एक जादुई गणितीय कार्य से - उन सभी पर शासन करने का एक समाधान

तीन साल पहले, लॉज़ेन में स्विस फेडरल इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी से मरीना व्याज़ोव्स्काया ने आठ-और 24-आयामी रिक्त स्थान (दूसरे मामले में, चार सह-लेखकों की मदद से) में समान आकार के क्षेत्रों को पैक करने के लिए घने तरीके की खोज करके गणितज्ञों को चकित किया। और अब उन्होंने और सह-लेखकों ने कुछ और भी आश्चर्यजनक साबित कर दिया है: विन्यास जो कि वर्णित आयामों में घनी पैकिंग क्षेत्रों की समस्या को हल करते हैं, एक दूसरे से बचने की कोशिश कर रहे अंक की सबसे अच्छी व्यवस्था से संबंधित अन्य समस्याओं की एक अनंत संख्या को भी हल करते हैं।

अंक, उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉनों के एक अनंत सेट को निरूपित कर सकते हैं जो एक दूसरे को पीछे हटाते हैं और सबसे कम ऊर्जा के साथ कॉन्फ़िगरेशन में बसने की कोशिश करते हैं। या, ये बिंदु समाधान में लंबे, मुड़ पॉलिमर के केंद्रों को इंगित कर सकते हैं, खुद को व्यवस्थित करने की कोशिश कर रहे हैं ताकि पड़ोसियों के साथ टकराव न हो। ऐसी समस्याओं के लिए कई विकल्प हैं, और यह स्पष्ट नहीं है कि प्रत्येक का एक ही समाधान होगा। गणितज्ञों का मानना ​​है कि ज्यादातर आयामों में ऐसा होने की संभावना बहुत कम है।

लेकिन रिक्त स्थान, 8 और 24 आयामों से मिलकर, अंकों का एक विशेष, बहुत सममित विन्यास होता है, जो कि अब हम जानते हैं, साथ ही साथ इन सभी विभिन्न समस्याओं को हल करता है। गणित की भाषा में, इन दो विन्यासों को "सार्वभौमिक रूप से इष्टतम" कहा जाता है।

यह नई बड़े पैमाने पर खोज व्याजोवस्काया और उसके सहयोगियों के पिछले काम को गंभीरता से प्रस्तुत करती है। "पटाखे बंद नहीं हुए," थॉमस हेल्स ने कहा, पिट्सबर्ग विश्वविद्यालय के एक गणितज्ञ, जिन्होंने 1998 में साबित किया कि संतरे की प्रसिद्ध पिरामिड व्यवस्था त्रि-आयामी अंतरिक्ष में गोले को पैक करने का सबसे घना तरीका है।

सार्वभौमिक इष्टतम विन्यास वाले आयामों की एक छोटी सूची में आठ और 24 एक आयाम से जुड़ते हैं। दो आयामी विमान में सार्वभौमिक समानता के लिए एक उम्मीदवार है - समबाहु त्रिभुजों का एक ग्रिड - लेकिन कोई सबूत नहीं है। तीन आयामी दुनिया में, एक पूर्ण चिड़ियाघर शासन करता है: अलग-अलग परिस्थितियों में अंकों के अलग-अलग कॉन्फ़िगरेशन अलग-अलग परिणाम दिखाते हैं, और कुछ समस्याओं के लिए गणितज्ञों के पास सर्वश्रेष्ठ कॉन्फ़िगरेशन के बारे में सहनीय अनुमान भी नहीं होते हैं।

"बदलाव को मापें, या कार्य को थोड़ा बदलें, और स्थिति समझ से बाहर हो जाती है," प्रोविडेंस में ब्राउन विश्वविद्यालय के गणितज्ञ रिचर्ड शवार्ट्ज ने कहा। "मुझे नहीं पता कि गणितीय ब्रह्मांड क्यों इतना व्यवस्थित है।"

सार्वभौमिक अनुकूलता साबित करने के लिए पैकिंग क्षेत्रों की समस्या को हल करने की तुलना में अधिक कठिन है। विशेष रूप से, क्योंकि सार्वभौमिक इष्टतमता में एक ही बार में विभिन्न कार्यों की अनंत संख्या शामिल है, लेकिन यह भी क्योंकि ये कार्य अपने आप में अधिक जटिल हैं। गोले की पैकिंग में, प्रत्येक क्षेत्र केवल अपने निकटतम पड़ोसियों के साथ संबंध रखता है, लेकिन एक समस्या जैसे कि इलेक्ट्रॉनों के वितरण में, प्रत्येक इलेक्ट्रॉनों के बीच की दूरी की परवाह किए बिना, सभी अन्य लोगों के साथ बातचीत करते हैं। हेल्स ने कहा, "अपने शुरुआती काम के बावजूद भी मुझे उम्मीद नहीं थी कि यह सार्वभौमिक रूप से इष्टतम प्रमाण हो सकता है।"

