ट्रैफिक जाम के बिना शहर

अध्याय दो
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सड़क नेटवर्क को डिजाइन करने की कला

कंप्यूटर विज्ञान से एक व्यक्ति की आंखों के माध्यम से शहर की परिवहन समस्याएं

अगर मुझे "आर्ट ऑफ़ डिज़ाइनिंग रोड नेटवर्क" शीर्षक से एक लेख की सिफारिश की गई थी, तो मैं तुरंत पूछूंगा कि इसके लेखक की भागीदारी से कितने सड़क नेटवर्क बनाए गए थे। मुझे स्वीकार करना चाहिए, मेरी पेशेवर गतिविधि सड़क निर्माण से दूर थी और हाल ही में माइक्रोप्रोसेसरों के डिजाइन से जुड़ी थी, जहां मैं, अन्य चीजों के अलावा, डेटा स्विचिंग के संसाधन खपत में लगा हुआ था। ऐसा हुआ कि मेरी मेज तब नयनाभिराम खिड़की के सामने खड़ी थी, जो वोल्गोग्राद हाईवे के लंबे खंड और थर्ड ट्रांसपोर्ट रिंग के कुछ हिस्सों में सुबह से शाम तक, क्षितिज से क्षितिज तक उनके अंतहीन ट्रैफिक जाम के साथ एक सुंदर दृश्य खोलती थी। और फिर, एक दिन, यह अचानक मुझ पर हावी हो गया: "लानत है, क्योंकि डेटा स्विचिंग प्रक्रिया की जटिलताएं जो मैं एक चिप पर संघर्ष करता हूं, ठीक उसी तरह की कठिनाइयों के साथ होनी चाहिए जो कारों का प्रवाह सड़क सड़कों के वेब के अंदर सामना करता है।"
संभवतः, यह केवल बाहर से देखने का तरीका था और उन तरीकों के अनुप्रयोग जो अध्ययन किए गए क्षेत्र के लिए पारंपरिक नहीं थे, जिससे मुझे ट्रैफ़िक जाम के कारण को समझने और व्यवहार में उनकी समस्या को दूर करने के बारे में सिफारिशें करने का मौका मिला।

तो, दृष्टिकोण की नवीनता क्या है?

ऐतिहासिक रूप से, सड़कों के मुख्य उद्देश्य को वह अवसर माना जाता है जो वे लंबी दूरी (रोम और प्रांतों के बीच) को जल्दी से यात्रा करने के लिए प्रदान करते हैं। जब संघीय स्तर के इंटरसिटी हाईवे नेटवर्क की बात आती है तो इस तरह के निर्णय को उचित ठहराया जाता है: वे शहर जो वे कनेक्ट करते हैं, वे एटलस पर छोटे दुर्लभ डॉट्स की तरह दिखते हैं, और इन शहरों के बीच यात्रा करने वाली अधिकांश कारें बिना किसी मोड़ के अपना रास्ता पार कर जाती हैं।

हालांकि, केवल कई पृष्ठों को चालू करना और किसी बड़े शहर का विस्तृत नक्शा खोलना आवश्यक है, क्योंकि तस्वीर तुरंत बदल जाती है: अकेले पते, जहां यात्रा शुरू की जा सकती है या पूरी हो सकती है, पहले से ही लगभग दस हजार हैं, उनमें से सभी काफी घनी और अपेक्षाकृत हैं आकार में छोटा। एक ही समय में, सैकड़ों हजारों कारें एक ही समय में ऐसे शहर की सड़कों पर गति में हो सकती हैं, इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक का लक्ष्य केवल पहले से ही खाली सड़कों को भरना नहीं है, बल्कि एक व्यक्ति या कार्गो को एक विशिष्ट पते के साथ " एक्स " एक विशिष्ट पते के साथ एक बिंदु पर ले जाना " य ”। सभी एक साथ, इसका मतलब है कि शहरी परिवहन प्रणाली को कई समानांतर संबोधित करने की समस्या को प्रभावी ढंग से हल करने के लिए अनुकूलित किया जाना चाहिए । इस प्रकार, शहरी परिवहन प्रणाली के कार्य इंटर-सिटी रोड नेटवर्क की तुलना में टेलीफोन या कंप्यूटर नेटवर्क के समान हो जाते हैं।

सड़क नेटवर्क को एक हार्डवेयर डेवलपर या इंजीनियर के लिए सूचना हस्तांतरण प्रौद्योगिकियों के क्षेत्र में स्विचिंग सर्किट के रूप में देखते हुए, किसी समस्या के बारे में बात करने का एक पूरी तरह से प्राकृतिक तरीका है, लेकिन परिवहन समस्याओं पर शोध में शामिल लोगों के बीच, यह दृष्टिकोण, जहां तक ​​मुझे पता है, नया है।

सिग्नल स्विचिंग का सिद्धांत एक संकीर्ण इंजीनियरिंग विज्ञान है, और यह अकेले, निश्चित रूप से, एक अलग सड़क, सड़क जंक्शन की योजना बनाने या राजमार्ग के सीधे, पृथक खंड पर ट्रैफ़िक स्ट्रीम के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए पर्याप्त नहीं होगा। सौभाग्य से, ऊपर सूचीबद्ध मुद्दों पर आज अच्छी तरह से शोध किया गया है, और उन्हें हल करने के लिए विकसित तरीके पहले से ही सफलतापूर्वक उपयोग में आ गए हैं। स्विचिंग का सिद्धांत, बदले में, आर्किटेक्ट को जोखिम से छुटकारा पाने की अनुमति देता है जब सड़क नेटवर्क के सभी तत्वों को पूरी तरह से निष्पादित किया जाता है, और शहर अभी भी परिवहन पतन की स्थिति में आता है। यह जोखिम मौजूद है क्योंकि कई समवर्ती संबोधित करना संसाधन गहन है।
समय लेने वाले कार्य, जिनमें से एक प्रभावी समाधान की कुंजी सड़कों की चौड़ाई और परिवहन की सुविधा की अधिकता नहीं है, लेकिन सक्षम विकल्प जो विशेष रूप से स्विचिंग योजना प्रस्तावित सड़क नेटवर्क को लागू करेगा।

इस काम से, उदाहरण के लिए, आपको पता चलेगा कि क्यों "धमनी" प्रकार के परिवहन नेटवर्क, जो अभी भी अक्सर आधुनिक शहरों में उपयोग किए जाते हैं, "खराब" हैं और आबादी के बढ़ने के साथ ट्रैफिक जाम को बढ़ावा मिलेगा। एक और दिलचस्प परिणाम, जो टिप्पणियों के साथ अच्छे समझौते में है, बताता है कि अकेले सड़कों का विस्तार क्यों, यदि सभी ट्रैफिक जाम विशेष रूप से इंटरचेंज के आसपास के क्षेत्र में घटित हुए हैं, तो किसी भी तरह से स्थिति में सुधार होने की संभावना नहीं है, भले ही शहर में कारों की संख्या समान हो।

जब मैंने यह लेख लिखा था, तो यह मेरे लिए महत्वपूर्ण था कि यह सबसे साधारण वास्तुकार के लिए समझ में आता है, अपने काम के माध्यम से उपयोगी हो सकता है। मैंने एक साधारण भाषा में स्विचिंग मुद्दों में पाठक को पेश करने की कोशिश की, यह मानदंड विकसित करने के लिए कि एक विशेष सड़क नेटवर्क समानांतर एड्रेसिंग के कार्य से कितनी अच्छी तरह से सामना करेगा, मैंने मॉडल उदाहरणों का उपयोग करके दिखाया कि इस ज्ञान को व्यवहार में कैसे उपयोग किया जाए।

यह लेख उन पाठकों की एक विस्तृत मंडली के लिए अभिप्रेत है जो गणित में विश्वविद्यालय-व्यापी पाठ्यक्रम, एल्गोरिदम के सिद्धांत से थोड़े परिचित हैं और इसके लिए 1 से 5 दिन समर्पित करने के लिए तैयार हैं।

ऑटोमोबाइल प्रवाह का पृथक्करण और विलय

कई ड्राइवरों के लिए स्पष्ट है, अवलोकन यह है कि मुख्य रूप से सड़क के उन स्थानों पर यातायात की कठिनाइयां उत्पन्न होती हैं जहां किसी कारण से कारों को लेन बदलने के लिए मजबूर किया जाता है। उदाहरणों में कांटे, संकीर्णता, जंक्शन के क्षेत्र और राजमार्गों तक पहुंच मार्ग, एक फ्रीवे के खंड शामिल हैं जहां कुछ गलियों को दुर्घटना या सड़क की मरम्मत से अवरुद्ध किया जाता है।
इस खंड में, ऐसे मामलों में होने वाली प्रक्रियाओं का एक मात्रात्मक विवरण देने का प्रयास किया जाएगा, और हम यह समझकर शुरू करेंगे कि कारों को एक लेन से दूसरे में कैसे पुनर्निर्माण किया जाता है।

निकटवर्ती पंक्ति में पुनर्निर्माण के लिए दो रणनीतियाँ

राजमार्ग के साथ यातायात की गति में स्वाभाविक रूप से असमानता है: कोई व्यक्ति थोड़ा तेज ड्राइव करना पसंद करता है, कोई व्यक्ति थोड़ा धीमा, कुछ कारों के बीच की दूरी कम हो जाती है और ड्राइविंग के लिए मुश्किल से आरामदायक हो जाता है, जबकि अन्य लोगों के बीच यह इतना बढ़ जाता है कि इसमें कारों को फिट होना पड़ता है। आसन्न गलियों से। रैंडम ड्राइवर की तरफ सीधे बगल वाली गली के प्रवाह में इस तरह के अंतराल की उपस्थिति अक्सर या बहुत कम हो सकती है। यदि, उस समय जब उसे युद्धाभ्यास करने की आवश्यकता होती है, तो कोई अंतराल नहीं है, चालक कम से कम दो व्यवहार संबंधी उपायों का सहारा ले सकता है:

रणनीति नंबर 1
कई उपयुक्त अंतराल बस इसके स्थान के करीब स्थित हो सकते हैं। यदि आंदोलन पर्याप्त रूप से घना है, तो यह संभावना नहीं है कि चालक गति को जोड़ने और आवश्यक अंतर को पकड़ने में सक्षम होगा, लेकिन आंदोलन को थोड़ा धीमा कर देगा और पड़ोसी धारा को खुद से आगे निकल जाने देगा ताकि मूल अंतर के बराबर हो जाए - कोई बड़ी परेशानी नहीं होगी। इस रणनीति की लागत स्पष्ट है: चालक खुद और उसके लेन में पीछे चलने वाली कारें गति कम करने की आवश्यकता के कारण कुछ समय खो देती हैं।

रणनीति नंबर 2
प्रतीक्षा करने के लिए, आपको धैर्य रखने की आवश्यकता है और इसके लिए आवश्यक समय है। एक विकल्प "यहां" और "अब" आवश्यक पैंतरेबाज़ी करने का प्रयास हो सकता है। इस विचार के अनुसार, चालक स्ट्रिप के पीछे की कारों को संकेत देता है जिसमें वह आगे बढ़ने वाला है। वे, बदले में, उसके संकेत की प्रतिक्रिया में थोड़ा धीमा हो जाना चाहिए और "आगे बढ़ना" चाहिए, उनके सामने चल रही कारें, जिससे अंतराल को आवश्यक आकार दिया जाता है, उनके प्रवाह में बनेगा। इस मामले में समय की लागत लेन की कारों के बीच वितरित की जाती है जहां चालक ने अंततः पुनर्निर्माण किया।

वास्तविक जीवन में, दोनों रणनीतियां एक ही समय में शामिल होती हैं: सबसे पहले, चालक धीमा हो जाता है, पड़ोसी लेन की धारा में अपेक्षाकृत बड़े अंतर की प्रतीक्षा करता है, और उसके बाद ही कारों में जाने का संकेत देता है ताकि एक युद्धाभ्यास करने के अपने इरादे के बारे में आगे बढ़ सकें।

बेशक, प्रवेश द्वार, रैंप और संकीर्णता लेन को लेन परिवर्तन का एकमात्र कारण नहीं है, जो सड़कों को डिजाइन करते समय याद रखने योग्य है। अशिक्षित ट्रैफ़िक को ओवरटेक करने के लिए उच्च गति वाली कारों की क्षमता आवश्यक है ताकि राजमार्ग पर स्थिति सबसे धीमी ट्रैक्टर की गति पर रेंगती हुई एक बड़ी कतार से न हटे। फिर भी, सड़क पर अलग-अलग गति से चलने वाले वाहनों की सह-अस्तित्व की समस्या थोड़ी अलग प्रकृति की है और इस आलेख में विचार किए गए मुद्दों से अलग किया जा सकता है, क्योंकि ओवरटेकिंग प्रक्रिया और संबंधित पुनर्व्यवस्था ड्राइवर के लिए मजबूर करने वाली कार्रवाइयों के लिए नहीं होती है, जिसके लिए उसे जल्दी करनी पड़ती है। । यदि प्रतीक्षा करने का समय है, तो प्रायिकता सिद्धांत के अनुसार, चालक द्वारा स्वयं को छोड़े जाने के लिए पैंतरेबाज़ी करने का यह एक सुविधाजनक अवसर है और इसके लिए अन्य मोटर चालकों के आंदोलन में हस्तक्षेप करने की आवश्यकता नहीं है।

एक चाल की लागत
वास्तविकता में ड्राइवरों का व्यवहार बहुत मुश्किल हो सकता है, लेकिन हमारे लिए सबसे पहले यह महत्वपूर्ण है कि मॉडल की शर्तों के तहत प्राप्त परिणाम प्रशंसनीय रहे: प्रत्येक कार का एक लेन से दूसरे लेन पर चलने का मजबूर ट्रैफिक प्रतिभागियों पर अस्थायी जुर्माना लगाता है।

आइए अब मूल्यांकन करते हैं कि खोई हुई समय की मात्रा सड़क पर कारों के घनत्व पर कैसे निर्भर करती है।

हम प्रत्येक लेन के साथ एक अलग धारा के रूप में आंदोलन पर विचार करेंगे। एक ही लेन में चलने वाली कारों से एक आरामदायक दूरी पर रहने की कोशिश करते हुए, ड्राइवरों ने धारा में एक निश्चित विशेषता लंबाई के एक हिस्से को आरक्षित किया है। प्रति इकाई लंबाई में ρ कारों को एक धारा में गिरने दें हम फ्लक्स घनत्व को छोटा कहने के लिए सहमत हैं, या, एक ही बात, कहते हैं कि ρ छोटा है यदि उत्पाद ρ × d एकता से बहुत कम है।

जिस समय ड्राइवर को अगली पंक्ति में जाने की आवश्यकता का एहसास होता है, इस संभावना की मात्रा कि वह जिस घ पर कब्जा करने जा रहा है, वह खंड मुक्त नहीं होगा, छोटे ρ पर यह स्वयं ρ के लगभग आनुपातिक होगा। यदि वर्णित घटना वास्तव में होती है, तो एक स्थान के लिए प्रतिस्पर्धा करने वाली कुल दो कारों को युद्धाभ्यास के परिणामस्वरूप औसत स्थिर मूल्य में कुछ देरी का अनुभव होगा।

Ρ को छोटा मानते हुए, इस समय उनके कार्यों की संभावना प्रभावित होगी कि अन्य कारों की आवाजाही को नजरअंदाज किया जा सकता है। इस प्रकार, ρ के संबंध में छोटेपन के पहले क्रम में, एक आंदोलन से समय की हानि α ⋅ ρ होगी , जहां गुणांक α एक आनुमानिक रूप से औसत दर्जे का मात्रा है, जो संस्कृति, मौसम, गति सीमा (सीमा और इतने पर) के आधार पर है, लेकिन समय और समय के लिए स्थानीय रूप से लगभग शेष है। यह शहर एक पूरे के रूप में।

बाहर निकलने से पहले साइट पर नुकसान की तीव्रता
कांग्रेस के लिए रवाना होने से पहले, रैंप (छवि 2) तक पहुंचने वाली कारों को, कभी-कभी कई बार, दाहिनी ओर बगल की पंक्ति में खंगाला जाता है। प्रत्येक ऐसे पैंतरेबाज़ी को स्थानांतरित करना मुश्किल हो जाता है, और परिणामस्वरूप, निकास से पहले अनुभाग में औसत गति "पारगमन" (निकास से वंचित, "प्रवेश द्वार" और मोटरवे के खंडों की तुलना में काफी कम है।


अंजीर। 2

पथ के कुछ हिस्से को कम गति से पारित करने के लिए - ड्राइवरों (और उनके यात्रियों) के लिए यात्रा पर बिताए जाने वाले अतिरिक्त समय के लिए घूमता है। दूसरे शब्दों में, रैंप से सीधे सटे राजमार्ग का क्षेत्र अस्थायी नुकसान का एक निरंतर जनरेटर है।

मान लीजिए कि इस क्षेत्र की ललाट सीमा पर औसत मशीन गति ν और फ्लक्स घनत्व ρ सभी बैंडों के लिए समान हैं।

मान लीजिए, इसके अलावा, घनत्व ρ और प्रवाह दर q बाहर निकलने (प्रति यूनिट समय पर रैंप पर आने वाली कारों की औसत संख्या) एक साथ छोटे हैं, और s राजमार्ग पर गलियों की संख्या है। बाहर निकलने के लिए, चालक युद्धाभ्यास के पुनर्निर्माण के लिए 1 बना देगा। यदि रैंप पर फ्लक्स का घनत्व ρ से बहुत कम है, तो केवल अंतिम पैंतरेबाज़ी उसे व्यावहारिक रूप से "मुफ्त में" खर्च करेगी, जबकि बाकी किसी भी स्थिति में α । Ρ के नुकसान का कारण होगा। औसतन, आपको प्रदर्शन करना होगा (0 + 1 + 2 + ... + s - 1) / s = ( s - 1) / 2 "महंगा" युद्धाभ्यास।

सभी कारों द्वारा कांग्रेस के लिए जाने की कठिनाइयों को देखते हुए, हम अस्थायी नुकसान की तीव्रता के लिए सूत्र लिख सकते हैं:

मैं _बाहर = q _out α ρ = ( s - 1) / 2 = ( α / 2 ν ) s q ⋅ ( sρν ) ⋅ (1 - 1 / s )

मान p = ( sρν ) हाईवे के साथ-साथ चलने वाली सभी कारों के प्रवाह की दर से अधिक कुछ नहीं है, जो प्रश्न में दिशा में (प्रति इकाई समय कॉलम द्वारा गुजरती कारों की औसत संख्या) है। अंतिम टिप्पणी हमें और अधिक सममित रूप में मेरे लिए सूत्र को फिर से लिखने का अवसर देती है:

मैं _बाहर = ( α / 2 ν ) ⋅ pq 1 (1 - 1 / s )

पहुंच मार्ग के निकटवर्ती भाग में हानि दर
उस जगह के पीछे राजमार्ग पर उत्पन्न होने वाली स्थिति जहां पहुंच मार्ग इससे जुड़ता है, मोटे तौर पर कांग्रेस के सामने साइट पर स्थिति को दोहराता है, हालांकि कुछ मतभेद हैं।
मोटरवे के मुख्य ट्रैफ़िक (चित्र 3) में पार्श्व रैंप के माध्यम से पावर क्यू की कारों की एक छोटी सी धारा दें।


अंजीर। 3

रैंप की केवल एक सीमित लंबाई होती है, इसलिए सभी नई आने वाली कारों को विली-नीली को हाइवे के सुदूर दाएं लेन में बनाया जाना चाहिए। नतीजतन, सही-लेन में ट्रैफ़िक घनत्व सड़क पर औसत से स्थानीय रूप से अधिक है, इसलिए इसमें से कुछ ड्राइवर लेन को बाईं ओर कम व्यस्त आसन्न पंक्ति में बदलने का निर्णय लेते हैं, जो बदले में, पहले से ही दूसरे में घनत्व में एक स्थानीय वृद्धि की ओर जाता है। बैंड। इंटर-बैंड माइग्रेशन की यह प्रक्रिया तब तक जारी रहेगी जब तक कि फ्रीवे की पूरी चौड़ाई में फ्लो घनत्व को समतल नहीं किया जाता है। औसत गति ν को सभी n बैंडों के लिए समान मानते हुए, हम यह उम्मीद कर सकते हैं कि, माइग्रेशन प्रक्रियाओं के पूरा होने पर, उनमें से प्रत्येक में प्रवाह शक्ति बिल्कुल (1 / s )। Q तक बढ़ जाएगी।

