🐘 ✏️ 👨‍💻 तरंग विश्लेषण भाग १ 🛌🏼 💣 👭

परिचय

PyWavelets PyWavelets 1.0.3 लाइब्रेरी में लागू किए गए असतत तरंग परिवर्तन (DWT) पर विचार करें। PyWavelets MIT लाइसेंस के तहत जारी एक निशुल्क, ओपन सोर्स सॉफ्टवेयर है।

कंप्यूटर पर डेटा संसाधित करते समय, निरंतर तरंगिका परिवर्तन का एक विवेकाधीन संस्करण किया जा सकता है, जिसकी मूल बातें मेरे पिछले लेख में वर्णित हैं। हालांकि, एक मनमाना कदम anda और arbitb के साथ तरंगिकाओं के मापदंडों (अ, ख) के असतत मूल्यों को निर्दिष्ट करने के लिए बड़ी संख्या में गणनाओं की आवश्यकता होती है।

इसके अतिरिक्त, परिणाम गुणांक की एक अत्यधिक संख्या है, मूल सिग्नल के नमूनों की संख्या से अधिक है, जो इसके पुनर्निर्माण के लिए आवश्यक नहीं है।

PyWavelets लाइब्रेरी में लागू किया गया असतत वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म (DWT) सिग्नल विश्लेषण और इसके संश्लेषण के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान करता है, जबकि संचालन की संख्या और आवश्यक मेमोरी के मामले में किफायती है।

फूरियर ट्रांसफॉर्म के बजाय वेवलेट ट्रांसफॉर्म का उपयोग कब करें

फूरियर ट्रांसफॉर्मेशन स्थिर रहने पर फूरियर ट्रांसफॉर्म बहुत अच्छा काम करेगा। इस स्थिति में, सिग्नल में मौजूद फ्रीक्वेंसी समय से स्वतंत्र होती हैं, और सिग्नल में फ्रीक्वेंसी xHz होती है जो सिग्नल में कहीं भी मौजूद होती है। संकेत अस्थिर, परिणाम बदतर। यह एक समस्या है, क्योंकि अधिकांश संकेत जो हम वास्तविक जीवन में देखते हैं, वे प्रकृति में अस्थिर हैं।

फ़ॉयर ट्रांसफ़ॉर्म में फ़्रीक्वेंसी डोमेन में उच्च रिज़ॉल्यूशन है, लेकिन टाइम डोमेन में शून्य रिज़ॉल्यूशन है। हम इसे निम्नलिखित दो उदाहरणों में दिखाते हैं।

लिस्टिंग

import numpy as np from scipy import fftpack from pylab import* N=100000 dt = 1e-5 xa = np.linspace(0, 1, num=N) xb = np.linspace(0, 1/4, num=N/4) frequencies = [4, 30, 60, 90] y1a, y1b = np.sin(2*np.pi*frequencies[0]*xa), np.sin(2*np.pi*frequencies[0]*xb) y2a, y2b = np.sin(2*np.pi*frequencies[1]*xa), np.sin(2*np.pi*frequencies[1]*xb) y3a, y3b = np.sin(2*np.pi*frequencies[2]*xa), np.sin(2*np.pi*frequencies[2]*xb) y4a, y4b = np.sin(2*np.pi*frequencies[3]*xa), np.sin(2*np.pi*frequencies[3]*xb) def spectrum_wavelet(y): Fs = 1 / dt # sampling rate, Fs = 0,1 MHz n = len(y) # length of the signal k = np.arange(n) T = n / Fs frq = k / T # two sides frequency range frq = frq[range(n // 2)] # one side frequency range Y = fftpack.fft(y) / n # fft computing and normalization Y = Y[range(n // 2)] / max(Y[range(n // 2)]) # plotting the data subplot(2, 1, 1) plot(k/N , y, 'b') ylabel('Amplitude') grid() # plotting the spectrum subplot(2, 1, 2) plot(frq[0:140], abs(Y[0:140]), 'r') xlabel('Freq') plt.ylabel('|Y(freq)|') grid() y= y1a + y2a + y3a + y4a spectrum_wavelet(y) show()

