💠 💌 👽 क्या गणित तार्किक है या स्वयंसिद्ध सिद्धांत विरोधाभासी क्यों हैं 🤷🏽 🏁 ⚓️

आज हम मूल बातें करेंगे। सैद्धांतिक नींव संभव की सीमाएं निर्धारित करती हैं और लक्ष्यों को प्राप्त करने के तरीके दिखाती हैं, और इसलिए ऐसे मामलों में समझ की गहराई कभी भी कम नहीं होगी।

हम सभी बुनियादी बातों को कवर नहीं कर पाएंगे, इसलिए अब हम अपने शैक्षिक बीम को मनोरंजक कार्यों के लिए विरोधाभास कहा जाएगा। विषय को कवर करने के क्रम में, हम धीरे-धीरे तर्क नामक एक दृष्टिकोण के आंतों में तल्लीन हो जाएंगे, और फिर तर्क और गणित के बीच संबंध पर ध्यान देंगे, जिसके बाद हमारे पाठक आसानी से स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को प्राप्त करने में तर्क की उपयोगिता के कारणों को समझ नहीं सकते हैं, लेकिन स्वयंसिद्ध सिद्धांतों की आवश्यकता क्यों है। और वे यह भी समझेंगे कि सुसंगत सिद्धांतों के निर्माण के लिए कैसे आवश्यक नहीं है।

चलो मनोरंजक पहेली की एक सूची के साथ शुरू करते हैं। इन समस्याओं को विरोधाभास कहा जाता है, क्योंकि कोई बात नहीं हम समस्या में उत्पन्न प्रश्न का उत्तर कैसे देते हैं, विरोधाभास के लेखक हमेशा आसानी से साबित कर देंगे कि हम गलत हैं। यही है, दूसरे शब्दों में, समस्याओं का मतलब हल नहीं है, बल्कि मनोरंजक ढंग से तार्किक तर्क की गैर-तुच्छता दिखाते हैं।

नाई विरोधाभास

एक निश्चित गाँव में, एक नाई ने घोषणा की कि वह अपने गाँव में उन सभी लोगों के लिए शेविंग कर रहा है, जिन्होंने खुद को शेव नहीं किया। सवाल यह है कि नाई को कौन छोड़े?

यदि आपने उत्तर दिया कि शेवर शेवर को स्वयं हिलाता है, तो विरोधाभास समर्थक आपको जल्दी से बताएंगे कि कार्य की शर्तों के अनुसार शेवर उन लोगों को शेव करता है जो खुद को शेव नहीं करते हैं, जिसका अर्थ है कि वह खुद को शेव नहीं कर सकता है, अन्यथा यह पता चलेगा कि वह खुद को शेव करता है और इसी तरह शेव करता है वह जो खुद को हिलाता है।

यदि आपने उत्तर दिया कि कोई और शेविंग कर रहा है, तो विरोधाभास के प्रस्तावक फिर से कार्य की शर्तों को याद करेंगे - वे संकेत देते हैं कि यदि कोई व्यक्ति खुद को दाढ़ी नहीं देता है, तो उसे नाई को दाढ़ी बनानी चाहिए, क्योंकि उसने कहा - वह सभी को दाढ़ी बनाता है खुद को। इसलिए अगर कोई और इसे शेव करता है, तो वह खुद को शेव नहीं करता है और शर्त के अनुसार, एक शेवर होना चाहिए।

जबकि आपको इस कार्य के तार्किक विरोधाभासों में गहराई से नहीं जाना चाहिए, यह केवल आपको विरोधाभासों की दुनिया से परिचित कराता है और कई अन्य परस्पर विरोधी कार्यों का अनुसरण करेगा। यद्यपि यदि आप एक अप्रत्याशित समाधान पाते हैं - जल्दी मत करो, तो आप देखेंगे कि कैसे विरोधाभास के प्रस्तावक किसी भी अप्रत्याशित समाधान को दरकिनार करेंगे।