यह देखने के लिए कि ड्राइवरों के लिए इस तरह के "कास्टलिंग" की लागत कितनी है, हम पहले सभी माइग्रेशन प्रवाह की शक्ति की गणना करते हैं। रैंप से राजमार्ग के पहले लेन तक प्रवाह जिसे हम पहले से ही जानते हैं: यह q के बराबर है। (1 / s ) the q की वृद्धि के रूप में एक संतुलन प्राप्त करने के लिए, पहले की तरफ से दूसरी लेन में प्रवाह पहले से ही होना चाहिए (1 - 1 / s ), q , दूसरे से तीसरे में - ( 1/2 / s ) ⋅ q , kth की ओर से ( k + 1) th - (1 - k / s ) th q । अंतिम सूत्र के अनुसार, बाईं ओर की ओर प्रवाह प्रवाह की क्षमता (1 - ( s - 1) / s ) s q = (1 / s ), q होगी , जैसा कि सामान्य ज्ञान की आज्ञा है।

चूंकि हम एक एकल पुनर्निर्माण का समय दंड जानते हैं और सभी माइग्रेशन की शक्ति बहती है, इसलिए अब हम इससे उत्पन्न नुकसान की कुल तीव्रता की गणना कर सकते हैं:

मैं = α ρ ⋅ q + α ρ 1 (1 - 1 / s ) + q + α ρ α (1 - 2 / s ) + q + ... + α ρ ⋅ (1 / s ) ⋅ q =

α ρ q (1 + 2 + ... + s ) / s =

α ρ q ( s + 1) / 2 =

( α / 2 ν ) ⋅ q s ( sρν ) 1 (1 + 1 / s )।

फिर से याद है कि हाईवे के साथ सभी कारों के प्रवाह की शक्ति p है , हमें इसकी अंतिम रूप में लागत सूत्र मिलता है:

मैं = ( α / 2 ν ) ⋅ pq 1 (1 + 1 / s )।

सममित कांटा नुकसान दर
पिछले पैराग्राफ में, हमने प्रवाह की बातचीत से नुकसान पाया, जिनमें से एक जरूरी बड़ा था, और दूसरा जरूरी था। समस्याओं को हल करने के लिए दृष्टिकोण का प्रदर्शन करने के लिए जब दोनों प्रवाह की क्षमता परिमाण में तुलनीय होती है, तो हम एक और चरम पर विचार करें: एक कांटा जिसमें दोनों "बेटी" दिशाएं ड्राइवरों के लिए समान रूप से लोकप्रिय हैं (चित्र 4)।


अंजीर। 4

सुविधा के लिए, कांटे पर दाईं ओर जाने वाली कारों को "नीला" कहा जाएगा, और बाईं ओर जाने वाली कारों को - "लाल"। प्रारंभ में, दोनों "रंगों" की कारों को मिश्रित किया जाता है, राजमार्ग के सभी 2 लेन के बीच फैलाया जाता है। जैसे-जैसे वे जंक्शन के पास जाते हैं, लाल रंग की कारें धीरे-धीरे बाईं ओर की गलियों की ओर बढ़ने लगती हैं, और नीले रंग की दाईं ओर, गलियाँ: आसन्न गलियों के बीच दोनों दिशाओं में प्रवास प्रवाहित होती हैं। एक्सेस रोड उदाहरण के विपरीत, ये प्रवाह अब "अपेक्षाकृत छोटे" नहीं हैं। वैसे, केवल दो केंद्रीय लेन के बीच एक मजबूर यातायात विनिमय है, जिसमें से किसी भी दिशा में तीव्रता (बाएं से दाएं, या दाएं से बाएं) कारों के राजमार्ग के साथ चलती हुई पूरी धारा की एक चौथाई के बराबर है। सौभाग्य से, इस स्थिति में उत्पन्न लागतों का अनुमान लगाने का एक अच्छा तरीका है। सबसे पहले, हम ध्यान दें कि कारों को "लाल" और "ब्लू" में विभाजित करने की प्रक्रिया कांटे से बहुत पहले शुरू होती है और धीरे-धीरे आगे बढ़ती है, इसलिए, एक तरफ, एक अलग पंक्ति के भीतर यातायात घनत्व पर इसका कम प्रभाव होना चाहिए, और दूसरी तरफ, प्रवासन करें। लंबी दूरी पर प्रवाहित होती है, जिससे उनमें से प्रत्येक को कम शक्ति के प्रवाह की बड़ी संख्या के संयोजन के रूप में प्रतिनिधित्व करने का अवसर मिलता है (चित्र 5)।


अंजीर। 5

चूंकि अब हम छोटे प्रवाह के बारे में बात कर रहे हैं, बड़ी संख्या में यद्यपि, कुछ भी हमें पहले से ही हल किए गए विचार के तहत समस्या को कम करने से रोकता है। मानसिक रूप से केंद्र में राजमार्ग को दो समान भागों में विभाजित करते हैं, और फिर उन्हें बड़ी संख्या में सिंगल-लेन जम्पर सड़कों के साथ जोड़ते हैं, जिससे लाल कारों को बाईं ओर और नीली कारों को दाईं ओर (छवि 6) तक पहुंचने की अनुमति मिलती है। स्पष्ट समरूपता के कारण, उत्पन्न नुकसान की गणना करते समय, हम किसी एक रंग की मशीनों पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, नीला, और अंत में परिणाम को दोगुना करते हैं।


अंजीर। 6

तो, गति ν और घनत्व ρ सभी गलियों के लिए समान होना चाहिए और पूरे क्षेत्र में स्थिर रहना चाहिए जहाँ कारों को रंगों से अलग किया जाता है।इस मामले में, राजमार्ग के साथ चलने वाली सभी कारों की प्रवाह दर होगी:

p = 2 sρv । Q ₁ , q ₂ , ... q _m मोटरवे के दाईं ओर काल्पनिक जंपर्स के साथ-साथ चलने वाली नीली कारों

के प्रवाह को निरूपित करता है। मान लीजिए कि मोटरवे के प्रत्येक लेन में जुदाई स्थल से कुछ समय पहले, दोनों रंगों को 50% के समान अनुपात के साथ दर्शाया गया है, जिसका अर्थ है कि कुल q ₁ + q ₂ + ... + q _m में sρv / 2 के बराबर है , जो p / 4 है। धारा क्ष द्वारा उत्पन्न नुकसान


_मैं , अपने smallness के कारण, हम सूत्र की गणना कर सकते हैं:

मैं _मैं =मैं _बाहर +मैं _में = (α/ 2ν)⋅(पी/ 2)⋅ क्ष _मैं (1 - 1 /एस) + (α/ 2ν)⋅(पी/ 2)⋅ क्ष _मैं (1 + 1 /एस) = (α/ 2ν)पी क्ष _मैं

सब कुछ खत्म हो इस अभिव्यक्ति संक्षेपमैं, का पता लगाएं, नुकसान केवल नीले कारों उत्पन्न:

मैं _{नीले रंग} = ( α / 2 ν ) ⋅ पी ⋅ ( क्ष ₁ + क्ष ₂ + ... + क्ष _मीटर ) = ( α / 2 ν ) पी ² /4।

पूरा नुकसान, पहले ही उल्लेख के रूप में, दोगुनी की जाएगी राशि दो बार के रूप:

मैं _div = ( α / 2 ν ) पी ² /2।

प्राप्त सूत्रों का विश्लेषण
यदि हम तीव्रता को अलग करते हैं I, अर्थात, और समय की कुल दूसरे में प्रतिभागियों द्वारा खो की संख्या, पार्श्व प्रवाह की मात्रा क्ष : है, जो परिभाषा से है में शामिल होने और हाईवे पर यातायात छोड़ रहा है, एक सेकंड में मशीनों की संख्या के बराबर है, तो हम ऐसे ही एक वाहन द्वारा उत्पन्न औसत नुकसान प्राप्त

मैं _में = मैं _में / q = ( α / 2 ν ) ⋅ पी ⋅ (1 + 1 / एस )

मैं _बाहर = मैं _बाहर / क्ष = ( α / 2 ν ) ⋅ पी ⋅ (1 - 1 /s )

शायद इन फॉर्मूलों में सबसे महत्वपूर्ण चीज हाईवे पी पर कारों के बिजली प्रवाह के बीच प्रत्यक्ष आनुपातिकता है और यूनिट की लागत i है । सब कुछ ऐसा लगता है जैसे कि एक कार शामिल होने की कोशिश कर रही है, या इसके विपरीत - मुख्य आंदोलन के प्रवाह को छोड़ने के लिए, जिससे पास के हर ड्राइवर को लगातार नुकसान हो सकता है।

दूसरा, दिलचस्प और बहुत अप्रत्याशित अवलोकन जंक्शन के बगल में सीधे राजमार्ग के पास गलियों की संख्या के उत्पन्न नुकसान की तीव्रता पर बेहद कमजोर प्रभाव की चिंता करता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, आई _आउट के फॉर्मूले को देखते हुए, कांग्रेस आम तौर पर सिंगल-लेन सड़क के लिए सबसे सस्ती है ( ओं) 1, i _बाहर = 0), और तीन बैंड के लिए आसपास के सड़क की वजह से कठिनाइयों, और छह लेन राजमार्ग केवल से भिन्न होते हैं

100% ⋅ [(1 + 1/3) - (1/6 +1)] / (1 + 1/3) = 12.5%।

जब आप समझते हैं कि हर कार कभी मोटरमार्ग पर आंदोलन में शामिल होने,, अंततः उसे छोड़ने के लिए होगा यह बजाय जब जंक्शन पर नुकसान की गणना के वैध लगता है की मैं _में और मैं _बाहर एक एकीकृत मान का उपयोग करने

मैं _av = ( मैं _में + मैं _में ) / 2 = ( α / 2 ν ) ⋅ पी ।

सूत्र के लिए में कमी के बावजूद मैं _{ए वी} बैंड की संख्या पर कोई स्पष्ट निर्भरता, हमें याद रखना चाहिए कि इसके उत्पादन (के सुझाव पढ़ें की मैं _में और की मैं _बाहर ) अनिवार्य रूप से सड़क पर एक छोटा सा मशीन घनत्व की धारणा पर आधारित है, तो यह संतोषजनक परिणाम देने की संभावना नहीं है, किया जा रहा है बहुत अधिक यातायात के साथ एक बहुत ही संकीर्ण राजमार्ग पर लागू होता है।

प्रारंभिक निष्कर्ष
जंक्शनों के पास के क्षेत्रों में, यातायात अनिवार्य रूप से होता है, ड्राइवरों से समय निकालकर, औसत गति को कम करने से, बाद में कारों के घनत्व में वृद्धि होती है और, परिणामस्वरूप, ट्रैफ़िक जाम की संभावित घटना होती है। ऑटोमोबाइल प्रवाह के पृथक्करण और विलय से जुड़े समय को स्विचिंग कहा जाएगा।

एक समान प्रकार के नुकसान किसी भी स्विचिंग स्कीम में एक या दूसरे तरीके से मौजूद हैं: चाहे वह टेलीफोन या कंप्यूटर नेटवर्क हो, मल्टी-कोर माइक्रोप्रोसेसर हो या मेल डिलीवरी सर्विस।

जब कोई चालक जुड़ता है, या, इसके विपरीत, राजमार्ग पर ट्रैफ़िक छोड़ता है, तो उसके कार्यों से होने वाली स्विचिंग लागत राजमार्ग पर उस समय देखी गई कारों की धारा की शक्ति के आनुपातिक होती है।

पूरे शहर में स्विचिंग के नुकसान को कम करने के लिए, डिजाइन चरण में इसे लागू सड़क नेटवर्क पर सावधानीपूर्वक विचार करना आवश्यक है। थोड़ा बाद में हम इस कार्य का विस्तार से विश्लेषण करेंगे, लेकिन कुछ स्पष्ट सिफारिशों को अब सूचीबद्ध किया जा सकता है:

1. स्विचिंग नुकसान राजमार्ग पर प्रवाह क्षमता के लिए आनुपातिक हैं - बिना आवश्यकता के सड़कों को बड़ा करना आवश्यक नहीं है, दो छोटे राजमार्ग एक बड़े वाले से दोगुने अच्छे हैं;
2. स्विचिंग नुकसान साइड फ्लो की शक्ति के आनुपातिक हैं - यह नेटवर्क को डिजाइन करने के लायक है, ताकि चालक को अपनी यात्रा के दौरान जितनी बार संभव हो सके अलग हो जाए;
3. यदि आप उन मार्गों को रोकने की कोशिश करते हैं जो केवल एक धारा में ट्रैक के एक छोटे खंड पर ओवरलैप होते हैं, तो मुख्य और साइड स्ट्रीम के ड्राइवरों के कारण होने वाला पारस्परिक हस्तक्षेप शहर के पैमाने पर छोटा हो जाना चाहिए।

शहरों के अस्तित्व के लिए आर्थिक पूर्वापेक्षाएँ।
यूनिफॉर्म एक्सेस सिटी मॉडल

शहर परिवहन प्रणाली की योजना (या फिर से योजना) पर किसी भी परियोजना को शुरू करने के लिए शायद पहली बात यह निर्धारित करने की कोशिश करना है कि शहर को वास्तव में किस तरह के प्रवास की आवश्यकता है और भविष्य में इसकी आवश्यकताएं कैसे बदल जाएंगी।

इस तरह के एक विश्लेषण को अंजाम दिया जा सकता है यदि आप शहर को बहुत बड़े नहीं, बल्कि बहुत छोटे क्षेत्रीय क्षेत्रों में विभाजित करते हैं, और फिर ऐसे क्षेत्रों में से प्रत्येक जोड़ी के लिए संकेत मिलता है कि एक या दूसरे समय में उनके निवासियों द्वारा लगभग एक या कई यात्राओं की क्या आवश्यकता है। दिन का। एक वर्ग तालिका में की गई भविष्यवाणियों को रखकर, आप शहर के निवासियों की प्रवास आवश्यकताओं का एक मैट्रिक्स प्राप्त करेंगे।

यह इस मैट्रिक्स के लिए है कि यह तब सार्थक है कि एक नेटवर्क की तलाश करें जो ड्राइवरों और यात्रियों को एक अलग यात्रा पर जितना संभव हो सके उतना कम समय बिताने की अनुमति देता है और शहर के अधिकारियों को उनके निर्माण के लिए यथासंभव कम संसाधनों की आवश्यकता होती है।

जब मौजूदा शहरों की बात आती है, तो यहां यह महत्वपूर्ण है कि गलती न करें और उन यात्राओं की संख्या को प्रतिस्थापित न करें जिन्हें वास्तव में उन यात्राओं की संख्या की आवश्यकता होती है जो ऐतिहासिक रूप से डिजाइन कार्य के समय कुछ बाधाओं या कठिनाइयों के प्रभाव में स्थापित की गई हैं। संभवतः, जुदाई की दीवार का गिरना "पहले और बाद में" बर्लिन का परिवहन नेटवर्क जो कहा गया है, उसका सबसे स्पष्ट चित्रण कर सकता है।

यह खंड मुख्य रूप से मानवीय मुद्दों से निपटेगा, जिसमें मैं कोई विशेषज्ञ नहीं हूं, लेकिन मुझे लगता है कि उन्हें शौकिया के रूप में चर्चा करना अभी भी समस्या से बचने की तुलना में अधिक सही है।

जनसंख्या की प्रवासी आवश्यकताओं का बेहतर प्रतिनिधित्व करने के लिए, यह मौलिक प्रश्न के साथ शुरू होने योग्य है: "शहरों को वास्तव में आवश्यकता क्यों है और वे क्या उपयोगी कार्य करते हैं?" ।

आइए इसे शहरों (और गांवों) के सामान्य निवासियों के रूप में जवाब देने की कोशिश करें, लेकिन कुछ बड़े और विकसित राज्य में शहरीकरण प्रक्रिया के लिए जिम्मेदार व्यक्ति के दृष्टिकोण से। इस दृष्टिकोण से, यह महत्वपूर्ण नहीं है कि ऐतिहासिक उद्देश्यों ने एक बार इतने सारे लोगों को जमीन के एक छोटे से हिस्से में भीड़ दी, या जिन कारणों से वे इसे अभी भी जारी रखते हैं, यह महत्वपूर्ण है - क्या आर्थिक प्रभाव एक आकार के शहरों या किसी और के लिए बनाते हैं किस तंत्र के कारण यह प्रभाव प्राप्त होता है।

मेरी राय में, बड़े शहरों के अस्तित्व का मुख्य कारण एक तरफ, प्रौद्योगिकी फर्मों के लिए दुर्लभ व्यवसायों के कर्मचारियों को खोजने का अवसर है, और दूसरी ओर, उन लोगों के लिए अवसर, जिन्होंने प्रतिस्पर्धी शर्तों पर उनकी रुचि रखने वाली कंपनियों को अपनी सेवाएं बेचने के लिए दुर्लभ व्यवसायों में महारत हासिल की है। एक छोटे (गैर-विशिष्ट) शहर में, कई वस्तुओं और सेवाओं का उत्पादन या तो बस असंभव है, या प्रौद्योगिकी कंपनियों और उनके कर्मचारियों को आपसी बंधकों की स्थिति में लागू करता है, बिना किसी एक या किसी विकल्प के।

उदाहरण के लिए, साहित्य के एक स्कूल शिक्षक के दुर्लभ व्यवसाय को न लें। आंकड़ों के अनुसार, उनके लिए आवश्यकता है: प्रति 1000 जनसंख्या पर लगभग 1 शिक्षक। एक नियमित स्कूल में, 3-4 लोग साहित्य पढ़ाते हैं। एक साहित्य शिक्षक के लिए नौकरी की पसंद को प्रतिस्पर्धी कहा जा सकता है यदि उसके शहर में कम से कम 4-5 माध्यमिक स्कूल हैं, जो आबादी के मामले में लगभग 15 हजार लोग हैं।

जाहिर है, इंजीनियरिंग विशेषता वाले लोग कम से कम 100 हजार की आबादी वाले शहरों में श्रम बाजार में आराम महसूस करते हैं। बेशक, ऐसे पेशे भी हैं, जिनकी मांग केवल एक लाख लोगों के साथ शहरों में दिखाई देती है, लेकिन बहु मिलियन शहरों की आर्थिक भावना मेरे लिए एक रहस्य बनी हुई है।

उपरोक्त सभी के बाद, दो परिकल्पनाएं काफी प्रेरित दिखती हैं (जिसकी वैधता, हालांकि, लेख की मुख्य सामग्री की सच्चाई को प्रभावित नहीं करती है):

1. सबसे अधिक बार यात्रा करने वाले औसत वयस्क को उन दूरी पर यात्रा करने की आवश्यकता होती है जो उसके लिए सबसे आशाजनक नौकरियों में से 4-5 पर कब्जा कर लेते हैं;
2. आबादी के एक महत्वपूर्ण हिस्से के लिए जो दुर्लभ और सबसे अधिक आर्थिक रूप से मूल्यवान व्यवसायों का मालिक है, सबसे लगातार यात्राओं की दूरी शहर की त्रिज्या के साथ तुलनात्मक हो सकती है।

