एक गणित युगल ने न्यूनतम सतहों के एक अंतहीन क्षेत्र का मानचित्रण किया

30 साल पहले के एक अल्पज्ञात गणितीय सिद्धांत के आधार पर गणितज्ञों के एक जोड़े ने प्रदर्शित किया कि साबुन की फिल्म से मिलती-जुलती न्यूनतम सतह बड़ी संख्या में आकृतियों में दिखाई देती हैं।

2011 के अंत में, ब्रायन व्हाइट ने कभी-कभी अपने स्टैनफोर्ड कार्यालय के दरवाजे पर दस्तक दी। बाहर, इन क्षणों में, दो युवा गणितज्ञ उसके लिए इंतजार कर रहे थे, फर्नांडो कोडा मार्केज़ और आंद्रे नेविस , जिनके बारे में हमेशा एक ही सवाल था: क्या व्हाइट के पास कुछ मिनटों के लिए एक छोटे से ज्ञात शोध प्रबंध के अस्पष्ट भागों में से एक का पता लगाने में मदद करने के लिए कुछ मिनट होंगे। तीस साल पहले लिखे गए पृष्ठ?

जॉन पिट्स द्वारा लिखित शोध प्रबंध में न्यूनतम सतहों के निर्माण के लिए एक शक्तिशाली तंत्र प्रस्तुत किया गया था - साबुन फिल्म और बुलबुले के समान संरचनाएं - आकार की एक विस्तृत श्रृंखला के भीतर। जब किसी आकृति पर एक न्यूनतम सतह का निर्माण किया जा सकता है, तो उत्तरार्द्ध इसके आसपास के स्थान की ज्यामिति का अध्ययन करना संभव बनाता है। इस तरह की सतहें ब्लैक होल के अध्ययन से लेकर बायोमोलेक्यूलस के विकास तक विभिन्न वैज्ञानिक समस्याओं में दिखाई देती हैं।

और फिर भी, इन सभी वर्षों में, पिट्स का शोध प्रबंध विद्वानों के ध्यान के दायरे से बाहर हो गया है - शायद इसलिए क्योंकि इसे पढ़ना अविश्वसनीय रूप से कठिन था। मार्केज़ और नेविस को यकीन था कि इसमें काफी संभावनाएँ हैं। "यह हमारे लिए स्पष्ट था कि यह सिद्धांत पूरी तरह से कम करके आंका गया था," नेविस ने कहा, जो अब शिकागो विश्वविद्यालय में प्रोफेसर हैं।

हालांकि व्हाइट ने कभी भी युगल से नहीं पूछा कि वे पिट्स के काम में क्यों रुचि रखते हैं, उन्होंने हर बार कहा कि उनकी रुचि "विशुद्ध रूप से अकादमिक" है, नेविस ने कहा। हालांकि, उनके पास एक निश्चित लक्ष्य था - 50 साल पहले विल्मोर की परिकल्पना को साबित करने के लिए, जो सबसे अच्छा संभव डोनट आकार (बाद में विवरण) खोजने के मुद्दे को संबोधित करता है। पिट्स के शोध प्रबंध से विचारों के साथ संघर्ष करने के तीन महीनों के बाद, मार्केज़ और नेविस ने अपने लक्ष्य को हासिल किया , कई पुरस्कार और सकारात्मक समीक्षा अर्जित की।

लेकिन पिछले कुछ वर्षों में, वे पिट्स के विचारों को बहुत आगे बढ़ाने में सफल रहे हैं। पिट्स, अपने क्यूरेटर, फ्रेडरिक अल्मग्रेन के साथ, यह सुनिश्चित करने का एक तरीका मिला कि कम संख्या में प्रत्येक आकृति में कम से कम एक न्यूनतम सतह हो। अब, मार्केज़ और नेविस, अल्मग्रेन और पिट्स के विचारों के आधार पर, उनके आस-पास इकट्ठे हुए युवा गणितज्ञों के सहवास का उपयोग करते हुए, यह दर्शाया है कि सामान्य स्थिति में इन रूपों में कई न्यूनतम सतह होनी चाहिए - असीम रूप से कई सतहों और सभी आंकड़ों के कोने में भीड़। "यह एक बड़ी सफलता है," टेक्सास विश्वविद्यालय के प्रसिद्ध जियोमीटर करेन उहलेनबेक ने हमें एक ईमेल में लिखा है।

