शुभ दोपहर, प्रिय पाठक! क्रिस हेकर द्वारा भौतिकी इंजन बनाने के बारे में लेखों की एक श्रृंखला में यह दूसरा अनुवादित लेख है। यदि आपने पहले से खुद को अभी तक परिचित नहीं किया है, तो मैं ऐसा करने की सलाह देता हूं, क्योंकि सब कुछ तुरंत स्पष्ट हो जाएगा। पहले अनुवाद का समर्थन करने के लिए बहुत-बहुत धन्यवाद: आगे और काम करने के लिए बहुत उत्साहजनक है! अच्छा पढ़ लो!

भौतिकी, भाग 2, कोणीय प्रभाव

मैं बस कुछ भारी के साथ दरवाजा वापस करना चाहता था ताकि एक घुसपैठिया अंदर न आए। क्या मैं बहुत पूछ रहा हूँ? मैं चाहता हूं कि उनकी कार एक विशिष्ट स्थान पर लुढ़के और फट जाए। मैं चाहता हूं कि विशाल गियर्स मुझे चपटा करने से पहले जाम कर दें। और मैं जल्दबाजी में एक ऐसी चीज का निर्माण करना चाहता हूं जो झूले की तरह दिखती है, ताकि महल की किले की दीवार के माध्यम से एक प्यारा चमकता हुआ उपहार गुलेल कर सके। मुझे वास्तविकता में यह सब करने से कौन रोक सकता है? आप मानते हैं कि मेरा प्रतिद्वंद्वी खेल की दुनिया में है, लेकिन वास्तव में - भौतिक इंजन का एक प्रोग्रामर, क्योंकि उपरोक्त सभी कोणीय प्रभाव पर आधारित है। आप उन खेलों पर भरोसा कर सकते हैं जहां कोने के प्रभाव को लागू किया जाता है, न कि कम से कम एक खोजने का उल्लेख करने के लिए जिसमें यह सही ढंग से किया जाता है।

आज खेलों में कोणीय (या अन्यथा घूर्णी) प्रभावों को लागू करने का मुख्य कारण यह नहीं है क्योंकि प्रोग्रामर मानते हैं कि घूर्णी गति का वर्णन करने वाला भौतिकी वास्तविकता में समझने और अनुवाद करने के लिए बहुत जटिल है। हाई स्कूल में भौतिकी की कक्षाओं में (जहाँ हम सभी ने न्यूटन के दूसरे नियम को सीखा) वे आम तौर पर घूर्णी प्रभावों के बारे में बात नहीं करते हैं, और यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि वस्तु से लागू बल से इस ऑब्जेक्ट के रोटेशन तक कैसे जाया जाए। बेशक, घूर्णी गति की गतिशीलता रैखिक गति की गतिशीलता की तुलना में समझना थोड़ा कठिन है, लेकिन ऐसा लगता है कि यह सरल है। जो कोई भी चक्र के पहले लेख में प्रस्तुत की गई सामग्री के अनुसार एक भौतिक इंजन बना सकता है, वह इस लेख में वर्णित कोणीय प्रभावों को शामिल करने का प्रबंधन भी करेगा। यह आशा की जाती है कि इस लेख के प्रकाशन के बाद, दुनिया उन खेलों से भर जाएगी जो कोने के प्रभाव की सभी संभावनाओं और लाभों का उपयोग करते हैं, या कम से कम आप एक गेम बना सकते हैं जिसमें, जब आप झुकते हैं, तो अपने मित्र को एक मृत लड़ाई में पैर में गोली मार दें।

संक्षिप्त पुनरावृत्ति

इस तथ्य के बावजूद कि मेरे प्रत्येक लेख किसी न किसी अनोखे विषय पर, मैंने हमेशा वही लिखा, जो मैंने पहले लिखा था, यह समझने के लिए कि मैं कहाँ समाप्त हुआ। मैंने भौतिकी पर अपना पहला लेख देखा, और मुझे खुशी हुई: हम बहुत कुछ सीखने में कामयाब रहे, और इसके अलावा, हमने कभी भी प्रोग्राम कोड नहीं लिखा या अतिरिक्त साहित्य नहीं पढ़ा! शुरू करने से पहले, आइए अंतिम लेख से सामग्री को ताज़ा करें।



