गणित का सबसे सुंदर प्रमेय: यूलर की पहचान

यूलर पहचान पर प्रोफेसर रॉबिन विल्सन के एक व्याख्यान को देखने के बाद, मैं अंत में समझ सका कि यूलर की पहचान सबसे सुंदर समीकरण क्यों है। इस विषय के लिए मेरी प्रशंसा साझा करने और अपने स्वयं के ज्ञान को मजबूत करने के लिए, मैं व्याख्यान के दौरान तैयार किए गए नोट्स की रूपरेखा तैयार करूंगा। और यहाँ आप उसकी अद्भुत पुस्तक खरीद सकते हैं।

वास्तविक संख्याओं के साथ काल्पनिक संख्याओं की बातचीत से अधिक रहस्यमय क्या हो सकता है, जिसके परिणामस्वरूप कुछ भी नहीं है? इस सवाल को 2004 में भौतिक विज्ञान की दुनिया के एक पाठक ने यूलर के समीकरण की सुंदरता पर जोर देने के लिए कहा था "ई में डिग्री आई पीआई शून्य से एक बराबर है । "


चित्र 1.0 : यूलर आइडेंटिटी - ई इन डिग्री i टाइम्स पी, प्लस वन जीरो है।

इससे पहले, 1988 में, गणितज्ञ डेविड वेल्स, जिन्होंने अमेरिकी गणितीय पत्रिका द मैथमेटिकल इंटेलिजेंसर के लिए लेख लिखा था, ने 24 गणित प्रमेयों की एक सूची तैयार की और एक सर्वेक्षण आयोजित किया जिसमें उनके लेख के पाठकों को सबसे सुंदर प्रमेय चुनने के लिए कहा गया। और ईयूलर के समीकरण में एक व्यापक अंतर से जीतने के बाद, इसे "गणित में सबसे सुंदर समीकरण" का खिताब मिला।


चित्रा 2.0 : गणितीय इंटेलिजेंस पत्रिका कवर


चित्र 3.0 : डेविड वेल्स एक पत्रिका से सर्वेक्षण

लियोनहार्ड यूलर को इतिहास का सबसे उत्पादक गणितज्ञ कहा जाता है। अन्य उत्कृष्ट गणितज्ञ उसके काम से प्रेरित थे। भौतिकी के अपने प्रसिद्ध व्याख्यानों में दुनिया के सर्वश्रेष्ठ भौतिकविदों में से एक रिचर्ड फेनमैन ने यूलर समीकरण को "गणित में सबसे उल्लेखनीय सूत्र" कहा । एक और शानदार गणितज्ञ, माइकल अतियाह ने इस सूत्र को "... हैमलेट के वाक्यांश का गणितीय प्रतिरूप" होने या न होने के लिए "- बहुत संक्षिप्त, बहुत संक्षिप्त, और एक ही समय में बहुत गहरा । "

यूलर समीकरण के बारे में कई दिलचस्प तथ्य हैं। उदाहरण के लिए, यह द सिम्पसंस के कुछ एपिसोड में पाया गया था।


चित्र 4.0 : इस दृश्य में, यूलर समीकरण को दूसरी पुस्तक में सबसे दाहिने स्टैक पर देखा जा सकता है।


चित्र 5.0 : इस दृश्य में, यूलर समीकरण को एक द्वितीयक वर्ण की टी-शर्ट पर लिखा गया है।

साथ ही, आपराधिक मामले में यूलर समीकरण एक महत्वपूर्ण बिंदु बन गया है। 2003 में, कैलिफोर्निया इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी बिली कॉटरेल में स्नातक छात्र ने अन्य लोगों की स्पोर्ट्स कारों पर यूलर के समीकरण को चित्रित किया। परीक्षण के दौरान, उन्होंने कहा: " जब से मैं पाँच साल का था, तब से मैं यूलर की प्रमेय जानता हूँ, और सभी को यह जानना चाहिए ।"


चित्र 6.0 : जर्मनी में 1983 में जारी किया गया एक स्टांप जो यूलर की मृत्यु के द्वैध शासन की स्मृति में था।


चित्र 7.0 : स्विट्जरलैंड में 1957 में यूलर की 250 वीं वर्षगांठ के उपलक्ष्य में डाक टिकट जारी किया गया।

यूलर समीकरण इतना महत्वपूर्ण क्यों है?

