गोले पर अंकों का सबसे समान वितरण गणित, विज्ञान और कंप्यूटर सिस्टम में एक अविश्वसनीय रूप से महत्वपूर्ण कार्य है, और एक ही प्रक्षेपण का उपयोग करके एक गोले की सतह पर फाइबोनैचि ग्रिड को लागू करना इसे हल करने के लिए एक बहुत तेज़ और कुशल सन्निकटन विधि है। मैं दिखाऊंगा कि कैसे, मामूली बदलाव के साथ, इसे और भी बेहतर बनाया जा सकता है।


कुछ समय पहले यह पोस्ट हैकर न्यूज होमपेज पर दिखाई दिया। इसकी चर्चा यहाँ पढ़ी जा सकती है ।

परिचय

एक गोले पर अंकों के समान वितरण की समस्या का बहुत लंबा इतिहास रहा है। यह गोलाकार ज्यामिति पर गणितीय साहित्य में सबसे अच्छी तरह से अध्ययन की गई समस्याओं में से एक है। यह कम्प्यूटेशनल विधियों, सन्निकटन सिद्धांत, कोडिंग सिद्धांत, क्रिस्टलोग्राफी, इलेक्ट्रोस्टैटिक्स, कंप्यूटर ग्राफिक्स, वायरस आकृति विज्ञान और कई अन्य सहित गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण महत्व है।

दुर्भाग्य से, कुछ विशेष मामलों (अर्थात्, प्लैटोनिक ठोस) के अपवाद के साथ, एक क्षेत्र पर पूरी तरह से अंक वितरित करना असंभव है। इसके अलावा, समस्या का समाधान दृढ़ता से उस मानदंड पर निर्भर करता है जो एकरूपता का आकलन करने के लिए उपयोग किया जाता है। व्यवहार में, कई मानदंडों का उपयोग किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

• पैकेजिंग और कोटिंग
• उत्तल पतवार, वोरोनोई कोशिकाएं और डिलायने त्रिकोण
• कर्नेल $$$एस$ चावल की ऊर्जा
• कबीट और क्वालीफायर

इस पहलू को स्पष्ट करना बहुत महत्वपूर्ण है: आमतौर पर इस समस्या का कोई एकल इष्टतम समाधान नहीं है, क्योंकि एक मानदंड पर आधारित एक इष्टतम समाधान अक्सर दूसरों के लिए अंकों का एक इष्टतम वितरण नहीं होता है। उदाहरण के लिए, हम यह भी पता लगाएंगे कि पैकेजिंग अनुकूलन एक इष्टतम उत्तल पतवार और इसके विपरीत नहीं बनाता है।

संक्षिप्तता के लिए, इस पोस्ट में हम केवल दो मानदंडों पर विचार करेंगे: न्यूनतम पैकिंग दूरी और उत्तल पतवार / Delaunay जाल (वॉल्यूम और क्षेत्र)।

खंड 1 में, हम दिखाते हैं कि आप पैकेजिंग के बेहतर वितरण के निर्माण के लिए विहित फाइबोनैचि ग्रिड को कैसे बदल सकते हैं। धारा 2 में, हम दिखाते हैं कि उत्तल पतवारों (आयतन और सतह क्षेत्र) के लिए बेहतर मापदंडों के निर्माण के लिए आप कैनोनिकल फाइबोनैचि ग्रिड को कैसे बदल सकते हैं।

खंड 1. पैकेजिंग दूरी का अनुकूलन

अक्सर इस समस्या को वनस्पति विज्ञानी Tems के सम्मान में टैम का कार्य कहा जाता है, जिन्होंने पराग कणों की सतह संरचना की व्याख्या की मांग की। पैकिंग मानदंड के लिए हमें पड़ोसियों के बीच सबसे छोटी दूरी को अधिकतम करने की आवश्यकता होती है $$$एन$ अंक। वह है

$$

$$d_N = \ min_ {i \ neq j} | x_i - x_j |$$

यह मान गति के साथ घटता जाता है। $$$~ 1 / \ sqrt {N}$ इसलिए, यह सामान्यीकृत दूरी और साथ ही सामान्यीकृत दूरी की विषम सीमा निर्धारित करने के लिए उपयोगी होगा,

$$

$$d ^ * _ N = \ sqrt {N} d_N, \ quad \ Quad d ^ * = = \ lim_ {N \ rightarrow \ infty} d ^ * * N$$

