क्वांटम वर्ल्ड के साथ न्यूटन का गणित

गणित के प्रोफेसर के रूप में, वह डरना बंद कर दिया और बीजीय ज्यामिति के साथ प्यार में गिर गया।

छठे दर्जन में, बीजीय ज्यामिति में एक वास्तविक विशेषज्ञ बनने में बहुत देर हो चुकी है, लेकिन मैं आखिरकार उसके प्यार में पड़ गया। जैसा कि इसके नाम का अर्थ है, गणित की यह शाखा ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए बीजगणित का उपयोग करती है। 1637 के आसपास, रेने डेसकार्टेस ने ज्ञान के इस क्षेत्र की नींव रखी, एक विमान ले लिया, मानसिक रूप से उस पर एक ग्रिड तैयार किया और x और y के लिए निर्देशांक डिजाइन किए। आप प्रपत्र x ² + y ² = 1 के समीकरण लिख सकते हैं, और उन बिंदुओं से मिलकर एक वक्र प्राप्त कर सकते हैं जिनके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं। इस उदाहरण में, हमें एक वृत्त मिलता है।

उस समय के लिए, यह एक क्रांतिकारी विचार था, क्योंकि यह हमें ज्यामिति के प्रश्नों को व्यवस्थित रूप से समीकरणों के बारे में प्रश्नों में परिवर्तित करने की अनुमति देता है जिन्हें बीजगणित के पर्याप्त ज्ञान से हल किया जा सकता है। कुछ गणितज्ञ अपने पूरे जीवन में इस शानदार क्षेत्र में शामिल रहे हैं। हाल तक तक, मुझे यह पसंद नहीं था, लेकिन मैं इसे क्वांटम भौतिकी में अपनी रुचि से जोड़ने में सक्षम था।

बचपन में मुझे गणित से ज्यादा भौतिकी पसंद थी। मेरे चाचा अल्बर्ट बैज़, प्रसिद्ध लोक गायक जोन बेज़ के पिता, ने यूनेस्को के लिए काम किया और भौतिकी प्रशिक्षण के साथ विकासशील देशों की मदद की। मेरे माता-पिता वाशिंगटन में रहते थे। जब मेरे चाचा शहर में आए, तो उन्होंने अपना ब्रीफ़केस खोला, मैग्नेट या होलोग्राम वहाँ से निकाले और उनकी मदद से उन्होंने मुझे भौतिकी के बारे में समझाया। यह कमाल था। जब मैं आठ साल का था, उन्होंने मुझे एक भौतिकी पाठ्यपुस्तक भेंट की, जो उन्होंने कॉलेज के लिए लिखी थी। हालांकि मैं उसे समझ नहीं पाया, मुझे तुरंत एहसास हुआ कि मैं यही चाहता हूं । मैंने एक भौतिक विज्ञानी बनने का फैसला किया, और मेरे माता-पिता चिंतित थे क्योंकि मुझे पता था कि भौतिकी को गणित की आवश्यकता थी, और मैं इस पर बहुत मजबूत नहीं था। कॉलम में विभाजन मेरे लिए असहनीय रूप से उबाऊ लग रहा था, और मैंने गणित में अपनी अंतहीन दोहराई जाने वाली दिनचर्या के साथ होमवर्क करने से इनकार कर दिया। लेकिन बाद में, जब मुझे एहसास हुआ कि समीकरणों के साथ खेलना, मैं यूनिवर्स के बारे में अधिक जान सकता हूं, तो यह मुझे रोमांचित कर गया। रहस्यमय प्रतीक जादू मंत्र की तरह थे, और एक तरह से यह था। विज्ञान जादू है जो वास्तव में काम करता है।

