जहां साक्ष्य, तथ्य और कल्पना अभिसरित होते हैं

गणित में, जहाँ प्रमाण ही सब कुछ है, तथ्य भी महत्वपूर्ण हैं। हालांकि, तथ्य अच्छे हैं, केवल जबकि मॉडल अच्छा है, और मॉडल का निर्माण एक अविश्वसनीय व्यवसाय है। तो कितने तथ्य पर्याप्त होंगे?

क्या आप अनुक्रम में अगला नंबर पा सकते हैं?

1, 2, 4, 8

यदि निर्णय लेने के लिए आपको अधिक डेटा की आवश्यकता है तो यहां एक और संख्या है:

1, 2, 4, 8, 16

अगली संख्या 32 होनी चाहिए, है ना? पैटर्न स्पष्ट है: अगले नंबर को खोजने के लिए, आपको पिछले एक को दोगुना करने की आवश्यकता है। 1 × 2 = 2; 2 × 2 = 4; 4 × 2 = 8; 8 × 2 = 16. तो, अगली संख्या 16 × 2 = 32 होनी चाहिए। इसकी पुष्टि के लिए कितने और तथ्यों की आवश्यकता है?

लेकिन, हालांकि यह मानना ​​उचित है कि अगली संख्या 32 है, यह हमेशा सच नहीं होगा। निम्नलिखित अनुक्रम पर विचार करें: हम उन वर्गों की संख्या की गणना करेंगे जिनमें वृत्त को एक वृत्त पर स्थित बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाओं से विभाजित किया गया है।



एक बिंदु एक खंड (सर्कल के पूरे आंतरिक भाग) को देता है। दो बिंदु - दो खंड। तीन अंक - चार खंड। पांच और छह क्रमशः आठ और सोलह हैं। परिणाम एक अनुक्रम है

1, 2, 4, 8, 16

और वृत्त पर छह बिंदुओं की रेखाओं को जोड़ने के बाद कितने खंड दिखाई देंगे? यदि आप इस कार्य के साथ पहली बार सामना कर रहे हैं, तो कई लोग कहते हैं कि 32. लेकिन ऐसा नहीं है, लेकिन कोई भी आपकी निंदा नहीं करेगा। वास्तव में, कितना भी कष्टप्रद क्यों न हो, उत्तर होगा - ३१! अपने आप को याद करें, और फिर दोबारा जांचें।



बेशक, हर बार दोहरीकरण संख्या से 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, और इसी तरह के क्रम होते हैं। लेकिन अन्य क्रम भी हैं, उदाहरण के लिए, वर्गों की अधिकतम संख्या, जिसमें वृत्त को बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाओं से विभाजित किया जाता है, और यह 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99 और इसी तरह से है। अनुक्रम 1, 2, 4, 8, 16 को देखते हुए, हम सोच सकते हैं कि सभी तथ्य यह हैं कि अगली संख्या 32 होगी, लेकिन कुछ और भी हो सकती है।

गणित में हमारी उम्मीदों को चुनौती देने और हमारी कल्पना को काम करने की एक लंबी परंपरा है। इसलिए, गणितज्ञ हमेशा कठोर प्रमाण प्राप्त करने का प्रयास करते हैं, न कि केवल तथ्य। प्रमाण गणितीय सत्य की स्थापना करता है। सभी तथ्य हमारे अनुक्रम में अगले नंबर के रूप में 32 को इंगित कर सकते हैं, लेकिन कठोर प्रमाण के बिना हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते।

लेकिन फिर भी, गणितज्ञों के लिए तथ्य उपयोगी और महत्वपूर्ण हैं। कुछ साबित करने से पहले, हम अक्सर उपलब्ध जानकारी के साथ खेलते हैं, समस्या का अध्ययन करते हैं, उदाहरणों पर विचार करते हैं और डेटा एकत्र करते हैं। हम तथ्यों का अध्ययन और वजन करते हैं और तय करते हैं कि आगे क्या करना है। ये परिणाम हमारी राय बनाते हैं, कुछ प्रमेयों को साबित करने और दूसरों का खंडन करने का प्रस्ताव करते हैं।