"यह एक न्यूनतम सतह बनाने के लिए बहुत प्रयास करता है," कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, इरविन के रिचर्ड शॉइन ने कहा, जिन्होंने लगभग 15 साल पहले नेविस को सलाह दी थी। "तथ्य यह है कि उनमें से बहुत सारे अद्भुत हैं।"

अल्मग्रेन और पिट्स के सिद्धांत के इस पुनर्जागरण से पिछले कुछ वर्षों में गतिविधि का विस्फोट हुआ है। व्हाइट ने कहा, "परिणाम बहुत तेज़ और इतनी बड़ी संख्या में हैं कि उन पर नज़र रखना मुश्किल है।" "यह मुझे बहुत दिलचस्प और अद्भुत लगता है।"

पर्वत श्रृंखला का अंकन

घुमावदार तार को साबुन के घोल में डुबोएं, या साबुन के बुलबुले को उड़ाएं, और तरल जल्दी से सबसे छोटे संभव क्षेत्र की सतह का निर्माण करेगा। इन न्यूनतम सतहों की ज्यामिति ने सैकड़ों वर्षों तक गणितज्ञों पर कब्जा कर लिया है। वे वास्तुकला से विभिन्न क्षेत्रों में दिखाई देते हैं, जहां न्यूनतम सतह छत और अन्य संरचनाओं के डिजाइन को प्रेरित करती है, दवा वितरण के लिए माइक्रोपार्टिकल्स के निर्माण के लिए। पांच साल पहले, जब वैज्ञानिकों की एक टीम ने झरझरा अणुओं का निर्माण किया जो ड्रग्स या हार्मोन को अपने अंदर ले जाने में सक्षम थे, तो उन्होंने पाया कि कुछ अणुओं ने एक गायरॉइड का रूप ले लिया, एक अंतहीन दोहराई जाने वाली सतह, जिसके कुछ हिस्से एक साबुन फिल्म से मिलते जुलते हैं।

तकनीकी रूप से, गणितज्ञ एक तार पर केवल साबुन की फिल्मों को एक न्यूनतम सतह के साथ सतहों के रूप में मानते हैं, लेकिन साबुन के बुलबुले नहीं, क्योंकि एक अमूर्त अंतरिक्ष में जहां कोई हवा के अणु नहीं होते हैं, बुलबुला एक बिंदु पर ख़राब हो जाएगा। हालांकि, तार पर फिल्म गणितज्ञों को पूरी तरह से संतुष्ट नहीं करती है। इसका आंतरिक भाग एक चिकनी सतह है, लेकिन इसके तार तेजी से टूट जाते हैं। यह सोचना तर्कसंगत है कि क्या इस सतह को तार की सीमाओं से परे विस्तारित करना संभव है ताकि यह प्रत्येक व्यक्तिगत क्षेत्र में एक साबुन फिल्म की तरह दिखती रहे। कभी-कभी यह संभव है, और सतह अनंत तक फैलती है। कभी-कभी सतह वापस आ जाती है और अजीब तरह से अपने आप को काटती है, या अन्य कठिनाइयों को पूरा करती है।


जाइरोइड - एक प्रकार की न्यूनतम सतह जो दवा वितरण के लिए माइक्रोपार्टिकल्स के डिजाइन के दौरान हुई