कॉलेज में, मैंने गणित को मुख्य विषय के रूप में चुना, और गणित के "अकथनीय प्रभावशीलता" के बारे में सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी यूजीन विग्नर के सवाल में दिलचस्पी हो गई: हमारे ब्रह्मांड गणितीय कानूनों के लिए इतनी आसानी से विषय क्यों है? उन्होंने इसे इस तरह तैयार किया: "भौतिकी के नियमों के निर्माण के लिए गणित की भाषा की पर्याप्तता का चमत्कार एक अद्भुत उपहार है जिसे हम समझ नहीं पाते हैं और इसके लायक नहीं हैं।" एक युवा आशावादी के रूप में, मुझे लगा कि ये कानून हमें एक गहरी पहेली को हल करने के लिए संकेत देंगे: क्यों यूनिवर्स आमतौर पर गणितीय कानूनों द्वारा शासित होता है। मैं पहले से ही समझ गया था कि गणित अपनी संपूर्णता में इसका अध्ययन करने के लिए बहुत अधिक प्रकाशमान है, इसलिए मैजिस्ट्रिक्ट में इस बात पर ध्यान केंद्रित करने का निर्णय लिया गया कि मेरे लिए क्या महत्वपूर्ण था। और उनमें से एक जो मेरे लिए महत्वपूर्ण नहीं था, बीजीय ज्यामिति था।

एक गणितज्ञ कैसे बीजीय ज्यामिति के साथ प्यार में नहीं पड़ सकता है? कारण निम्नानुसार है: अपने शास्त्रीय रूप में, यह क्षेत्र केवल बहुपद समीकरणों का अध्ययन करता है - समीकरण जो न केवल घटता का वर्णन करते हैं, बल्कि एक उच्च आयाम के आंकड़े भी हैं, जिन्हें "मैनिफोल्ड्स" कहा जाता है। यही है, x ² + y ² = 1 - यह सामान्य है, जैसे x ⁴³ - 2 xy ² = y ⁷ । लेकिन इस क्षेत्र के बाहर साइन, कोजाइन या अन्य कार्यों के साथ एक समीकरण तब तक है, जब तक कि हम इसे बहुपद के समीकरण में बदलने का कोई रास्ता नहीं खोज लेते। एक स्नातक छात्र के लिए, यह एक भयानक सीमा की तरह लग रहा था। आखिरकार, भौतिकी कई कार्यों का उपयोग करती है जो बहुपद नहीं हैं।


इसके लिए एक बहुपद है: अकेले बहुपद का उपयोग करके, कई दिलचस्प घटता का वर्णन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आइए एक सर्कल को दूसरे सर्कल के अंदर तीन बार बड़ा रोल करें। हमें तीन तेज कोनों के साथ एक वक्र मिलता है, जिसे "डेल्टॉइड" कहा जाता है। यह स्पष्ट नहीं है कि इसके बहुपद समीकरण द्वारा क्या वर्णित किया जा सकता है, लेकिन यह है। महान गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर ने 1745 में इसका आविष्कार किया था।

बीजगणितीय ज्यामिति स्वयं को बहुपदों में सीमित क्यों करती है? गणितज्ञ सभी प्रकार के कार्यों का अध्ययन करते हैं, लेकिन हालांकि वे बहुत महत्वपूर्ण हैं, कुछ स्तर पर उनकी जटिलता केवल ज्यामिति और बीजगणित के बीच के मूलभूत रहस्यों से विचलित करती है। अपनी खोजों की चौड़ाई को सीमित करके, बीजगणितीय ज्यामिति इन पहेलियों को अधिक गहराई से खोज सकते हैं। वह सदियों से इसमें लगी हुई है, और अब बहुपद के साथ कौशल वास्तव में आश्चर्यजनक है: बीजीय ज्यामिति संख्या सिद्धांत, क्रिप्टोग्राफी और कई अन्य क्षेत्रों में एक शक्तिशाली उपकरण बन गई है। लेकिन उसके सच्चे प्रशंसक के लिए, इस क्षेत्र का मूल्य अपने आप में निहित है।

एक बार मैं एक हार्वर्ड स्नातक छात्र से मिला और उससे पूछा कि वह क्या पढ़ रहा है। गम्भीर स्वर में उन्होंने एक शब्द कहा: "हार्टशॉर्न।" उन्होंने 1977 में प्रकाशित रॉबिन हार्टशॉर्न की पाठ्यपुस्तक बीजगणितीय ज्यामिति को ध्यान में रखा था। यह माना जाता है कि यह विषय के लिए एक परिचय बन जाना चाहिए, लेकिन वास्तव में बहुत जटिल है। विकिपीडिया से एक विवरण उद्धृत करने के लिए: "पहला अध्याय, जिसका शीर्षक" मेनिफोल्ड्स है, "बीजीय रूप से बंद क्षेत्रों में किस्मों के शास्त्रीय बीजगणितीय ज्यामिति के बारे में बात करता है। इस अध्याय में कम्यूटेटिव बीजगणित से कई शास्त्रीय परिणामों का उपयोग किया गया है, जिसमें हिल्बर्ट ज़ेरोस प्रमेय शामिल है, और अतिया-मैकडोनाल्ड, मात्सुमुरा और ज़ारिसकी-सैमुअल की पुस्तकों के संदर्भ अक्सर पाए जाते हैं। "