सेट के विरोधाभास

इसी प्रकार नाई के विरोधाभास से सौ साल पहले, एक विरोधाभास की खोज की गई थी जिसने गणित की नींव को गंभीरता से प्रभावित किया था, और इतनी गंभीरता के साथ कि इस अवधि को गणित की नींव का संकट कहा गया था। सच्चाई यह है कि यह गणित के लिए बहुत ज्यादा चिंता का विषय नहीं है, क्योंकि यह संकट पहले नहीं था, और इसने गणित के मूल वर्गों को कमजोर रूप से प्रभावित किया। फिर भी, संकट ने स्पष्ट रूप से उस क्षेत्र में हमारे ज्ञान की कमजोरी का प्रदर्शन किया, जिसे हमेशा सख्त और लगभग व्यापक माना जाता रहा है।

सबसे पहले, हम एक सरल उदाहरण पर विरोधाभासों में से एक का आधार दिखाते हैं। सभी सकारात्मक पूर्णांकों के सेट (या एक सूची, एक सरणी) की कल्पना करें और फिर हमारे सेट में संख्याओं की संख्या के अनुसार संख्या की कल्पना करें। प्रस्तुत? यदि ऐसा है, तो जोड़े गए इकाई के साथ इसके तत्वों की संख्या के बराबर संख्या जोड़ने के बाद सेट का क्या होगा? यदि वहां पहले से ही सभी तत्व मौजूद हैं, तो याद रखें कि उन्हें आरोही क्रम में क्रमबद्ध किया जा सकता है और फिर यह स्पष्ट हो जाएगा कि सबसे बड़ा तत्व हमारे सेट में तत्वों की संख्या के बराबर है। लेकिन अगर हम किसी एक को जोड़ते हैं, तो हमें एक ऐसा तत्व मिलता है, जो सेट में नहीं होता है, इसलिए ऐसा लगता है कि आप ऐसी सूची की कल्पना नहीं कर सकते, क्योंकि हर बार एक नए तत्व के बारे में एक सवाल उठेगा। लेकिन दूसरी ओर, हम वाक्यांश "सभी सकारात्मक पूर्णांक का सेट" बना सकते हैं। तो हम वास्तव में क्या कर सकते हैं और क्या नहीं?

जब आप पिछले प्रश्न के उत्तर पर विचार कर रहे हैं, तो हम आपसे निम्नलिखित प्रश्न करेंगे। और अगर आप सभी सेटों के सेट की कल्पना करते हैं, लेकिन ऐसा है कि कोई सेट खुद को एक तत्व के रूप में शामिल नहीं करेगा? क्या यह संभव है? उदाहरण के लिए, संख्याओं का सेट {1, 2, 3} में खुद को एक तत्व के रूप में शामिल नहीं किया गया है। तो शायद अन्य सभी सेटों की भी कल्पना की जा सकती है?

यदि आप कहते हैं कि यह संभव है, तो विरोधाभास के समर्थक सवाल पूछेंगे - क्या प्रस्तुत सेट में स्वयं शामिल है?

यदि आप "हाँ" कहते हैं, तो विरोधाभास के समर्थकों का जवाब होगा कि, समस्या की स्थिति के अनुसार, सेट में ऐसे सेट शामिल नहीं होने चाहिए जिसमें स्वयं शामिल हों, लेकिन चूंकि आपने "हाँ" कहा था, तो आपने अपने आप में प्रस्तुत सेट को शामिल किया था और इस तरह इसके समावेश को मना कर दिया था, क्योंकि यह स्वयं सहित एक सेट बन गया है, जो समस्या की स्थिति का विरोध करता है।

यदि आप "नहीं" कहते हैं, तो विरोधाभास के समर्थकों का जवाब होगा कि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, प्रस्तुत सेट में वे सभी सेट शामिल होने चाहिए जो स्वयं को शामिल नहीं करते हैं, और इसलिए प्रस्तुत सेट स्वयं (जो स्वयं में नहीं है) भी हमारे सेट में होना चाहिए।

जैसे, शायद, आप अब हैं, दुनिया भर के गणितज्ञ प्रस्तावित विरोधाभास में सामान्य ज्ञान की स्पष्ट कमी से थोड़े प्रभावित थे। वास्तव में, न केवल सामान्य ज्ञान कहीं दूर चला गया था, बल्कि इससे पहले कि, गणितज्ञ सेट सिद्धांत का उपयोग करने का प्रस्ताव देने में कामयाब रहे (और हम सिर्फ इसके प्रतिनिधि के बारे में बात कर रहे हैं - सभी सेटों का सेट जो खुद को शामिल नहीं करते हैं) इसके आधार पर सभी गणित बनाने के लिए। और नतीजतन, एक संकट हुआ - गणित के मूल में, जैसा कि यह निकला, कोई सामान्य ज्ञान नहीं था। आपको यह गणित कैसा लगा? विनी द पूह ने इसे इस विषय पर अच्छी तरह से रखा - यह अच्छा है, लेकिन किसी कारण से यह लंगड़ा है।