इस ग्राफ पर, सभी चार आवृत्तियां इसके संचालन के पूरे समय के दौरान सिग्नल में मौजूद रहती हैं।

लिस्टिंग

 import numpy as np from scipy import fftpack from pylab import* N=100000 dt = 1e-5 xa = np.linspace(0, 1, num=N) xb = np.linspace(0, 1/4, num=N/4) frequencies = [4, 30, 60, 90] y1a, y1b = np.sin(2*np.pi*frequencies[0]*xa), np.sin(2*np.pi*frequencies[0]*xb) y2a, y2b = np.sin(2*np.pi*frequencies[1]*xa), np.sin(2*np.pi*frequencies[1]*xb) y3a, y3b = np.sin(2*np.pi*frequencies[2]*xa), np.sin(2*np.pi*frequencies[2]*xb) y4a, y4b = np.sin(2*np.pi*frequencies[3]*xa), np.sin(2*np.pi*frequencies[3]*xb) def spectrum_wavelet(y): Fs = 1 / dt # sampling rate, Fs = 0,1 MHz n = len(y) # length of the signal k = np.arange(n) T = n / Fs frq = k / T # two sides frequency range frq = frq[range(n // 2)] # one side frequency range Y = fftpack.fft(y) / n # fft computing and normalization Y = Y[range(n // 2)] / max(Y[range(n // 2)]) # plotting the data subplot(2, 1, 1) plot(k/N , y, 'b') ylabel('Amplitude') grid() # plotting the spectrum subplot(2, 1, 2) plot(frq[0:140], abs(Y[0:140]), 'r') xlabel('Freq') plt.ylabel('|Y(freq)|') grid() y = np.concatenate([y1b, y2b, y3b, y4b]) spectrum_wavelet(y) show()

इस ग्राफ पर, सिग्नल समय पर ओवरलैप नहीं होते हैं, साइड लॉब्स चार अलग-अलग आवृत्तियों के बीच अंतर के कारण होते हैं।

दो फ्रीक्वेंसी स्पेक्ट्रा के लिए जिसमें एक ही चार चोटियाँ होती हैं, फूरियर ट्रांसफॉर्म यह निर्धारित नहीं कर सकता कि ये फ्रीक्वेंसी सिग्नल में कहाँ मौजूद हैं। एक गतिशील आवृत्ति स्पेक्ट्रम के साथ संकेतों का विश्लेषण करने के लिए सबसे अच्छा तरीका तरंग परिवर्तन है।

तरंगिकाओं का मुख्य गुण

प्रकार की पसंद, और इसलिए तरंगिका के गुण, विश्लेषण के कार्य पर निर्भर करते हैं, उदाहरण के लिए, विद्युत ऊर्जा उद्योग में धाराओं के प्रभावी मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, इंग्रिड ड्यूबचीज़ के उच्च क्रम तरंग अधिक से अधिक सटीकता प्रदान करते हैं। निम्नलिखित सूची में pywt.DiscreteContinuousWavelet () फ़ंक्शन का उपयोग करके वेवलेट गुण प्राप्त किए जा सकते हैं:

लिस्टिंग

 import pywt from pylab import * from numpy import * discrete_wavelets = ['db5', 'sym5', 'coif5', 'haar'] print('discrete_wavelets-%s'%discrete_wavelets ) st='db20' wavelet = pywt.DiscreteContinuousWavelet(st) print(wavelet) i=1 phi, psi, x = wavelet.wavefun(level=i) subplot(2, 1, 1) title("   -  -%s"%st) plot(x,psi,linewidth=2, label='level=%s'%i) grid() legend(loc='best') subplot(2, 1, 2) title("  - -%s"%st) plt.plot(x,phi,linewidth=2, label='level=%s'%i) legend(loc='best') grid() show()

हमें मिलता है:

discrete_wavelets - ['db5', 'sym5', 'coif5', 'haar']

