रीमैन परिकल्पना की एक सस्ती व्याख्या

जॉन फोर्ब्स नैश जूनियर की स्मृति को समर्पित।

क्या आपको याद है कि "प्राइम नंबर" क्या हैं? ये संख्याएँ स्वयं के अलावा किसी अन्य द्वारा विभाज्य नहीं हैं और 1. अब मैं एक प्रश्न पूछूंगा जो पहले से ही 3000 वर्ष पुराना है:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, पी । P किसके बराबर है? 31. अगला पी क्या होगा? 37. और अगले पी ? 41. और अगला? 43. हाँ, लेकिन ... हम कैसे जानते हैं कि अगला अर्थ क्या होगा?

एक निर्णय या सूत्र के साथ आओ जो (कम से कम पाप में) भविष्यवाणी करता है कि अगली प्रमुख संख्या (किसी भी संख्या की श्रृंखला में) क्या होगी, और आपका नाम हमेशा के लिए मानव मस्तिष्क की सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक के साथ जुड़ा होगा। आप न्यूटन, आइंस्टीन और गोडेल के साथ एक सममूल्य पर होंगे। Primes के व्यवहार को समझें, और फिर आप अपने सारे जीवन में आराम कर सकते हैं।

परिचय

गणित के इतिहास में कई महान लोगों द्वारा अपराधों के गुणों का अध्ययन किया गया है। यूक्लिडियन प्राइमरों के अनन्तता के पहले सबूत से यूलर उत्पाद सूत्र, जो कि जीटा फ़ंक्शन से संबंधित है। गौड और लिजेंड्रे प्राइम प्रमेय के सूत्रीकरण से लेकर हैडमार्ड और वेले-पोसपिन द्वारा आविष्कार किया गया। हालांकि, बर्नहार्ड रीमैन को अभी भी गणितज्ञ माना जाता है, जिन्होंने अभाज्य संख्याओं के सिद्धांत में सबसे बड़ी खोज की। 1859 में प्रकाशित उनके लेख में, केवल आठ पृष्ठों से मिलकर नए, पहले की अज्ञात खोजों को primes के वितरण के बारे में बनाया गया था। यह लेख अभी भी संख्या सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण में से एक माना जाता है।

प्रकाशन के बाद, Riemann का लेख primes के सिद्धांत में मुख्य कार्य बना रहा और वास्तव में 1896 में primes के वितरण पर प्रमेय साबित करने का मुख्य कारण बन गया। तब से, कई नए सबूत मिले हैं, जिनमें सेल्बर्ग और एर्दो द्वारा प्राथमिक साक्ष्य शामिल हैं। हालांकि, जीटा फ़ंक्शन की जड़ों के बारे में रीमैन परिकल्पना एक रहस्य बनी हुई है।

कितने प्राइम नंबर हैं?

चलो एक साधारण से शुरू करते हैं। हम सभी जानते हैं कि एक संख्या या तो अभाज्य या यौगिक है । सभी मिश्रित संख्याएं सरल हैं और उनके उत्पादों (अक्षत) में विघटित हो सकती हैं। इस अर्थ में, अभाज्य संख्याएँ "बिल्डिंग ब्लॉक्स" या संख्याओं के "मूलभूत तत्व" हैं। 300 ईसा पूर्व में, यूक्लिड ने साबित किया कि उनकी संख्या अनंत है। उनका सुरुचिपूर्ण प्रमाण इस प्रकार है:

यूक्लिडियन प्रमेय

माना कि primes का सेट अनंत नहीं है। सभी primes की एक सूची बनाएँ। फिर P को सूची में सभी primes का उत्पाद बनाते हैं (हम सूची से सभी primes को गुणा करते हैं)। परिणाम 1 में जोड़ें: Q = P +1। सभी नंबरों की तरह, यह प्राकृतिक संख्या Q या तो सरल होनी चाहिए या यौगिक:

• यदि Q अभाज्य है, तो हमें एक ऐसा प्रधान मिला है जो हमारे "सभी अपराधों की सूची" में नहीं है।
• यदि Q सरल नहीं है, तो यह समग्र है, अर्थात। primes से बना, जिनमें से एक, p, Q का एक भाजक होगा (क्योंकि सभी मिश्रित संख्याएँ primes के उत्पाद हैं)। प्रत्येक प्रधान p जिससे P की रचना की गई है, वह स्पष्ट रूप से P का एक भाजक है। यदि P, P और Q दोनों के लिए विभाजक है, तो यह उनके अंतर के लिए एक विभाजक होना चाहिए, अर्थात। कोई भी अभाज्य संख्या 1 का विभाजक नहीं है, इसलिए संख्या p सूची में नहीं हो सकती है - इस तथ्य का एक और विरोधाभास है कि सूची में सभी अपराध शामिल हैं। हमेशा एक और प्राइम पी होगा जो सूची में नहीं है और क्यू का एक भाजक है। इसलिए, असीम रूप से कई प्राइम हैं।

समझने के लिए इतनी मुश्किल क्यों हैं?

यह तथ्य कि कोई भी नवागंतुक उपरोक्त समस्या को समझता है, अपनी जटिलता के बारे में वाक्पटुता से बात करता है। यहां तक ​​कि सक्रिय अध्ययन के बावजूद, अपराधों के अंकगणितीय गुण भी हमारे द्वारा खराब समझे जाते हैं। वैज्ञानिक समुदाय बड़ी संख्या में फैक्टरिंग करने वाले अपराधों के व्यवहार को समझने में हमारी अक्षमता पर इतना भरोसा करता है (दो अपराधों को परिभाषित करता है, जिनमें से एक संख्या उत्पाद है) एन्क्रिप्शन सिद्धांत की मूलभूत नींव में से एक है। आप इसे इस प्रकार देख सकते हैं:

हम समग्र संख्याओं को अच्छी तरह समझते हैं। ये सभी संख्याएँ हैं जो अभाज्य नहीं हैं। वे अपराधों से युक्त होते हैं, लेकिन हम आसानी से एक सूत्र लिख सकते हैं जो समग्र संख्या की भविष्यवाणी करता है और / या उत्पन्न करता है। इस तरह के "समग्र संख्या फिल्टर" को छलनी कहा जाता है। सबसे प्रसिद्ध उदाहरण तथाकथित "एराटोस्थनीज की छलनी" है, जिसका आविष्कार लगभग 200 ईसा पूर्व हुआ था। उनका काम यह है कि यह उन मूल्यों को चिह्नित करता है जो किसी दिए गए सीमा तक प्रत्येक अभाज्य संख्या के गुणक होते हैं। मान लीजिए कि हम अभाज्य संख्या 2 लेते हैं और 4,6,8,10 और इतने पर चिह्नित करते हैं। फिर 3 और मार्क 6,9,12,15, और इसी तरह। परिणामस्वरूप, हमारे पास केवल अभाज्य संख्याएँ होंगी। हालांकि यह समझना बहुत आसान है, एराटोस्थनीज की छलनी, जैसा कि आप कल्पना कर सकते हैं, विशेष रूप से प्रभावी नहीं है।

हमारे कार्यों को सरल बनाने वाले कार्यों में से एक 6n This 1 होगा। यह साधारण फ़ंक्शन 2 और 3 के अपवाद के साथ सभी अपराधों को वापस करता है, और सभी संख्याओं को हटाता है जो 3 के गुणक हैं, साथ ही साथ सभी संख्याएँ भी। स्थानापन्न n = 1,2,3,4,5,6,7 और निम्न परिणाम प्राप्त करें: 5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43। फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न केवल गैर-अभाज्य संख्याएँ २५ और ३५ हैं, जिन्हें ५ x ५ और ५ x 5 में कारक बनाया जा सकता है। अगली गैर-अभाज्य संख्याएँ, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, ४ ९ = 7 x,, ५५ = ५ x ११, और इसी तरह। सब कुछ आसान है, है ना?