तालिका 1 में ठोस पदार्थों की गतिशीलता के लिए सबसे महत्वपूर्ण निष्कर्ष शामिल हैं। यह समीकरण 1 से इस प्रकार है कि समन्वित वेक्टर (आर), वेग वेक्टर (वी), और त्वरण वेक्टर (ए) डेरिवेटिव (और अभिन्न द्वारा, यदि हम रिवर्स ऑर्डर में पढ़ते हैं) से संबंधित हैं। एक अनुस्मारक के रूप में, हम एक अभाज्य (r ') द्वारा समय विभेदन को चिह्नित करते हैं। r ', dr / dt के समान है, और r' 'दूसरी बार व्युत्पन्न के समान है। समीकरण 2 से यह निम्नानुसार है कि बल एक रैखिक गति (द्रव्यमान और वेग के उत्पाद), द्रव्यमान और त्वरण के साथ जुड़ा हुआ है। द्रव्यमान के केंद्र की परिभाषा समीकरण 3 से प्राप्त की जा सकती है (यह वह बिंदु है जहां सभी द्रव्यमान और दूरी एक दूसरे को संतुलित करते हैं)। समीकरण 4 में कहा गया है कि एक ठोस का कुल रैखिक संवेग इसके सभी संवेगों का योग है, जो हमारी किस्मत के लिए, द्रव्यमान के केंद्र (CM) के संवेग के बराबर हैं। समीकरण 5 एक वास्तविक रत्न है। यह समीकरण 4 का उपयोग यह प्रदर्शित करने के लिए करता है कि किसी वस्तु के द्रव्यमान के केंद्र का त्वरण कुल बल (किसी निश्चित समय में वस्तु पर काम करने वाली सभी शक्तियों के योग का) स्केलर मात्रा के माध्यम से, वस्तु के द्रव्यमान से संबंधित है।

पहले लेख में वर्णित सब कुछ को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए: हमने सीखा कि हमारे द्रव्यमान के केंद्र पर कार्य करने वाला कुल बल शरीर पर लागू सभी बलों के योग के बराबर है (गुरुत्वाकर्षण बल, खलनायक का वैगन, पास का विस्फोट, हमारे इंजन का जोर आदि) ) .. उसके बाद, हमने सीएम त्वरण प्राप्त करने के लिए बॉडी मास द्वारा इस योग वेक्टर को विभाजित किया, और फिर शरीर की गति और समन्वय प्राप्त करने के लिए समय त्वरण को एकीकृत किया।

समीकरण 5 सिर्फ एक उत्कृष्ट कृति है! आप देखेंगे कि इसमें शरीर के लिए बलों के आवेदन की कोई अवधारणा नहीं है, और यह निर्धारित करने में एक महत्वपूर्ण बिंदु है कि शरीर उनकी कार्रवाई के तहत कैसे घूमेगा। समीकरण 5 सही है। वास्तव में, यह रैखिक त्वरण खोजने के लिए उत्कृष्ट है। हमें आधी लड़ाई याद आ रही है। लेकिन पहले बातें पहले ...

आपका कोन है?

पहले लेख में, रोटेशन को नजरअंदाज कर दिया गया था, इसलिए हमें केवल 2 डी में हमारे शरीर के विन्यास का वर्णन करने के लिए एक त्रिज्या वेक्टर और इसके व्युत्पन्न की आवश्यकता थी। अब आइए एक और किनेमैटिक्स वैल्यू, ओरिएंटेशन (कैपिटल लेटर ओमेगा - Ω द्वारा निरूपित) जोड़ते हैं, ताकि कॉर्नर इफेक्ट्स पर काम किया जा सके। Order सेट करने के लिए, हमें खेल की दुनिया के ठोस और समन्वय प्रणाली के सापेक्ष समन्वय प्रणाली को चुनने की आवश्यकता है, और the का मान रेडियन में उनके बीच के कोणों के अंतर के बराबर होगा, जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है।



चित्र 1. Ω की परिभाषा

चित्रा में, xw, yw axes खेल की दुनिया की समन्वित कुल्हाड़ियों हैं, और xb, yb ठोस के समन्वित अक्ष हैं। Ω 0 से अधिक है अगर वामावर्त गिना जाता है। यहां यह स्पष्ट करना महत्वपूर्ण है कि हम त्रि-आयामी में स्थानांतरित होने से पहले दो-आयामी दुनिया की गतिशीलता का अध्ययन क्यों करते हैं: 2 डी में अभिविन्यास एक स्केलर मात्रा (रेडियन में समन्वय प्रणालियों के बीच का कोण) है, जबकि तीन-आयामी दुनिया में अभिविन्यास का निर्धारण करना अधिक कठिन है।

जैसे-जैसे शरीर घूमता है,, का मान बदलता है। यह परिवर्तन हमें एक और कीनेमेटीक्स की ओर ले जाता है - कोणीय वेग (निचला अक्षर ओमेगा - another द्वारा चिह्नित)। शरीर के समन्वय और रैखिक वेग के विपरीत, हम कोणीय वेग को निम्नानुसार निरूपित नहीं करते हैं - inate ’। हालांकि, कभी-कभी हम गति के व्युत्पन्न को समय के संबंध में, या कोणीय त्वरण के रूप में निरूपित करते हैं, जैसा कि ('(यह एक और गतिज मूल्य है) या α (लोअरकेस अल्फा) के रूप में। मुझे दोष न दें: मैं इन सभी पदनामों के साथ नहीं आया था; और हर किताब में मैंने पढ़ा कि थोड़ी सी विसंगतियां हैं। समीकरण 1 के लिए हमारा कोणीय समकक्ष है:

$$$$ प्रदर्शन $ $ {d ^ 2 display \ over {dt ^ 2}} = {dω \ over {dt}} =} '= α $$ प्रदर्शन $$

