सेट थ्योरी का परिचय

अनंत की अवधारणा सामान्य गणितीय शब्दावली से वैचारिक रूप से बहुत दूर है - कोई भी अन्य विषय गणित से आगे नहीं जाता है कि यह एक व्यावहारिक, विश्लेषणात्मक उपकरण से एक पौराणिक क्रम की घटना में बदल जाता है। धर्म और दर्शन जैसे सांस्कृतिक विषयों के साथ एक छोटे से पैर पर अनंत की अवधारणा, और देवत्व की एक रहस्यमय आभा में डूबा हुआ है।

एक बार, सभी शैक्षणिक विषयों में एक मौलिक विश्वास रखा गया था - केवल एक अनंतता है ।

लेकिन 1874 में, एक अल्पज्ञात गणितज्ञ ने क्रांतिकारी टिप्पणियों की एक श्रृंखला बनाई, जिसने इस सार्वभौमिक रूप से स्वीकार किए गए और गहराई से विश्वास पर संदेह किया। जॉर्ज कैंटर ने अपने (अब पौराणिक) प्रकाशन में ऑल रियल अल्जेब्रासिक नंबर्स के संग्रह की एक संपत्ति पर यह साबित कर दिया कि कई वास्तविक संख्या कई बीजीय संख्याओं की तुलना में "अधिक" हैं। इसलिए उन्होंने पहली बार दिखाया कि विभिन्न आकारों के अनंत सेट हैं (चिंता न करें - इसे स्पष्ट करने के लिए, हम जल्द ही उनके लेख का विस्तार से अध्ययन करेंगे)।


"एक बहुत बड़ी राशि है जो आपको खुद को एक के रूप में अनुभव करने की अनुमति देती है" - जॉर्ज कैंटर

1874 से 1897 तक, कैंटर ने लेख के बाद वीरतापूर्वक प्रकाशित किया, अमूर्त सेट के अपने सिद्धांत को एक समृद्ध अनुशासन में विस्तारित किया। हालाँकि, वह जिद्दी प्रतिरोध और आलोचना से मिली थी; कई बालकों का मानना ​​था कि उनके सिद्धांत दर्शन के क्षेत्र में चले गए और धर्म के सिद्धांत का उल्लंघन किया।

हालांकि, जब गणितीय विश्लेषण के व्यावहारिक अनुप्रयोग पाए जाने लगे, तो सिद्धांत के प्रति दृष्टिकोण बदल गया, और कैंटर के विचारों और परिणामों ने मान्यता प्राप्त करना शुरू कर दिया। 20 वीं शताब्दी के पहले दशक तक, उनके अवलोकन, सिद्धांत और प्रकाशन अपनी परिणति पर पहुंच गए - आधुनिक सेट सिद्धांत को एक नए, पूरी तरह से अद्वितीय क्षेत्र के रूप में मान्यता:

सेट सिद्धांत एक गणितीय सिद्धांत है जो किसी सेट के सदस्यों या तत्वों नामक व्यक्तिगत वस्तुओं के सटीक परिभाषित सेट (सेट) के बारे में है।

0 और 1 के बीच कितनी संख्याएँ हैं?

कैंटर का पहला साढ़े चार पेज का प्रकाशन संक्षिप्तता का एक उत्कृष्ट उदाहरण है। यह दो अलग-अलग सबूतों में विभाजित है, संयुक्त रूप से इस निष्कर्ष पर पहुंचा गया कि कम से कम दो अद्वितीय प्रकार के सेट हैं।

सिद्धांत के पहले भाग में, हम वास्तविक बीजीय संख्याओं के सेट का अध्ययन करते हैं और साबित करते हैं कि यह एक अनंत गणना योग्य सेट है । यह भ्रमित नहीं होना चाहिए - "गिनती" जरूरी नहीं है कि खाता पूरी संख्या में सख्ती से रखा गया है; सेट थ्योरी के संदर्भ में, "काउंटेबल" का अर्थ है कि एक सेट, भले ही इसमें अनंत संख्या में तत्व हों, एक दोहराई गई श्रृंखला द्वारा वर्णित किया जा सकता है , उदाहरण के लिए, एक बहुपद फ़ंक्शन । कैंटर ने एक श्रृंखला के साथ एक-से-एक पत्राचार संख्याओं के अनंत सेट की इस संपत्ति को एक-से-एक पत्राचार की उपस्थिति कहा ।