न्यूयॉर्क विश्वविद्यालय के गणितज्ञ सिल्विया सेराफती ने कहा, "यह बहुत प्रभावशाली है।" "यह बात 19 वीं सदी की प्रमुख गणितीय सफलताओं के बराबर है।"

मैजिक सर्टिफिकेट

यह अजीब लग सकता है कि आयाम 8 और 24 को आयाम 7, 18 या 25 की तुलना में अलग व्यवहार करना चाहिए। लेकिन गणितज्ञों ने लंबे समय से जाना है कि अंतरिक्ष में वस्तुओं की घनी पैकिंग अलग-अलग आयामों में अलग-अलग तरीके से काम करती है। उदाहरण के लिए, केंद्र से एक निश्चित दूरी पर स्थित बिंदुओं के एक समूह के रूप में परिभाषित एक बहुआयामी क्षेत्र पर विचार करें। यदि हम सबसे छोटे घन के आयतन के साथ गोले के आयतन की तुलना करते हैं, तो आयाम जितना अधिक होता है, उतना छोटा घन गोले को ऊपर ले जाता है। यदि आप आठ-आयामी सॉकर बॉल को सबसे छोटे संभव बॉक्स में मेल करना चाहते हैं, तो गेंद बॉक्स के वॉल्यूम का 2% से कम लेगी - और बाकी सब खाली जगह पर भटकेगी।

तीन से बड़े प्रत्येक आयाम में, संतरे के पिरामिड के समान एक विन्यास बनाना संभव है, और बढ़ते आयामों के साथ, गोले के बीच अंतराल बढ़ता है। आठवें आयाम पर पहुंचने के बाद, हम अचानक इस तथ्य का सामना करते हैं कि इन स्थानों में वहाँ के गोले को निचोड़ने के लिए पर्याप्त जगह है। परिणाम ई ₈ ग्रिल नामक एक अत्यंत सममितीय विन्यास है। 24 वें आयाम में, एक लिच जाली समान तरीके से उत्पन्न होती है, जब अतिरिक्त गोले अंतराल में ढह सकते हैं, इस प्रकार पैकिंग क्षेत्रों के लिए एक और प्रसिद्ध निर्माण होता है।

गणितज्ञों द्वारा पूरी तरह से समझा नहीं जाने वाले कारणों के लिए, ये दो अक्षांश अचानक गणित के एक क्षेत्र में या दूसरे में, संख्या सिद्धांत और गणितीय विश्लेषण से गणितीय भौतिकी तक दिखाई देते हैं। "मैं इस सब के लिए एक कारण नहीं जानता," कैम्ब्रिज, मैसाचुसेट्स में माइक्रोसॉफ्ट रिसर्च न्यू इंग्लैंड इंस्टीट्यूट के हेनरी कोहन ने कहा, काम के पांच लेखकों में से एक।

दस से अधिक वर्षों के लिए, गणितज्ञों ने संख्यात्मक प्रमाणों को माना है कि ई ₈ और लिच जाली उनके आयामों में सार्वभौमिक रूप से इष्टतम हैं - लेकिन हाल ही में जब तक उन्हें पता नहीं था कि यह कैसे साबित किया जाए। फिर 2016 में, वायज़ोव्स्काया ने इस ओर पहला कदम उठाया, यह साबित करते हुए कि ये दो लट्टे गोलों को पैक करने के सबसे अच्छे तरीके हैं।