समीकरण ६

समीकरण 1 में, हम α प्राप्त करने के लिए समय में अंतर करते हैं; और अगर हम समय के साथ α को एकीकृत करते हैं, तो हम पिछले लेख के साथ सादृश्य द्वारा etc. आदि प्राप्त करते हैं: α के कोणीय त्वरण को जानते हुए, हम एक नई अभिविन्यास प्राप्त करने के लिए इसे दो बार एकीकृत कर सकते हैं। लेकिन यहां महत्वपूर्ण बिंदु α का मूल्य जानना है।

जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं, इस लेख के लिए हमारा लक्ष्य तालिका 1 में रैखिक समीकरणों में से प्रत्येक के लिए एक कोणीय एनालॉग प्राप्त करना है, और फिर, रैखिक और कोणीय समीकरणों और ऑब्जेक्ट पर लागू बल को ध्यान में रखते हुए, हम इसके रैखिक त्वरण और कोणीय त्वरण α की गणना कर सकते हैं। अंत में, हम अपने शरीर की नई स्थितियों और झुकावों को खोजने के लिए इन त्वरणों को संख्यात्मक रूप से एकीकृत कर सकते हैं।

शुरुआत करने के लिए, हम रैखिक और कोणीय मात्राओं को एक साथ जोड़ेंगे। और यह एक नहीं बल्कि अस्पष्ट चाल है जिसमें कोणीय वेग का उपयोग किया जाता है। गतिकी में गणना करते समय, हमें अक्सर किसी वस्तु पर मनमाने बिंदु की गति ज्ञात करने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, जब हम ठोस पदार्थों के टकराव की गणना करते हैं, तो हमें यह समझने के लिए टकराव के बिंदुओं की गति जानने की आवश्यकता होती है कि वे एक दूसरे से कितना टकराते हैं। यदि हमारे शरीर घूमते नहीं हैं, तो शरीर के प्रत्येक बिंदु की गति समान होती है। हम बस शरीर के द्रव्यमान के केंद्र की गति की निगरानी कर सकते हैं, और यह पर्याप्त होगा। जबकि अगर हमारा शरीर घूमता है, तो इन निकायों के प्रत्येक बिंदु की एक अलग गति हो सकती है। जाहिर है, हम अपने कठोर शरीर के अनंत अंकों की गति की गणना नहीं कर सकते हैं, इसलिए हमें एक अलग, बेहतर समाधान की आवश्यकता है।

किसी वस्तु के अंदर किसी बिंदु के रैखिक वेग को खोजने के लिए उपयोग किए जाने वाले सरल तरीकों में से एक वस्तु के कोणीय वेग का उपयोग करता है। मामले पर विचार करें जब शरीर केवल एक निश्चित बिंदु ओ के आसपास घूमता है, शरीर के समन्वय को बदले बिना। यही है, शरीर घूमता है, लेकिन चलता नहीं है। समीकरण 7 से यह इस प्रकार है कि घूर्णन पिंड के बिंदु B की गति की गणना कैसे करें:

$$$ $ प्रदर्शन $ $ v ^ B = displayr ^ {OB} _$ $ $ प्रदर्शन $ $

समीकरण 7

हमें समीकरण 7 में कुछ बिंदुओं को स्पष्ट करने की आवश्यकता है, आइए इस पर कुछ समय व्यतीत करें। सबसे पहले, मैं यह दर्शाने के लिए शीर्ष अनुक्रमण का उपयोग करता हूं कि कौन सा पैरामीटर इन बिंदुओं से संबंधित है, इसलिए v ^ B हमारे शरीर के बिंदु B का वेग वेक्टर है। इसी तरह, r ^ OB हमारे शरीर के रोटेशन के केंद्र से खींची गई वेक्टर को इंगित करता है। O से बिंदु B तक। एक अजीब उलटा अक्षर T एक "लंबवत ऑपरेटर" है जो एक वेक्टर पर काम करता है (जैसे कि समीकरण 7 में वेक्टर r) और इसे 90 डिग्री पर वामावर्त घुमाता है। तीर। दूसरे शब्दों में, एक नए वेक्टर का निर्माण किया जाता है जो पुराने के लंबवत होता है। द्वि-आयामी दुनिया में, एक वेक्टर लंबवत (x, y) सिर्फ (-y, x) है। आप आसानी से एक ग्राफ पेपर शीट पर मेरे शब्दों की जांच कर सकते हैं। इस बारे में अधिक बात करते हैं। लंबवत वेक्टर की परिमाण को कोणीय वेग per से निर्धारित किया जाता है और रैखिक वेग v ^ B को सेट करता है। रूसी में, समीकरण 7 से पता चलता है कि घूर्णन शरीर के एक बिंदु की गति को कोणीय वेग से रोटेशन के केंद्र से खींचे गए लंबवत वेक्टर को गुणा करके गणना की जाती है। मैं इसे कैसे समझूं? वैसे, मैंने इसके बारे में किताब में पढ़ा है, लेकिन यह स्पष्ट है कि इस तरह की व्याख्या पर्याप्त नहीं है, इसलिए हम साबित करते हैं कि यह सच है।

आइए हम दो चरणों में समीकरण 7 के निष्कर्ष की सच्चाई को साबित करें। सबसे पहले, हम साबित करते हैं कि परिणामी वेग वेक्टर का मान सही है; तब - कि उसकी दिशा सही है। प्रमाण के पहले भाग के लिए, चित्र 2 पर विचार करें।