अगर आपको कुछ समझ में नहीं आया ... तो यह वही है जो मेरे मन में था। हार्टशॉर्न के पहले अध्याय को समझने के लिए, आपको पृष्ठभूमि ज्ञान की एक बड़ी मात्रा की आवश्यकता है। हार्टशॉर्न पढ़ना कई शताब्दियों की प्रतिभाओं को पकड़ने की कोशिश करने जैसा है, जो जितनी जल्दी हो सके उतनी तेजी से दौड़ने का प्रयास कर रहे हैं।


प्रसिद्ध क्यूबिक: यह केली की क्यूबिक नोडल सतह है। यह इस तथ्य के लिए प्रसिद्ध है कि यह सबसे बड़ी संख्या में नोड्स (ऐसे तेज टुकड़े) के साथ कई गुना है जिसे क्यूबिक समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है। समीकरण में प्रपत्र ( xy + yz + zx ) (1 - x - y - z ) xyz = 0 है और इसे "क्यूबिक" कहा जाता है क्योंकि एक ही समय में हम तीन से अधिक चर नहीं गुणा करते हैं।

इन प्रतिभाओं में से एक हार्टशॉर्न के वैज्ञानिक निदेशक थे - अलेक्जेंडर ग्रोटेंडिक। लगभग 1960 से 1970 तक, ग्रोथेंडिक ने बीजीय ज्यामिति में एक क्रांतिकारी क्रांति की, जो कि वेइल की परिकल्पना को साबित करने के उद्देश्य से एक महाकाव्य यात्रा का हिस्सा बना, जो संख्या सिद्धांत से समस्याओं के समाधान के साथ किस्मों को जोड़ता है। ग्रोथेंडिक ने सुझाव दिया कि वेइल की परिकल्पना की पुष्टि ज्यामिति और बीजगणित के बीच संबंध को मजबूत और गहरा करके की जा सकती है। उन्हें इस बात का स्पष्ट अंदाजा था कि यह कैसे होना चाहिए। लेकिन इस विचार की सटीकता सुनिश्चित करने के लिए, भारी काम की आवश्यकता थी। इसे पूरा करने के लिए, उन्होंने एक संगोष्ठी का आयोजन किया। ग्रोथेंडिक ने लगभग हर दिन प्रस्तुतियां दीं और पेरिस के सर्वश्रेष्ठ गणितज्ञों की मदद का लाभ उठाया।


चलो एक गणित-पृष्ठभूमि चलाते हैं: अलेक्जेंडर ग्रोटेंडिक ने अपने सेमिनार में।

एक दशक तक बिना रुके काम करते हुए, उन्होंने तेजस्वी अवधारणाओं से भरे हजारों नए गणित लिखे। अंत में, इन विचारों का उपयोग करते हुए, ग्रोथेंडिक ने अंतिम, सबसे जटिल को छोड़कर, सभी वायल की परिकल्पनाओं को सफलतापूर्वक साबित किया। ग्रोथेंडीक के आश्चर्य के लिए, यह उनके छात्र द्वारा तय किया गया था।

अपने सबसे उत्पादक वर्षों के दौरान, भले ही वह बीजीय ज्यामिति के फ्रांसीसी स्कूल पर हावी हो गया, कई गणितज्ञों ने ग्रोथेंडिक के विचारों को "बहुत सार" माना। यह थोड़ा अजीब लगता है, यह देखते हुए कि सारा गणित कितना सार है। लेकिन यह निस्संदेह है कि उनके विचारों को समझने के लिए समय और प्रयास की आवश्यकता है। एक स्नातक छात्र के रूप में, मैंने उनसे खुद को दूर करने की कोशिश की, क्योंकि मैं भौतिकी के अध्ययन में सक्रिय रूप से संघर्ष कर रहा था: सदियों से, जीनियस ने पूरी गति से इस पर काम किया, और फ्रंटियर तक पहुंचने में लंबा समय लगता है। लेकिन बाद में, जब मैंने अपना करियर शुरू किया, तो मेरी पढ़ाई ने मुझे ग्रोथेंडिक के काम के लिए प्रेरित किया।

