इकाई को प्रमुख संख्याओं के लिए क्यों नहीं जिम्मेदार ठहराया जाता है, और जब इसे आम तौर पर संख्या माना जाता है

मेरे इंजीनियर दोस्त ने हाल ही में मुझे चौंका दिया। उन्होंने कहा कि वह निश्चित नहीं थे कि नंबर 1 प्रमुख है या नहीं। मुझे आश्चर्य हुआ क्योंकि गणितज्ञों में से कोई भी इकाई को सरल नहीं मानता है।

भ्रम एक प्रमुख संख्या को दी गई परिभाषा से शुरू होता है: यह एक सकारात्मक पूर्णांक है जो केवल 1 और स्वयं द्वारा विभाज्य है । संख्या 1 को 1 से विभाजित किया गया है, और यह स्वयं से विभाजित है। लेकिन अपने आप को और 1 को विभाजित करना यहां दो अलग-अलग कारक नहीं हैं। तो क्या यह एक प्रमुख संख्या है या नहीं? जब मैं एक अभाज्य संख्या की परिभाषा लिखता हूं, तो मैं इस अस्पष्टता को खत्म करने की कोशिश करता हूं: मैं सीधे दो अलग-अलग स्थितियों की आवश्यकता के बारे में बात कर रहा हूं, 1 से और खुद से विभाजित, या कि एक अभाज्य संख्या 1 से अधिक पूर्णांक होनी चाहिए। लेकिन ऐसा उपाय क्यों 1 को बाहर करें?

मेरी गणितीय शिक्षा ने मुझे सिखाया कि 1 को सरल नहीं माना जाने का एक अच्छा कारण अंकगणित का मूल सिद्धांत है। वह दावा करती है कि प्रत्येक नंबर को ठीक एक तरह से primes के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। यदि 1 सरल होता, तो हम इस विशिष्टता को खो देते। हम 2 को 1 × 2, या 1 × 1 × 2, या 1 ⁵⁹⁴⁸²⁷ × 2 के रूप में लिख सकते हैं। अभाज्य संख्याओं से 1 अपवाद इसे समाप्त करता है।

प्रारंभ में, मैंने एक लेख में अंकगणित के मूल प्रमेय को समझाने और इसे समाप्त करने की योजना बनाई। लेकिन वास्तव में, एकता के साथ समस्या को हल करने के लिए प्रमेय के बयान को बदलना इतना मुश्किल नहीं है। अंत में, मेरे मित्र के प्रश्न ने मेरी जिज्ञासा जगा दी: गणितज्ञों ने प्रधानमंत्री की इस परिभाषा को कैसे तय किया? विकिपीडिया पर एक त्वरित खोज से पता चला है कि इकाई को पहले एक प्रमुख संख्या माना जाता था, लेकिन अब ऐसा नहीं है। लेकिन क्रिस कैल्डवेल और योंग सुंग के एक लेख से थोड़ी और जटिल कहानी का पता चलता है। यह उनके लेख की शुरुआत से ही समझा जा सकता है: “पहला, चाहे कोई संख्या (विशेष रूप से एक इकाई) सरल हो, दृढ़ संकल्प की बात हो, यानी पसंद, संदर्भ और परंपरा का मामला हो, न कि प्रमाण का विषय हो। हालाँकि, परिभाषाएँ अनियमित रूप से उत्पन्न नहीं होती हैं; पसंद हमारे गणित के उपयोग से संबंधित है और विशेष रूप से इस मामले में, हमारी धारणा। "

Caldwell और Xiong शास्त्रीय ग्रीक गणितज्ञों के साथ शुरू होते हैं। उन्होंने 1 को एक संख्या के रूप में नहीं गिना, जैसे 2, 3, 4, और इसी तरह। 1 को एक संख्या माना जाता था, और संख्या में कई अंक होते थे। इस कारण से, 1 सरल नहीं हो सकता है - यह एक संख्या भी नहीं है। 9 वीं शताब्दी के एक अरब गणितज्ञ, अल-किंडी ने लिखा है कि यह संख्या नहीं है और इसलिए, यह भी विषम या विषम नहीं है। कई शताब्दियों के लिए, यह धारणा कि एक इकाई सभी नंबरों को संकलित करने के लिए बिल्डिंग ब्लॉक है, लेकिन संख्या ही नहीं, प्रबल हो गई है।

