👨🏻‍🏫 👨🏿‍🔬 👵🏾 शिशुओं और मस्तिष्क स्टेम के प्रकार 🥋 👩‍🔬 😫

यह लेख भारी संख्या के बारे में एक लेख का एक निरंतरता है। लेकिन अब हम और भी आगे बढ़ेंगे - अनंत के अनंत में।

इसके लिए हमें ZFC की आवश्यकता है - सेट Zermelo, Frenkel + Choice का सिद्धांत। च्वाइस पसंद का स्वयंसिद्ध है, सेट सिद्धांत का सबसे विवादास्पद स्वयंसिद्ध है। वह एक अलग लेख की हकदार है। यह माना जाता है कि आप जानते हैं कि सेट की "शक्ति" क्या है। यदि नहीं, तो Google, निश्चित रूप से यह मुझसे बेहतर है। यहां मैं केवल कुछ याद दिलाऊंगा

ज्ञात तथ्य

एकाधिक पूर्णांकों की शक्ति को निरूपित किया जाता है $\ aleph_0$ । यह पहली अनंत शक्ति है; इस तरह के सेट को गणनीय कहा जाता है।
पूर्णांकों के किसी भी अनंत उप की शक्ति सरल है, यहां तक कि, आदि। - गिनने योग्य भी।
परिमेय संख्याओं का सेट, अर्थात, अंश p / q, भी गिने जाने योग्य हैं, उन्हें एक साँप द्वारा पारित किया जा सकता है।
किसी भी शक्ति के लिए, एक शक्ति संचालन होता है - सभी सबसेट का सेट जो मूल से अधिक शक्ति बनाता है। कभी-कभी इस ऑपरेशन को एक शक्ति को दो को बढ़ाने के रूप में संदर्भित किया जाता है, अर्थात। $पॉवरसेट (\ aleph_0) = 2 ^ {\ aleph_0} = \ aleph_c$ । गणना की गई शक्ति से शक्तियां सातत्य की शक्ति है।
कॉन्टिनम शक्ति के पास है: परिमित और अनंत खंड, प्लानेर और वॉल्यूमेट्रिक आंकड़े, और यहां तक कि n- आयामी रिक्त स्थान
साधारण गणित के लिए, निम्न शक्ति, $पॉवरसेट (\ aleph_c)$ व्यावहारिक रूप से आवश्यक नहीं है, आमतौर पर सभी काम काउंटेबल सेट और कंटीनम पावर सेट के साथ होता है

अब

अल्प ज्ञात तथ्य

ZFC में, तत्वों के सभी संग्रह सेट नहीं किए जा सकते हैं। संग्रह इतने व्यापक हैं कि उन्हें सेट करने की अनुमति देना असंभव है, विरोधाभास उत्पन्न होते हैं। विशेष रूप से, " सभी सेटों का सेट " एक सेट नहीं है। हालांकि, ऐसे सेट सिद्धांत हैं जहां ऐसे सेट की अनुमति है।

इसके अलावा। थ्योरी सेट करें ... क्या ऑब्जेक्ट? नंबर? एक सेब? संतरे? अजीब तरह से पर्याप्त, ZFC को किसी भी ऑब्जेक्ट की आवश्यकता नहीं है। खाली सेट {} लें और सहमति दें कि इसका मतलब है {1} {{}} द्वारा ड्यूस को {{{}}} और इसी तरह से। {5,2} {{{{{{}}}}}}, {{{}}}} है। पूर्णांक का उपयोग करके, हम वास्तविक बना सकते हैं, और वास्तविक का संग्रह किसी भी आकार बना सकते हैं।

तो सेट सिद्धांत है ... कैसे कहें ... खोखले सिद्धांत। यह सिद्धांत कुछ भी नहीं है। अधिक सटीक, इस बारे में कि आप कैसे घोंसला बना सकते हैं (घोंसला, यानी एक दूसरे में डाल दिया) ब्रेसिज़।

सेट सिद्धांत में परिभाषित एकमात्र ऑपरेशन है

$$ \ _ $ में$ - अपनेपन का प्रतीक। लेकिन एकीकरण, बहिष्करण, समानता, आदि के बारे में क्या? ये सभी मैक्रोज़ हैं, उदाहरण के लिए:

$(A = B) \ equiv \ forall x ((x \ _ A) = (x \ _ B))$

यही है, रूसी में अनुवाद में, दो सेटों को एक ही माना जाता है, जब उनके लिए किसी भी तत्व का परीक्षण करते हैं, तो हम एक ही परिणाम प्राप्त करेंगे

सेट का आदेश नहीं दिया जाता है, लेकिन इसे ठीक किया जा सकता है: ऑर्डर की गई जोड़ी (p, v) को {{p}, {p, v}} होने दें। प्रोग्रामर के दृष्टिकोण से अयोग्य, लेकिन एक गणितज्ञ के लिए पर्याप्त। अब सभी परम-मूल्य जोड़े का सेट एक फ़ंक्शन सेट करता है, जो अब सेट भी है! ए टी वॉयला! सभी गणितीय विश्लेषण, जो दूसरे क्रम की भाषाओं के स्तर पर काम करता है, क्योंकि यह संख्याओं के अस्तित्व की बात नहीं करता है , लेकिन कार्यों के अस्तित्व के कारण, पहले क्रम की भाषा में ढह जाता है!

इस प्रकार, सेट सिद्धांत वस्तुओं के बिना और एक संबंध आइकन के साथ एक खराब सिद्धांत है, जिसमें बिल्कुल राक्षसी शक्ति है - बिना किसी नई धारणा के, यह औपचारिक रूप से अंकगणित, वास्तविक संख्या, विश्लेषण, ज्यामिति और बहुत कुछ से उत्पन्न होता है। यह एक तरह का TOE गणित है।

सातत्य परिकल्पना - CH

के बीच शक्ति है?

$\ aleph_0$ और

$2 ^ {\ aleph_0}$ ? कैंटर इस समस्या को हल नहीं कर सकता था, "गणितज्ञों के राजा" हिल्बर्ट ने इसके महत्व की प्रशंसा की, लेकिन बाद में केवल यह साबित हुआ कि यह परिकल्पना न तो सिद्ध की जा सकती है और न ही अस्वीकृत। वह ZFC से स्वतंत्र है।

इसका मतलब है कि आप दो अलग-अलग गणित बना सकते हैं: एक ZFC + CH के साथ, दूसरा ZFC + (CH नहीं) के साथ। वास्तव में, दो से अधिक भी। मान लीजिए कि हम सीएच को अस्वीकार करते हैं, अर्थात्, हम उस के बीच विश्वास करेंगे

$\ aleph_0$ और

$2 ^ {\ aleph_0}$ अभी भी शक्ति है। कितने हो सकते हैं? एक, दो? गोडेल का मानना था कि केवल एक। लेकिन, जैसा कि यह निकला, धारणा है कि उनमें से 2, 17, 19393493 विरोधाभासों को जन्म नहीं देते हैं। कोई भी संख्या, लेकिन अनंत नहीं!

जब औपचारिक अंकगणित में हम एक अप्रमाणित कथन भर में आते हैं, तो कुछ कारणों से हम जानते हैं कि, फिर भी, यह कथन, हालांकि यह सिद्ध करने योग्य नहीं है, वास्तव में या तो सही है या गलत है। सेट सिद्धांत में यह काम नहीं करता है, हम वास्तव में अलग-अलग गणितज्ञों को प्राप्त करते हैं। इससे कैसे संबंधित हैं? तीन दार्शनिक दृष्टिकोण हैं:

औपचारिकता: क्यों, वास्तव में, आश्चर्यचकित हो? हम प्रतीकों के खेल के नियमों को निर्धारित करते हैं, विभिन्न नियम - एक अलग परिणाम। एक समस्या की तलाश करने की आवश्यकता नहीं है जहां यह मौजूद नहीं है

प्लैटोनिज्म: लेकिन फिर यह कैसे समझाया जाए कि पूरी तरह से अलग सिद्धांतों पर बनाए गए जेडएफसी और न्यू फाउंडेशंस जैसे पूरी तरह से अलग-अलग सिद्धांत, लगभग हमेशा एक ही परिणाम देते हैं? क्या इसका मतलब यह है कि सूत्रों के पीछे कुछ ऐसी वास्तविकता है जो हम पढ़ रहे हैं? यह दृश्य, उदाहरण के लिए, गोडेल द्वारा आयोजित किया गया था