ट्विन प्राइम परिकल्पना एक उदाहरण है जहाँ तथ्य हमारी गणितीय सोच को प्रमाण की तरह नियंत्रित करते हैं। जुड़वाँ primes जोड़े के जोड़े हैं जो 2 से भिन्न होते हैं - उदाहरण के लिए, 3 और 5, 11 और 13, 101 और 103। जुड़वाँ primes की परिकल्पना से पता चलता है कि इस तरह के जुड़वाँ की कोई सबसे बड़ी जोड़ी नहीं है - अर्थात, समान जोड़े लगातार अनंत तक जाने पर संख्या रेखा पर दिखाई देते हैं।

जुड़वां प्रधान परिकल्पना एक प्रमेय नहीं है, क्योंकि, इस तथ्य के बावजूद कि यह संख्या सिद्धांत में सबसे प्रसिद्ध समस्याओं में से एक है, अभी तक कोई भी इसे साबित नहीं कर पाया है। हालांकि, लगभग सभी का मानना ​​है कि यह सच है, क्योंकि इसके समर्थन में कई तथ्य हैं।

उदाहरण के लिए, primes की हमारी खोज में हम लगातार जुड़वाँ primes की बड़ी जोड़ी बनाते हैं। आज ज्ञात सबसे बड़ी जोड़ी में से प्रत्येक की प्रमुख संख्या में 400,000 अंक हैं। इस परिकल्पना के समान सिद्धान्त भी सिद्ध होते हैं। 2013 में, जांग एथन ने अपराधों के जोड़े की असीम रूप से बड़ी संख्या की उपस्थिति को साबित करके गणितीय समुदाय को झटका दिया, 70 मिलियन से अधिक नहीं। इसके बाद खुली पोलिमथ परियोजना के लिए धन्यवाद, हम जानते हैं कि कई प्रकार के जोड़े हैं, जो 246 से अधिक नहीं हैं । हमने अभी तक कई अनंत युगों की जोड़ी के अस्तित्व को साबित नहीं किया है जो 2 से भिन्न हैं - लेकिन फिर भी 2 246 से अनंत के 246 के बहुत करीब है।

इन और अन्य कारणों से, न्याय में विश्वास, भले ही परिकल्पना सिद्ध न हो, बहुत विवादास्पद नहीं है। हालांकि, गणित के अन्य क्षेत्र भी हैं जिनमें तथ्यों का उपयोग सूचित राय बनाने के लिए किया जाता है जो अधिक विवादास्पद साबित होते हैं।

अण्डाकार वक्रों के अध्ययन में, इसकी रैंक, मोटे तौर पर बोलना, इस वक्र को हल करने की जटिलता का एक संख्यात्मक अनुमान दर्शाता है। कई वर्षों से यह माना जाता था कि अण्डाकार वक्रों की रैंक सीमित नहीं है, अर्थात्, वक्र की रैंक के मूल्य पर या समाधान की जटिलता पर कोई प्रतिबंध नहीं है।

हालांकि, हालिया काम गणितज्ञों को सीमित रैंक की संभावना के बारे में सोचते हैं। कागज यह तथ्य बताता है कि यह संभव है कि एक सीमित संख्या में वक्र हों जिनकी रैंक 21 से अधिक है।

हालांकि, सावधानी बरतने की सलाह दी जाती है। गणितज्ञों द्वारा एकत्र किए गए तथ्यों को अण्डाकार वक्रों की दुनिया से नहीं लिया गया है - वे उन मैट्रिक्स से संबंधित हैं जो शोधकर्ता घटता मॉडल करते थे। गणितीय मॉडल व्यापक रूप से विज्ञान में उपयोग किए जाते हैं, और वे भी गणित का अध्ययन करने के लिए आवक हो सकते हैं। ये अविश्वसनीय रूप से शक्तिशाली उपकरण हैं जो हमें एक असंगत कार्य को एक के साथ बदलने की अनुमति देते हैं जो हमारे लिए सामना करना आसान है।

लेकिन मॉडल का उपयोग करना एक मुश्किल व्यवसाय है। आप कभी भी यह सुनिश्चित नहीं कर सकते हैं कि मॉडल काफी कुछ उसी तरह का व्यवहार करता है जैसा हम समझने की कोशिश कर रहे हैं, ताकि हम उसके व्यवहार से निष्कर्ष निकाल सकें। इसके अलावा, कोई यह सुनिश्चित नहीं कर सकता है कि हमारा मॉडल सबसे बड़े महत्व के स्थानों के समान है। इसलिए, यह सुनिश्चित करना मुश्किल है कि मॉडल के आधार पर हमने जो तथ्य एकत्र किए हैं, वे वास्तव में हमारे द्वारा पढ़ी गई घटनाओं के वास्तविक गुणों की गवाही देते हैं। आइए एक साधारण परिकल्पना के सरल मॉडल के आधार पर इन समस्याओं की जाँच करें।

