पाया गया कि सभी परिवर्तन क्रम और संयोग का मिश्रण हैं

पिंसकर के "सबसे कमजोर रूढ़िवाद" के कट्टरपंथी प्रमाण के अनुसार, परिवर्तनों के सभी विवरण मौका और नियतत्ववाद का एक अनूठा मिश्रण हैं।

एक बगीचे की कल्पना करें जहां दुनिया के सभी फूल उगते हैं - नाजुक ऑर्किड, विशाल सूरजमुखी, कार्नेगी कैक्टस के मोम के फूल और टाइटैनिक एम्पोरोफैलस के बदबूदार पुष्पक्रम। अब कल्पना कीजिए कि यह सभी पौधे विविधता केवल दो विकल्पों में बदल गए हैं, और उन्हें पार करके आप अन्य सभी का उत्पादन कर सकते हैं।

यह हाल के वर्षों में प्राप्त सबसे कट्टरपंथी सबूतों में से एक की प्रकृति है। यह लॉस एंजिल्स में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय के गणितज्ञ टिम ऑस्टिन द्वारा बनाया गया था। लेकिन फूलों के बजाय, ऑस्टिन का काम गणित में सबसे अधिक अध्ययन की जाने वाली वस्तुओं में से एक के साथ जुड़ा हुआ है: परिवर्तनों का गणितीय विवरण।

ये विवरण, जिन्हें डायनेमिक सिस्टम के रूप में जाना जाता है, ग्रहों की चाल से लेकर शेयर बाजार में उतार-चढ़ाव तक सभी पर लागू होते हैं। जहां भी एक गतिशील प्रणाली उत्पन्न होती है, गणितज्ञ इसके मूल सिद्धांतों को समझना चाहते हैं। और बुनियादी तथ्यों में से एक यह है कि किसी भी मनमाने ढंग से जटिल गतिशील प्रणाली को यादृच्छिक और निर्धारक तत्वों में विभाजित किया जा सकता है।

यह प्रश्न पिंसकर की "कमजोर परिकल्पना" का विषय है, जिसे पहली बार 1970 के दशक में तैयार किया गया था। ऑस्टिन द्वारा प्रस्तुत की गई परिकल्पना का प्रमाण सभी प्रकार की अस्पष्ट घटनाओं के बारे में सोचने का एक सहज ज्ञान युक्त तरीका प्रदान करता है। उन्होंने दिखाया कि संक्षेप में, इन गतिशील प्रणालियों में से प्रत्येक मौका और नियतत्ववाद का मिश्रण है।

भाग्य और मौका

एक गतिशील प्रणाली कुछ इनपुट डेटा के साथ शुरू होती है, उदाहरण के लिए, पेंडुलम की स्थिति के साथ, कुछ नियम लागू करते हैं, उदाहरण के लिए, न्यूटन के गति के नियम, और एक निश्चित परिणाम उत्पन्न करते हैं, उदाहरण के लिए, एक सेकंड में पेंडुलम की स्थिति। क्या महत्वपूर्ण है, डायनेमिक सिस्टम आपको इस प्रक्रिया को दोहराने की अनुमति देता है: आप पेंडुलम की एक नई स्थिति ले सकते हैं, समान नियम लागू कर सकते हैं, और दूसरे सेकंड में इसकी स्थिति प्राप्त कर सकते हैं।

डायनेमिक सिस्टम भी विशुद्ध रूप से गणितीय हैं। आप शुरुआती संख्या का चयन कर सकते हैं, नियम लागू कर सकते हैं "संख्या को दो से गुणा करें" और एक नया प्राप्त करें। यह प्रणाली आपको नियम हैंडलर में कुल संख्या वापस दर्ज करने और और भी अधिक संख्या प्राप्त करने की अनुमति देती है।

