😚 👨🏿‍🚀 👂🏿 त्रि-आयामी हाइपरस्फेयर की दुनिया। गोलाकार ज्यामिति के साथ एक बंद ब्रह्मांड में जियोडेसिक किरण का पता लगाना 🧑🏿‍🤝‍🧑🏿 😁 🌚

आप गोलाकार ज्यामिति के साथ एक कॉम्पैक्ट बंद ब्रह्मांड में रहने वाले प्राणी की आंखों के माध्यम से दुनिया को देखना चाहेंगे? एक रात बिना दुनिया देखे? एक ऐसी दुनिया जहां ग्रह का दूसरा ध्रुव आकाश में दिखाई देता है? एक ऐसी दुनिया जहां सूर्य और चंद्र ग्रहण में कोई अंतर नहीं है? बिल्ली के लिए आपका स्वागत है!

परिचय। द्वि-आयामी बंद दुनिया

आगे क्या होगा, इसे बेहतर ढंग से समझने के लिए, कल्पना करें कि आप एक दो-आयामी प्राणी हैं और एक द्वि-आयामी दुनिया में रहते हैं जो एक क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं। आप अपनी दुनिया को कैसे अनुभव करेंगे? आइए निकायों की स्थिति का निर्धारण करके शुरू करें। आप उस बिंदु की घोषणा कर सकते हैं जिस पर आप "ब्रह्मांड का केंद्र" हैं, दो परस्पर लंबवत इकाई वैक्टर का चयन करें और परिणामस्वरूप "ब्रह्मांड के केंद्र" के आसपास के क्षेत्र में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करें।

हालांकि, जैसे ही आप "ब्रह्मांड के केंद्र" से दूर जाते हैं, अजीब चीजें होने लगेंगी। "ब्रह्मांड के केंद्र" से एक निश्चित दूरी के साथ, जिसे आप लंबवत रेखाओं के रूप में अनुभव करते हैं, जिसे आप समानांतर रेखाओं के रूप में देखते हैं ...

... और समानांतर रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं।

कारण सरल है - जिसे आप एक सीधी रेखा के रूप में अनुभव करते हैं, वह वास्तव में एक बड़ा चक्र है - गोले की भूगणितीय रेखा । इसलिए, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली आपकी दुनिया में निकायों की स्थिति निर्धारित करने के लिए अनुपयुक्त है - जब आप "ब्रह्मांड के केंद्र" से दूर जाते हैं तो यह अपना अर्थ खो देता है।

आपको अपनी दुनिया में उपयोग के लिए अधिक उपयुक्त, समन्वय प्रणाली - एक और चुनना होगा। यह समन्वय प्रणाली प्राकृतिक और सुसंगत है। वास्तव में - ध्रुवीय अक्ष और शरीर की दिशा के बीच का कोण शरीर की दूरी की परवाह किए बिना स्थिर रहता है।

निकायों की स्थिति निर्धारित करने में सक्षम होने के नाते, हम मानसिक रूप से आपकी दुनिया का पता लगा सकते हैं और कुछ प्रभावों का वर्णन कर सकते हैं जो आपके "ब्रह्मांड के केंद्र" से दूर चले जाते हैं और इस तथ्य के कारण कि आपकी दुनिया एक क्षेत्र है।

रिवर्स परिप्रेक्ष्य । आमतौर पर, जब कोई पिंड "ब्रह्मांड के केंद्र" से दूर जाता है, तो इसका कोणीय आकार घट जाता है। हालांकि, शरीर को हटाने के साथ "ब्रह्मांड के केंद्र" से जियोडेसिक लाइन की लंबाई के एक चौथाई से अधिक की दूरी पर, इसके कोणीय आकार में वृद्धि होगी। यह प्रभाव इस तथ्य के कारण है कि क्षेत्र की भूमध्य रेखाओं के बीच की दूरी भूमध्य रेखा तक बढ़ती है, और भूमध्य रेखा के बाद कम हो जाती है। भूमध्य रेखा से समान दूरी पर स्थित एक बॉडी रिमोट का एक ही कोणीय आकार होगा, चाहे वह भूमध्य रेखा से किस तरफ स्थित हो। और यह कोणीय आकार भूमध्य रेखा पर शरीर के कोणीय आकार से बड़ा होगा।

पूरे शरीर को आकाश में खींचना। यहाँ पूरे आकाश शब्द का प्रयोग अर्थ में किया जाता है - दो-आयामी होने (ऊपरी और निचले या आगे और पीछे) के दृश्य का पूरा क्षेत्र। यदि शरीर "ब्रह्मांड के केंद्र" के विपरीत बिंदु के पास है, तो आप जहां भी देखेंगे, आप इस शरीर के साथ अपने टकटकी को पूरा करेंगे। शरीर के पास एक बिंदु नहीं होगा जिसे देखा नहीं जा सकता है - प्रत्येक बिंदु का आकाश में एक स्थान है। यह रिवर्स परिप्रेक्ष्य प्रभाव का अंतिम मामला है।