अगर मैंने एक अलग रास्ता चुना, तो मैं स्ट्रिंग थ्योरी के अध्ययन के माध्यम से उनके काम पर जा सकता हूं। स्ट्रिंग थ्योरी का अध्ययन करने वाले भौतिकविदों का मानना ​​है कि अंतरिक्ष और समय के दृश्य आयामों के अलावा (अंतरिक्ष के लिए तीन आयाम और समय के लिए एक) अंतरिक्ष के अतिरिक्त आयाम हैं, इसलिए मुड़ जाते हैं कि उन्हें नहीं देखा जा सकता है। उनके कुछ सिद्धांतों में, ये अतिरिक्त आयाम विविधता बनाते हैं। इसलिए, स्ट्रिंग थ्योरी शोधकर्ता आसानी से बीजीय ज्यामिति से जटिल सवालों के घेरे में आ सकते हैं। और यह बदले में, उन्हें Grothendieck का सामना करता है।


मैं पूरी तरह से भ्रमित हूं: "क्विंटिक थ्रीफोल्ड" नामक एक किस्म का एक टुकड़ा, जिसका उपयोग स्ट्रिंग सिद्धांत में अंतरिक्ष के अतिरिक्त जटिल आयामों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।

और वास्तव में। सभी का सबसे अच्छा, स्ट्रिंग सिद्धांत का विज्ञापन प्रयोगात्मक परिणामों के सफल पूर्वानुमान द्वारा नहीं किया जाता है - यह बिल्कुल इसका दावा नहीं कर सकता है - लेकिन बीजीय ज्यामिति सहित शुद्ध गणित के ढांचे के भीतर समस्याओं को हल करने की क्षमता से। उदाहरण के लिए, स्ट्रिंग सिद्धांत आश्चर्यजनक रूप से विभिन्न प्रकारों के घटता की संख्या की गणना कर सकता है जो कुछ किस्मों में खींचा जा सकता है। इसलिए, आज एक बीजीय ज्यामितीय के साथ संचार करने वाले स्ट्रिंग सिद्धांतकारों को देख सकता है, और प्रत्येक पक्ष अपनी खोजों के साथ दूसरे को आश्चर्यचकित कर सकता है।

लेकिन ग्रथेंडेक के काम में मेरी व्यक्तिगत रुचि का स्रोत अलग था। मुझे हमेशा स्ट्रिंग सिद्धांत के बारे में गंभीर संदेह था, और किस्में में घटता गणना आखिरी चीज है जो मैं करना चाहता हूं: यह चढ़ाई की तरह है - यह देखने के लिए बहुत ही रोमांचक है, लेकिन इसे स्वयं करने के लिए बहुत डरावना है। यह पता चला कि ग्रोथेंडिक के विचार इतने सामान्यीकृत और मजबूत हैं कि वे बीजीय ज्यामिति की सीमाओं से परे कई अन्य क्षेत्रों में विस्तार करते हैं। विशेष रूप से, मैं १ ९ imp३ में लिखी उनकी ६०० पेज की अप्रकाशित पांडुलिपि पर्सिंग स्टैक्स से प्रभावित था। इसमें, वह कहते हैं कि टोपोलॉजी (यदि मोटे तौर पर समझाया जाए, तो यह एक सिद्धांत है कि अंतरिक्ष क्या रूप ले सकता है अगर हम इसे झुकने या खिंचाव के बारे में चिंतित नहीं हैं, लेकिन केवल छेद के प्रकारों को देखते हुए) बीजगणित में पूरी तरह से कम हो सकते हैं!