आपको आश्चर्य करने का हर अधिकार है: बिली कॉटरेल ने क्यों सोचा कि हर किसी को यूलर समीकरण के बारे में पता होना चाहिए? और इस पर इतना यकीन था कि उसने इसे अन्य लोगों की मशीनों पर लिखना शुरू कर दिया? उत्तर सरल है: यूलर ने गणित के तीन मौलिक स्थिरांक का उपयोग किया और एक सुंदर सूत्र लिखने के लिए गुणन और घातांक के गणितीय संचालन को लागू किया, जिसके परिणामस्वरूप शून्य या शून्य से एक हो गया।

• स्थिर ई शक्ति कार्यों से संबंधित है।
• स्थिरांक मैं वास्तविक नहीं है, लेकिन एक काल्पनिक संख्या माइनस एक के वर्गमूल के बराबर है।
• प्रसिद्ध निरंतर। (पी) हलकों के साथ जुड़ा हुआ है।

यूलर की पहचान पहली बार 1748 में उनकी पुस्तक इंट्रोडिओ में एनालिसिन इंफिनिटोरम में दिखाई दी । बाद में, अन्य लोगों ने देखा कि यह सूत्र साइन और कोसाइन के त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ जुड़ा हुआ है, और यह कनेक्शन अद्भुत है, क्योंकि बिजली का कार्य अनंत तक जाता है, और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन -1 से -1 तक होता है।

e से ϕ समय की शक्ति ϕ (phi) = cos i + i * sin i

चित्रा 8.0 : घातीय फ़ंक्शन y = e ^x ।


चित्र 8.1 : यूलर आइडेंटिटी ग्राफ।


चित्र 8.2 : एलसी सर्किट द्वारा उत्सर्जित आवृत्ति।

ऊपर दिखाए गए समीकरण और रेखांकन सार प्रतीत हो सकते हैं, लेकिन वे क्वांटम भौतिकी और छवि प्रसंस्करण गणना के लिए महत्वपूर्ण हैं, और एक ही समय में यूलर की पहचान पर निर्भर करते हैं।

1: खाते के लिए नंबर

नंबर 1 (यूनिट) हमारे कैलकुलस सिस्टम की नींव है। उसके साथ हम गिनती शुरू करते हैं। लेकिन हम क्या सोचते हैं? गणना करने के लिए, हम अंकों का उपयोग करते हैं 0–9 और अंकों की एक प्रणाली जो अंकों के मूल्य को निर्धारित करती है।

उदाहरण के लिए, संख्या 323 का मतलब 3 सैकड़ों, 2 दहाई और 3 इकाइयाँ हैं। यहां, संख्या 3 दो अलग-अलग भूमिकाएं निभाती है, जो इसके स्थान पर निर्भर करती है।

323 = (3 * 100) + (2 * 10) + (3 * 1)

पथरी की एक और प्रणाली है जिसे बाइनरी कहा जाता है। इस प्रणाली में, 10. के बजाय बेस 2 का उपयोग किया जाता है। यह कंप्यूटर और प्रोग्रामिंग में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक बाइनरी सिस्टम में:

1001 = (2 ³ ) + (0 ² ) + (0 ¹ ) + (2 ⁰ ) = [9 बेस 10 के साथ एक प्रणाली में]

कलन प्रणाली का निर्माण किसने किया था? पहले लोगों ने वस्तुओं या जानवरों की गिनती कैसे की?