संक्षेप में, सभी वास्तविक बीजीय संख्याओं का सेट या सेट विभिन्न डिग्री और गुणांक वाले बहुपद की कुछ सैद्धांतिक श्रृंखला का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है; इसलिए, सभी वास्तविक बीजीय संख्याओं का सेट एक अनंत गणना योग्य सेट है ।

कैंटर के काम के दूसरे भाग में, वास्तविक जटिल संख्याओं की भूमिका, जिसे ट्रान्सेंडैंटल नंबर भी कहा जाता है, का विश्लेषण किया जाता है। ट्रान्सेंडैंटल नंबरों (जिनमें से सर्वोत्तम उदाहरण पी और ई हैं) में एक जिज्ञासु संपत्ति है: एक बहुपद समारोह का उपयोग करके उन्हें प्राप्त करना गणितीय रूप से असंभव है - वे बीजगणितीय नहीं हैं। परिमाण के बावजूद, भागों की संख्या, डिग्री या गुणांक, कोई भी श्रृंखला अनंत अनंत सेट के संग्रह में कभी भी पाई की गणना नहीं कर सकती है।

कांटोर तब इंगित करता है कि किसी भी बंद अंतराल [ ए , बी ] में कम से कम एक पारलौकिक संख्या मौजूद है जिसे कभी भी अनंत गणना योग्य सेट में नहीं गिना जा सकता है। चूंकि इस तरह की एक संख्या मौजूद है, इसलिए यह माना जाता है कि वास्तविक संख्याओं के परिवार में एक अनंत संख्या में पारलौकिक संख्याएं होती हैं।

इस प्रकार, उन्होंने निरंतर, प्रवाहित बेशुमार संख्याओं और गणनीय संख्याओं के समुच्चय के बीच एक बहुत स्पष्ट अंतर साबित किया, जिसे एक श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं का।

अगला: रिकॉर्डिंग और संचालन

कम से कम दो अलग-अलग प्रकार के अनन्तता के अस्तित्व की इस आश्चर्यजनक पुष्टि में कैंटर के पहले प्रकाशन का समापन हुआ। अपने पहले लेख के बाद, परिवर्धन की एक हड़बड़ी दिखाई दी, धीरे-धीरे लेकिन निश्चित रूप से आधुनिक सेट सिद्धांत का मार्ग प्रशस्त किया।


यह एक दिलचस्प अवलोकन साझा करने के लायक भी है: ज्यादातर लोग जो इस विशेष प्रमेय के मूल्य के बजाय व्यवहार में सेट सिद्धांत का उपयोग करते हैं, लेकिन सामान्य भाषा जो इसे सेट करती है। इसकी सार प्रकृति के कारण, सेट सिद्धांत गणित के कई क्षेत्रों को गुप्त रूप से प्रभावित करता है। गणितीय विश्लेषण में, जिसमें अंतर और अभिन्न कलन की आवश्यकता होती है, कार्यों की सीमाओं और निरंतरता की समझ, अंत में निर्धारित सिद्धांत में आवश्यक है। तर्क के बीजगणित में, तार्किक संचालन "और", "या" और "नहीं" चौराहे, संघ और सेट सिद्धांत में अंतर के संचालन के अनुरूप हैं। और अंतिम लेकिन कम से कम नहीं, सेट सिद्धांत टोपोलॉजी की नींव देता है - ज्यामितीय गुणों और स्थानिक संबंधों का अध्ययन।

सेट के इतिहास की एक बुनियादी समझ के साथ सशस्त्र और इसके प्रभाव की गहराई में एक छोटा गोता लगाने के बाद, हम सेट सिद्धांत के अंकन प्रणाली की मूल बातें से परिचित होना शुरू कर सकते हैं।