सममित रूप से बदलने वाला टेल। यदि शरीर "ब्रह्मांड के केंद्र" से जियोडेटिक लाइन की आधी से अधिक दूरी पर है, तो आप देखेंगे कि यह शरीर सममित रूप से रूपांतरित हो गया है - शरीर के बाएं और दाएं हिस्से स्थानों को बदल देंगे। आमतौर पर "ब्रह्मांड के केंद्र" से निकलने वाली बाईं और दाईं किरणें शरीर के बाएं और दाएं हिस्से पर पड़ती हैं। हालांकि, "ब्रह्मांड के केंद्र" से जियोडेसिक लाइन की आधी लंबाई की दूरी पर, किरणें चौराहे और उसके बाद शरीर के विपरीत पक्षों में गिरती हैं।

दूसरा फॉरवर्ड और रिवर्स पर्सपेक्टिव। यह प्रभाव तब भी देखा जाता है जब शरीर "ब्रह्मांड के केंद्र" से जियोडेसिक रेखा की आधी से अधिक दूरी पर हो। "ब्रह्मांड के केंद्र" से जियोडेसिक लाइन की लंबाई के आधे से तीन तिमाहियों की दूरी पर, शरीर को हटाने के साथ, इसका कोणीय आकार फिर से घट जाएगा (प्रत्यक्ष परिप्रेक्ष्य)। "ब्रह्मांड के केंद्र" से जियोडेसिक लाइन की पूरी लंबाई में तीन तिमाहियों की दूरी पर, जैसे-जैसे शरीर दूर होगा, इसका कोणीय आकार फिर से बढ़ेगा (रिवर्स परिप्रेक्ष्य)। यह प्रभाव, साथ ही उलटा परिप्रेक्ष्य प्रभाव, गोले की जियोडेसिक रेखाओं के बीच की दूरी में परिवर्तन के साथ जुड़ा हुआ है - "ब्रह्मांड के केंद्र" पर वापस जाने के रास्ते पर, क्षेत्र के भूमध्य रेखाओं के बीच की दूरी बढ़ जाती है, और भूमध्य रेखा के बाद घट जाती है।

प्रतिलेख। आपकी दुनिया के प्रत्येक शरीर में एक डबल होगा - यदि आप अपने सामने एक शरीर देखते हैं, तो आप अपने चारों ओर मुड़कर इसके विपरीत पक्ष (डबल) को देख सकते हैं। एक लंबे रास्ते के साथ उत्सर्जित एक किरण आपकी दुनिया के चारों ओर जाती है और शरीर के पीछे प्रवेश करती है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि डबल की सतह सतह का वह हिस्सा होगा जिसे आप अपने सामने नहीं देखते हैं, और यह सममित रूप से रूपांतरित हो जाएगा। यहाँ, शब्द की सतह का उपयोग अर्थ में किया जाता है - द्वि-आयामी शरीर की सीमा जिसे दो-आयामी होने के कारण माना जाता है - जैसा कि एक सर्कल पर लागू होता है, यह वास्तव में एक परिपत्र के रूप में दो-आयामी द्वारा माना जाने वाला एक गोलाकार चाप है, हालांकि, स्पष्टता के लिए, हम न केवल चाप को उजागर करेंगे, बल्कि इसके पीछे पड़े सर्कल के हिस्से को भी उजागर करेंगे।

एक बिंदु के माध्यम से शरीर का मार्ग "ब्रह्मांड के केंद्र" के विपरीत है। चूंकि शरीर को पूरे आकाश तक खींचने का प्रभाव बहुत ही असामान्य है, इसलिए हम इसे और अधिक विस्तार से विचार करेंगे। आंकड़ों में: "ब्रह्मांड के केंद्र" के विपरीत एक बिंदु का पड़ोस।

यह देखा जाता है कि:

सबसे पहले, आपके सामने शरीर की सतह बढ़ जाती है (नीले रंग में चित्रित), और आपके पीछे एक कम हो जाती है (नीले रंग में चित्रित); एक ही समय में, दोनों सतहों के एक ही कोणीय आयाम होते हैं - अर्थात, आपके सामने स्थित शरीर की सतह सिकुड़ जाती है (सतह का अधिक से अधिक भाग प्रत्येक डिग्री के भीतर स्थित होता है), और आपके पीछे स्थित एक हिस्सा फैला होता है (सतह का सभी छोटा हिस्सा प्रत्येक डिग्री के भीतर स्थित होता है)
जब शरीर "ब्रह्मांड के केंद्र" के विपरीत एक बिंदु को छूता है, तो दोनों सतहों का कोणीय आकार 180 डिग्री है - आकाश का एक हिस्सा (आपके सामने) शरीर की पूरी सतह पर कब्जा कर लेता है, और आकाश का दूसरा हिस्सा (आपके पीछे) शरीर के पीछे स्थित एक बिंदु पर कब्जा कर लेता है
जबकि शरीर के केंद्र को "ब्रह्मांड के केंद्र" के विपरीत बिंदु के साथ जोड़ दिया जाता है, रिवर्स पुलिंग और स्ट्रेचिंग की प्रक्रिया
जब शरीर "ब्रह्मांड के केंद्र" के विपरीत एक बिंदु पर स्थित होता है, तो इसकी सतह पूरे आकाश में फैली हुई होती है
"ब्रह्मांड के केंद्र" के विपरीत एक बिंदु से फिसलने वाला शरीर समान दिखता है