इसे नेत्रहीन रूप से प्रदर्शित करने के लिए, मैंने "यौगिक संख्याओं की सीढ़ी" का उपयोग किया था - यह दिखाने का एक सुविधाजनक तरीका है कि फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न समग्र संख्याओं को कैसे व्यवस्थित और संयोजित किया जाता है। नीचे दी गई छवि के पहले तीन स्तंभों में, हम देखते हैं कि कैसे अभाज्य संख्याएँ 5, 7 और 11 सुंदर रूप से मिश्रित संख्याओं की प्रत्येक सीढ़ी पर चढ़ती हैं, मान 91 तक। चौथा स्तंभ में होने वाली अराजकता, यह दिखाती है कि छलनी कैसे primes से सब कुछ हटा देती है, उत्कृष्ट है अभाज्य संख्याओं को समझना इतना कठिन क्यों है।

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मौलिक संसाधन

यह सब उस अवधारणा से कैसे जुड़ा हुआ है जिसके बारे में आप सुन सकते हैं - "रीमैन परिकल्पना" के साथ? ठीक है, इसे सीधे शब्दों में कहें, तो प्राइम नंबरों के बारे में अधिक समझने के लिए, 19 वीं शताब्दी में गणितज्ञों ने पूर्ण सटीकता के साथ अपराधों के स्थान की भविष्यवाणी करने की कोशिश करना बंद कर दिया, और इसके बजाय पूरे के रूप में primes की घटना पर विचार करना शुरू कर दिया। रीमैन इस विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण के स्वामी बन गए, और इस दृष्टिकोण के ढांचे के भीतर उनकी प्रसिद्ध परिकल्पना बनाई गई थी। हालांकि, इससे पहले कि मैं इसे समझाना शुरू करूं, कुछ मूलभूत संसाधनों से परिचित होना आवश्यक है।

हार्मोनिक पंक्तियाँ

हार्मोनिक श्रृंखला संख्याओं की अंतहीन श्रृंखला है जिसे पहली बार 14 वीं शताब्दी में निकोलाई ओरेम द्वारा खोजा गया था। उनका नाम संगीत सामंजस्य की अवधारणा से जुड़ा हुआ है - ओवरटोन जो मौलिक स्वर की आवृत्ति से अधिक है। पंक्तियाँ इस प्रकार हैं:


एक अनंत हार्मोनिक श्रृंखला के पहले सदस्य

ओरेम ने साबित कर दिया कि यह राशि विचलन है (जो कि एक सीमित सीमा के बिना है; यह दृष्टिकोण नहीं करता है और किसी विशेष संख्या तक नहीं है, लेकिन अनंत को निर्देशित करता है)।

ज़ेटा कार्य करता है

हार्मोनिक श्रृंखला एक अधिक सामान्य प्रकार के फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है जिसे ज़ेटा फ़ंक्शन s (s) कहा जाता है। वास्तविक जेटा फ़ंक्शन को दो वास्तविक संख्याओं r और n के लिए परिभाषित किया गया है:


जीटा फंक्शन

यदि हम n = 1 स्थानापन्न करते हैं, तो हमें एक हार्मोनिक श्रृंखला मिलती है जो विचलन करती है। हालाँकि, n> 1 के सभी मानों के लिए, श्रृंखला परिवर्तित होती है , अर्थात, r बढ़ने का योग एक निश्चित संख्या तक जाता है, और अनंत तक नहीं जाता है।

यूलर का सूत्र

ज़ेटा कार्यों और primes के बीच पहला संबंध ईयुलर द्वारा स्थापित किया गया था जब उसने दिखाया कि दो प्राकृतिक (पूर्णांक और शून्य से अधिक) संख्या n और p के लिए , जहाँ p अभाज्य है, निम्नलिखित सत्य है:


दो नंबर n और p के लिए यूलर का उत्पाद, जहाँ दोनों शून्य से अधिक हैं और p अभाज्य है।

यह अभिव्यक्ति पहली बार 1737 के लेख में दिखाई गई जिसका शीर्षक वारिया प्रेवेस सर्का सीरीज इनफिनिटास है । अभिव्यक्ति से यह निम्नानुसार है कि जेट फ़ंक्शन का योग एकता के विपरीत मात्राओं के उत्पाद के बराबर है , डिग्री एस के अपराधों के व्युत्क्रम को घटाता है । इस तेजस्वी कनेक्शन ने अपराधों के आधुनिक सिद्धांत की नींव रखी, जिसमें ज़ेटा कार्य laid (s) तब से शुरू हो गया है, जब से उन्हें अपराधों के अध्ययन के तरीके के रूप में इस्तेमाल किया जाने लगा।

सूत्र का प्रमाण मेरे पसंदीदा प्रमाणों में से एक है, इसलिए मैं इसे प्रस्तुत करूंगा, हालांकि हमारे उद्देश्यों के लिए यह आवश्यक नहीं है (लेकिन यह उतना ही अद्भुत है!)।

यूलर उत्पाद सूत्र का प्रमाण

यूलर एक सामान्य जीटा फ़ंक्शन के साथ शुरू होता है


जीटा फंक्शन

पहला, वह दूसरे कार्यकाल में दोनों भागों को गुणा करता है:


जीटा फ़ंक्शन को 1/2 ^{एस से} गुणा किया जाता है

फिर वह जीटा फ़ंक्शन से परिणामी अभिव्यक्ति को घटाता है:


जीटा फंक्शन माइनस 1/2 सेकेंड में जीटा फंक्शन

वह इस प्रक्रिया को दोहराता है, दोनों पक्षों को तीसरे कार्यकाल से गुणा करता है


जीटा फंक्शन माइनस १/२ बार, जेटा फंक्शन टाइम १/३ ^एस

और फिर जीटा फ़ंक्शन से परिणामी अभिव्यक्ति को घटाता है


जीटा फंक्शन माइनस १/२ गुना ज़ेटा फंक्शन माइनस १/३ गुना ज़ेटा फंक्शन

यदि आप इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक दोहराते हैं, तो अंत में हमारे पास अभिव्यक्ति होगी:


1 शून्य से शून्य काल तक सभी मानों को प्रतिलोम में उलटा कर दिया जाता है

यदि यह प्रक्रिया आपसे परिचित है, तो इसका कारण यह है कि यूलर ने अनिवार्य रूप से एराटोस्थनीज की छलनी के समान एक छलनी बनाई। यह जेटा फ़ंक्शन से गैर-प्राइम संख्याओं को फ़िल्टर करता है।

फिर हम अभिव्यक्ति को उसकी सभी शर्तों में विभाजित करते हैं, जो कि अपराधों के विपरीत होती हैं, और प्राप्त होती हैं:


पहले primes 2,3,5,7 और 11 के लिए primes के साथ जीटा फ़ंक्शन का कार्यात्मक संबंध

अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, हमने निम्नलिखित दिखाया:


यूलर के काम का सूत्र एक समानता है जो अपरा और ज़ेटा फ़ंक्शन के बीच संबंध दिखाती है

क्या वह सुंदर नहीं थी? हम s = 1 को प्रतिस्थापित करते हैं, और हम एक अनंत हार्मोनिक श्रृंखला पाते हैं, बार-बार primes की अनंतता को साबित करते हैं।

मोबियस फंक्शन

अगस्त फर्डिनेंड मोबियस ने यूलर के काम को फिर से लिखा, एक नई राशि बनाई। अपराधों के व्युत्क्रम के अलावा, मोबियस फ़ंक्शन में प्रत्येक प्राकृतिक संख्या भी होती है, जो एक समान और विषम संख्या में प्रमुख कारकों का उत्पाद है। उनकी श्रृंखला से बाहर किए गए नंबर वे संख्याएं हैं जो कुछ अभाज्य संख्याओं द्वारा विभाजित हैं। इसका योग, जिसे ((n) के रूप में दर्शाया गया है, के निम्नलिखित रूप हैं:


मोबियस फ़ंक्शन सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए दिए गए यूलर उत्पाद का एक संशोधित संस्करण है

योग में व्युत्क्रम मान होते हैं:

1. प्रत्येक अभाज्य संख्या तक;
2. प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए, जो कि एक अलग संख्या में विभिन्न प्राइमों का उत्पाद है, जिसे ऋण चिह्न के साथ लिया गया है; और
3. प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए, जो एक अलग चिह्न के समान संख्या का उत्पाद है, जिसे प्लस चिह्न के साथ लिया गया है;

पहले सदस्यों को नीचे दिखाया गया है:


जेटा फ़ंक्शन द्वारा विभाजित इकाइयों की श्रृंखला / राशि s (s)

योग में उन पारस्परिक मूल्यों को शामिल नहीं किया जाता है जो कि एक प्रमुख संख्या के वर्ग से विभाजित होते हैं, उदाहरण के लिए, 4.8.9, और इसी तरह।

Mobius फ़ंक्शन μ (n) केवल तीन संभावित मान ले सकता है: उपसर्ग (1 या -1) या योग से सदस्यों का निष्कासन (0):


Mobius फ़ंक्शन के तीन संभावित मान μ (n)

हालाँकि यह मुश्किल राशि पहली बार मोबियस द्वारा निर्धारित की गई थी, यह उल्लेखनीय है कि उससे 30 साल पहले गॉस ने इस राशि के बारे में सीमांत नोटों में लिखा था:

“सभी आदिम जड़ों (प्राइम पी) या when 0 (जब पी -1 वर्ग द्वारा विभाज्य है), या or ≡ 1 (मॉड पी) (जब पी -1 असमान अपराधों का उत्पाद है) का योग; यदि उनकी संख्या सम है, तो संकेत सकारात्मक है, लेकिन यदि संख्या विषम है, तो संकेत ऋणात्मक है। ”

प्राइम नंबर वितरण समारोह

चलिए वापस प्राइम नंबर पर आते हैं। यह समझने के लिए कि संख्या रेखा को ऊपर ले जाने पर कैसे वितरण वितरित किए जाते हैं, यह जानते हुए कि वे कहां हैं, यह जानना उपयोगी होगा कि एक निश्चित संख्या तक कितने हैं।

यह कार्य है कि गॉस द्वारा प्रस्तावित प्रिम्स is (x) का वितरण कार्य करता है: यह हमें दिए गए वास्तविक संख्या से कम या बराबर प्रिम्स की संख्या प्रदान करता है। चूँकि हम प्राइम्स खोजने के फॉर्मूले नहीं जानते हैं, प्राइम्स के डिस्ट्रीब्यूशन का फॉर्मूला हमें केवल एक ग्राफ या एक स्टेप फंक्शन के रूप में जाना जाता है जो कि x प्राइम होने पर 1 से बढ़ जाता है। नीचे दिया गया ग्राफ़ x = 200 तक फ़ंक्शन दिखाता है।


प्रिम्स का वितरण कार्य π (x) x = 200 तक।

प्राइम नंबर वितरण प्रमेय

गॉस (और स्वतंत्र रूप से लीजेंड) द्वारा तैयार किए गए प्रिम्स के वितरण पर प्रमेय, कहते हैं:


प्राइम नंबर वितरण प्रमेय

सामान्य भाषा में, इसे निम्नानुसार कहा जा सकता है: "जब x अनंत की ओर बढ़ता है, तो primes function (x) का वितरण फ़ंक्शन x / ln (x) फ़ंक्शन का रुख करेगा।" दूसरे शब्दों में, यदि आप काफी दूर तक चढ़ते हैं और प्राइम डिस्ट्रीब्यूशन ग्राफ बहुत अधिक x तक बढ़ जाता है, तो x को प्राकृतिक लघुगणक x से विभाजित करते हुए , इन दोनों कार्यों का अनुपात 1 हो जाएगा। नीचे दिए गए ग्राफ में x = 1000 के लिए दो कार्य दिखाई देते हैं:


प्रिम्स का वितरण कार्य π (x) और x = 1000 तक के प्राइम के वितरण प्रमेय द्वारा एक मोटा अनुमान

संभावनाओं की दृष्टि से, प्राइम संख्या वितरण प्रमेय कहता है कि यदि हम यादृच्छिक रूप से एक धनात्मक पूर्णांक x चुनते हैं, तो प्रायिकता P (x) जो यह संख्या अभाज्य होगी, लगभग 1 / ln (x) के बराबर होगी। इसका मतलब यह है कि पहले x पूर्णांक के बीच लगातार primes के बीच औसत अंतर लगभग ln (x) है।

इंटीग्रल लॉगरिथम

फ़ंक्शन ली (x) को सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है, एक्स = 1. के अपवाद के साथ इसे 2 से इंटीग्रल द्वारा परिभाषित किया गया है:


अभिन्न लघुगणक समारोह का अभिन्न प्रतिनिधित्व

प्राइम डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन और प्राइम डिस्ट्रीब्यूशन प्रमेय से सूत्र के बगल में इस फ़ंक्शन को प्लॉट करके, हम देखते हैं कि ली (x) वास्तव में x / ln (x) की तुलना में बेहतर सन्निकटन है:


एक ही ग्राफ पर ली (एक्स) का अभिन्न लघुगणक, π (x) और x / ln (x) का वितरण समारोह

यह पता लगाने के लिए कि यह सन्निकटन कितना बेहतर है, हम x के बड़े मानों के साथ एक तालिका बना सकते हैं, x तक की संख्याएँ और पुराने (प्रमेयों के वितरण पर प्रमेय) और नए (अभिन्न लघुगणक) कार्यों के बीच त्रुटि:


दसियों की दी गई शक्ति तक की संख्या और दो सन्निकटन के लिए संबंधित त्रुटियां

जैसा कि आप आसानी से देख सकते हैं, इंटीग्रल लॉगरिथम प्राइम्स के वितरण पर प्रमेय के कार्य की तुलना में सन्निकटन में बहुत बेहतर है, इसने 14. = शक्ति के लिए x = 10 के लिए केवल 314,890 प्रिंसेस द्वारा गलती की। 14. फिर भी, दोनों कार्य वितरण के कार्य functions (x)। ली (x) बहुत तेजी से रूपांतरित होता है, लेकिन जब x अनन्तता की ओर झुक जाता है, तो वितरणों और फ़ंक्शन के वितरण फ़ंक्शन के बीच का अनुपात Li (x) और x / ln (x) दृष्टिकोण 1. हम यह स्पष्ट रूप से दिखाते हैं:


दो अनुमानित मानों के अनुपातों का अभिसरण और x = 10,000 पर 1 के लिए वितरण का फ़ंक्शन

गामा समारोह

गामा फ़ंक्शन gam (z) अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य बन गया है क्योंकि 1720 के दशक में, डैनियल बर्नौली और क्रिस्चियन गोल्डबैक ने गुट-निरपेक्ष तर्कों के लिए तथ्यात्मक कार्य को सामान्य बनाने की समस्या की जांच की। यह फैक्टरियल फ़ंक्शन n का एक सामान्यीकरण है! (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x .... N ) 1 से नीचे स्थानांतरित किया गया:


गामा फ़ंक्शन z के लिए परिभाषित किया गया है

उसका कार्यक्रम बहुत उत्सुक है:


अंतराल -6 ≤ z gam 6 में गामा फ़ंक्शन z (z) का ग्राफ

गामा फ़ंक्शन gam (z) शून्य से अधिक z के सभी जटिल मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है। जैसा कि आप शायद जानते हैं, जटिल संख्याएं काल्पनिक भाग के साथ संख्याओं का एक वर्ग है, जिसे Re ( z ) + Im ( z ) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ Re ( z ) वास्तविक भाग (साधारण वास्तविक संख्या) है, और Im ( z ) काल्पनिक भाग है पत्र द्वारा निरूपित i । जटिल संख्या आमतौर पर फॉर्म z = it + में लिखी जाती है , जहां सिग्मा written वास्तविक भाग है और यह काल्पनिक है। जटिल संख्याएँ इसमें उपयोगी हैं कि वे गणितज्ञों और इंजीनियरों को साधारण वास्तविक संख्याओं के लिए दुर्गम समस्याओं के साथ काम करने की अनुमति देते हैं। जटिल रूप में, जटिल संख्या पारंपरिक वन-आयामी संख्या रेखा को दो-आयामी संख्या वाले विमान में विस्तारित करती है, जिसे जटिल विमान कहा जाता है , जिसमें जटिल संख्या का वास्तविक भाग x अक्ष, और काल्पनिक - y अक्ष के साथ बिछाया जाता है।

ताकि गामा फ़ंक्शन Γ (z) का उपयोग किया जा सके, यह आमतौर पर फॉर्म में फिर से लिखा जाता है


गामा फ़ंक्शन का कार्यात्मक संबंध Γ (z)

इस समानता का उपयोग करके, हम शून्य से नीचे z के लिए मान प्राप्त कर सकते हैं। हालांकि, यह नकारात्मक पूर्णांक के लिए मान नहीं देता है, क्योंकि वे परिभाषित नहीं हैं (औपचारिक रूप से वे अध: पतन या सरल ध्रुव हैं)।

जीटा और गामा

जीटा फ़ंक्शन और गामा फ़ंक्शन के बीच संबंध निम्नलिखित अभिन्न द्वारा दिया गया है:

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रीमैन ज़ेटा फंक्शन

सभी आवश्यक मूलभूत संसाधनों से खुद को परिचित करने के बाद, हम अंततः प्राइम नंबरों और रीमैन परिकल्पना के बीच संबंध स्थापित करना शुरू कर सकते हैं।

जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन का जन्म 1826 में ब्रेज़लनेट्स में हुआ था। गॉस के छात्र के रूप में, रीमैन ने गणितीय विश्लेषण और ज्यामिति के क्षेत्र में एक पेपर प्रकाशित किया। यह माना जाता है कि उन्होंने अंतर ज्यामिति के क्षेत्र में सबसे बड़ा योगदान दिया, जहां उन्होंने ज्यामिति की भाषा की नींव रखी, बाद में आइंस्टीन द्वारा सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में उपयोग किया गया।


संख्या सिद्धांत में उनका एकमात्र काम, उबेर डाई अंजहल डेर प्रिमज़लेन अन्टर ईजन जेजेबेन ग्रोस ("किसी दिए गए मात्रा से कम primes पर कम") के 1859 के पेपर को गणित के इस क्षेत्र में सबसे महत्वपूर्ण लेख माना जाता है। केवल चार पृष्ठों में उन्होंने उल्लिखित किया:

• रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन ζ (एस) की परिभाषा - जटिल मूल्यों के साथ ज़ेटा फ़ंक्शन;
• सभी जटिल संख्याओं के लिए जीटा फ़ंक्शन का विश्लेषणात्मक निरंतरता; 1;
• Riemann xi-function s (s) की परिभाषा - गामा-फ़ंक्शन के माध्यम से Riemann zeta-function से जुड़ा संपूर्ण फ़ंक्शन;
• रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के कार्यात्मक समीकरण के दो प्रमाण;
• प्रिमेन और मोबियस फ़ंक्शन के वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके रीमैन प्रिम्स जे (एक्स) के वितरण समारोह का निर्धारण;
• प्रिम्स की संख्या के लिए स्पष्ट सूत्र, रिमन ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य का उपयोग करके परिभाषित रीमैन के वितरण फ़ंक्शन का उपयोग करके दिए गए संख्या से कम है।

