क्यों Fermat के महान प्रमेय के प्रमाण में सुधार की आवश्यकता नहीं है

फ़र्मेट के महान प्रमेय के ऐतिहासिक प्रमाण के बाद के दशकों में, कई विचार उभर कर आए हैं कि कैसे इसे और भी विश्वसनीय बनाया जाए। हालाँकि, ये प्रयास इस बात की गहरी गलतफहमी को दर्शाते हैं कि क्या साक्ष्य महत्वपूर्ण हैं।

23 जून को एंड्रयू विल्स की घोषणा की 25 वीं वर्षगांठ है, जिसने सभी को उत्साहित किया, जिसमें उन्होंने 350 साल की उम्र में गणित की सबसे प्रसिद्ध समस्या, फरमेट के महान प्रमेय के प्रमाण की प्राप्ति की घोषणा की। विल्स के साक्ष्य के आसपास की कहानी - उन्होंने सात साल तक इस परियोजना पर गुप्त रूप से काम किया, जो साक्ष्य अंतराल जून की घोषणा के बाद उभरा, एक सुरुचिपूर्ण समाधान एक साल बाद विल्स द्वारा लिखित एक संयुक्त कार्य में प्रकाशित हुआ, जो कि उनके पूर्व छात्र रिचर्ड टेलर के साथ 2000 में नाइटहुड प्राप्त हुआ था - गणितीय किंवदंतियों के इतिहास में प्रवेश किया।

विल्स की सफलता के बाद, एक अक्सर गणित में एक नए "स्वर्ण युग" के आगमन के बारे में अटकलें सुन सकता है, विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में - जिस क्षेत्र में फ़र्मेट का प्रमेय है। विल्स और टेलर द्वारा प्रस्तुत तरीके आज नंबर थ्योरी विशेषज्ञों के टूलकिट का हिस्सा हैं जो ग्रेट थ्योरम के इतिहास को बंद मानते हैं। लेकिन इस कहानी ने न केवल संख्या सिद्धांत के विशेषज्ञों को छुआ है।

मुझे 2017 की घटनाओं द्वारा अचानक यह याद दिलाया गया था, जब कई दिनों के अंतराल में, दो तर्कशास्त्रियों ने दो अलग-अलग महाद्वीपों पर रिपोर्ट बनाई, उन्होंने प्रमेय के प्रमाण को बेहतर बनाने के तरीकों की ओर इशारा किया - और बताया कि जब उनके सहयोगियों ने संख्या सिद्धांत में विशेषज्ञ को नहीं दिखाया तो वे कितने आश्चर्यचकित हुए। उनके विचारों में कोई दिलचस्पी नहीं है।

तर्कशास्त्रियों ने इन विचारों को अपनी विशिष्टताओं - समुच्चय सिद्धांत और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान की भाषाओं में व्यक्त किया। उनके द्वारा किए गए प्रस्ताव स्वाभाविक रूप से सत्य थे, और शायद किसी दिन वे नए सवाल उठाएंगे, जो फरमैट से कम दिलचस्प नहीं है। हालांकि, यह मेरे लिए तुरंत स्पष्ट हो गया कि ये प्रश्न संख्या सिद्धांत के विशेषज्ञों से संबंधित नहीं हैं, और किसी भी अन्य धारणाओं में विल्स के प्रमाण की प्रकृति और सामान्य रूप से संख्या सिद्धांत के लक्ष्यों की गहरी गलतफहमी को दर्शाया गया है।

इस गलतफहमी की जड़ें प्रमेय के कथन की सादगी में पाई जा सकती हैं, जो इसके अधिकांश आकर्षण के लिए ज़िम्मेदार है: यदि n किसी भी सकारात्मक पूर्णांक 2 से अधिक है, तो ऐसे तीन सकारात्मक संख्याओं, a, b और c, को खोजना असंभव है:

$$

$$a ^ n + b ^ n = c ^ n$$

यह उस मामले के साथ विशद रूप से विरोधाभासी है जहां n 2 है: किसी भी व्यक्ति ने यूक्लिडियन ज्यामिति का अध्ययन किया है वह 3 ³ + 4 ² = 5 ² , 5 5 + 12 ² = 13 ² , और इसी तरह (यह सूची अंतहीन है) को याद रखेगा। पिछली कुछ शताब्दियों में, गणितज्ञों ने इस तरह के विपरीत के अस्तित्व को समझाने की कोशिश की है, और हर बार वे असफल रहे हैं, हालांकि, गणित की पूरी नई शाखाओं को पीछे छोड़ते हुए। इन शाखाओं में आधुनिक संख्या सिद्धांत के बड़े क्षेत्र हैं, जो उनके सफल समाधान के लिए विल्स द्वारा आकर्षित किया गया है, साथ ही गणितज्ञों द्वारा छुआ गया विज्ञान के हर हिस्से में कई मौलिक विचार हैं। और अभी तक कोई भी Wiles Fermat के दावे को साबित नहीं कर सका।