हमारी कलन प्रणाली कैसे आई? पहले सभ्यताओं ने क्या सोचा था? हम यह सुनिश्चित करने के लिए जानते हैं कि उन्होंने हमारी बिट प्रणाली का उपयोग नहीं किया। उदाहरण के लिए, 4000 साल पहले, प्राचीन मिस्रियों ने विभिन्न प्रतीकों के साथ एक संख्या प्रणाली का उपयोग किया था। हालांकि, उन्होंने संख्याओं के लिए एक नया चरित्र बनाने के लिए पात्रों को संयोजित किया।


चित्र 11 : यहां दिखाए गए चित्रलिपि 4622 नंबर बनाते हैं; यह कर्नाक (मिस्र) में मंदिर में दीवार पर उकेरी गई संख्याओं में से एक है।


चित्रा 12 : चित्रलिपि शब्दों का प्रतिनिधित्व करने वाली छवियां हैं, और इस मामले में, संख्या।

उसी समय, लेकिन एक अन्य स्थान पर, दूसरे समाज ने गिनती की एक विधि की खोज की, लेकिन इसमें प्रतीकों का भी उपयोग किया गया था। इसके अलावा, उनकी गणना का आधार 60 था, न कि 10. समय निर्धारित करने के लिए हम उनकी गणना पद्धति का उपयोग करते हैं; इसलिए, एक मिनट में 60 मिनट और एक घंटे में 60 मिनट।


चित्र 13 : हेक्साडेसिमल संख्या प्रणाली से बेबीलोनियन संख्या (आधार 60 के साथ)।

एक हजार साल बाद, प्राचीन रोमन लोगों ने रोमन संख्याओं का आविष्कार किया। उन्होंने संख्याओं को इंगित करने के लिए अक्षरों का उपयोग किया। रोमन नोटेशन को एक बिट सिस्टम नहीं माना जाता है, क्योंकि हमारी संख्या प्रणाली के कई मूल्यों के लिए, इसमें विभिन्न अक्षरों का उपयोग किया गया था। यह इस कारण से है कि उन्होंने गिनती के लिए एक अबेकस का इस्तेमाल किया।


चित्र 14 : हेक्साडेसिमल (बेस 16 के साथ) संख्या प्रणाली में रोमन अबेकस


चित्र 15 : अरबी से रोमन रूपांतरण तालिका

प्राचीन यूनानी भी अंक प्रणाली का उपयोग नहीं करते थे। ग्रीक गणितज्ञों ने अक्षरों द्वारा संख्याओं को निरूपित किया। उनके पास 100 से 900 की संख्या के लिए विशेष पत्र थे। उस समय बहुत से लोग ग्रीक नंबर को भ्रमित करने वाले मानते थे।


चित्र 15 : प्राचीन ग्रीक पत्र तालिका।

उसी समय, चीनी गणितज्ञों ने गणना के लिए बांस की छोटी छड़ें इस्तेमाल करना शुरू कर दिया। इस चीनी गणना पद्धति को प्रथम दशमलव स्थान प्रणाली कहा जाता है।


चित्र 16 : छड़ी संख्याओं के साथ चीनी गणना का तरीका। कम से कम 400 ईसा पूर्व से इस्तेमाल किया। स्क्वायर काउंटिंग बोर्ड का उपयोग लगभग 1500 तक किया गया था, जब इसे अबेकस द्वारा बदल दिया गया था।

हालांकि, सबसे अनोखी खाता प्रणाली माया इंडियंस द्वारा उपयोग की गई थी। उनकी संख्या प्रणाली में 20 का आधार था। 1 से 19 तक संख्याओं को इंगित करने के लिए, उन्होंने डॉट्स और लाइनों का उपयोग किया। उनकी संख्या प्रणाली में क्या अंतर था? प्रत्येक संख्या के लिए वे सिर की छवियों और एक अलग शून्य प्रतीक 0 का उपयोग करते थे।


चित्र 17: आधार संख्या के साथ मेयन संख्या प्रणाली, जिसमें संख्याएँ प्रमुखों द्वारा इंगित की जाती हैं