मल्टीवर्स: हमारे पास कई स्वयंसिद्धताएं हो सकती हैं, कभी-कभी एक ही परिणाम देते हैं, कभी-कभी नहीं। हमें चित्र को समग्र रूप से देखना चाहिए - यदि रंग स्वयंसिद्ध विभिन्न प्रणालियों से जुड़ा है, तो प्रभावों का रंगीन वृक्ष गणित है। अगर हर जगह कुछ सच है - यह सफेद है, लेकिन रंगीन शाखाएं भी हैं।

ऊँचा और ऊँचा।

भविष्य में, सादगी के लिए, हम निरंतरता की परिकल्पना को स्वीकार करेंगे, अर्थात।

$पॉवरसेट (\ aleph_0) = \ aleph_1 = \ aleph_c$ - यह बहुत सुविधाजनक है। वास्तव में, हम मजबूत स्वयंसिद्ध, सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना को भी स्वीकार करेंगे कि एक्स और पावरसेट (एक्स) के बीच कभी मध्यवर्ती शक्तियां नहीं होती हैं। अब हम शक्तियां पुनरावृत्त करते हैं और सब कुछ सरल है:

$\ aleph_0 \ rightarrow \ aleph_1 \ rightarrow \ aleph_2 \ rightarrow ... \ rightarrow \ aleph_ {36463634} \ rightarrow$

हम कितनी दूर जा सकते हैं? अनंत पुनरावृत्तियों की संख्या के बाद, हम प्राप्त करते हैं

$\ aleph_ \ omega$ - क्रम में अनंत शक्ति! वैसे, कैंटर के लिए इसका अस्तित्व स्पष्ट नहीं था। लेकिन एक सेकंड! आखिरकार, पावरसेट फ़ंक्शन को हमेशा परिभाषित किया जाता है, इसलिए

$\ aleph_ \ omega$ अंतिम नहीं हो सकता!

$\ aleph_ \ omega \ rightarrow \ aleph _ {\ _ omega + 1} \ rightarrow \ aleph _ {\ _ omega + 2} \ rightarrow ...$

पाने के लिए

$\ aleph _ {\ omega + 3}$ यह आवश्यक है कि इनफिनिटी इन्फिनिटी और तीन बार दोहराएं। क्या आपने पहले ही छत को गिराना शुरू कर दिया है? वरना हो जाएगा क्योंकि फिर से, अनंत बार पुनरावृत्त होने से, हम प्राप्त करते हैं

$\ aleph _ {\ _ omega + \ omega} = \ aleph _ {\ omega2}$ , जिसके बाद, स्वाभाविक रूप से,

$\ aleph _ {\ omega2 + 1}$

अनंत बार अनंत तक पहुंचने के बाद, हम सूचकांक प्राप्त करते हैं

$\ omega ^ 2$ । आप इस शक्ति को कैसे पसंद करते हैं, उदाहरण के लिए:

$\ aleph _ {\ _ omega ^ 3 + \ omega ^ 2 + \ omega4 + 48745}$ ? जबकि हमने अध्यादेशों की सूची पर अधिकार जता दिया है, यहाँ प्रारंभिक अध्यादेश हैं:

लेकिन कई, कई और भी हैं। इसलिए हम इसे तुरंत छोड़ देंगे और कर लेंगे

एकदम बड़ा कदम

चेतावनी! नीचे जो लिखा गया है वह आपके दिमाग के लिए खतरनाक हो सकता है! हमने कई बार संख्याबल की गणना की, लेकिन क्या हम निरंतरता की ओर नहीं बढ़ते हैं? ईमानदारी से, मैं खुद इस तथ्य से थोड़ा सा सॉसेज हूं कि चक्र को कई बार जारी रखा जा सकता है, लेकिन सिद्धांत का अस्तित्व नहीं है