और अगर तीन आयामी मामले के लिए हेल्स सबूत सैकड़ों पृष्ठों पर फैला है और कंप्यूटर पर महंगी गणना की आवश्यकता है, तो ई ₈ के मामले के लिए व्यज़ोवस्काया से प्रमाण 23 पृष्ठों पर फिट बैठता है। उसके तर्कों का सार एक "जादू" फ़ंक्शन की परिभाषा के साथ जुड़ा हुआ है (जैसा कि गणितज्ञ अब इसे कहते हैं), जो यह बताता है कि हेल्स को ई _{8 के} लिए "सर्टिफिकेट" कहा जाता है जो कि गोले की सबसे अच्छी पैकिंग के लिए है - यह प्रमाण प्राप्त करना मुश्किल है, लेकिन इसकी उपस्थिति के बाद इसकी तात्कालिक समझ है। उदाहरण के लिए, यदि किसी ने आपसे पूछा कि क्या वास्तविक संख्या x ऐसी है कि बहुपद x ² - 6x + 9 ऋणात्मक हो जाती है, तो आप उत्तर के बारे में सोच सकते हैं। हालाँकि, यह महसूस करना कि यह बहुपद (x - 3) ^{2 के} बराबर है, आप तुरंत समझ जाएंगे कि उत्तर "नहीं" है, क्योंकि एक वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है।

वियाज़ोव्स्काया के जादू समारोह की खोज करने की विधि शक्तिशाली साबित हुई - और लगभग बहुत शक्तिशाली। गोले को पैक करने का काम केवल पास के बिंदुओं की बातचीत को चिंतित करता है, लेकिन वैज़ोव्स्काया दृष्टिकोण लंबी दूरी की बातचीत के लिए काम करता था, जैसा कि दूरस्थ इलेक्ट्रॉनों के साथ होता है।

उच्च आयामों में अनिश्चितता

यह दिखाने के लिए कि अंतरिक्ष में बिंदुओं का विन्यास सार्वभौमिक रूप से इष्टतम है, इस सार्वभौमिकता को निर्धारित करना सबसे पहले आवश्यक है। कोई बिंदु विन्यास नहीं है जो किसी भी उद्देश्य के लिए इष्टतम है: उदाहरण के लिए, जब आकर्षण का बल बिंदुओं पर कार्य करता है, तो सबसे कम ऊर्जा वाला कॉन्फ़िगरेशन कुछ जाली नहीं होता है, लेकिन एक विशाल ढेर होता है जिसमें सभी बिंदु एक ही स्थान पर होते हैं।

व्याज़ोव्स्काया, कोहन और उनके सहयोगियों ने अपने अध्ययन के दायरे को प्रतिकारक बलों की सार्वभौमिकता तक सीमित कर दिया। अधिक विशेष रूप से, उन्होंने नीरस ताकतों पर विचार किया, अर्थात्, जिसमें प्रतिकर्षण एक दूसरे के करीब आने पर मजबूत हो जाता है। इस विशाल परिवार में भौतिक दुनिया की कई सामान्य ताकतें शामिल हैं। इसमें ब्रह्माण्ड के विद्युत नियम शामिल हैं - जिसमें विद्युत आवेशित कणों के लिए कूलम्ब कानून और गाऊसी, बेल-आधारित रेखांकन कार्य शामिल हैं, जो कई स्वतंत्र प्रतिकारक भागों जैसे लंबे पॉलिमर के साथ संस्थाओं के व्यवहार का वर्णन करते हैं। गोले को बाँधने का कार्य इस ब्रह्माण्ड के बाहरी छोर पर है: यह आवश्यक नहीं है कि गोले को प्रतिच्छेद न करें जब कि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनके व्यास से कम हो तो वे असीम रूप से मजबूत प्रतिकर्षण में बदल जाते हैं।

इन नीरस शक्तियों में से किसी के लिए, यह सवाल उठता है - सबसे कम ऊर्जा - "ग्राउंड स्टेट" - कणों के अनंत सेट के लिए कॉन्फ़िगरेशन क्या होगा? 2006 में, कोन और कुमार ने बहुत सुविधाजनक गुणों के साथ छोटे "सहायक" कार्यों के साथ ऊर्जा का वर्णन करने वाले एक फ़ंक्शन की तुलना करके जमीनी राज्य की एक छोटी ऊर्जा सीमा खोजने के लिए एक विधि विकसित की । उन्हें प्रत्येक आयाम के लिए सहायक कार्यों की एक अनंत आपूर्ति मिली, लेकिन यह नहीं पता था कि सबसे अच्छा सहायक फ़ंक्शन कैसे खोजना है।


नए काम के पांच लेखक: हेनरी कोहन, अभकिनव कुमार, मरीना व्याज़ोव्स्काया, स्टीफन मिलर और डानिलो मिचेंको