यह सरलता और रचनात्मक सोच का एक अविश्वसनीय उदाहरण है, जिसकी पसंद शायद अब तक नहीं देखी गई है। एकदम अद्भुत काम।

रीमैन ज़ेटा फंक्शन

हमने अपने काम में यूलर द्वारा दिखाए गए primes और ज़ेटा फ़ंक्शन के बीच घनिष्ठ संबंध देखा है। हालांकि, इस संबंध के अपवाद के साथ, उनके संबंधों के बारे में बहुत कम जाना जाता था, और उन्हें दिखाने के लिए जटिल संख्याओं का आविष्कार आवश्यक था।

रीमैन जटिल चर s के लिए जेटा फ़ंक्शन s (s) पर विचार करने वाला पहला व्यक्ति था , जहां s = t + i t।


N के लिए रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन, जहाँ s = eta + यह एक जटिल संख्या है जिसमें σ और t वास्तविक संख्याएँ हैं।

रीमैन ज़ेटा-फंक्शन s (s) नामक यह अनंत श्रृंखला, 1 (Re (s)> 1) से अधिक वास्तविक भाग के साथ सभी जटिल संख्याओं के लिए विश्लेषणात्मक (यानी निश्चित मान) है। परिभाषा के इस क्षेत्र में, यह पूरी तरह से परिवर्तित होता है ।

अभिसरण के सामान्य क्षेत्र (जब जटिल चर के असली हिस्सा बाहर के क्षेत्रों में समारोह का विश्लेषण करने के रों से अधिक है 1), समारोह आप चाहते हैं ओवरराइड करने के लिए। आधे-समतल रे (ओं)> 0 पर एक बिल्कुल अभिसरण समारोह के लिए एक विश्लेषणात्मक निरंतरता का प्रदर्शन करके रीमैन ने सफलतापूर्वक इसका मुकाबला किया ।


रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन का पुनर्लेखन रूप, जहाँ {x} = x - | x |

जेटा फंक्शन की यह नई परिभाषा s-1 के अपवाद के साथ हाफ-प्लेन Re (s)> 0 के किसी भी हिस्से में विश्लेषणात्मक है, जहां यह एक अध: पतन / सरल ध्रुव है। डेफिनिशन के इस डोमेन में, इसे मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन कहा जाता है क्योंकि यह होलोमोर्फिक है (इसकी परिभाषा के डोमेन के प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में जटिल रूप से भिन्न), साधारण पोल s = 1. को छोड़कर, इसके अलावा, यह Dirichlet L-function का एक उत्कृष्ट उदाहरण है ।

अपने लेख में, रीमैन वहाँ नहीं रुके। वह अपने ज़ीटा फ़ंक्शन ζ (s) के विश्लेषणात्मक निरंतरता पर चला गया सबगामा फ़ंक्शन complex (z) का उपयोग करके जटिल विमान। पद को जटिल नहीं करने के लिए, मैं इन गणनाओं को नहीं दूंगा, लेकिन मैं अत्यधिक अनुशंसा करता हूं कि आप उन्हें रीमैन के अद्भुत अंतर्ज्ञान और कौशल के बारे में सुनिश्चित करने के लिए खुद को देखें।

उनकी विधि जटिल चर और जैकोबी थीटा फ़ंक्शन, (x) के लिए सरगम ​​z (z) के अभिन्न प्रतिनिधित्व का उपयोग करती है, जिसे इस तरह से फिर से लिखा जा सकता है कि एक जेट फ़ंक्शन दिखाई देता है। ज़ेटा पर निर्णय लेते समय, हम प्राप्त करते हैं:


S = 0 और s = 1 पर दो पतितों के अपवाद के साथ पूरे जटिल तल के लिए कार्यात्मक जेट समीकरण

इस रूप में, हम ध्यान दें कि x की किसी भी शक्ति की तुलना में s (s) शब्द तेजी से घटता है, और इसलिए इंटीग्रल s के सभी मानों में बदल जाता है।

इससे भी आगे जाते हुए, रिमान ने देखा कि कोष्ठक में पहला शब्द (-1 / s (1 - s)) एक अपरिवर्तनीय (नहीं बदलता) है यदि s को 1 - s द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसके लिए धन्यवाद, रिमान ने आगे s = 0 और s = 1 पर दो ध्रुवों को समाप्त करके समीकरण की उपयोगिता का विस्तार किया, और रीमैन एक्स-फंक्शन ξ (डी) को बिना अध: पतन के परिभाषित किया:


शी-रिमान समारोह ξ

रीमैन ज़ेटा समारोह के शून्य

ज़ेटा फ़ंक्शन की जड़ें / शून्य, जब os (s) = 0, को दो प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है, जिसे रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के "तुच्छ" और "nontrivial" शून्य कहा जाता है।

वास्तविक भाग Re (s) के साथ शून्य का अस्तित्व <0

तुच्छ शून्य ऐसे शून्य हैं जिन्हें खोजना और समझाना आसान है। वे जीटा फ़ंक्शन के निम्नलिखित कार्यात्मक रूप में सबसे अधिक ध्यान देने योग्य हैं:


रीमैन कार्यात्मक जीटा समीकरण की विविधता।

यह उत्पाद शून्य के बराबर हो जाता है जब साइन शून्य हो जाता है। यह kπ मानों पर होता है। यही है, एक ऋणात्मक भी पूर्णांक s = -2n के साथ, जीटा फ़ंक्शन शून्य हो जाता है। हालाँकि, सकारात्मक के लिए भी पूर्णांक s = 2n, शून्य को गामा फ़ंक्शन के ध्रुवों द्वारा रद्द किया जाता है z (z)। इसके मूल कार्यात्मक रूप में देखना आसान है; यदि हम s = 2n को प्रतिस्थापित करते हैं, तो शब्द का पहला भाग अपरिभाषित हो जाता है।


तो, रीमान ज़ेटा फंक्शन में हर नकारात्मक और पूर्णांक में शून्य है = -2 एन। ये तुच्छ शून्य हैं, और इन्हें फंक्शन ग्राफ पर देखा जा सकता है:


Riemann zeta फ़ंक्शन का ग्राफ of (s) शून्य के साथ s = -2, -4, -6 और इतने पर

वास्तविक भाग Re (s)> 1 के साथ शून्य का अस्तित्व

से यूलर के शब्दों zeta हम तुरंत देख सकते हैं कि जीटा ζ (रों) नहीं वास्तविक भाग के साथ क्षेत्र में शून्य हो सकता है की रों 1 से अधिक है, क्योंकि एक अभिसरण अनंत उत्पाद केवल शून्य हो सकता है अगर शून्य इसके कारकों में से एक है। अपराधों की अनन्तता का प्रमाण इसे नकारता है।


यूलर का फॉर्मूला

वास्तविक भाग 0 s Re (s) the 1 के साथ शून्य का अस्तित्व

हमने रीट (0) <0 पर नकारात्मक जेट विमान में जेटा के तुच्छ शून्य पाया, और दिखाया कि री (ओं) क्षेत्र 1 में कोई शून्य नहीं हो सकता है।