कुछ प्रकार के डायनेमिक सिस्टम को दो सरल डायनेमिक सिस्टम के संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ये दो प्रणालियाँ एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से काम करती हैं, लेकिन इन्हें एक और जटिल बनाने के लिए संयोजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक सिलेंडर की सतह के साथ एक बिंदु पर गतिशील प्रणाली की कल्पना करें। आप बिंदु की स्थिति दर्ज करते हैं, नियम लागू करते हैं, और एक और बिंदु प्राप्त करते हैं।

इस प्रणाली को दो सरल लोगों में विभाजित किया जा सकता है। पहला एक गतिशील प्रणाली है जो एक वृत्त के चारों ओर एक बिंदु को स्थानांतरित करता है। दूसरी एक प्रणाली है जो एक बिंदु को ऊपर और नीचे खड़ी करती है। दो प्रणालियों - परिपत्र गति और सीधी गति के संयोजन से - हम सिलेंडर के साथ एक अधिक जटिल बिंदु गति प्राप्त करते हैं।



बोस्टन कॉलेज के गणितज्ञ कैथरीन लिंडसे ने कहा, "संपूर्णता की संपूर्ण प्रणाली का अध्ययन करने के बजाय, आपको इसे भागों में विभाजित करने की जरूरत है, छोटे हिस्से जो कि अध्ययन करने के लिए समझ में आते हैं।"

इन बिल्डिंग ब्लॉक्स की भूमिका के लिए दो प्राकृतिक उम्मीदवार हैं। पूर्व पूरी तरह से नियतात्मक गतिशील प्रणाली हैं, जैसे कि हमारा पेंडुलम उदाहरण। यदि आप किसी समय में पेंडुलम की स्थिति जानते हैं, तो आप भविष्य में किसी भी समय इसकी भविष्यवाणी कर सकते हैं।


पिंसकर की कमजोर परिकल्पना के निर्माण के दो साल पहले 1975 में जीन-पॉल तुवनो

दूसरे प्रकार का गतिशील सिस्टम पूरी तरह से यादृच्छिक है। उदाहरण के लिए, इस नियम के साथ एक गतिशील प्रणाली की कल्पना करें: एक सिक्का टॉस करें। अगर कोई चील है, तो बाईं ओर एक कदम रखो; अगर पूंछ, सही है। अंतिम पथ पूरी तरह से यादृच्छिक होगा, अर्थात, भले ही आप पिछले पथ के बारे में सब कुछ जानते हों, यह जानकारी आपको अगले चरण की भविष्यवाणी करने में मदद नहीं करेगी।

कुछ गतिशील प्रणालियां पूरी तरह से यादृच्छिक हैं, अन्य पूरी तरह से निर्धारक हैं, और अधिकांश कहीं बीच में हैं - वे दोनों का एक संकर हैं। उदाहरण के लिए, हमारे यादृच्छिक चलने के थोड़ा संशोधित संस्करण की कल्पना करें। हम एक पथ के साथ चलते हैं जिसके किनारे फूल लगाए जाते हैं, और उनके रंग भी यादृच्छिक होते हैं। नियम वही रहता है: अगर कोई चील गिर जाए, तो बाएं चला जाए; अगर पूंछ, सही है। फूलों के रंगों का क्रम क्या होगा?

पहले तुम बेतरतीब बोलो। आखिरकार, रंगों को खुद यादृच्छिक रूप से चुना गया था, और आपका आंदोलन भी यादृच्छिक है। हालाँकि, जब आप एक एकल फूल पास कर लेते हैं, तो आप इसे भविष्य में बढ़ने की संभावना से गुजरते हैं, केवल इसलिए कि आप इससे दूर नहीं हैं। फूलों के रंगों का क्रम पूरी तरह से यादृच्छिक नहीं होगा।

"यदि आप लाल के बगल में खड़े होते हैं, तो यह संभावना बढ़ जाती है कि दो चरणों में आप फिर से लाल से मिलेंगे, क्योंकि ऐसा हो सकता है कि आप बाईं ओर, फिर दाईं ओर, और उसी स्थान पर वापस जाएँ," ऑस्टिन ने कहा।

