एक स्थिर संकेत के वर्णक्रमीय घनत्व के स्वतःस्फूर्त अनुमान पर

तेजी से फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) पर आधारित स्थिर यादृच्छिक प्रक्रियाओं के वर्णक्रमीय आकलन के तरीके अच्छी तरह से ज्ञात हैं और व्यापक रूप से इंजीनियरिंग अभ्यास में उपयोग किए जाते हैं। उनके नुकसान में, विशेष रूप से, प्रक्रिया के लिए अपर्याप्त रूप से लंबे अवलोकन अवलोकन के साथ अनुमान का एक उच्च फैलाव (कम सटीकता) शामिल है, जो आमतौर पर शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व (पीएसडी) के मजबूत "इंडेंटेड" ग्राफ में खुद को प्रकट करता है। वर्णक्रमीय आकलन के वैकल्पिक तरीकों में से एक ऑटोरोग्रेसिव विधि है, जिसे नीचे दिए गए उदाहरण में माना जाता है, जो इंजीनियरिंग अभ्यास में बहुत कम ज्ञात है। कई मामलों में, यह विधि PSD (छवि 1) का अधिक बेहतर अनुमान प्राप्त करने के लिए अपेक्षाकृत आसान बनाता है, और कभी-कभी अध्ययन के तहत यादृच्छिक प्रक्रिया के बारे में भी गहराई से जानकारी देता है।


अंजीर। 1 "लघु" प्रक्रिया PSD का शास्त्रीय और निरंकुश मूल्यांकन

प्रदर्शन प्रयोजनों के लिए, एक असतत-समय संकेत (अनुक्रम) x [i] संश्लेषित किया गया था। सिग्नल को ARMA मॉडल (डिजिटल फ़िल्टर) का उपयोग करके एक यांत्रिक प्रणाली (1) के गुणों का अनुकरण करते हुए तैयार किया जाता है - सामग्री बिंदु x (t) को "एकल-द्रव्यमान" ऑसिलेटर में पैरामीटर m = 1 kg, c = 100 N / m, k = 2, के साथ ले जाना। 5 किग्रा / एस, और एक बल गड़बड़ी से - गॉसियन "सफेद" (खाते में विवेक को ध्यान में रखते हुए) शोर च (टी) 1 एन ^{2 के} फैलाव के साथ, समय में नमूना अंतराल 0.t = 0.12 s।



निर्मित मॉडल (2)। मॉडल के निर्माण की विधि पहले से ही यहां पर विचार की जा चुकी है ।

x [i] - 0.6388 · x [i-1] + 0.7408 · x [i-2] = 0.009667 · f [i-1] (2)

(2) का उपयोग करते हुए, 50 हजार नमूनों का एक अनुक्रम संश्लेषित किया गया था, जिसके लिए एक प्रसिद्ध सॉफ्टवेयर वातावरण के सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर रैंडन () का एक जनरेटर का उपयोग किया गया था।

प्रक्रिया x [i] के अनुकरण के पूरा होने के बाद, मॉडल (2) के मात्रात्मक मापदंडों को अज्ञात माना जाता है - केवल प्रक्रिया ही और, कुछ हद तक, सबसे सामान्य शब्दों में मॉडल के गुणों के बारे में जानकारी अनुसंधान के लिए उपलब्ध है।

वेल्च पद्धति का उपयोग करते हुए 50,000-बिंदु अनुक्रम का वर्णक्रमीय आकलन किया गया था, खंड का आकार 256 नमूनों के बराबर लिया गया था, हैमिंग खिड़की और 60% खंडों को लागू किया गया था। इस तरह के एक अनुमान के मानक विचलन, इस तथ्य के आधार पर कि अनुक्रम में लगभग 200 गैर-अतिव्यापी सेगमेंट की लंबाई है, मोटे तौर पर ~ 7% के रूप में अनुमान लगाया जा सकता है।

इसके अलावा, यह मानते हुए कि प्रयोग में वास्तविक परिस्थितियों में, अनुसंधान के लिए बहुत कम अनुक्रम उपलब्ध है, इस संकेत के पहले 500 नमूनों पर ही अध्ययन किए गए थे।

