इंजीनियरिंग अभ्यास में ARMA प्रक्रियाओं के सिद्धांत के आवेदन पर

नीचे हम रेखीय अंतर समीकरणों के रूप में गणितीय मॉडल के असतत-समय विकल्प के बारे में कुछ शब्द कहेंगे, जो आमतौर पर इंजीनियरों के लिए अनपेक्षित रूप से ज्ञात होते हैं, बल्कि निरंकुश मॉडल - चलती औसत, और इस तरह के मॉडलिंग के लिए बहुत ही असामान्य संभावनाएं हैं, जिनमें से क्षमताएं काफी अधिक हैं। आप LDU से प्राप्त करने के आदी हैं।

प्रौद्योगिकी की संभावित क्षमताओं की सूची में अवलोकन के लिए आने वाली गड़बड़ी के साथ प्रणालियों का विश्लेषण, ऐसी प्रणालियों के अनुनाद गुणों का निर्धारण, स्पेक्ट्रम और बाहरी उत्तेजना की प्रक्रिया, उनके छोटे बोध द्वारा प्रक्रियाओं का वर्णक्रमीय आकलन, समय के साथ कम नमूना आवृत्ति पर प्रणालियों के व्यवहार का मॉडलिंग आदि शामिल हैं।





अर्थशास्त्री, जिसे अर्थशास्त्री (अधिक सटीक रूप से, "अर्थशास्त्री") कहा जाता है, स्वचालित विनियमन के विशेषज्ञों के लिए बहुत कम जाना जाता है, और, मेरी राय में, मैकेनिकल इंजीनियरों और रेडियोइलेक्ट्रोनिक इंजीनियरों द्वारा विशेष रूप से "पुराने स्कूल" का उपयोग किया जाता है। लेख इंजीनियरिंग अभ्यास में ARMA सिद्धांत के आवेदन के कुछ संभावित क्षेत्रों को इंगित करने का प्रयास करता है।
संक्षेप में, सरलीकृत, उन लोगों के लिए जो इस विषय से अपरिचित हैं, जिनके बारे में, वास्तव में, यह है। व्यवहार में स्पष्ट "डिजिटल" कारणों के लिए स्टोकेस्टिक निरंतर-समय प्रक्रिया x (t) आमतौर पर नमूना अंतराल valt के साथ असतत-समय अनुक्रम x [i] से मेल खाती है।
सिद्धांत रूप में, किसी भी प्रक्रिया के लिए x [i] फॉर्म का प्रतिनिधित्व संभव है

x [i] - एक _१ · x [i-१] - एक _२ · x [i-२] - ... - a _p · x [ip] = b _० · f [i] + b _१ · f [i- 1] + ... + b _q · f [iq] (1),

जहाँ एक _k और b _k स्थिरांक हैं (इस मॉडल के लिए) गुणांक, ऑटोरेग्रेडियन-मूविंग एवरेज मॉडल को ऑटोरोग्रेसियन पी के आदेश और मूविंग एवरेज क्यू के साथ कहते हैं। या ARMA (p, q) -model, f [i] एक तरह की "इनकमिंग" प्रक्रिया है, जिसके बारे में थोड़ा कम है। अक्सर (1) थोड़ा अलग रूप (6) में लिखा जाता है।
असल में, यह सिर्फ एक डिजिटल फिल्टर है जिसमें पुनरावर्ती एआर और गैर-पुनरावर्ती एमए भागों दोनों हैं।
एआरएमए (पी, क्यू) मॉडल और रैखिक प्रणालियों (उदाहरण के लिए, यांत्रिक) के बीच एक पत्राचार है, उदाहरण के लिए, फार्म के प्रसिद्ध रैखिक अंतर समीकरण द्वारा वर्णित।


जहां m, c, k यांत्रिक प्रणाली का द्रव्यमान, कठोरता और डंपिंग है, f (t) बाहरी बल है। ARMA समकक्ष इस तरह दिखता है:

x [i] - एक _१ · x [i-१] - एक _२ · x [i-२] = b _१ · f [i-१] (३)

मॉडल के गुणांकों को रेखीय प्रणाली के igen ₁ और λ ₁ * (संक्षिप्तता के लिए, "दोलन करने वाला" मामला माना जाता है) के माध्यम से आसानी से पाया जा सकता है और oft:

₁ = z + z *, a ₂ = - z · z *, b ₁ = j (z * -z) · ωt / (2mω ₁ );

जहाँ z = exp (λ ₁ · =t), λ ₁ =-+ ₁ + jω ₁ , j काल्पनिक इकाई है, * जटिल संयुग्मन है