परिकल्पना 1) और 2) के एक विस्तारित प्रतिबिंब के रूप में, मेरे उदाहरण में मैं अक्सर "समान पहुंच" के साथ शहर के मॉडल का उपयोग करूंगा, यह मानते हुए कि मांग की गई यात्रा के प्रवाह की शक्ति मैट्रिक्स के सभी कक्षों में, या इसके अलावा, किसी भी दो तिमाहियों के बीच समान है। माइग्रेशन के लिए उसी सकारात्मक संख्या की आवश्यकता होती है। यदि आप दिन के दौरान ऐसे शहर में की गई यात्राओं के रिकॉर्ड को अनियमित रूप से देखते हैं, तो अगली चिह्नित यात्रा के लिए, सभी तिमाहियों में इस यात्रा की शुरुआत होने और अंत के रूप में सेवा करने की समान संभावना होगी, और "प्रारंभिक" और "अंतिम" की स्थिति के बीच कोई संबंध नहीं है। »क्वार्टर नहीं देखे जाने चाहिए।

सरल नेटवर्क टोपोलॉजी नेटवर्क

आइए, पिछले पैराग्राफ में वर्णित विचारों को जीवन से लिए गए कुछ प्रकार के शहर की योजनाओं पर लागू करने का प्रयास करें।

रैखिक शहर
पहली बड़ी बस्तियों का मुख्य रूप से तट के साथ, समुद्र और चट्टानों के बीच भूमि की एक पतली पट्टी के क्षेत्रों में या व्यस्त सड़कों के रास्तों के साथ उत्पन्न हुआ, इसलिए विकास की प्रक्रिया में उन्होंने संकीर्ण लम्बी सीमाओं का अधिग्रहण किया। इन बस्तियों में से कई आज तक बची हुई हैं, अपनी लम्बी आकृति को बरकरार रखते हुए और आधुनिक शहरों (नीचे चित्रण) में बदल जाती हैं।


(रियो डी जनेरियो के पृथक क्षेत्र, लेखक अज्ञात)

अक्सर ऐसे शहर में केवल एक चौड़ी सड़क होती है जिसके चारों ओर यह बनाया जाता है। मान लीजिए कि प्रत्येक तिमाही (क्षेत्रीय प्रभाग का क्षेत्र) एक ही क्षमता की यात्रा की एक धारा उत्पन्न करता है, ऐसे सभी तिमाहियों में - n , और शहर खुद "वर्दी पहुंच" माइग्रेशन मॉडल का पालन करता है।


अंजीर। 7

आइए ऊपर सूचीबद्ध शर्तों के बारे में जानने की कोशिश करें कि बढ़ते यात्रा के साथ औसत यात्रा समय और आवश्यक सड़क क्षेत्र कैसे बदलते हैं।

तो, सभी क्वार्टरों का आकार और आकार समान है, और उनकी संख्या λ (लैम्ब्डा) समय से बढ़ जाती है। ऐसा नहीं है कि स्पष्ट है

• λ के एक कारक से मुख्य सड़क की लंबाई बढ़ जाती है।

"समान पहुंच" के लिए अपनाए गए मॉडल के आधार पर, शहर के दाहिने हिस्से में शुरू होने वाली 50% यात्राएं इसके बाएं आधे हिस्से (बिल्कुल विपरीत) में समाप्त होती हैं, इसलिए, λ के एक कारक द्वारा तिमाहियों की संख्या में वृद्धि के साथ, शहर के मध्य से गुजरने वाली धारा की शक्ति भी बढ़ जाएगी। λ बार एक ही निष्कर्ष के साथ इसी तरह का तर्क सही होगा यदि, बीच के बजाय, हम किसी दिए गए अनुपात (1: 3, 2: 5) में शहर को विभाजित करने वाले किसी भी बिंदु को लेते हैं, जिसका अर्थ है कि

• λ के एक कारक से मुख्य सड़क के साथ कारों का शक्ति प्रवाह बढ़ता है।
• प्रत्येक खंड में आवश्यक मुख्य सड़क के लेन की संख्या λ के एक कारक से बढ़ जाती है।

अधिक या कम स्पष्ट है कि यात्रा की औसत लंबाई, और इसके साथ

• नेट की यात्रा का समय डिस्टेंस को कवर करने के लिए λ के एक कारक से बढ़ता है।

हमारे लिए जो कुछ भी है वह गणना करना है कि एक यात्रा में स्विचिंग लागत के कारण कितनी बार खो गया समय बढ़ेगा। प्रत्येक तिमाही में, यूनिट पावर की एक साइड स्ट्रीम प्रवेश करती है और पत्तियां, जो एक साथ तीव्रता के अस्थायी नुकसान उत्पन्न करती हैं:

I = I + _in + I _बाहर = ( α / 2 ν ) p , 2,

जहां पी मुख्य सड़क पर प्रवाह दर है। हम पहले से ही जानते हैं कि तिमाहियों की संख्या और मुख्य सड़क पर प्रवाह की दर λ के रूप में बढ़ती है, इसलिए, नेटवर्क द्वारा उत्पन्न कुल समय का नुकसान ^{2 के} कारक से बढ़ता है। दूसरी ओर, नेटवर्क द्वारा उत्पन्न यात्राओं की संख्या, जिसके परिणामस्वरूप इन सभी नुकसानों को वितरित किया जाता है, λ के एक कारक से बढ़ता है, जिसे हम प्राप्त करते हैं

• नेट यात्रा का समय स्विचिंग लागत के कारण खो जाता है जो कि λ के एक कारक से बढ़ता है।

चलो एक प्लेट में सभी परिणाम एकत्र करते हैं:

रेखीय टोपोलॉजी
इकाई क्षमता के पते बिंदुओं (तिमाहियों) की संख्या ................................. एन
सड़कों का कुल क्षेत्रफल ………………………………………। ........................................ ओ ( एन ² )
शुद्ध यात्रा का समय
की दूरी तय करने में खर्च किया गया ……………………………………। ..... ओ ( n )
शुद्ध यात्रा का समय
स्विचिंग लागत के कारण खो गया ............................................ ......... ओ ( एन )
स्विचिंग नोड्स की संख्या ………………………………………। .................................... ओ ( n )
स्विचिंग नोड्स की संख्या, पक्ष की शक्ति को ध्यान में रखते हुए प्रवाहित होती है ..................... O ( n )

प्रयुक्त संकेतन: " y = O ( x )", का अर्थ है कि मात्राएँ x और y कार्यात्मक रूप से निर्भर हैं, और जब x बिना किसी क्रम के बढ़ता है, तो अनुपात x / y एक परिमित गैर-शून्य संख्या की ओर जाता है।

सेल सिटी
दूसरा, काफी सामान्य नियोजन विधि एक आयताकार मैट्रिक्स के रूप में ब्लॉकों को व्यवस्थित करने के लिए है, एक चॉकलेट बार में कैसे विभाजित टुकड़ों के समान है।

हम ऐसे शहरों को "सेलुलर" कहने के लिए सहमत हैं।


(लॉस एंजेलिस, फोटो: स्टेपानोव ग्लोरी)

चित्रा 8 सेल्युलर सिटी के एक आरेख को दर्शाता है, जो कि क्वार्टर के एन (हाफ़्स "को ध्यान में रखते हुए) से बना है, एक साथ एक नियमित वर्ग का निर्माण करता है। क्वार्टर को एक-दूसरे से अलग-अलग each n सड़कों से अलग किया जाता है, सशर्त रूप से पश्चिम से पूर्व की ओर, और एक और √ n सड़कों से, दक्षिण से उत्तर तक फैली हुई है। कुल मिलाकर, ये सड़कें × n × ections n चौराहों का निर्माण करती हैं, जिनमें से प्रत्येक को या तो एक यातायात प्रकाश चौराहे के रूप में बनाया जा सकता है, या सड़क पुल और ओवरपास के माध्यम से कार्यान्वित किया जा सकता है।


अंजीर। 8

भले ही सड़कों पर यातायात एक-तरफ़ा या दो-तरफ़ा हो, एक चेक शहर में बिंदु "ए" से बिंदु "बी" तक किसी भी यात्रा को एक ऐसे मार्ग के साथ किया जा सकता है जो दो से अधिक सड़कों से गुजरता है और चौराहे पर एक से अधिक मोड़ की आवश्यकता नहीं है सड़कों।

मान लीजिए कि, पिछले उदाहरण के रूप में, प्रत्येक तिमाही इकाई क्षमता की यात्रा की एक धारा उत्पन्न करता है, और जनसंख्या की प्रवासन आवश्यकताओं को "वर्दी पहुंच" के मॉडल द्वारा वर्णित किया गया है। आइए अब गणना करते हैं, सेल्युलर सिटी के लिए, उन कानूनों के द्वारा, जिनकी यात्रा का औसत समय और सड़क नेटवर्क के निर्माण की संसाधन खपत में चौथाई की संख्या में वृद्धि है।

यदि λ के एक कारक से तिमाहियों की संख्या बढ़ जाती है, तो:

• λ बार में शहर का क्षेत्रफल बढ़ता है, और अनुपात को बनाए रखते हुए इसके रैखिक आयाम -
  λ में λ ,
• औसत यात्रा की लंबाई और शुद्ध समय दूरी को कवर करने के लिए, रैखिक आयामों के आनुपातिक होने के नाते, λ समय बढ़ाएँ,
• सड़कों की संख्या और एक गली से सटे मोहल्लों की संख्या, λ गुना बढ़ जाती है,
• ट्रैफ़िक प्रवाह की शक्ति, क्वार्टरों की संख्या के साथ आनुपातिक है, जिसके साथ प्रवाह "संपर्क में" है (इस तथ्य का स्पष्टीकरण बाद में दिया जाएगा), times λ समय से बढ़ता है,
• सभी सड़कों का आवश्यक क्षेत्र बढ़ता है (सड़कों की संख्या) × (एक सड़क की लंबाई) × (सड़क प्रवाह की शक्ति) = √ λ √ ⋅ λ ⋅ λ λ λ λ

पार्श्व प्रवाह को उन लोगों में विभाजित किया जाता है जो क्वार्टर और ट्रैफ़िक प्रवाह की ओर जाते हैं जो अपने चौराहों पर एक सड़क से दूसरी सड़क पर मुड़ते हैं। शर्तों के अनुसार पहला, हमेशा एकता के बराबर रहता है, दूसरे के बाद, अगर हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि एक ही सड़क पर क्वार्टर की तुलना में शहर में बहुत अधिक क्वार्टर हैं, लगभग सभी ट्रैफ़िक जो इसके साथ आते हैं या सड़क राजमार्ग छोड़ते हैं। नतीजतन, दूसरे के पार्श्व प्रवाह के परिमाण में परिवर्तन का अनुमान सूत्र द्वारा किया जा सकता है (सड़क प्रवाह की शक्ति में परिवर्तन) / (एक सड़क पर चौराहों की संख्या में वृद्धि) = the λ / √ λ = 1. निरंतर अनुपात के अंतिम अनुपात की समानता से पता चलता है कि ये प्रवाह विशेष रूप से परिवर्तन नहीं करते हैं तिमाहियों की संख्या में वृद्धि, इसलिए, एक पूरे के रूप में नेटवर्क द्वारा उत्पन्न स्विचिंग लागत में वृद्धि होगी: (तिमाहियों + चौराहों की कुल संख्या में वृद्धि) × (एक सड़क पर प्रवाह के मूल्य में परिवर्तन) = λ λ । चूंकि सभी तिमाहियों से उत्पन्न यात्रा के प्रवाह की शक्ति λ में बढ़ी, फिर

• नेट यात्रा का समय स्विचिंग लागत के कारण to λ से बढ़ जाता है

गोली के रूप में परिणाम की कल्पना करें:

"सेल टोपोलॉजी"
इकाई क्षमता के पते बिंदुओं (तिमाहियों) की संख्या ................................. एन
सड़कों का कुल क्षेत्रफल ………………………………………। .................................... ओ ( n .... n )
शुद्ध यात्रा का समय
की दूरी तय करने में खर्च किया गया ……………………………………। ... ओ (O n )
शुद्ध यात्रा का समय
स्विचिंग लागत के कारण खो गया ............................................ ....... ओ () n )
स्विचिंग नोड्स की संख्या ………………………………………। .................................... ओ ( n )
स्विचिंग नोड्स की संख्या, पक्ष की शक्ति को ध्यान में रखते हुए प्रवाहित होती है ..................... O ( n )

रैखिक और सेलुलर नेटवर्क की एक दूसरे के साथ तुलना करते हुए, यह नोटिस करना मुश्किल नहीं है कि निर्माण के लिए आवश्यक संसाधनों में वृद्धि और पहले नेटवर्क के लिए शहर की वृद्धि के साथ एक यात्रा पर बिताए गए समय दूसरे की तुलना में बहुत तेज है। उदाहरण के लिए, 100 तिमाहियों में से एक सेलुलर शहर को 10 गुना कम डामर की आवश्यकता होती है, और इसके माध्यम से एक यात्रा के लिए एक ही आकार के रैखिक शहर में आवश्यक 10 गुना कम समय की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, यह केवल बहुत छोटे शहरों में रैखिक टोपोलॉजी के साथ सड़क नेटवर्क का उपयोग करने के लिए समझ में आता है।

यदि थोड़ी देर के लिए आप स्विचिंग लागत के अस्तित्व के बारे में भूल जाते हैं, तो सेलुलर टोपोलॉजी को सड़क नेटवर्क को डिजाइन करने के लिए एक आदर्श तरीका माना जा सकता है, क्योंकि यह औसत ट्रिप लंबाई और आवश्यक सड़क क्षेत्र दोनों के लिए एक विषमतम ओ-अनुमान देता है। वास्तव में, शहर के किसी भी अधिक या कम "कॉम्पैक्ट" स्थान (समान पहुंच के साथ) के लिए, यात्रा की लंबाई अपने क्षेत्र के वर्गमूल की तुलना में धीमी नहीं बढ़ेगी, जो आमतौर पर आबादी के लिए सीधे आनुपातिक होती है। नतीजतन, हमें सभी समान ओ (। एन ) मिलते हैं।

तथ्य यह है कि सेलुलर सिटी में एक विशिष्ट मार्ग एक सीधी रेखा के बजाय "कोने" के साथ जाता है, सिद्धांत रूप में, शहरों की योजना बनाने के बेहतर तरीकों की तलाश करने का अधिकार देता है, लेकिन 20% बचत (यदि आप दीवारों के माध्यम से सवारी करना सीखते हैं तो आप इस सीमा में कितना जीत सकते हैं) की संभावना नहीं है। किसी दिन वे वास्तुकारों को सड़कों और सड़कों की आयताकार व्यवस्था को छोड़ने के लिए मजबूर करेंगे।

निर्माण की लागत की कम संभव सीमा (और बनाए रखने) नेटवर्क को यह याद करके प्राप्त किया जा सकता है कि प्रत्येक कार अपने आंदोलन के लिए लेन का हिस्सा रखती है, परिणामस्वरूप, सड़कों का कुल क्षेत्रफल शहर में कारों की संख्या से औसत यात्रा समय (औसत लंबाई) के उत्पाद के लिए आनुपातिक है। : O (O n ) × O ( n ) = O ( n ( n ) (सेल सिटी के लिए तालिका के साथ तुलना)।

यदि हम स्विचिंग लागतों के कारण यात्रा में खो जाने वाले समय की बात करते हैं, तो आश्चर्यजनक रूप से, दूरी को कवर करने में लगने वाले समय के संबंध में इसका संबंध सेल्युलर या लाइनीन सिटी (O ( n ) में या तो व्यक्तिगत क्वार्टरों की संख्या पर निर्भर नहीं करता है / O (O n ) = O (1), O ( n ) / O ( n ) = O (1))। दूसरे शब्दों में, बड़े शहर और छोटे में स्विचिंग घटनाओं के कारण यात्रा में खो जाने वाले समय का प्रतिशत समान होगा। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, अगर किसी छोटे शहर में स्विचिंग लागत के साथ कोई गंभीर समस्या नहीं थी (जैसे, उन्होंने 10-20% की राशि दी), तो एक बड़े शहर में उन्हें अभी भी नहीं देखा जाना चाहिए, और यदि वे थे, तो वे खुद वे कहीं भी नहीं गए, चाहे शहर कितना भी बढ़े और बढ़े।

चूंकि हमें नहीं पता है कि कौन सा विकल्प सही है (या यों कहें, हम जानते हैं कि बड़े शहरों में ऑटोमोबाइल ट्रैफ़िक के साथ समस्याएं मौजूद हैं), यह सेलुलर सिटी की टोपोलॉजी में सुधार करने की कोशिश करने के लायक है, ताकि इसमें स्विचिंग की लागत कम से कम लगातार समय से कम हो।

अवास्तविक नेटवर्क के उपयोगी उदाहरण

चलो देखते हैं कि सेलुलर टोपोलॉजी उन सिफारिशों का पालन करती है जो हमने राजमार्ग पर प्रवाह के स्विचिंग का विश्लेषण करके विकसित की है।

1) जरूरत के बिना सड़कों का विस्तार न करें।
- हां। ट्रैफ़िक ट्रैफ़िक को कई सड़कों पर वितरित किया जाता है (रैखिक शहर के साथ तुलना)।

2) जब आप एक यात्रा में बड़ी संख्या में मोड़ करने की आवश्यकता हो तो परिस्थितियां बनाने से बचें।
- हां। किसी भी यात्रा को शहर की सड़कों पर केवल एक मोड़ की आवश्यकता वाले मार्ग से किया जाएगा।

3) सड़क के एक खंड पर यात्रा करते समय स्थितियों से बचें, जिन मार्गों में सामान्य मार्ग का केवल एक छोटा खंड है।
- यहाँ, शायद, काम करने के लिए कुछ है। प्रति ट्रिप की न्यूनतम संख्या के बावजूद, मुख्य राजमार्ग प्रवाह के हिस्से के रूप में इसका मार्ग बड़ी संख्या में स्विचिंग नोड्स (ओ ( एन )) से गुजरता है, जिनमें से प्रत्येक में मूल्यवान समय बर्बाद होता है।

अंतिम टिप्पणी निम्नलिखित प्रश्न की जांच करने के लिए प्रेरित करती है: "स्विचिंग नोड्स की औसत संख्या का न्यूनतम मूल्य क्या है जिसके माध्यम से एक यात्रा एन ब्लॉक को जोड़ने वाले सड़क नेटवर्क के भीतर गुजरनी चाहिए?"