 Wavelet db20 Family name: Daubechies Short name: db Filters length: 40 Orthogonal: True Biorthogonal: True Symmetry: asymmetric DWT: True CWT: False

कई व्यावहारिक मामलों में, psi तरंगिका की केंद्रीय आवृत्ति के बारे में जानकारी प्राप्त करना आवश्यक हो जाता है, एक फ़ंक्शन जिसका उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, गियर के दोषों का पता लगाने के लिए संकेतों के तरंग विश्लेषण में:

 import pywt f=pywt.central_frequency('haar', precision=8 ) print(f) #  : scale=1 f1=pywt.scale2frequency('haar',scale) print(f1)

 0.9961089494163424 0.9961089494163424

केंद्र आवृत्ति का उपयोग करना

f_{c}

$f_ {c}$ मातृ तरंगिका और पैमाना कारक "a" तराजू को छद्म आवृत्तियों में परिवर्तित कर सकता है

f_{a}

$f_ {a}$ समीकरण का उपयोग करना:

f_{a} = f r a c f_{c} a

$f_ {a} = \ frac {f_ {c}} {a}$

सिग्नल एक्सटेंशन मोड

फ़िल्टर बैंकों का उपयोग करके असतत तरंग परिवर्तन की गणना करने से पहले, संकेत को लंबा करना आवश्यक हो जाता है। एक्सट्रपलेशन पद्धति के आधार पर, सिग्नल सीमाओं पर महत्वपूर्ण कलाकृतियां हो सकती हैं, जिससे DWT परिवर्तन में अशुद्धि हो सकती है।

PyWavelets कई सिग्नल एक्सट्रपलेशन तकनीकों को प्रदान करता है जिनका उपयोग इस नकारात्मक प्रभाव को कम करने के लिए किया जा सकता है। ऐसी विधियों को प्रदर्शित करने के लिए, निम्नलिखित सूची का उपयोग करें:

संकेत विस्तार विधियों का प्रदर्शन प्रदर्शन

 import numpy as np from matplotlib import pyplot as plt from pywt._doc_utils import boundary_mode_subplot # synthetic test signal x = 5 - np.linspace(-1.9, 1.1, 9)**2 # Create a figure with one subplots per boundary mode fig, axes = plt.subplots(3, 3, figsize=(10, 6)) plt.subplots_adjust(hspace=0.5) axes = axes.ravel() boundary_mode_subplot(x, 'symmetric', axes[0], symw=False) boundary_mode_subplot(x, 'reflect', axes[1], symw=True) boundary_mode_subplot(x, 'periodic', axes[2], symw=False) boundary_mode_subplot(x, 'antisymmetric', axes[3], symw=False) boundary_mode_subplot(x, 'antireflect', axes[4], symw=True) boundary_mode_subplot(x, 'periodization', axes[5], symw=False) boundary_mode_subplot(x, 'smooth', axes[6], symw=False) boundary_mode_subplot(x, 'constant', axes[7], symw=False) boundary_mode_subplot(x, 'zeros', axes[8], symw=False) plt.show()

रेखांकन दिखाते हैं कि एक छोटा संकेत (लाल) अपनी मूल लंबाई से परे (काला) कैसे फैलता है।

असतत वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म

DWT प्रदर्शित करने के लिए, हम एक गतिशील आवृत्ति स्पेक्ट्रम के साथ एक संकेत का उपयोग करेंगे, जो समय के साथ बढ़ता है। सिग्नल की शुरुआत में कम-आवृत्ति मान होते हैं, और सिग्नल के अंत में शॉर्ट-वेव रेंज की आवृत्ति होती है। यह हमें आसानी से निर्धारित करने की अनुमति देता है कि फ्रिक्वेंसी स्पेक्ट्रम का कौन सा हिस्सा केवल समय अक्ष को देखकर फ़िल्टर किया जाता है:

लिस्टिंग

 from pylab import * from numpy import* x = linspace(0, 1, num=2048) chirp_signal = sin(250 * pi * x**2) fig, ax = subplots(figsize=(6,1)) ax.set_title("     ") ax.plot(chirp_signal) show()

