गणितीय परिकल्पना की सूक्ष्म कला

यह प्रमाण नहीं है, बल्कि ज्ञान द्वारा समर्थित अनुमान है। लेकिन एक अच्छी परिकल्पना गणित को आगे बढ़ाती है, गणितीय अस्पष्टता के रास्ते को इंगित करती है।

लेख के लेखक रॉबर्ट डीजकग्राफ , एक सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी, स्ट्रिंग थ्योरी के विशेषज्ञ, प्रिंसटन में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी के निदेशक और एम्स्टर्डम विश्वविद्यालय में एक प्रोफेसर हैं।

गणितीय शोध के लिए पहाड़ पर चढ़ना एक लोकप्रिय रूपक है। इस तरह की तुलना से बचना लगभग असंभव है: एक जमी हुई दुनिया, दुर्लभ ठंडी हवा, पर्वतारोहण की कठोर कठोरता संख्याओं, सूत्रों और प्रमेयों के एक अतुलनीय परिदृश्य से मिलती जुलती है। जैसे एक पर्वतारोही अपनी क्षमताओं को एक अस्पष्ट वस्तु के साथ विपरीत करता है - उसके मामले में, एक पत्थर की दीवार - इसलिए एक गणितज्ञ अक्सर कठोर तर्क के खिलाफ मानव मन की लड़ाई में लड़ता है।

गणित में, पर्वत चोटियों की भूमिका महान परिकल्पनाओं द्वारा निभाई जाती है - तेजी से तैयार किए गए कथन, सबसे अधिक संभावना सच, लेकिन ठोस सबूत के बिना। इन परिकल्पनाओं की गहरी जड़ें और व्यापक परिणाम हैं। उनके समाधानों की खोज गणित का एक बड़ा हिस्सा है। अनन्त महिमा उनके पहले विजेता का इंतजार कर रही है।

दिलचस्प बात यह है कि गणितज्ञों ने परिकल्पना का निर्माण उच्च कला के स्तर तक किया है। सबसे कठोर विज्ञान हल्के रूपों से प्यार करता है। एक अच्छी तरह से चुना हुआ, लेकिन साबित नहीं किया गया कथन अपने लेखक को दुनिया भर में प्रसिद्ध कर सकता है, शायद उससे भी ज्यादा जो अंतिम प्रमाण प्रस्तुत करता है। पॉइंकेयर अनुमान पोइंटकेयर अनुमान है, इसके बाद भी यह ग्रिगोरी याकोवेलिच पेरमैन द्वारा सिद्ध किया गया था। और आखिरकार, 19 वीं शताब्दी के पूर्वार्ध में भारत के मुख्य सर्वेक्षणकर्ता ब्रिटिश व्यक्ति जॉर्ज एवरेस्ट कभी भी उस पहाड़ पर नहीं चढ़े, जो उनके नाम पर है।

किसी भी कला के रूप में, एक महान परिकल्पना को कई अनिवार्य मानदंडों को पूरा करना चाहिए। सबसे पहले, यह गैर-तुच्छ होना चाहिए - साबित करना मुश्किल। गणितज्ञ कभी-कभी कहते हैं, "कार्य केवल कार्य के लायक है यदि वह हल करता है", या "यदि कार्य आपको परेशान नहीं करता है, तो यह संभवतः आपके लिए बहुत आसान है।" यदि कुछ महीनों के भीतर एक परिकल्पना साबित हो जाती है, तो इसके निर्माता ने इसे दुनिया में खोलने से पहले थोड़ा सोचा होगा।

सबसे बड़ी गणितीय समस्याओं के एक व्यापक संग्रह को इकट्ठा करने का पहला प्रयास डेविड हिल्बर्ट द्वारा पिछली शताब्दी की शुरुआत में किया गया था, जिसे अंतिम सार्वभौमिक गणितज्ञ कहा जाता है। हालांकि उनकी 23 मुद्दों की सूची काफी प्रभावशाली रही, लेकिन पीछे मुड़कर देखें तो वह हमारे लिए मिश्रित है।