इस तरह के नेटवर्क की खोज करने का कार्य, निश्चित रूप से, केवल इस शर्त पर करता है कि किसी स्विचिंग नोड द्वारा संयुक्त या साझा की जाने वाली धाराओं की संख्या एक निश्चित निश्चित मूल्य से ऊपर से सीमित है। अन्यथा, आप हमेशा n पता बिंदुओं और एक एकल मेगा-जंक्शन के साथ एक सड़क नेटवर्क प्रस्तुत कर सकते हैं।


(लेखक अज्ञात)

वास्तविक समस्या की जांच करना बहुत आसान है यदि पहले कुछ सरल का उपयोग करके पैटर्न के कम से कम हिस्से को प्रकट करना संभव था, भले ही सभी यथार्थवादी, मॉडल उदाहरणों में नहीं। इस तर्क के बाद, हम अस्थायी रूप से यात्रियों को दूरियों की यात्रा के लिए सड़क बनाने की ज्यामितीय सीमाओं के बारे में भूल जाएंगे, जिसमें उनका सारा ध्यान इस बात पर केंद्रित होगा कि अमूर्त नेटवर्क समानांतर संबोधन समस्या को कैसे हल करते हैं। स्विचिंग नोड्स के बारे में, हम अभी के लिए मान लेंगे कि उनमें से प्रत्येक या तो धारा को दो भागों (विभाजन नोड) में विभाजित करता है, या दो प्रवाह को एक में जोड़ता है।


अंजीर। 9

पता पेड़
चलो एक शुरुआती पता बिंदु है जहां सभी अपवाद के बिना यात्रा शुरू करते हैं, और एक और एन परिष्करण पता बिंदु है जिस पर वे समान संभावना (छवि 9) के साथ समाप्त होते हैं।

यह एक परिवहन नेटवर्क बनाने के लिए आवश्यक है जो यात्रा को यथासंभव कम स्विचिंग नोड्स से गुजरने की अनुमति देता है।

स्पष्ट (प्रोग्रामर के लिए) समाधान, जो यहां खुद को भीख देता है, एक संतुलित द्विआधारी पेड़ का उपयोग करना है, उसी समय आपको पेड़ के शीर्ष पर एक एकल शुरुआती बिंदु लगाने की आवश्यकता है, और शेष एन फिनिश बिंदुओं को अपनी प्रत्येक शीट (छवि 10) में रखें। वर्णित तरीके से निर्मित नेटवर्क को डायरेक्ट एड्रेस ट्री कहा जाएगा।


अंजीर। 10

सभी दिशाओं के दिशा-निर्देशों को बदलते हुए सीधे पते के पेड़ के विपरीत, हम इस प्रकार रिवर्स एड्रेस ट्री प्राप्त करते हैं, जिसका उद्देश्य n शुरुआती बिंदुओं को एक एकल खत्म के साथ जोड़ना है ।

ऐसे मामलों में जहां n दो की शक्ति है, एड्रेस ट्री के अंदर कोई भी मार्ग लॉग ₂ एन स्विचिंग नोड्स से होकर गुजरता है , जो निस्संदेह (asymptotically) सेलुलर (O (√ n )), या रैखिक () के साथ नेटवर्क के लिए समान संकेतक से कम है O ( n )) टोपोलॉजी।

लघुगणकीय नेटवर्क के दो सबसे सरल प्रकार
बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में "ट्री-लाइक" नेटवर्कों का उपयोग करना, इस मामले के पिछले समाधान को सामान्य करना मुश्किल नहीं है जब एक से अधिक शुरुआती बिंदु होते हैं, लेकिन - के । ऐसा करने के दो आसान तरीके हैं।

पहला तरीका रिवर्स एड्रेस ट्री का उपयोग करना है, पहले सभी ट्रिप्स के मार्गों को एक सामान्य स्ट्रीम में इकट्ठा करना है, और फिर, डायरेक्ट एड्रेस ट्री का उपयोग करके, इस स्ट्रीम को सब-फ्लो में विभाजित करें, प्रत्येक को अपने गंतव्य (अंजीर में शीर्ष पर नेटवर्क) पर संबोधित किया जाए। )।


अंजीर। 11

यदि k और n दो की शक्तियाँ हैं, तो, अंत में, कोई भी मार्ग लॉग ₂ k + log ₂ n स्विचिंग नोड्स से होकर गुजरता है । अभी वर्णित एल्गोरिथ्म के अनुसार निर्मित नेटवर्क, हम प्रारंभिक विलय के साथ (यूनिडायरेक्शनल) लॉगरिदमिक को कॉल करने के लिए सहमत हैं ।

उसी समस्या को हल करने का दूसरा तरीका पहले समाधान में विलय और पृथक्करण संचालन के क्रम को उलट कर प्राप्त किया जा सकता है। इसका कार्यान्वयन इस प्रकार है: प्रत्येक प्रारंभिक बिंदु के लिए, सभी फिनिश एड्रेस पॉइंट्स के काल्पनिक डुप्लिकेट का एक अनूठा सेट बनाएं और फिर इसे डायरेक्ट एड्रेस ट्री के साथ इन डुप्लिकेट (सभी काल्पनिक नहीं) से कनेक्ट करें।

नेटवर्क के निर्माण को पूरा करने के लिए, यह केवल प्रत्येक अंतिम बिंदु को कश्मीर काल्पनिक डुप्लिकेट (छवि 11 में नीचे से नेटवर्क) के साथ एक रिवर्स एड्रेस ट्री के साथ जोड़ने के लिए बना हुआ है ।

जब भी n और k दो की शक्तियां होती हैं, तो नए बने नेटवर्क के भीतर किसी भी मार्ग के स्विचिंग नोड्स की संख्या फिर से लॉग ₂ k + log ₂ n के बराबर होगी । हम प्रारंभिक पृथक्करण के साथ इस तरह के (यूनिडायरेक्शनल) लॉगरिदमिक के नेटवर्क को कॉल करने के लिए सहमत हैं ।

सममित
में यूनिडायरेक्शनल नेटवर्क का रूपांतरण सामान्य तौर पर, यूनिडायरेक्शनल नेटवर्कयदि कोई भी नेटवर्क कॉल करता है तो उसके द्वारा जुड़े पते को स्टार्ट और फिनिश में सख्ती से विभाजित किया जाता है। डिफ़ॉल्ट रूप से, यूनिडायरेक्शनल नेटवर्क के लिए, यह माना जाएगा कि यह किसी भी शुरुआती बिंदु से किसी भी परिष्करण बिंदु तक संभव आंदोलन का कम से कम एक मार्ग प्रदान करता है।

जीवन भर की यात्रा के अलावा, उदाहरणों का हवाला देना मुश्किल है, जब कुछ पते बिंदु केवल शुरुआत के रूप में काम करेंगे, और अन्य - केवल उनका अंत हो सकता है। हम अपने तर्क को वास्तविकता के करीब लाएंगे यदि हम उन नेटवर्कों को भी शामिल करते हैं जिनमें दोनों दिशाओं में किसी भी दो पते बिंदु मार्गों द्वारा जुड़े हुए हैं। हम ऐसे नेटवर्क को सममित रूप से कॉल करने के लिए सहमत हैं ।

वास्तव में, यूनिडायरेक्शनल और सममित नेटवर्क के बीच कोई वैचारिक अंतराल नहीं है: प्रत्येक सममित नेटवर्क को एक यूनिडायरेक्शनल नेटवर्क के रूप में भी इस्तेमाल किया जा सकता है, और प्रत्येक यूनिडायरेक्शनल नेटवर्क, शुरू में एक समान संख्या में स्टार्ट और फिनिश बिंदुओं को जोड़ते हुए, एक सममित एक (छवि 12) में बदल सकता है।


अंजीर। 12

आंकड़े 13 ए और 13 बी प्री-मर्ज लोगर नेटवर्क और पूर्व-विभाजित लॉगर नेटवर्क के "सममित" आकार दिखाते हैं। उनके उदाहरण इस प्रकार के नेटवर्क के साथ एन ब्लॉक को जोड़ने की मौलिक संभावना दर्शाते हैं , जिसके भीतर किसी भी यात्रा के दौरान विज़िट किए गए स्विचिंग नोड्स की संख्या शहर के ब्लॉकों की संख्या के लघुगणक के लिए आनुपातिक होगी।


अंजीर। 13 ए


अंजीर। 13 बी

सटीक निचला अनुमान
आज तक, शहर में पता बिंदुओं की संख्या पर यात्रा के दौरान यात्रा किए गए नोड्स की औसत संख्या के आधार पर नेटवर्क का एक समृद्ध संग्रह पहले से ही विभिन्न कार्यों के साथ जमा हुआ है। फिर भी, हम अभी भी नहीं जानते हैं कि दी गई संख्या की संख्या के लिए यह संख्या सिद्धांत रूप में कितनी कम हो सकती है। सूचना के दृष्टिकोण का उपयोग करके इसके मूल्य के लिए कम बाध्य प्राप्त किया जा सकता है।

दरअसल, भले ही एक निश्चित सड़क नेटवर्क n पते के बिंदुओं को जोड़ता है , और आबादी की प्रवासन की आवश्यकताएं ऐसी हैं कि कोई भी यात्रा, चाहे वह जहां भी शुरू हुई हो, शहर में कहीं भी समाप्त होने की समान संभावना है।

इच्छित समस्या को हल करने के लिए, हम इस नुस्खा का पालन करते हुए एक सहायक सूचनात्मक संदेश उत्पन्न करेंगे: लंबे समय तक, हम उन सभी यात्राओं के रिकॉर्ड एकत्र करेंगे जिनकी शुरुआत में एक निश्चित बिंदु है, और यादृच्छिक क्रम में हम उन पतों को लिखेंगे जिनके लिए ये यात्राएं समाप्त हुईं। परिणामी संदेश शहर के n पते बिंदुओं के नाम से बना एक यादृच्छिक अनुक्रम होगा ।

मंगल पर इस संदेश को प्रसारित करने का एक तरीका यह है कि पहले सभी नामों को एक ही लंबाई के द्विआधारी शब्दों के साथ सांकेतिक शब्दों में बदलना, जिससे मूल संदेश को शून्य और लोगों के अनुक्रम में बदल दिया जाए, और उसके बाद ही एक डिजिटल संचार चैनल के माध्यम से परिणामी अनुक्रम भेजें। चूंकि भेद करने के लिए सेट एनयदि लंबाई लॉग ₂ एन के बाइनरी नामों की आवश्यकता है , तो डिजिटल संदेश की लंबाई होगी:

(रिकॉर्ड की संख्या) × लॉग ₂ एन अक्षर।

सबसे दिलचस्प बात यह है कि सूचना के सिद्धांत के अनुसार, उपयोग किए गए एन्कोडिंग एल्गोरिथ्म की परवाह किए बिना, औसतन एक ही संदेश को बाइनरी वर्णों की एक छोटी संख्या के साथ प्रसारित करना असंभव है।

एंडपॉइंट्स के एन्कोड किए गए नामों को सीधे प्रसारित करने का एक विकल्प एक तरीका हो सकता है जिसमें प्रत्येक यात्रा के लिए यह इंगित किया जाता है कि किस दिशा में संभव दिशाओं ने सड़क में अगले कांटे पर अपना मार्ग बदल दिया। हमारी मान्यताओं के अनुसार, नेटवर्क में सभी कांटे केवल दोहरे हो सकते हैं, इसलिए, प्रत्येक मामले में दिशा को इंगित करने के लिए, ठीक 1 बिट की आवश्यकता होती है। कोई भी व्यक्ति जिसके पास शहर का नक्शा है और शुरुआती बिंदु जानता है, गोद ली गई बिट श्रृंखला प्रत्येक मार्ग का पता लगाने और अपने गंतव्य के मूल अनुक्रम को पुनर्स्थापित करने के लिए पर्याप्त होगी। यदि एक यात्रा के दौरान जाने वाले कांटे (विभाजन नोड्स) की औसत संख्या x है , तो नई एन्कोडिंग विधि के साथ द्विआधारी संदेश की लंबाई होगी: (रिकॉर्ड की संख्या) × x।

जैसा कि पहले कहा गया था, एक नई एन्कोडिंग विधि प्रत्यक्ष बाइनरी एड्रेस ट्रांसफर विधि की तुलना में अधिक कुशल नहीं हो सकती है, इसलिए: (रिकॉर्ड की संख्या) × x records (रिकॉर्ड की संख्या) × लॉग ₂ एन , कहां:

एक्स ≥ लॉग ₂ एन ।

यद्यपि पिछली असमानता शुरू में यात्राओं के एक समूह के लिए काट दी गई थी, जिसमें एक सामान्य निश्चित प्रारंभिक बिंदु था, इसकी उपस्थिति इस बिंदु की विशिष्ट पसंद से स्वतंत्र हो गई थी, इसलिए हमें शहर में सभी यात्राओं के तुरंत परिणाम देने का अधिकार है, जिससे वांछित अनुमान का पहला भाग प्राप्त होता है:

P1 ) बशर्ते कि प्रत्येक नई यात्रा में किसी भी n में समाप्त होने की समान संभावना होशहर के पते के बिंदु, प्रति रूट नोड को विभाजित करने की औसत संख्या लॉग ₂ एन से कम नहीं हो सकती है ।

मानसिक रूप से घड़ी को पीछे की ओर मोड़ते हुए, आप प्रत्येक यात्रा को प्रारंभिक बिंदु का समापन बिंदु बना देंगे, और प्रत्येक बाइनरी नेटवर्क डिवीजन नोड को एक बाइनरी मर्ज नोड। यह छोटी चाल आपको स्वचालित रूप से P1:

P2 से अनुमान के दूसरे लापता हिस्से को प्राप्त करने की अनुमति देती है, बशर्ते कि प्रत्येक पूर्ण यात्रा में शहर के किसी भी n पता बिंदु पर शुरू करने के लिए समान संभावनाएं हों , प्रति रूट विलय की औसत संख्या लॉग से कम नहीं हो सकती है। ₂ एन ।

यदि हम प्रारंभिक विलय के साथ एक लॉगरिदमिक नेटवर्क के अस्तित्व को याद करते हैं और प्रारंभिक पृथक्करण के साथ एक लॉगरिदमिक नेटवर्क है, तो हमें तुरंत नेटवर्क के दो उदाहरण मिलते हैं जो स्विचिंग नोड्स की संख्या के संदर्भ में इष्टतम होते हैं, जो औसतन, एक यात्रा के दौरान उनके अंदर जाते हैं। आइए देखें कि क्या यह गुण उत्पन्न स्विचिंग नुकसान की तीव्रता को कम करने में उनकी मदद करता है।

लॉगरिदमिक नेटवर्क में स्विचिंग लागत

यदि हम प्रारंभिक विलय और प्रारंभिक पृथक्करण के साथ नेटवर्क की तुलना करते हैं, तो पहले वाला अपनी सादगी के कारण अधिक आकर्षक लगता है। दुर्भाग्य से, इस सादगी का सिक्का के लिए एक दूसरा पक्ष भी है: सभी मार्गों को एक धारा के विपरीत संयोजन i1 में जोड़ दिया गया , जिससे बड़े समय के नुकसान का संभावित कारण बन गया। प्रारंभिक पृथक्करण वाले नेटवर्क को i1 - i3 की सिफारिशों का पालन करना प्रतीत होता है , हालांकि, चित्र 13 बी को देखते हुए, यह तेजी से उपयोग किए जाने वाले सड़क किनारों और स्विचिंग नोड्स की संख्या को बढ़ाता है। बाद की गुणवत्ता इस प्रकार के नेटवर्क को व्यावहारिक उपयोग के लिए बहुत महंगा बना सकती है।

हम इन मुद्दों का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे। शुरू करने के लिए, हम इस बात से सहमत हैं कि शहर समान पहुंच के माइग्रेशन मॉडल के अधीन है, और इसके किसी भी पते से उत्पन्न यात्रा के प्रवाह की एक इकाई क्षमता है।

प्रारंभिक विलय के साथ एक नेटवर्क में नुकसान
चित्रा 14 में आप प्रारंभिक विलय के साथ नेटवर्क के भीतर संकेतित व्यवस्थाओं से उत्पन्न होने वाले प्रवाह का एक आरेख देख सकते हैं।


अंजीर। 14

यह मुझे अपने स्वयं के यूनिडायरेक्शनल रूप में नेटवर्क को चित्रित करने के लिए सुविधाजनक लगा, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक प्रारंभ और समापन बिंदु, आंकड़े में समान संख्या के साथ चिह्नित नहीं है, वास्तव में शहर में समान पता बिंदु का मतलब है।

आरेख के आधार पर, हम नेटवर्क में उत्पन्न स्विचिंग लागत की तीव्रता की गणना करते हैं। चलो बाएं आधे से शुरू करते हैं, जहां रिवर्स एड्रेस ट्री के माध्यम से, सभी मार्गों को एक स्ट्रीम में एकत्र किया जाता है। नेटवर्क के इस हिस्से में प्रत्येक स्विचिंग नोड उस जगह का प्रतिनिधित्व करता है जहां दो यूनिडायरेक्शनल हाईवे एक में विलय होते हैं (छवि 15)।


अंजीर। 15

यदि शुरू में प्रत्येक सड़क कुशलता से भरी हुई है, तो उनके एकीकरण के बाद गलियों की संख्या को कम करने की आवश्यकता नहीं है, परिणामस्वरूप कनेक्शन लागत में कोई कमी नहीं होनी चाहिए।

मान लीजिए कि कम से कम दो लेन में सड़क को भरने के लिए इकाई शक्ति का प्रवाह पहले से ही पर्याप्त है। इस मामले में, हम एक अपेक्षाकृत अप्रत्याशित निष्कर्ष पर आते हैं: कार का संघ लॉगरिदमिक नेटवर्क के अंदर बहता है जिसमें प्रारंभिक मर्ज बिल्कुल "मुफ्त में" होता है, बिना किसी अस्थायी नुकसान के।

सही आधे में उत्पन्न होने वाली लागतों की गणना करना अधिक कठिन नहीं है। नेटवर्क का यह हिस्सा एक डायरेक्ट एड्रेस ट्री है, जिसका प्रत्येक नोड उन सड़कों में एक सममित कांटा है जिसका हमने पहले ही अध्ययन किया है। घटना प्रवाह की शक्ति जब पी तीव्रता कांटा नुकसान में उभर के बराबर होती है ( α / 2 ν ) ⋅ पी ² /2। जड़ जंक्शन में प्रवेश पावर प्रवाह है: एन , इसलिए रूट नोड में तीव्रता नुकसान हुआ है: ( α / 2 ν ) ⋅ एन ²/ २। पता पेड़ की प्रत्येक अगली पीढ़ी में, कांटे की संख्या दोगुनी हो जाती है, और उन पर चलने वाली धारा की शक्ति आधी हो जाती है। पूरे वृक्ष के भीतर सूत्र नुकसान का एक परिणाम के रूप लेता है के रूप में:

मैं _{t_div1} = ( α / 2 ν ) ⋅ (1/2) ⋅ [ एन ² + 2 ( एन / 2) ² + 4 ( एन / 4) ² + ... + ( n / 2) ⋅ 2 ² ] =

( α / 2 ν ) ⋅ ( एन / 2) ² [1 + 1/2 + 1/4 + ... + 2 /n ] ≈ ( α / 2 ν ) ⋅ एन ²

के बाद से बिजली यात्रा सब पता अंक है द्वारा एक साथ उत्पन्न प्रवाह n , एक यात्रा प्रति समय लागत औसतन ( α / 2 ν ) ⋅ n , जिससे दिखा रैखिक शहर के आकार पर निर्भरता।

जब अमूर्त नेटवर्क की बात आती है, तो उनके द्वारा उपयोग की जाने वाली सड़कों के क्षेत्र का कोई भी सार्थक अनुमान देना मुश्किल है। संरचनात्मक जटिलता के वैकल्पिक उपाय के रूप में, सभी पक्ष प्रवाह की कुल शक्ति की गणना की जा सकती है। जैसा कि योजना बनाई गई है, जिसके परिणामस्वरूप मूल्य को नेटवर्क द्वारा आवश्यक सभी इंटरचेंज को खड़ा करने की संसाधन लागत को प्रतिबिंबित करना चाहिए। मैं यह नहीं कह सकता कि व्यवहार में इस पद्धति की हमेशा अच्छी व्याख्या होगी, लेकिन मैं शायद आगे काम की मात्रा के बारे में कुछ अनुमान लगा पाऊंगा।

प्रारंभिक विलय के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क के अंदर, साइड स्ट्रीम केवल डायरेक्ट एड्रेस ट्री में मौजूद हैं, और प्रत्येक पीढ़ी के नोड्स के लिए उनकी कुल शक्ति समान है: n / 2। कुल पेड़ लॉग ₂ एननोड्स की पीढ़ियों, इसलिए जटिलता का आकलन करने का एक नया तरीका जटिलता का अनुमान देता है: ओ ( एन लॉग ₂ एन )।

लॉगरिदमिक नेटवर्क प्रारंभिक विलय के साथ
इकाई शक्ति के पते के अंक ........................................ ............ n स्विचिंग लागत के कारण खो गया
औसत यात्रा समय
:
विषम व्यवहार ........................ .................................................. ............................ ओ ( n )
सटीक मूल्य ................ .................................................. ........................... ( α / 2 ν ) ⋅ n
स्विचिंग नोड्स की संख्या ………………………………………। .................................. O ( n )
स्विचिंग नोड्स की संख्या पक्ष की शक्ति को ध्यान में रखते हुए प्रवाहित होती है ...। ............... O ( n log ₂ n )

प्रारंभिक पृथक्करण के साथ नेटवर्क में होने वाली हानियाँ
आइए अब हम प्रारंभिक पृथक्करण के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क के विश्लेषण पर आगे बढ़ते हैं, फिर से यह मानते हुए कि नेटवर्क का उपयोग इकाई शक्ति के पते बिंदुओं को जोड़ने के लिए किया जाता है "समान पहुंच" के शहर में।