डबल क्षितिज। कल्पना कीजिए कि आप दो-आयामी ग्रह पर रहते हैं। नीचे देखते हुए, आप अपने ग्रह की सतह को देखते हैं, और ऊपर देखते हुए, आप देखते हैं ... ग्रह के पीछे की सतह। इसके अलावा, यह बहुत कड़ा हो जाएगा - आप ग्रह की पीठ की सतह और ग्रह के अपने पक्ष की सतह का हिस्सा दोनों देख सकते हैं जो क्षितिज के पीछे आपकी पीठ के पीछे है - आप यह सब अपने सिर के ऊपर देख सकते हैं। आकाश को एक धागे के रूप में एक पट्टी के रूप में संकीर्ण रूप में प्रस्तुत किया जाएगा, जो आपके और क्षितिज के क्षितिज के ऊपर और नीचे से सैंडविच होगा। यह पूरे आकाश पर शरीर के खिंचाव और दोहरे के प्रभाव के संयोजन का है। सामान्य तौर पर, आपकी दुनिया में, अगर कुछ भी आपके टकटकी में बाधा नहीं डालता है, तो आप अपने सामने अपना बलात्कार देख सकते हैं ... इस तरह के एक स्वस्थ बलात्कार, इसके सभी विवरणों में ... पूरे आकाश में फैला हुआ)

एक रात बिना दुनिया। कल्पना करें कि जिस दो-आयामी ग्रह पर आप रहते हैं, वह द्वि-आयामी तारा के चारों ओर घूमता है। एक छोटे मार्ग पर एक तारे द्वारा उत्सर्जित प्रकाश ग्रह के दिन के समय पर पड़ता है। उसी समय, एक लंबे रास्ते के साथ एक तारे द्वारा उत्सर्जित प्रकाश आपकी दुनिया के चारों ओर चला जाता है और ग्रह की रात में गिरता है। रात अब मौजूद नहीं है। जो कुछ भी शेष है वह सूर्यास्त और सूर्योदय है, जो एक साथ घटित होगा - जब आपके सामने वाले तारे का पक्ष क्षितिज से परे जाने लगता है, तो तारे का पिछला भाग क्षितिज के पीछे से आपके पीछे उठना शुरू हो जाता है। बेशक, आप सही सूर्यास्त को उजागर कर सकते हैं और जिस मार्ग से प्रकाश गुजरा है उसकी लंबाई के साथ सुबह हो सकती है, लेकिन उन्हें युगल से अलग करना लगभग असंभव होगा।

एक चरम मामला भी है। यदि ग्रह अशुभ है और यह विपरीत तारे के बिंदु पर है, तो तारा पूरे आकाश में फैला होगा, लेकिन इसकी प्रशंसा करना समस्याग्रस्त होगा, क्योंकि तारे द्वारा उत्सर्जित सभी प्रकाश ग्रह पर पड़ेंगे (प्रकाश अवशोषण के अभाव में और बीच के माध्यम से बिखरने)।

सौर और चंद्र ग्रहण। कल्पना कीजिए कि एक दो-आयामी प्राकृतिक उपग्रह एक दो-आयामी ग्रह के चारों ओर घूमता है, जिस पर आप रहते हैं। जब एक उपग्रह किसी ग्रह और तारे के बीच बन जाता है, तो उसकी छाया ग्रह पर पड़ती है। दूसरी ओर, एक ही समय में, ग्रह एक लंबे रास्ते के साथ-साथ उपग्रह द्वारा उत्सर्जित प्रकाश के बीच हो जाता है और उपग्रह, यानी ग्रह की छाया उपग्रह पर पड़ती है। एक साथ सूर्य और चंद्र ग्रहण होता है। बेशक, जिस रास्ते से प्रकाश गुजरा, उसकी लंबाई के साथ सच्चे सौर और चंद्र ग्रहणों को अलग करना संभव है, लेकिन उन्हें जुड़वाँ बच्चों से अलग करना व्यावहारिक रूप से असंभव होगा। ग्रहण के दौरान ग्रह और उसके उपग्रह पर पड़ने वाली छाया में गिरना आपकी दुनिया में अंधेरे में रहने का एकमात्र तरीका है)