चित्र 18 : मायन संख्या लिखने का दूसरा तरीका।

0: संख्या कुछ भी नहीं इंगित करने के लिए

कुछ सभ्यताओं ने रिक्त स्थान का उपयोग किया, उदाहरण के लिए, 11. से संख्या 101 को अलग करें। कुछ समय बाद, एक विशेष संख्या दिखाई देने लगी - शून्य। उदाहरण के लिए, भारतीय शहर ग्वालियर की एक गुफा में पुरातत्वविदों को दीवार पर 270 की संख्या मिली, जिसमें शून्य था। बोडेलियन पुस्तकालय में शून्य का बहुत पहले दर्ज उपयोग देखा जा सकता है।


चित्र 19 : ग्वालियर में मंदिर की दीवार पर उकेरा गया चक्र शून्य को दर्शाता है। वह लगभग 1,500 साल पुराना है।


चित्र 20 : बख्शाली पांडुलिपि में काले डॉट्स शून्य दर्शाते हैं; यह संख्याओं के उपयोग का सबसे पुराना लिखित उदाहरण है, यह लगभग 1800 वर्ष पुराना है।

लगभग 1400 साल पहले, शून्य के साथ कंप्यूटिंग के लिए नियम लिखे गए थे। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक संख्या और शून्य जोड़ने से एक ही ऋणात्मक संख्या उत्पन्न होती है। शून्य द्वारा विभाजन की अनुमति नहीं है, क्योंकि यदि शून्य से विभाजित किया जाता है, तो हमें एक संख्या मिलती है जो हमारी आवश्यकता के किसी भी संख्या के बराबर हो सकती है, जिसे निषिद्ध किया जाना चाहिए।

इसके तुरंत बाद, कई लोगों ने अंकगणित पर पुस्तकों को प्रकाशित किया, जो संख्याओं के इंडो-अरबी अंकन के उपयोग को फैलाते हैं। नीचे इंडो-अरबी अंकों का विकास है। अधिकांश देश इंडो-अरबी संख्या प्रणाली का उपयोग करते हैं, लेकिन अरब देश अभी भी अरबी संख्याओं का उपयोग करते हैं।


चित्र 21 : यह आरेख संख्याओं के विकास को दर्शाता है, जो ब्राह्मी संख्याओं से उत्पन्न होता है और उन संख्याओं के साथ समाप्त होता है जो हम आज उपयोग करते हैं।


चित्र 22 : ग्रेगर रीश के मार्गरीटा फिलोसॉफिका से एक क्लासिक उत्कीर्णन "अंकगणित", जिसमें बोएथियस के बीच एक प्रतियोगिता को दर्शाया गया है, जो इंडो-अरबी नंबरों और लिखित गणनाओं की खोज के बाद मुस्कुराते हुए और फाइटिंग पाइथागोरस, अभी भी एक नंबर बोर्ड का उपयोग करने की कोशिश कर रहा है।

Pi (।): सबसे प्रसिद्ध अपरिमेय संख्या

पाई हमारे लिए सबसे लोकप्रिय अपरिमेय संख्या है। पाई को दो तरह से पाया जा सकता है: किसी वृत्त की परिधि के उसके व्यास के अनुपात की गणना करके, या किसी वृत्त के क्षेत्रफल के अनुपात को उसके त्रिज्या के वर्ग से। यूक्लिड ने साबित किया कि ये संबंध सभी मंडलियों के लिए स्थिर हैं, यहां तक ​​कि चंद्रमा, पैसा, टायर, आदि के लिए भी।

π = वृत्त / व्यास या π = वृत्त क्षेत्र / त्रिज्या

चित्र 22 : पाई के संबंध में सर्कल और व्यास के बीच एनिमेटेड संबंध।

चूँकि पीआई जैसी अपरिमेय संख्याएँ अनंत हैं और उनकी पुनरावृत्ति नहीं होती है, हम कभी भी पीआई लिखना नहीं छोड़ेंगे। यह हमेशा के लिए चला जाता है। ऐसे कई लोग हैं जो कई दशमलव स्थानों को याद करते हैं पाई (वर्तमान रिकॉर्ड 70,000 अंकों का है! स्रोत: गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स )।


चित्र 23 : दशमलव बिंदु के बाद पाई वर्णों को याद रखने वाले लोगों का प्रतिशत निर्धारित करने के लिए 941 उत्तरदाताओं का सर्वेक्षण डेटा।


