परिचय

इस लेख में परिमित अंतर के रूप में एक मनमाना पूर्णांक डिग्री n के एक मनमाना बहुपद का प्रतिनिधित्व करने की संभावना पर विचार किया गया है। इस लेख में दृष्टिकोण मौजूदा लोगों से अलग है कि सभी सूत्र मनमाने ढंग से गुणांक के साथ एक मनमाने ढंग से बहुपद के लिए व्युत्पन्न हैं, साथ ही इसमें इकाई अंतराल के बजाय एक मनमाना अंक के बीच के अंतराल के रूप में उपयोग किया जाता है। प्राप्त सूत्र सार्वभौमिक हैं, और बहुपद के "भविष्य" और "अतीत" मूल्यों की गणना के लिए संशोधन के बिना उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मनमाने ढंग से गुणांक के साथ द्विघात समीकरण द्वारा व्यक्त किसी भी वक्र के लिए, यह संभव है कि सभी मानों की गणना केवल 3 पहले से ज्ञात y मानों द्वारा एक मनमाना समान अंतराल पर ली गई हो। परिणाम के रूप में, यह कथन प्रस्तुत किया गया है कि (n + 1) समान रूप से एक बिंदु पर स्थित है और केवल एक वक्र को खींचा जा सकता है, डिग्री n के बहुपद द्वारा व्यक्त किया जा सकता है।

त्याग

मैं गणितज्ञ नहीं हूं, मैं सिर्फ 20 साल के अनुभव वाला एक प्रोग्रामर हूं। मैंने स्वतंत्र शोध किया, लेकिन इस लेख में मैंने जो निष्कर्ष दिया, वैसा निष्कर्ष नहीं निकला। मैं किसी भी टिप्पणी और मौजूदा घटनाक्रम पर "सुझावों" के लिए आभारी रहूंगा, जिसके निष्कर्ष मेरे लिए समान (या करीब) हैं।

सामान्य जानकारी

सबसे पहले, मैं डिग्री n के एक बहुपद द्वारा दिए गए फ़ंक्शन S (t) की गणना के लिए एक सामान्य सूत्र देता हूं और एक समान अंतराल पर लिए गए (n + 1) पिछले मानों के संदर्भ में व्यक्त किया गया φ:

$$

$$S (t) = \ sum_ {k = 1} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k-1} C_ {n + 1} ^ kS (t-k \ varphi)$$

उदाहरण के लिए, डिग्री n = 1 (सामान्य रेखा) के बहुपद के लिए, यह सूत्र इस प्रकार दिखेगा:

$$

$$S (t) = 2S (t- \ varphi) -S (t-2 \ varphi)$$

डिग्री n = 2 के एक बहुपद के लिए, इस सूत्र का रूप होगा:

$$

$$S (t) = 3S (t- \ varphi) -3S (t-2 \ varphi) + S (t-3 \ varphi)$$

और इसी तरह। इस दस्तावेज़ में एक विस्तृत गणितीय प्रमाण दिया गया है । मैंने जावास्क्रिप्ट कोड के रूप में निष्पादित सत्यापन कोड भी तैयार किया। आप इसे इस लिंक पर प्राप्त कर सकते हैं। उसी लेख में मैं प्राप्त समीकरणों का उपयोग करने के लिए कुछ व्यावहारिक निष्कर्ष और विकल्प दिखाऊंगा।

डिग्री 2 के बहुपद का निर्माण

एक सामान्य समझ के लिए, "सूत्र 2 का बहुपद" निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है:

$$

$$S (t) = Q_2 t ^ 2 + Q_1 t + Q_0$$

हालांकि, जैसा कि यह निकला, आप इस बहुपद के सभी मूल्यों की गणना कर सकते हैं (वास्तव में, आप केवल कुछ मनमाने कदम some के साथ नोड्स पर बहुपद के मूल्यों की गणना कर सकते हैं "समीकरण" परिमित अंतर में ":

$$

$$S (t) = 3S (t- \ varphi) -3S (t-2 \ varphi) + S (t-3 \ varphi)$$

यही है, फ़ंक्शन एस (टी) के किसी भी तीन मूल्यों के आधार पर एक समान मनमाना अंतराल equal पर लिया जाता है, सभी बहुपद मूल्यों को प्राप्त किया जा सकता है। हम इसे वास्तविक आंकड़ों पर दिखाते हैं। वास्तविक बहुपद को निम्न कार्य द्वारा व्यक्त करें:

$$

$$R (t) = 1t ^ 2 + 2t + 3$$

अब हम फ़ंक्शन आर (t) के मानों की गणना बिंदुओं t = 111, t = 115, और t = 119 पर करते हैं। यही है, इस मामले में चरण, है 4. प्राप्त मान R (111) = 12546, R (115) = 13458 और R (119) = 14402 होगा। अब हम परिमित अंतर वाले समीकरण का उपयोग करते हुए बहुपद के निम्नलिखित दो मानों की गणना करते हैं:

$$

$$R (123) = 3R (119) -3R (115) + R (111) = 15378$$

$$

$$R (127) = 3R (123) -3R (119) + R (115) = 16386$$

यह गणना करना आसान है कि परिमित अंतरों में सूत्र का उपयोग करके गणना किए गए मान पूरी तरह से दूसरे डिग्री के बहुपद के लिए "मानक" सूत्र का उपयोग करके गणना किए गए मानों के साथ मेल खाते हैं।

इसके अलावा, परिमित अंतर में सूत्र सूत्र को पीछे बदले बिना "पिछड़े" मूल्यों की गणना करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, R (107) और R (103) की गणना करने के लिए हमें निम्नलिखित मिलते हैं:

$$

$$R (107) = 3R (111) -3R (115) + R (119) = 11666$$

$$

$$R (103) = 3R (107) -3R (111) + R (115) = 10818$$

फिर, यह गणना करना आसान है कि परिमित अंतर के सूत्रों का उपयोग करके प्राप्त मान पूरी तरह से दूसरे डिग्री के बहुपद के लिए "मानक" सूत्र का उपयोग करके गणना किए गए मानों के साथ मेल खाते हैं।

सभी बाद की डिग्री के लिए, परिणाम समान होंगे। मैंने 99 वीं डिग्री तक बहुपद का परीक्षण किया है: "मानक" फ़ार्मुलों का उपयोग करके प्राप्त परिणाम पूरी तरह से परिमित अंतर का उपयोग करके प्राप्त परिणामों के साथ मेल खाते हैं।

इसके अलावा

मैं यह भी ध्यान देना चाहूंगा कि डिग्री के बहुपद का निर्माण करने के लिए n (n + 1) का समान रूप से स्थान दिया जाना आवश्यक नहीं है - आप मनमाने ढंग से अधिक (इसे m + 1 के रूप में चिह्नित कर सकते हैं)। लेकिन इस मामले में, आपको डिग्री मीटर के बहुपद के लिए सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। इसका उदाहरण निम्नलिखित उदाहरणों से दिया जा सकता है:

$$

$$Q_2x ^ 2 + Q_1x + Q_0 = 0x ^ 4 + 0x ^ 3 + Q_2x ^ 2 + Q_1x + Q_0$$

यही है, दूसरी डिग्री के एक बहुपद के लिए, आप चौथे और तीसरे डिग्री के बहुपद से सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं - परिणाम अभी भी सही होगा।

निष्कर्ष

परिमित अंतर के सूत्र एक को किसी पूर्णांक डिग्री के कार्य के किसी भी बहुपद की गणना (और एक सूत्र के रूप में व्यक्त करने) की अनुमति देते हैं। परिमित अंतर में समीकरण के लिए, यह कोई फर्क नहीं पड़ता है कि बहुपद के किस डिग्री के लिए गुणांक का उपयोग किया गया था। परिमित अंतर में समीकरण के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि प्रारंभिक बिंदुओं को किस अंतराल पर लिया गया था - अंतराल मनमाने ढंग से छोटा हो सकता है, या मनमाने ढंग से बड़ा हो सकता है। परिमित अंतर में गणना में "मानक" सूत्रों (शक्ति कार्यों की कमी के कारण) का उपयोग करके गणना की तुलना में संभावित उच्च सटीकता है। परिमित अंतरों में बहुपद के लिए कार्य शक्ति कार्यों के बिना व्यक्त किया जाता है और, परिणामस्वरूप, इन चर के लिए केवल एक मूल्य हो सकता है। और, इसलिए, (n + 1) के माध्यम से समान रूप से अंक एक और डिग्री n के एक बहुपद द्वारा व्यक्त केवल एक वक्र खींचा जा सकता है।