अधिकांश मापों में, कोहन और कुमार द्वारा खोजी गई संख्यात्मक सीमाएँ संभव सर्वोत्तम विन्यास की ऊर्जा से मिलती-जुलती नहीं हैं। लेकिन 8 और 24 के आयामों में, सीमाएं आश्चर्यजनक रूप से ऊर्जा E ₈ और प्रत्येक प्रतिकारक बल के लिए Lich जाली के करीब आईं, जिस पर कोन और कुमार ने अपनी विधि का परीक्षण किया। यह सोचना स्वाभाविक था कि क्या, किसी भी प्रतिकारक बल के लिए, कुछ आदर्श सहायक फ़ंक्शन मौजूद हैं जो ऊर्जा E ₈ या लिच जाली के साथ एक सीमा बिल्कुल मेल खाते हैं। क्षेत्रों को पैक करने के कार्य के लिए, यह ठीक वैसा ही था जैसा कि तीन साल पहले व्याज़ोवस्काया ने किया था: उसने एक आदर्श, "जादुई" सहायक फ़ंक्शन की खोज की, मॉड्यूलर कार्यों नामक एक वर्ग के कार्यों का अध्ययन किया, जिनके सदियों पहले विशेष समरूपता गुणों ने उन्हें अध्ययन का एक उद्देश्य बनाया।

जब यह प्रतिकारक बिंदुओं के साथ अन्य समस्याओं के लिए आया, उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉनों के साथ समस्या, शोधकर्ताओं को पता था कि किसी भी जादू फ़ंक्शन को किस गुणों को संतुष्ट करना चाहिए: कुछ बिंदुओं पर, इसे विशेष मान लेना चाहिए, और इसके फूरियर रूपांतरण , जो फ़ंक्शन की प्राकृतिक आवृत्तियों को मापता है, को लेना चाहिए। अन्य बिंदुओं पर विशेष मूल्य। क्या वे नहीं जानते थे कि क्या इस तरह के एक समारोह का अस्तित्व था।

यह आमतौर पर एक फ़ंक्शन का निर्माण करने के लिए काफी सरल है जो आपको अपने पसंदीदा बिंदुओं पर आवश्यकता होती है, लेकिन एक ही समय में फ़ंक्शन और इसकी फूरियर छवि दोनों को नियंत्रित करना आश्चर्यजनक रूप से कठिन है। "जब आप कुछ करना शुरू करते हैं, तो दूसरा आपकी इच्छाओं से पूरी तरह अलग होता है।"

वास्तव में, यह सूक्ष्मता भौतिकी में अनिश्चितता के एक प्रच्छन्न सिद्धांत से अधिक कुछ नहीं है। हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत यह है कि यह कहता है कि जितना अधिक आप एक कण के स्थान के बारे में जानते हैं, उतना ही कम आप इसके संवेग के बारे में जानते हैं, और इसके विपरीत, इस सामान्य सिद्धांत का एक विशेष मामला है, क्योंकि कण की गति लहर इसके स्थान की लहर का फूरियर रूपांतरण है।

आयाम 8 या 24 में प्रतिकारक बल के मामले में, वायज़ोव्स्काया ने एक साहसिक परिकल्पना को आगे रखा: टीम ने अपने जादू के कार्य और उसकी फूरियर छवि को लागू करने के लिए जो प्रतिबंध लगाए थे, वे संभव और असंभव के बीच की सीमा पर हैं। उसे संदेह था कि यदि आप कोई और प्रतिबंध जोड़ते हैं, तो ऐसा कोई कार्य नहीं होगा; यदि आप प्रतिबंध कम करते हैं, तो ऐसे कई कार्य हो सकते हैं। उसने सुझाव दिया कि जिस स्थिति में टीम को दिलचस्पी है, वहां एक उपयुक्त कार्य होना चाहिए।

"मुझे लगता है कि यह मरीना की महान विशेषताओं में से एक है," कोहन ने कहा। "वह बहुत ही व्यावहारिक है, और बहुत बहादुर भी है।"

उस समय, कोन को संदेह था - व्यज़कोवस्काया का कूबड़ सच होना बहुत अच्छा लग रहा था - लेकिन टीम ने अंततः इसे साबित कर दिया। उन्होंने न केवल दिखाया कि प्रत्येक प्रतिकारक बल के लिए वास्तव में एक जादू कार्य है, बल्कि इसके निर्माण के लिए एक नुस्खा भी दिया है। पैकिंग क्षेत्रों के मामले में, इस डिजाइन ने तुरंत ई ₈ और लिच जाली के लिए इष्टतमता प्रमाण पत्र दिया। "यह एक शानदार परिणाम की तरह है," श्वार्ट्ज ने कहा।