चित्र 24 : वियना में कार्ल्सप्लाट्ज मेट्रो स्टेशन की दीवार पर सैकड़ों पाई डिस्चार्ज दर्ज हैं।

वर्तमान में, कंप्यूटर कुल 2.7 ट्रिलियन पी बिट्स की गणना करने में सक्षम है। यह बहुत कुछ लग सकता है, लेकिन वास्तव में यह मार्ग अंतहीन है।

जैसा कि मैंने ऊपर कहा, संख्या पाई ने यूक्लिड पाया। लेकिन यूक्लिड से पहले लोगों ने क्या किया जब उन्हें एक सर्कल का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता थी? इतिहासकारों ने एक बेबीलोन मिट्टी की गोली की खोज की है, जिसमें उसके चारों ओर वर्णित चक्र के व्यास के लिए षट्भुज की परिधि का अनुपात दर्ज किया गया था। गणना के बाद, परिणामी संख्या 3.125 हो गई। यह पी के बहुत करीब है।


चित्र 24 : हेम्बागोन की परिधि के अनुपात के साथ बेबीलोन की मिट्टी की गोली, जो गोलाकार घेरे की लंबाई है।


चित्र 25 : नंबरवार

प्राचीन मिस्रवासी भी पी के अर्थ के करीब आ गए थे। इतिहासकारों ने एक दस्तावेज की खोज की है जिसमें दिखाया गया है कि प्राचीन मिस्रियों ने पाई को कैसे पाया। जब इतिहासकारों ने दस्तावेज़ का अनुवाद किया, तो उन्हें निम्नलिखित कार्य मिला:

उदाहरण के लिए, 9 टोपी (1 टोपी = 52.35 मीटर) के व्यास वाले क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको निम्नलिखित गणना करने की आवश्यकता है:

व्यास का 1/9 घटाएं, अर्थात् 1. शेष 8 है। इसे 8 से गुणा करें, जो हमें 64 देता है। इसलिए, क्षेत्र 64 सेजट (क्षेत्र की इकाई) होगा।

दूसरे शब्दों में, व्यास 2r है, और त्रिज्या का 1/9 है (1/9 • 2r)। फिर यदि हम इसे प्रारंभिक व्यास से घटाते हैं, तो हमें 2r - (1/9 • 2r) = 8/9 (2r) मिलता है। फिर सर्कल का क्षेत्रफल 256/81 r area है। यानी पाई लगभग 3.16 है। उन्होंने लगभग 4,000 साल पहले इस पाई मूल्य की खोज की थी।

चित्र 26 : एच्म्स गणितीय पैपाइरस ।

हालांकि, ग्रीक गणितज्ञों ने पाई की गणना के लिए एक बेहतर तरीका खोजा। उदाहरण के लिए, आर्किमिडीज़ ने परिधि के साथ काम करना पसंद किया। उन्होंने विभिन्न आकारों के बहुभुजों का वर्णन करते हुए मंडलियां बनाना शुरू किया। जब उसने षट्भुज को आकर्षित किया, तो उसने 1. के व्यास के साथ एक वृत्त खींचा। तब उसने देखा कि षट्भुज का प्रत्येक भाग 1/2 है और षट्भुज की परिधि 1/2 x 6 = 3. है। तब उसने बहुभुज की भुजाओं की संख्या तब तक बढ़ा दी, जब तक कि वह एक वृत्त की तरह न दिखे। । 96-पक्षीय बहुभुज के साथ काम करना और उसी विधि को लागू करने पर, उन्होंने दशमलव बिंदु के बाद 2 दशमलव अंक पाई: 3 और 10/71 = 3.14084। कई वर्षों बाद, चीनी गणितज्ञ लियू हू ने 3072-पक्षीय बहुभुज का उपयोग किया और 3.14159 (दशमलव बिंदु के बाद पाई के 5 वैध दशमलव अंक) संख्या प्राप्त की। उसके बाद, एक और चीनी गणितज्ञ ज़ू चुनज़ी ने और भी प्रभावशाली काम किया। उन्होंने 24000-पक्षीय बहुभुज के साथ काम किया और 3.1415926 - दशमलव बिंदु के बाद सात वैध दशमलव अंक पाई।