सबसे पहले, यह विचार बीजगणितीय ज्यामिति के समान हो सकता है, जिसमें हम ज्यामितीय आंकड़ों (उदाहरण के लिए, घटता या उच्च आयाम के कई गुना) का वर्णन करने के लिए बीजगणित का उपयोग करते हैं। लेकिन यह पता चला है कि "बीजगणितीय टोपोलॉजी" में पूरी तरह से अलग स्वाद है, क्योंकि टोपोलॉजी में हम खुद को बहुपद समीकरणों द्वारा वर्णित आंकड़ों तक सीमित करने के लिए बाध्य नहीं हैं। सुंदर गहने के साथ काम करने के बजाय, हम लचीले, नरम थक्के के साथ काम कर रहे हैं; इसलिए हमें एक अलग बीजगणित की आवश्यकता है।


यदि आपको स्पष्टीकरण की आवश्यकता है: गणितज्ञ कभी-कभी मजाक करते हैं कि टोपोलॉजिस्ट डोनट और एक कप कॉफी के बीच का अंतर नहीं देखते हैं।

बीजगणितीय टोपोलॉजी एक खूबसूरत क्षेत्र है जो ग्रथेन्डीक से बहुत पहले अस्तित्व में था, लेकिन वह पहले में से एक था जिसने गंभीरता से बीजगणित के लिए पूरे टोपोलॉजी को कम करने की एक विधि का प्रस्ताव दिया था। भौतिकी में मेरे काम के लिए धन्यवाद, उनका प्रस्ताव मुझे बहुत ही सुखद लगा। और यहाँ क्यों है: उस पल में मैंने भौतिकी के दो सर्वश्रेष्ठ सिद्धांतों के संयोजन के कठिन कार्य को लिया: क्वांटम भौतिकी, जो गुरुत्वाकर्षण को छोड़कर सभी बलों का वर्णन करता है, और सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत, जो गुरुत्वाकर्षण का वर्णन करता है। ऐसा लगता है कि जब तक हम ऐसा नहीं करते हैं, तब तक भौतिकी के मूलभूत नियमों के बारे में हमारी समझ अधूरी है। लेकिन यह महसूस करना कठिन है। कारण यह है कि क्वांटम भौतिकी बीजगणित पर आधारित है, और टोपोलॉजी सक्रिय रूप से सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में उपयोग की जाती है। लेकिन यह हमें हमले की दिशा बताता है: अगर हम यह समझ सकें कि टोपोलॉजी को बीजगणित में कैसे कम किया जाए, तो इससे हमें क्वांटम गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत को बनाने में मदद मिल सकती है।

इस समय मेरे भौतिकी के सहयोगी हॉवेल और शिकायत करना शुरू कर देंगे कि मैं सब कुछ बहुत सरल कर रहा हूं: क्वांटम भौतिकी में न केवल बीजगणित का उपयोग किया जाता है, बल्कि सापेक्षता का सामान्य सिद्धांत केवल टोपोलॉजी नहीं है। फिर भी, यह टोपोलॉजी को कम करने के संभावित भौतिक फायदे थे जो ग्रोथेंडिक के काम में मुझे खुशी हुई।

इसलिए, 1990 के दशक के बाद से, मैं ग्रोथेंडेक द्वारा आविष्कार की गई शक्तिशाली अमूर्त अवधारणाओं का पता लगाने की कोशिश कर रहा हूं, और आज तक आंशिक सफलता हासिल की है। कुछ गणितज्ञ इन अवधारणाओं को बीजगणितीय ज्यामिति का एक जटिल हिस्सा मानते हैं। लेकिन अब वे मुझे एक साधारण हिस्सा लगते हैं। मेरे लिए, ये सभी अमूर्त अवधारणाएं नहीं, बल्कि उनके उबाऊ विवरण, एक कठिन हिस्सा बन गए। सबसे पहले, यह ग्रंथों में सभी सामग्री है जिसे हार्टशॉर्न अनिवार्य पूर्वापेक्षा मानते हैं: "अतियाह-मैकडोनाल्ड, मात्सुमुरा और ज़ारिसकी-शमूएल की पुस्तकें", और ये बीजगणित के विशाल खंड हैं। लेकिन और भी बहुत कुछ है।