$\ aleph _ {\ aleph_1}$

आगे हम तेजी से आगे बढ़ेंगे:

$$ \ aleph _ {\ _ aleph_1} \ rightarrow \ aleph _ {\ _ aleph_2} ... \ rightarrow \ aleph _ {\ aleph_ \ _ omega} = \ aleph _ (\ aleph_ \ aleph) \ rightarrow $}$

अंतिम एलेफ में शून्य का एक सूचकांक है, लेकिन स्थानीय लेटेक्स इसे डालने की अनुमति नहीं देता है - बहुत अधिक स्तर हैं। लेकिन मुख्य बात यह है कि आप समझ गए हैं, कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी नई राक्षसी शक्ति पैदा करेंगे, हम कह सकते हैं - हाँ, यह सिर्फ एक पुनरावर्तक है , और इस पूरे निर्माण को एक सूचकांक के रूप में नए अलेफ़ में डाल दिया। अब क्षमता एक स्नोबॉल की तरह बढ़ रही है, हमें रोका नहीं जा सकता है, एलेफ्स का पिरामिड अधिक है और हम किसी भी शक्ति का निर्माण कर सकते हैं ... या नहीं?

अगम्य शक्ति

क्या हो अगर सत्ता इतनी बड़ी हो

$inline$ कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कैसे "नीचे से" तक पहुंचने की कोशिश करते हैं, एलेफ से संरचनाओं का निर्माण करते हुए, हम इसे हासिल नहीं करेंगे? यह पता चला है कि ऐसी शक्ति का अस्तित्व ZFC से स्वतंत्र है। आप इसके अस्तित्व को स्वीकार कर सकते हैं या नहीं।

मुझे ओसम के उस्तरा की कानाफूसी सुनाई देती है ... नहीं, नहीं। गणितज्ञ विपरीत सिद्धांत का पालन करते हैं, जिसे ऑंटोलॉजिकल मैक्सिमिज़्म कहा जाता है - जो कुछ भी संभव है उसे मौजूद होने दें। लेकिन कम से कम दो और कारण हैं जिनकी वजह से मैं इस परिकल्पना को स्वीकार करना चाहता हूं।

सबसे पहले, यह पहली अप्राप्य शक्ति नहीं है जिसे हम जानते हैं। पहली ... यह परिचित गिनती शक्ति है। अजीब तरह से पर्याप्त है, इसमें सभी गुण अप्राप्य हैं - इसे कॉल करने के लिए सिर्फ प्रथागत नहीं है:
अनंत शक्ति प्राप्त करने का कोई तरीका नहीं है "नीचे से" - न तो तत्वों को कई बार परिमित करना, और न ही पुनरावृत्ति अधिकार () समय की एक सीमित संख्या में, बीजाई के लिए परिमित सेट का उपयोग करने से आपको अनंतता नहीं मिलेगी। अनंत पाने के लिए, आपके पास पहले से ही कहीं होना चाहिए।
अनंत शक्ति का अस्तित्व एक विशेष स्वयंसिद्ध द्वारा पेश किया गया है - अनंत का स्वयंसिद्ध। इसके बिना, अनंत शक्ति का अस्तित्व अप्राप्य है।

दूसरा: अगर हम अनंत के स्वयंसिद्ध को अस्वीकार करते हैं, तो हमें फिनसेट, परिमित सेट के साथ एक सरल खिलौना सेट सिद्धांत मिलता है। आइए इन सभी सेटों को लिखें (तथाकथित सिद्धांत मॉडल )

{}
{} {}
{{{}}, {}}
{{{{}}}}
{{{{}}}, {{}}}
{{{{}}}, {{}}}
{{{{}}}, {{}}, {}}
...