भाग दो संचालन, संकेतन और वेन आरेखों का संक्षिप्त अवलोकन।

जैसा कि पिछले भाग में कहा गया है, सेट थ्योरी के मूलभूत फायदों में से एक किसी विशेष सिद्धांत से नहीं बढ़ता है, बल्कि यह उस भाषा से उत्पन्न होता है। यही कारण है कि इस खंड का मुख्य भाग संकेतन, संचालन और सेट सिद्धांत के दृश्य प्रतिनिधित्व के लिए समर्पित होगा। आइए एक सेट के अंकन के मूल प्रतीकों की व्याख्या करके शुरू करें - इसके अनुरूप तत्व। नीचे दी गई तालिका में तीन तत्वों के साथ एक सेट ए का उदाहरण दिखाया गया है:


तत्वों "1", "2" और "3" के साथ एक सेट है

"1" सेट A का एक तत्व है

पहली पंक्ति सेट ए को तीन अलग-अलग तत्वों ( ए = {1,2,3} ) के साथ दिखाती है; दूसरी पंक्ति सेट ए से संबंधित एक व्यक्ति ठोस तत्व 1 को नामित करने का सही तरीका दिखाती है । अब तक, सब कुछ काफी सरल है, लेकिन जब हम दूसरे सेट को जोड़ते हैं तो सेट सिद्धांत काफी दिलचस्प हो जाता है - मानक संचालन के माध्यम से यात्रा शुरू होती है।

उपरोक्त तालिका के लिए, आइए निम्नलिखित तत्वों से युक्त दो अतिरिक्त सेट बी और सी पेश करें: बी = {३, ए, बी, सी, डी, ई} , सी = {१,२} । हालाँकि हमने तीन सेट (A, B, और C) बनाए हैं, नीचे दिए गए उदाहरणों में ऑपरेशन केवल दो सेटों के साथ एक साथ किए जाते हैं, इसलिए सावधान रहें कि क्या सेट सबसे बाएं कॉलम में दर्शाए गए हैं। नीचे दी गई तालिका सेट के पाँच सबसे आम ऑपरेंड को दिखाती है:


संचालन: चौराहे - सेट ए और सेट बी से संबंधित तत्वों का सेट;

संघ - सेट ए या सेट बी से संबंधित तत्वों का एक सेट;

सबसेट - सी ए का एक सबसेट है, सेट सी को सेट ए में शामिल किया गया है;

स्वयं (सच्चा) सबसेट - C, A का सबसेट है, लेकिन C, A के बराबर नहीं है ;

सापेक्ष पूरक - A से संबंधित तत्वों का एक समूह और B से नहीं ।

यहां वे सेट सिद्धांत में सबसे आम संचालन हैं; वे शुद्ध गणित के बाहर के क्षेत्रों में काफी लोकप्रिय हैं। वास्तव में, यह अत्यधिक संभावना है कि आप पहले से ही अतीत में इसी प्रकार के ऑपरेशन देख चुके हैं, हालांकि ऐसी शब्दावली के साथ काफी नहीं है, और यहां तक ​​कि उनका उपयोग भी किया है। अच्छा चित्रण: किसी भी छात्र को दो इंटरसेक्टिंग समूहों से वेन आरेख का वर्णन करने के लिए कहें, और वह सहज रूप से सही परिणाम पर पहुंच जाएगा।

अंतिम पंक्ति पर एक और नज़र डालें, सापेक्ष जोड़ - शब्दों का एक असामान्य संयोजन क्या है? किससे संबंधित? यदि सापेक्ष ए - बी को ए और बी नहीं के रूप में परिभाषित किया गया है, तो हम उस सब को कैसे निरूपित करते हैं जो बी नहीं है?