वेल्च विधि द्वारा समान मापदंडों के साथ एक अनुमान प्राप्त किया जाता है। इस तरह के एक अनुमान का मानक विचलन ~ 70% है; ग्राफ का एक बहुत मजबूत "खुरदरापन" ध्यान देने योग्य है (छवि 2)।


Fig.2 शास्त्रीय विधि द्वारा "लंबी" और "छोटी" प्रक्रियाओं के PSD का मूल्यांकन

इस तथ्य के आधार पर कि हम एसपीएम प्रक्रिया के फ़ंक्शन (ग्राफ) के अनुमानित रूप को जानते हैं (उदाहरण के लिए, प्रक्रिया की ज्ञात भौतिक प्रकृति के आधार पर - सफेद शोर के तहत एक एकल द्रव्यमान थरथरानवाला, या इसी तरह की प्रक्रियाओं का मूल्यांकन करने से जिसके लिए कार्यान्वयन उपलब्ध हैं), हमने साथ मूल्यांकन करने का फैसला किया। दूसरे क्रम के ऑटोरेग्रेसिव मॉडल (AR (2), या = ARMA (2.0)) का उपयोग करना।

मॉडल का क्रम निर्धारित करना एक बहुत ही महत्वपूर्ण बिंदु है; आदेश में एक त्रुटि अनुमान परिणामों में बहुत स्थूल त्रुटियों को जन्म दे सकती है। ऐसे तरीके हैं जो अभी तक यहां नहीं माने गए हैं, केवल विश्लेषण की जा रही प्रक्रिया के आधार पर मॉडल के क्रम को निर्धारित करने में मदद करते हैं।

मॉडल मापदंडों का अनुमान ऑटोरोग्रेसिव प्रक्रिया के लिए प्रसिद्ध यूल-वॉकर समीकरणों का उपयोग करके किया गया था (स्क्रिप्ट की संरचना को थोड़ा सरल करने के लिए थोड़ा संशोधित):



जैसा कि समीकरणों से देखा जा सकता है, मापदंडों को निर्धारित करने के लिए, ऑटोरोग्रेसिव सीक्वेंस Rxx [0], Rxx [1], Rxx [2] के केवल पहले तीन सदस्य, जो प्रारंभिक 500-पॉइंट सीक्वेंस x [i] कोररोग्राम विधि से अनुमानित थे, का उपयोग किया जाता है। ~ 4.5%।

(वैसे, यह स्पष्ट है कि ₁ , a2 ₂ , आदि से पहले "विपक्ष" बेहद असुविधाजनक है। अर्थव्यवस्था में ARMA मॉडल के मुख्य रूप से "पूर्वसूचक" उपयोग के कारण वे अपने पहले "इंजीनियरिंग" स्रोतों में दिखाई दिए। नहीं। मुझे पहले से ही संदेह है कि यहां एआर-गुणांक की ऐसी समझ का उपयोग करना आवश्यक था।)

व्यवहार में सहसंबंध मैट्रिक्स (3) में हमेशा एक सख्त विकर्णता होती है Rxx [0] | > | Rxx [i] |, जिसमें अवलोकन शोर की उपस्थिति के कारण भी शामिल है, जिसके परिणामस्वरूप इसके हैंडलिंग के साथ कोई कठिनाई नहीं है (एक समाधान खोजना (3))।

(सांख्यिकीय मॉडलिंग त्रुटि की भयावहता के सवाल को स्पष्ट करने के लिए, उदाहरण के लिए, इसका उल्लेख दिलचस्प है। 500 सैंपल से प्राप्त Rxx [0] = 2.2606e-04 m ² , 50,000 नमूनों से कोररोग्राम प्राप्त डायवर्जन अनुमानों की तुलना में, = 2.4238e-04 m ² और 50,000 नमूनों (चित्र। 2), = 2.4232e-04 मीटर ² ) से वेल्च विधि द्वारा प्राप्त PSD क्षेत्र के अभिन्न द्वारा अनुमान।

पाए गए अनुमानों के प्रतिस्थापन के बाद Rxx [i] हमारे पास है:



निम्नलिखित मॉडल मापदंडों को ₀ = 11325.9 निर्धारित किया जाता है; एक ₁ = 7090.1; एक ₂ = -8411.5; जैसा कि (3) से देखा जा सकता है, काल्पनिक आने वाले सफेद शोर का फैलाव यहां = 1 निर्धारित किया गया था, इसके बजाय यह निर्धारित करता है कि लाभ _{0 है} । PSD का एक स्वतः-अनुमानक गुणांक ₀ , ₁ , ₁ , _{2 के} अनुक्रम पर फूरियर ट्रांसफॉर्म द्वारा निर्मित है:




अंजीर। 3 "लघु" प्रक्रिया PSD का शास्त्रीय और निरंकुश मूल्यांकन

उसी तरह, (5) के समान एक अभिव्यक्ति के अनुसार, PSD का "सैद्धांतिक" शेड्यूल पहले बनाया गया था, केवल वहां मॉडल गुणांक, निश्चित रूप से, अलग ((2)) से लिया गया था।
यह ग्राफ से देखा जा सकता है कि PSD का एआर अनुमान सैद्धांतिक रूप से अपेक्षित एक के बहुत करीब निकला। ग्राफ के अतिरिक्त, प्रक्रिया की कुछ विश्लेषणात्मक विशेषताओं और संबंधित यांत्रिक प्रणाली का मूल्यांकन करना संभव है। इस मामले में, ये मॉडल के "डंडे" हैं, संख्यात्मक रूप से मॉडल के "गुंजयमान" चोटियों और संबंधित "गुणवत्ता कारकों" की आवृत्तियों को चिह्नित करते हैं।

(5) से हम लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म (λ = -ε + jω द्वारा j = को प्रतिस्थापित करते हुए) का उपयोग करके अपने मॉडल के स्थानांतरण समारोह की छूट के लिए खोज करने के लिए संबंध पाते हैं:



प्राप्त एआर मॉडल के लिए, λ _1,2 = -1.5427 10.1 j · 10.1514 की गणना इस तरह से की गई थी, जो प्रक्रिया उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए जाने वाले मूल मॉडल के बहुत करीब है
λ _1.2theor = -1.2500 1.2 j · 9.9216 (यानी, प्रतिध्वनि शिखर की स्थिति, क्रमशः 1.615 हर्ट्ज (सिद्धांत में) और 1.579 हर्ट्ज (निर्धारित))।


चित्र 4 "डंडे" की अवधारणा के बारे में

निष्कर्ष में कुछ टिप्पणियां और सिफारिशें।

1. सकल त्रुटियों के साथ PSD अनुमान प्राप्त करने के जोखिम के दृष्टिकोण से, एआर मॉडल का "अत्यधिक" (बहुत बड़ा) आदेश आमतौर पर अपर्याप्त से बहुत कम खतरनाक है।
2. एक नियम के रूप में, एआर-मॉडलिंग गुंजयमान आवृत्तियों को काफी हद तक सटीक रूप से निर्धारित करना संभव बनाता है जे _के और बहुत कम सटीक रूप से संबंधित "चोटियों" की चौड़ाई का निर्धारण करता है -ε _के
3. एआरएमए - मॉडल कई स्रोतों के अनुसार मॉडल की सटीकता में सुधार करने के उद्देश्य से एआर-मॉडल की तुलना में बहुत छोटा क्रम (आकार) हो सकता है। हालांकि, मॉडल के एमए-भाग का मूल्यांकन करना बहुत अधिक कठिन है और आमतौर पर एमए-भाग में इसे बदलने के लिए एक बड़े-क्रम वाले एआर-मॉडल को प्राप्त करने में पहला कदम शामिल हो सकता है। इन स्रोतों के संबंध में, एक उच्चतर आदेश के बावजूद वर्णक्रमीय आकलन के लिए वास्तव में एआर-मॉडल का उपयोग करने की सलाह के बारे में एक वैकल्पिक राय भी व्यक्त की जाती है।
4. बहुत कम के लिए, साथ ही गैर-स्थिर प्रक्रियाओं के लिए, ऑटोकरेलेशन फ़ंक्शन के अनुमानों के मैट्रिक्स के बजाय, कोवरियस मैट्रिक्स आमतौर पर (3) में उपयोग किया जाता है।
5. ऑटोरेस्प्रेसिव वर्णक्रमीय आकलन के मुद्दे के विस्तृत अध्ययन के लिए, एस.एल. मार्पल की मिली। "डिजिटल वर्णक्रमीय विश्लेषण और इसके अनुप्रयोग", एम।, मीर, 1990