चित्रा 2. सी = Ωr

चित्र 2 बिंदु B के रोटेशन को कोण के बराबर कोण से दर्शाता है, जो कठोर शरीर के घूर्णन की दिशा में होता है, जिसमें लंबाई r की त्रिज्या सदिश के साथ शरीर के रोटेशन के केंद्र से निर्देशित होता है। B से बिंदु B, चाप C की लंबाई से गुजरता है, जहाँ C = Ωr, रेडियन की परिभाषा से होता है। (कोण का एक रेडियन माप एक वृत्त की त्रिज्या से बंधे चाप का माप है। एक वृत्त की परिधि C = 2 isr है क्योंकि वृत्त के चाप का रेडियन माप 2π [या 360 डिग्री] है)।

एक बिंदु की गति समय में इसके समन्वय में बदलाव है। इसलिए, हम बिंदु बी की गति - दूसरे शब्दों में, वेग वेक्टर की भयावहता - समय के संबंध में गति के समीकरणों को अलग करके देख सकते हैं। C = Ωr गति का समीकरण है।

$$ $${d ({r) \ over {dt}} = {d over \ over {dt}} r = Ωr$$

त्रिज्या को विभेदन चिह्न से बाहर ले जाया जाता है, क्योंकि यह एक स्थिरांक है (बिंदु B केवल रैखिक विस्थापन के बिना घूमता है), और समय व्युत्पन्न ation ation समीकरण 6 से है। इसलिए, वेक्टर B का परिमाण वेग वेक्टर ωr है।

समीकरण 7 पर विचार करके, हम देखते हैं कि वेग वेक्टर की परिमाण सही है, क्योंकि लंबवत वेक्टर की लंबाई को प्रभावित नहीं करता है और ^ ^ OB, O से B. Fuh तक निर्देशित त्रिज्या वेक्टर है, हम आधे रास्ते पर हैं।

यह सत्यापित करने के लिए कि समीकरण 7 में वेग वेक्टर की दिशा सही है, आइए हम यह सुनिश्चित करके शुरू करें कि वेग वेक्टर रेडियस वेक्टर के लंबवत होना चाहिए। यह धारणा सहज रूप से समझ में आती है, क्योंकि किसी अन्य बिंदु के चारों ओर घूमने वाला एक बिंदु केवल इन बिंदुओं के बीच वेक्टर के लंबवत स्थानांतरित कर सकता है। यह रोटेशन के केंद्र से संपर्क नहीं कर सकता है या इससे दूर नहीं जा सकता है, या यह आंदोलन केवल रोटेशन के लिए बंद हो जाएगा। हम वैक्टर के लिए गणना के साथ हमारी धारणा का समर्थन कर सकते हैं, लेकिन मैं लेख की मात्रा के लिए एक निश्चित ढांचे में जकड़ा हुआ हूं, इसलिए हम मान लेंगे कि हमारी धारणा सही है। (यदि आप इसे अपने दम पर साबित करने के लिए उत्सुक हैं, तो निश्चित लंबाई वाले वेक्टर के अदिश उत्पाद को स्वयं से अलग करें।)

अंत में, हमें यह सुनिश्चित करना चाहिए कि वेक्टर सही तरीके से चिह्नित है, क्योंकि आंकड़ा त्रिज्या के बराबर लम्बाई के दो वैक्टर दिखाता है: v और -v। चूँकि the का मान वामावर्त मापा जाता है, when> 0 जब बिंदु दक्षिणावर्त घूमता है। एक दक्षिणावर्त दिशा में लंबवत बिंदु, जैसा कि त्रिज्या वेक्टर करता है। चित्र 3 समीकरण 7 से निष्कर्ष दिखाता है:



चित्रा 3. रैखिक वेग और कोणीय के बीच संबंध

अनुपूरक समीकरण 7 चलती निकायों के रोटेशन का वर्णन करने के लिए। हम एक ठोस शरीर की गति को शरीर के घूमने के केंद्र का एक सरल आंदोलन और इस बिंदु के आसपास शरीर के बाकी हिस्सों का एक सरल रोटेशन मानते हैं। जो लोग रुचि रखते हैं, उनके लिए आंदोलनों के वर्गीकरण पर यह शाल प्रमेय है।

चैलेंज की प्रमेय हमारी गति को दो घटकों में विभाजित करती है - रैखिक और कोणीय। शरीर के घूमने के केंद्र को O को केवल गतिमान बिंदु मानें, तो हम gives का उपयोग बिंदु O के चारों ओर घूमने की गणना के लिए करते हैं, और इससे हमें समीकरण 7 का सामान्य रूप मिलता है:

$$$ $ प्रदर्शन $ $ v ^ B = v ^ O + Or ^ {OB} _ $ $ $ प्रदर्शन $$

समीकरण ९

समीकरण 9 कहता है कि हम शरीर के रोटेशन के केंद्र की रैखिक गति का उपयोग करके किसी गतिशील शरीर के किसी भी बिंदु की गति की गणना कर सकते हैं और इसके अलावा, शरीर के रोटेशन के दौरान हासिल की गई गति।