PyWavelets 1.0.3 में असतत वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म pywt.dwt () फ़ंक्शन है, जो सन्निकटन गुणांक cA और वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट सिग्नल के पहले स्तर के वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्मेशन के विस्तृत गुणांक cD की गणना करता है:

परिवर्तन स्तर एक लिस्टिंग

 import pywt from pylab import * from numpy import * x = linspace (0, 1, num = 2048) y = sin (250 * pi * x**2) st='sym5' (cA, cD) = pywt.dwt(y,st) subplot(2, 1, 1) plot(cA,'b',linewidth=2, label='cA,level-1') grid() legend(loc='best') subplot(2, 1, 2) plot(cD,'r',linewidth=2, label='cD,level-1') grid() legend(loc='best') show()

परिवर्तन स्तर 5 लिस्टिंग

 import pywt from pylab import * from numpy import * x = linspace (0, 1, num = 2048) y = sin (250 * pi * x**2) st='sym5' (cA, cD) = pywt.dwt(y,st) (cA, cD) = pywt.dwt(cA,st) (cA, cD) = pywt.dwt(cA,st) (cA, cD) = pywt.dwt(cA,st) (cA, cD) = pywt.dwt(cA,st) subplot(2, 1, 1) plot(cA,'b',linewidth=2, label='cA,level-5') grid() legend(loc='best') subplot(2, 1, 2) plot(cD,'r',linewidth=2, label='cD,level-5') grid() legend(loc='best') show()

सन्निकटन गुणांक (cA) कम-पास फ़िल्टर (औसत फ़िल्टर) DWT के आउटपुट का प्रतिनिधित्व करता है। विस्तार गुणांक (cD) हाई-पास फिल्टर (डिफरेंशियल फिल्टर) DWT के आउटपुट का प्रतिनिधित्व करता है।

आप तुरंत उच्च-स्तरीय गुणांक की गणना करने के लिए pywt.wavedec () फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं। यह फ़ंक्शन इनपुट सिग्नल और स्तर को इनपुट के रूप में लेता है और अनुमानित गुणांक (n-th स्तर) और विवरण गुणांक के n सेट (1 से n-वें स्तर) के एक सेट को वापस करता है। यहां पांचवें स्तर के लिए एक उदाहरण दिया गया है:

 from pywt import wavedec from pylab import * from numpy import * x = linspace (0, 1, num = 2048) y = sin (250 * pi * x**2) st='sym5' coeffs = wavedec(y, st, level=5) subplot(2, 1, 1) plot(coeffs[0],'b',linewidth=2, label='cA,level-5') grid() legend(loc='best') subplot(2, 1, 2) plot(coeffs[1],'r',linewidth=2, label='cD,level-5') grid() legend(loc='best') show()

नतीजतन, हमें पिछले उदाहरण के समान ग्राफ़ मिलते हैं। गुणांक cA और cD अलग से प्राप्त किए जा सकते हैं:

CA के लिए:

 import pywt from pylab import * from numpy import* x = linspace (0, 1, num = 2048) data = sin (250 * pi * x**2) coefs=pywt.downcoef('a', data, 'db20', mode='symmetric', level=1)

सीडी के लिए:

 import pywt from pylab import * from numpy import* x = linspace (0, 1, num = 2048) data = sin (250 * pi * x**2) coefs=pywt.downcoef('d', data, 'db20', mode='symmetric', level=1)

फ़िल्टर बैंक

रूपांतरण स्तरों से संबंधित कुछ मुद्दों पर पिछले अनुभाग में चर्चा की गई थी। हालांकि, DWT को हमेशा हाई-पास और लो-पास फिल्टर के कैस्केड के रूप में फ़िल्टर बैंक के रूप में लागू किया जाता है। फ़िल्टर बैंक एक सिग्नल को कई फ्रीक्वेंसी सबबैंड में विभाजित करने का एक बहुत प्रभावी तरीका है।