इस तरह के "एक यादृच्छिक परिदृश्य के माध्यम से यादृच्छिक चलना" उत्पादन का उत्पादन करता है - रंगों का एक क्रम - आंशिक रूप से यादृच्छिक और आंशिक रूप से नहीं। 1960 में, गणितज्ञ मार्क पिंसकर ने सुझाव दिया कि गतिशील प्रणालियों के एक निश्चित बड़े वर्ग के पास निम्नलिखित संपत्ति है: वे एक नियतात्मक के साथ एक यादृच्छिक गतिशील प्रणाली का मिश्रण हैं।

पिंसकर का अनुमान एक महत्वपूर्ण आम संपत्ति वाले गतिशील प्रणालियों के वर्ग पर लागू होता है। उनमें अंक एक दूसरे से बहुत दूर नहीं जाते हैं और सिस्टम के विकास के दौरान सिकुड़ते नहीं हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि आप अपने अंतरिक्ष में बिंदुओं के एक सेट के चारों ओर एक लूप खींचते हैं (अंतरिक्ष एक सिलेंडर सतह की तरह कुछ हो सकता है), एक लंबी अवधि के लिए एक गतिशील प्रणाली का विकास शुरू करें, और फिर परिणामी सेट के चारों ओर एक लूप ड्रा करें, फिर वह क्षेत्र जिसमें बिंदु हैं अंत, वे उस क्षेत्र के साथ मेल खाते हैं जो उन्होंने शुरुआत में कब्जा कर लिया था। ऐसी प्रणालियों को "माप संरक्षण" कहा जाता है

"अगर पिंसकर की मूल परिकल्पना सच थी, तो यह दुनिया का एक अद्भुत विवरण होगा," प्रिंसटन विश्वविद्यालय के एक गणितज्ञ असफ नोर ने कहा। लेकिन पिंसकर गलत था। 1973 में, डोनाल्ड ऑर्नस्टीन ने अपनी परिकल्पना को अस्वीकार कर दिया। नॉर्थवेस्टर्न यूनिवर्सिटी के गणितज्ञ ब्रायन क्र्रा ने कहा, "शब्द बहुत महत्वाकांक्षी था।"

गणित में, यह अक्सर ऐसा होता है कि सामान्य परिकल्पना का खंडन होने के बाद, गणितज्ञ इसका अधिक विनम्र संस्करण तैयार करने की कोशिश करते हैं। 1977 में, गणितज्ञ जीन-पॉल तुवेनो ने कमजोर पिंसकर परिकल्पना का प्रस्ताव रखा। उन्होंने मूल सूत्रीकरण को नरम किया, यह सुझाव देते हुए कि जिन गतिशील प्रणालियों के बारे में पिंसकर के दिमाग में था, वे पूरी तरह से निर्धारक प्रणाली के साथ विशुद्ध रूप से यादृच्छिक प्रणाली के संयोजन का परिणाम थे।

शोधन "लगभग" पिंसकर की परिकल्पना से तुवेनो की परिकल्पना को अलग करता है। उनका मतलब था कि एक सरल निर्धारक प्रणाली में कुछ संभावनाएं होनी चाहिए। यह ट्रेस छोटा गायब हो सकता है, लेकिन वहाँ होना चाहिए। और जब वह है, तुवेनो ने कहा, पिंस्कर का विचार काम करेगा।

"यह मूल परिकल्पना के करीब था, और तुवेनो ने दिखाया कि यदि ऐसा है, तो परिकल्पना के पास बड़ी संख्या में उत्कृष्ट अनुप्रयोग होंगे," नोर ने कहा।

