ब्रोकर समस्या का सामान्यीकरण

कहानी

पेरिस में गणितज्ञों के द्वितीय अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में 1900 में हिल्बर्ट ने संख्या सिद्धांत के व्यावहारिक महत्व को नोट किया। अमूर्त समस्याओं के समाधान के लिए अक्सर एक नए गणितीय तंत्र का उदय हुआ। एक ज्वलंत उदाहरण ग्रेट फार्म प्रमेय है, जिसके प्रमाण के दौरान, 20 वीं शताब्दी के अंत में, ऑटोमोबाइल और एयरक्राफ्ट कारखानों में आधुनिक डिजाइन इंजीनियरों द्वारा उपयोग किए जाने वाले मेरोमोर्फिक कार्यों, साथ ही सिमुलेशन के ढांचे में आईटी विशेषज्ञों द्वारा जांच की गई थी। "सुंदर संख्या" की समस्याएं - सरल जुड़वाँ और सही संख्या, जिन्हें प्राचीन ग्रीस में लगभग बेकार माना जाता था, अब स्थिर कुंजी पीढ़ी के एल्गोरिदम के साथ आधुनिक क्रिप्टोग्राफी प्रदान करते हैं।

1913 में, रामानुजन ने अनिश्चित समीकरण को लोकप्रिय बनाया:

$$

$$n! + 1 = m ^ 2 (1)$$

पहले, यह हेनरी ब्रोकार्ड के कामों में दिखाई दिया। इतिहासकारों के अनुसार, दो गणितज्ञ इस समीकरण का एक दूसरे से स्वतंत्र अध्ययन करने लगे। जाहिर है, वर्ग की तुलना में फैक्टरियल तेजी से बढ़ता है, इसलिए एन के मूल्यों की गणना करके पहला समाधान जल्दी से प्राप्त किया जा सकता है। हमें मिलता है:

$$

$$4! = 5 ^ 2-1$$

$$

$$5! = 11 ^ 2-1$$

$$

$$7! = 71 ^ 2-1$$

2000 में, कंप्यूटर एन्यूमरेशन द्वारा मूल्यों की जाँच की गई थी $$$एन$ को $$$10 ^ 9$ , और नए समाधान नहीं मिल सके। लेख ब्रोकर समस्या के विशेष मामलों की जाँच करने के लिए मेरे दृष्टिकोण का सुझाव देता है, और गणितीय समस्या का एक सामान्यीकृत संस्करण भी तैयार करता है, जिसका समाधान एबीसी परिकल्पना की परवाह किए बिना फार्म के समीकरणों को हल करने की अनुमति देगा:

$$

$$n! = P (x)$$

आवश्यक शर्तें

मॉड्यूलर अंकगणित एक समस्या की जटिलता के प्रारंभिक मूल्यांकन और विशेष मामलों के आवंटन के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है। उदाहरण के लिए, यह दिखाना आसान है $$$एम$ ब्रोकर की समस्या का कोई हल नहीं है, क्योंकि एकता को छोड़कर, किसी भी प्राकृतिक संख्या के तथ्य के बाद भी। मूल्यों की एक जोड़ी के लिए एक शर्त $$$(n, m)$ ब्रोकार्ड समीकरण में अभिव्यक्ति द्वारा भाज्य की विभाज्यता है:

$$

$$m ^ 2-1$$

फैक्टरियल, परिभाषा के अनुसार, लगातार प्राकृतिक संख्याओं का एक उत्पाद है। प्राकृतिक श्रृंखला के गुणों का उपयोग करते हुए, कोई भी तथ्य के विहित कारक में एक या दूसरे अभाज्य संख्या की डिग्री निर्धारित कर सकता है। उदाहरण के लिए $$$16!$ लगातार 16 कारक शामिल हैं। हर दूसरे कारक को 2 से विभाजित किया जाता है, प्रत्येक 4 को 4 से विभाजित किया जाता है, प्रत्येक 8 वें को 8 और हर 16 को 16 है। इस प्रकार, अपघटन $$$16!$ कारकों से 2 की शक्ति होती है $$$1 + 2 + 4 + 8 = 15$ । यहाँ से अगर कोई जोड़ा है $$$(16, एम)$ ब्रोकर की समस्या का समाधान होना $$$m ^ 2$ 15 तक दो की किसी भी शक्ति द्वारा विभाजित करते समय शेष 1 देना चाहिए। हम इसके लिए आवश्यक शर्त तैयार करते हैं $$$एम$ 1 हल करते समय:

चलो $$$एन!$ कुछ हद से अधिक नहीं है $$$k$ अभाज्य संख्या $$$पी$ और एक संख्या है $$$एम$ जिस पर जोड़ी $$$(n, m)$ समीकरण का हल है 1. फिर $$$m ^ 2-1$ सभी डिग्री में विभाजित किया जाना चाहिए $$$पी$ को $$$F (k)$ जहाँ $$$एफ$ - डिग्री गणना फ़ंक्शन $$$पी$ सड़न में $$$एन!$ । (2)

पी-संपत्ति

मान लीजिए कि एक एल्गोरिथ्म मौजूद है कुछ प्रमुख संख्या के लिए आवश्यक स्थिति 2 की जांच $$$पी$ । ऐसे एल्गोरिथ्म को हम पी-टेस्ट कहते हैं। वहाँ भी एक प्राकृतिक हो $$$एन$ हालत संतोषजनक: $$$(n-1)! <m ^ 2 <n $$
फिर हम कहते हैं कि संख्या $$$एम$ एक P- संपत्ति रखता है।

मनमानी के लिए 2-परीक्षण प्रक्रिया पर विचार करें $$$एम$ के बीच $$$1023!$ और $$$1024!$ । के लिए $$$m ^ 2$ निम्नलिखित कथन सत्य होंगे:

1. $$$m ^ 2$ दो में से सभी शक्तियों को विभाजित करते समय 1 का शेष भाग देता है $$$2 ^ {1023-10 = 1013}$ समावेशी;
2. $$$m ^ 2-1$ द्वारा विभाजित नहीं है $$$2 ^ {1024-10 = 1014}$ ।

व्यवहार में, अधिकांश वर्ग संख्याओं के बीच $$$1023!$ और $$$1024!$ पहले 200 पुनरावृत्तियों में 2 परीक्षण विफल। यदि संख्या $$$m ^ 2$ निर्दिष्ट अंतराल से और $$$एम$ बाइनरी सिस्टम में 2-संपत्ति रखता है $$$m ^ 2$ में समाप्त होता है $$$100..001$ , जहां शून्य ठीक 1012 हैं। फिर, स्थिति 2 को सत्यापित करने के लिए, हम गणना कर सकते हैं $$$m ^ 2$ अंतिम 8 अंकों तक और अंतिम 8 अंकों की जांच करें। अगर इसके अलावा कोई सीक्वेंस हो $$$0000 0001$ फिर 2-परीक्षण में विफल रहा। 8, 16, 24, आदि की सटीकता के साथ प्रत्येक परीक्षित मूल्य की क्रमिक गणना करना। वर्ण, आप सिस्टम संसाधनों की एक न्यूनतम का उपयोग करके मूल्यों के एक बड़े सेट के लिए जल्दी से स्थिति 2 की जांच कर सकते हैं। श्रृंखलाओं के आकार जो 8 के गुणक हैं, आधुनिक कंप्यूटरों की रैम की बाइट संरचना द्वारा उचित हैं: एक पूरी बाइट का उपयोग छोटी श्रृंखलाओं को संग्रहीत करने के लिए किया जाएगा। बड़ी श्रृंखलाओं के लिए 8 के गुणक नहीं, स्मृति के अप्रयुक्त बिट्स भी होंगे।

कथन को सत्यापित करना आवश्यक है:
के बीच में $$$एन$ एक खंड से $$$[k_1, k_2]$ समीकरण 1 के लिए कोई समाधान नहीं हैं $$$एम$ जहाँ $$$n, m, k_1, k_2$ - प्राकृतिक।

स्टर्लिंग सूत्र का उपयोग करते हुए, हम अंतराल को परिभाषित करते हैं $$$(a_1, b_1), (a_2, b_2), .., (a_l, b_l)$ जहाँ $$$l = k_2-k_1 + 1$ । I-th गैप के लिए:

$$

$$a_i = {(s / e)} ^ s e ^ {1 / {12s + 1}} {\ sqrt {2 \ pi s}}$$

$$

$$b_i = {(s / e)} ^ s e ^ {1 / {12s}} {\ sqrt {2 \ pi s}}$$

$$

$$s = k_1 + i-1$$

तब कथन सत्य है:
यदि वर्ग संख्याओं में से है $$$(a_1, b_1), (a_2, b_2), .., (a_l, b_l)$ 2-टेस्ट में कोई भी उत्तीर्ण नहीं हुआ, फिर समीकरण 1 का अंतराल पर कोई हल नहीं है $$$[k_1, k_2]$ । दीक्षांत सत्य नहीं है।