तीन आयामी बंद दुनिया

ऊपर, हमने दो-आयामी होने की अद्भुत दुनिया की जांच की। हमारे बारे में क्या तीन आयामी प्राणियों? ब्रह्मांड की ज्यामिति क्या है? दुर्भाग्य से, विज्ञान अभी तक इस सवाल का जवाब नहीं दे सकता है। मुख्य रूप से ब्रह्मांड के गुण और आकार में हस्तक्षेप होता है। आइए विज्ञान की मदद करने की कोशिश करें। हम एक उम्मीदवार के रूप में गोलाकार ज्यामिति के साथ सबसे दिलचस्प बंद ब्रह्मांड का चयन करते हैं और नेत्रहीन इसकी जांच करते हैं। क्या द्वि-आयामी एनालॉग के लिए हमारे द्वारा खोजे गए प्रभाव होंगे? शायद हम कुछ नया सीखेंगे? कुछ आप को जानने की उम्मीद नहीं थी? या यह भी देखें कि हम हर दिन क्या देखते हैं, लेकिन इस पर ध्यान नहीं देते? ऐसा ब्रह्मांड कैसा दिखेगा?

आदर्श

हम दुनिया का पता लगाएंगे, जो एक त्रि-आयामी हाइपरस्फेयर (3-क्षेत्र) है - अर्थात, एक आयामी चार-आयामी स्थान में स्थित एक क्षेत्र। हम विज़ुअलाइज़ेशन के लिए एक प्रकार की वस्तुओं का चयन करते हैं - एक गोले (3-गोले से संबंधित 2-क्षेत्र)।

बुनियादी अवधारणाओं और रिश्तों

कार्टेशियन चार-आयामी अंतरिक्ष में समन्वय करता है - हम उन्हें इस रूप में निरूपित करेंगे

$(x_0, x_1, x_2, x_3)$ - यह वास्तव में है

$(x, y, z, w)$ ।

चार-आयामी अंतरिक्ष में हाइपरफॉर्फ़िकल निर्देशांक (हम केवल कोण का उपयोग करते हैं, क्योंकि हमारी दुनिया की त्रिज्या एक स्थिर होगी) - हम उन्हें निरूपित करेंगे

$(a_0, a_1, a_2)$ - यह वास्तव में है

$(\ phi, \ theta, \ psi)$ ।

3-गोले मूल पर केंद्रित है - उन बिंदुओं का एक सेट जिसकी त्रिज्या वेक्टर की लंबाई 3-गोले के त्रिज्या के बराबर है।

$आर$ हमारी दुनिया है

$\ quad \ quad x_0 ^ 2 + x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 = R ^ 2$

3-गोले से संबंधित 2-गोले - उन बिंदुओं का एक समूह जिसकी त्रिज्या वेक्टर की लंबाई 3-गोले के त्रिज्या के बराबर है।

$आर$ और 2-क्षेत्र के केंद्र के त्रिज्या वेक्टर के साथ रूपों

$सी$ 2-गोले के कोणीय त्रिज्या के बराबर कोण

$r_a$ क्या हमारी दृश्य वस्तुएं हैं

$\ quad \ quad x_0 c_0 + x_1 c_1 + x_2 c_2 + x_3 c_3 = R ^ 2 \ cos r_a$

जहाँ

$\ quad \ quad r_a = r / R$

$\ quad \ quad r$ - 2-गोले का जियोडेसिक त्रिज्या

जियोडेसिक, कोणीय और सशर्त त्रिज्या - बेहतर यह समझने के लिए कि यह क्या है, 3-गोले से संबंधित 2-गोला के दो आयामी एनालॉग पर विचार करें - एक गोले से संबंधित एक चक्र।

आकृति में लाल चाप चक्र का भू-भाग त्रिज्या है

$आर$ । आकृति के दाईं ओर लाल कोने सर्कल का कोणीय त्रिज्या है

$r_a = r / R$ । आकृति के दाईं ओर त्रिभुज की ऊंचाई वृत्त की सशर्त त्रिज्या है

$r_n = R \ sin r_a$ ।

हाइपरस्फोरिकल निर्देशांक से संक्रमण

$(a_0, a_1, a_2)$ गाड़ीवान को

$(x_0, x_1, x_2, x_3)$

$\ Quad \ quad x_0 = R \ sin a_2 \ sin a_1 \ cos_0$

$\ quad \ quad x_1 = R \ sin a_2 \ sin a_1 \ sin a_0$

$\ quad \ quad x_2 = R \ sin a_2 \ cos a_1$

$\ quad \ quad x_3 = R \ cos a_2$

जहाँ

$\ quad \ Quad a_0$ से भिन्न होता है

$0$ को

$2 \ pi$

$\ quad \ quad a_1$ से भिन्न होता है

$0$ को

$\ pi$

$\ Quad \ quad a_2$ से भिन्न होता है

$0$ को

$\ pi$

3-गोले की 2-गोले के साथ 3-गोले की जियोडेसिक लाइन का चौराहा।
इस अनुपात का उपयोग किरण अनुरेखण के लिए किया जाएगा। 3-गोले के ध्रुव से फैली हुई एक भूगणितीय रेखा होने दें