लेकिन यह सब नहीं है। इसके अलावा, पूर्णता के लिए, हम कुछ अलग योजना के विरोधाभासों के एक जोड़े को प्रस्तुत करते हैं।

आत्म-प्रयोज्यता का विरोधाभास

ऐसे शब्द हैं जिनके अर्थ इन शब्दों पर लागू किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, "थ्री-सिलेबल" शब्द में तीन सिलेबल्स होते हैं और इसका अर्थ हमें तीन सिलेबल्स के बारे में भी बताता है, इसलिए इस तरह के शब्द को सेल्फ-अप्लाय कहा जा सकता है। इसी तरह, "रूसी" शब्द रूसी में लिखा गया है और रूसी से संबंधित का अर्थ व्यक्त करता है, अर्थात यह फिर से आत्म-लागू है। लेकिन शब्द "बकाइन" आमतौर पर बकाइन रंग में नहीं लिखा जाता है और बकाइन पर नहीं बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि यह लागू नहीं है। लेकिन अभी भी एक शब्द है (और हमने इसे देखा) "लागू नहीं"। क्या ऐसा शब्द स्वयं पर लागू है?

यदि आपके भीतर सामान्य ज्ञान के साथ संघर्ष सफलतापूर्वक समाप्त हो गया है और आपने कहा कि यह शब्द स्व-लागू है, तो विरोधाभास के समर्थक कहेंगे - यह स्व-लागू कैसे हो सकता है, अगर इसमें लिखा गया है - गैर-स्व-लागू?

यदि आप कहते हैं कि यह शब्द लागू नहीं है, तो विरोधाभास के समर्थक उत्तर देंगे कि इस शब्द का अर्थ उस परिभाषा से मेल खाता है जो आपने इसे दिया है (लागू नहीं), जिसका अर्थ है कि आपने स्वयं को आत्म-प्रयोज्यता का तरीका दिखाया है, जिसका अर्थ है कि आप फिर से गलत हैं!

लेकिन विरोधाभासों के समर्थकों का आनंद अधूरा होगा यदि हम एक और समस्या नहीं दिखाते हैं।

झूठा कहने का विरोधाभास

कार्य बहुत सरल है - आपको प्रश्न का "हां" या "नहीं" का जवाब देना होगा - यह अगला कथन गलत है - "यह कथन गलत है"।

यदि आप "नहीं" का जवाब देते हैं, तो विरोधाभास के समर्थक कहेंगे कि बयान कहता है - यह गलत है, इसलिए आप कहते हैं कि कुछ सही नहीं है।

यदि आप "हाँ" का उत्तर देते हैं, तो विरोधाभास के समर्थक कहेंगे कि चूंकि आप कह रहे हैं कि कथन गलत है ("हाँ" का उत्तर देते हुए) और कथन स्वयं कहता है कि यह गलत है, तो फिर झूठ कहाँ है? तो फिर से आपने गलत जवाब दिया! विरोधाभास के आगे समर्थक फिर से खुश हैं।

थोड़ा सा विध्वंस

हम विरोधाभासों के समर्थकों के शिविर में मौज-मस्ती देखकर हतोत्साहित नहीं होंगे, बल्कि हम उन बुराईयों को प्रकट करने का प्रयास करेंगे, जिन्हें बोलने के लिए, सभी विरोधाभासों का उल्लेख करते हुए अपने दिमाग को तीव्रता से चूर्ण करना चाहिए। हमारे लिए क्या - गणितज्ञों का एक समूह अभी भी अपने विज्ञान की नींव की स्थिरता के बारे में सुनिश्चित नहीं है!