इसलिए, हालांकि अब मेरे पास हर्टशॉर्न पढ़ने के लिए आवश्यक कुछ चीजें हैं, हाल तक, इन सामग्रियों का अध्ययन मेरे लिए बहुत डरावना था। भौतिकी के एक छात्र ने एक बार एक प्रसिद्ध विशेषज्ञ से पूछा कि एक भौतिक विज्ञानी को कितना गणित जानना चाहिए। विशेषज्ञ ने जवाब दिया: "जितना वह जानता है उससे अधिक।" वास्तव में, गणित के अध्ययन को कभी भी पूर्ण नहीं माना जा सकता है, इसलिए मैंने उन पहलुओं पर ध्यान केंद्रित किया जो सबसे महत्वपूर्ण और / या दिलचस्प लग रहा था। पिछले साल तक, बीजीय ज्यामिति इस सूची में सबसे ऊपर कभी नहीं थी।

क्या बदल गया है? मैंने महसूस किया कि बीजीय ज्यामिति शास्त्रीय और क्वांटम भौतिकी के बीच संबंध से जुड़ी है। शास्त्रीय भौतिकी न्यूटोनियन भौतिकी है, जिसमें हम मानते हैं कि हम पूरी सटीकता के साथ हर चीज को माप सकते हैं, यहां तक ​​कि सिद्धांत में भी। क्वांटम भौतिकी श्रोडिंगर और हाइजेनबर्ग की भौतिकी है, यह अनिश्चितता के सिद्धांत द्वारा शासित है: यदि हम पूरी सटीकता के साथ भौतिक प्रणाली के कुछ पहलुओं को मापते हैं, तो दूसरों को अनिश्चित रहना चाहिए।

उदाहरण के लिए, किसी भी घूर्णन वस्तु में "कोणीय गति" होती है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, हम इसे रोटेशन के अक्ष के साथ निर्देशित तीर के साथ कल्पना करते हैं, और इस तीर की लंबाई ऑब्जेक्ट के रोटेशन की गति के लिए आनुपातिक है। और शास्त्रीय यांत्रिकी में, हम मानते हैं कि हम इस तीर को सही तरीके से माप सकते हैं। क्वांटम यांत्रिकी में - वास्तविकता का अधिक सटीक वर्णन - यह गलत निकला। उदाहरण के लिए, यदि हम जानते हैं कि तीर x दिशा में कितनी दूर इंगित करता है, तो हम पता नहीं लगा सकते हैं। कितनी दूर वह y दिशा में इंगित करता है। एक बास्केटबॉल के लिए यह अनिश्चितता बहुत छोटी है, लेकिन एक इलेक्ट्रॉन के लिए यह बहुत महत्वपूर्ण है: जब तक भौतिकविदों ने इसे ध्यान में रखना शुरू नहीं किया, तब तक उन्हें केवल इलेक्ट्रॉनों की समझ थी।

भौतिक विज्ञानी अक्सर शास्त्रीय भौतिकी की समस्याओं को "निर्धारित" करना चाहते हैं। यही है, वे कुछ भौतिक प्रणाली के शास्त्रीय विवरण से शुरू करते हैं और एक क्वांटम विवरण प्राप्त करने का प्रयास करते हैं। इस काम को करने के लिए, कोई सामान्य और पूरी तरह से व्यवस्थित प्रक्रिया नहीं है। और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं करना चाहिए: दुनिया पर ये दो दृष्टिकोण बहुत अलग हैं। हालांकि, परिमाणीकरण प्रदर्शन के लिए उपयोगी व्यंजन हैं । उनमें से सबसे व्यवस्थित शारीरिक समस्याओं के बहुत सीमित सेट पर लागू होते हैं।

उदाहरण के लिए, शास्त्रीय भौतिकी में, हम कभी-कभी एक प्रणाली को कई गुना बता सकते हैं। आपको उम्मीद नहीं करनी चाहिए कि यह सामान्य मामले में संभव है, लेकिन कई महत्वपूर्ण मामलों में ऐसा होता है। उदाहरण के लिए, एक घूर्णन वस्तु पर विचार करें: यदि हम इसके कोणीय गति के तीर की लंबाई को ठीक करते हैं, तो तीर अभी भी किसी भी दिशा में इंगित कर सकता है, अर्थात, इसका अंत एक क्षेत्र पर झूठ होना चाहिए। इस प्रकार, हम एक गोले पर एक बिंदु के साथ एक घूर्णन वस्तु का वर्णन कर सकते हैं। और यह क्षेत्र वास्तव में एक विविधता है, " रीमैन क्षेत्र ", जिसका नाम बर्नहार्ड रीमैन के नाम पर रखा गया है, जो 19 वीं शताब्दी के सबसे बड़े बीजीय ज्यामिति में से एक है।


