चरम पर था। अखबार ने लिखा, "कोई भी बच्चा इस तरह के मनोरंजन का विरोध नहीं कर सकता, कोई भी वयस्क उसके आकर्षण से बचने के लिए इतना मजबूत या अहंकारी नहीं होगा।" और निराशा गणितीय रूप से सिद्ध तथ्य से उपजी हो सकती है कि इस पहेली के केवल आधे विन्यास को सफलतापूर्वक हल किया जा सकता है (जो संभवतः इसके प्रभाव में आने वाले लोगों के लिए अज्ञात था)।

आज, लगभग 140 साल बाद, "15" गेम में रुचि फिर से बढ़ गई है, लेकिन इस बार यह एक व्याकुलता के रूप में कार्य नहीं करता है, लेकिन यह समझने के तरीके के रूप में कि यह क्या असंबंधित प्रतीत होता है और बहुत अधिक जटिल पहेली: मैग्नेट कैसे काम करता है।

स्थायी मैग्नेट, जो आपके रेफ्रिजरेटर के दरवाजे पर लटकाए जाते हैं, वे फेरोमैग्नेटिज़्म जैसी घटना से आकर्षित होते हैं। फेरोमैग्नेट में, इलेक्ट्रॉनों के स्पिन संरेखित होते हैं, और एक साथ वे एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। अधिक सटीक रूप से, लोहे, कोबाल्ट और निकल जैसे धातुएं बैंड मैग्नेटिज्म जैसे धातु हैं, क्योंकि उनके इलेक्ट्रॉन सामग्री के भीतर स्वतंत्र रूप से स्थानांतरित करने में सक्षम हैं। प्रत्येक इलेक्ट्रॉन का अपना चुंबकीय क्षण होता है, लेकिन यह समझने के लिए कि ये सभी क्षण एक चुंबक में कैसे और क्यों पंक्तिबद्ध होते हैं, सभी इलेक्ट्रॉनों के बीच क्वांटम इंटरैक्शन की गणना करना आवश्यक है, जो कि करना अत्यधिक कठिन है।

"हॉप मैग्नेटिज्म वास्तव में सैद्धांतिक संघनित पदार्थ भौतिकी में सबसे बड़ी चुनौतियों में से एक है," जॉस हॉपकिंस विश्वविद्यालय के भौतिक विज्ञानी वाई ली ने कहा।

हालांकि, ली और दो स्नातक छात्र, एरिक बोब्रोव और कीटन स्टीबिस, इस समस्या को हल करने के लिए थोड़ा करीब आ सकते हैं। गणित पहेली "15" का उपयोग करते हुए, उन्होंने क्षेत्र चुंबकत्व की आदर्श स्थिति का वर्णन करते हुए प्रसिद्ध प्रमेय का विस्तार किया। शारीरिक समीक्षा बी में प्रकाशित अपने नए विश्लेषण में, वे एक व्यापक और अधिक यथार्थवादी प्रणाली की व्याख्या करने के लिए प्रमेय का विस्तार करते हैं, जो संभवतः मैग्नेट के अधिक सटीक मॉडल को जन्म दे सकता है।

सैन डिएगो के कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय के भौतिक विज्ञानी डैनियल अरोवास ने कहा, "यह बहुत अच्छा काम है।" "मैं विशेष रूप से इस तथ्य के कारण इस काम को पसंद करता हूं कि ज़ोन चुंबकत्व के संबंध में बहुत कम विस्तृत परिणाम हैं और वे बहुत अधिक खंडित हैं।"

होल जंपिंग

सबसे बुनियादी स्तर पर, एक धातु में इलेक्ट्रॉनों को दो प्रमुख प्रतिबंधों का पालन करना चाहिए। सबसे पहले, वे सभी नकारात्मक रूप से चार्ज किए जाते हैं, इसलिए वे एक-दूसरे को दोहराते हैं। दूसरे, इलेक्ट्रॉनों को तथाकथित पालन करना आवश्यक है पाउली सिद्धांत, जो कि दो कणों को पोस्ट करता है [आधे-पूर्णांक स्पिन / लगभग के साथ। ट्रांस] एक ही क्वांटम स्थिति में नहीं हो सकता। इसका मतलब यह है कि एक ही स्पिन वाले इलेक्ट्रॉनों - एक इलेक्ट्रॉन के चुंबकीय क्षण के आनुपातिक - एक धातु परमाणु में एक ही राज्य पर कब्जा नहीं कर सकते। और विपरीत स्पिन वाले दो इलेक्ट्रॉनों कर सकते हैं।

यह पता चला है कि इलेक्ट्रॉनों के एक समूह के लिए पाउली सिद्धांत के पारस्परिक प्रतिकर्षण और सीमाओं को संतुष्ट करने का सबसे सरल तरीका उन्हें अलग करना और उनके स्पिन को संरेखित करना होगा - जिसके परिणामस्वरूप सामग्री फेरोमैग्नेटिक हो जाती है।