सबसे पहले नाई के बारे में। आइए विरोधाभास में प्रतिभागियों की संरचना पर करीब से नज़र डालें। हम कुछ संस्थाओं को नोटिस करेंगे, ये नाई हैं और कुछ "सभी" हैं जो नाई को हिलाता है। हम एक निश्चित संबंध भी देखेंगे जिसमें नाई उन लोगों के साथ आता है जिन्हें वह छोड़ता है। आइए हम इस संबंध को सरल कहते हैं - "शेव"। गणित की भाषा में, हम लिख सकते हैं - x shaves y, अर्थात एक निश्चित X एक निश्चित खिलाड़ी के साथ संबंध में है, और संबंध को कहा जाता है - shaves। विरोधाभास में आगे हम "सभी" इकाई के भाग के रूप में चयन एल्गोरिदम देखते हैं। एल्गोरिथ्म का सार स्थिति के लिए जाँच कर रहा है "खुद दाढ़ी नहीं करता है"। हम उन सभी को शेव करने का दायित्व भी देखते हैं जो उल्लेखित "सभी" सार का हिस्सा हैं।

अब, हमारी समस्या के लिए "दिया गया" भाग लिखा है, हम "समाधान" भाग पर चलते हैं।

मान लीजिए कि एक निश्चित आयोग गाँव के लोगों का चयन करता है, और सभी जो उत्तर देते हैं "मैं खुद को दाढ़ी नहीं रखता" समस्या की स्थितियों के सेट में शामिल है (सेट "सभी" है)। आयोग का काम पूरा करने के बाद, हमारे पास ऐसे व्यक्तियों का एक समूह है, जिनके अनुसार हमारे नाई को संसाधित करने की आवश्यकता है। इसके अलावा, कोई भी आसानी से कल्पना कर सकता है कि सर्वेक्षण के समय, नाई ने कहा कि वह खुद को शेव करता है, और इसलिए उसे संसाधित किए जाने वाले व्यक्तियों के समूह में शामिल नहीं किया गया था। नतीजतन, हमें पूरी तरह से आनंदित तस्वीर मिलती है - हर कोई जो खुद को दाढ़ी नहीं देता है, वह हमारे नाई द्वारा शांति से मुंडा जाएगा। लेकिन क्या वे नहीं करेंगे? कम से कम, हमें सामान्य ज्ञान के हिस्से पर कोई बाधा नहीं दिखाई देती है, और इसलिए हम आसानी से उन सभी मुंडा चेहरों की कल्पना कर सकते हैं जो शर्त के लिए उपयुक्त हैं और बहुत संतुष्ट नाई हैं। लेकिन इस स्थिति में विरोधाभास के समर्थक काम से बाहर हो जाएंगे, क्योंकि यह पता चला है कि विरोधाभास बिल्कुल नहीं है!

लेकिन वास्तव में एक विरोधाभास है। वास्तव में, यह व्यर्थ नहीं है कि पूरी दुनिया के गणितज्ञ संकट के बारे में चिंतित हैं!

विरोधाभास के कारण की पहचान करने के लिए, समीकरण में अपने समर्थकों को शामिल करना आवश्यक है। वे कहेंगे कि नाई ने दावा किया कि वह उन लोगों को शेव करता है जो खुद को शेव नहीं करते हैं, और इसलिए उन्हें खुद को शेव करने का अधिकार नहीं है, क्योंकि तब वह खुद को शेव करने वाले को शेव कर लेते हैं और इस तरह टास्क की शर्त का उल्लंघन करते हैं। फिर तर्क के संदर्भ में, हम यह कह सकते हैं कि समस्या की शर्तों के अनुसार "नाई की छड़ें नाई" है। लेकिन परिणामस्वरूप, नाई को उन व्यक्तियों के सेट में शामिल किया जाना चाहिए जो नाई के साथ शेविंग के अधीन हैं। और यह नाई है कि उन सभी को दाढ़ी चाहिए, क्योंकि अन्यथा विरोधाभास के समर्थक तुरंत दिखाई देंगे और हमें समस्या की स्थितियों की याद दिलाएंगे।

अधिक स्पष्टता के लिए, हम स्थिति के विवरण को कम करते हैं। हमें पत्र बी के साथ शेवर को नामित करते हैं, दृष्टिकोण "शेव" देता है इसे अपरिवर्तित रहने दें, यह पहले से ही छोटा है। कई "सब कुछ" भी कम नहीं किया जा सकता है। फिर एक छोटे से रिकॉर्ड में हम प्राप्त करते हैं:

1) गलत (B शेव्स B) का अर्थ है B "सभी" से संबंधित है
2) एक्स शेव बी और एक्स = बी

इस तरह के रिकॉर्ड का मतलब है कि (पहली पंक्ति) इस तथ्य से कि शेवर शेव नहीं करता है, यह इस प्रकार है कि शेवर "सब कुछ" के सेट से संबंधित है। दूसरी पंक्ति हमें बताती है कि एक निश्चित एक्स को नाई को दाढ़ी बनानी चाहिए और यह एक्स को स्वयं नाई होना चाहिए।

अब हम दूसरी पंक्ति के साथ न्यूनतम परिवर्तन करते हैं - हम एक्स को बी के साथ बदल देते हैं, क्योंकि शर्त से वे समान हैं, और हम परिणामी कथन की सच्चाई को भी निरूपित करते हैं। हमें मिलता है:

सच (बी शेव्स बी)

लेकिन लाइन (1) से हमारे पास:

झूठा (बी शेव्स बी)

और ये दो शर्तें (विरोधाभासों के समर्थकों के अनुरोध पर) एक साथ पूरी होनी चाहिए।

तो यहाँ बुराई क्या है? जैसा कि हमने देखा, विरोधाभासों के समर्थकों के हस्तक्षेप से पहले, गांव में शांति और व्यवस्था का शासन था, सभी उचित व्यक्तियों का मुंडन कर दिया गया था और नाई प्रसन्न थे। लेकिन विरोधाभासों के समर्थकों के हस्तक्षेप के बाद, हमें इस तथ्य की सच्चाई और झूठ के लिए एक ही समय में एक मांग मिली कि नाई नाई को दाढ़ी देता है। अलग तरह से बोलते हुए, हमें परस्पर विरोधी मांगें मिलीं। और निश्चित रूप से, यदि आवश्यकताएं विरोधाभासी हैं, तो ऐसी आवश्यकताओं के साथ समस्या को हल करना असंभव है। कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कैसे मोड़ लेते हैं, चाहे हम विरोधाभास से बचने के नए और नए तरीके का आविष्कार करें, उदाहरण के लिए, यह घोषित करना कि नाई दाढ़ी नहीं रखता है और दाढ़ी नहीं पहनता है, या यह कि महिला को दाढ़ी नहीं है, विरोधाभासों के समर्थक असहनीय रूप से ऑब्जेक्ट करेंगे - यह समस्या की स्थितियों में है नहीं, तो सब कुछ वैसा ही होना चाहिए जैसा हमने कहा। लेकिन विरोधाभास के समर्थकों द्वारा बयानों की कठोरता का पालन करने के परिणामस्वरूप, हमें एक अघुलनशील कार्य मिलता है।

शर्तों की विसंगति को इंगित करने के बाद, हम कई कारकों को उजागर करने की कोशिश कर सकते हैं, जो एक ऐसी स्थिति के लिए नेतृत्व करते हैं जहां अनिवार्य रूप से मूर्खता की आवश्यकता होती है (और एक ही समय में दाढ़ी और दाढ़ी नहीं करने के लिए आवश्यकता को क्या कहते हैं?) बहुत से, बहुत से लोगों के लिए गंभीरता से थे।

सबसे पहले, यह परस्पर विरोधी दावों की निहित प्रकृति को इंगित करने के लायक है। एक समान कार्य, लेकिन शर्तों में एक स्पष्ट विरोधाभास के साथ, तुरंत अस्वीकार कर दिया गया होगा और किसी को कोई विरोधाभास नहीं पता होगा, लेकिन यह प्रतिबंधों की असंगति की छिपी हुई प्रकृति थी जिसके कारण उम्मीद की समस्या को हल करने के लिए कई प्रयास किए गए थे। उदाहरण के लिए, एक ऐसी संख्या को खोजने का कार्य जो शून्य से एक साथ अधिक से अधिक हो और शून्य से कम हो, शायद ही विरोधाभास की अवधारणा के उद्भव के लिए नेतृत्व करेगा, क्योंकि ऐसी समस्या में आवश्यकताओं का विरोधाभासी अर्थ सभी के लिए स्पष्ट है। लेकिन नाई की हजामत की समस्या में, प्रतिबंधों की विसंगति की गैर-स्पष्टता ने महत्वपूर्ण परिणाम दिए। इसलिए, किसी भी विरोधाभास में, सबसे पहले, किसी को समस्या के समाधान पर लगाए गए प्रतिबंधों में निहित विरोधाभासों की तलाश करनी चाहिए।