पहले चरण में एक छोटे पैमाने पर, संकेत के उच्च आवृत्ति व्यवहार का विश्लेषण। दूसरे चरण में, पैमाने दो के कारक के साथ बढ़ता है (आवृत्ति दो के कारक के साथ घट जाती है), और हम लगभग आधे अधिकतम आवृत्ति के व्यवहार का विश्लेषण करते हैं। तीसरे चरण में, स्केल फैक्टर चार है, और हम अधिकतम आवृत्ति के लगभग एक चौथाई के आवृत्ति व्यवहार का विश्लेषण करते हैं। और यह तब तक जारी रहता है जब तक हम अपघटन के अधिकतम स्तर तक नहीं पहुंच जाते।

अपघटन के अधिकतम स्तर की गणना pywt.wavedec () फ़ंक्शन का उपयोग करके की जा सकती है, जबकि अपघटन और विस्तार इस तरह दिखेगा:

लिस्टिंग

 import pywt from pywt import wavedec from pylab import * from numpy import* x = linspace (0, 1, num = 2048) data= sin (250 * pi * x**2) n_level=pywt.dwt_max_level(len(data), 'sym5') print('  : %s'%n_level) x = linspace (0, 1, num = 2048) y = sin (250 * pi * x**2) st='sym5' coeffs = wavedec(y, st, level=7) subplot(2, 1, 1) plot(coeffs[0],'b',linewidth=2, label='cA,level-7') grid() legend(loc='best') subplot(2, 1, 2) plot(coeffs[1],'r',linewidth=2, label='cD,level-7') grid() legend(loc='best') show()

हमें मिलता है:

अधिकतम अपघटन स्तर: 7

जब किसी दिए गए सिंपल 5 वेलेट के लिए फिल्टर की लंबाई से सिग्नल कम हो जाता है तो अपघटन रुक जाता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि हमारे पास 1000 हर्ट्ज तक की आवृत्तियों के साथ एक संकेत है। पहले चरण में, हम अपने सिग्नल को कम-आवृत्ति और उच्च-आवृत्ति वाले भागों में विभाजित करते हैं, अर्थात् 0-500 हर्ट्ज और 500-1000 हर्ट्ज। दूसरे चरण में, हम कम आवृत्ति वाले हिस्से को लेते हैं और फिर से इसे दो भागों में विभाजित करते हैं: 0-250 हर्ट्ज और 250-500 हर्ट्ज। तीसरे चरण में, हमने 0-250 हर्ट्ज भाग 0-125 हर्ट्ज और भाग 125-250 हर्ट्ज में विभाजित किया। यह तब तक जारी रहता है जब तक हम विघटन के अधिकतम स्तर तक नहीं पहुंच जाते।

Fft फूरियर और वेवलेट स्केलोग्राम का उपयोग करके wav फ़ाइलों का विश्लेषण

विश्लेषण के लिए, WebSDR फ़ाइल का उपयोग करें। Scipy.signal से त्रिकोण का उपयोग कर कम संकेत के विश्लेषण पर विचार करें और अजगर में असतत फूरियर रूपांतरण (scipy.fftpack से fft) के कार्यान्वयन पर विचार करें। यदि अनुक्रम fft की लंबाई 2n के बराबर नहीं है, तो तेजी से फूरियर ट्रांसफॉर्म (fft) के बजाय, एक असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (dft) किया जाएगा। इस तरह यह टीम काम करती है।

हम निम्नलिखित योजना के अनुसार तेजी से फूरियर ट्रांसफॉर्म बफर का उपयोग करते हैं (उदाहरण के लिए संख्यात्मक डेटा):

fftbuffer = np.zeros (15); शून्य से भरा एक बफर बनाएं;
fftbuffer [: 8] = x [7:]; बफर के पहले भाग को सिग्नल के अंत को स्थानांतरित करें; fftbuffer [8:] = x [: 7] - हम बफर के अंतिम भाग में सिग्नल की शुरुआत को स्थानांतरित करते हैं; X = fft (fftbuffer) - हम सिग्नल मूल्यों से भरे बफर के फूरियर रूपांतरण पर विचार करते हैं।