एक हजार साल बाद, जर्मन गणितज्ञ लुडॉल्फ ज़ीलन ने 2 ^62- पक्षीय बहुभुजों के साथ काम किया और 35 दशमलव अंक प्राप्त किए। ल्यूडॉल्फोव नामक इस संख्या को उनके गुरुत्वाकर्षण पर उकेरा गया था।




1706 में, खगोलविद के एक लंबे समय के प्रोफेसर, अंग्रेज जॉन माचिन ने उस पीआई नहर को साबित करने के लिए अतिरिक्त सूत्र का उपयोग किया


इस फॉर्मूले के बारे में चिंतित नहीं, मैकिन ने इसका लगातार उपयोग करना शुरू कर दिया, और फिर नीचे दी गई श्रृंखला को लिखा। यह उस समय के अंकों की संख्या में सबसे बड़ा कदम था।


चित्रा 29 : पी के लिए मशीन सूत्र

हालांकि, पी का पहला उल्लेख 1706 में दिखाई दिया। गणित के शिक्षक विलियम जोंस ने एक पुस्तक लिखी और हलकों को मापने के लिए पहला प्रस्ताव पेश किया। इसलिए पीआई पहली बार किताबों में दिखाई दी!




चित्र 30 : जूलियाब्लॉगर

1873 में, विलियम शैंक्स ने जॉन माचिन सूत्र का उपयोग किया और 707 दशमलव अंक प्राप्त किए। ये नंबर पेरिस पैलेस ऑफ डिस्कवर्स के कमरे में लिखे गए हैं। हालांकि, बाद में गणितज्ञों ने पाया कि केवल 527 अंक सही थे।


चित्र 31 : पाई कमरा

दूसरी ओर, बफन ने पाई को खोजने का एक और दिलचस्प तरीका खोजा। उनका प्रयोग पाई का मूल्यांकन करने के लिए बेतरतीब ढंग से बिखरने वाली सुइयों पर आधारित था। उन्होंने बोर्ड पर कई समानांतर रेखाओं को डी की दूरी पर खींचा और लंबाई एल की सुइयों को ले लिया। फिर उन्होंने बेतरतीब ढंग से बोर्ड पर सुइयों को फेंकना शुरू कर दिया और लाइन पार करने वाली सुइयों के अनुपात को लिख दिया।


चित्र 32.0 : विज्ञान शुक्रवार

और उसके बाद, लैजेरिनी नामक एक अन्य गणितज्ञ ने सुई को 3408 बार फेंक दिया और 355/113 के अनुपात के साथ छह दशमलव अंक प्राप्त किए । हालांकि, यदि एक सुई ने रेखा को पार नहीं किया, तो उसे केवल 2 अंक प्राप्त होंगे।


चित्र 32.1 : अनुमानित पी का अनुमान लगाने के लिए 1000 सुइयों को फेंकना

ई: घातीय वृद्धि का इतिहास

ई एक और प्रसिद्ध अपरिमेय संख्या है। भिन्नात्मक भाग e भी अनंत है, जैसे pi। हम शक्ति (घातीय) वृद्धि की गणना करने के लिए संख्या ई का उपयोग करते हैं। दूसरे शब्दों में, हम ई का उपयोग तब करते हैं जब हम बहुत तेज वृद्धि या कमी देखते हैं।

सबसे महान और शायद सबसे अच्छे गणितज्ञ में से एक, लियोनार्ड यूलर ने 1736 में नंबर ई की खोज की और पहली बार अपनी पुस्तक मेकेनिका में इस विशेष नंबर का उल्लेख किया।