दूसरे, गैर-स्पष्टता के अलावा, ऐसी समस्याओं में वास्तव में विरोधाभासी प्रतिबंध हैं (जो पहली नज़र में दिखाई नहीं देते हैं)। यहां जोर देने लायक है - यह समाधान पर प्रतिबंध है, और कुछ और नहीं। अर्थात्, जिस विषय क्षेत्र की समस्या है, वह किसी भी तरह विरोधाभासी है, न कि वह भाषा जिसमें समस्या बताई गई है, लेकिन विरोधाभासों को इन अवधारणाओं के बाहर रखा जाता है और एक संभावित समाधान पर प्रतिबंध के रूप में ठीक किया जाता है। इसलिए, आपको हमेशा समाधान पर प्रतिबंधों का सावधानीपूर्वक अध्ययन करना चाहिए, उनमें संभावित विरोधाभासों की पहचान करने की कोशिश करनी चाहिए।

तीसरा, परस्पर विरोधी कार्यों में वास्तविकता-विकृत औपचारिकता शामिल है। विरोधाभासी क्षेत्र के बाहर समाधान खोजने के अलावा, केवल आवाज की स्थितियों का तंग पालन, एक स्पष्ट संकेत है जिसे अन्य कार्यों के लिए सावधानीपूर्वक देखा जाना चाहिए, जो पहली नज़र में, विरोधाभासी नहीं लगते हैं।

बाकी में, नाई की समस्या में, हम अजीबोगरीब चीजों को देखते हैं जो कि अजीब हैं, जो अन्य विरोधाभासों में दोहराया नहीं जा सकता है। फिर भी, उन्हें इंगित करना उपयोगी होगा।

सबसे पहले, नाई के कार्य को "हर किसी को दाढ़ी बनाने" की मांग की विशेषता है, जबकि नियम "जो खुद को दाढ़ी नहीं करता है" को किसी भी अपवाद की अनुमति नहीं देता है। यदि टास्क ने "सभी को शेविंग" करने पर इतनी सख्त पाबंदी नहीं लगाई है, तो टास्क को आसानी से टास्क के लिए खतरनाक सूची से बाहर रखा जा सकता है। यदि कार्य में केवल उन लोगों पर प्रतिबंध नहीं था जो खुद को दाढ़ी नहीं बनाते हैं, तो फिर से नाई को गणित की नींव का संकट पैदा करने के बजाय हमें केवल थोड़ा डर लगेगा। इसलिए, अन्य कार्यों में, जहां "ऐसे सभी और केवल ऐसे तत्वों" की श्रेणी से सख्त मांग रखी जाती है, ऐसे सूत्रीकरण में आंतरिक विरोधाभासों की खोज पर ध्यान देने योग्य है।

दूसरे, टास्क में नाई एक विशेष इकाई है जो अपनी भागीदारी में अन्य सभी से अलग है जो हर किसी को शर्त के अनुसार शेव करने वाला है। एक नाई के बिना, संस्थाओं की एक प्रणाली अलग हो जाएगी और एक एकल और सार्थक कार्य नहीं होगा। लेकिन संस्थाओं और सीमाओं की प्रणाली में इस तरह की विशेष स्थिति के बावजूद, विरोधाभास के समर्थक, नाई पर लगाए गए अतिरिक्त प्रतिबंधों के बावजूद, प्रक्रिया में सभी प्रतिभागियों के लिए एक ही दृष्टिकोण पर जोर देते हैं। लेकिन यह वास्तव में शेवर की विशेष स्थिति थी जिसके कारण आवश्यकताओं में विरोधाभास था, क्योंकि "सभी की तरह" रवैये के अलावा, शेवर को मुंडा करने की आवश्यकता होती है, शेवर को भी खुद को शेव करने की आवश्यकता नहीं होती है, और अन्य शेवर को कार्य की स्थिति में बाहर रखा जाता है। इसलिए, अन्य कार्यों में, तत्वों के सिस्टम बनाने वाले फ़ंक्शन की पहचान की जानी चाहिए, और यदि यह मौजूद है, तो "सभी को" और इस तत्व की आवश्यकताओं के संबंध को ध्यान से देखें। अन्यथा, आवश्यकताओं में एक और विरोधाभास प्राप्त करना आसान है।