चरण स्पेक्ट्रम को अधिक पठनीय बनाने के लिए, चरण परिनियोजन लागू है। ऐसा करने के लिए, चरण विशेषता की गणना के साथ रेखा को बदलें: pX = np.unwrap (np.angle (X))।

Fft सिग्नल टुकड़ा विश्लेषण के लिए लिस्टिंग

 import numpy as np from pylab import * from scipy import * import scipy.io.wavfile as wavfile M=501 hM1=int(np.floor((1+M)/2)) hM2=int(np.floor(M/2)) (fs,x)=wavfile.read('WebSDR.wav') x1=x[5000:5000+M]*np.hamming(M) N=511 fftbuffer=np.zeros([N]) fftbuffer[:hM1]=x1[hM2:] fftbuffer[N-hM2:]=x1[:hM2] X=fft(fftbuffer) mX=abs(X) pX=np.angle(X) suptitle(" WebSDR") subplot(3, 1, 1) st='  (WebSDR.wav)' plot(x,linewidth=2, label=st) legend(loc='center') subplot(3, 1, 2) st='    ' plot(mX,linewidth=2, label=st) legend(loc='best') subplot(3, 1, 3) st='    ' pX=np.unwrap(np.angle(X)) plot(pX,linewidth=2, label=st) legend(loc='best') show()

तुलनात्मक विश्लेषण के लिए, हम matplotlib में पेड़ = pywt.wavedec (संकेत, 'coif5') फ़ंक्शन का उपयोग करके बनाए जाने वाले एक तरंगिका स्केलोग्राम का उपयोग करेंगे।

लिस्टिंग वेलेट स्कैलोग्राम्स

 from pylab import * import pywt import scipy.io.wavfile as wavfile #     ,     . def lepow2(x): return int(2 ** floor(log2(x))) #    MRA. def scalogram(data): bottom = 0 vmin = min(map(lambda x: min(abs(x)), data)) vmax = max(map(lambda x: max(abs(x)), data)) gca().set_autoscale_on(False) for row in range(0, len(data)): scale = 2.0 ** (row - len(data)) imshow( array([abs(data[row])]), interpolation = 'nearest', vmin = vmin, vmax = vmax, extent = [0, 1, bottom, bottom + scale]) bottom += scale #  ,   . rate, signal = wavfile.read('WebSDR.wav') signal = signal[0:lepow2(len(signal))] tree = pywt.wavedec(signal, 'coif5') gray() scalogram(tree) show()

इस प्रकार, स्केलोग्राम समय के साथ आवृत्तियों के वितरण के सवाल का अधिक विस्तृत उत्तर देता है, और तेजी से फूरियर रूपांतरण स्वयं आवृत्तियों के लिए जिम्मेदार है। यह सब कार्य पर निर्भर करता है, यहां तक कि इस तरह के एक सरल उदाहरण के लिए भी।

निष्कर्ष

गतिशील संकेतों के लिए असतत तरंग परिवर्तन का उपयोग करने का औचित्य दिया जाता है।
एमआईटी लाइसेंस के तहत जारी एक मुफ्त खुला स्रोत सॉफ्टवेयर, PyWavelets 1.0.3 का उपयोग करके वेवलेट विश्लेषण के उदाहरण प्रदान किए गए हैं।
PyWavelets पुस्तकालय के व्यावहारिक उपयोग के लिए सॉफ्टवेयर उपकरणों पर विचार किया जाता है।

तरंग विश्लेषण भाग १

परिचय

फूरियर ट्रांसफॉर्म के बजाय वेवलेट ट्रांसफॉर्म का उपयोग कब करें

तरंगिकाओं का मुख्य गुण

सिग्नल एक्सटेंशन मोड

असतत वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म

फ़िल्टर बैंक

Fft फूरियर और वेवलेट स्केलोग्राम का उपयोग करके wav फ़ाइलों का विश्लेषण

निष्कर्ष

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