अगले दशकों में, गणितज्ञों ने पिंसकर की कमजोर परिकल्पना को साबित करने में बहुत सफलता हासिल नहीं की। प्रगति की कमी के कारण तुवेनो को लगता है कि उनकी कमजोर हो चुकी शब्दावली भी गलत होगी। "एक बिंदु पर, मैंने सोचा था कि सब कुछ विपरीत होगा, कि यह सार्वभौमिक नहीं होगा," उन्होंने कहा।

और फिर टिम ऑस्टिन दिखाई दिए।

कदम का हल

पिंसकर की कमजोर परिकल्पना को साबित करने के लिए, एक गतिशील प्रणाली के माध्यम से एक सटीक तरीका खोजने के लिए आवश्यक था - एक जो इसे अपने यादृच्छिक और लगभग निर्धारक भागों को अलग करने की अनुमति देगा। पिछले काम ने स्थापित किया है कि तत्वों को थोड़ा यादृच्छिकता के साथ अलग करना सबसे मुश्किल होगा।

तुवन ने कहा, "छोटे यादृच्छिक कारकों को पकड़ना बहुत कठिन है, और सबूतों के मध्य भाग में एक छोटे यादृच्छिक संरचना का पता लगाने का एक तरीका है।"


टिम ऑस्टिन, कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, लॉस एंजिल्स में एक गणितज्ञ

ऑस्टिन एक बदलते दृष्टिकोण से एक गतिशील प्रणाली के छोटे यादृच्छिक तत्वों से निपटने में कामयाब रहा। डायनेमिक सिस्टम एक निरंतर स्थान पर काम करते हैं, जैसे कि सिलेंडर की सतह के साथ एक बिंदु, या अंतरिक्ष में झूलते हुए एक पेंडुलम। इन स्थानों में, अंक एक गतिशील प्रणाली के नियमों के अनुसार निरंतर चाप के साथ चलते हैं। इसके अलावा, ये सिस्टम कई अनंत चरणों पर काम करते हैं - वे हमेशा के लिए कार्य कर सकते हैं।

लेकिन अपने प्रमाण में, ऑस्टिन ने निरंतर चिकनी जगह को छोड़ दिया और गतिशील प्रणालियों के अनन्त काम के बारे में भूल गया। इसके बजाय, उन्होंने विश्लेषण करना शुरू किया कि अगर वे एक लाख कदम जैसे असतत कार्य करने की अनुमति देते हैं तो क्या होगा। इस प्रकार उन्होंने तुवनो द्वारा आविष्कृत विधि को लागू किया।

"तुवेनो का मुख्य योगदान यह था कि उन्होंने महसूस किया कि यदि आप लंबी परिमित रेखाओं के साथ सही गणितीय कदम उठाते हैं, तो आप एक गतिशील प्रणाली के गुणों को साबित कर सकते हैं," ऑस्टिन ने कहा। "मेरा मुख्य योगदान यह था कि मैंने साबित किया कि लंबे समय तक लाइनों के लिए क्या आवश्यक था।"

ऑस्टिन ने एक गतिशील प्रणाली की कल्पना की, जो लोगों और शून्य का एक क्रम जारी करती है। यदि डायनेमिक सिस्टम एक सिक्के को उछाल रहा है, तो यह कल्पना करना आसान है: पूंछ 1 होगी और सिर 0. होंगे। लेकिन किसी भी डायनेमिक सिस्टम का उपयोग केवल उस स्थान को विभाजित करके द्विआधारी अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है जिसमें यह दो में काम करता है (जरूरी नहीं कि बराबर) भाग।



एक सिलेंडर पर एक गतिशील प्रणाली के उदाहरण पर लौटते हुए, यदि बिंदु सिलेंडर के एक हिस्से पर है, तो आप सिस्टम 1 के आउटपुट मूल्य को निरूपित करते हैं, और यदि दूसरे पर, तो 0।