चित्र 33 : स्रोत

घातीय वृद्धि को समझने के लिए, हम एक शतरंज आविष्कारक की कहानी का उपयोग कर सकते हैं। जब वह इस खेल के साथ आया, तो उसने इसे उत्तर के शासक को दिखाया। राजा को खेल पसंद आया और उसने वादा किया कि वह लेखक को कोई भी इनाम देगा। तब आविष्कारक ने बहुत ही सरल तरीके से पूछा: एक शतरंज की बिसात के पहले सेल पर 2 ⁰ अनाज, एक बोर्ड की दूसरी सेल के 2 ² अनाज, तीसरे के प्रति 2 ² अनाज और इतने पर। हर बार, अनाज की मात्रा दोगुनी हो गई। उत्तर के राजा ने सोचा था कि अनुरोध को पूरा करना आसान होगा, लेकिन उनसे गलती हुई, क्योंकि अंतिम सेल पर 2 ⁶³ अनाज डालना आवश्यक होगा, जो 9 223 372 036 854 775 808 है । यह घातीय वृद्धि है। यह 1 पर शुरू हुआ, लगातार दोगुना हो गया, और 64 चरणों के बाद यह एक बड़ी संख्या में बढ़ गया!

यदि एक शतरंज आविष्कारक ने एक रेखीय समीकरण चुना, उदाहरण के लिए, 2n, उसे 2, 4, 6, 8, ... 128 मिलेगा ... इसलिए, लंबे समय में, घातीय वृद्धि अक्सर बहुपद से अधिक हो जाती है।

वैसे, 9,223,372,036,854,775,808-1 एक 64-बिट हस्ताक्षरित पूर्णांक का अधिकतम मूल्य है।

चित्र 34 : स्रोत: विकिपीडिया

नंबर ई को यूलर द्वारा खोजा गया था । हालांकि, जैकब बर्नौली ने नंबर ई के साथ भी काम किया जब उन्होंने अधिक पैसा कमाने के लिए चक्रवृद्धि ब्याज की गणना की। यदि आप 10% आय पर $ 100 का निवेश करते हैं, तो यह राशि कैसे बढ़ेगी? सबसे पहले, यह इस बात पर निर्भर करता है कि बैंक कितनी बार ब्याज की गणना करता है। उदाहरण के लिए, यदि वह एक बार गणना करता है, तो हम वर्ष के अंत में $ 110 प्राप्त करेंगे। यदि हम अपना दिमाग बदलते हैं और हर 6 महीने में रुचि लेते हैं, तो इस मामले में हमें 110 डॉलर से अधिक प्राप्त होंगे। तथ्य यह है कि पहले 6 महीनों में प्राप्त प्रतिशत भी इसका प्रतिशत प्राप्त करेगा। कुल राशि 110.25 डॉलर के बराबर होगी। आप अनुमान लगा सकते हैं कि यदि हम वर्ष के प्रत्येक तिमाही में पैसा लेते हैं तो हम अधिक धन प्राप्त कर सकते हैं। और अगर हम समय अंतराल को कम करते हैं, तो अंतिम मात्रा बढ़ती रहेगी। इस तरह के एक अनंत चक्रवृद्धि ब्याज हमें अमीर बना देगा! हालांकि, हमारा कुल राजस्व ई के साथ जुड़े सीमित मूल्य के लिए जाता है।

बर्नौली ने 2.71828 नंबर को ई नाम से नहीं पुकारा। जब ईयूलर ने 2.71828 के साथ काम किया, तो उन्होंने एक्स की शक्ति के लिए घातीय फ़ंक्शन को उठाया। उन्होंने अपनी खोजों को द एनालिसिस ऑफ इनफिनिट नामक पुस्तक में रेखांकित किया।

1798 में, थॉमस माल्थस ने भविष्य की पोषण संबंधी कमी पर अपने निबंध में एक घातीय कार्य का उपयोग किया। उन्होंने खाद्य उत्पादन और दुनिया की आबादी को दिखाने वाले एक घातीय ग्राफ को दर्शाने वाली एक लाइन ग्राफ बनाया। माल्थस ने निष्कर्ष निकाला कि लंबे समय में, घातीय वृद्धि की जीत होगी, और दुनिया भोजन की गंभीर कमी का सामना कर रही है। इस घटना को "माल्थुसियन तबाही" कहा गया। न्यूटन ने इस मॉडल का इस्तेमाल यह दिखाने के लिए भी किया कि एक कप चाय कैसे ठंडी होती है।