हमारे आवेग का कारण

अब हम समीकरण 2, बल के समीकरण के कोणीय एनालॉग लिख सकते हैं। हम कोणीय गति का निर्धारण करके शुरू करते हैं, एक बिंदु B के L ^ AB, दूसरे बिंदु A के आसपास:

$$ $${L} ^ {AB} = {\ vec r} ^ {AB} \ बार {\ vec p} ^ B$$

समीकरण 10

एक बिंदु की गति एक बिंदु के रैखिक गति से भिन्न होती है जिसमें समीकरण का कोणीय संस्करण अंतरिक्ष में शरीर की स्थिति को ध्यान में रखता है। इस से यह इस प्रकार है कि एक बिंदु के कोणीय गति को खेल की दुनिया में एक अलग जगह के लिए मापा जाना चाहिए, रैखिक आवेग के विपरीत, जो एक दिए गए बिंदु (इसके द्रव्यमान और गति का उत्पाद) के लिए निर्धारित किया जाता है। इसे समीकरण 10 में ऊपरी इंडेक्सेशन के माध्यम से दिखाया गया है। नोटेशन L ^ AB का कहना है कि कोणीय गति को बिंदु A से बिंदु B (शरीर के घूर्णन का केंद्र) के लिए मापा जाता है। बिंदु A से बिंदु B की ओर इशारा करते हुए एक तीर की कल्पना करें। यह तीर दो बिंदुओं के बीच एक त्रिज्या वेक्टर है, इसका मतलब है r ^ AB। तो, एक बिंदु का कोणीय गति एक रेखीय संवेग वेक्टर और एक त्रिज्या वेक्टर के लंबवत उत्पाद है। इस ऑपरेशन को "लंबवत उत्पाद के साथ स्केलर उत्पाद" कहा जाता है, और 3 डी वेक्टर उत्पाद के लिए एक 2 डी एनालॉग है, लेकिन हम इसे दूसरी बार चर्चा करेंगे।

यदि आप रेखांकन दर्शाते हैं कि समीकरण 10 से निम्नानुसार क्या है, तो कागज पर - जैसा कि मैंने चित्र 4 में किया था - आप देखेंगे कि यह निर्धारित करता है कि बिंदु B का रैखिक क्षण कैसे "चारों ओर घूमता है" A।



चित्र 4. आवेग का क्षण

यदि बिंदु B की गति सीधे बिंदु A, समीकरण 10 = 0 की ओर इंगित करती है तो सब कुछ सही है (चूंकि लंबवत r से p के साथ समकोण बनता है, और अदिश उत्पाद 0 होगा)। गति बी जितना बड़ा होगा, उतनी अधिक गति को सीधा करता है। जैसा कि चित्र 4 में देखा जा सकता है, समीकरण 10 में अदिश उत्पाद को इसके पैरामीटर के रूप में कोण ine के कोण के रूप में लंबवत r ^ AB से p ^ B के बीच संलग्न किया गया है। यदि आप इसे दूसरी तरफ देखते हैं, तो स्केलर उत्पाद की परिमाण को कोण के साइन द्वारा दिया जाता है ones मूल लोगों के बीच जो r ^ AB और p ^ B के लंबवत नहीं हैं (साइन वेक्टर और स्केलर उत्पाद के बीच संबंध को उजागर करने के लिए एक और कुंजी है)। समीकरण 10, बिंदु A के सापेक्ष "घूर्णी दिशा" में बिंदु B की "गति" कितनी है, इसका माप देता है।

इसके अलावा, जैसा कि हमने बल को निर्धारित करने के लिए रैखिक गति के व्युत्पन्न का उपयोग किया था, हम बल के कोणीय जुड़वां को निर्धारित करने के लिए कोणीय गति के व्युत्पन्न का उपयोग करेंगे - बल का क्षण (निचला अक्षर ताऊ - τ द्वारा इंगित)।

$$ $${^ {AB} = {dL ^ {AB} \ over dt} = {d (({vec r}} ^ {AB} \ टाइम्स {\ vec p} ^ B) \ over dt} = \ vec r ^ { AB} \ बार ma ^ B = \ vec r ^ {AB} \ गुना F ^ B$$

समीकरण 11

अंतरिक्ष को बचाने के लिए, मैंने समीकरण 11 में थोड़ा धोखा दिया, कुछ कठिन चरणों को छोड़ दिया, जिसमें डेरिवेटिव ढूंढना शामिल था। पूर्वगामी से, यह निम्नानुसार है कि बल का क्षण एक स्केलर उत्पाद के माध्यम से एक निश्चित बिंदु पर बल के साथ जुड़ा हुआ है।

अंत में, हमें एक गतिशील समीकरण मिला जो बल के अनुप्रयोग के बिंदु का उपयोग करता है, जिसे पहले रैखिक गति समीकरणों में अनदेखा किया गया था। समीकरण 11 बिंदु A के चारों ओर B रोटेट करने के लिए लागू बल का कितना भाग है, इसका एक मापक के साथ स्केलर उत्पाद का उपयोग करता है; इस "घूर्णी बल" को बल का क्षण कहा जाता है। समीकरण 11 आपको बल के क्षण का संख्यात्मक मान ज्ञात करने की अनुमति देता है - और इसलिए कोणीय गति, यदि हम बल के क्षण को एकीकृत करते हैं, तो लागू बल और आवेदन के बिंदु को जानते हुए।