ऑस्टिन ने इन बाइनरी दृश्यों का विश्लेषण एक सूचना सिद्धांत उपकरण का उपयोग करते हुए किया जिसे हैमिंग क्यूब्स कहा जाता है। किनारों से जुड़े कोने की एक घन की कल्पना करो। बाइनरी नंबर प्रत्येक वर्टेक्स को सौंपे जाते हैं - कहते हैं, 001 या 101. प्रत्येक बार, जब एक वर्टेक्स से दूसरे में स्विच किया जाता है, तो तीन अंकों में से एक बदल जाता है।

हमिंग क्यूब्स हमारी तुलना में बहुत अधिक जटिल हो सकते हैं, उनके पास तीन से अधिक आयामों में अधिक किनारों और कोने हो सकते हैं - लेकिन उन सभी के पास संपत्ति है, जिसके कारण किसी भी दो कोने के बीच की दूरी - या किनारों की संख्या जो आपको जाने की आवश्यकता है एक शीर्ष से दूसरे तक जाने के लिए उन स्थानों की संख्या के बराबर है जिनमें इन शीर्षों के अनुरूप सूचना रेखाएं प्रतिष्ठित हैं। इसलिए, 000 001 से एक किनारे की दूरी पर स्थित है, 011 से दो किनारों और 111 से तीन।



एक जटिल गतिशील प्रणाली को बनाने वाले यादृच्छिक और निर्धारक तत्वों को अलग करने के लिए, ऑस्टिन ने इस बारे में सोचा कि कितनी बार एक गतिशील प्रणाली शून्य के एक दिए गए अनुक्रम का उत्पादन कर सकती है और एक हैमिंग क्यूब पर प्रतिनिधित्व किया जाता है। उन्होंने साबित कर दिया कि इन दृश्यों को एक निश्चित तरीके से एक क्यूब में वितरित किया जाता है। वे घन उपग्रहों की एक छोटी संख्या में जमा होते हैं - और यह क्लस्टर सिस्टम के नियतत्ववाद को दर्शाता है - हालांकि, उन्हें इन समूहों के भीतर अनुक्रमों के बीच यादृच्छिक रूप से वितरित किया जाता है, जो सिस्टम की यादृच्छिकता को दर्शाता है।

इस तरह के एक गोल चक्कर को एक समस्या को हल करने के लिए आवश्यक था जो प्रत्यक्ष हमलों में नहीं देता था।

ऑस्टिन के टेक्सास विश्वविद्यालय के गणितज्ञ लुईस बोवेन ने कहा, "मुझे जो आश्चर्य हुआ वह पिंसकर की कमजोर परिकल्पना की सच्चाई या मिथ्या नहीं था, लेकिन यह साबित करने के लिए कैसे निकला, क्योंकि यह कार्य इतना कठिन था।" "सबूत दिखाई देने से पहले, हम, द्वारा और बड़े, यह पता नहीं था कि क्या यह बिल्कुल भी किया जा सकता है।"

ऑस्टिन का परिणाम डायनेमिक सिस्टम की एक विस्तृत श्रृंखला को मूल संरचना देता है। गणितज्ञों के लिए, जो अक्सर उन वस्तुओं के बीच घूमते हैं, जो परस्पर जुड़े हुए लगते हैं, यह स्पष्ट नहीं है कि प्रमाण उनके सटीक भूगोल को कैसे दर्शाता है। अब उनके पास इन गतिशील प्रणालियों के लिए एक गाइड है, हालांकि यह अभी भी अज्ञात है कि यह किस तरह की खोजों को जन्म देगा।

"गणितज्ञ हमेशा बिल्डिंग ब्लॉक्स में रुचि रखते हैं जो कुछ भी बनाते हैं," लिंडसे ने कहा। "ऑस्टिन का प्रमाण एक उत्कृष्ट परिणाम है, जिसमें शुद्ध गणित में कई आवेदन होने की संभावना है, लेकिन मैं यह नहीं कह सकता कि वे क्या होंगे।"