विविधता: आठवें क्रम की एंडरास सतह "बहुरंगी" का एक सुंदर, अत्यधिक सममित उदाहरण है: बहुपद समीकरणों द्वारा वर्णित एक आकृति। बीजगणितीय ज्यामिति ऐसे आंकड़ों के अध्ययन के रूप में शुरू हुई।

जब शास्त्रीय भौतिकी के कार्य को विविधता द्वारा वर्णित किया जाता है, तो जादू होता है। परिमाणीकरण प्रक्रिया पूरी तरह से व्यवस्थित और आश्चर्यजनक रूप से सरल होती जा रही है। यहां तक ​​कि एक प्रकार की रिवर्स प्रक्रिया भी है, जिसे "वर्गीकरण" कहा जा सकता है - यह आपको एक क्वांटम विवरण को शास्त्रीय विवरण में बदलने की अनुमति देता है। भौतिकी के लिए शास्त्रीय और क्वांटम दृष्टिकोण निकटता से संबंधित हो रहे हैं, हम किसी भी दृष्टिकोण से विचार ले सकते हैं और निरीक्षण कर सकते हैं कि वे हमें अन्य चीजों के बारे में क्या बता सकते हैं। उदाहरण के लिए, मैनिफ़ेस्ट में प्रत्येक बिंदु न केवल शास्त्रीय प्रणाली की स्थिति का वर्णन करता है - हमारे उदाहरण में, यह कोणीय गति की विशिष्ट दिशा है - बल्कि संबंधित क्वांटम प्रणाली की स्थिति भी है, भले ही बाद में हेइसेन अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा नियंत्रित किया जाता है । एक क्वांटम राज्य शास्त्रीय राज्य के लिए "सर्वश्रेष्ठ क्वांटम सन्निकटन" है। इसके अलावा, इस स्थिति में, बीजीय ज्यामिति से कई बुनियादी प्रमेय को मात्रा के बारे में तथ्यों के रूप में माना जा सकता है। चूंकि मैं लंबे समय से परिमाणीकरण में लगा हुआ हूं, यह मुझे बहुत खुश करता है।

रिचर्ड फेनमैन ने एक बार कहा था कि एक जटिल शारीरिक समस्या को हल करने में आगे बढ़ने के लिए उसे एक विशेष कोण से देखने की जरूरत है:

"[...] मुझे यह सोचने की ज़रूरत है कि वर्तमान समस्या को हल करने के लिए मेरे पास कुछ सबसे छोटा तरीका है। यह है, ऐसा है कि मेरे पास एक प्रतिभा है जिसे अन्य उपयोग नहीं करते हैं, या एक विशेष रूप से वे मूर्खतापूर्ण चीजों का एक उत्कृष्ट दृष्टिकोण नहीं मानते थे। , - , . , , , . : , , ".

शायद यह वही है जो मैंने हाल ही में बीजगणितीय ज्यामिति में कमी की थी। बेशक, बीजीय ज्यामिति केवल हल करने के लिए एक समस्या नहीं है, लेकिन ज्ञान का एक जटिल - लेकिन यह इतना विशाल, भयावह सेट है कि मैंने इसे छूने की हिम्मत नहीं की, जब तक कि मुझे यह सबसे छोटा रास्ता नहीं मिला। अब मैं हार्टशॉर्न पढ़ सकता हूं, कुछ परिणामों को भौतिकी के बारे में तथ्यों में अनुवाद कर सकता हूं, और मुझे यह सब समझने का मौका है। यह एक उत्कृष्ट भावना है।

लेखक के बारे में : जॉन बैज रिवरसाइड में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय में गणित के प्रोफेसर हैं और क्वांटम टेक्नोलॉजीज के लिए सिंगापुर सेंटर में एक शोधकर्ता हैं। वह गणित, विज्ञान और पर्यावरण के मुद्दों के बारे में एक Azimuth ब्लॉग चलाता है । अपने ट्विटर की सदस्यता लें: @johncarlosbaez ।