साधारण स्थान में, यह सभी संभावनाओं को समाप्त कर देता है। लेकिन गणितज्ञ और अन्य वैज्ञानिक अक्सर अन्य दुनियाओं पर विचार करते हैं जो हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले अनंत त्रि-आयामी अंतरिक्ष से भिन्न होते हैं - घुमावदार या परिमित, जैसे किसी क्षेत्र की तीन आयामी उपमाएँ या एक टोरस की सतह। इस तरह के आंकड़ों में नई दिलचस्प संभावनाएं हैं: न्यूनतम सतहें जो खुद पर झुकती हैं और एक बंद अंतिम आंकड़े में बंद हो जाती हैं जिन्हें तार समर्थन की आवश्यकता नहीं होती है।

सापेक्षता के सिद्धांत में, ये परिमित न्यूनतम सतहें ब्लैक होल के घटना क्षितिज की भूमिका निभाती हैं। और अगर वे किसी भी आंकड़े पर पाए जा सकते हैं, तो यह गणितज्ञों को विभिन्न पक्षों से उनकी ज्यामिति पर विचार करने में मदद करता है: वे आंकड़ा (या कई गुना ) को संभावित सरल टुकड़ों में काटने के लिए एक टेम्पलेट देते हैं, वे कई गुना के भीतर सकारात्मक वक्रता वाले क्षेत्रों को इंगित करते हैं। बाहर की ओर झुकाव के विपरीत, एक गोले या एक ब्लैक होल की तरह अंदर की ओर घुमावदार।

"हम सकारात्मक वक्रता के साथ कई गुना जानते हैं," शोईन ने कहा।

हालांकि, एक आकृति के भीतर एक न्यूनतम सतह के अस्तित्व को साबित करना अक्सर मुश्किल होता है। यह समझने के लिए कि ऐसा क्यों है, इस समस्या के दो-आयामी संस्करण पर विचार करें। न्यूनतम सतह खोजने का प्रश्न किसी भी आयाम में समझ में आता है: गणितज्ञ केवल सतह को एक ऐसा रूप मानते हैं जिसका आयाम उस स्थान से कम होता है जिसमें वह रहता है। तो एक दो आयामी दुनिया में, "जियोडेसिक" घटता है जो पास के बिंदुओं को जोड़ने वाले सबसे छोटे रास्तों से बना होता है, जो न्यूनतम सतह होगी।

कुछ दो आयामी आंकड़ों के लिए, आसानी से जियोडेसिक घटता को एक परिमित लूप में बंद कर दिया जाता है। एक टोरस की सतह को लें - यहां तक ​​कि जरूरी भी नहीं और सममित भी; इसे अनियमितता और उभार दें। यदि हम इस तरह के डोनट को उसके केंद्र से गुजरने वाले एक लोचदार बैंड के साथ लपेटते हैं, तो हम कल्पना कर सकते हैं कि हम इसे कैसे कसते हैं और इसे विभिन्न संभावित स्थानों पर स्थानांतरित करते हैं। उनमें से एक सबसे छोटा होगा - यह परिभाषा के अनुसार एक जियोडेसिक वक्र होगा।



लेकिन अगर गोला हमारा आंकड़ा है, तो यह दृष्टिकोण अब काम नहीं करेगा। एक बिल्कुल सपाट क्षेत्र पर, एक जियोडेसिक वक्र खोजना आसान है - यह भूमध्य रेखा और अन्य पूर्ण मंडल होंगे। लेकिन एक असमान क्षेत्र पर, उदाहरण के लिए, पृथ्वी की सतह पर, यह स्पष्ट नहीं है कि जियोडेसिक वक्र कहां जाते हैं और क्या उनमें से कोई भी लूप में बंद है। आप कल्पना कर सकते हैं कि कैसे हम पृथ्वी को एक लोचदार बैंड के साथ लपेटते हैं, जैसे कि डोनट के मामले में। लेकिन अगर आप इसे हिलाना शुरू करते हैं, तो इसे छोटा करने की कोशिश करते हुए, यह एक बिंदु तक सिकुड़ जाएगा, क्योंकि डोनट के विपरीत, गोले में लोचदार के लिए एक छेद नहीं होता है।