हालाँकि, यह केवल एक सरलीकृत चित्र है। भौतिकविद् व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉनों के बीच अनगिनत क्वांटम इंटरैक्शन से संरेखित स्पिन के इस तरह के एक संगठित पैटर्न की उपस्थिति का एक विस्तृत मॉडल नहीं बना सकते थे। उदाहरण के लिए, जैसा कि ली ने समझाया, एक इलेक्ट्रॉन का तरंग कार्य - इसकी क्वांटम गुणों का एक जटिल गणितीय विवरण - दूसरे इलेक्ट्रॉन की तरंग फ़ंक्शन के साथ भ्रमित हो सकता है। यह समझने के लिए कि व्यक्तिगत कणों का व्यवहार फेरोमैग्नेटिज़्म के रूप में इस तरह की एक सामूहिक घटना की उपस्थिति की ओर कैसे जाता है, आपको सिस्टम में प्रत्येक इलेक्ट्रॉन की तरंग फ़ंक्शन की निगरानी करनी होगी, जबकि यह लगातार अपने शेष बचे इलेक्ट्रॉनों में से प्रत्येक के तरंग फ़ंक्शन को उनकी बातचीत की प्रक्रिया में बदलता है। व्यवहार में, यह व्यापक उलझाव फेरोमैग्नेटिज़्म का वर्णन करने के लिए आवश्यक पूर्ण और व्यापक समीकरणों को लिखना असंभव बनाता है।

इसके बजाय, ली सहित भौतिक विज्ञानी, फेरोमैग्नेटिज़्म के पीछे भौतिकी का वर्णन करने वाले सरलीकृत, आदर्शित मॉडल का अध्ययन करके जानकारी इकट्ठा करने की कोशिश कर रहे हैं। विशेष रूप से, उनका नवीनतम कार्य 50 साल पहले की गई एक महत्वपूर्ण खोज का विस्तार करता है।

1960 के दशक के मध्य में, ग्लोब के विपरीत पक्षों के दो भौतिकविदों ने स्वतंत्र रूप से यह साबित किया कि इलेक्ट्रॉनों को संरेखित करना चाहिए और एक फेरोमैग्नेटिक राज्य क्यों बनाना चाहिए। डेविड टुल्स, फिर कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय के एक भौतिक विज्ञानी, जो अंततः 2016 के नोबेल पुरस्कार जीतेंगे, और नागोया विश्वविद्यालय के एक भौतिक विज्ञानी योस्कोक नगाओका, जो उस समय सैन डिएगो के कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय का दौरा कर रहे थे, ने क्रमशः 1965 और 1966 में अपने प्रमाण प्रकाशित किए। । उनका परिणाम, जिसे नागाओकी-टुल्स प्रमेय (या बस नागोकी प्रमेय) कहा जाता है, एक परमाणु जाली पर स्थित इलेक्ट्रॉनों की एक आदर्श प्रणाली पर आधारित है। इसलिए, हालांकि यह वास्तविक चुम्बकों के व्यवहार की व्याख्या नहीं करता है, फिर भी यह महत्वपूर्ण था, पहली बार यह दिखाते हुए कि इलेक्ट्रॉन स्प्रिंग्स को गठबंधन क्यों किया जाना चाहिए। और चूंकि उनका विश्लेषण गणितीय साक्ष्य था, वे सटीक थे, भौतिकी के अनुमानों पर बोझ नहीं था।

प्रमेय को समझने के लिए, दो-आयामी वर्ग जाली की कल्पना करें। प्रत्येक नोड विपरीत इलेक्ट्रॉनों के साथ दो इलेक्ट्रॉनों को रख सकता है, लेकिन प्रमेय का सुझाव है कि एक स्थान पर दो इलेक्ट्रॉनों को रखने के लिए एक अनंत ऊर्जा की आवश्यकता होगी। यह सुनिश्चित करता है कि प्रत्येक स्थान पर केवल एक इलेक्ट्रॉन होगा। इस विन्यास में, प्रत्येक इलेक्ट्रॉन अपने स्पिन को ऊपर या नीचे निर्देशित कर सकता है। उन्हें संरेखित करने की आवश्यकता नहीं है, इसलिए ऐसी प्रणाली में फेरोमैग्नेट नहीं होना चाहिए।