चित्र 35 : न्यूटन-रिचमन कानून


चित्र 36 : माल्थुसियन आपदा

काल्पनिक संख्या: i, वर्गमूल -1

लंबे समय तक, गणितज्ञों के पास अपनी समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त सामान्य संख्याएं थीं। हालांकि, उनके आगे के विकास के लिए कुछ बिंदु पर उन्हें कुछ नया और रहस्यमय खोजने की जरूरत थी।उदाहरण के लिए, इतालवी गणितज्ञ कार्डानो ने संख्या 10 को 2 भागों में विभाजित करने का प्रयास किया, जिसका उत्पाद 40 के बराबर होगा। इस समस्या को हल करने के लिए, उन्होंने समीकरण को लिखा: x (10-x) = 40. जब उन्होंने इस द्विघात समीकरण को हल किया, तो उन्हें दो समाधान मिले: 5 प्लस plus-15 और 5 माइनस,-15, जो उस समय कोई मतलब नहीं था। यह परिणाम निरर्थक था, क्योंकि वर्गमूल की परिभाषा से उसे एक संख्या खोजने की आवश्यकता थी जिसका वर्ग ऋणात्मक होगा। हालांकि, दोनों सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं का सकारात्मक मूल्य है। जैसा कि हो सकता है, उसने अपना विशिष्ट नंबर पाया। हालांकि , ईयलर hem-1 (माइनस एक का वर्गमूल) को काल्पनिक संख्या i कहने वाला पहला गणितज्ञ था।

लाइबनिज ने काल्पनिक संख्या 1-1 के बारे में ऐसी टिप्पणी दी:

जटिल संख्याएं दिव्य आत्मा का एक सुंदर और अद्भुत आश्रय हैं, लगभग कुछ भी नहीं होने के साथ एक उभयचर।

हम काल्पनिक संख्याओं को जोड़, घटा, गुणा और भाग कर सकते हैं। जोड़, घटाव और गुणा सरल है, और विभाजन थोड़ा अधिक जटिल है। वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग मोड़ दिया जाता है। गुणन के मामले में, i ² , -1 के बराबर होगा।

यूलर के बाद, गणितज्ञ कैस्पर वेसेल ने ज्यामितीय रूप से काल्पनिक संख्याएं पेश कीं और एक जटिल विमान बनाया। आज हम निर्देशांक (ए, बी) के साथ एक बिंदु के रूप में प्रत्येक जटिल संख्या + द्वि का प्रतिनिधित्व करते हैं ।



आंकड़े 37 और 38 : जटिल संख्याएं

विक्टोरियन युग में, कई काल्पनिक संख्याओं पर संदेह करती थीं। हालांकि, आयरिश गणितज्ञ और खगोल विज्ञानी विलियम रोवन हैमिल्टन ने जटिल संख्याओं को परिभाषित करते हुए इन शंकाओं को समाप्त कर दिया, जैसा कि चतुष्कोणों पर लागू होता है।

सबसे सुंदर समीकरण: यूलर की पहचान

यूलर की पहचान साइन और कोज़ाइन फ़ंक्शन के साथ एक घातीय फ़ंक्शन को जोड़ती है, जिनके मान शून्य से एक तक होते हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ एक कनेक्शन खोजने के लिए, हम उन्हें एक अनंत श्रृंखला के रूप में दर्शा सकते हैं, जो सभी मूल्यों के लिए सत्य है



चित्र 39 : यूलर आइडेंटिटी की खोज


चित्र 40 : यूलर की पहचान

यूलर ने कभी भी इस पहचान को स्पष्ट रूप से दर्ज नहीं किया है, और हम नहीं जानते कि इसे किसने रिकॉर्ड किया था। फिर भी, हम इसे गणित के इस महान अग्रणी के लिए श्रद्धा में यूलर के नाम से जोड़ते हैं।