हालांकि, इन दोनों क्षेत्रों के बीच का क्षेत्र, जिसे महत्वपूर्ण पट्टी कहा जाता है, पिछले सैकड़ों वर्षों से विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में ध्यान का मुख्य केंद्र रहा है।


अंतराल -5 में रीमैन ज़ेटा फंक्शन s (s) के वास्तविक और काल्पनिक भागों की साजिश -5 <Re <2, 0 <Im <60

ऊपर के ग्राफ में, मैंने ज़ेटा (s) के वास्तविक भागों को लाल और नीले में काल्पनिक भागों को प्रदर्शित किया। हम निचले बाएँ कोने में, जहां की असली भाग में पहले दो तुच्छ शून्य देख रों -2 बराबर और -4 है। 0 और 1 के बीच, मैंने एक महत्वपूर्ण बैंड की पहचान की और ज़ेटा (एस) के वास्तविक और काल्पनिक भागों के प्रतिच्छेदन पर ध्यान दिया। ये रीमैन ज़ेटा फंक्शन के नॉनट्रिवियल जीरो हैं। उच्च मूल्यों पर जा रहे हैं, हम अधिक शून्य और दो प्रतीत होता है यादृच्छिक कार्यों कि कल्पना भाग s के बढ़ते मूल्यों के साथ सघन हो जाएगा ।


अंतराल -5 में रीमैन ज़ेटा फंक्शन s (s) के वास्तविक और काल्पनिक भागों का ग्राफ <2 <, 0 <Im <120

शी-फंक्शन रीमैन

हमने रीमैन एक्स-फंक्शन the (एस) को परिभाषित किया है (एक कार्यात्मक समीकरण का रूप जिसमें सभी पतन को समाप्त किया जाता है, अर्थात, यह एस के सभी मूल्यों के लिए परिभाषित किया गया है) निम्नानुसार है:


रीमैन शी-फंक्शन बिना पतन के।

यह फ़ंक्शन संबंध को संतुष्ट करता है


रीमैन एक्स-फ़ंक्शन के सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के बीच सममित संबंध।

इसका मतलब है कि कार्य ऊर्ध्वाधर रेखा के संबंध में सममित है Re ( s ) = 1/2, यानी, ξ (1) = ξ (0), ξ (2) = ξ (-1) ), और इसी तरह। यूलर उत्पाद के साथ संयोजन में यह कार्यात्मक संबंध ( एस और 1 एस की समरूपता ) दर्शाता है कि रिमैन एक्स-फ़ंक्शन केवल अंतराल में हो सकता है 0 (Re ( s ) ≤ 1. दूसरे शब्दों में, रिमैन एक्स-फ़ंक्शन के शून्य गैर-तुच्छ जीटा जीरो के अनुरूप हैं। रीमैन कार्य करता है। एक निश्चित सम्मान में, Riemann zeta फ़ंक्शन ζ ( s ) के लिए महत्वपूर्ण लाइन R (s) = 1/2 वास्तविक रेखा (Im ( s ) = 0) के लिए Riemann xi-function ( मेल खाती है रों)।

ऊपर दिखाए गए दो ग्राफ़ को देखते हुए, आप तुरंत देख सकते हैं कि रिमैन ज़ेटा फंक्शन z ( s ) (रिमान एक्स-फंक्शन के ज़ीरोस) के सभी गैर-तुच्छ ज़ीरो के लिए , Re (s) का वास्तविक हिस्सा 1/2 है। अपने लेख में, रिमान ने संक्षेप में इस संपत्ति का उल्लेख किया, और परिणामस्वरूप उसका सतही नोट उसकी सबसे बड़ी विरासत में से एक निकला।

रीमान की परिकल्पना

रीमैन ज़ेटा-फ़ंक्शन s (s) के गैर-तुच्छ शून्य के लिए, वास्तविक भाग में फॉर्म Re (s) = 1/2 है।

यह उनके प्रसिद्ध लेख में रीमैन द्वारा बनाई गई एक अप्रमाणित धारणा का एक आधुनिक सूत्रीकरण है। इसमें कहा गया है कि महत्वपूर्ण बिंदु पर शून्य (s (s) = 0) शून्य पर सभी बिंदुओं में 0 ≤ Re (s) s 1 का वास्तविक भाग Re (s) = 1/2 है। यदि यह सच है, तो ज़ेटा के सभी गैर-तुच्छ शून्य में फॉर्म ζ (1/2 + i t) होगा।

एक समतुल्य सूत्रीकरण (खुद को रीमैन द्वारा कहा गया है) यह है कि रीमैन एक्स-फ़ंक्शन are (एस) की सभी जड़ें वास्तविक हैं।

नीचे दिए गए ग्राफ़ में, रेखा Re (s) = 1/2 क्षैतिज अक्ष है। वास्तविक हिस्सा रे ( रों ) जीटा ζ ( रों ) एक लाल रेखा है, और काल्पनिक हिस्सा इम ( रों ) - नीला। क्षैतिज रेखा पर गैर-तुच्छ शून्य लाल और नीले रेखांकन के बीच के चौराहे हैं।


री (s) = 1/2 पर रेखा पर रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन का पहला nontrivial शून्य।

यदि रीमैन की परिकल्पना सच हो जाती है, तो फ़ंक्शन के सभी गैर-तुच्छ शून्य इस रेखा पर दो ग्राफ़ के चौराहे के रूप में होंगे।

एक परिकल्पना में विश्वास करने के कारण

जीटा फ़ंक्शन के शून्य के बारे में रीमैन की परिकल्पना की सच्चाई पर विश्वास करने के कई कारण हैं। संभवतः गणितज्ञों के लिए सबसे ठोस कारण यह है कि यह वितरण के लिए होगा। बहुत उच्च मूल्यों पर एक परिकल्पना का संख्यात्मक परीक्षण बताता है कि यह सच है। वास्तव में, परिकल्पना की संख्यात्मक पुष्टि इतनी मजबूत है कि अन्य क्षेत्रों में, उदाहरण के लिए, भौतिकी या रसायन विज्ञान में, इसे प्रयोगात्मक रूप से सिद्ध माना जा सकता है। हालाँकि, गणित के इतिहास में कई परिकल्पनाएँ थीं जिन्हें बहुत उच्च मूल्यों के लिए परीक्षण किया गया था, और फिर भी वे गलत साबित हुईं। डर्बीशायर (2004) स्केज़ नंबर की कहानी कहता है - एक बहुत बड़ी संख्या जिसने ऊपरी सीमा का संकेत दिया और इस तरह से गॉस की परिकल्पना में से एक की झूठी साबित हुई कि ली का अभिन्न अंग x)) हमेशा primes के वितरण समारोह से अधिक है। यह लिटिलवुड द्वारा एक उदाहरण के बिना मना कर दिया गया था, और फिर यह दिखाया गया कि यह तिरछा की एक बहुत बड़ी संख्या के ऊपर गलत था - दस की शक्ति के लिए दस, दस की शक्ति के लिए, 34 की शक्ति तक। यह साबित कर दिया कि गॉस विचार के सिद्ध दोष के बावजूद, ऐसे विचलन के सटीक स्थान का एक उदाहरण। परिकल्पना से भी आधुनिक कंप्यूटिंग शक्ति से परे है। यह रीमैन की परिकल्पना के मामले में हो सकता है, जिसका परीक्षण "केवल" बारह गैर-तुच्छ क्षेत्रों में किया गया था।