हालांकि, एक लोचदार बैंड के साथ यह उपद्रव सफलता के रोगाणु के साथ भरा हुआ है। यदि एक गोल क्षेत्र के भूमध्य रेखा को एक लोचदार बैंड द्वारा इंटरसेप्ट किया जाता है, तो इसे शिफ्ट करने का एकमात्र तरीका है - इसमें तरंगों को जोड़ना - इसे लंबा बना देगा। यदि आप इसे अलग ढंग से ऊपर, नीचे या एक नए अक्षांश पर ले जाते हैं, तो यह छोटा हो जाएगा। इसलिए, भूमध्य रेखा एक बिंदु से सबसे छोटा वक्र होगा, और दूसरे से सबसे लंबा होगा।

यह पहाड़ के पास की काठी से संबंधित भूमध्य रेखा बनाता है, एक तरफ का उच्चतम बिंदु (पहाड़ों के माध्यम से पथ से) और दूसरे पर सबसे कम (पथ से पास की चोटियों तक)। और यह सिर्फ एक कमजोर सादृश्य नहीं है: एक नियम के रूप में, कम से कम सतह ऐसे काठी बनते हैं, लेकिन उनकी पर्वत श्रृंखला एक ऐसी दुनिया में रहती है जो कल्पना करना बहुत कठिन है।



किसी आकृति की न्यूनतम सतह को निर्धारित करते हुए, हम इस आकृति के भीतर मौजूद सभी संभव परिमित सतहों से मिलकर एक नई दुनिया पर विचार कर सकते हैं - हम इसे "सतहों की सतह" कहेंगे। सतह स्थान का प्रत्येक बिंदु पूरी तरह से मूल आकृति पर पूरी सतह से मेल खाता है। फिर हम प्रत्येक सतह के क्षेत्र को सतहों के स्थान में संबंधित बिंदु की ऊंचाई के रूप में मान सकते हैं, जिसके परिणामस्वरूप हमारी दुनिया में एक प्राकृतिक स्थलाकृति होगी। मूल आकृति पर न्यूनतम सतहों की खोज सतह की जगह में खटमल की खोज बन जाती है।

1917 में, जॉर्ज डेविड बिरखॉफ ने इस दृष्टिकोण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया कि किसी भी क्षेत्र, ऊबड़ या चिकनी, में एक बंद भूगर्भिक वक्र होना चाहिए। लगभग छह दशक बाद, अल्मग्रेन और पिट्स ने तीन से सात तक के आयामों में सभी परिमित आंकड़ों पर सतहों की सतह की स्थलाकृति को चिह्नित करके बिरखॉफ के विचारों का विस्तार किया और फिर इस स्थलाकृति का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि ऐसे आंकड़े हमेशा कम से कम एक न्यूनतम सतह होते हैं। इस मिनमैक्स सिद्धांत पर 1981 से पिट्स का शोध प्रबंध है - इसलिए नाम दिया गया है क्योंकि काठी न्यूनतम और अधिकतम दोनों है - "बिल्कुल आश्चर्यजनक था," नेविस ने कहा।

हालांकि, यह बेहद जटिल था। कुछ लोगों ने सिद्धांत की बारीकियों को समझा, और कुछ गणितज्ञ जिन्होंने इसका अध्ययन किया, उन्होंने दावा किया कि इसकी पूरी तरह से पुष्टि नहीं हुई है, शोईन ने कहा। "मुझे नहीं लगता कि इसमें कोई संदेह था कि यह बेहद दिलचस्प और महत्वपूर्ण था," उन्होंने कहा। "लेकिन यह स्पष्ट नहीं था कि यह कितना पूर्ण था।"

मिनमैक्स सिद्धांत पर काम धीरे-धीरे शून्य हो गया। नेविस ने कहा, "पिट्स के काम को गणितीय समुदाय ने लगभग 30 वर्षों तक भुला दिया है।" प्रिंसटन विश्वविद्यालय के गणितीय भवन के लिफ्ट में 2006 में नेविस और मार्केज़ से मिलने तक वह पुनर्जीवित नहीं हुई थी।