फाइबोनैचि ग्रिड

एक बहुत ही सुरुचिपूर्ण समाधान प्रकृति में पाए जाने वाले नोड्स को दर्शाता है, उदाहरण के लिए, एक सूरजमुखी या पाइन शंकु में बीज का वितरण। इस घटना को सर्पिल फिलाटैक्सिस कहा जाता है। कॉक्सटर ने दिखाया कि इस तरह की संरचनाओं का फिबोनाची श्रृंखला के साथ एक मौलिक संबंध है, $$$F_k = \ {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... \}$ और स्वर्ण अनुपात $$$\ phi = (1+ \ sqrt {5}) / 2$ ।

साहित्य में, एक गोलाकार फाइबोनैचि ग्रिड के बिंदुओं के सेट की दो समान परिभाषाएं पाई जाती हैं। स्रोत के लिए कड़ाई से परिभाषित किया गया है $$$एन$ फिबोनाची श्रृंखला के सदस्यों में से एक के बराबर, $$$F_m$ , और संख्या सिद्धांत में अच्छी तरह से अध्ययन किया।

$$

$$t_i = \ left (\ frac {i} {F_m}, \ frac {i F_ {m-1}} {F_m} \ right) \ quad \ textrm {for} \; 0 \ leq i \ leq N-1$$

दूसरी परिभाषा सूत्र को एक मनमानी राशि के लिए सामान्यीकृत करती है $$$एन$ और गणना में अधिक बार उपयोग किया जाता है:

$$

$$t_i = \ left (\ frac {i} {N}, \ frac {i} {\ phi} \ right) \ quad \ textrm {for} \; 0 \ leq i \ leq N \ tag {1}$$

जहाँ

$$

$$\ phi = \ frac {1+ \ sqrt {5}} {2} = \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ left (\ frac {F_ {n + 1}} {F_n} का दाईं ओर$$

नीचे उसी फाइबोनैचि ग्रिड का एक उदाहरण दिया गया है। परिवर्तन के द्वारा, आप इन बिंदुओं को फिबोनाची सर्पिल में बदल सकते हैं, जो हमें अच्छी तरह से जानते हैं।

$$

$$(r, \ theta) = (\ sqrt {x_1}, 2 \ pi x_2)$$

इसी तरह, अंकों के इन सेटों को यूनिट स्क्वायर से स्थानांतरित किया जा सकता है $$$[0, 1] ^ 2$ एक बेलनाकार सममितीय प्रक्षेपण का उपयोग करते हुए एक गोले पर:

$$

$$(x, y) \ rightarrow (\ theta, \ phi): \ quad \ left (\ cos ^ {- 1} (2x-1) - \ pi / 2, 2 \ pi y \ right)$$

$$

$$(\ theta, \ phi) \ rightarrow (x, y, z): \ quad \ left (\ cos \ theta \ cos \ phi, \ cos \ theta \ sin \ phi, \ sin \ theta \ right) $$$

इसके लिए पायथन कोड के कई अलग-अलग संस्करण स्टैकओवरफ्लो पर पाए जा सकते हैं: समान रूप से एक गोले पर अंक वितरित करना ।

इस तथ्य के बावजूद कि गोलाकार फाइबोनैचि सेट वैश्विक रूप से एक क्षेत्र पर नमूनों का सबसे अच्छा वितरण नहीं है (क्योंकि उनके समाधान प्लेटोनिक ठोस के समाधान के साथ मेल नहीं खाते हैं $$$n = $ 4,6,8,12,2$ ), उनके पास उत्कृष्ट नमूनाकरण गुण हैं और अन्य, अधिक जटिल गोलाकार नमूना योजनाओं की तुलना में निर्माण करना बहुत आसान है।

क्षेत्र के संरक्षण के साथ एक प्रक्षेपण द्वारा इकाई क्षेत्र से क्षेत्र में स्थानांतरण किए जाने के बाद से, यह उम्मीद की जा सकती है कि यदि शुरुआती बिंदु समान रूप से वितरित किए जाते हैं, तो वे भी गोलाकार की सतह पर काफी अच्छी तरह से वितरित किए जाएंगे। हालांकि, इसका मतलब यह नहीं है कि वितरण काफी इष्टतम होगा।