यूनिवर्सल सेट - खाली सेट

यह पता चला है कि यदि हम एक सार्थक उत्तर प्राप्त करना चाहते हैं, तो सबसे पहले हमें अपने संपूर्ण सेट की समस्या का संदर्भ प्रदान करना होगा। यह अक्सर एक कार्य की शुरुआत में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है जब सेट के स्वीकार्य तत्व कुछ निश्चित वर्ग तक सीमित होते हैं जिसमें एक सार्वभौमिक सेट मौजूद होता है, जो एक आम सेट होता है जिसमें इस विशेष कार्य के लिए सभी तत्व होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम केवल अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों से सेट के साथ काम करना चाहते हैं, तो हमारे सार्वभौमिक सेट यू में वर्णमाला के 26 अक्षर शामिल होंगे।

सेट यू के किसी भी सबसेट ए के लिए , सेट ए के पूरक ( ए या यू - ए द्वारा चिह्नित) को सामान्य आबादी यू में सभी तत्वों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है जो ए में नहीं है । यदि हम ऊपर दिए गए प्रश्न पर वापस आते हैं, तो सेट बी का पूरक सार्वभौमिक सेट के भीतर सब कुछ है जो बी से संबंधित नहीं है, जिसमें ए भी शामिल है ।

इससे पहले कि हम आगे बढ़ें, हमें एक और सिद्धांत सेट का उल्लेख करने की आवश्यकता है, जो एक बुनियादी समझ के लिए पर्याप्त है: शून्य या खाली सेट। ध्यान रखें कि एक एकल खाली सेट है, इसलिए, वे कभी भी "खाली सेट" नहीं कहते हैं। यद्यपि हम इस लेख में समतुल्यता पर विचार नहीं करेंगे, लेकिन मूल सिद्धांत यह है कि दो सेट समान हैं यदि उनके समान तत्व हैं; इसलिए, तत्वों के बिना केवल एक सेट हो सकता है। इसलिए, एक एकल खाली सेट है।

वेन आरेख और बाकी

आधिकारिक तौर पर जॉन वेन द्वारा 1880 में आविष्कार किए गए वेन आरेख, वास्तव में आप जो कल्पना करते हैं, हालांकि उनकी वैज्ञानिक परिभाषा कुछ इस तरह है:

कई सेटों के सभी संभावित संबंधों का योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व

नीचे छह सबसे आम वेन आरेखों की एक छवि है, और उनमें से लगभग सभी हाल ही में अध्ययन किए गए ऑपरेंड दिखाते हैं:


संघ, प्रतिच्छेदन, सापेक्ष पूरक, सममित अंतर, उचित उपसमुच्चय, पूर्ण पूरक।

एक सेट और उसके तत्वों के लिए बहुत ही सरल संकेतन के साथ शुरुआत करते हुए, हमने तब उन बुनियादी ऑपरेशनों के बारे में सीखा जो हमें इस दृश्य संकेत को आकर्षित करने की अनुमति देते थे। हमने सममित अंतर (नीचे बाएं) को छोड़कर सभी ऑपरेशनों की जांच की। ज्ञान में अंतराल को नहीं छोड़ने के लिए, हम कहते हैं कि एक सममित अंतर, जिसे एक विघटनकारी संघ भी कहा जाता है, बस तत्वों का एक सेट है जो किसी भी सेट में हैं लेकिन उनके चौराहे में प्रवेश नहीं करते हैं ।

हम शक्ति (कार्डिनल नंबर) की अवधारणा को शुरू करके इस खंड को समाप्त करते हैं। निरपेक्ष मूल्य के प्रतीक द्वारा निरूपित एक सेट की शक्ति, एक विशेष सेट में निहित अद्वितीय तत्वों की संख्या है। ऊपर दिखाए गए उदाहरण के लिए, तीन सेटों की शक्ति बराबर है: | ए | = 3, | बी | = 6, | सी | = २।

आगे बढ़ने से पहले, मैं आपको विचार के लिए भोजन दूंगा - शक्ति और संभावित सबसेट की संख्या के बीच क्या संबंध है?