कल्पना कीजिए कि हम निम्नलिखित कथन का अध्ययन करना चाहते हैं: किन्हीं दो पंक्तियाँ या तो अन्तर्निहित या समानांतर हैं।

चौराहे से हमारा तात्पर्य सामान्य बिंदुओं में सीधी रेखाओं की मौजूदगी से है, और समानता से इस तथ्य से है कि वे एक दिशा में जाते हैं लेकिन अंतरंग नहीं होते हैं (यह अवधारणा दूसरे तरीके से परिभाषित की जा सकती है, लेकिन मैं इसे सरलता के लिए उपयोग करूंगा)।

इस मुद्दे का अध्ययन करने के लिए, एक मॉडल बनाएं। प्रत्येक पंक्ति को तिरछी रेखा के समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे आप स्कूल के पाठ्यक्रम से याद रख सकते हैं। यही है, हम मानते हैं कि प्रत्येक पंक्ति को फॉर्म के समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है

y = mx + b

जहाँ m रेखा (इसकी स्थिरता) का ढलान है, और b, y अक्ष (ऊर्ध्वाधर अक्ष) का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

इस तरह से मॉडलिंग लाइनें उन पर प्रयोगों के लिए सुविधाजनक हैं। मॉडल हमें यादृच्छिक संख्याओं, मी और बी की एक जोड़ी का चयन करके एक यादृच्छिक रेखा बनाने की अनुमति देता है। हम यादृच्छिक लाइनों की एक जोड़ी का चयन कर सकते हैं और उनकी जांच कर सकते हैं - क्या वे एक दूसरे को काटते हैं? क्या वे एक तरह से जाते हैं? क्या कुछ और हो रहा है?

इस तरह के प्रयोगों के परिणाम क्या दिख सकते हैं, इसके कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं।



प्रत्येक उदाहरण में, बेतरतीब ढंग से चुनी गई लाइनें प्रतिच्छेद करती हैं। यदि हम इस प्रयोग को एक हजार बार - या 10,000, या एक लाख बार करते हैं - तो हम पाएंगे कि सभी मामलों में लाइनें एक दूसरे को काटेंगी या समांतर होंगी (और सबसे अधिक संभावना है, सभी लाइनें एक-दूसरे को काटेंगी, क्योंकि यह संभावना नहीं है कि दो रेखाओं में एक ही ढलान होगा, चुना गया संयोग से)।

इसलिए, एक लाख उदाहरणों को देखते हुए, आप इस निष्कर्ष पर पहुंच सकते हैं कि परिकल्पना सबसे अधिक सच है। सभी तथ्य पूरी तरह से इस कथन का समर्थन करते हैं कि किसी भी जोड़ी की रेखाएं समानांतर या चौराहे हैं।

हालांकि, तथ्य केवल मॉडल के रूप में अच्छे हैं, और मॉडलिंग खतरनाक है। आइए देखें कि हमने अपने उदाहरण में अपने लिए कौन से खतरे पैदा किए हैं।

एक समस्या यह है कि कुछ प्रकार की रेखाएँ दूसरों की तुलना में अधिक सामान्य होंगी। यहाँ b = 0 और 0 ≤ m। 1 के साथ 50 रेखाएँ दिखाने वाला एक ग्राफ़ है।



और यहाँ b = 0 और m। 1 के साथ 50 रेखाएँ दिखाने वाला एक ग्राफ़ है।



ऐसा लगता है कि विमान का एक चौथाई भाग 0 से 1 तक ढलान वाली सीधी रेखाओं से आच्छादित है, और दूसरी तिमाही 1 से अधिक ढलान वाली सीधी रेखाओं से आच्छादित है। 1 से अधिक संख्या का चयन करना 0 से 1 की संख्या चुनने की अपेक्षा अधिक प्रतीत होता है, इसलिए सीधी रेखा अधिक होने की संभावना है। विमान के दूसरे खंड में होगा। इसका मतलब है कि 0 से 1 तक ढलान के साथ कुछ लाइनें, मॉडल में बहुत कम प्रतिनिधित्व की जाएंगी। और अगर विमान के इस हिस्से में कुछ अजीब चीजें सीधी रेखाओं के साथ होती हैं, तो हमारे मॉडल ने हमें इस बारे में बताने की संभावना नहीं है।