$(0, 0, 0, R)$ कोणों द्वारा परिभाषित दिशा में

$a_0$ और

$a_1$ - ये कोण 3-गोला ध्रुव के आसपास के क्षेत्र में त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दिशा निर्धारित करने वाले कोणों के साथ मेल खाते हैं

$(0, 0, 0, R)$

$\ Quad \ quad x_0 = R \ sin a_2 \ sin a_1 \ cos_0$

$\ quad \ quad x_1 = R \ sin a_2 \ sin a_1 \ sin a_0$

$\ quad \ quad x_2 = R \ sin a_2 \ cos a_1$

$\ quad \ quad x_3 = R \ cos a_2$

हमारे पास सरलीकरण (1)

$\ quad \ quad x_0 = r_0 \ sin a_2$

$\ quad \ quad x_1 = r_1 \ sin a_2$

$\ quad \ quad x_2 = r_2 \ sin a_2$

$\ quad \ quad x_3 = r_3 \ cos a_2$

जहाँ

$\ quad \ quad r_0 = R \ sin a_1 \ cos_0$

$\ quad \ quad r_1 = R \ sin a_1 \ sin a_0$

$\ quad \ quad r_2 = R \ cos a_1$

$\ quad \ quad r_3 = R$

2-क्षेत्र के समीकरण में (1) को प्रतिस्थापित करना और हमारे पास सरल करना (2)

$\ quad \ quad A \ sin a_2 + B \ cos a_2 = C$

जहाँ

$\ quad \ quad A = r_0 c_0 + r_1 c_1 + r_2 c_2$

$\ quad \ quad बी = r_3 c_3$

$\ quad \ quad C = R ^ 2 \ cos r_a$

3-क्षेत्र के समीकरण में (1) को प्रतिस्थापित करना और हमारे पास सरल करना (3)

$\ quad \ quad D \ sin ^ 2 a_2 + E \ cos ^ 2 a_2 = F$

जहाँ

$\ quad \ quad D = r_0 ^ 2 + r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2$

$\ quad \ quad ई = r_3 ^ 2$

$\ quad \ quad F = R ^ 2$

(2) से व्यक्त

$\ cos a2$ हमारे पास है

$\ quad \ quad \ cos a_2 = (C - A \ sin a_2) / B$

(3) में प्रतिस्थापित

$\ cos a2$ हमारे पास है

$\ quad \ quad D \ sin ^ 2 a_2 + E / B ^ 2 (C - A \ sin a_2) ^ 2 = 1$

हमारे पास सरलीकरण है

$\ quad \ quad \ a \ sin ^ 2 a_2 + b \ sin a_2 + c = 0$

जहाँ

$\ quad \ quad m = E / B ^ 2$

$\ quad \ quad = a = m A ^ 2 + D$

$\ quad \ quad b = -2 m A C$

$\ quad \ quad c = m C ^ 2 - F$

दो बिंदुओं से गुजरने वाली 3-गोले की जियोडेसिक लाइन की निरंतरता पर एक बिंदु।
इस संबंध का उपयोग 3-गोले से संबंधित 2-क्षेत्र के मनमाने बिंदु पर बनावट के निर्देशांक और बाहरी सामान्य को खोजने के लिए किया जाएगा। चलो

$\ quad \ quad हे$ - 3-गोला केंद्र

$\ quad \ quad एक$ - 2-गोले का केंद्र

$\ Quad \ quad बी$ 2-क्षेत्र का एक मनमाना बिंदु है

$\ Quad \ quad C$ - भूगर्भीय रेखा के जारी रहने पर वांछित बिंदु

$AB$ एक छोटी कोणीय दूरी पर

$\ डेल्टा$ बिंदु से

$ब$

$\ Quad \ quad D$ - चौराहे का बिंदु

$AB$ और

$OC$

$\ quad \ quad ई$ - बिंदु के माध्यम से गुजरने वाली रेखा के चौराहे का बिंदु

$डी$ सीधा सीधा

$AB$ और एक बिंदु से होकर गुजरने वाली रेखा

$O$ सीधे के समानांतर

$AB$

$\ Quad \ quad r_a$ - 2-गोले का कोणीय त्रिज्या

$\ quad \ quad = a (\ pi - r_a) / 2$

$\ quad \ quad b = a - \ delta$
अगर

$r_a> \ pi$ तो यह डाल दिया जाना चाहिए

$r_a = 2 \ pi - r_a$ , और

$\ डेल्टा = - \ डेल्टा$
मिल जाएगा

$\ vec {OD}$

$\ quad \ quad \ vec {OD} = \ vec {OA} + \ vec {AB} | = \ vec {AB} | \ cdot | \ vec {AD} |$