जॉन ली हॉपकिंस विश्वविद्यालय में भौतिक विज्ञानी वाई ली

अब हम एक इलेक्ट्रॉन निकालते हैं। नतीजतन, एक खाली जगह होगी जिसे छेद कहा जाता है। एक पड़ोसी इलेक्ट्रॉन एक नए खाली स्थान को पीछे छोड़ते हुए, एक छेद में फिसल सकता है। एक और इलेक्ट्रॉन एक नए खाली स्थान पर जा सकता है, एक और छेद पीछे छोड़ सकता है। इस उदाहरण में, एक छेद, वास्तव में, ग्रिड के चारों ओर घूमते हुए एक स्थान से दूसरे स्थान पर कूदता है। थुल्स और नागाओका ने पाया कि इस मामले में, जब एक एकल छेद जोड़ा जाता है, तो इलेक्ट्रॉनों को अनायास संरेखित किया जाएगा। उन्होंने साबित कर दिया कि यह सबसे कम ऊर्जा वाला राज्य होगा, एक फेरोमैग्नेट का राज्य।

अरोवास बताते हैं कि एक प्रणाली में सबसे कम ऊर्जा के साथ एक राज्य में आने के लिए, एक छेद को इलेक्ट्रॉन स्पिन के विन्यास को परेशान किए बिना स्वतंत्र रूप से स्थानांतरित करने में सक्षम होना चाहिए - ऐसी प्रक्रिया के लिए अतिरिक्त ऊर्जा की आवश्यकता होगी। लेकिन जब एक छेद चलता है, तो इलेक्ट्रॉनों को भी चलना चाहिए। इलेक्ट्रॉनों को स्पिन के विन्यास को परेशान किए बिना स्थानांतरित करने के लिए, उन्हें गठबंधन करना होगा।

"नाकाओका प्रमेय कुछ उदाहरणों में से एक है जो गणितीय रूप से फेरोमैग्नेटिज़्म के व्यक्तिगत मामलों को साबित कर सकता है," टोक्यो विश्वविद्यालय के भौतिक विज्ञानी मसाकी ओशिकावा ने कहा। "लेकिन भौतिकी के दृष्टिकोण से, यह सब बहुत ही कृत्रिम है।"

उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉनों को अपने पारस्परिक प्रतिकर्षण को दूर करने और एक स्थान पर बसने के लिए बहुत अधिक ऊर्जा की आवश्यकता होती है - लेकिन अनंत नहीं, जैसे कि सिद्धांत की आवश्यकता होती है। इसके अलावा, नागाओका और टुल्स द्वारा खींची गई तस्वीर केवल साधारण अक्षांशों पर लागू होती है: दो आयामी लताएं जिसमें वर्ग या त्रिकोण शामिल हैं, या तीन-आयामी घन लट्टे हैं। प्रकृति में, फेरोमैग्नेटिज्म हर तरह की संरचनाओं के साथ कई धातुओं में उत्पन्न होता है।

अगर नागाओका-टुल्स प्रमेय वास्तव में फेरोमैग्नेटिज़्म की व्याख्या करता है, तो यह सभी अक्षांशों पर लागू होना चाहिए। लोगों ने मान लिया था कि ली ने कहा। "लेकिन किसी ने वास्तविक, स्पष्ट सबूत नहीं दिया।" खैर, वह है, अभी भी है।

पीठ के साथ टाइल

1989 में, जापान के गकुशुइन विश्वविद्यालय के एक भौतिक विज्ञानी हैल तासाकी ने इस प्रमेय को विस्तारित किया कि यह तब तक लागू रहेगा जब तक कि जाली के पास ऐसी गणितीय संपत्ति हो जो कनेक्टिविटी के रूप में हो। एक चलती छेद के साथ एक वर्ग जाली का सरल मामला लें। यदि, एक छेद को स्थानांतरित करके, आप किसी भी विन्यास को स्पिन कर सकते हैं, तो इलेक्ट्रॉनों की संख्या रखते हुए, ऊपर और नीचे दोनों दिशाओं के साथ निर्देशित किया जाता है, फिर कनेक्शन की स्थिति संतुष्ट होती है।

लेकिन वर्ग और त्रिकोणीय अक्षांशों, और त्रि-आयामी क्यूब्स के अलावा, यह स्पष्ट नहीं था कि क्या कनेक्टेड स्थिति अन्य मामलों में संतुष्ट होगी - और, इसलिए, इस प्रमेय को व्यापक रूप से कैसे लागू किया जा सकता है।

इस मुद्दे से निपटने के लिए, ली ने एक हेक्सागोनल मधुकोश ग्रिड के साथ शुरू किया। इस कार्य पर काम कर रहे उनके छात्रों, बोब्रोव और स्टूबिस ने महसूस किया कि यह XIX सदी के एक उन्माद जैसा है: पहेली "15"। स्वैप टाइल संख्याओं से लेकर पीठ तक, ऊपर और नीचे, और पहेली नागोकी फेरोमैग्नेट के बराबर हो जाती है, जिसमें इलेक्ट्रॉन जाली के साथ एक छेद होता है।