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन और प्राइम नंबर

रीमैन की परिकल्पना की सच्चाई के आधार पर, रीमैन ने स्वयं इसके परिणामों का अध्ययन करना शुरू किया। अपने लेख में, उन्होंने लिखा: "... एक उच्च संभावना है कि सभी जड़ें भौतिक हैं। निश्चित रूप से, यहां कठोर प्रमाण की आवश्यकता है। कई असफल प्रयासों के बाद, मैं इसकी खोज को स्थगित कर दूंगा, क्योंकि यह मेरे शोध के अगले उद्देश्य के लिए वैकल्पिक प्रतीत होता है । " उसका अगला लक्ष्य ज़ीटा फ़ंक्शन के शून्य को primes से संबंधित करना था।

प्रिम्स Rec ( x ) के वितरण फ़ंक्शन को याद करें, जो वास्तविक संख्या x तक की संख्याओं की संख्या को गिनता है। Riemann ने x ( x ) का उपयोग primes के वितरण के आइजनफंक्शन को निर्धारित करने के लिए किया, अर्थात् Riemann primes J ( x ) का वितरण कार्य। इसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


रीमान प्राइम्स का वितरण समारोह

इस फ़ंक्शन में आप पहली बात यह देख सकते हैं कि यह अनंत नहीं है। कुछ सदस्य के लिए, वितरण फ़ंक्शन शून्य होगा, क्योंकि x <2 के लिए कोई primes नहीं हैं। अर्थात, J (100) को एक उदाहरण के रूप में लेते हुए, हम पाते हैं कि फ़ंक्शन में सात सदस्य होते हैं, क्योंकि आठवें सदस्य में आठवां मूल होगा। 100, जो लगभग 1.778279 के बराबर है .., अर्थात्, primes के वितरण का यह सदस्य शून्य के बराबर हो जाता है, और योग J (100) = 28.5333 के बराबर हो जाता है ...

प्रिम्स के वितरण समारोह की तरह, रिमन फ़ंक्शन J ( x ) एक चरण फ़ंक्शन है, जिसका मान इस प्रकार बढ़ता है:


रीमैन प्राइम्स के वितरण समारोह के संभावित मूल्य

जे ( एक्स ) के मानों को एक्स तक की संख्याओं से संबंधित करने के लिए, इसमें शामिल हैं, हम मोबिस उलटा नामक एक प्रक्रिया का उपयोग करके प्रिम्स pr ( एक्स ) के वितरण समारोह में वापस आ जाएंगे (मैं इसे यहां नहीं दिखाऊंगा)। परिणामी अभिव्यक्ति की तरह दिखेगा


प्रिम्स का वितरण कार्य π (x) और रीमैन प्राइम्स के वितरण समारोह और मोबियस फ़ंक्शन μ (n) से इसका संबंध

याद रखें कि मोबियस फ़ंक्शन के संभावित मान फॉर्म के हैं


Mobius फ़ंक्शन के तीन संभावित मान μ (n)

इसका मतलब यह है कि अब हम प्रिम्स के किसी भी वितरण समारोह को रीमैन प्रिम्स के वितरण फ़ंक्शन के रूप में लिख सकते हैं, जो हमें देगा


एन के पहले सात मूल्यों के लिए रीमन के वितरण समारोह के रूप में लिखा गया है, प्रिम्स के वितरण समारोह

यह नई अभिव्यक्ति अभी भी अंतिम योग है, क्योंकि J ( x ) x <2 के लिए शून्य के बराबर है, क्योंकि वहाँ 2 से कम कोई primes नहीं हैं।

यदि अब हम जे (100) के साथ फिर से उदाहरण पर विचार करते हैं, तो हमें योग मिलता है


एक्स = 100 के लिए प्राइम नंबर वितरण समारोह

जो, जैसा कि हम जानते हैं, 100 से नीचे के अपराधों की संख्या है।

यूलर प्रोडक्ट फॉर्मूला को ट्रांसफॉर्म करना

तब रिमान ने एक शुरुआती बिंदु के रूप में यूलर के उत्पाद का इस्तेमाल किया और मेटानालिसिस की गैर-गणना योग्य भाषा में अपराधों के विश्लेषणात्मक आकलन के लिए एक विधि प्राप्त की। Euler के साथ शुरू:


पहले पाँच अपराधों के लिए यूलर का उत्पाद

सबसे पहले, दोनों पक्षों पर लघुगणक और फिर कोष्ठक में हर को फिर से लिखना, उसने संबंध बनाया


एक यूलर उत्पाद के लिए एक पुनर्लेखन सूत्र का लघुगणक

फिर, प्रसिद्ध टेलर-मैकलॉरीन श्रृंखला का उपयोग करते हुए, उन्होंने दाईं ओर प्रत्येक लघुगणक शब्द का विस्तार किया, जो अनंत राशियों का एक अनंत योग बनाते हुए, प्रत्येक श्रृंखला में प्रत्येक पद के लिए।


यूलर उत्पाद के लघुगणक के पहले चार शब्दों के लिए टेलर विस्तार

इन सदस्यों में से एक पर विचार करें, उदाहरण के लिए:


दूसरा शब्द 1/3 ^ s के लिए मैकलॉरिन अपघटन है

यह सदस्य, गणना के हर दूसरे सदस्य की तरह, फ़ंक्शन J ( x ) के तहत क्षेत्र के हिस्से का प्रतिनिधित्व करता है। अभिन्न के रूप में:


1/3 ^ s के लिए मैकलॉरीन विस्तार के दूसरे कार्यकाल का अभिन्न रूप

दूसरे शब्दों में, यूलर उत्पाद का उपयोग करते हुए, रिमान ने दिखाया कि अभिन्न के निरंतर योग के रूप में अपराधों के एक असतत चरणबद्ध वितरण समारोह का प्रतिनिधित्व करना संभव है। नीचे दिए गए ग्राफ़ में, हमने जो शब्द लिया है उसका उदाहरण रीमैन डिम के वितरण समारोह के ग्राफ़ के तहत क्षेत्र के हिस्से के रूप में दिखाया गया है।