हालांकि, हमें अभी भी बल के क्षण और किनेमैटिक्स के कोणीय परिमाण के बीच संबंध का समीकरण नहीं मिला है कि हमें इसके अक्ष के चारों ओर वस्तु को घुमाने की आवश्यकता है - जैसे कोणीय त्वरण, कोणीय वेग या अभिविन्यास। इसलिए, कुछ और समीकरण प्राप्त करने से पहले हम आगे नहीं बढ़ सकते।

जिस पल का हम सब इंतजार कर रहे हैं

इससे पहले कि हम गतिकी और किनेमेटिक्स के बीच एक संबंध बनाएं, हमें कुल कोणीय गति निर्धारित करने की आवश्यकता है, इसके साथ हमने समीकरण 4 में कुल रैखिक गति को कैसे निर्धारित किया है। मैं समीकरण 3 में द्रव्यमान के केंद्र के लिए कोणीय समकक्ष के बारे में नहीं भूल गया हूं; हम इसे कुल कोणीय गति के समीकरण में देखेंगे।

बिंदु A के पास का कोणीय गति L ^ AT द्वारा निरूपित किया जाता है और समीकरण 12 द्वारा निर्धारित किया जाता है:

$$ $$L ^ {AT} = {\ sum _ {i} {} {\ vec r ^ {Ai} \ टाइम्स p ^ i}} = {\ sum _ {i} {\ vec r ^ {Ai} \ टाइम्स m ^ iv ^ i}}$$

समीकरण 12

समीकरण 12 शरीर के सभी बिंदुओं के सभी कोणीय गति का योग है, बिंदु ए के सापेक्ष मापा जाता है। दाईं ओर, मैंने द्रव्यमान और गति (mv) के उत्पाद के रूप में p ^ i का प्रतिनिधित्व करने के लिए रैखिक गति की परिभाषा का उपयोग किया। यह मेरे लिए भविष्य में उपयोगी होगा ताकि समीकरण 12 से अधिक स्पष्ट वर्णों के साथ कुछ किया जा सके। समीकरण कहता है कि हमारी वस्तु के लिए कुल कोणीय गति को खोजने के लिए, इसके सभी बिंदुओं के कोणीय गति का योग करना आवश्यक है। चेहरे (और अलग-अलग बिंदुओं से नहीं) से मिलकर एक ठोस शरीर के लिए, एक गैर-असतत राशि के लिए, अभिन्न की गणना करना आवश्यक है।

सौभाग्य से, हम कुल गति समीकरण को सरल बनाने के लिए द्रव्यमान के केंद्र को पेश करने के तरीके के समान, "जड़ता का क्षण" नामक एक नई मात्रा को पेश करके हमारी गणना को सरल बना सकते हैं। याद रखें कि, समीकरण 7 के लिए धन्यवाद, हम कोणीय वेग के माध्यम से एक बिंदु की गति पा सकते हैं। मान लें कि समीकरण 12 में समीकरण 7 से रोटेशन का केंद्र है, और समीकरण 12 में योगांक I समीकरण 7 से बिंदु बी है, तो समीकरण 7 को समीकरण 12 में परिवर्तित करना संभव है। हमें प्राप्त होता है:

$$ $$L^{AT} = \sum _{ i} {\vec r ^{Ai} \times m^i ω \vec r^{Ai}} = ω {\sum _{ i} {m^i \vec r^{Ai} \times \vec r ^{Ai}}} = ω \sum_{ i} {m^i (\vec r ^{Ai})^2} = ωI^A$$

समीकरण 13 मैं

समीकरण 13 को और अधिक विस्तार से लिखूंगा, चरण दर चरण। सबसे पहले, हम समीकरण 13 में राशि प्राप्त करने के लिए समीकरण 7 को 12 से बदलते हैं। यह प्रतिस्थापन हमें कोणीय गति का उपयोग करते हुए कोणीय गति का वर्णन करने की अनुमति देता है। अगला, हम योग के लिए ω लेते हैं, क्योंकि यह ठोस के सभी बिंदुओं के लिए समान है (कोणीय वेग पूरे शरीर के लिए निर्धारित किया जाता है, और प्रत्येक बिंदु के लिए अलग से नहीं), और नीचे दिए गए सूचकांक के साथ द्रव्यमान को बाईं ओर लिखें, ताकि स्पष्ट रूप से स्केलर उत्पाद त्रिज्या देखें। -वेक्टर अपने लिए। यह स्केलर उत्पाद त्रिज्या वेक्टर की लंबाई के वर्ग के बराबर है (किसी भी वेक्टर का स्केलर उत्पाद = इसकी लंबाई का वर्ग। याद रखें कि लंबवत ऑपरेटर वेक्टर की लंबाई को नहीं बदलता है।)। अंत में, हम I ^ A लिखते हैं ताकि बिंदु A के चारों ओर जड़ता के क्षण को दर्शाया जा सके।