पहाड़ के पार

उस समय, मार्केज़ एक व्याख्यान देने के लिए प्रिंसटन पहुंचे; डॉक्टरेट की रक्षा के तुरंत बाद नेविस को वहां नौकरी मिल गई। दोनों के पास अपनी मूल भाषा के रूप में पुर्तगाली था (मार्केज़ ब्राजील से था और नेविस पुर्तगाल से था), और उन्हें आसानी से एक आम भाषा मिली। "तब मैंने उनसे पहली बार बात की थी, लेकिन उन्होंने मेरे साथ बात की जैसे कि हम 10 साल से दोस्त थे," प्रिंसटन, जो अब प्रिंसटन में एक प्रोफेसर हैं, याद करते हैं।

तब उन्होंने पाया कि गणितीय विचारों पर चर्चा करना उनके लिए स्वाभाविक था। उनकी अलग शैली है: मार्केज़ अधिक शांत है, और नेविस अधिक तीव्र है। लेकिन यह उनके लिए प्लस के रूप में कार्य करता है। "यह बहुत दुर्लभ है कि कोई व्यक्ति जो आपको इतनी अच्छी तरह से पूरक करता है," मार्केज़ ने कहा।

दोनों कुछ जटिल गणितीय समस्या को खोजने के लिए उत्सुक थे जिन्हें अंदर डुबोया जा सकता था। कई वर्षों के लिए, युगल ने हर बार अपने रास्ते पार किए विचारों को फेंक दिया "देखें कि क्या देरी हुई थी," नेविस ने कहा। "हमारे पास एक लाख विचार थे, और परिणामस्वरूप, उनमें से एक को फ़िल्टर्ड किया गया और गठित कुछ में बदल गया।"

फ़िल्टर आउट समस्या "विल्मोर परिकल्पना" की प्रसिद्ध समस्या बन गई। वह एक टॉरस आकार खोजने का सुझाव देती है जो विलमोर ऊर्जा के रूप में ज्ञात परिमाण को कम करता है, जो मोटे तौर पर बोलता है, एक दिए गए आकार और एक गोलाकार क्षेत्र के बीच अंतर को मापता है। 1965 में, विल्मोर ने सुझाव दिया कि यह एक विशेष रूप से सममित आकार का सबसे गोल डोनट होगा, जिसे क्लिफोर्ड की टोरस के रूप में जाना जाता है, हालांकि, कई प्रयासों के बावजूद, परिकल्पना किसी के लिए साबित नहीं हो पाई।


मार्केज़ (बाएं) और नेविस

मार्केज़ और नेविस ने एक आशाजनक दृष्टिकोण विकसित किया, लेकिन इसके लिए काम करने के लिए, उन्हें अंतिम घटक की आवश्यकता थी: न्यूनतम सिद्धांत। उन्होंने सोचा कि इस सिद्धांत में महारत हासिल करने और अंतिम काम लिखने में दो से तीन सप्ताह लगेंगे - जब तक कि वे पिट्स की किताब नहीं खोलते। "हम हैरान थे - यह सब क्या है? - नेविस ने कहा। "पुस्तक अविश्वसनीय रूप से सूखी थी।"

अलग प्रमेय कई पन्नों में बड़े हुए - और यह केवल प्रमेयों का विवरण था, न कि उनका प्रमाण। मुख्य प्रमेय बस खोजने के लिए कठिन था। "मुझे याद है कि फर्नांडो मेरे कार्यालय में कैसे आया और कहा: मुझे प्रमेय का विवरण मिला!" - नेविस ने कहा।