पहेली की अनुमति तब होती है जब आपके पास किसी भी क्रम में टाइल्स को फिर से विभाजित करने का अवसर होता है, जो पूरी तरह से कनेक्टिविटी की स्थिति से मेल खाता है। तो यह सवाल कि क्या किसी दिए गए जाली के लिए कनेक्टिविटी की स्थिति संतुष्ट है, क्या यह सवाल बनता है कि क्या इस तरह की संरचना के जाली पर एक समतुल्य पहेली को हल करना संभव है।

यह पता चला है कि 1974 में गणितज्ञ रिचर्ड विल्सन, जो अब कैलिफोर्निया प्रौद्योगिकी संस्थान में काम कर रहे हैं, ने इस समस्या को सभी ग्रिड के लिए "15" पहेली को संक्षेप और हल करके हल किया। सबूत के हिस्से के रूप में, उन्होंने दिखाया कि लगभग सभी अविभाज्य अक्षांशों (जिसमें सभी नोड्स उनमें से एक को हटाने के बाद भी जुड़े हुए हैं), आप टाइल्स को स्थानांतरित कर सकते हैं और किसी भी कॉन्फ़िगरेशन को प्राप्त कर सकते हैं, जब तक कि आंदोलनों की संख्या भी बनी रहती है। एकमात्र अपवाद यह है कि एकल बहुभुज एक त्रिभुज से बड़े हैं, और "ग्राफ θnull" नामक कुछ है, जिसमें हेक्सागोन के केंद्र में शीर्ष दो विपरीत कोने से जुड़ा हुआ है।

शोधकर्ता सीधे विल्सन के सबूत को नागाओका-टुल्स प्रमेय में लागू करने में सक्षम थे। उन्होंने साबित किया कि कनेक्टिविटी की स्थिति इलेक्ट्रॉनों की एक प्रणाली और लगभग सभी अक्षांशों पर एक एकल छेद के लिए संतुष्ट है, जिसमें दो-आयामी मधुकोश और तीन-आयामी हीरे के आकार की जाली जैसी सामान्य संरचनाएं शामिल हैं। दो अपवाद - एक त्रिकोण से बड़ा बहुभुज, और ग्राफ ullnull - किसी भी मामले में, वास्तविक किण्वन में नहीं होता है।

छेद विस्फोट

सांता क्रूज़ में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय के भौतिक विज्ञानी श्रीराम शास्त्री ने कहा, "15" पहेली का उपयोग करना एक ताजा और संभावित फलदायी दृष्टिकोण है। "मुझे यह पसंद है कि वह एक नई भाषा, ग्राफ सिद्धांत के साथ कनेक्शन का एक नया सेट काम करने के लिए लाया," उन्होंने कहा। "मुझे लगता है कि यह एक समृद्ध संबंध है - भविष्य में यह विचारों का एक समृद्ध स्रोत बन सकता है।" लेकिन, हालांकि अनुसंधान एक महत्वपूर्ण कदम आगे ले जा रहा है, समस्याएं बनी हुई हैं।

शास्त्री ने कहा कि एक जटिलता यह है कि नागाओकी-टुल्स प्रमेय हमेशा काम नहीं करता है जब एक चलती हुई छेद को जाली के साथ चलते समय विषम संख्या में कदम उठाने पड़ते हैं। शायद सबसे हड़ताली समस्या यह है कि प्रमेय को बिल्कुल एक छेद की उपस्थिति की आवश्यकता होती है - अधिक नहीं, कम नहीं। हालांकि, धातुएं छिद्रों से भरी होती हैं, वे अक्सर जाली के आधे हिस्से पर कब्जा कर लेती हैं।

लेकिन भौतिकविदों ने कई छेद वाले सिस्टम के लिए प्रमेय को सामान्य बनाने की कोशिश की। संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करते हुए, भौतिकविदों ने दिखाया है कि नागोकी के फेरोमैग्नेटिज्म परिमित आकार के एक वर्ग जाली के लिए काम करता है, जिसमें से 30% छेद होते हैं। वर्तमान कार्य में, शोधकर्ताओं ने दो आयामी छत्ते और तीन आयामी हीरे के आकार के लैटिस के लिए सटीक विश्लेषणात्मक तकनीकों को लागू किया। नागोकी फेरोमैग्नेटिज़्म, जाहिरा तौर पर, जब तक छिद्रों की संख्या 1/2 छत्ते में नोड्स की संख्या को छत्ते से अधिक नहीं होती है, और हीरे के आकार के जाली के लिए डिग्री 2/5 में मौजूद होती है।

ये सटीक समाधान ज़ोन चुंबकत्व के अधिक पूर्ण मॉडल को जन्म दे सकते हैं। "यह भविष्य के अनुसंधान के लिए एक कठोर गणितीय प्रारंभिक बिंदु स्थापित करने की दिशा में सिर्फ एक छोटा कदम है," ली ने कहा।