दो-आयामी ठोस के लिए जड़ता का क्षण एक बहुत अच्छी संख्या है, क्योंकि शरीर को बनाने वाले बिंदु अपने द्रव्यमान को बदल नहीं सकते हैं या रोटेशन के केंद्र से दूर जा सकते हैं। इन दो गुणों के परिणामस्वरूप, समीकरण 13 का योग प्रत्येक शरीर के लिए एक स्थिर है, इसलिए हम इसकी गणना कर सकते हैं। रूसी में बोलते हुए, I ^ A बिंदु की राशि है जो बिंदु A से शरीर के अन्य सभी बिंदुओं तक चुकता है, और ऐसी प्रत्येक दूरी को प्रत्येक बिंदु के द्रव्यमान के अनुसार बढ़ाया जाता है। जैसे द्रव्यमान के केंद्र के लिए - यदि शरीर असतत बिंदुओं की रचना से अधिक ठोस है, तो रकम अभिन्न में बदल जाएगी। और जड़ता का क्षण परिमाण में समान रहेगा और इसका भौतिक अर्थ समान होगा।

एक बिंदु के पास जड़ता के क्षण का निर्धारण करना क्रिया है, लेकिन I ^ A को मापें कि बिंदु A के चारों ओर शरीर को मोड़ना कितना कठिन है। उदाहरण के लिए, एक पेंसिल (फ्लैट पेंसिल) की कल्पना करें। यदि हम पेंसिल के केंद्र के पास जड़ता के क्षण को मापते हैं, तो हमें प्रत्येक बिंदु के द्रव्यमान के अनुसार दूरी के वर्गों के योग के बराबर एक निश्चित मूल्य मिलता है। जबकि यदि हम उसी पेंसिल की नोक पर जड़ता को मापते हैं, तो हमें एक बड़ा मूल्य मिलता है, क्योंकि आगे द्रव्यमान वाले बिंदु हटा दिए जाते हैं, उनकी दूरी के वर्गों का मूल्य जितना अधिक होगा। यहां हम गणितीय रूप से तैयार करेंगे जो हमारे लिए सहज है: इसके केंद्र के चारों ओर एक पेंसिल को घुमाना बहुत आसान है (इसे कम प्रयास लगता है) इसे एक छोर के चारों ओर घुमाने से ज्यादा आसान है।

अंत में, हम गतिकी के कोणीय समीकरण और कीनेमेटीक्स के कोणीय समीकरणों के बीच एक संबंध बनाने के लिए तैयार हैं। यदि हम समीकरण 13 को अलग करते हैं, तो हमें बाईं ओर बल का कुल क्षण मिलता है, और दाईं ओर जड़ता और कोणीय त्वरण के क्षण का उत्पाद (I ^ A एक स्थिर है, हम इसे विभेदन के संकेत के बाहर रखते हैं):

$$τAT=dLATdt=d(IAω)dt=IAω=IAα $$τ^{AT} = {dL^{AT} \over dt} = {d( I^A ω) \over dt} = I^A ω = I^A α$$

समीकरण 14

यह समीकरण समीकरण 5 के कोणीय बराबर है; वास्तव में, यह कोणीय गतिशीलता के लिए F = ma है। यह बल के कुल पल के कनेक्शन और जड़ता के स्केलर पल के माध्यम से शरीर के कोणीय त्वरण का समीकरण है। अगर हम अपने शरीर पर बल के क्षण को जानते हैं, तो हम इसके कोणीय त्वरण को पा सकते हैं, और फिर एकीकरण के माध्यम से अंतरिक्ष में कोणीय वेग और अभिविन्यास - जड़ता के क्षण तक बल के क्षण को विभाजित करना।

गतिशीलता एल्गोरिथ्म

वह शायद ही हमें समीकरणों के इस बवंडर के माध्यम से देखता है, लेकिन वे सभी इसके अभिन्न अंग हैं। हमने दो वस्तुओं की दुनिया की शानदार गतिशीलता को मनमाने ढंग से दिए गए बलों और उनकी वस्तुओं को घूमने और घूमने के क्षणों के साथ प्राप्त करने के लिए पर्याप्त समीकरण प्राप्त किए हैं। इन समीकरणों का उपयोग कैसे करें? नीचे मूल एल्गोरिथ्म है:

1. द्रव्यमान के केंद्र का मान और द्रव्यमान के केंद्र में जड़ता का क्षण खोजें।
2. शरीर के प्रारंभिक निर्देशांक, अंतरिक्ष में इसके अभिविन्यास, इसके रैखिक और कोणीय वेगों को निर्धारित करें।
3. शरीर पर काम करने वाली सभी ताकतों और उनके आवेदन के बिंदुओं को ध्यान में रखें।
4. सभी बलों के परिणामी का पता लगाएं और इसे द्रव्यमान के केंद्र के रैखिक त्वरण (समीकरण 5) को खोजने के लिए शरीर के द्रव्यमान से विभाजित करें।
5. , , , ( 11).
6. ( 14).
7. , , ( ).
8. , 3.