1585 में, फ्लेमिश गणितज्ञ साइमन स्ट्विन ने बताया कि दशमलव प्रणाली में 1 और किसी भी अन्य संख्या के बीच कोई अंतर नहीं है। सभी मामलों में, 1 किसी भी अन्य मात्रा की तरह व्यवहार करता है। हालांकि तुरंत नहीं, लेकिन इस अवलोकन ने अंततः गणितज्ञों को 1 को किसी अन्य संख्या के रूप में स्वीकार किया।

19 वीं शताब्दी के अंत तक, कुछ प्रमुख गणितज्ञों ने एक सरल और कुछ को नहीं माना। जहां तक ​​मैं बता सकता हूं, यह असहमति का कारण नहीं था; सबसे लोकप्रिय गणितीय प्रश्नों के लिए, अंतर महत्वपूर्ण नहीं था। कैलडवेल और जिओनग जी। एच। हार्डी को अंतिम प्रमुख गणितज्ञ के रूप में उद्धृत करते हैं, जो 1 को सरल मानते हैं (उन्होंने स्पष्ट रूप से 1908 और 1933 के बीच प्रकाशित द कोर्स ऑफ प्योर मैथमेटिक्स के पहले छह संस्करणों में एक प्रमुख के रूप में संकेत दिया और 1938 में परिभाषा बदल दी और 2 कम से कम सरल कहा जाता है)।

लेख में उल्लेख किया गया है, लेकिन विस्तार से समझ में नहीं आता है, गणित में बदलाव, जिसके कारण 1 को अपराधों की सूची से बाहर रखा गया था। विशेष रूप से, एक महत्वपूर्ण परिवर्तन पूर्णांक के सेट के बाहर के विकास का था जो पूर्णांक के रूप में व्यवहार करता है।

सबसे सरल उदाहरण में, हम पूछ सकते हैं कि क्या संख्या -2 प्रमुख है। प्रश्न निरर्थक लग सकता है, लेकिन यह हमें पूर्णांकों में एकता की अनूठी भूमिका को शब्दों में व्यक्त करने के लिए प्रेरित करता है। 1 का सबसे असामान्य पहलू यह है कि इसका व्युत्क्रम भी एक पूर्णांक है ( x का व्युत्क्रम वह संख्या है, जिसे x से गुणा करने पर , 1. देता है। 2 के लिए, 1/2 का व्युत्क्रम तर्कसंगत या वास्तविक संख्याओं के सेट में शामिल होता है, लेकिन नहीं पूर्णांक: 1/2 × 2 = 1)। नंबर 1 निकला इसका अपना उलटा नंबर। पूर्णांक के सेट में किसी अन्य धनात्मक पूर्णांक का विलोम मान नहीं होता है। एक व्युत्क्रम मान वाले एक संख्या को एक उलटा तत्व कहा जाता है। संख्या in1 पूर्णांक के सेट में एक प्रतिवर्ती तत्व भी है: फिर से, यह स्वयं के लिए एक उलटा तत्व है। हम प्रतिवर्ती तत्वों को सरल या यौगिक नहीं मानते हैं, क्योंकि आप उन्हें कुछ अन्य प्रतिवर्ती तत्वों द्वारा बिना अधिक परिवर्तन के गुणा कर सकते हैं। तब हम मान सकते हैं कि संख्या -2 2 से इतनी भिन्न नहीं है; गुणन के संदर्भ में। यदि 2 प्रधान है, तो must2 समान होना चाहिए।

मैंने पिछले पैराग्राफ में ध्यान से टाला कि दुर्भाग्यपूर्ण तथ्य के कारण एक साधारण की परिभाषा यह है कि ऐसी परिभाषा इन बड़े सेटों के लिए उपयुक्त नहीं है! यही है, यह थोड़ा अतार्किक है, और मैं दूसरा चुनूंगा। सकारात्मक पूर्णांकों के लिए, प्रत्येक अभाज्य p में दो गुण होते हैं:

यह दो पूर्णांकों के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, जिनमें से कोई भी प्रतिवर्ती तत्व नहीं है।

यदि उत्पाद m × n , p से विभाज्य है, तो m या n को p से विभाज्य होना चाहिए (उदाहरण के लिए, m = 10, n = 6, और p = 3.)