भाग 3. बिजली और घातीय सेट

पिछले दो भागों में, हमने निर्धारित सिद्धांत की मूल बातें समझ लीं। तीसरे भाग में, हम किसी भी सेट की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति पर ध्यान केंद्रित करके अपनी समझ को मजबूत करेंगे: इसमें निहित अद्वितीय तत्वों की कुल संख्या ।

एक सेट में अद्वितीय तत्वों की संख्या, जिसे शक्ति के रूप में भी जाना जाता है , हमें इस सेट के आगे, गहन विश्लेषण के लिए एक मौलिक संदर्भ बिंदु प्रदान करता है। सबसे पहले, शक्ति अद्वितीय गुणों में से एक है जिसे हम विचार कर रहे हैं जो हमें विभिन्न प्रकार के सेटों की निष्पक्ष रूप से तुलना करने की अनुमति देता है, यह जाँचता है कि क्या एक आक्षेप (यह, कुछ कैविट्स के साथ, फ़ंक्शन के लिए बस अधिक परिष्कृत शब्द है ) एक सेट से दूसरे में मौजूद है। शक्ति का उपयोग करने का एक और तरीका, साथ ही साथ लेख के इस भाग का विषय, शक्ति हमें इस सेट में मौजूद सभी संभावित सबसेट का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है। जिसे वस्तुतः निर्णयों के वितरण की रोजमर्रा की समस्याओं में लागू किया जा सकता है, चाहे वह किराने की दुकान की यात्रा की योजना हो या स्टॉक पोर्टफोलियो का अनुकूलन।


कार्डिनलिटी के उदाहरण

उदाहरण के लिए, ऊपर दी गई तालिका दाईं ओर इंगित की गई उनकी शक्ति के साथ पांच अलग-अलग सेट दिखाती है। जैसा कि हमने पहले ही कहा है, शक्ति का प्रतीक निरपेक्ष मूल्य के प्रतीक जैसा दिखता है - दो ऊर्ध्वाधर रेखाओं के बीच का मान। अंतिम पंक्ति के संभावित अपवाद के साथ सभी उदाहरण समझ में आते हैं, जो इस तथ्य पर जोर देता है कि सेट शक्ति के केवल अद्वितीय तत्व हैं।

लेख के पिछले भाग से सबसेट याद है? यह पता चला है कि कुछ सेट ए की कार्डिनैलिटी और ए के संभावित सबसेट की संख्या में अद्भुत संबंध है। यह नीचे दिखाया गया है कि एक अनुमान के अनुसार शक्ति के क्रम के साथ एक निश्चित सबसेट की रचना की जा सकने वाली सबसेट की संख्या:

C = 2 में संभावित सबसेट की संख्या ^{| C |}

आइए नीचे दिए गए उदाहरण पर करीब से नज़र डालें। हालाँकि, इसके साथ शुरू करने के लिए, हमें सूत्र को इंगित करना चाहिए। हमें "पदों" की कुल संख्या के रूप में शक्ति की कल्पना करें, जो एक सेट है। प्रत्येक संभावित स्थिति के लिए एक सबसेट बनाते समय, बूलियन निर्णय किया जाता है (हाँ / नहीं) । इसका मतलब यह है कि प्रत्येक अद्वितीय तत्व को सेट में जोड़ा जाता है (जो कि एक से शक्ति बढ़ाता है) दो के एक कारक द्वारा संभव सबसेट की संख्या बढ़ाता है। यदि आप एक प्रोग्रामर या वैज्ञानिक हैं, तो आप इस तर्क को थोड़ा गहराई से समझ सकते हैं यदि आप समझते हैं कि बाइनरी नंबर तालिका का उपयोग करके सेट के सभी सबसेट की गणना की जा सकती है।

घातीय सेट (बुलियन)

इससे पहले कि हम सेट सी के एक उदाहरण के लिए सभी सबसेट की गणना करें, मैं अंतिम अवधारणा - बुलियन को पेश करना चाहूंगा।

एक बुलियन को कैपिटल अक्षर S से दर्शाया जाता है, उसके बाद ब्रैकेट्स में प्रारंभिक सेट S (C) होता है। एक बूलियन, C के सभी सबसेट का सेट है, जिसमें खाली सेट और स्वयं C सेट शामिल है। नीचे दी गई तालिका Boolean S (C) सेट C के सभी संभावित क्रमों के साथ एक बड़े सेट में सम्‍मिलित है।