संदर्भ के लिए:

परीक्षण प्रणाली के लिए, एम = 1 किग्रा, सी = 100 एन / एम, के = 0.75 किग्रा / एस, mt। 0.12 एस।,
प्राप्त ARMA (2,1) -मॉडल

x [i] - 0.69433x [i-1] +0.91393 x [i-2] = 0.010696f [i-1]

(कैसे (3) की एक बहुत ही संक्षिप्त व्याख्या आम तौर पर (2) से प्राप्त की जाती है। हमारी रैखिक प्रणाली का नाड़ी संक्रमण कार्य, अर्थात, एक नाड़ी के लिए प्रणाली की प्रतिक्रिया:



"अभिन्न" रूप में रिकॉर्ड (2) को "कनविक्शन" f (t) और h (t) कहा जाता है, जिसका अर्थ है कि इसमें बाहरी क्रिया को प्रारंभिक आवेगों के अनुक्रम के रूप में शामिल करना शामिल है। असतत समय में, उदाहरण के लिए, लिखें, ठीक है:



चयनित कारकों 1, ₁ और 2 का उपयोग करके x [i], x [i-1] और x [i-2] जोड़कर _{, वे} अनंत "पूंछ" h [i] - f [i] के पारस्परिक सर्वनाश को प्राप्त करते हैं जो दाईं ओर रहता है · H [0] = f [i] · 0 और f [i-1] · h [1] = f [i-1] · b ₁ । ARMA सिद्धांत के दृष्टिकोण से, चलती औसत MA (∞) का अनंत-आयामी मॉडल ARMA (2,1) में बदल जाता है (हालांकि कुछ कहेंगे कि विशुद्ध रूप से ऑटोरेस्पोर्सेिव मॉडल AR (2) = ARMA (2,0) संयोग से प्राप्त किया गया था।

टिप्पणी 1. एक पाठक जो प्रक्रियाओं के डिजिटल प्रसंस्करण से परिचित है, वह कहेगा कि सिर्फ विवेकशील h (t) बहुत सही नहीं है - फ़ंक्शन h (t) को 1 / (2Δt) (फिल्टर आउट करने के लिए) में सीमित करना आवश्यक है। अन्यथा, एक आवृत्ति मास्किंग त्रुटि है। हमारी प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया और चरण प्रतिक्रिया के रेखांकन, "विश्लेषणात्मक" और ARMA मॉडल, दिखाते हैं कि अधिकांश इंजीनियरिंग मामलों में यह त्रुटि सबसे अधिक क्यों उपेक्षित की जा सकती है (छवि 1) (यहां, आवृत्ति प्रतिक्रिया एक लघुगणकीय पैमाने पर है)।

अंजीर। 1 परीक्षण प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया और चरण प्रतिक्रिया।

टिप्पणी 2. व्यवहार में, एआरएमए मॉडल का क्रम ऊपर दिए गए उदाहरण से काफी बड़ा हो सकता है, क्योंकि, कहते हैं, यांत्रिक प्रणाली की स्वतंत्रता की कई डिग्री या वास्तविक बाहरी प्रभाव का एक जटिल स्पेक्ट्रम।

टिप्पणी 3. बहुत महत्वपूर्ण। ऐसी विधियाँ हैं (यहाँ पर विचार नहीं किया जाता है - उनके बारे में कई और लेख लिखे जा सकते हैं) जो किसी को ARMA मॉडल के मापदंडों का अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं (अर्थात्, p और q मॉडल का आदेश और गुणांक _k और b _k ) केवल परिणामी x [i] के तहत, अनुमान के तहत। यह f [i] एक काल्पनिक सफेद शोर है, जिसके विचरण का भी अनुमान लगाया जा सकता है। सामान्य तौर पर, इस तरह के मूल्यांकन पूरे एआरएमए सिद्धांत का मुख्य हिस्सा है। जबकि ये विधियाँ विशेष पूर्णता में भिन्न नहीं हैं, वे काफी रुचि रखते हैं।

अब क्यों, वास्तव में, यह सब अभ्यास में लागू किया जा सकता है (या हो सकता है)। काफी स्पष्ट के अलावा - पहले दो बिंदुओं से "मैन्युअल रूप से" (और निष्कासित) साइनसोइड्स का त्वरित निर्माण और दो गुणांक ₁ और ₂ एक, मेरी राय में, इंजीनियरिंग अभ्यास में इन मॉडलों के अधिक गंभीर अनुप्रयोग हैं।