जहाँ

$\ quad \ Quad | \ vec {AD} | = | \ vec {AB} | / 2 + | \ vec {OE} |$

$\ quad \ Quad | \ vec {OE} | = | \ vec {DE} | / \ tan बी$

$\ quad \ Quad | \ vec {DE} | = R \ sin एक$

मिल जाएगा

$\ vec {OC}$

$\ quad \ quad \ vec {OC} = \ vec {OD} / | \ vec {OD} | \ Cdot R$

प्रकाश

हम दो प्रकाश मॉडल का उपयोग करेंगे।

सरल प्रकाश मॉडल। इस मॉडल में, एक सतह बिंदु की चमक बाहरी सतह के बीच के कोण के कोसाइन पर निर्भर करती है और पर्यवेक्षक को दिशा। व्याख्यात्मक सामग्री के लिए छवियों का निर्माण करते समय हम इसका उपयोग करेंगे। वास्तव में, यह एक बिंदु प्रकाश स्रोत के साथ एक मॉडल है जहां पर्यवेक्षक स्थित है, जिसमें सतह बिंदु की चमक प्रकाश स्रोत से दूरी पर निर्भर नहीं करती है।

यथार्थवादी प्रकाश मॉडल। इस मॉडल में प्रकाश का एक समर्पित बिंदु स्रोत होगा। हम यथार्थवादी छवियों का निर्माण करते समय इसका उपयोग करेंगे। यह मॉडल सतह बिंदु (वास्तव में, प्रकाश स्रोत से दूरी का प्रभाव) की चमक पर वेवफ्रंट क्षेत्र के प्रभाव को ध्यान में रख सकता है। गोलाकार ज्यामिति के साथ एक बंद ब्रह्मांड में, वेवफ्रंट क्षेत्र सतह के प्रकाश बिंदु से प्रकाश स्रोत की दूरी के बराबर एक जियोडेसिक त्रिज्या के साथ गोलाकार के सशर्त त्रिज्या के वर्ग के आनुपातिक है। प्रकाश स्रोत से दूरी के साथ, वेवफ्रंट क्षेत्र भूमध्य रेखा की ओर बढ़ता है (प्रकाश किरणों का विचलन), और भूमध्य रेखा के घटने के बाद (प्रकाश किरणें अभिसरण, ध्यान केंद्रित करती हैं)। "ब्रह्मांड के केंद्र" के विपरीत बिंदु को पारित करने के बाद, रिवर्स प्रक्रिया होती है: प्रकाश की किरणें पहले विचलन करती हैं, और फिर फिर से परिवर्तित होती हैं। इसके अलावा, यह मॉडल धारणा संबंधी विशिष्टताओं ( वेबर - फेचनर कानून ) को ध्यान में रख सकता है।

छवि बनाने के लिए, हम रिवर्स रे ट्रेसिंग का उपयोग करेंगे। मॉडल को संवादात्मक बनाने के लिए (हम अपनी दुनिया की जांच करेंगे और उसमें कदम रखेंगे), छवि को वास्तविक समय में बनाया जाना चाहिए। इसलिए, हम गणना को टुकड़ा shader में (हम WebGL का उपयोग करते हैं) करेंगे। हम जावास्क्रिप्ट में इंटरफ़ेस को लागू करते हैं।

बनावट

बनावट पृथ्वी । जेपीजी यहां से

बनावट चाँद । Jpg यहाँ से

बनावट sun.png यहाँ से

पहले परिचित थे

हम 100 की जियोडेसिक लाइन की लंबाई के साथ एक तीन आयामी बंद दुनिया बनाएंगे - इसलिए हमारे लिए नेविगेट करना आसान होगा - हमारी दुनिया का भूमध्य रेखा 25 की दूरी (जियोडेसिक लाइन की लंबाई का एक चौथाई) पर स्थित होगा, और हमारी दुनिया के विपरीत ध्रुव - 50 (जियोडेसिक लाइन की लंबाई) की दूरी पर। हम अपनी दुनिया में एक ग्रह रखते हैं और उसकी सतह के कुछ हिस्सों को रंगों में रंगते हैं, जिसके आधार पर वे अष्टक में आते हैं:

ओक्टांट	X चिन्ह	Y चिन्ह	Z चिन्ह	रंग
मैं	+	+	+	रेड ( आर एड)
द्वितीय	-	+	+	ग्रीन ( G reen)
तृतीय	-	-	+	नीला ( B lue)
चतुर्थ	+	-	+	नारंगी
वी	+	+	-	नीला ( C यान)
छठी	-	+	-	बैंगनी ( एम एजेंट)
सातवीं	-	-	-	पीला ( Y ellow)
आठवीं	+	-	-	सफेद

मुख्य बनावट के रूप में, हम एक 3x6 चेसबोर्ड की बनावट का उपयोग करेंगे, अर्थात, प्रत्येक समानांतर और मेरिडियन लगभग 90 कोशिकाओं के माध्यम से जाएंगे। वैकल्पिक बनावट के रूप में हम ग्लोब की बनावट का उपयोग करेंगे। नीचे हमारे ग्रह के एक परिचित मक्खी के चित्र हैं।

उत्तरी ध्रुव का एक स्नैपशॉट। एक्स अक्ष को दाईं ओर निर्देशित किया जाता है, वाई अक्ष को ऊपर निर्देशित किया जाता है, जेड अक्ष को हम पर निर्देशित किया जाता है। वैकल्पिक बनावट लागू करते समय, आप देख सकते हैं:

दाईं ओर प्रशांत महासागर है
ऊपर - उत्तरी अमेरिका
बाईं ओर - अटलांटिक महासागर
निचला - यूरेशिया

उत्तरी ध्रुव से भूमध्य रेखा और भूमध्य रेखा से दक्षिणी ध्रुव तक उड़ान के चित्र।

दक्षिणी ध्रुव का स्नैपशॉट। एक्स अक्ष दाईं ओर निर्देशित है, वाई अक्ष नीचे निर्देशित है, जेड अक्ष हमसे दूर निर्देशित है। वैकल्पिक बनावट लागू करते समय, आप देख सकते हैं:

सही - प्रशांत महासागर, न्यूजीलैंड, ऑस्ट्रेलिया
ऊपर से - हिंद महासागर
बाएं - अटलांटिक महासागर, अफ्रीका
नीचे - दक्षिण अमेरिका

दृश्य अध्ययन

हम दो-आयामी बंद दुनिया में खोजे गए प्रभावों के एनालॉग्स की खोज के लिए हमारी दुनिया का एक दृश्य अध्ययन करेंगे।

प्रतिलेख। दो आयामी एनालॉग के रूप में, हमारी दुनिया के प्रत्येक शरीर में एक डबल होगा - अगर हम उत्तरी ध्रुव को हमारे सामने देखते हैं, तो हम चारों ओर मुड़कर देख सकते हैं ... दक्षिणी ध्रुव। इस तथ्य के कारण दोहरे की सतह का संकुचन ध्यान देने योग्य है कि हम ग्रह के काफी करीब हैं।

एक प्रयोग जिसमें पर्यवेक्षक ग्रह से दूर जाता है (प्रत्येक छवि के ऊपरी बाएं कोने में स्थित पर्यवेक्षक और ग्रह के बीच की दूरी)।

यह देखा जाता है कि:

शुरू में ग्रह का कोणीय आकार घटता है - यह सामान्य प्रत्यक्ष दृष्टिकोण है
फिर, जब ग्रह हमारी दुनिया के भूमध्य रेखा (25 से अधिक दूरी) से गुजरा है, तो इसका कोणीय आकार बढ़ता है - यह विपरीत परिप्रेक्ष्य का प्रभाव है जो हमारे लिए परिचित है
जब हमारी दुनिया के विपरीत ध्रुव पर रेंगते हैं, तो हम एक संकुचित सतह (दूरी 46.875) देखते हैं
जब ग्रह हमारी दुनिया के विपरीत ध्रुव (दूरी 50) पर होता है तो यह पूरे आकाश तक फैल जाता है
हमारी दुनिया के विपरीत ध्रुव से फिसलने पर, हम एक फैली हुई सतह देखते हैं (दूरी 53.125)
हमारी दुनिया के विपरीत ध्रुव के पास जाने के बाद, यह सममित रूप से रूपांतरित होता दिखता है - लाल अष्टक नीले और इतने पर बदल गया है
फिर, ग्रह का कोणीय आकार घटता है (50 से 75 की दूरी), और फिर बढ़ता है (75 से 100 की दूरी) - यह दूसरे आगे और रिवर्स दृष्टिकोण का परिचित प्रभाव है

कलाकृतियों। मॉडल का उपयोग करते समय, यह देखा गया कि 25, 50 और 75 की दूरी पर पर्यवेक्षक से झूठ बोलने वाले बिंदुओं के माध्यम से ग्रह के पारित होने के दौरान, कलाकृतियां दिखाई दे सकती हैं - ग्रह पर ऊन "बढ़ सकता है" या यह "उखड़" भी सकता है। जाहिरा तौर पर मेरा गणित कुछ को ध्यान में नहीं रखता है)

हमारी दुनिया के विपरीत ध्रुव के आसपास के क्षेत्र में ग्रह की एक तस्वीर (एक चौड़े कोण "लेंस" का उपयोग किया गया था)। हमारे सामने ग्रह की सतह बहुत संकुचित है - आप न केवल पूरे उत्तरी गोलार्ध को देख सकते हैं, बल्कि भूमध्य रेखा के पीछे दक्षिणी गोलार्ध का एक हिस्सा भी देख सकते हैं। हमारे पीछे ग्रह की सतह बहुत फैली हुई है - दक्षिण ध्रुव प्रमुख रूप से दिखाई देता है। दोनों सतहें एक दूसरे की ओर खिंचती हैं, जो गोलाकार खोल में हमें घेरने की कोशिश करती हैं और हमें आकाश में फैले एक ग्रह की तस्वीर दिखाती हैं।

एक प्रयोग जिसमें पर्यवेक्षक दिखता है (प्रत्येक चित्र के ऊपरी बाएं कोने में संख्या नीचे की दिशा और टकटकी के बीच का कोण है)।

तस्वीरों में:

पहले ग्रह के हमारे पक्ष का क्षितिज दिखाई देता है
फिर, हम इसके ऊपर एक दूसरा क्षितिज देखते हैं, जहाँ हम पाते हैं कि क्षितिज के पीछे हमारी पीठ के पीछे ग्रह की तरफ क्या स्थित है
ऊपर देखते हुए, हम ग्रह के पीछे देखते हैं

डबल-क्षितिज छवि (चौड़े कोण "लेंस" का उपयोग किया जाता है)। आकाश की पट्टी काफी बड़ी है क्योंकि हम लगभग 50 किमी की ऊँचाई पर हैं।

सिर के ऊपर आकाश की एक तस्वीर (एक चौड़े कोण "लेंस" का उपयोग किया गया था)।

एक रात बिना दुनिया।
इसके अलावा, सादगी के लिए, हम अपने ग्रह पृथ्वी, इसके प्राकृतिक उपग्रह - चंद्रमा, और जिस तारे के चारों ओर घूमते हैं, उसे सूर्य कहेंगे। स्पष्टता के लिए सूर्य, पृथ्वी, चंद्रमा और उनकी कक्षाओं के आकार के अनुपात को नहीं देखा जाएगा।
तस्वीर में: अटलांटिक महासागर से गुजरने वाले ग्रह के दिन और रात के बीच की सीमा। इसी समय, भटकती और बढ़ती पृथ्वी दिखाई दे रही है। हमारी दुनिया में चंद्र आधार पर बैठे लोग लगभग एक जैसी तस्वीर देखते हैं)

एनीमेशन पर: पृथ्वी के दिन और रात के बीच की सीमा का संचलन। आप एक लंबे रास्ते के साथ जारी सूर्य की किरणों से प्रकाशित पृथ्वी की डिस्क द्वारा सूर्य के ओवरलैप को देख सकते हैं।

सौर और चंद्र ग्रहण।
चित्र: चंद्रमा पृथ्वी की छाया से निकलता है। पृथ्वी और चंद्रमा के दिन और रात के बीच की सीमाएँ दिखाई देती हैं।

एनीमेशन पर: सौर और चंद्र ग्रहण।

यह देखा जाता है कि:

सबसे पहले, पृथ्वी चाँद पर एक छाया डालती है, और चाँद पृथ्वी पर एक छाया डालती है
तब चंद्रमा पृथ्वी की छाया से बाहर आता है, और चंद्रमा की छाया पृथ्वी की सतह को छोड़ देती है
तब चंद्रमा की छाया पृथ्वी की सतह पर लौट आती है और चंद्रमा फिर से पृथ्वी की छाया में प्रवेश करता है
चंद्रमा की दिन और रात के बीच की सीमा तब दिखाई नहीं देती है जब चंद्रमा पृथ्वी की डिस्क से आच्छादित होता है क्योंकि हमारे सामने चंद्रमा का पक्ष अभी भी पृथ्वी की छाया में है

एनीमेशन पर: पृथ्वी और चंद्रमा के दिन और रात के किनारों के बीच की सीमा सौर और चंद्र ग्रहण के साथ संयुक्त होती है। हमारी दुनिया में Lagrange बिंदु L ₂ पर वेधशालाओं की सेवा करने वाले लोग लगभग एक ही तस्वीर देखते हैं), अगर हम पृथ्वी के घूमने की उपेक्षा करते हैं)

चित्र: आईएसएस पर हमारी दुनिया में सुबह)

निष्कर्ष

यह सब क्या है)? मैं वास्तव में गोलाकार ज्यामिति के साथ एक कॉम्पैक्ट बंद ब्रह्मांड में रहने वाले प्राणी की आंखों के माध्यम से दुनिया को देखना चाहता था। क्रिस्टोफेल के प्रतीकों और उच्च गणित के सामान्य पाठ्यक्रम के ढांचे के भीतर रहते हुए इस तरह की चीजों के बिना इस अद्भुत दुनिया को जानने के लिए। नतीजा आपके सामने है। सब कुछ बाहर काम करने लगता है। आशा है कि आप एक दिलचस्प और अच्छा दिन था!

स्रोत कोड

वर्किंग मॉडल (मोबाइल उपकरणों के लिए पीसी पर खुला)।

उन लोगों के लिए जो विषय में रुचि रखते हैं, एक शानदार लेख है जो आश्चर्यजनक घटनाओं के बारे में बात करता है जो वास्तविक ब्रह्मांड में देखे जा सकते हैं: ब्लैक होल कैसे आकर्षित करें। घुमावदार स्थान-समय में जियोडेसिक किरण का पता लगाना ।

त्रि-आयामी हाइपरस्फेयर की दुनिया। गोलाकार ज्यामिति के साथ एक बंद ब्रह्मांड में जियोडेसिक किरण का पता लगाना

परिचय। द्वि-आयामी बंद दुनिया

तीन आयामी बंद दुनिया

आदर्श

पहले परिचित थे

दृश्य अध्ययन

निष्कर्ष

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