यह स्थानांतरण दो अलग-अलग लेकिन परस्पर संबंधित समस्याओं से ग्रस्त है।

सबसे पहले, इस ओवरले को क्षेत्र को बनाए रखते हुए किया जाता है, दूरी नहीं। यह देखते हुए कि हमारे मामले में, स्थिति बिंदुओं के बीच न्यूनतम जोड़ीदार दूरी को अधिकतम करना है, ऐसी स्थिति और संबंध जरूरी नहीं कि प्रक्षेपण के बाद संतुष्ट होंगे।

दूसरी समस्या व्यावहारिक दृष्टिकोण से हल करना सबसे कठिन है: सुपरपोजिशन में प्रत्येक ध्रुव पर दो पतित बिंदु होते हैं। दो बिंदुओं पर विचार करें जो ध्रुव के बहुत करीब हैं, लेकिन देशांतर में 180 डिग्री तक भिन्न हैं। एक एकल वर्ग पर (और एक बेलनाकार प्रक्षेपण पर) वे एक दूसरे से बहुत दूर दो बिंदुओं के अनुरूप होंगे, हालांकि, जब एक गोले की सतह पर आरोपित किया जाता है, तो वे उत्तरी ध्रुव से गुजरने वाले एक बहुत छोटे चाप से जुड़े हो सकते हैं। इस विशेष समस्या के कारण, कई सर्पिल ओवरले पर्याप्त इष्टतम नहीं हैं।

समीकरण 1 से प्राप्त फाइबोनैचि गोलाकार हेलिक्स मूल्य देता है $$$d_N ^ *$ सभी के लिए $$$एन$ वह है $$$d ^ * = 2$ ।

जाल १

एक अधिक सामान्य संस्करण (विशेषकर कंप्यूटर सिस्टम पर) जो एक बेहतर मूल्य बनाता है $$$d ^ * = 3.09$ फार्म है:

$$

$$t_i = \ left (\ frac {i + 1/2} {N}, \ frac {i} {\ phi} \ right) \ quad \ textrm {for} \; 0 \ leq i \ leq N-1 \ tag {2}$$

यह मध्यबिंदु अंतराल पर बिंदुओं की व्यवस्था करता है (गौसियन द्विघात सूत्र में मध्यबिंदु नियम के अनुसार), इसलिए, के लिए $$$n = 100$ पहले समन्वय के मूल्य निम्नानुसार होंगे:

$$

$$\ {\ frac {0.5} {100}, \ frac {1.5} {100}, \ frac {2.5} {100}, \ ldots, \ frac {97.5} {100}, \ frac {98.5} / 100} , \ frac {99.5} {100} \}$$

ग्रिड 2।

समीकरण 2 को और बेहतर बनाने की कुंजी है बोध $$$d ^ * _ एन$ हमेशा बिंदुओं के बीच की दूरी से मेल खाती है $$$t_0$ और $$$t_3$ वह डंडे पर हैं। यानी सुधार करना है $$$d_N$ ध्रुवों के पास के बिंदुओं को और भी अधिक फैलाया जाना चाहिए।

यदि हम निम्नलिखित वितरण को परिभाषित करते हैं:

$$

$$t_i (\ varepsilon) = \ बाएँ (\ frac {i + 1/2 + \ _ varepsilon} {N + 2 \ _ varepsilon}, \ frac {i} {\ phi} \ right = \ quad \ textrm {} के लिए {} ; 0 \ leq i \ leq N-1$$

$$$d ^ * _ एन$ - विभिन्न मूल्यों के लिए घटता। $$$\ _ varepsilon = 0$ (ब्लू); $$$\ varepsilon = \ frac {1} {2}$ (नारंगी); $$$\ varepsilon = \ frac {3} {2}$ (ग्रीन); और $$$\ varepsilon = \ frac {5} {2}$ (लाल)। आप वह देख सकते हैं $$$\ varepsilon = \ frac {5} {2}$ परिणाम asymptotic परिणाम के करीब देता है। वह है, साथ $$$N> 20$ निम्नलिखित सरल अभिव्यक्ति काफी बेहतर परिणाम उत्पन्न करती है। $$$d ^ * = 3.29$ विहित गोलाकार फाइबोनैचि ग्रिड की तुलना में:

$$

$$t_i = \ left (\ frac {i + 3} {N + 5}, \ frac {i} {\ phi} \ right) \ quad \ textrm {for} \; 0 \ leq i \ leq N-1 \ टैग {3}$$