1. ठीक है, वास्तव में, सिस्टम के संचालन के सिमुलेशन के लिए - हम इनपुट पर एक वास्तविक बाहरी संकेत च [i] देते हैं, हमें आउटपुट पर x [i] मिलता है:

x [i] = a _१ · x [i-१] + _२ · x [i-२] + ... + a _p · x [ip] + b _० · f [i] + b _१ · f [i- 1] + ... + b _q · f [iq] (6)

ARMA- मॉडल परिमित-अंतर मॉडल की तुलना में बेहतर कार्य करता है, हालांकि, यह केवल बड़े नमूने अंतराल Δt पर ध्यान देने योग्य है। (चित्र 2 में, Δt = 0.12 s (बाएं) और 0.03 s)। एआरएमए के साथ गड़बड़ करने के लिए कौन से मामलों में यह समझ में आता है - आप तय करते हैं।

अंजीर। 2. एक एकल आवेग के लिए परीक्षण प्रणालियों की प्रतिक्रिया।

2. वर्णक्रमीय आकलन के लिए, खासकर जब स्थिर प्रक्रिया की कार्यान्वयन लंबाई अवलोकन के लिए अपर्याप्त है। शायद यह ARMA मॉडल का सबसे प्रसिद्ध इंजीनियरिंग अनुप्रयोग है। चूंकि एक निश्चित डिजिटल फिल्टर और इसमें प्रवेश करने वाले सफेद शोर के फैलाव को अध्ययन के तहत प्रक्रिया के लिए प्राप्त किया जाएगा, PSD के एक अनुमान के निर्माण का कार्य एक स्पष्ट तरीके से हल किया गया है। वास्तव में, बाहरी रूप से बहुत "चिकनी" एसपीएम ग्राफ प्राप्त करना संभव है और एक ही समय में उच्च रिज़ॉल्यूशन का प्रभाव पैदा करता है। मूल्यांकन में अपेक्षित सुधार इस तथ्य से जुड़ा है कि शोधकर्ता मूल्यांकन की प्रक्रिया के लिए प्रक्रिया की प्रकृति के बारे में बाहरी जानकारी लाता है - आमतौर पर एक ज्ञात मॉडल ऑर्डर सेट करके।
संक्षेप में, आपको यह जानना होगा कि इस PSD को लगभग कितना दिखना चाहिए। शास्त्रीय तरीकों का उपयोग करते हुए इस कार्यान्वयन के "खोजपूर्ण" अध्ययन कम ही कर सकते हैं, ज्यादातर समान प्रकृति के शास्त्रीय (एफएफटी पर आधारित) अध्ययनों का जिक्र करते हैं, लेकिन अब लंबे अहसास हैं। स्थूल त्रुटियों की संभावना है।

3. प्रणाली के प्रतिध्वनि गुणों और बाह्य क्रिया के स्पेक्ट्रम के विश्लेषण के लिए, उस मामले में जब अवलोकन के लिए सही बाहरी प्रभाव उपलब्ध नहीं है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, यह प्रक्रिया एक्स [i] को जानना संभव है, मॉडल के सभी गुणांकों को निर्धारित करने के लिए ए और बी _के (और आने वाले सफेद शोर का विचरण)। उनका उपयोग करना, इसी गुणांक के साथ दो बहुपद की जड़ों का निर्धारण करना, मॉडल (λ _k और μ _k ) के p "डंडे" और q "शून्य" को खोजना आसान है और इसके स्थानांतरण समारोह का निर्माण करना - आप शायद ARMA फॉर्म का उपयोग यहां भी नहीं कर सकते हैं दिया गया), और सामान्य रूप से "विश्लेषणात्मक" रूप में - जैसा कि हमने ऊपर पाया (छवि 1), अंतर छोटा है। उदाहरण के लिए, p = 5, q = 3 के लिए (जबकि मौजूदा से सार, जाहिरा तौर पर, p और q के अनुपात पर प्रतिबंध), एक विकल्प के रूप में, हमारे पास:



सब कुछ बहुत, बहुत सरल है, बिल्कुल। अध्ययन के तहत वस्तु की ज्ञात प्रकृति के आधार पर (उदाहरण के लिए, ये कार की सवारी की चिकनाई के बहुभुज परीक्षण हैं) और बाहरी प्रभाव (सड़क के माइक्रोप्रोफाइल), शोधकर्ता ने स्थानांतरण समारोह को फिर से लिखने का फैसला किया, उदाहरण के लिए, इस तरह।