त्रिकोणीय ग्रिड

सार्वभौमिक इष्टतमता की समस्या को हल करने के अलावा, एक नया प्रमाण उस तत्काल प्रश्न का उत्तर देता है जो गणितज्ञों ने सामना किया है क्योंकि व्याज़ोव्सकाया ने तीन साल पहले पैकिंग क्षेत्रों की समस्या को हल किया था: इसका जादुई कार्य कहां से आया था? "मुझे लगता है कि कई हैरान थे," Vyazovskaya ने कहा। "उन्होंने पूछा: इसका क्या मतलब है?"

एक नए काम में, व्याज़ोव्सकाया और उनके सहयोगियों ने दिखाया कि पैकिंग क्षेत्रों का जादुई कार्य मॉड्यूलर रूपों के निर्माण ब्लॉकों की एक श्रृंखला में पहला है जिसका उपयोग प्रत्येक प्रतिकारक बल के लिए जादुई कार्यों को बनाने के लिए किया जा सकता है। "अब उसके कई भाई-बहन हैं," व्याज़ोव्सकाया ने कहा।

यह अभी भी कोन के लिए अद्भुत लगता है कि तस्वीर ने इतनी अच्छी तरह से काम किया। "गणित में, दृढ़ता और पाशविक बल के माध्यम से कुछ चीजें हासिल करनी होती हैं," उन्होंने कहा। "और कई बार ऐसा होता है, जैसा कि अब है, जैसे कि गणित कुछ करना चाहता है।"

अगला प्राकृतिक सवाल यह है कि क्या इन विधियों को एकमात्र शेष उम्मीदवार के लिए सार्वभौमिक इष्टतमता साबित करने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है: दो-आयामी विमान पर समबाहु त्रिभुज के अक्षांश। गणितज्ञों के लिए, तथ्य यह है कि कोई भी इस तरह की सरल परिस्थितियों में प्रमाण देने में सक्षम नहीं था, "नैशविले में वेंडरबिल्ट यूनिवर्सिटी के गणितज्ञ एडवर्ड सैफ ने कहा," पूरे समुदाय के लिए एक भयानक शर्म की बात है।

ई ₈ और लीच जाली के विपरीत, एक दो-आयामी त्रिकोणीय जाली प्रकृति में विभिन्न स्थानों पर दिखाई देती है, सेल संरचनाओं से सुपरकंडक्टर्स में फ़नल के स्थान तक। भौतिकविदों ने पहले से ही प्रयोगों और सिमुलेशन के एक पहाड़ पर आधारित संदर्भों की एक विस्तृत श्रृंखला में इस जाली की इष्टतमता को दर्शाया है। लेकिन, कोहन कहते हैं, किसी के पास वैचारिक स्पष्टीकरण नहीं है कि क्यों एक त्रिकोणीय जाली सार्वभौमिक रूप से इष्टतम होनी चाहिए - ऐसा कुछ, जो उम्मीद है, गणितीय प्रमाण प्रदान करेगा।

आयाम 2 केवल एक ही है, 8 और 24 के अपवाद के साथ, जिसमें कोह और कुमार की संख्यात्मक निचली सीमा अच्छी तरह से काम करती है। यह स्पष्ट रूप से बताता है कि एक जादू फ़ंक्शन दो आयामों में मौजूद होना चाहिए। हालांकि, जादू कार्यों के निर्माण के लिए कमांड विधि को शायद ही इस नए क्षेत्र में स्थानांतरित किया जा सकता है: यह दृढ़ता से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ई ₈ और लिच जाली के बीच की दूरी को दर्शाने वाली संख्याएं विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार करती हैं, जो दो आयामों में नहीं होती हैं। अब तक, यह आयाम "मानव क्षमताओं से परे लगता है," कोहन ने कहा।

अब तक, गणितज्ञ 8- और 24-आयामी स्थानों के अजीब दुनिया से जुड़े अपने नए अंतर्दृष्टि का जश्न मना रहे हैं। यह, जैसा कि श्वार्ट्ज ने कहा, "सबसे अच्छी चीजों में से एक है जो मैं अपने जीवन में सबसे अधिक संभावना देखूंगा।"