अन्य विरोधाभासों में समस्याएं

अभी के लिए, हम सेट के विरोधाभास को छोड़ देंगे, क्योंकि हमें बाद में सेट सिद्धांत की समस्याओं के संबंध में इसकी आवश्यकता होगी।

और अब देखते हैं कि आत्म-प्रयोज्यता के विरोधाभास में बुराई कहाँ है। यहां की स्थितियों में निहित विरोधाभास के रूप में पहले उल्लेखित विशेषता के साथ, हम स्व-प्रयोज्यता के अर्थ की व्याख्या की स्वतंत्रता भी जोड़ सकते हैं। यही है, आत्म-प्रयोज्यता संबंध का अर्थ काफी व्यापक रूप से व्याख्या किया जा सकता है, और इसलिए एक विरोधाभास आसानी से इन व्यापक अंतरालों में फिसल सकता है। इसलिए, इस मामले में, परिभाषाओं की गंभीरता बहुत अधिक नहीं होगी। लेकिन गंभीरता को पूर्णता तक पहुंचाना भी असंभव है, अन्यथा, जैसा कि हमने नाई के उदाहरण में देखा था, विरोधाभास स्वयं गंभीरता का परिणाम होगा।

जैसे शेविंग के विरोधाभास में, आत्म-प्रयोज्यता के विरोधाभास में, हमारे पास सिस्टम का एक विशेष तत्व होता है जो बाकी हिस्सों से बाहर खड़ा होता है जब इसे माना जाता है, तो सिस्टम का एल्गोरिथ्म बदल जाता है। अन्य सभी शब्दों के लिए, हमारे लिए यह समझना पर्याप्त है कि शब्द की परिभाषा का डोमेन शब्द से कैसे संबंधित है (यानी, शब्द की संख्या की गणना करें या उस भाषा पर ध्यान दें जिसमें शब्द लिखा गया है), लेकिन शब्द "लागू नहीं" के लिए हमारे पास परिभाषा का एक बहुत स्पष्ट डोमेन नहीं है। संभवतः स्वयं उस प्रणाली के साथ मेल खाना जिसमें आत्म-प्रयोज्यता का मूल्यांकन किया जाता है। यही है, शब्द "लागू नहीं" के लिए, कार्य ही हमें प्रयोज्यता के कुछ संभावित अर्थों की व्याख्या करता है, लेकिन यह स्पष्टीकरण निहित और गैर-सख्त है।

इसके अलावा, आप उन विशिष्ट प्रतिबंधों का पता लगा सकते हैं जो "लागू नहीं" शब्द के लिए एक दूसरे के विपरीत हैं। , , , «» , . , . , , , «» . , , . «»?

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2.2.1.2)

$x \in y \wedge \neg(x \in a)$
2.2.2.1)

$x \in y \wedge x \in x \wedge P = \neg(x \in x) \vee x \in y \wedge \neg(x \in x) \wedge P = (x \in x)$

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$$ x \ में y \ wedge x \ में x \ wedge P = \ negative (x \ x में) \ vee x \ में y \ wedge \ negative (x \ x में) \ wedge P = (x \ x) $ में$

जैसा कि हम देखते हैं, यदि कोई तत्व शामिल है, तो प्रतिस्थापन y का एक भी प्रकार नहीं है, जिसके लिए ऐसे x और / या P (x) को इंगित करना असंभव है ताकि स्वयंसिद्ध हमेशा सत्य हो।

ऐसे परिणाम से क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है? इस पाठ के लेखक की व्यक्तिगत राय में, निष्कर्ष निम्नानुसार हो सकता है - जब सूत्रों की सूखी भाषा में एक फ़िल्टर लागू करने के बारे में एक ध्वनि विचार का अनुवाद करते हुए, वास्तविकता के साथ संबंध के नुकसान के रूप में एक गलती की गई थी, या, एक और तरीका लगाने के लिए, मूल प्रणाली के सभी गुणों की पहचान नहीं की गई और एक उपयुक्त तरीके से औपचारिक रूप दिया गया। । खैर, निष्कर्षों को स्वीकार करने या अस्वीकार करने के लिए, निश्चित रूप से, पाठक चुनें, जो अब इस तरह के मुद्दों को स्वतंत्र रूप से समझने के बारे में ठीक से जानता है।