अंजीर। 3 आने वाली गड़बड़ी के आवंटन के साथ सिग्नल स्पेक्ट्रम का विश्लेषण

और टिप्पणी की - λ ₁ से संबंधित मॉडल का हिस्सा स्पष्ट रूप से है (आने वाले काल्पनिक सफेद शोर के विचरण द्वारा स्क्वैरिंग और गुणा करना) सड़क का "गुलाबी" माइक्रोप्रोफाइल (छवि 3) (अर्थात, हमने वास्तविक के एक अज्ञात स्पेक्ट्रम की पहचान की है। इनपुट संकेत - मैन्युअल रूप से चयनित - यह "समान" लगता है, λ ₂ और λ ₃ निलंबन पर शरीर के गुंजयमान गुण हैं (संभवतः अनुदैर्ध्य-कोणीय और कंपन के ऊर्ध्वाधर मोड)। मुख्य समस्या, एआरएमए मॉडल के मापदंडों को निर्धारित करने में होगी। केवल वर्णित के लिए, आप कभी भी, किसी भी ARMA के बिना, वर्णक्रमीय घनत्व ग्राफ के अनुसार पुराने ढंग से (इलेक्ट्रॉनिक रूप में) में "क्रॉल" कर सकते हैं और -3 dB, आदि के स्तर पर चोटी की चौड़ाई को माप सकते हैं, या उत्कीर्णन लागू कर सकते हैं, कभी-कभी महान सफलता के साथ भी। ।

3. रैखिक भविष्यवाणी x [i] के लिए। जाहिर है, ARMA का मुख्य अनुप्रयोग अर्थशास्त्री के लिए है। यह (6) से देखा जा सकता है कि यदि मॉडल के गुणांक का अनुमान ऊपर उल्लिखित विधियों का उपयोग करके किया गया था, तो अगले मान x [i] का अनुमान लगाया जा सकता है कि अवलोकन के लिए दुर्गम एक काल्पनिक सफेद शोर b ₀ · f [i], इस सफेद शोर के विचरण का अनुमान है मॉडल के गुणांक के साथ। आमतौर पर इस मामले में, मॉडल मापदंडों के गतिशील (वास्तविक समय में) समायोजन निहित है। जाहिर है, यह सक्रिय कंपन और शोर में कमी की प्रणालियों में उपयोगी हो सकता है। TAP विशेषज्ञ सर्वोत्तम जानते हैं।

4. एक दुर्गम प्रक्रिया को बहाल करने के लिए जिसे देखा नहीं जा सकता है। जब मॉडल को भागों में विभाजित किया जाता है, जैसा कि धारा 3 में ऊपर दिखाया गया था, अध्ययन के तहत प्रक्रिया की प्रकृति के बारे में ज्ञान के आधार पर, आने वाले गड़बड़ी के स्पेक्ट्रम का अलग से मूल्यांकन करना संभव है और भौतिक प्रणाली के दोलन गुणों (मॉडल को भागों में विभाजित करें)। आप आगे जा सकते हैं - एक फिल्टर (ARMA- मॉडल, मूल मॉडल का उलटा) बनाएं जो सिस्टम के आउटपुट को इनपुट के साथ जोड़ता है, और परिणामस्वरूप प्रक्रिया x [i] की मदद से आने वाली गड़बड़ी का अस्थायी कार्यान्वयन प्राप्त करता है। उदाहरण के लिए, अलग-अलग अध्ययन के लिए उपलब्ध नहीं होने वाले उपकरणों द्वारा सटीक रूप से अज्ञात रैखिक विकृतियों के साथ रिकॉर्ड किए गए एक अविभाजित सिग्नल को पुनर्स्थापित करने का प्रयास करें (जैसे, टेलीमेट्री द्वारा प्राप्त)।

अपने विनम्र ज्ञान के आधार पर, मैं इस तरह के व्यक्तिपरक निर्णय को व्यक्त करूंगा। इंजीनियरिंग समस्याओं के लिए एआरएमए प्रौद्योगिकियों की प्रयोज्यता इन मॉडलों के मापदंडों के आकलन के लिए तरीकों की पूर्णता पर निर्भर करती है, जिसके परिणामस्वरूप संकेत से, या बल्कि, मेरी राय में, इन विधियों की अपूर्णता से दृढ़ता से संयमित है। इंजीनियरिंग में ARMA के आवेदन में अनुभव का संचय इस क्षेत्र में एक बहुत ही संभावित "सफलता" की प्रत्याशा में, मुख्य रूप से समझ में आता है।