थोर क्लिफोर्ड

जब वे फंस गए, तो उन्होंने पोकर बनाया और व्हाइट से मदद मांगी, कुछ ऐसे लोगों में से एक जिन्होंने पिट्स के अधिकांश काम को समझा (हालाँकि व्हाइट ने खुद इन वार्तालापों को "अंधा, अग्रणी अंधा" बताया; पिट्स खुद, टेक्सास के ए एंड एम विश्वविद्यालय में एक प्रोफेसर हैं, स्नातक हैं। कुछ दशक पहले माइनमैक्स के सिद्धांत पर काम लिखते हैं)। "हम अविश्वसनीय रूप से प्रेरित थे, और इसलिए हम तोड़ने में सक्षम थे," नेविस याद करते हैं। "लेकिन वह दिल के बेहोश होने का काम नहीं था।"

जब तक मार्क्वेज़ और नेविस ने विल्मोर की परिकल्पना के अपने प्रमाण को समाप्त किया, तब तक वे किसी अन्य गणितज्ञ की तुलना में मिनमैक्स सिद्धांत को बेहतर समझते थे। वे आश्वस्त थे कि इसकी क्षमता परिकल्पना के बहुत बयान की तुलना में बहुत अधिक है। "हमें पता था कि हमारे पास एक बहुत शक्तिशाली सिद्धांत था," नेविस ने कहा। - हर बार, एक निश्चित परिणाम को साबित करने के लिए विधि का उपयोग करना जो लंबे समय तक खुला रहता है, आप समझते हैं कि इसमें कुछ है। इससे पता चलता है कि आगे खुदाई जारी रखने के लायक है। ”

अल्मग्रेन और पिट्स का मिनमैक्स आरेख न केवल एक काठी बनाता है, बल्कि उनमें से एक अनंत संख्या है। सिद्धांत रूप में, यह मूल आकार की न्यूनतम सतहों की अनंत संख्या के अनुरूप होना चाहिए। लेकिन अल्मग्रेन और पिट्स यह नहीं दिखा सके कि इस तरह से प्राप्त न्यूनतम सतह अलग थीं। इसलिए, निश्चित रूप से कहा जा सकता है कि प्रत्येक आकृति में कम से कम एक न्यूनतम सतह थी।

उसके बाद, "विषय का विकास व्यावहारिक रूप से बंद हो गया है," नेविस ने कहा। "यह 30 से अधिक वर्षों की अवधि के लिए सबसे अच्छा परिणाम था।"

एक नए घटक की आवश्यकता थी, और मार्केज़ और नेविस ने इसे पाया। मिनमैक्स सतहों की अंतहीन सूची, जैसा कि उन्होंने 2016 में दिखाया था, ड्रम की आवृत्तियों के समान व्यवहार करता है।

1911 में गणितज्ञ जर्मन वेइल ने दिखाया कि ड्रम की मौलिक आवृत्तियों में एक अप्रत्याशित संपत्ति होती है: मोटे तौर पर, उच्च आवृत्तियां केवल ड्रम की मात्रा पर निर्भर करती हैं, और इसके आकार पर नहीं। मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के यूजीन लेकुमोविच के साथ मार्केज़ और नेविस ने दिखाया कि मिनमैक्स सरफेस ड्रम आवृत्तियों के कानून के समान गणितीय कानून को संतुष्ट करता है। विशेष रूप से, सतह के क्षेत्र मोटे तौर पर अंतरिक्ष की मात्रा से निर्धारित होते हैं जिसमें वे रहते हैं, और इसके आकार से नहीं।

इस परिणाम ने, जो कई दशकों पहले सामने आई परिकल्पना को समाप्त कर दिया, 2017 में मार्केज़ और नेविस को दिखाने की अनुमति दी - इस बार उन्हें टोक्यो विश्वविद्यालय से केए एयर द्वारा मदद की गई - कि अधिकांश आंकड़ों के लिए मिनमैक्स की सूची में विभिन्न न्यूनतम सतहों की एक अनंत संख्या है। इसके अलावा, उन्होंने दिखाया कि ये सतह "घने" हैं: वे आसपास के स्थान के प्रत्येक बिंदु के बगल में दिखाई देते हैं। इस निष्कर्ष का समर्थन करने वाली अंतर्ज्ञान यह है कि न्यूनतम सतहों के स्थान के क्षेत्रों को निर्धारित करने के लिए अंतरिक्ष की मात्रा के लिए, बाद में किसी तरह से पूरे वॉल्यूम को "देखना" होगा। और यह "कहता है कि ये लोग अपनी विविधता में हैं," मार्केज़ ने कहा।

