किसी भी संख्या प्रणाली में फैक्टरियल संख्याओं की अनुगामी शून्य गणना

मैं एक निश्चित संख्या प्रणाली में किसी संख्या के भाज्य के अनुगामी शून्य की संख्या की गणना कैसे कर सकता हूं?

आइए मामले को देखें जब हम 10 वीं संख्या प्रणाली में हैं, और फिर देखें कि हम इसे एक सार्वभौमिक समाधान में कैसे सामान्य कर सकते हैं। हमें नंबर N दिया गया है और इसके फैक्टरियल के लिए हमें पीछे चल रहे शून्य की संख्या ज्ञात करने की आवश्यकता है। समाधान काफी सरल होगा - राशि:

Math.floor(N/5) + Math.floor(N/25) + Math.floor(N/125) + Math.floor(N/625) + ... 

हम इसे इस तरह के सूत्र में सामान्यीकृत कर सकते हैं:

$$

$$\ sum \ limit_ {i = 1} ^ \ infty {N \ over 5 ^ i}$$

5 क्यों? यह सरल है। अंतिम शून्य केवल तब प्राप्त होता है जब संख्या में 10 गुट होते हैं। इस प्रकार, गुट में दसियों की संख्या की गिनती करते हुए, हम परिमित शून्य की संख्या का पता लगाते हैं।

ऊपर के उदाहरण में हम 5 से क्यों विभाजित हैं? क्योंकि 10 को 5 से 2 गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए, पूर्ण समाधान के दो सूत्र होंगे:

$$

$$\ sum \ limit_ {i = 1} ^ \ infty {N \ over 5 ^ i}$$

और

$$

$$\ sum \ limit_ {i = 1} ^ \ infty {N \ over 2 ^ i}$$

लेकिन, तार्किक रूप से तर्क करते हुए, हम जानते हैं कि पहली राशि कम होगी, इसलिए हमें केवल इसकी गणना करने की आवश्यकता है (अधिक विवरण यहां पाया जा सकता है )।

हमारी समस्या का समाधान

एक विशिष्ट संख्या प्रणाली में किसी संख्या के भाज्य के अंतिम शून्य की गणना करने के लिए, मैंने नीचे दिए गए एल्गोरिदम को संकलित किया:

1. संख्या प्रणाली की संख्या B को कारक।
2. प्रत्येक अद्वितीय अभाज्य गुणक K द्वारा संख्या N को विभाजित करें, K को स्वयं तक गुणा करें $$$एन \ _ के $ ऊप$ एक से अधिक होगा, जबकि प्रत्येक परिणाम को एक छोटे पूर्णांक में गोल किया जाएगा।
3. यदि, संख्या प्रणाली की संख्या का विस्तार करते समय, हमें कई समान प्रमुख कारक मिलते हैं, तो ऊपर दिए गए परिणाम को समान संख्या की संख्या से विभाजित किया जाना चाहिए।
4. प्रत्येक अद्वितीय कारक K द्वारा N के सभी विभाजनों में से, सबसे छोटा भागफल चुनिए, जो हमारा उत्तर होगा।

मैं इसे एक उदाहरण के साथ दिखाऊंगा।
संख्या N = 5, संख्या प्रणाली B = 12. फैक्टरियल 5 बताएं! = 120, और 12 वीं प्रणाली में 120 A0 है। हम देखते हैं कि एक परिमित संख्या प्रणाली में मूल संख्या के भाज्य में एक शून्य होता है। यदि हम 12 को मुख्य कारकों में विघटित करते हैं, तो हमें 2, 2, 3 मिलते हैं। हमारे पास दो अद्वितीय संख्याएँ हैं: 2 और 3. हमारे एल्गोरिथ्म का अनुसरण करते हुए, हम अंक 2 को 2 नंबर के साथ पूरा करेंगे।

$$

$${५ \ ओवर २}} + {५ ओवर ४} + {५ ओवर +} + ... = २ + १ + ० + ... = ३.$$

लेकिन ड्यूस 12 के अपघटन में दो बार मिले, इसलिए हम अंतिम परिणाम को 2 से विभाजित करते हैं और एक छोटे पूर्णांक में गोल करते हैं। नतीजतन, हमें 1 मिलता है।

हम 3 के साथ भी ऐसा ही करते हैं:

$$

$${5 \ _ 3} + + 5 \ _ 9} + ... = 1 + 0 + ... = 1.$$

इस प्रकार, हमने संख्या प्रणाली के प्रमुख कारकों द्वारा संख्या N के विभाजन के दो उद्धरण प्राप्त किए हैं। वे दोनों 1 के बराबर हैं, इसलिए हमें छोटा नहीं चुनना है और हम सिर्फ जवाब देते हैं - 1।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।

संख्या N = 16, संख्या प्रणाली B = 16 बताएं। भाज्य 16! = 20922789888000, और 169 प्रणाली में 20922789888000 - 130777758000। हम देखते हैं कि अंतिम संख्या प्रणाली में मूल संख्या के भाज्य में तीन शून्य हैं। यदि हम 16 को प्रमुख कारकों में विघटित करते हैं, तो हमें 2, 2, 2, 2 मिलते हैं। यहां हमारे पास केवल एक विशिष्ट संख्या है, इसलिए आइटम 2 को केवल एक बार निष्पादित किया जाता है:

$$

$${16 \ ओवर 2} + {16 \ ओवर 4} + {16 \ ओवर 8} + {16 \ _ 16} + + 16 \ _ ओवर 32} + ... = 8 + 4 + 2 + 1 + 0 + ... = 15.$$

जब हम विघटित हो गए, तो हमारे पास चार ड्यूज थे, इसलिए हम एक छोटे से पूर्णांक के साथ गोलाई में विभाजन के योग को 4 से विभाजित करते हैं: $$${15 \ _ 4} = 3.$

PS यहाँ से अनुवादित पद के लिए अधिकांश सामग्री। आदित्य रमेश द्वारा पोस्ट किया गया।