चित्र 16 में इसका एक टुकड़ा दिखाया गया है, जिसमें इस बिंदु से सटे प्रत्यक्ष और रिवर्स एड्रेस पेड़ों के साथ एक पता बिंदु शामिल है।


अंजीर। 16

सबसे पहले, हम टुकड़े से उत्पन्न स्विचिंग घाटे की तीव्रता का अनुमान लगाते हैं।
प्रवाह की जुदाई द्वारा उत्पन्न लागत की भयावहता सूत्र में प्रतिस्थापन पाया जा सकता है मैं _{t_div1} = ( α / 2 ν ) ⋅ एन ² के बजाय, पिछले उदाहरण में प्रत्यक्ष पता पेड़ के लिए निष्कर्ष निकाला n - इकाई। दरअसल, आंकड़े 16 और 14 में प्रत्यक्ष पता पेड़ों में समान गहराई और आचरण अपने आप में शक्ति के समान है ( _{लगभग)।समानता का अर्थ है किसी निर्धारित संख्या से मूल्यों को दूसरे सेट से गुणा करके मूल्यों का एक सेट प्राप्त करने की क्षमता, उदाहरण के लिए, उनके पक्षों पर त्रिकोण के बीच समानता का उपयोग किया जा सकता है} )। क्योंकि एक अलग कांटा में उत्पन्न होने वाली लागत स्विचिंग की भयावहता और बिजली के सिवा स्ट्रीम में सभी धाराओं के एक साथ कमी की आपूर्ति के बीच द्विघात रिश्ते की n गुना तक पूरे वृक्ष में नुकसान कम हो जाएगा n ² बार, तथापि, बजाय अतीत की ( α / 2 ν ) ⋅ एन ² हम हमें एक समान मूल्य मिलता है:

I _{t_div2} = ( α / 2 ν )।

अब हम खंड के बाएं आधे हिस्से में लागत के मूल्य की गणना करते हैं।
रिवर्स एड्रेस ट्री के अंदर सड़क के संयुक्त प्रवाह की छोटीता के कारण, इस बार दो लेन से अधिक चौड़ी सड़क बनाना उचित नहीं होगा। इन शर्तों के तहत विलय अब मुफ्त नहीं है: पिछले उदाहरण के विपरीत, राजमार्ग (छवि 17) पर संकीर्ण स्पॉट हैं, जहां स्विचिंग लागत आवश्यक होगी।


अंजीर। 17

यह मानते हुए कि चालक समय से पहले आने वाली संकुचन से अवगत है, हम मान सकते हैं कि डेड एंड लेन से कारों को स्थानांतरित करने की प्रक्रिया धीमी है, राजमार्ग के साथ सैकड़ों मीटर तक फैला हुआ है। इस मामले में, हमारे पास उस चाल का सहारा लेने का अधिकार है जिसका उपयोग हम पहले सममित कांटे पर नुकसान की गणना करने के लिए करते थे - कुल प्रवास प्रवाह q को कई छोटे भागों में विभाजित करने के लिए q _i , और फिर उनमें से प्रत्येक को रैंप के किनारे से एक साइड स्ट्रीम के रूप में व्याख्या करें। ऐसे प्रत्येक सूत्र द्वारा गणना substream द्वारा उत्पन्न नुकसान:
मैं _मैं = ( α / 2 ν ) ⋅ पी क्ष _मैं ⋅ (1 + 1 / रों), हालांकि, दो सूक्ष्मताएं हैं।

इनमें से पहला यह है कि कारें अगली पंक्ति की तुलना में अधिक माइग्रेट नहीं होंगी।
और वास्तव में: दो केंद्रीय गलियों में प्रवाह, स्पष्ट समरूपता के कारण, हमेशा लगभग समान घनत्व होना चाहिए, इसलिए ड्राइवरों के पास मध्य रेखा को पार करने का अधिक कारण नहीं होगा। किए गए अवलोकन से, यह निम्नानुसार है कि आंशिक पार्श्व प्रवाह के कारण होने वाले नुकसान के सूत्र में, एस 1 के बराबर है।

चूंकि मशीनें चरम लेन को छोड़ती हैं, दो केंद्रीय पंक्तियों में पुन: व्यवस्थित होती हैं, केंद्रीय बैंड के अंदर प्रवाह शक्ति धीरे-धीरे बढ़ती है, प्रत्येक मामले में पी / के साथ बदल रही है। करने के लिए 2 पी । इस प्रकार, दूसरी सूक्ष्मता पी की एक महत्वपूर्ण निर्भरता हैकक्ष substream से मैं : है, जो हमें लिख बनाता है

मैं _मैं = ( α / 2 ν ) ⋅ पी क्ष _मैं ⋅ (1 + 1 / एस ),
के रूप में:
मैं _मैं = ( α / 2 ν ) पी ( मैं ) ⋅ क्ष _मैं ⋅ (1 + 1 / एस )।
मामले में जब कई छोटे हिस्से जिनमें माइग्रेशन प्रवाह को विभाजित किया गया था वे सभी समान आकार के थे, निर्भरता p ( i ) एक रेखीय ग्राफ (चित्र 18) द्वारा व्यक्त की गई है।


अंजीर। 18

कुल नुकसान की तीव्रता की गणना करने के लिए, किसी को एकीकरण का सहारा लेना चाहिए, या (यह पूर्णांक फ़ंक्शन के विशेष रूप से सरल रूप में संभव बनाता है) पी ( i ) के रूप में ग्राफ पर औसत मूल्य 3 पी / 4 के बराबर ले । चूंकि प्रत्येक चरम पट्टी के किनारे से कुल प्रवास प्रवाह P / 2 है, इसलिए एक अलग विलय पर नुकसान की तीव्रता होगी:

I _मर्ज = 2 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ (3 P / 4) ⋅ ( P / 2)

= ( α ) / 2 ν ) 3 पी ² /4।

पता रिवर्स पेड़ पर एक ट्रैक में उत्पन्न एक अस्थायी नुकसान को खोजने के लिए सूत्र के लिए लागू है मैं _मर्ज प्रत्येक नोड इसे करने के लिए:

मैं _{t_merge} = (3/4) ⋅ ( α / 2 ν ) [1 ⋅ (1/2) ² + 2 ⋅ (1/4) ² + 4 ⋅ (1/8) ² + ... + ( n / 2) ⋅ (1 / n ) ² ]) +

(3/4) ⋅ ( α / 2 ν ) [1/4 + 1/8 + 1/16 + ...] =

= (3/8) ⋅ ( α / 2 ν ) [1/2 + 1/4 + 1/8 + ...] =

= (3/8) ⋅ ( α / 2 ν )।

विलय और प्रवाह को अलग करने के कारण टुकड़े के भीतर होने वाली कुल लागत होगी:

I _{t_merge} + I _{t_div2} = ( α / 2 ν ) [1 + 3/8] = 11/8 ( α / 2 ν )।

एक प्रारंभिक विभाजन लॉगरिदमिक नेटवर्क में केवल ऐसे एन टुकड़े होते हैं, और बिल्कुल एनइकाई प्रवाह अपने पते बिंदुओं द्वारा उत्पन्न होता है, इसलिए, हमने अभी जो मूल्य पाया है वह औसतन प्रति ट्रिप पर होने वाले स्विचिंग नुकसान के बराबर है।

वास्तव में, हमारे लिए यह अधिक महत्वपूर्ण नहीं है कि कोई विशिष्ट संख्या भी नहीं है, जो विशिष्ट स्विचिंग लागत के बराबर है, लेकिन यह तथ्य कि ये लागत बढ़ती हुई n के साथ स्थिर रहती है । बाद की परिस्थिति लॉगरिदमिक नेटवर्क को प्रारंभिक जुदाई के साथ सबसे अधिक किफायती बनाती है, जो कि हमारे द्वारा पहले पढ़े गए सभी प्रकार के नेटवर्कों के बीच स्विचिंग लॉस के संबंध में सबसे किफायती है।

दुर्भाग्य से, नेतृत्व के लिए "मुफ्त में" खर्च नहीं होता है। भारी संख्या में बहने के छोटे आकार के बावजूद, नेटवर्क में शामिल प्रत्येक पता ट्री में लगभग 2 n होता हैदो लेन सड़क किनारों और लगभग n पूर्ण स्विचिंग नोड्स। नेटवर्क में 2 एन पेड़ हैं, जिसका अर्थ है ओ ( एन ² ) किनारों और नोड्स, जो इसे न केवल सबसे किफायती बनाता है, बल्कि सभी उदाहरणों के बीच माना जाने वाला सबसे महंगा नेटवर्क भी है।

पार्श्व प्रवाह की राशि के लिए, इसका मूल्य, जैसा कि गणना करना आसान है, गति O ( n log2 n ) के साथ बढ़ता है और इस मामले में बहुत अधिक अर्थ नहीं रखता है।

प्रारंभिक पृथक्करण के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क
इकाई शक्ति के पते बिंदुओं की संख्या ........................................ ............ n
औसत यात्रा समय,
स्विचिंग लागत के कारण खो गया:
asymptotics ……………………………………। .................................................. .......... O (1)
सटीक मान .................................. .................................................. ........... 11/8 ( α / 2 ν )।
स्विचिंग नोड्स की संख्या ………………………………………। .................................. O ( n ² )
स्विचिंग नोड्स की संख्या पक्ष की शक्ति को ध्यान में रखते हुए प्रवाहित होती है ... ................ ओ ( एन लॉग ₂ एन )

लॉगरिदमिक संतुलित नेटवर्क

प्रारंभिक अलगाव के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क के संभावित उपयोग के साथ असाधारण रूप से छोटे स्विचिंग नुकसान, लेकिन साथ ही इसके निर्माण के लिए बहुत संसाधन-गहन, इसके डिजाइन को बदलने का कोई रास्ता खोजने की इच्छा पैदा करते हैं ताकि संसाधन की खपत काफी कम हो जाए, और स्विचिंग लागत में उल्लेखनीय रूप से वृद्धि न हो।

जाहिर है, नेटवर्क में सड़कों की एक बड़ी संख्या के लिए मुख्य अपराधी उनके उपयोग की बेहद कम दक्षता है। उत्तरार्द्ध को स्पष्ट रूप से चित्र 19 में देखा जा सकता है, जो प्रत्यक्ष पते के पेड़ के अंदर बहने वाले एक विस्तृत आरेख को दर्शाता है जो कि i- पता बिंदु से सटे है ।


अंजीर। 19

आरेख में, पेड़ के किनारे के ऊपर खड़ी संख्या किनारे के साथ गुजरने वाली यात्रा धारा की शक्ति को दर्शाती है, और नीचे अंतराल पते के बिंदुओं का समूह है जिसके बीच यह धारा अंततः वितरित की जाएगी। यह माना जाता है कि आरेख पर मौजूद सभी किनारों को दो-लेन राजमार्ग हैं, पेड़ की प्रत्येक पीढ़ी में किनारों की संख्या आंकड़े के नीचे इंगित की गई है।

करीब से निरीक्षण करने पर, आप देख सकते हैं कि जिस नियम से यात्रा प्रवाह को किसी विशेष नोड में विभाजित किया गया है, वह केवल पते के पेड़ के अंदर इस नोड की स्थिति से निर्धारित होता है और इन ट्रिप्स को जन्म देने वाले पते बिंदु की संख्या पर निर्भर नहीं करता है।

यदि एक ही बिंदु पर कई धाराओं को संबोधित किया जाता है, और उनमें से प्रत्येक इसके आवंटित पथ को भरने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली नहीं है, तो उन्हें एक साथ एक राजमार्ग पर क्यों नहीं जोड़ा जाए। वास्तव में, यह अनिवार्य रूप से सरल विचार एक अच्छा अमूर्त नेटवर्क बनाने के लिए संभव बनाता है, अपेक्षाकृत छोटे स्विचिंग नुकसान, और उपयोग की गई सड़कों की संख्या में किफायती है। I- वें बिंदु

के पते के पेड़ पर लौटते हुए , हम देखते हैं कि रूट नोड में प्रवेश करने वाली धारा को 1/2 की क्षमता वाले दो बच्चे धाराओं में विभाजित किया गया है। पहला स्टेपसन स्ट्रीम में अंतराल से बिंदुओं को संबोधित यात्राएं शामिल हैं [1; n / 2], दूसरा - अंतराल से बिंदुओं को संबोधित यात्रा [( n / 2) + 1;एन ]।
ऊपर उल्लिखित विचार के बाद, हम प्रत्येक विषम बिंदु पर एक ही प्रकार के स्टेपन्स को एकजुट करते हैं और एक पता संख्या का अनुसरण करते हुए एक समान संख्या के साथ। इस तरह की तकनीक प्रत्येक चयनित जोड़ी के लिए चार धाराओं के बजाय 1/2 की शक्ति के साथ केवल दो इकाइयों की एकरूपता (छवि 20) की अनुमति देती है। हम संक्षिप्त नाम BN ₂ [i देंगे ; मैं +1]।


अंजीर। 20

यदि स्टेप्सन प्रवाह संयुक्त नहीं थे, लेकिन फिर भी पता ट्री के अंदर थे, तो अगली पीढ़ी के नोड्स तक पहुंच गए, उनमें से प्रत्येक को फिर से दो भागों में विभाजित किया जाएगा, दोनों बिंदुओं के सेट की शक्ति और आकार में बराबर उनकी यात्रा के घटकों को संबोधित किया जाता है।

क्यों स्थापित परंपरा को तोड़ा जाए, क्योंकि एकीकरण के बाद भी हमारे पास धारा के प्रकार पहले जैसे ही हैं, लेकिन प्रत्येक प्रकार के केवल कुछ प्रतिनिधियों के साथ? - उत्पादन में से प्रत्येक पर लागू बीएन ₂ [i]; i +1] ठीक वैसा ही पृथक्करण नियम जो एड्रेस ट्री के अंदर अपने प्रकार की एक धारा पर लागू होगा।

ऐसा कोई कारण नहीं है कि समान प्रवाह के संयोजन-विभाजन के लिए ऊपर वर्णित तार्किक निर्माण को प्रेरणात्मक रूप से दोहराया नहीं जा सकता है। चित्रा 21 दो टुकड़े के संयोजन एक चित्र है
बी एन ₂ एक टुकड़ा बी एन में ₄ , और चित्रा 22 - सामान्य रूप में कैसे एल्गोरिथ्म दिखता है।


अंजीर। 21


अंजीर। 22

अंत में, टुकड़ों को बढ़ाने की प्रक्रिया पूरी हो जाएगी और हमें केवल तत्व बीएन _एन [1] तक ले जाएगा; एन ], हम इसे लॉगरिदमिक टाइप (छवि 23) के बैलेंस्ड नेटवर्क के रूप में कहेंगे।


अंजीर। 23

आइए इस नेटवर्क की जाँच करें कि उत्पन्न स्विचिंग घाटे की जटिलता और परिमाण के लिए।
संतुलित नेटवर्क निर्माण प्रक्रिया की आगमनात्मक प्रकृति के आधार पर, इसकी संरचना में शामिल स्विचिंग नोड्स की संख्या रिटर्न विवरण द्वारा वर्णित की जा सकती है:

नोड्स (बीएन _के ) = 2 नोड्स (बीएन _{के / २} ) + २ के ,

सीमा स्थिति के साथ:

नोड्स (बीएन ₁ ) = 0।

समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान कार्य है:

नोड्स (बीएन _एन ) = 2 एन लॉग ₂ एन ।

चूंकि बीएन _एन के निर्माण के लिए प्रेरण के लॉग ₂ एन चरणों की आवश्यकता होती है, प्रत्येक यात्रा लॉग ₂ एन पृथक्करण नोड्स और मर्जिंग नोड्स की एक ही संख्या के माध्यम से जाएगी, उन्हें अपने पथ में वैकल्पिक (चित्र 24)।


अंजीर। 24

प्रत्येक अलगाव नोड के भीतर उत्पन्न नुकसान:
( α / 2 ν ) ⋅ (1) 2/2 ।

प्रत्येक मर्ज नोड के भीतर उत्पन्न नुकसान:
( α / 2 ν ) ⋅ 3 1/2 (1/2) 2/4 = 3/16 ( α / 2 ν )।

यह देखते हुए कि बैलेंस्ड नेटवर्क में दोनों एन लॉग ₂ एन हैं , हमें कुल स्विचिंग नुकसान का सटीक मूल्य मिलता है:
11/16 ( α / 2 ν ) n लॉग ₂ एन ,

वह प्रति एक यात्रा है:
11/16 ( α / 2 ν ) लॉग ₂ एन

लॉगरिदमिक संतुलित नेटवर्क
इकाई शक्ति के पते बिंदुओं की संख्या ………………………………………। ....... एन
औसत यात्रा का समय
स्विचिंग लागत के कारण खो गया:
स्पर्शोन्मुख …………………………………………। .................................................. ... ओ (लॉग ₂ एन )
सटीक मान ………………………………………… ………………………………………… ११/१६ ( α / 2 ν ) लॉग ₂ एन
स्विचिंग नोड्स की संख्या ………………………………………। .................................. O ( n log ₂ n )
स्विचिंग नोड्स की संख्या, पक्ष की शक्ति को ध्यान में रखते हुए प्रवाहित होती है ................... O ( n log ₂ n )

ऊपर दिए गए आंकड़े बैलेंस्ड नेटवर्क को पेश किए गए समय की हानि और समग्र संरचनात्मक जटिलता के बीच एक अच्छा समझौता माना जा सकता है। एक वास्तविक शहर के सड़क नेटवर्क के रूप में इसका उपयोग सिद्धांत रूप में संभव है, लेकिन आर्थिक रूप से संभव है। मुझे ऐसा लगता है कि जिस क्षेत्र में बैलेंस्ड नेटवर्क का उपयोग वास्तव में बहुत लाभकारी हो सकता है, वह बड़े पैमाने पर सूचना प्रणाली है जिसमें सिग्नल देरी की मात्रा के लिए कड़े आवश्यकताओं के साथ, जैसे सेलुलर संचार, इंटरनेट, वितरित कंप्यूटिंग, मल्टीप्रोसेसर कंप्यूटर शामिल हैं। हमारे लिए, बैलेंस्ड नेटवर्क का मुख्य मूल्य वह विधि है जिसके द्वारा इसे बनाया गया था। थोड़ी देर बाद, इस पद्धति के एक संशोधन का उपयोग करके, हम रैखिक और सेलुलर केंद्रों के नेटवर्क में सुधार करने में सक्षम होंगे जो वास्तव में व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण हैं।

ऐतिहासिक शहर ट्रैफिक जाम के लिए क्यों बर्बाद होते हैं

मेरा बयान अप्रत्याशित लग सकता है, लेकिन क्यों स्वाभाविक रूप से विकासशील शहर, आमतौर पर ट्रैफिक जाम से पीड़ित हैं, इसका जवाब हमें पिछले पैराग्राफ में पहले ही मिल गया था। तो इसमें क्या शामिल है?