आवश्यक स्थिति के तहत ब्रोकर समस्या का एक सामान्यीकरण

सामान्य तौर पर, पी-संपत्ति के साथ एक वर्ग संख्या का पथरी में एक आधार होता है $$$पी$ देखें: $$$t00..001$ शून्य की संख्या के साथ $$$F (k) -1$ । तब हम P- संपत्ति की समस्या को सामान्य कर सकते हैं:
दो कार्यों का वर्णन करें: $$$एफ$ और $$$जी$ किसी भी प्राकृतिक तर्क के लिए प्राकृतिक मान लौटाना, और $$$जी$ पूर्णांक गुणांक के साथ एक बहुपद के रूप में प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है। फिर संख्याओं के बीच एक मानदंड तैयार करना आवश्यक है $$$एम$ बीच में पड़ा हुआ $$$जी (टी)$ और $$$G (t + 1)$ और आधार पी के साथ पथरी में अंकन में होने के रूप में:

$$

$$k_100..00k_2 (3)$$

आप केवल उन लोगों को चुन सकते हैं जिनके पास nth डिग्री का एक प्राकृतिक रूट है, जहां रिकॉर्ड 3 में शून्य की संख्या फ़ंक्शन द्वारा दी गई है $$$एफ$ पर निर्भर करता है $$$टी$ । ऐसा करने में, $$$k_1$ एक पैरामीटर, एक मनमाना मूल्य या एक स्थिर और हो सकता है $$$k_2$ - हमेशा एक स्थिर। (4)

उदाहरण के लिए, आप संख्याओं से घनमूल निकालने की समस्या का समाधान कर सकते हैं $$$एन$ हेक्साडेसिमल संकेतन में होने $$$k00..001$ जहाँ $$$k$ कोई भी हेक्साडेसिमल संख्या 1 से अधिक है, और किसी विशेष के लिए शून्य की संख्या $$$एन$ सबसे बड़े के बराबर $$$टी$ जिसके लिए असमानता निहित है:

$$

$$2 ^ t + 3t-1 <n$$

लेख लिखने का आधार पहले से ही पाए गए जड़ों और संख्या को प्रतिस्थापित करते समय समीकरण 1 के बाईं ओर के मान के लिए एक मनमानी गणना में रिकॉर्ड 3 में शून्य की संख्या के बीच प्रत्यक्ष संबंध के बारे में बयान था। $$$एन$ । यदि समीकरण 1 में ठीक 3 जड़ें हैं, तो समस्या के इसी विशेष मामले को हल करके इस तथ्य को साबित किया जा सकता है। 4. वाक्य सच नहीं है।

निष्कर्ष

संख्या सिद्धांत से अमूर्त समस्याओं के व्यावहारिक महत्व के बारे में बोलते हुए, गणितीय उपकरण के विकास को उत्तेजित करने वाले एक कारक के रूप में, यह पूर्णांक में एक दिलचस्प समीकरण का उल्लेख करने योग्य है, जिसका समाधान उपरोक्त सामान्यीकरण के ढांचे के भीतर असंभव है:

$$

$$11 + ({2 ^ {n ^ 2-1} -2 ^ {3n-3}}) / (2 ^ {n-1} -1) \ equiv 0 \ pmod {2 ^ {m + 1} -1 } (5)$$

यह समीकरण तार्किक रूप से गैर-आवर्तक विधि द्वारा ल्यूक संख्या को अनुमानित करने के प्रयासों से आता है। समस्या 5 का समाधान मेरसेन संख्या के नए गुणों की खोज करने और ल्यूक-लेमर परीक्षण के आधार पर बड़े अपराधों के लिए वितरित खोज कार्यक्रमों के काम में तेजी लाने के लिए आवश्यक शर्तों को तैयार करने में मदद करेगा।

कमजोर गोल्डबैक समस्या के अनुरूप, यह माना जाता है कि पी-परीक्षण समीकरण 1 की पूरी जड़ों के लिए एक बड़ी निचली सीमा को प्राप्त करने में मदद करेगा, इसके अलावा $$$(4, 5), (5, 11)$ और $$$(7, 71)$ , और समस्या 3 के अध्ययन से एन के पर्याप्त रूप से बड़े मूल्यों के लिए पूर्णांकों में समीकरण 1 की अस्थिरता का प्रमाण मिलेगा।

सूत्रों का कहना है

हिल्बर्ट की समस्याएं
ब्रोकर की चुनौती