सुविधा स्वरूपण के लिए, मैंने सेट *** के बीच अल्पविराम को हटा दिया

एक बूलियन कैसे उपयोगी हो सकता है? वास्तव में, आप सबसे अधिक संभावना है कि सहज ज्ञान युक्त बूलियन का उपयोग कई बार बिना एहसास के भी किया जाता है। हर बार जब आप बड़े सेट से तत्वों के सबसेट का चयन करते हैं, तो आप बूलियन तत्व का चयन करते हैं। उदाहरण के लिए, एक बच्चा $ 5 बिल के साथ एक पेस्ट्री शॉप का ध्यानपूर्वक अध्ययन कर रहा है - वह सभी उपलब्ध मिठाइयों के सेट का कौन सा तत्व चुनेंगे? या यदि आप एक अधिक तकनीकी उदाहरण लेते हैं: आप, एक सॉफ्टवेयर डेवलपर के रूप में, सभी संभावित डेटाबेस उपयोगकर्ताओं से अनुरोध करने की आवश्यकता हो सकती है जिनके पास एक्स और वाई गुण भी हैं - एक और मामला जिसमें सभी उप सबसेट में से एक सबसेट चुना गया है।

समतुल्यता और द्वंद्वात्मक कार्य

अब हम समझते हैं कि सेट की शक्ति क्या है, यह क्यों महत्वपूर्ण है, और बूलियन के साथ इसका संबंध है। इसलिए, आइए संक्षेप में बताएं कि शुरुआत में क्या उल्लेख किया गया था: विशेष रूप से सेट सिद्धांत में समानता को क्या परिभाषित करता है?

जाहिर है, एक ही शक्ति वाले दो सेटों में कुछ सामान्य संपत्ति होती है, लेकिन समानताएं वहां समाप्त होती हैं - क्या होगा अगर सेट में एक से अधिक तत्व हैं? यदि दो सेटों में समान शक्ति और तत्वों की संख्या हो तो क्या होगा? इस बात से इनकार नहीं किया जा सकता है कि वे कुछ हद तक "समतुल्य" हैं, लेकिन इस मामले में अभी भी मतभेद की संभावना है, क्योंकि प्रत्येक सेट में अलग-अलग तत्व हो सकते हैं जो समान संख्या में दोहराए जाते हैं। यहाँ मुद्दा यह है कि सेट थ्योरी में समतुल्यता की अवधारणा गणित के अन्य क्षेत्रों से थोड़ी अलग है। इस दुनिया में समानता की स्थापना के लिए इस अवधारणा और एक नई भाषा के साथ परिचित होना आवश्यक है। इस लेख के अंतिम भाग में, हम समतुल्यता की अवधारणा के साथ-साथ इंजेक्शन, जीवनी, और विशेषण जैसे बुनियादी गुणों का परिचय देते हैं।

भाग 4. कार्य।

इस भाग में, हम सेट सिद्धांत के भीतर कार्यों के बारे में अधिक बात करेंगे। पिछली अवधारणाओं के मामले में, सेट सिद्धांत में मानक कार्यों की शब्दावली गणित के अन्य क्षेत्रों से थोड़ी अलग है, और इसलिए स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। बहुत सारी शब्दावली हैं, तो चलो तुरंत व्यापार के लिए नीचे उतरें! नीचे दी गई पहली तालिका परिभाषा के एक डोमेन, मूल्यों के एक डोमेन और एक फ़ंक्शन मान की अवधारणाओं को दर्शाती है:


सेट सिद्धांत की दुनिया में एक समारोह बस सेट ए के कुछ (या सभी) तत्वों से सेट बी के कुछ (या सभी) तत्वों का पत्राचार है उपरोक्त उदाहरण में, ए के सभी संभावित तत्वों के सेट को परिभाषा का डोमेन कहा जाता है; इनपुट मान के रूप में उपयोग किए गए A के तत्वों को विशेष रूप से तर्क कहा जाता है । दाईं ओर, सभी संभावित आउटपुट मानों के सेट (गणित के अन्य क्षेत्रों में "मूल्यों के डोमेन") को सह-क्षेत्र कहा जाता है ; A से संबंधित वास्तविक आउटपुट एलिमेंट्स B के सेट को एक इमेज कहा जाता है।