तथ्य यह है, कई ऐतिहासिक शहर जो मध्ययुगीन किले के युग से बच गए थे (उदाहरण के लिए, "पुरानी दुनिया" की लगभग सभी राजधानियां) इस समय सड़कों की रेडियल संरचना से विरासत में मिलीं। दुर्भाग्य से (उनके आधुनिक निवासियों के लिए), एक समान टोपोलॉजी वाला सड़क नेटवर्क अच्छी तरह से पैमाने पर नहीं होता है: केंद्र के पास रेडियल सड़कों का घना स्थान परिधि पर बहुत दुर्लभ हो रहा है। नतीजतन, जनसंख्या वृद्धि की प्रक्रिया में, जो सड़कें शुरू में किले तक जाने वाली कुछ सड़कों के किनारे पर स्थित थीं, वे बड़ी हो गईं और परिधि पर दिखाई देने वाली सड़कें छोटी थीं और चौड़ाई बढ़ने के लिए पर्याप्त पारगमन महत्व नहीं प्राप्त किया। नतीजतन, सड़क नेटवर्क जिसे हम अब बड़े ऐतिहासिक शहरों में देखते हैं, वह अक्सर धमनी-प्रकार के परिवहन प्रणालियों को संदर्भित करता है, और हमारी शब्दावली में - प्रारंभिक अपूर्ण विलय के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क के प्रकार के लिए।


(मास्को सड़कों, फोटो: Stepanov स्लाव)

यदि हम उस मार्ग की लंबाई के बारे में बात करते हैं जिसे एक ड्राइवर को सड़कों पर चलाना चाहिए, तो इस प्रकार के नेटवर्क का कार्यान्वयन खराब नहीं है: अक्सर यात्रा की जाने वाली दूरी सीधी रेखा की दूरी से बहुत कम होती है, और शहर में इसका औसत मूल्य, जैसा कि यह "सभ्य" परिवहन प्रणालियों के लिए होना चाहिए। , O (√ n ) की दर से बढ़ता है। पूरी परेशानी यह है कि प्रारंभिक विलय के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क पर शहर के विस्तार के साथ, इसके द्वारा उत्पन्न स्विचिंग लागत बहुत तेज़ी से बढ़ती है: जिस समय यात्रा उनके लिए औसत रूप से विस्तारित की जाती है, वह ओ ( एन) के रूप में शहर में रहने वाले लोगों की संख्या पर निर्भर करता है। )। यह स्पष्ट है कि कुछ एन से शुरू होकर, यह समय दूरी को दूर करने के लिए स्पष्ट समय पर प्रबल होगा, दूसरे शब्दों में, शहर में ट्रैफिक जाम दिखाई देगा।

इसमें कोई संदेह नहीं है, बड़े ऐतिहासिक शहरों में परिवहन प्रणाली का पुनर्गठन एक ऐसा कार्य है जिसे हल किया जा सकता है। हालांकि, यहां यह समझना महत्वपूर्ण है कि दूसरे, दो या पांच बड़े परिवहन धमनियों का निर्माण, भले ही शहर में स्थिति में थोड़ा सुधार हो, लेकिन ट्रैफिक जाम का मूल कारण समाप्त नहीं होगा। जाहिर है, प्रारंभिक विलय के साथ लॉगरिदमिक नेटवर्क की कमियों को दूर करने का एकमात्र तरीका दूसरे नेटवर्क का उपयोग करना है। यहां एक अच्छा उम्मीदवार सेलुलर टोपोलॉजी के साथ एक नेटवर्क हो सकता है, जिसके लिए दूरी को कवर करने के लिए समय की वृद्धि दर, कम से कम, स्विचिंग घाटे की वृद्धि दर के साथ मेल खाता है।


(रात बर्लिन, फोटो: विंसेंट लाफोरेट)

शायद यही वजह है कि आधुनिक बर्लिन, हालांकि इसमें बड़े धमनी राजमार्ग हैं, पहले से ही स्पष्ट रूप से दिखाई देने वाली जाली संरचना द्वारा प्रतिष्ठित है।

ऐतिहासिक शहरों के निवासियों को अधिक मोबाइल बनाने के तरीके पर दुनिया में कई दिलचस्प समाधान हैं, लेकिन परिवहन पहुंच के संघर्ष में मुख्य पुरस्कार शायद बार्सिलोना के इंजीनियरों को दिया जाना चाहिए।


(बार्सिलोना अपडेटेड रोड नेटवर्क, फोटो: विंसेंट लाफोरेट)

रैखिक और सेलुलर सिटी नेटवर्क पर एक विस्तृत नज़र

विश्लेषण विधियों को पाया गया और अमूर्त नेटवर्क पर परिष्कृत होने के बाद, उन्हें रैखिक और कोशिका विज्ञान के साथ शहरों के अधिक यथार्थवादी मामलों में लागू करने का समय था। इस खंड में हम उनके परिवहन लिंक की विशेषताओं का विस्तार से विश्लेषण करने की कोशिश करेंगे, स्विचिंग लॉस तीव्रता की संख्यात्मक मान की स्थापना करें, पता करें कि इसका मूल्य क्वार्टर के आकार पर कैसे निर्भर करता है, और संभावित बदलावों और सुधारों पर चर्चा करें।

रैखिक शहर
इस बार, एक शहर के एक उदाहरण पर विचार करें जिसमें दो एक-तरफ़ा सड़कें हैं: पश्चिम उत्तर की ओर एक आंदोलन के साथ और पूर्व दक्षिण के लिए एक आंदोलन के साथ (चित्र। 25)।


अंजीर। 25

प्रत्येक तिमाही को इकाई शक्ति की यात्रा की एक धारा उत्पन्न करने दें। इस स्थिति में, 1 / n ट्रैफ़िक प्रवाह के लिए एक यात्रा मार्ग एक ब्लॉक से दूसरे खाते में जाता है।

हम शुरुआत के लिए परिभाषित करते हैं कि सड़क राजमार्गों पर साइड फ्लो की शक्ति है। पश्चिम
गली मैं से संख्या के साथ क्वार्टर में जाने के लिए एकमात्र रास्ता है
( n - i ) क्वार्टर इसके दक्षिण में स्थित है, और एकमात्र रास्ता जिससे तिमाही से मैं इसके उत्तर में स्थित ( i - 1) क्वार्टर तक पहुँच सकता हूँ। यह निम्नानुसार है कि Zapadnaya Street और i- th क्वार्टर के बीच ट्रैफिक एक्सचेंज की क्षमता बराबर है:

पश्चिम की ओर जाने वाली साइड स्ट्रीम के लिए q _{W_out} = ( n - i ) / n -
q _{W_in} = ( i - 1) / n - उस पर आंदोलन से सटे साइड स्ट्रीम के लिए। यह स्पष्ट है कि साइड की शक्ति वोस्तोचनया स्ट्रीट पर बहती है जो एक सममित तरीके से i पर निर्भर करता है:
q _{E_out} = ( i - 1) / n एक छोड़ने की शक्ति है,
q _{E_in} = ( n - i ) / n ईस्ट स्ट्रीट पर ट्रैफ़िक से सटे साइड स्ट्रीम की शक्ति है।

बेशक, प्रवाह की राशि i- वें तिमाही को छोड़कर:

q _{E_in} + q _{W_in} = ( n - 1) / n ,
इसमें प्रवेश करने वाले प्रवाह के योग से मेल खाता है:
q _{E_out} + q _{E_out} = ( n - 1) / n ,
और ये दोनों मूल्य किसी भी तरह से मुझ पर निर्भर नहीं करते हैं (प्रत्येक तिमाही में 1 / n परिमाण का एक यात्रा प्रवाह है, जो दोनों स्वयं के भीतर शुरू और समाप्त होते हैं)।

मुख्य प्रवाह की शक्ति का पता लगाने के लिए, हम पश्चिमी राजमार्ग पर एक काल्पनिक रेखा खींचते हैं जो i- th तिमाही के साथ समान स्तर पर है। कुल मिलाकर, यह रेखा पार कर जाएगी:
(नीचे से तिमाहियों की संख्या) × (ऊपर से तिमाहियों की संख्या) = ( n - i ) ( i - 1) मार्गों के साथ मिलकर मान के साथ एक धारा बनाते हैं:

P _W ( i ) = ( n - i ) ( i - 1) / n

एक ही सूत्र:
(नीचे से क्वार्टरों की संख्या) × (ऊपर से क्वार्टरों की संख्या) / n ,
व्यक्त किया जाना चाहिए और पावर पी _ई ट्रैफिक का प्रवाह पूर्व सड़क पर, दूसरे शब्दों में:

P _E ( i ) = P _W ( i ) = P ( i )।

सभी मुख्य और साइड फ्लो की शक्ति को जानने के बाद, हम i- th तिमाही के पास के क्षेत्र में नेटवर्क में होने वाले नुकसान की तीव्रता की गणना कर सकते हैं:

I ( i ) = ( α / 2 ν ) i P ( i ) q [( q _{E_in} + q _{W_in} ) _{_} (1 + 1 / s ) + ( q _{E_out} + q _{E_out} ) ⋅ (1 - 1 / s )] =
= ( α / 2 ν ) P ( i ) ([(1 - 1 / n ) ⋅ (1 + 1 / s ) + (1 - 1 / n ) ⋅ (1 - 1 / s )] =
= ( α / 2 ν ) 2 P ( i ) 1 (1 - 1 / n ) =
= 2 ( α / 2 ν ) ((1 - 1 / n ) / ( n - i ) ( i - 1 / n / =)
= 2 ( α / 2 ν ) ((1 - 1 / n ) n ( n - i ) 1 ( i - 1) / (1 / n )।

यदि हम अंतिम अभिव्यक्ति को i पर जोड़ते हैं , तो हमें पूरे नेटवर्क द्वारा एक पूरे के रूप में उत्पन्न नुकसान की तीव्रता मिलती है।

I = _{I i} I ( i )
= = _I 2 ( α / 2 ν ) 1 (1 - 1 / n ) ⋅ ( n - i ) 1 ( i - 1) ((1 / n ) =
= 2 ( α / 2 ν ) ((1 - 1 / n ) ⋅ n ² ⋅ / _i (1 - i / n ) ⋅ ( i / n - 1 / n ) / (1 / n ) /
≈ 2 ( α / 2 ν ) ⋅ n ² ∑ α _i ( i / n ) ⋅ (1 - i / n ) α (1 / n )।

योग _{1 i} ( i / n ) ∑ (1 - i / n ) 1 (1 / n ) अभिन्न के साथ अच्छी सटीकता के साथ अभिन्न के साथ बदला जा सकता है:

∫ t (1 - t ) d t ( t ; [0; 1]) = 1/2 - 1/3 = 1/6।

इकाई क्षमता के एन ब्लॉक वाले रैखिक शहर में घाटे को बदलने की तीव्रता कहां है:

I = ( α / 2 ν ) n 2/3।

इस क्षण तक, हमने केवल उदाहरणों पर विचार किया जिसमें क्वार्टर ने हमेशा इकाई शक्ति के प्रवाह को उत्पन्न किया। आइए देखें कि क्या प्रत्येक तिमाही के लिए यूनिट पावर का एकल स्रोत नहीं होने पर रैखिक शहर के स्विचिंग घाटे का सूत्र बदल जाता है, लेकिन - λ (क्वार्टर λ गुना बड़ा हो जाएगा)।

M ब्लॉकों वाला शहर लें। यदि ब्लॉक उत्पन्न बिजली 1 प्रवाहित होती है, तो स्विचिंग हानियाँ ( α / 2 ν ) m 2/3 होगी। हर तिमाही λ के एक कारक द्वारा यात्रा उत्पादन शक्ति में वृद्धि से मुख्य और पक्ष दोनों के λ में एक साथ वृद्धि होती है, इसलिए, प्रत्येक इंटरचेंज पर लागत, और इसलिए एक पूरे के रूप में नेटवर्क के अंदर, ^{2 के} एक कारक द्वारा वृद्धि होती है, और नुकसान का सूत्र बनता है:

I = ( α / 2 ν ) m ^{2 2} λ 2/3 ।

तब तक और बड़े पैमाने पर, यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि स्विचिंग घाटे शहर में क्वार्टरों की संख्या पर कैसे निर्भर करते हैं, हमारे लिए मुख्य बात यह है कि वे इसके अंदर उत्पन्न सभी यात्राओं के बिजली प्रवाह पर, या दूसरे शब्दों में, यूनिट पावर स्रोतों की संख्या n पर कैसे निर्भर करते हैं। विचाराधीन मामले में, n m , λ के बराबर है, इसलिए:

I = ( α / 2 ν ) m ² λ λ 2/3 =
= ( α / 2 ν ) ( m ) λ ) 2/3 =
= ( α / 2 ν ) n 2/3।

दूसरे शब्दों में, लीनियर सिटी में स्विचिंग लॉस अपने डिवीजन के क्वार्टर में छोटेपन पर निर्भर नहीं करता है।

सेल सिटी
एक सेलुलर शहर की कल्पना करें, जिसमें विभिन्न स्तरों पर लम्बवत सड़कों को ऊँचाई पर फैलाया गया हो। यह संभव है, उदाहरण के लिए, यदि उत्तर से दक्षिण की ओर जाने वाली सभी सड़क सड़कों को पुलों पर उठाया जाता है, और पश्चिम से पूर्व तक फैली सड़कें पृथ्वी की सतह पर बनाई जाती हैं। यदि, इसके अलावा, सभी सड़कों पर दो-तरफ़ा ट्रैफ़िक है, तो ऐसे शहर में रोड मैप को मानक सेलुलर टोपोलॉजी (चित्र 26) के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

यहाँ बिंदु, ज़ाहिर है, उपरोक्त वर्णित नेटवर्क को व्यवहार में गंभीरता से नहीं लाने के लिए है: यह शहर के परिदृश्य की पृष्ठभूमि के खिलाफ बहुत अधिक सौंदर्यवादी रूप से प्रसन्न नहीं होगा और, इसके अलावा, बहु-स्तरीय इंटरचेंज की आवश्यकता के कारण, यह सड़क अंतरिक्ष का एक अच्छा आधा खा जाएगा। फिर भी, यह विशुद्ध रूप से काल्पनिक नेटवर्क आवश्यक अनुमान प्राप्त करने का एक अच्छा तरीका है, जिसे बाद में आसानी से सड़क नेटवर्क तक बढ़ाया जा सकता है जो वास्तविक शहरों में उनकी प्रयोज्यता के दृष्टिकोण से वास्तव में दिलचस्प हैं।

हमेशा की तरह, हम मान लेंगे कि निवासियों की प्रवासी जरूरतों को "समान पहुंच" मॉडल द्वारा वर्णित किया गया है, और हम उस मामले के साथ अपना विचार शुरू करेंगे जब एक अलग तिमाही द्वारा उत्पन्न सभी यात्रा प्रवाह की क्षमता 1 है।

मानक सेलुलर सिटी के साथ उदाहरण में, स्थापित परंपरा से दूर जाना और पते के बिंदु को एक अलग तिमाही के रूप में नहीं, बल्कि एक चौकोर आकार के एक प्रादेशिक क्षेत्र के रूप में माना जाता है, जो सड़क राजमार्गों के चौराहे और उससे सटे सभी पड़ोसों के एक चौथाई हिस्से पर कब्जा करता है। चित्र 27 ऐसे कई क्षेत्रों की सापेक्ष स्थिति को दर्शाता है और उनमें से एक के अंदर एक यातायात पैटर्न दिखाता है। यह आरेख स्पष्ट रूप से दिखाता है कि किसी भी चालक, क्वार्टर को छोड़कर, राजमार्ग पर प्राप्त करने का अवसर है, जो दुनिया के चार भागों में से किसी एक की दिशा में आगे बढ़ रहा है।


अंजीर। 26

शहर द्वारा उत्पन्न स्विचिंग लागतों के मूल्य का पता लगाने के लिए, हम इसके प्रत्येक प्रादेशिक क्षेत्र के भीतर सभी मुख्य और पक्ष प्रवाह की शक्ति की गणना करते हैं। ज़ोन की आकृति और पारस्परिक व्यवस्था हमें पिछली समस्या को हल करने के लिए एक शतरंज सादृश्य का सहारा लेने की अनुमति देती है, जोनों को क्षेत्र की कोशिकाओं के रूप में देखते हैं, और उनके बीच कारों की आवाजाही - नाव की चाल (चित्र 27)। एक सेल से दूसरे सेल में, बशर्ते कि वे एक दूसरे के लिए "सामान्य स्थिति" में हों, किश्ती को दो चालों में स्थानांतरित किया जा सकता है, और यदि दोनों सेल एक ही क्षैतिज या एक ऊर्ध्वाधर पर झूठ बोलते हैं, तो एक में।


अंजीर। 27

कई असुविधाजनक आरक्षणों से बचने के लिए, हम मानते हैं कि जिस दिशा में बदमाश कहीं नहीं जाते हैं वह भी हमारे नियमों के अनुसार स्वीकार्य है। रूक मूवमेंट मार्ग, जिसमें दो चालें शामिल हैं, जिनमें से एक को आवश्यक रूप से लंबवत और दूसरे क्षैतिज रूप से किया जाता है, सबसे सरल कहा जाता है। यह एक ही समय में ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज दोनों "चाल" पर विचार करने के लिए उचित है। इस मामले में, यह कथन सही है कि बोर्ड पर कोई भी दो कोशिकाएँ एक-दूसरे से बिल्कुल अलग दो सरल मार्गों से जुड़ी होती हैं।

ड्राइवरों के लिए, "सबसे सरल" मार्ग एक क्षेत्रीय क्षेत्र से दूसरे में न्यूनतम हस्तक्षेप के साथ सबसे आसान तरीका है, इसलिए यह मान लेना उचित है कि वास्तविक यात्राएं प्राथमिक मार्ग लाइनों के साथ होंगी। पता बिंदु (प्रादेशिक क्षेत्र) द्वारा उत्पन्न "समान पहुंच" के मॉडल के अनुसार, इकाई शक्ति का प्रवाह शहर के सभी n = d ² पते बिंदुओं के बीच समान रूप से वितरित किया जाना चाहिए, इस प्रकार एक मार्ग रेखा के साथ यात्रा करने वाली यात्रा स्ट्रीम की क्षमता 1 / (2 n ) है।

हम दक्षिण से उत्तर की दिशा में सेल ( i , j ) से होकर किस परिमाण में आते हैं, इसके प्रवाह की गणना करते हैं। सबसे सरल मार्ग केवल दो स्थितियों में दक्षिण से उत्तर की ओर सेल ( i , j ) को पार करता है। उनमें से पहली (बाईं ओर की छवि 28):

1 ए) मार्ग का प्रारंभिक सेल अंतिम ( डी - आई ) समोच्च लाइनों (लाइनों) में से एक में स्थित है;
2a) मार्ग का अंतिम बिंदु j- th वर्टिकल (कॉलम) की पहली ( i - 1) कोशिकाओं में से एक है;
3 ए) मार्ग क्षैतिज खंड से शुरू होता है, या पूरी तरह से जे- वें कॉलम के अंदर होता है।


अंजीर। 28

दूसरी स्थिति का वर्णन करने वाली स्थिति सममित दिखती है (दाईं ओर छवि 28):

1 बी) मार्ग का प्रारंभिक बिंदु जेथ वर्टिकल की अंतिम ( डी - आई ) कोशिकाओं में से एक है;
2 बी) मार्ग की अंतिम सेल पहले ( i - 1) आकृति में से एक में है
3 बी) मार्ग एक ऊर्ध्वाधर खंड से शुरू होता है, या पूरी तरह से जे- वें कॉलम के अंदर स्थित होता है।

चेसबोर्ड पर केवल 2 × [ d i ( i - 1) + 1 ess ( i - 1)] × ( d - i ) सबसे सरल मार्गों की आवश्यकताओं के लिए उपयुक्त है, जो एक साथ मिलकर एक विद्युत प्रवाह बनाते हैं:

P _SN ( i , j ) = ( d + 1) i ( i - 1) d ( d - i ) / n (= P _SN ( i ))।

फिक्सिंग जे , हम फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं

( P _SN ) _j ( i ) = P _SN ( i , j = Const),

शहर में ऊपरी सीमा से दूरी पर j- वें ऊर्ध्वाधर राजमार्ग के साथ उत्तर की ओर बढ़ने वाली धारा की शक्ति की निर्भरता का वर्णन करते हुए, कोशिकाओं में मापा जाता है।
फ़ंक्शन ( P _SN ) _j ( i ) के बारे में कई या कम स्पष्ट अवलोकन हैं, आइए उन पर चर्चा करें।

हम शुरू करते हैं, शायद, एक ऐसी परिस्थिति के साथ जिसे अनदेखा करना मुश्किल होगा: पी _एसएन ( आई , जे ) वास्तव में दूसरे तर्क से स्वतंत्र है। नतीजतन, फ़ंक्शन ( पी _एसएन ) _जे ( आई ) = पी _एसएन ( आई ) जे के सभी मूल्यों के लिए एक ही रूप है, दूसरे शब्दों में, सेलुलर सिटी के अंदर सड़क की विशिष्ट स्थिति इसके लोड को प्रभावित नहीं करती है। औपचारिक रूप से, अंतिम कथन केवल उत्तर की ओर जाने वाले राजमार्ग के लिए सिद्ध होता है, लेकिन शहर की समरूपता के कारण यह स्वचालित रूप से अन्य दिशाओं के राजमार्ग तक भी फैलता है।