वह है, साथ $$$N = 100$ पहले समन्वय के मूल्य समान होंगे:

$$

$$\ {\ frac {3} {105}, \ frac {4} {105}, \ frac {5} {105}, \ ldots, \ frac {100} {105}, \ frac {101} {105}। , \ frac {102} {105} \}$$

चित्र 1. विभिन्न मूल्य $$$d_N ^ *$ विभिन्न मूल्यों पर $$$\ epsilon$ । जितना अधिक मूल्य, उतना अधिक इष्टतम कॉन्फ़िगरेशन। हम वही देखते हैं $$$\ epsilon \ simeq 2.5$ इष्टतम के करीब एक समाधान प्रदान करता है।

मेष ३।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक गोले पर बिंदुओं के समान वितरण की सबसे गंभीर समस्याओं में से एक यह है कि वितरण इष्टतमता उपयोग किए गए उद्देश्य फ़ंक्शन पर गंभीर रूप से निर्भर करती है। यह पता चला है। स्थानीय मात्रा की तरह $$$d_N ^ *$ कभी-कभी वे लगभग "गलतियों को माफ नहीं करते हैं" - अपर्याप्त रूप से इष्टतम स्थिति में एक एकल बिंदु पूरी तरह से अंकों के वितरण के आकलन को कम कर सकता है।

हमारे मामले में, परिमाण की परवाह किए बिना $$$एन$ अर्थ $$$D_N ^ *$ आमतौर पर ध्रुवों में से प्रत्येक के निकटतम चार बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जाता है, विशेष रूप से $$$t_0$ और $$$t_3$ । हालांकि, इस ग्रिड के बारे में यह भी ज्ञात है कि पोल पर सबसे बड़ा वोरोनोई बहुभुज है। इसलिए अधिकतम करने की कोशिश की जा रही है $$$d_N$ एक पंक्ति में मूल ध्रुवीय बिंदुओं को विभाजित करके, हम वास्तव में ध्रुव पर शून्य को और भी अधिक बढ़ाते हैं! इसलिए, हमने ग्रिड 2 के लिए एक विकल्प प्रस्तुत किया, जो आमतौर पर बेहतर है क्योंकि यह ध्रुवों के पास इतना बड़ा शून्य नहीं दिखाता है।

यह ग्रिड 2 के लगभग समान है, लेकिन इसके दो अंतर हैं। सबसे पहले, वह उपयोग करती है $$$\ varepsilon = 11/2$ पर $$$1 \ leq i \ leq N-2$ । दूसरी बात, इनके अलावा $$$एन -2$ प्रत्येक डंडे पर पहले और अंतिम बिंदु स्थित हैं।

वह है:

$$

$$t_0 = (0,0); \; t_n = (1,0); \ quad t_i = \ left (\ frac {i + 6} {N + 11}, \ frac {i} {\ phi} \ right) \ quad \ textrm {for} \; 1 \ leq i \ leq N-2 \ टैग {4}$$

इस निर्माण विधि की एक अद्भुत संपत्ति यह है कि इस तथ्य के बावजूद कि इसकी रचना ध्रुवों पर voids को कम करने की इच्छा से प्रेरित थी, वास्तव में सभी तरीकों के बीच इसका सबसे अच्छा मूल्य है $$$d_N$ और $$$d ^ *$ साथ $$$d ^ * = 3.31$ !