अब तक, वास्तव में कुछ भी जटिल नहीं है, फ़ंक्शन पैरामीटर सेट करने का सिर्फ एक नया तरीका है। अगला, हम सामान्य फ़ंक्शन प्रकारों का उपयोग करके इन मिलान कार्यों के व्यवहार का वर्णन करने के तरीके के बारे में बात करेंगे।

इंजेक्शन, सरोगेसी और बायजेक्शन

सेट सिद्धांत में, तीन अवधारणाओं का उपयोग आम तौर पर सेट के पत्राचार को वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है: इंजेक्शन , इंजेक्शन, और बायजेक्शन । दुर्भाग्य से, इन अवधारणाओं के कई अलग-अलग नाम हैं जो भ्रम को बढ़ाते हैं, इसलिए हम पहले प्रत्येक परिभाषा को देखेंगे और फिर दृश्य उदाहरणों को देखेंगे। सभी तीन शब्दों का वर्णन जिस तरह से छवियों पर मैप किया जाता है:

• एक फ़ंक्शन इंजेक्टिव ( या "एक से एक" ) है यदि सह-क्षेत्र में प्रत्येक तत्व को परिभाषा क्षेत्र में एक से अधिक तत्व के लिए मैप नहीं किया गया है।
• , . ( .)
• , .

इन जटिल परिभाषाओं के केक पर चेरी "इंजेक्शन", "विशेषण" और "जीवनात्मक" शब्दों के संभावित अतिरिक्त अर्थ थे। जब उनका उपयोग किसी फ़ंक्शन (पत्राचार) का वर्णन करने के लिए किया जाता है , तो उपरोक्त मान सत्य होगा; हालांकि, इन विशेषताओं द्वारा केवल कार्यों (पत्राचार) की पहचान करना भी सही होगा । यही कारण है कि कहा जाता है एक injective व्यवहार के साथ एक समारोह है इंजेक्शन - surjective व्यवहार के साथ समारोह surjective व्यवहार के साथ और द्विभाजित समारोह - द्विभाजन ।

बिंदुओं की सूची को फिर से पढ़ें। एक आक्षेप बस एक ऐसा कार्य है जो पिछली दोनों आवश्यकताओं को पूरा करता है; यह है, फ़ंक्शन इंजेक्टिव और हैsurjective। विशेषण फ़ंक्शन को विशेषण नहीं होना चाहिए, और विशेषण को इंजेक्शन नहीं होना चाहिए। निम्नलिखित एक दृश्य उदाहरण है जिसमें इन तीन वर्गीकरणों में इंजेक्शन और सुरक्षोपाय के चार संभावित संयोजनों द्वारा परिभाषित सेट फ़ंक्शंस का निर्माण किया गया है:


बिना किसी वर्गीकरण (बिना इंजेक्शन + गैर-इंजेक्शन) के आपत्ति (इंजेक्शन + सर्जन), इंजेक्शन (इंजेक्शन + गैर-इंजेक्शन), सर्जन (गैर इंजेक्शन + इंजेक्शन),

यह सब है! अब हमारे पास सेट्स की दुनिया में पाए जाने वाले सबसे आम रिश्तों की प्रारंभिक समझ है। हालांकि, यह हमारी यात्रा के अंत का कोई मतलब नहीं है: इसके विपरीत, यह बहुत शुरुआत है।

सेट सिद्धांत की मूलभूत नींव गणित के उच्च-स्तरीय क्षेत्रों को समझने की कुंजी है। इन विभिन्न क्षेत्रों के प्रति अपने आंदोलन को जारी रखने के लिए, हमें गणित के इतिहास में सबसे क्रांतिकारी सिद्धांतों में से एक को स्पष्ट करने के लिए सेट थ्योरी के अपने ज्ञान का उपयोग करने की आवश्यकता होगी: जर्मेलो-फ्रेनकेल एक्सियल सिस्टम ।