यदि आप दूसरे चार्ट को करीब से देखते हैं, तो हम एक और समस्या देखेंगे। बड़ा मीटर बन जाता है, सीधी रेखाएं जितनी अधिक होंगी। सबसे ठंडी सीधी रेखा लंबवत होती है। ऊर्ध्वाधर रेखा का ढलान क्या है? परिभाषा के अनुसार, यह परिभाषित नहीं है: ऐसी कोई संख्या मी नहीं है जो ऊर्ध्वाधर रेखा का वर्णन कर सके। यह पता चला है कि हमारे मॉडल में कोई ऊर्ध्वाधर रेखा नहीं है, और हम इसके साथ प्रयोग नहीं कर सकते। हमने अभी तक तथ्य एकत्र करना शुरू नहीं किया है, लेकिन पहले से ही मॉडल निर्माण योजना के कारण कुछ विशेष मामलों को खारिज कर दिया है।

वही हमारे मॉडल की सबसे गंभीर समस्या है। जो लोग आसानी से त्रि-आयामी अंतरिक्ष की कल्पना करते हैं, उन्होंने तुरंत ध्यान दिया कि हमारी परिकल्पना गलत है। एक सीधी रेखा को प्रतिच्छेद या समांतर नहीं होना है। एक इमारत के विभिन्न तलों पर अलग-अलग दिशाओं में जाने वाले दो गलियारों की कल्पना करें। ये सीधी रेखाओं को काट रहे हैं - सीधी रेखाएं जो कि प्रतिच्छेद नहीं करतीं और समानांतर नहीं होती हैं।



क्रॉस लाइनों को विभिन्न विमानों में झूठ बोलना चाहिए। लेकिन चूंकि हमारा मॉडल समीकरण y = mx + b के माध्यम से किसी भी रेखा को परिभाषित करता है, हम स्वचालित रूप से कल्पना करते हैं कि सभी रेखाएं एक ही विमान में हैं। हमारा मॉडल केवल उन तथ्यों को देगा जो हमारी परिकल्पना का समर्थन करते हैं, क्योंकि यदि दो रेखाएं एक ही विमान में लेटती हैं, तो उन्हें वास्तव में या तो प्रतिच्छेद करना चाहिए या समानांतर चलना चाहिए। हम अन्य तथ्यों को नहीं देखेंगे: हमारे मॉडल में कोई इंटरसेक्टिंग लाइनें नहीं हैं। जैसा कि ऊर्ध्वाधर लाइनों के मामले में, मॉडल ने वह निर्णय दिया जो हम कल्पना नहीं कर सकते थे।

यह समस्याओं का एक गुच्छा के साथ एक बेवकूफ मॉडल का उपयोग करके एक सरल उदाहरण है, जिसमें ट्रिकी प्रश्न भी शामिल हैं, जैसे कि अनंत सेट से यादृच्छिक संख्या चुनने की प्रक्रिया। पेशेवर गणितज्ञों ने दीर्घवृत्तीय वक्रों के रैंकों का अध्ययन करते हुए ऐसी सरल और स्पष्ट गलतियाँ कभी नहीं की होंगी।

ये गणितज्ञ जानते हैं कि मॉडल के साथ काम करते समय क्या सावधानियां बरतनी चाहिए। वे जानते हैं कि, मॉडल कितना उपयोगी और दिलचस्प होगा, या एकत्र किए गए तथ्यों पर कितना आश्वस्त होगा, अण्डाकार घटता उन गुणों को प्रकट कर सकता है जिनकी उन्होंने कल्पना नहीं की थी। और अगर यह कल्पना नहीं की जा सकती है, तो आपका मॉडल इसे ध्यान में नहीं रखेगा, और इसलिए, तथ्यों को प्रतिबिंबित नहीं किया जाएगा।

लेकिन नया मॉडल सही है या नहीं, इसने गणितज्ञों को अण्डाकार वक्रों के बारे में सोचने के लिए मजबूर किया। यदि यह वास्तव में सच्चाई को दर्शाता है, तो मैट्रिस की दुनिया के विचार घटता के व्यवहार की व्याख्या कर सकते हैं। यदि नहीं, तो समझ में नहीं आता कि अण्डाकार वक्रों को इस तरह क्यों नहीं बनाया जा सकता है जिससे समस्या की बेहतर समझ पैदा हो सके। हमारे द्वारा एकत्र किए गए तथ्य हमें सबूत के करीब ला सकते हैं, एक ही रास्ता या दूसरा।