वह है, साथ $$$N = 100$ पहले समन्वय के मूल्य निम्नानुसार होंगे:

$$

$$\ {0; \; \ frac {7} {111}, \ frac {8} {111}, \ frac {9} {1111}, \ ldots, \ frac {102} {111}, \ frac {103} {111}, \ frac = {104} {111}; \; 1 \}$$

चित्रा 2. विभिन्न ग्रिड विन्यास। बाईं तरफ विहित फाइबोनैचि ग्रिड। ध्यान दें कि भले ही मध्य ग्रिड $$$d_N ^ *$ सुधार में, पोल पर वह ध्यान देने योग्य शून्य है। ग्रिड 3 में पोल ​​पर कोई शून्य नहीं है और इसका सबसे अच्छा मूल्य है $$$d_N ^ *$ ।

तुलना

बड़े मूल्यों के लिए $$$एन$ यह मान $$$d ^ *$ अन्य तरीकों के साथ बहुत अच्छी तरह से तुलनीय है, उदाहरण के लिए, जियोडेसिक गुंबद, जो एक गोले की सतह पर प्लेटोनिक ठोस के चेहरे से त्रिकोणीय अनुमानों पर आधारित हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है कि उच्चतम गुणवत्ता वाले जियोडेसिक गुंबद icosahedron या dodecahedron के आधार पर बनाए गए हैं।

विभिन्न मूल्यों पर इकोसाहेड्रोन-आधारित जियोडेसिक गुंबद हैं $$$एन$ ।

$$

$$\ start {array} {| c | cccccccccc |} \ hline N & 12 & 42 & 92 & 162 & 252 & 362 & 642 & 812 & 1002 \\ \ hline d ^ * * और 3.64 & 3.54 & 3.34 & 3.22 & 3.15 & 3.09 & 3.06 & 3.03 & 3.00 & 2.99 \\ \ hline \ end {सरणी}$$

विभिन्न मूल्यों के लिए डोडेकेहेड्रोन-आधारित जियोडेसिक गुंबज $$$एन$ ।

$$

$$\ start {सरणी} {| c | ccccccc |} \ hline N & 20 & 32 & 122 & 272 & 482 & 752 & 1082 \\ \ hline d ^ * * & 3.19 & 3.63 & 3.16 & 3.99 & 2.90 & 2.84 & 2.84 & 2.81 \\ \ hline \ end {सरणी}$$

इसके अलावा, फुलरीन के आकार के अनुरूप एक टुकड़े टुकड़े किया हुआ icosahedron $$$C_ {60}$ ही है $$$d ^ * = 3.125$ ।

वह है, साथ $$$N> 100$ समीकरण 3 पर आधारित मेष किसी भी जियोडेसिक पॉलीहेड्रॉन से बेहतर है।

नीचे दिए गए संदर्भों की सूची में पहले स्रोत से प्राप्त आंकड़ों के अनुसार, कुछ आधुनिक तरीके, जो आमतौर पर जटिल होते हैं और पुनरावर्ती और / या गतिशील प्रोग्रामिंग की आवश्यकता होती है, में निम्न संकेतक होते हैं।

$$

$$\ start {array} {| lr |} \ hline \ text {Lattice 1} & 3.09 \\ \ hline \ text {Max निर्धारक} और 3.19 \\ \ hline \ पाठ {Lattice 2} और 3.28 \\ \ hline \ text टेक्स्ट {लैटिस 3} और 3.31 \\ \ hline \ टेक्स्ट {जोनल इक्वल एरिया} और 3.32 \\ \ hline \ टेक्स्ट {कूलॉम} और 3.37 \\ \ hline \ टेक्स्ट {लॉग एनर्जी} और 3.37 \\ \ hline \ end {अंत सरणी}$$

खंड 1 से निष्कर्ष

समीकरण 3 द्वारा निर्मित ग्रिड 3, विहित फाइबोनैचि ग्रिड का एक संशोधन है, जो अंकों के वितरण के लिए बेहतर पैकेजिंग प्रदान करता है। वह है

$$

$$t_0 = (0,0); \; \; t_i = \ left (\ frac {i + 6} {N + 11}, \ frac {i} {\ phi} \ right); \; \; t_ {N-1} = (0,1); \ quad \ textrm {for} \; 1 \ leq i \ leq N-2$$

खंड 2. उत्तल पतवार का अनुकूलन (डेलुनाय जाल)