और हम प्राप्त करते हैं ... परिमित सेट का एक अनंत सेट ... अर्थात्, परिमित सेट के सिद्धांत का मॉडल अनंत है, और इसमें "सभी सेटों के सेट" की भूमिका निभाता है। शायद यह समझने में मदद करेगा कि सिद्धांत "सभी सेटों के सेट" के बारे में बात क्यों नहीं कर सकता है - इस तरह के सेट हमेशा सिद्धांत के बाहर एक मॉडल के रूप में मौजूद होते हैं और अंदर सेट के अलावा अन्य गुण होते हैं। आप परिमित सेट के सिद्धांत में अनंत को नहीं जोड़ सकते।

और हाँ

$inline$ यह ZFC सिद्धांत का "सभी बहुरूपियों की भीड़" है। इस वीडियो में, अंत में अप्राप्य शक्ति के बारे में बहुत खूबसूरती से कहा गया है, लेकिन हमें आगे बढ़ना होगा।

आगे भी।

बेशक, हम पुनरावृति करके आगे बढ़ सकते हैं

$inline$ । ऊपर वर्णित सभी चरणों से गुजरने के बाद, विशाल पुनरावर्तक टावरों का निर्माण करते हुए, हम फिर से एक अप्राप्य कार्डिनल में दौड़ते हैं (लेकिन अब हमें नए स्वयंसिद्धों की आवश्यकता नहीं है, अप्राप्य शक्ति के अस्तित्व के स्वयंसिद्ध के साथ जो हमने अभी जोड़ा है, यह साबित हो गया है)। और बार-बार।

$\ theta_0 \ rightarrow \ theta_1 \ rightarrow \ theta_2 \ rightarrow ... \ rightarrow \ theta_ {36463634} \ rightarrow$

ध्यान दें कि अब तीर हमें पॉवरसेट () फ़ंक्शन को निष्पादित करने की तरह समझ में नहीं आता है, लेकिन GetNextInaccessible ()। अन्यथा, सब कुछ बहुत समान है, हमारे पास है:

$$ \ theta _ {\ _ theta_1} \ n \ n \$

अब तो हम जरूर कुछ हासिल करेंगे ... या नहीं?

बड़ी क्षमताओं का पदानुक्रम।

हां, GetNextInaccessible के साथ हम हाइपर-अनटैटेबल पावर में रन करते हैं। इसके अस्तित्व के लिए एक और स्वयंसिद्ध की आवश्यकता है। हाइपर-हाइपर-अगम्य शक्तियां हैं। और इसी तरह। लेकिन शक्ति को निर्धारित करने के अन्य तरीके हैं , न केवल अप्राप्य के माध्यम से:

प्रत्येक लिंक के पीछे, एक नियम के रूप में, हाइपर- और रिपीटर्स के एक पूर्ववर्ती संख्या के साथ एक पूरी अंतहीन पदानुक्रम है। हालाँकि, अप्राप्य कार्डिनल निर्धारित करने वाले सूत्रों की कुल संख्या इतनी बड़ी नहीं है - क्योंकि सूत्रों की संख्या गिनती योग्य है !!! इसलिए, जल्दी या बाद में वे समाप्त हो जाएंगे। जहां वे समाप्त होते हैं, एक लाल रेखा खींची जाती है। इस रेखा के नीचे सब कुछ अधिक अस्थिर रूप से परिभाषित किया गया है, यद्यपि औपचारिक रूप से।

लाल रेखा अपने आप में गोडेल के ब्रह्मांड के अंत को चिह्नित करती है (लेकिन यह मत भूलो कि गोडेल ने दो अलग ब्रह्मांड बनाए हैं) - सूत्रों के उपयोग से नीचे से निर्मित सेटों का ब्रह्मांड। लाल रेखा के ऊपर की क्षमता को हम्म कहा जाता है, "छोटा", और नीचे - बड़ा:

उनमें मुख्य विचार यह है कि सेटों का ब्रह्मांड इतना बड़ा हो जाता है कि यह विभिन्न इंद्रियों में खुद को दोहराना शुरू कर देता है। प्रत्येक पंक्ति, हमेशा की तरह, एक अलग स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है, और कई। और अधिक दिलचस्प बात यह है कि यह सब इतना बेकार नहीं है जितना आप सोच सकते हैं। उदाहरण के लिए, सबसे निचली रेखा में सबसे मजबूत स्वयंसिद्ध (रैंक-इन-रैंक), गोलियों के बारे में तथ्य को साबित करने के लिए आवश्यक है।

नीचे एक सर्वेक्षण किया गया है, अंतिम विकल्प यहां डिक्रिप्ट किया गया है ।

शिशुओं और मस्तिष्क स्टेम के प्रकार