ऊपर दिए गए एल्गोरिदम में, केवल दो चरण हैं जिन्हें मैंने नहीं समझाया है। सबसे पहले, एक ठोस वस्तु के लिए चरण 1 में जड़ता के क्षण की गणना कैसे करें? दूसरे, चरण 3 से बलों के साथ समस्या को कैसे हल किया जाए? पहले प्रश्न का उत्तर एक सरल कोड उदाहरण में पाया जा सकता है, जिसे मैं इस लेख के अंत में आवेदन में छोड़ दूंगा (आप अपने क्षेत्र द्वारा वस्तु को एकीकृत करेंगे)। डायनेमिक्स पर कई पुस्तकों में बहुत अंत में वस्तुओं के अक्सर सामना किए गए रूपों के लिए जड़ता की गणना की गई क्षण होते हैं, इसलिए आपको उन्हें हर बार खुद को प्रदर्शित करने की आवश्यकता नहीं होती है।

चरण 3 से बलों की गणना करने के तरीके के सवाल का जवाब आवेदन पर निर्भर करता है, लेकिन मैं कुछ सामान्य सिफारिशें दूंगा। सबसे पहले, गुरुत्वाकर्षण जैसे बल, हमेशा एक दिशा (नीचे, गुरुत्वाकर्षण के मामले में) में निर्देशित होते हैं, बल का एक क्षण नहीं बनाते हैं, क्योंकि वे एक ही समय में एक ही दिशा में सभी बिंदुओं को खींचते हैं, हालांकि हम हम इन बलों को सीधे द्रव्यमान के केंद्र में लागू करते हैं। लोचदार बल के समान बल को वस्तु के एक निश्चित बिंदु पर लागू किया जाता है, वे बल का एक क्षण बनाएंगे, इसलिए हम उन्हें सामान्य मामले में मानते हैं। जैसा कि हमने पहले लेख में देखा, घर्षण बल शरीर की गति के विपरीत दिशा में निर्देशित समान बल है।

आप घर्षण के बल को प्रदर्शित करते हुए एक साधारण शारीरिक मॉडल बना सकते हैं, और बस द्रव्यमान के केंद्र पर बल लागू कर सकते हैं, या आप यह चुन सकते हैं कि ऑब्जेक्ट के कौन से हिस्से घर्षण बल को लागू करेंगे, और ऐसा करें, जो ऑब्जेक्ट पर बल अभिनय का एक पल बना सकता है। टकरावों में जिन बलों का अनुभव होता है वे थोड़े अधिक कठिन होते हैं, और हम उन्हें अगले लेख में जानेंगे। रॉकेट इंजन के जोर की तरह बल को एक बिंदु के साथ बलों के रूप में माना जाना चाहिए (इस मामले में, यदि इंजन में से एक विफल हो जाता है, तो आप इसकी धुरी के चारों ओर घूमना शुरू कर देंगे जब तक कि आप बल के क्षण को संतुलित करने के लिए स्टीयरिंग व्हील को समायोजित नहीं करते!)। यदि आप एक यूएफओ से गुरुत्वाकर्षण किरणों के समान कुछ चाहते हैं, तो इस बल की गणना गुरुत्वाकर्षण बल के रूप में की जानी चाहिए और बल का एक क्षण पैदा नहीं करना चाहिए, या इसे वस्तु पर एक विशिष्ट बिंदु पर लागू किया जाना चाहिए,और क्या यह ऊपर उठते हुए इस बिंदु पर घूमेगा? चुनाव आपका है। मुख्य बिंदु अलग-अलग तरीकों से गणना किए गए विभिन्न बलों के साथ प्रयोग करने से डरना नहीं है, क्योंकि अब आपके पास दो-आयामी ग्राफिक्स का एक वास्तविक सिम्युलेटर है, विभिन्न प्रकार के बलों का प्रयास करें!

मैंने अपनी वेबसाइट पर अपनी ज़रूरत के सभी कोड और लिंक छोड़ दिए हैं क्योंकि अब और जगह नहीं बची है। अपने सरल आवेदन में, मैंने एक दो-आयामी दुनिया की गतिशीलता के एल्गोरिदम को लागू किया, और एक वसंत द्वारा उपवास की गई वस्तुओं को भी जोड़ा; वे अपनी धुरी पर घूमते हैं, और कभी-कभी दीवारों, स्पिन से भी टकराते हैं। लेकिन मैं इस बारे में दूसरी बार बात करूंगा। अधिक साहित्य के लिए लिंक का पालन करें और विंडोज 32 और मैकिंटोश के लिए एक सरल अनुप्रयोग।

बहुत कम ही, क्रिस हेकर जड़ता के क्षण के प्रभाव का अनुभव करते हैं, लेकिन आमतौर पर यह काफी जल्दी से गुजरता है। बलों को checker@bix.com पर आवेदन किया जा सकता है।

अनुवादक के नोट्स: एक वाक्य यहाँ प्रस्तुत किया गया है, लेख और उसकी सामग्री के विषय को बजाया जाता है।

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PPS अनुवाद के लेखक ने अनुवाद को संपादित करने के लिए berez और Vasily Tereshkov के उपयोगकर्ताओं के लिए विशेष धन्यवाद व्यक्त किया है । धन्यवाद!