पिछले अनुभाग में, हमने वितरण को अनुकूलित किया $$$d ^ * _ एन$ हालांकि, ये संशोधन अन्य संकेतकों को खराब करते हैं, उदाहरण के लिए, एक उत्तल पतवार (डेलुनाय जाल) की मात्रा। यह खंड वर्णन करता है कि एक क्षेत्र पर समान रूप से समान रूप से वितरित करने के लिए (अधिकतम) इस तरह के अधिक वैश्विक संकेतक को उत्तल पतवार की मात्रा के रूप में समान रूप से कैसे वितरित करें।

हम निरूपित करते हैं $$$C_N$ उत्तल पतवार की तरह $$$एन$ अंक

$$

$$\ epsilon_N = N \ left (\ frac {4 \ pi} {3} \; - \ textrm {Vol} (C_N) \ right)$$

सामान्यीकरण कारक शामिल है $$$एन$ , क्योंकि पूर्ण विसंगति गति के साथ घट जाती है $$$~ 1 / एन$ ।

व्यवहार $$$\ epsilon_N$ विभिन्न पर $$$एन$ चित्र 3 (नीली रेखा) में देखा जा सकता है।

वॉल्यूम के बेमेल को कम करने के लिए, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपयोग के बावजूद $$$\ phi$ , गोल्डन सेक्शन के तर्क से $$$N \ rightarrow \ infty$ यह जरूरी नहीं है कि यह फाइनल के लिए सबसे अच्छा मूल्य है $$$एन$ । वैज्ञानिक रूप से बोलते हुए, हम कह सकते हैं कि हमें अंग सुधार सदस्यों के प्रभाव को ध्यान में रखना चाहिए।

आइए समीकरण 1 को संक्षेप में निम्नानुसार करें:

$$

$$t_i = \ left (\ frac {i + 1/2} {N}, \ frac {i} {g (N)} \ right) \ quad \ textrm {for} \; 0 \ leq i \ leq N-1 \ टैग {4}$$

हम कहां परिभाषित करते हैं $$$g (n)$ कैसे

$$

$$g (n) = \ start {case} 3- \ phi, और \ text {अगर $ k $ सम है} \\ \ phi, और \ text {यदि $ k $ विषम है तो \ एंड {केस} \ टैग {५}$$

जहाँ

$$

$$k = \ left \ lfloor \ textrm {log} _ {\ phi} (\ frac {n} {1.5}) \ right \ rfloor = \ left \ lfloor \ frac {\ nn (1.5)} {\ ln \ phi} \ right \ rfloor$$

जहाँ $$$\ lfloor x \ rfloor$ - निकटतम पूर्णांक तक गोलाई का कार्य।

चित्रा 3 से पता चलता है कि मानों के आधे हिस्से के लिए कितना वॉल्यूम बेमेल अनुकूलित है। $$$एन$ ।

इसका कारण एक अल्पज्ञात तथ्य है: सभी संख्याएँ $$$x$ विशेष Mobius परिवर्तन को संतुष्ट करना, तर्कहीनता से शुरू करना, समकक्ष हैं $$$\ phi$ ।

$$

$$x = \ frac {a \ phi + b} {c \ phi + d}, \ quad \ textrm {सभी पूर्णांकों के लिए} \; \; ए, बी, सी, डी \; \ textrm {ऐसी कि}} | ad-bc | = 1$$

इसलिए, कारण है कि $$$\ phi$ और $$$3- \ _i$ इतनी अच्छी तरह से एक साथ फिट, कि है

$$

$$\ frac {1} {\ phi} = \ frac {\ phi + 1} {2 \ phi + 1}, \ quad \ quad \ frac {1} {3- \ phi} = \ frac {2 \ phi + 1} {1 \ phi + 1}$$

चित्रा 3. बिंदुओं के उत्तल पतवार की मात्रा और इकाई क्षेत्र की मात्रा के बीच बेमेल। ध्यान रखें कि यह जितना छोटा होगा, उतना अच्छा होगा। यह दर्शाता है कि हाइब्रिड मॉडल (नारंगी रेखा) आधारित है $$$\ phi$ और $$$3- \ _i$ , विहित फाइबोनैचि ग्रिड (नीली रेखा) की तुलना में अंकों का बेहतर वितरण प्रदान करता है।