इसमें लंबे समय तक सार्वभौमिक पसंदीदा शामिल हैं, जैसे कि रीमैन परिकल्पना - अक्सर महानतम लोगों में सबसे महान माना जाता है, एक सौ से अधिक वर्षों के लिए गणितज्ञों के लिए शेष एवरेस्ट। हिल्बर्ट से जब पूछा गया कि वह पहले क्या जानना चाहते हैं, तो 500 साल के सपने के बाद जागते हुए, उन्होंने तुरंत इस परिकल्पना को याद किया। यह प्रिम्स के वितरण की मूल सहज ज्ञान युक्त धारणा का वर्णन करता है - अंकगणित के परमाणु - और इसके प्रमाण में गणित की कई शाखाओं के लिए व्यापक निहितार्थ होंगे।

लेकिन हिल्बर्ट ने बहुत अधिक अस्पष्ट और गैर-कठोर लक्ष्यों को सूचीबद्ध किया, जैसे "भौतिकी के स्वयंसिद्धों का गणितीय अध्ययन" या " विविधताओं की गणना के तरीकों का विकास"। समान आकार के पॉलीहेड्रोन की समान संरचना के बारे में परिकल्पना में से एक का निर्धारण उनके छात्र मैक्स डैन ने उसी वर्ष किया था, जब सूची प्रकाशित हुई थी। हिल्बर्ट द्वारा वर्णित कई चोटियाँ तलहटी की तरह अधिक निकलीं।

उच्चतम चोटियाँ एक प्रयास के साथ प्रस्तुत नहीं होती हैं। अभियानों ने सावधानीपूर्वक बेस कैंप और स्ट्रेप रोप्स स्थापित किए, और फिर धीरे-धीरे चरम पर चढ़ गए। गणित में, एक गंभीर समस्या पर हमला करने के लिए अक्सर जटिल संरचनाओं के निर्माण की आवश्यकता होती है। एक सीधा हमला बेवकूफ और भोला माना जाता है। इन सहायक गणितीय निर्माणों के निर्माण में कभी-कभी सदियां लग जाती हैं, और परिणामस्वरूप, वे कभी-कभी विजय प्राप्त प्रमेय की तुलना में अधिक मूल्यवान हो जाते हैं। फिर ये जंगल गणित की वास्तुकला के लिए एक स्थायी जोड़ बन जाते हैं।

इस घटना का एक आदर्श उदाहरण Fermat के महान प्रमेय का प्रमाण होगा, जो 1994 में एंड्रयू जॉन विल्स द्वारा प्राप्त किया गया था। यह ज्ञात है कि फरमेट ने 1639 में डायोफैंटस के "अंकगणित" के आधार पर अपनी परिकल्पना लिखी थी। लेकिन गणितीय उपकरण विकसित करने के लिए इसके प्रमाण में तीन सौ से अधिक वर्षों की आवश्यकता थी। विशेष रूप से, गणितज्ञों को संख्या सिद्धांत और ज्यामिति का एक बहुत ही उन्नत संयोजन बनाना था। यह नया क्षेत्र, अंकगणित ज्यामिति , अब सबसे गहरी और सबसे दूरगामी गणितीय सिद्धांतों में से एक है। यह फ़र्मेट परिकल्पना से बहुत आगे निकल जाता है, और कई उत्कृष्ट मुद्दों को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

महान परिकल्पना भी गहरी होनी चाहिए और गणित के बहुत मध्य में होनी चाहिए। वास्तव में, चोटी को जीतने का रूपक साक्ष्य प्राप्त करने के सभी परिणामों को प्रतिबिंबित नहीं करता है। इसे प्राप्त करना एक कठिन यात्रा का अंतिम लक्ष्य नहीं है, बल्कि इससे भी बड़ा रोमांच का प्रारंभिक बिंदु है। एक अधिक उपयुक्त रास्ता एक पहाड़ी दर्रा, एक काठी होगा, जिससे यात्री एक घाटी से दूसरी घाटी में जा सकेगा। यही वह है जो रीमैन परिकल्पना को इतना शक्तिशाली और लोकप्रिय बनाता है। यह कई अन्य प्रमेयों और विचारों को प्रकट करता है, और व्यापक सामान्यीकरण इसका अनुसरण करते हैं। गणितज्ञ उस समृद्ध घाटी का अध्ययन करते हैं, जिसमें वह पहुँच प्रदान करता है, इस तथ्य के बावजूद कि यह विशुद्ध रूप से काल्पनिक है।