इन गुणों में से पहला यह है कि हम कैसे अपराधों को चिह्नित कर सकते हैं, लेकिन, दुर्भाग्य से, एक अकाट्य तत्व यहां प्राप्त होता है। दूसरी संपत्ति एक सरल तत्व है । प्राकृतिक संख्या के मामले में, निश्चित रूप से, एक ही संख्या दोनों गुणों को संतुष्ट करती है। लेकिन यह संख्या के हर दिलचस्प सेट पर लागू नहीं होता है।

एक उदाहरण के रूप में, फॉर्म की संख्याओं का एक + b√ - 5 या a + ib√5 पर विचार करें , जहाँ a और b पूर्णांक हैं और i .1 का वर्गमूल है। यदि आप संख्याओं को 1 + √ - 5 और 1-, - 5 से गुणा करते हैं, तो आपको 6. निश्चित रूप से मिलता है, यदि आप 2 और 3 को गुणा करते हैं, तो आपको 6 भी मिलते हैं, जो कि संख्या के इस सेट में b = 0 के साथ भी हैं । प्रत्येक संख्या 2, 3, 1 + the - 5, और 1 - cannot - 5 को संख्याओं के उत्पाद के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है जो प्रतिवर्ती तत्व नहीं हैं (यदि आप इसके लिए मेरा शब्द नहीं लेते हैं, तो सत्यापित करना बहुत मुश्किल नहीं है)। लेकिन उत्पाद (1 + √ - 5) (1 -) - 5) 2 से विभाज्य है, और 2 या तो 1 + 5 - 5 या 1 - 5 - 5 से विभाज्य नहीं है (फिर से, आप जांच कर सकते हैं कि क्या आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं )। इस प्रकार, 2 एक अप्रासंगिक तत्व है, लेकिन सरल नहीं है। संख्याओं के इस सेट में, 6 को दो अलग-अलग तरीकों से अप्रासंगिक तत्वों में विघटित किया जा सकता है।

उपरोक्त संख्या, जिसे गणितज्ञ Z [5-5] कह सकते हैं, इसमें दो प्रतिवर्ती तत्व शामिल हैं: 1 और mat1। लेकिन अनंत संख्या में प्रतिवर्ती तत्वों की संख्या के समान सेट हैं। चूंकि इस तरह के सेट अध्ययन की वस्तु बन गए हैं, इसलिए यह प्रतिवर्ती, अकाट्य और सरल तत्वों की परिभाषाओं के बीच स्पष्ट रूप से अंतर करने के लिए समझ में आता है। विशेष रूप से, यदि अनंत संख्या के प्रतिवर्ती तत्वों के साथ संख्याओं के सेट हैं, तो यह समझना मुश्किल हो जाता है कि हम संख्याओं के अनूठे कारक द्वारा क्या मतलब है, जब तक कि आप यह निर्दिष्ट नहीं करते कि उल्टे तत्व सरल नहीं हो सकते। यद्यपि मैं गणित का इतिहासकार नहीं हूं और संख्या सिद्धांत से नहीं निपटता हूं और इस प्रक्रिया के बारे में अधिक पढ़ना चाहूंगा, मुझे लगता है कि यह एक कारण है कि कैलडवेल और जिओनग प्राइम नंबर से 1 के बहिष्कार का कारण मानते हैं।

जैसा कि अक्सर होता है, मेरे प्रारंभिक स्वच्छ और संक्षिप्त प्रश्न इस सवाल का जवाब है कि सब कुछ क्यों व्यवस्थित है, आखिरकार समस्या का हिस्सा बन गया। एक प्रश्न पूछने और मुझे सादगी के जटिल इतिहास के बारे में अधिक जानने में मदद करने के लिए मेरे मित्र को धन्यवाद।