शेष आधे के लिए, हम पहले एक सहायक श्रृंखला को परिभाषित करते हैं $$$A_N$ फाइबोनैचि श्रृंखला का रूपांतर होना

$$

$$A_1 = 1, \; ए 2 = 4; \; A_ {n + 2} = A_ {n + 1} + A_n \; \ textrm {for} n = 1,2,3, ...$$

वह है

$$

$$A_N = 1,4,5,9,14,23,37,60,97,157,254,411, ...$$

इस श्रृंखला के सभी अंशों में सुरुचिपूर्ण निरंतर अंश होते हैं, और सीमा में अभिसरण होता है $$$\ phi$ । उदाहरण के लिए

$$

$$t _5 / t_4 = 1+ \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {1+ \ cfrac {1} {4}}}$$

अब हम पूरी तरह से सामान्यीकरण कर सकते हैं $$$g (n)$ निम्नानुसार है:

$$

$$g (N) = \ start {case} 3- \ phi, और \ text {यदि $ k $ सम है} \\ A_ {j + 1} / A_j, और \ text {यदि $ k $ विषम है, तो $ j = (k + 7) / 2 $} \ end {मामले} \ टैग {6}$$

नीचे दी गई तालिका मानों को दिखाती है $$$जी (एन)$ विभिन्न के लिए $$$एन$ ।

$$

$$\ start {array} {| c | c | c | c | c | c | c | c | c |} | \ hline N & 4-6 & 7-10 & 11-16 & 17-26 & 27-43 & 44- 70 & 71-114 और 115-184 & 185-300 \\ \ hline g (n) & 3- \ phi & \ frac {23} {14} और 3- \ phi & \ frac {37} {23} & 3- \ phi & \ frac {60} {37} & 3- \ phi & \ frac {97} {60} और 3- \ phi \\ \ hline \ end {सरणी}$$

चित्रा 4 से पता चलता है कि उत्तल पतवार की मात्रा के संबंध में, यह नया वितरण सभी मूल्यों के लिए विहित ग्रिड से बेहतर है $$$एन$


चित्रा 4. उत्तल पतवार की मात्रा और इकाई क्षेत्र की मात्रा के बीच बेमेल। जितना कम मूल्य, उतना बेहतर। यह हमें बताता है कि प्रस्तावित नई विधि (ग्रीन लाइन) कैनोनिकल फाइबोनैचि ग्रिड (नीली रेखा) की तुलना में लगातार बेहतर वितरण प्रदान करती है।


चित्रा 5. n = 35 और n = 150 के साथ नए संशोधित जाल (दाएं) के साथ विहित मेष (बाएं) की दृश्य तुलना। नेत्रहीन, मतभेद लगभग अगोचर हैं। हालांकि, अधिकतम दक्षता की आवश्यकता वाली शर्तों के तहत, संशोधित संस्करण (दाईं ओर) उत्तल पतवार की मात्रा और सतह क्षेत्र दोनों में एक छोटा, लेकिन मात्रात्मक सुधार प्रदान करता है।

उत्सुकता से, यह वितरण भी नगण्य है, लेकिन लगातार उत्तल नली के सतह क्षेत्र और एकल क्षेत्र के सतह क्षेत्र के बीच बेमेल को कम करता है। यह चित्र 6 में दिखाया गया है।


चित्रा 5. एक उत्तल पतवार (Delaunay जाल) की सतह क्षेत्र और एक क्षेत्र के सतह क्षेत्र के बीच के क्षेत्रों का सामान्यीकृत बेमेल। जितना कम मूल्य, उतना बेहतर। इससे पता चलता है कि प्रस्तावित नया संशोधन (हरे रंग का डॉट्स) सतह के क्षेत्रों में विवर्तनिक फाइबोनैचि ग्रिड (नीले डॉट्स) की तुलना में एक छोटे लेकिन निरंतर कमी को प्रदर्शित करता है।

खंड 2 से निष्कर्ष

समीकरण 6 के अनुरूप ग्रिड, कैनोनिकल फाइबोनैचि ग्रिड का एक संशोधन है, जो उत्तल पतवार (डेलुनाय ग्रिड) की मात्रा और सतह क्षेत्र के आधार पर, अंकों का बहुत बेहतर वितरण बनाता है।

सूत्रों का कहना है

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• www.cgafaq.info/wiki/Evenly_distributed_points_on_sphere
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