इसके अलावा, मजबूत पर्याप्त सबूत परिकल्पना का समर्थन करना चाहिए। नील्स बोह्र द्वारा प्रसिद्ध कहावत: “एक सही कथन के विपरीत एक गलत बयान है। लेकिन गहरे सत्य के विपरीत एक और गहरा सत्य हो सकता है। ” हालांकि, महान परिकल्पना के लिए यह स्पष्ट रूप से मामला नहीं है। चूंकि व्यापक अप्रत्यक्ष सबूत आमतौर पर उसके पक्ष में बोलते हैं, इसलिए उसका इनकार असंभव लगता है। उदाहरण के लिए, रीमैन परिकल्पना के पहले 10 ट्रिलियन मामलों को कंप्यूटर पर संख्यात्मक रूप से जांचा गया था। अब भी उसकी वफादारी पर कौन संदेह कर सकता है? हालांकि, ऐसी सहायक सामग्री गणितज्ञों को संतुष्ट नहीं करती है। वे पूर्ण निश्चितता की मांग करते हैं और जानना चाहते हैं कि परिकल्पना क्यों सच है। केवल ठोस सबूत ही ऐसा जवाब दे सकते हैं। अनुभव बताता है कि किसी व्यक्ति को धोखा देना आसान है। काउंटरटेक्मेन्स काफी दूर तक छिप सकते हैं, जैसे कि नोआम एल्किस ने पाया, एक हार्वर्ड गणितज्ञ, जिसने यूलर की परिकल्पना का खंडन किया था, फ़र्मेट की परिकल्पना का एक भिन्नता, जिसमें कहा गया था कि चौथे डिग्री में तीन अन्य संख्याओं के रूप में एक चौथाई-संख्या संख्या नहीं लिखी जा सकती है। किसने अनुमान लगाया होगा कि पहले प्रतिसाद में ३० अंकों की संख्या होगी?

20 615 673 ⁴ = 2 682 440 ⁴ + 15 365 639 ⁴ + 18 796 760 ⁴

सर्वोत्तम परिकल्पनाओं में आमतौर पर मामूली जड़ें होती हैं, जैसे कि फ़र्मोट की किसी पुस्तक के मार्जिन में क्षणभंगुर टिप्पणी, लेकिन उनके परिणाम वर्षों में बढ़ते हैं। यह भी उपयोगी है यदि परिकल्पना को संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है, अधिमानतः एक सूत्र के माध्यम से कम संख्या में वर्णों के साथ। एक अच्छी परिकल्पना को एक टी-शर्ट पर फिट होना चाहिए। उदाहरण के लिए, गोल्डबैक की परिकल्पना कहती है: "2 के साथ शुरू होने वाली कोई भी संख्या, दो प्रमुख संख्याओं के योग के रूप में दर्शाई जा सकती है।" 1742 में तैयार की गई यह परिकल्पना अभी तक सिद्ध नहीं हुई है। ग्रीक लेखक Apostolos Doksiadis के उपन्यास "अंकल पेट्रोस एंड द गोल्डबैक प्रॉब्लम" के लिए वह प्रसिद्ध हो गईं, कम से कम इसलिए नहीं कि प्रकाशक ने किसी को भी $ 1 मिलियन का विज्ञापन देने की पेशकश की, जो पुस्तक प्रकाशित होने के बाद दो साल के भीतर इसे साबित कर सकता था। इसकी बाहरी सुंदरता के साथ परिकल्पना की संक्षिप्तता विकसित होती है। आप गणितीय सौंदर्यशास्त्र को "प्रति वर्ण प्रभाव की मात्रा" के रूप में भी परिभाषित कर सकते हैं। हालांकि, ऐसी सुरुचिपूर्ण सुंदरता धोखा दे सकती है। सबसे संक्षिप्त योगों में सबसे लंबे समय तक साक्ष्य की आवश्यकता हो सकती है, जो फ़र्मेट के भ्रामक सरल अवलोकन को फिर से प्रदर्शित करता है।