अब आइए P _SN ( i ) के सूत्र को देखें:

( d + 1) ⋅ ( i - 1) d ( d - i ) / (2 n )।

जैसा कि हम देखते हैं, i पर P _SN की पूरी निर्भरता अभिव्यक्ति में निहित है ( i - 1) ⋅ ( d - i )। इस अभिव्यक्ति को दाएं और बाएं अंतराल की लंबाई के उत्पाद के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसमें i- th तत्व के समाप्त होने के बाद लंबाई d का पूर्णांक खंड इससे अलग हो जाता है (चित्र। 29 ए)।


अंजीर। 29a


अंजीर। 29b

यह स्पष्ट है कि यदि आप "दाएँ" को "बाएँ" और "बाएँ" को "दाएँ" (चित्र 29b) में बदलते हैं, तो कार्य का परिणाम वही रहेगा। इस तरह के एक सरल अवलोकन से, संक्षेप में, दो निष्कर्ष हैं जो हमारे लिए बहुत उपयोगी हैं:

1. फ़ंक्शन पी _एसएन ( i ) सड़क के मध्य बिंदु के सममित है i = ( d + 1) / 2, दूसरे शब्दों में, शहर की निचली सीमा से दूरी, पर प्रवाह शक्ति ठीक उसी तरह है जैसे ऊपरी सीमा से दूरी i ।
2. कुल मिलाकर, शहर अपने आप में सममित रूप से ऊपर और नीचे है, इसलिए, फ़ंक्शन ( P _NS ) _j ( i ) प्राप्त करने के लिए, जो कि j- th राजमार्ग पर बिजली प्रवाह का वर्णन करता है, लेकिन एक संक्षिप्त दिशा में, यह केवल फ़ंक्शन ग्राफ ( P _{SN) को} दर्पण करने के लिए पर्याप्त है ) _j ( i ) पंक्ति में i = ( d + 1) / 2। चूंकि ( पी _एसएन ) _जे ( आई ) = पी _एसएन ( आई ), और पी _एसएन ( आई ) का ग्राफ लाइन के संबंध में i = ( डी + 1) / 2 सममित है, तो ( पी _एनएस ) _जे ( आई ) = पी _एसएन ( i) ) = पी _{वर्टिकल} ( i ), दूसरे शब्दों में, शहर में कहीं भी प्रत्यक्ष और आने वाले यातायात प्रवाह की समान शक्ति है। P _SN ( i ) का अनुमानित ग्राफ चित्र 30 में दिखाया गया है (यह माना जाता है कि d >> 1, i >> 1, d - i >> 1)।

अंजीर। 30

क्षैतिज राजमार्गों के साथ मुख्य प्रवाह की शक्तियां आसानी से घूर्णी समरूपता का उपयोग करते हुए पाई जाती हैं; औपचारिक रूप से, यह प्रक्रिया पी _एस ( i ) में j द्वारा i के सरल प्रतिस्थापन और निचले सूचकांक के एक छोटे संस्करण में उबलती है।

अगली बात यह है कि पक्ष प्रवाह की शक्ति का पता लगाना है। सेल ( i , j ) के अंदर एक ऊर्ध्वाधर राजमार्ग पर ट्रैफ़िक में या उससे बाहर जाने वाली यात्रा को आसानी से चार श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है:

1. q _{in_transit} : — i - , — j - , ( i , j ) ( 31a);
2. q _{out_transit} : — j - , ( i , j ), — i - ( 31b);
3. q _in : — ( i , j ), — i - ( 31c);
4. q _out : — i - . — ( i , j ) ( 31d).

अंजीर। 32: abcd

प्रत्येक अलग श्रेणी से संबंधित रूट लाइनों की संख्या में वृद्धि करती है, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सभी चार प्रवाह की शक्तियां समान और समान हैं:

q ₀ = d ⋅ ( d - 1) / (2 n )

जिसमें मुख्य और पक्ष प्रवाह की शक्तियों का मान हो। एक ऊर्ध्वाधर राजमार्ग पर, उनके स्विचिंग से उत्पन्न लागतों की मात्रा की गणना करना मुश्किल नहीं है। एक एकल कोशिका के भीतर ( मैं , जे :) लागत के बराबर हो जाएगा

मैं _Vert ( मैं , जे ) = ( α / 2 ν ) ⋅ पी _Vert( मैं ) ⋅ [( क्ष _में + क्ष _{in_transit} ) ⋅ (1 + 1 / एस ) + ( क्ष _बाहर + क्ष _{out_transit} ) ⋅ (1 - 1 / s )] =
= 4 ( α / 2 ν ) ⋅ ( घ + 1) ( मैं - 1) ( घ - मैं ) ⋅ घ ( घ - 1) / 2 n ² ≈
≈ 2 ( α / 2 ν) ⋅ घ ⁵ ⋅ ( मैं / घ ) (1 - मैं / घ ) ⋅ (1 / घ ) ⁴ =
= 2 ( α / 2 ν ) ⋅ घ ² ⋅ ( मैं / घ ) (1 - मैं / घ ) ⋅ (1 / डी )।

पूरे शहर में खड़ी सड़कों द्वारा उत्पन्न लागत लगाने के लिए, आप योग करने के लिए की जरूरत है मैं की _Vert ( मैं , जे) दोनों सूचकांकों के लिए:

मैं _Vert = Σ _ij मैं _Vert ( मैं , जे ) =
= 2 ( α / 2 ν ) ⋅ घ ² ⋅ Σ _ij ( मैं / घ ) (1 - मैं / घ ) ⋅ (1 / घ ) ।

के बाद से मामले की भयावहता पर निर्भर नहीं करता j , पर दूसरा सूचकांक बराबर गुणा अधिक राशि घ :

Σ _ij ( मैं / घ) (1 - मैं / घ ) ⋅ (1 / घ ) = घ ⋅ Σ _मैं ( मैं / घ ) (1 - मैं / घ ) ⋅ (1 / घ )।

पिछले योग परिचित अभिन्न इसका अनुमान लगाया जा सकता है:

Σ _मैं ( मैं / घ ) (1 - मैं / घ ) ⋅ (1 / घ ) ≈ ∫ टी (1 - टी ) घ टी ( टी∈ [0; 1]) = 1/2 - 1/3 = 1/6।

जिसका मतलब है कि

मैं _Vert = ( α / 2 ν ) ⋅ घ ³ /3 = ( α / 2 ν ) ⋅ n √ n / 3।

जब उनसे पूछा गया कि क्या लागत के स्तर पर है मैं _horiz , क्षैतिज राजमार्ग पर होने वाली है, समरूपता का उपयोग कर शहर जवाब कर सकते हैं:

मैं _horiz = मैं _Vert = ( α / 2 ν ) ⋅ n √ n / 3।

इस प्रकार, नेटवर्क शहरों में मानक कोशिका के भीतर घाटे स्विचिंग की तीव्रता है:

मैं = मैं _Vert + मैं _horiz = 2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ n √ n ,

और प्रति व्यक्ति औसत यात्रा की लागत मूल्य में गिरावट

2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ √ n

सेल के आकार का प्रभाव स्विचिंग नुकसान की राशि से
यूनिट पावर के प्रवाह उत्पन्न करने वाले क्वार्टर समस्या की स्थितियों के बजाय कृत्रिम सीमा हैं। हम मामलों के ऊपर प्राप्त परिणामों का विस्तार करते हैं जब एक प्रादेशिक सेल द्वारा उत्पन्न यात्रा प्रवाह की शक्ति λ के बराबर होती है ।
शहर से मिलकर चलो मीटर ऐसी कोशिकाओं। यदि सभी कोशिकाओं केवल एक ही शक्ति थी, समग्र स्विचिंग नुकसान की तीव्रता की राशि मैं ₁ = 2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ मीटर √ मीटर । Λ में λ बार द्वारा किए गए ट्रिप की संख्या में वृद्धिसमय सड़क राजमार्गों के सभी मुख्य और साइड स्ट्रीम की शक्ति को बढ़ाएगा, जिसके कारण शहर के भीतर उत्पन्न सभी स्विचिंग लागतों को बढ़ाने के लिए λ ² बार होगा । तीव्रता के नुकसान के लिए नया फार्मूला जिससे हो जाता है:

मैं = 2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) λ ² ⋅ मीटर √ मीटर

मान लिया जाये कि सेल के होते हैं λ इकाई सत्ता पर पता अंक, इस तरह के अंकों की कुल संख्या हो जाएगा: n = λ मी । आइए मैं n और λ के एक समारोह के रूप में व्यक्त करता हूं :

I2/3 = ⋅ ( α / 2 ν ) λ ² ⋅ मीटर √ मीटर =
= 2/3 ⋅ ( α / 2 ν ) ⋅ √ λ ⋅ ( λ √ λ ) ⋅ ( मीटर √ मीटर ) =
= 2/3 ⋅ √ λ ( α / 2 ν ) ⋅ ( λ मीटर ) √ ( λ मीटर ) =
= 2/3 ⋅√ λ ( α / 2 ν ) ⋅ n √ n ।

करने के लिए नई शर्तों का गठन 2/3 औसत लागत यात्रा के कारण ⋅ √ λ ( α / 2 ν ) ⋅ √ n , √ में किया जा रहा λ एक भी बिजली ब्लॉक से संकलित उनके में मान की तुलना में गुना बड़ा।

अंतिम सूत्र हमें बताता है कि एक ही आबादी, जनसंख्या घनत्व और सभी सड़कों के कुल क्षेत्रफल के लिए, स्विचिंग की लागत अधिक है, शहर को डिजाइन करने के समय बड़ा क्वार्टर इसके वास्तुकार द्वारा चुना गया था। इस घटना में कि शहर की आबादी असमान रूप से अपने क्षेत्र में वितरित की जाती है, निश्चित रूप से, ज्यामितीय आयामों पर ध्यान नहीं दिया जाना चाहिए, लेकिन मुख्य रूप से तिमाही के भीतर औसत लोगों की संख्या और उनकी प्रवास गतिविधि।


(न्यूयॉर्क सिटी सेंटर की तस्वीर: विंसेंट लाफोरेट)

ऊपर की टिप्पणी विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जब गगनचुंबी इमारतों वाले क्षेत्रों को डिजाइन करना। एक उच्च जनसंख्या घनत्व और इसकी उच्च गतिशीलता के संयोजन के कारण, उच्च ऊंचाई वाले क्षेत्रों में क्वार्टर बनाने के लिए यह वांछनीय है कि मानक मंजिला इमारत के लिए सामान्य आकार से कई गुना छोटा है। सभ्यताओं में, जहां गगनचुंबी निर्माण का एक लंबा इतिहास है, एक ब्लॉक के रूप में भी अलग-अलग बड़ी इमारतों को अलग करने की प्रथा व्यापक है।

ट्रैफिक लाइट सेलुलर सिटी
प्रत्येक मामले में, जब दो व्यस्त सड़कों की रेखाएं मानचित्र पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो आर्किटेक्ट को एक विकल्प बनाना चाहिए: या तो पुल पर इनमें से एक सड़क को उठाएं, दूसरे के प्रवाह को नीचे से स्वतंत्र रूप से पारित करने की अनुमति दें, या एक नियमित चौराहे के रूप में चौराहे का एहसास करें, और प्रवाह संघर्ष को हल करें। विनियमन। दूसरा विकल्प इसकी सादगी के साथ आकर्षित करता है, बड़े पैमाने पर इंजीनियरिंग संरचनाओं के निर्माण की आवश्यकता की कमी, और इसके अलावा, यह पैदल चलने वालों के लिए सड़क पार करने का एक आसान तरीका प्रदान करता है, इन कारणों से शहरों में वे अक्सर इसे पसंद करते हैं।


(डाउनटाउन लॉस एंजेलिस दोपहर, फोटो: बोरिस शीन)

सेल टोपोलॉजी वाले नेटवर्क में ट्रैफिक लाइट के उपयोग की अपनी विशेषताएं हैं। अध्याय 1 में, यह दिखाया गया था कि ट्रैफिक लाइट, कारों के उचित सिंक्रनाइज़ेशन के साथ, जब वे एक ही सड़क पर जा रहे हों, तो चौराहों पर रुकना भी नहीं चाहिए: एक हरी रोशनी हमेशा उनकी दिशा में प्रकाश करेगी। इस तरह की घटना को आमतौर पर हरी लहर शासन कहा जाता है । इसे बनाने के लिए, ट्रैफिक प्रवाह को दो प्रकार के दो वैकल्पिक क्षेत्रों में विभाजित किया जाना चाहिए: कारों से भरा हुआ और उनमें से मुक्त। इसके बाद, ट्रैफिक लाइट के संचालन की ऐसी विधा का चयन किया जाता है कि उस समय की अवधि में जब अगला "भाग" चौराहे से किसी एक गली से गुजरता है, कारों का पिछला भाग लंबवत सड़क पर पहले से ही गुजर चुका होता है, और अगला भाग अभी तक नहीं आया है (चित्र 33)।


अंजीर। 33

ग्रीन मोड में यातायात चलाने की क्षमता अपनी लागत वहन करती है और शहर की सड़कों के लेआउट पर कुछ प्रतिबंध लगाती है।

चित्र 33 को फिर से देखते हुए, यह देखना आसान है कि किसी भी समय सभी सड़कों के क्षेत्र का आधा हिस्सा वास्तव में उपयोग नहीं किया जाता है। सरल के लिए क्षतिपूर्ति करने के लिए, सड़क के इस्तेमाल के आधे हिस्से पर, ऑटोमोबाइल की स्थानीय शक्ति बहती है और उनके लिए आवश्यक लेन की संख्या ओवरपास वाले शहर में दोगुनी होनी चाहिए।

हरे रंग की तरंगों के उपयोग से जुड़ी दूसरी सबसे महत्वपूर्ण परिस्थिति क्वार्टर के अनुमेय आकार का सख्त नियमन है: उनकी लंबाई (दो-तरफा सड़कों के लिए) भरी हुई हरी लहर की लंबाई (धारा का एक खंड जिसके अंदर अखंडित गति संभव है) की एक बहु होनी चाहिए, जिसकी मात्रा लगभग 500 मीटर है। जैसा कि पिछले पैराग्राफ में उल्लेख किया गया है, उच्च जनसंख्या घनत्व वाले क्षेत्रों को सड़कों के स्थान की बढ़ी हुई आवृत्ति की आवश्यकता होती है, इसलिए सड़क राजमार्गों के बीच की दूरी पर नीचे से प्रतिबंध संभावित रूप से यातायात कठिनाइयों का कारण बन सकता है।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि हरी तरंगों के मोड में, नियमों में थोड़ा परिवर्तन होता है जिसके अनुसार यात्रा मार्गों को नेटवर्क के अंदर स्विच किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक सड़क राजमार्ग पर मुख्य यातायात प्रवाह के लिए एक अन्य कार का कनेक्शन भरा हुआ क्षेत्रों के बीच किया जा सकता है, इस प्रकार किसी भी गंभीर स्विचिंग लागत (बिंदु "1", छवि 34 ए) के कारण नहीं होता है।


अंजीर। 34

, निश्चित रूप से, इस कार को राजमार्ग में आने से पहले निकटतम खाली क्षेत्र की प्रतीक्षा करने के लिए कुछ समय खोना होगा, और फिर भी ट्रैफिक लाइट पर तब तक खड़े रहना होगा जब तक कि अगला पूरा क्षेत्र इसे (बिंदु "2", छवि 34 ए) तक न पहुंच जाए। हालाँकि, इन नुकसानों की मात्रा शहर के आकार पर या सड़क पर यातायात की व्यस्तता पर निर्भर नहीं करती है, इसलिए उन्हें बड़े पैमाने पर उपेक्षित किया जा सकता है।

स्थिति पूरी तरह से अलग है अगर एक कार सड़क राजमार्ग (छवि। 34 बी) पर यातायात छोड़ने की कोशिश करती है। यहां, सभी संभावना में, पहले से ही कोई मुश्किल तरीके नहीं हैं कि उसके द्वारा बनाई गई स्विचिंग घाटे को कम कैसे किया जाए। इसके अलावा, भरे हुए जोनों के अंदर प्रवाह की स्थानीय शक्ति को दोगुना करने के कारण, इसमें से एक मनमाने ढंग से चुनी गई कार को हटाने में ओवरपास के साथ शहर में लागत का दोगुना खर्च होता है। कुल मिलाकर, सड़क धाराओं से सस्ता "प्रवेश" और अधिक महंगा "निकास" एक दूसरे की भरपाई करते हैं, जिससे ट्रैफिक लाइट सेल सिटी इस संबंध में लगभग बेहतर नहीं है, लेकिन मानक से भी बदतर है।

वन-वे सेलुलर सिटी
ट्रैफिक लाइट के उपयोग के अलावा, मानक शहर के राक्षसी इंटरचेंज से दूर होने का कम से कम एक और अवसर है। इसमें स्थानिक रूप से विभाजित (छवि 35) आंदोलन की विपरीत दिशा के साथ सड़कें हैं।


अंजीर। 35

इस तरह के बदलावों के परिणामस्वरूप, सड़कों की संख्या दोगुनी हो जाएगी, वे सभी एकतरफा हो जाएंगे, लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात, इंटरचेंज को बहुत सरल बनाया जाएगा (छवि 36)।


अंजीर। 36
चूंकि दुनिया के प्रत्येक हिस्से में जाने वाले राजमार्गों की संख्या, और उनके साथ गुजरने वाली यात्राओं की संख्या समान है, सभी की क्षमता बहती है, और उनके साथ वन-वे सेल्युलर सिटी और स्टैंडर्ड सिटी में स्विच करने की लागत दो बड़े (रैखिक) तिमाहियों में होती है। मेल खाना चाहिए। यदि हम मानक और एक तरफा शहरों की एक ही तिमाही के आकार के साथ तुलना करते हैं, तो दूसरे में स्विचिंग घाटे का दोगुना होगा।

उन्नत वास्तुकला नेटवर्क

"रैखिक" सड़क।

एक सेलुलर नेटवर्क में स्विचिंग घाटे को कैसे कम किया जा सकता है? इस प्रश्न का उत्तर हमें सफलतापूर्वक चयनित सादृश्य और थोड़ा समझदार बनाने की अनुमति देगा।

सेलुलर नेटवर्क के कुछ असामान्य संशोधन पर विचार करें, जिसका अर्थ है कि पश्चिम से पूर्व तक फैले सभी राजमार्ग दो-तरफ़ा हैं, जबकि सड़कों पर लंबवत, केवल एक दिशा में यातायात की अनुमति है: या तो उत्तर या दक्षिण में, और ये दिशाएँ स्पष्ट हैं सड़क से सड़क तक।

हमेशा की तरह, हम मान लेंगे कि शहर समान पहुंच मॉडल का पालन करता है, और इसकी प्रत्येक तिमाही सशर्त इकाई बिजली की यात्रा की एक धारा उत्पन्न करती है।

इस मामले में, यह प्रशंसनीय लगता है कि तिमाही के अंदर नाभिक ( i , j)1/4 एक क्षैतिज सड़क पर नीचे से, - इसके बारे में 1/4 एक क्षैतिज सड़क के शीर्ष पर, अभी तक 1/4 पर गिर जाएगी:) यात्रा प्रवाह छोड़ने यह आसपास की सड़कों के बीच में इस प्रकार वितरित किया ⋅ मैं / घ उत्तर में खड़ी सड़क पर दूर बह रही है और अधिक
1/4 along (1 - i / d ) - दक्षिण में दूसरा ऊर्ध्वाधर राजमार्ग के साथ (चित्र। 37)।