कुछ महीनों बाद, इस जोड़े ने मार्केज़ के स्नातक छात्र एंटोनी सन के साथ मिलकर दिखाया कि यदि आप मिनमैक्स सतहों की सूची से गुजरते हैं, तो आप देखेंगे कि वे समान रूप से अंतरिक्ष को भरते हैं - जिसे गणितज्ञ "संतुलन" कहते हैं।

"जब मैंने सुना कि वे समान रूप से वितरित किए गए थे, तो मैं आश्चर्यचकित था," व्हाइट ने कहा। "ऐसा लगता था कि लोगों को मेरे जीवनकाल में इस तरह के परिणाम को साबित नहीं करना चाहिए था।"

पिछले कुछ वर्षों में, कई और गणितज्ञ इस सवाल से जुड़ गए हैं। उदाहरण के लिए, जनवरी में, सांता बारबरा में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय से शिन झोउ , जो मार्क्वेज़ और नेविस द्वारा पिछले काम पर आधारित था, ने साबित किया कि अधिकांश आंकड़ों के लिए अल्मग्रेन और पिट्स सूची पर सभी न्यूनतम सतह एक-दूसरे से भिन्न होती हैं, जो इस मुद्दे पर एक अच्छा बिंदु डालती हैं। "यह वास्तव में अच्छी तरह से इस विषय को बंद कर देता है, 80 के दशक में अल्मग्रेन और पिट्स के दिनों से खुला है," व्हाइट ने कहा।

परिणामों का यह परिवार तीन से सात तक के आयामों में लगभग हर आंकड़े को ध्यान में रखता है - सबसे सरल रूपों के अपवाद के साथ, चाहे वह कितना भी प्रभावशाली क्यों न हो। लेकिन पिछले जून में, सुन्न यह साबित करने में सक्षम था कि इन आयामों में प्रत्येक आकृति, जिसमें सबसे गोल वाले भी शामिल हैं, में असीम रूप से कई बंद न्यूनतम सतह हैं, जिसने एक और परिकल्पना की पुष्टि की है जो कई दशकों पुरानी है।

यह अभी भी स्पष्ट नहीं है कि घनत्व और समरूपता समान रूप से व्यवहार करेगी, साथ ही साथ माइनमैक्स सिद्धांत कॉम्पैक्ट मैनिफ़ेस्ट में या आठ या अधिक आयामों में कैसे काम नहीं करता है (हालांकि, नए काम ने यहां कुछ सफलता भी प्राप्त की है)। गणितज्ञों का अनुमान है कि हम जितनी जल्दी लग रहे थे उससे कई सवालों के जवाब देने में सक्षम होंगे।

"सब कुछ बहुत तेजी से विकसित हो रहा है," नेविस ने कहा। "हर हफ्ते मैं इस साइट को arxiv प्रीप्रिंट्स के साथ देखता हूं, और मैं वहां देखता हूं कि किसी और ने कुछ और कैसे तय किया।"

एक दृष्टिकोण से, ये रचनाएँ लगभग चार दशकों से एक अधूरी अवस्था में लटकी हुई कहानी के अंत - या अंत - को चिह्नित करती हैं। लेकिन यह भी एक नई शुरुआत है: गणितज्ञ अभी समझने लगे हैं कि न्यूनतम सतहों के बारे में ये नए विचार हमें उन स्थानों के बारे में बता सकते हैं जिनमें वे रहते हैं।

"मैं अच्छी तरह से मान सकता हूं कि इस ज्ञान को लागू करने के अन्य दिलचस्प तरीके जल्द ही दिखाई देंगे, लेकिन वास्तव में, मैं निश्चित रूप से नहीं कह सकता," शॉइन ने कहा। – , ».