इस मानदंड की सूची में, कोई शायद प्रसिद्ध गणितज्ञ जॉन कॉनवे के उत्तर को इस सवाल के साथ जोड़ सकता है कि क्या परिकल्पना महान है: "यह जरूरी होना चाहिए।" एक आकर्षक परिकल्पना भी कुछ हद तक हास्यास्पद या शानदार है, जिसमें प्रभाव और परिणाम का एक अप्रत्याशित क्षेत्र है। आदर्श रूप से, यह उन क्षेत्रों के घटकों को जोड़ती है जो एक दूसरे से बहुत दूर हैं, जो पहले एक बयान में नहीं पाए गए थे, एक अभिव्यंजक व्यंजन में अप्रत्याशित सामग्री के रूप में।

अंत में, यह समझना उपयोगी होगा कि साहसिक हमेशा सफल नहीं होता है। जिस तरह एक पर्वतारोही के सामने एक दुर्गम फांक पैदा हो सकती है, उसी तरह गणितज्ञों को हराया जा सकता है। और अगर वे हारते हैं, तो वे पूरी तरह से हार जाते हैं। 99% प्रमाण जैसी कोई चीज नहीं है। दो सहस्राब्दियों के लिए, लोगों ने परिकल्पना को साबित करने की कोशिश की है कि पांचवां यूक्लिडियन स्वयंसिद्ध - समानांतरवाद का कुख्यात स्वयंसिद्ध , जो कहता है कि समानांतर रेखाएं प्रतिच्छेद नहीं करती हैं - प्लैनेटियम के चार पिछले अक्षतंतु से काटा जा सकता है। और फिर, 19 वीं शताब्दी की शुरुआत में, गणितज्ञों ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के ठोस उदाहरण बनाए, इस परिकल्पना का खंडन किया।

लेकिन ज्यामिति वहाँ समाप्त नहीं हुई। विकृत अर्थ में, महान परिकल्पना का खंडन इसके प्रमाण से भी बेहतर समाचार हो सकता है, क्योंकि असफलता इंगित करती है कि गणितीय दुनिया की हमारी समझ वास्तविकता से बहुत अलग है। हारना उत्पादक हो सकता है, कुछ हद तक एक दयनीय जीत का विरोध किया जा सकता है। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति आइंस्टीन के घुमावदार स्थान-समय का एक महत्वपूर्ण पूर्ववर्ती निकला, जो गुरुत्वाकर्षण और अंतरिक्ष की आधुनिक समझ में इतनी महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

इसी तरह, जब कर्ट गोडेल ने 1931 में अपनी प्रसिद्ध अपूर्णता प्रमेय को प्रकाशित किया, जिसमें दिखाया गया था कि किसी भी औपचारिक गणितीय प्रणाली में सच्चे कथन हैं जो साबित नहीं किए जा सकते हैं, वास्तव में, उन्होंने अंकगणित के स्वयंसिद्धों की संगतता के बारे में हिल्बर्ट की समस्याओं में से एक का जवाब दिया। हालांकि, अपूर्णता प्रमेय - जिसे अक्सर अरस्तू के बाद से तर्क की सबसे बड़ी उपलब्धि माना जाता है - गणितीय तर्क के अंत की घोषणा नहीं की। इसके बजाय, इसने एक हेयड का नेतृत्व किया जिसने आधुनिक कंप्यूटरों का विकास किया।

तो, अंत में, महान परिकल्पनाओं के समाधान की खोज में पर्वत अभियानों के साथ सबसे ऊंची चोटियों के साथ थोड़ा अलग समानताएं हैं। केवल जब हर कोई घर लौटा, सुरक्षा में - कोई फर्क नहीं पड़ता कि क्या लक्ष्य हासिल किया गया था या नहीं - क्या साहसिक की सही चौड़ाई स्पष्ट हो जाती है। और फिर वीर आरोह-अवरोह की कहानियों का समय आता है।