Riemann का वितरण कार्य J (x) को x = 50 तक बढ़ाता है, जिसमें दो अभिन्न अंग प्रतिष्ठित होते हैं

तो, एक परिमित राशि में प्रत्येक अभिव्यक्ति, यूलर उत्पाद से अपराधों के विपरीत मात्राओं की एक श्रृंखला बनाते हुए, रिमैन प्राइम्स के वितरण समारोह के तहत क्षेत्र के अनुरूप अभिन्न का एक अनंत योग बनाने वाले अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। प्राइम नंबर 3 के लिए, इंटीग्रल के इस अनंत उत्पाद का रूप है:


इंटीग्रल का एक अनंत उत्पाद जो पूर्णांक 3 द्वारा दर्शाए गए primes के वितरण समारोह के तहत क्षेत्र बनाते हैं

यदि हम इन सभी अनंत राशियों को एक साथ एक अभिन्न रूप में एकत्रित करते हैं, तो रिमैन प्रिम्स जे ( x ) के वितरण समारोह के तहत एक सरल रूप में लिखा जा सकता है:


जीटा का लघुगणक, अभिन्न की अनंत श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया गया

या बेहतर जाना जाता है


यूलर प्रॉडक्ट्स के आधुनिक समतुल्य, ज़ेमन फंक्शन को रीमैन प्राइम्स के डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन से जोड़ना

इसके लिए धन्यवाद, रीमैन अपने ज़ेटा फंक्शन s ( एस ) की परिपक्वता के भाषा में कनेक्ट करने में सफल रहा, रीमैन प्रॉडक्शन जे ( एक्स ) के वितरण समारोह के साथ यूलर उत्पाद के सूत्र के बराबर है।

त्रुटि का मार्जिन

यूलर उत्पाद के इस विश्लेषणात्मक रूप को प्राप्त करने के बाद, रीमैन ने प्रिम्स के वितरण पर अपनी स्वयं की प्रमेय तैयार करने के बारे में निर्धारित किया। उन्होंने इसे निम्नलिखित स्पष्ट रूप में प्रस्तुत किया:


"रीमैन प्राइमर डिस्ट्रीब्यूशन प्रमेय," जो दिए गए मात्रा x से कम के प्रिम्स की संख्या की भविष्यवाणी करता है

यह एक स्पष्ट रीमैन फार्मूला है। यह प्रिम्स के वितरण पर प्रमेय का सुधार बन गया, संख्या एक्स तक प्रिम्स की संख्या का अधिक सटीक अनुमान। सूत्र में चार सदस्य होते हैं:

1. पहला या "मुख्य" शब्द ली ( x ) का अभिन्न लघुगणक है, जो कि प्रधान वितरण प्रमेय से प्रिम्स pr ( x ) के वितरण समारोह का एक बेहतर सन्निकटन है। यह सबसे बड़ा शब्द है, और जैसा कि हमने देखा है, यह एक्स के दिए गए मूल्य के लिए primes की संख्या को बढ़ाता है।
2. दूसरा, या "आवधिक" शब्द, एक्स के अभिन्न लघुगणक की शक्ति है, जो कि ρ पर अभिव्यक्त है, जो रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के nontrivial शून्य हैं। यह सदस्य कोर सदस्य के ओवरस्टेटमेंट को नियंत्रित करता है।
3. तीसरा सदस्य स्थिरांक है (2) = -0.6993147 ...
4. चौथा और अंतिम शब्द अभिन्न है, x <2 के लिए शून्य के बराबर है, क्योंकि 2. से कम कोई primes नहीं हैं। इसका अधिकतम मूल्य 2 है, जब इसका अभिन्न लगभग 0.1400101 है ...।

बढ़ते एक्स के साथ फ़ंक्शन के मूल्य पर अंतिम दो शब्दों का प्रभाव बहुत छोटा हो जाता है। बड़ी संख्या के लिए मुख्य "योगदान" अभिन्न लघुगणक समारोह और आवधिक योग द्वारा किया जाता है। चार्ट पर उनका प्रभाव देखें:


प्रिम्स step (x) के वितरण का चरण फ़ंक्शन, रीमैन प्रिम्स J (x) के वितरण फ़ंक्शन के लिए स्पष्ट सूत्र द्वारा अनुमानित है, जो कि ρ Riemann जीटा-फ़ंक्शन के पहले ३५ गैर-तुच्छ शून्य का उपयोग करता है।

ऊपर दिए गए ग्राफ़ में, मैंने रिमैन प्राइम डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन J ( x ) के स्पष्ट फॉर्मूले का उपयोग करते हुए प्राइम डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन) ( x ) का अनुमान लगाया और रिमैन ज़ेटा फंक्शन s (s) के पहले 35 नॉनट्रिविअल ज़ीरो को संक्षेप में प्रस्तुत किया। हम देखते हैं कि आवधिक शब्द फ़ंक्शन को "प्रतिध्वनित" करता है और प्रिम्स the ( x ) के वितरण फ़ंक्शन के आकार का दृष्टिकोण करना शुरू करता है।

नीचे अधिक गैर-तुच्छ शून्य का उपयोग करके एक ही भूखंड है।


प्रिम्स em (x) के वितरण का चरण फ़ंक्शन, रीमैन प्रिम्स जे (x) के वितरण के लिए सुस्पष्ट सूत्र द्वारा अनुमानित किया गया है, जो ρ Riemann जीटा-फ़ंक्शन के पहले १०० nontrivial शून्य का उपयोग करता है।

स्पष्ट रीमैन फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए, हम दिए गए संख्या x तक की संख्याओं की संख्या का सटीक अनुमान लगा सकते हैं। वास्तव में, 1901 में, नील्स कोच ने यह साबित कर दिया कि अभिन्न लघुगणक फ़ंक्शन की त्रुटि को ठीक करने के लिए रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य का उपयोग करना प्राइम नंबर वितरण प्रमेय में त्रुटि के लिए "सर्वश्रेष्ठ" सीमा के बराबर है।

"... ये शून्य टेलीग्राफ पोल की तरह काम करते हैं, और रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन की विशेष प्रकृति बिल्कुल आदेश देती है कि कैसे तार (इसका ग्राफ) उनके बीच लटका होना चाहिए ...", - डैन रॉकमोर

उपसंहार

1866 में केवल रीमैन की मृत्यु के बाद, केवल 39 वर्ष की उम्र में, उनका अग्रणी लेख विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत और अभाज्य संख्याओं के सिद्धांत के क्षेत्र में एक मार्गदर्शक बना हुआ है। आज तक, कई महान गणितज्ञों के सक्रिय अनुसंधान के बावजूद, रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के गैर-तुच्छ शून्य के रीमैन परिकल्पना अनसुलझे हैं। हर साल, इस परिकल्पना से संबंधित विभिन्न नए परिणाम और अनुमान प्रकाशित किए जाते हैं कि किसी दिन साक्ष्य वास्तविक हो जाएंगे।