अंजीर। 37

वास्तव में, पहले से चर्चा किए गए मार्ग-निर्माण एल्गोरिदम के अनुसार, आंकड़ों के अनुसार, आधी यात्रा एक क्षैतिज खंड से शुरू होगी, और उन ड्राइवरों के लिए जो इस आधे हिस्से को पसंद करते हैं, उन्हें यह करना चाहिए और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उनका रास्ता तिमाही के उत्तर में निहित है ( i , j ) या इसके दक्षिण में। यात्रा के शेष आधे भाग यातायात के एक ऊर्ध्वाधर खंड से शुरू होंगे और दक्षिण और उत्तर राजमार्ग के बीच विभाजित किए जाएंगे, जो कि उत्तर में स्थित क्वार्टरों की संख्या से कम ( i , j ) दक्षिण में स्थित हैं।

निर्देशित आवक ( i , j) यात्रा के प्रवाह के लिए), फिर क्वार्टर के आसपास के राजमार्ग के सापेक्ष इसके विभाजन का नियम सममित (छवि। 38) होगा।


अंजीर। 38

तिमाही ( i , j ) से सटे चार चौराहों में से , हम निचले क्षैतिज राजमार्ग के चौराहे पर अलग-अलग पार्श्वों पर विचार करते हैं और उत्तर यातायात (चित्र 38) के साथ खड़ी सड़क। फ्लो मशीन एक ऊर्ध्वाधर पूर्वावलोकन करने के लिए एक क्षैतिज में प्रवेश है:
1/2 ⋅ (क्षैतिज में ब्लॉक की संख्या) × (नीचे नहीं ऊर्ध्वाधर में ब्लॉक की संख्या ( मैं , जे )) ⋅ 1 / डी ² =
= 1/2 ⋅ घ ⋅ मैं / d ² =
= 1/2 ⋅ i / d ।
विपरीत दिशा में पार्श्व प्रवाह की भयावहता है:
1/2 ⋅ (सख्ती से नीचे खड़ी में ब्लॉक की संख्या ( मैं , जे )) × (ऊर्ध्वाधर में ब्लॉक की संख्या) ⋅ 1 / डी ² =
= 1/2 ⋅ ( घ - मैं ) ⋅ घ / d ² =
= 1/2 ⋅ (1 - i / d )।

चलिए अब हम अपना ध्यान सेलुलर सिटी से लेकर उसकी किसी भी खड़ी सड़क पर रखते हैं, आइए इसे My_street कहते हैं। समरूपताओं के कारण, हमने अपने तर्क को बिल्कुल सीमित नहीं किया, अगर हम यह मानते हैं कि My_street के साथ आंदोलन दक्षिण से उत्तर (छवि 39) तक निर्देशित है।


अंजीर। 39

चित्रा 40 में My_street के साथ राजमार्ग पर मुख्य और पार्श्व प्रवाह की शक्ति के ग्राफ को दर्शाया गया है, जो कि पाठक ध्यान दे सकते हैं, रैखिक शहर (चित्र 26) के वन-वे राजमार्ग के लिए समान ग्राफ़ के समान अविश्वसनीय हैं।



अंजीर। 40

इन उदाहरणों में, प्रवाह पैटर्न पूरी तरह से मेल खाता है अगर My_street के अंदर पार्श्व प्रवाह प्रत्येक विरोधी क्वार्टर की जोड़ी से संबंधित है और उनके नीचे क्षैतिज राजमार्ग औपचारिक रूप से एक काल्पनिक प्रादेशिक सेल को सौंपा गया है। जैसा कि पहले की तालिकाओं से देखा जा सकता है, रैखिक शहर का सड़क नेटवर्क उन आर्किटेक्चर के नेटवर्क के बीच सबसे बड़ा स्विचिंग नुकसान पैदा करता है जो हमने पहले ही अध्ययन किए हैं। इस दृष्टिकोण से, एक एकल शहर की सड़क के भीतर यातायात पैटर्न बेहद अक्षम है और एक ऐसा तत्व है जिसे पहले स्थान पर सुधारने की कोशिश की जानी चाहिए।

रैखिक शहर के लिए उन्नत नेटवर्क
और इसलिए, हम रैखिक नेटवर्क को बेहतर बनाने के कार्य के साथ सामना कर रहे हैं ताकि यह "वर्ग" में न बदल जाए। लीनियर नेटवर्क के संचालन में सबसे बड़ी अक्षमता का परिचय देने वाली परिस्थिति इसके सभी मार्गों का एकीकरण केवल दो बहुत बड़े यातायात प्रवाह में है। इस स्थिति में, एक उचित कदम यह होगा कि इसके दोनों सड़क राजमार्गों को क्यू बराबर भागों में विभाजित किया जाए। चूंकि प्रत्येक कार में शामिल होने या ट्रैफ़िक छोड़ने से होने वाली समय की लागत उस पर ट्रैफ़िक की तीव्रता के समानुपाती होती है, इसलिए स्ट्रीट लाइनों को क्यू पृथक भागों (छवि 41 ए) में विभाजित करने के परिणामस्वरूप , रैखिक शहर के अंदर घाटे को स्विच करना क्यू बार कम हो जाना चाहिए ।


अंजीर। 41

बस पास की दस सड़कों का निर्माण करना और यह उम्मीद करना कि ड्राइवर स्वयं उनके बीच समान रूप से वितरित हैं - दुर्भाग्य से, ऐसा कुछ भी नहीं लगता है जिसमें सफलता का मौका हो। एक बहुत अधिक विचारशील निर्णय नेटवर्क को डिज़ाइन करना है ताकि प्रत्येक सड़क सभी तिमाहियों के लिए न हो, लेकिन केवल शहर के एक छोटे से "खंड" में, जहां इसे (चित्र। 41 बी) के आसपास प्राप्त करना मुश्किल होगा।

आप बहुमंजिला इमारतों के अंदर लिफ्ट के संचलन की योजना में एक समान विचार देख सकते हैं। वहां, प्रत्येक एलेवेटर आपको सभी मंजिलों पर नहीं, बल्कि केवल एक निश्चित सीमा के भीतर प्रवेश करने और बाहर निकलने की अनुमति देता है। इस अवधारणा ले रहा है, के रास्ते को करीब से देख लेते हैं आर _{कश्मीर} , खंड के लिए उपयोग खोलने डेल्टा _{कश्मीर} = ( एक्स _{कश्मीर} ,एक्स _{कश्मीर +1} ] सफर शुरू हो गया (कमजोर) दक्षिण x _{कश्मीर} (यह माना जाता है कि ब्लॉक के नंबर नीचे से शीर्ष करने के लिए ही बना है)। प्रत्येक तिमाही की ओर, संख्या पर जिनमें से (सख्ती से) से कम एक्स _{कश्मीर} , सड़क आर _{कश्मीर} प्रवाह में प्रवेश करती है क्ष _में बिजली | Δ _k | / n (1 / n Δ _{k के} अंदर प्रत्येक तिमाही का प्रत्येक पता ), एक ही समय में यह माना जाता है कि r _{k के} साथ ढहने की क्षमताकिसी भी उल्लेखित क्वार्टर की ओर या तो स्थापित यातायात नियमों के कारण या सड़क नेटवर्क के विशेष डिजाइन के कारण गायब है।

अंतराल पर संचित [1, x _{कश्मीर} ] कारों अंत में समान रूप से के क्वार्टर के बीच वितरित किए गए डेल्टा _{कश्मीर} , इसलिए यदि आप यात्रा नहीं होता वहाँ, शुरुआत और जो झूठ के भीतर के अंत डेल्टा _{कश्मीर} , पार्श्व प्रवाह क्ष _बाहर इस क्षेत्र में ब्लॉक के प्रत्येक की दिशा में एक पावर x _k / n (चित्र 42) होगा।


अंजीर। 42

वास्तव में, "आंतरिक" का योगदान साइड फ्लो की शक्ति की यात्रा भी करता है, हालांकि, इस योगदान का मूल्य कभी भी अधिक नहीं होता है। Δ _k | / n ; इसलिए, मामले में जब x _k >> | Δ _k |, यह केवल उपेक्षित किया जा सकता है। सरलीकरण के साथ r _{k के} साथ मुख्य धारा के पावर पी _k को x _{k के} बराबर अधिकतम P _{k के} साथ दो सीधे वर्गों के ग्राफ द्वारा दर्शाया जाएगा। Δ _के | / एन । R _k पर स्विचिंग लॉस का अनुमानित मूल्य सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

I _k = ( α / 2 ν ) [ q _x [ q _in ( x ) _k p _k ( x ) 1 (1 + 1 / s )] + ( α / 2 ν ) ∑ [ _x [ q _बाहर ( x ) α p _k ( x ) ⋅ (1 - 1 / s )] =

= ( α / 2 ν ) ⋅ (1 + 1 / s ) | _x [| Δ _k | / n _k p _k ( x )] + ( α / 2 ν ) ⋅ (1 - 1 / s ) s _x [ x _k / n _k p _k ( x )] =

= ( α / 2 ν ) ⋅ (1 + 1 / s ) x ( x _k ⋅ | n _k | / n ) / ( p _x p _k ( x )) / x _k + ( α / 2 ν ) ⋅ (1) - 1 / s ) ⋅ ( x _k / | | _k | / n ) ∑ ( ∑ _x p _k ( x ) /) | Δ _के |,

जहाँ पहला योग क्षेत्र x , [1, x _k ] पर लिया जाता है, और दूसरा x x Δ _{k पर} । भाव:

( _{K x} p _k ( x )) / x _k , x 1 [1, x _k ] और

( _{K x} p _k ( x )) / | Δ _के |, x x। के

संकेतित अंतराल के अंदर r _{k के} साथ धारा की औसत शक्ति से अधिक कुछ नहीं है। चूंकि इन अंतरालों के भीतर पावर ग्राफ में एक सीधी रेखा का रूप होता है, इसलिए दोनों मामलों में औसत शक्ति P _k / 2 है। जगह
x _k ⋅ | Δ _के | / n पर
पी _के
हम अंत में नुकसान की तीव्रता के सबसे सरल रूप के लिए सूत्र देते हैं:

I _k = 2 ( α / 2 ν ) ⋅ P _k / P _k / 2 = ( α / 2 ν ) ν P _k ²

आइए अब हम उन तिमाहियों _की संख्याओं के अनुक्रम x _{k की} गणना करने का प्रयास करते हैं जिनके द्वारा रैखिक शहर को खंडों में विभाजित किया जाना चाहिए। सेगमेंट के चयन के लिए एक मानदंड के रूप में, हम आवश्यकता लेते हैं कि उपयुक्त सड़कों पर यातायात की अधिकतम शक्ति P _{k का} मूल्य समान हो, k का स्वतंत्र, दूसरे शब्दों में, समानता

x _k ⋅ | Δ _के | = कांस्टेबल।

याद रहे कि | Δ _के | = x _{k + 1} - x _k , हम अंतर समीकरण पर पहुंचते हैं:

x _{k + 1} - x _k = Const / x _k ।

एक्स और कश्मीर को निरंतर चर मानते हुए, और प्रतिस्थापित करना

x _{k + 1} - x _k = x ( k + 1) - x ( k )

d x / d k , 1 पर,

हम अंतर द्वारा अंतर समीकरण का अनुमान लगा सकते हैं:

d x / d k = Const / x <=> x d x = Const। d k ।

सामान्य रूप में x _{k के} समाधान के लिए हम जो भी प्राप्त करते हैं:

x _k = C ₁ √ ( k + C ₂ )।

यह हमारे लिए स्थिरांक सी ₁ और सी ₂ के मान को सीमा स्थितियों से निर्धारित करने के लिए रहता है, हालांकि, इस मामले में एक महत्वपूर्ण सूक्ष्मता है। शेष खंडों में स्थिति के विपरीत, पश्चिमी राजमार्ग से खंड 1 तक के खंडों में पहुंचने वाली सभी कारों, उसी खंड के अंदर, अपनी यात्रा शुरू की। नतीजतन, उत्तर में पहले राजमार्ग पर प्रवाह शक्ति के ग्राफ में एक नियमित उल्टे परबोला का रूप होगा।

उसी समय, एक प्राथमिक स्थिति, जिसमें से एक्स के लिए सूत्र प्राप्त किया गया था, अनिवार्य रूप से सुझाव दिया गया था कि सभी राजमार्गों पर प्रवाह बिजली के ग्राफ एक त्रिकोणीय दृश्य के करीब होना चाहिए, और यात्राएं मुख्य रूप से उस खंड के बाहर शुरू होनी चाहिए जहां वे निर्देशित हैं। इन आवश्यकताओं को उचित सटीकता के साथ संतुष्ट किया जा सकता है यदि हम औपचारिक रूप से पहले खंड को दो समान भागों में विभाजित करते हैं (परबोला एक समद्विबाहु त्रिकोण से संपर्क किया जाता है और पहले राजमार्ग के साथ अधिकांश यात्राएं वास्तव में खंड संख्या 1 के दक्षिणी आधे से इसके उत्तरी आधे हिस्से तक निर्देशित होती हैं), सड़कों की संख्या में वृद्धि के बिना ( अंजीर 43)।


अंजीर। 43

यह पहले खंड के मध्य में है जिसे x _k के सूत्र में बिंदु x ₁ माना जाना चाहिए। यहाँ से हमें पहली सीमा स्थिति मिलती है:

x ₂ = 2 x ₁ या

C (2 + C ₂ ) = 2 √ C (1 + C ₂ ) =>

सी ₂ = - 2/3।

दूसरी सीमा की स्थिति इस आवश्यकता से प्राप्त होती है कि सड़कें और खंड बिल्कुल Q हैं , जिसका अर्थ है कि x _{Q + 1} शहर में सबसे बड़ी संख्या के साथ अगली तिमाही के बराबर होना चाहिए:

C ₁₎ ( Q + 1 - 2/3) = n + 1, whence

सी ₁ √ ( एन + 1) / n क्यू।

इस तरह से:

x _k √ ( n + 1) n n ( k - 2/3) / n Q ,

| Δ _के | ≈ d x / d k = ( n + 1) / 2 k ( k - 2/3) √ d Q

P _k = x _k ⋅ | Δ _के | / n =

= ( n + 1) 2/2 n ≈ Q / n / 2 Q

I _k = ( α / 2 ν ) ² P _k ² =

= ( α / 2 ν ) ⋅ ( n / 2 Q ) ² ।

चूंकि सभी 2 क्यू स्ट्रीट राजमार्ग समान तीव्रता के नुकसान उत्पन्न करते हैं, इसलिए पूरे नेटवर्क के भीतर एक पूरे के रूप में स्विचिंग लागत का मूल्य होगा:

I = 2 Q = ( α / 2 ν ) n ( n / 2 Q ) ² = ( α / 2 ν ) ν n 2/2 Q.

जैसा कि आप देख सकते हैं, वांछित हासिल की गई है: मुख्य राजमार्गों को क्यू भागों में विभाजित करने के बाद, नुकसान वास्तव में क्यू के एक कारक (1/3 से 1/2 लगातार गुणांक को छोड़कर जो सामान्य रैखिक शहर के लिए सूत्र की तुलना में बढ़ गया है) को कम कर दिया। ठीक है, आधा काम किया जाता है, यह सेलुलर वास्तुकला के साथ शहर को बेहतर बनाने के लिए परिणाम को लागू करने के लिए रहता है।

सेलुलर सिटी में गगनचुंबी इमारत लिफ्ट
सादगी के लिए, हम एक ऐसे शहर के उदाहरण के साथ संतुष्ट होंगे जिसमें सभी गलियाँ एक-तरफ़ा हैं। रैखिक शहर और सेलुलर सिटी की व्यक्तिगत सड़कों के बीच सादृश्य का उपयोग करके, हम राजमार्ग को उत्तरार्द्ध में क्यू भागों में विभाजित करते हैं। डिफ़ॉल्ट रूप से, यह माना जाता है कि तिमाही को छोड़कर, आप इसके पास से गुजरने वाले किसी भी राजमार्ग पर जा सकते हैं। इसी समय, सभी राजमार्गों के बीच एक सड़क के साथ, एक विशिष्ट तिमाही की ओर मुड़ता है, जिसमें से एक बिल्कुल ठीक है। नियम स्थापित करने की प्रक्रिया में, उनकी एकरूपता और सरलता बेहद महत्वपूर्ण है। चित्र 44 पर एक नज़र डालें:


अंजीर। 44

सभी सड़कों पर एक जैसी उपस्थिति होती है और एक ही नियम होता है कि उनकी कौन-सी सड़कें किस खाते की पहुंच खोलती हैं। चित्र 45 राजमार्गों के बीच अनुमत घुमावों का आरेख दिखाता है। इस तस्वीर को देखकर भ्रम में न आना मुश्किल है। अक्सर किसी बड़े शहर में मेट्रो योजना के बारे में यही कहा जाता है। हालांकि, दोनों मामलों में, यदि आप विचार के तर्क को जानते हैं तो सब कुछ स्पष्ट और सरल हो जाता है। अनुमत नियमों का तार्किक नियम काफी सरल लगता है: यदि राजमार्ग के साथ ड्राइविंग करने से आप अपने आंदोलन के लिए लंबवत सड़कों को पार करते हैं और आप सीधे उनके पीछे स्थित क्वार्टर में बदल सकते हैं, तो आप इनमें से किसी भी सड़क को चालू कर सकते हैं।


अंजीर। 45

स्काईस्क्रेपर लिफ्ट की टोपोलॉजी ट्रैफिक लाइट और ओवरपास दोनों के साथ संगत है। यह मुश्किल है, लेकिन जरूरी नहीं कि सेलुलर या रैखिक संरचना के नेटवर्क के लिए सामान्यीकृत हो। उत्तरार्द्ध ऐतिहासिक शहरों के लिए वास्तव में महत्वपूर्ण है, जहां यह संभावना नहीं है कि कई छोटी सीधी सड़कों को बिछाने के लिए ऐतिहासिक स्मारकों में से आधे को ध्वस्त करना सही होगा, लेकिन जिसमें पहले से ही काफी बड़ी सड़कें हैं जो कई दो या तीन लेन राजमार्गों को समायोजित कर सकती हैं।

परिवहन की समस्याओं और गणित के काम के बारे में

अर्ध-वार्षिक श्रमसाध्य कार्य को पूरा करना सुखद है। निश्चित रूप से मैंने जो काम लिखा था, वह सड़क डिजाइन की सभी समस्याओं और कठिनाइयों को हल नहीं करता है - इस व्यवसाय के लिए बहुत विविध लोगों की एक बड़ी संख्या की आवश्यकता होती है। फिर भी, इसके परिणाम पहले से निर्मित शहरों में महत्वपूर्ण त्रुटियों को देखने और भविष्य में ऐसी त्रुटियों से बचने के तरीके प्रदान करने का अवसर प्रदान करते हैं। यह लेख एक संदर्भ पुस्तक के रूप में सभी संभावित मामलों को कवर करने के उद्देश्य से नहीं था, जो एक इंजीनियर अभ्यास में मुठभेड़ कर सकता है - मैंने अपने मुख्य कार्य को एक नया दृष्टिकोण देने, तर्क और समस्या के बारे में बात करने का एक नया तरीका विकसित करने, पाठक द्वारा तैयार किए गए सरल मॉडल के आवश्यक न्यूनतम उदाहरण प्रदान करने के लिए माना। पहले से ही अपना विस्तार कर सकता था।

यह दुख की बात है जब आपको एहसास होता है कि शहरवासियों को ट्रैफिक जाम में कितना समय गंवाना पड़ा था क्योंकि सही समय पर कोई गणितज्ञ नहीं था जो पूरी तरह से हल करने की समस्या पर शाम बिता सके। इनमें से कितनी समस्याएं अभी भी हमारे जीवन को घेरे हुए हैं या आपके पेशे में छिपी हुई हैं? क्या कोई व्यक्ति आपके पास काम पर बैठा है जिसके औजार में एक पेंसिल और एक कागज है?

मुझे उम्मीद है कि सब कुछ बेहतर के लिए बदल जाएगा।

आपका ध्यान और शुभकामनाओं के लिए धन्यवाद!
सर्गेई कोवलेंको।

2019 साल
magnolia@bk.ru


(फोटो: विंसेंट लाफोरेट)