कंप्यूटर वैज्ञानिकों ने हाल ही में साक्ष्यों की स्वचालित रूप से पुष्टि में हुई प्रगति के बारे में जानने के लिए उत्साहित महसूस किया है - व्यवहार में गणित के लिए औपचारिकतावादी दृष्टिकोण डालने का एक महत्वाकांक्षी प्रयास। औपचारिकताओं के लिए, गणितीय प्रमाण उन कथनों की एक सूची है जो सख्त प्रतिबंधों को पूरा करते हैं:

1. सूची के शीर्ष पर दिए गए विवरणों में आम तौर पर स्वीकृत विचार शामिल होने चाहिए। एक कठोर व्याख्या में, इसमें औपचारिक सेट सिद्धांत के केवल स्वयंसिद्ध शामिल हैं, आमतौर पर ZFC के रूप में ज्ञात औपचारिक प्रणाली (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ Zermelo-Frenkel प्रणाली)। यह पूरी तरह से अव्यावहारिक है, इसलिए हम पहले से ही सिद्ध किए गए प्रमेयों को शामिल करने की भी अनुमति देते हैं - उदाहरण के लिए, मामले के लिए महान प्रमेय n = 4, जिसे फ़र्मेट ने खुद को 17 वीं शताब्दी में साबित किया।
2. प्रत्येक बाद के बयान को पिछले बयानों के तार्किक कटौती के नियमों को लागू करके प्राप्त किया जाना चाहिए।
3. अंत में, सिद्ध प्रमेय सूची में अंतिम स्थान पर होना चाहिए।

गणित के तर्क को ठोस आधार पर स्थापित करने की उम्मीद में विकसित किया गया था - विरोधाभासों से मुक्त एक स्वयंसिद्ध प्रणाली के रूप में, जो असंगतता में फिसलने के बिना कारण करने में सक्षम है। हालांकि कर्ट गोडेल के काम ने इस सपने की अवास्तविकता को दिखाया, गणित के कई दार्शनिकों, साथ ही कुछ तर्कशास्त्रियों (एक छोटे लेकिन सक्रिय अल्पसंख्यक, सेट सिद्धांत के विशेषज्ञों के अनुसार) अभी भी ZFC और गणित से कुछ प्रकार के संविधान का उल्लेख करते हैं।

हालांकि, गणितज्ञ इस तरह से कभी भी प्रमाण नहीं लिखते हैं। वाइल्स के साक्ष्य का एक तार्किक विश्लेषण कई चरणों को इंगित करता है जो घोटाले के लिए संभावित के साथ ZFC को ध्यान में नहीं रखते हैं: यदि गणितज्ञ संवैधानिकता की जांच के बिना नियमों के साथ आते हैं, तो उन्हें कैसे पता चलेगा कि वे सभी एक ही बात का मतलब है?

साक्ष्य का स्वत: सत्यापन इस समस्या का समाधान प्रस्तुत करता है। इसमें अलग-अलग बयानों के एक सेट के माध्यम से साक्ष्य में सुधार करना शामिल है, जिनमें से प्रत्येक को सुसंगत भाषा में लिखा गया है जिसे कंप्यूटर पढ़ सकता है, और फिर प्रत्येक चरण की संवैधानिक निष्ठा की पुष्टि कर सकता है। इस समय लेने वाली विधि को कई लंबे और जटिल सबूतों पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध थॉमस हेल्स द्वारा किए गए गोले की घनी पैकिंग पर केप्लर की परिकल्पना का प्रमाण है। परीक्षण विल्स के सबूतों को लंबे समय से मुख्य लक्ष्यों में से एक माना जाता है। इसलिए, मेरे दोस्त, कंप्यूटर विज्ञान के एक विशेषज्ञ, वास्तव में निराश थे कि "शुद्ध गणितज्ञों के लिए खोज जो अपने तर्कों के निर्माण में स्वचालित उपकरणों के उपयोग का स्पष्ट समर्थन करते हैं", जैसा कि उन्होंने तैयार किया था, अभी तक परिणाम नहीं मिले हैं।


1670 के डायोफैंटस संस्करण का " अंकगणित ", जिसमें कुख्यात फ़र्मैट का नोट भी मुख्य पाठ में शामिल है। अनुवाद में यह निम्नानुसार है: “एक घन के लिए दो घन का योग होना असंभव है, चौथे अंश के लिए दो चौथाई का योग होना असंभव है, या, सामान्य रूप से, किसी संख्या के लिए दूसरे से अधिक की संख्या का प्रतिनिधित्व करना, एक ही अंश के दो का योग होना असंभव है। मैंने इस धारणा का वास्तव में अद्भुत सबूत खोजा है, जिसके लिए ये क्षेत्र समायोजित करने के लिए बहुत संकीर्ण हैं। "

पहली बात जो इस निराशा को ध्यान में नहीं रखती है, वह यह है कि विल्स के सबूत, यद्यपि जटिल, का एक सरल आधार है जो औसत दर्शकों को समझाना आसान है। मान लीजिए कि, फर्मेट के कथन के विपरीत, तीन सकारात्मक पूर्णांक हैं a, b, c ऐसे

(ए) ए ^पी + बी ^पी = सी ^पी

कुछ विषम प्राइम पी के लिए (और यह केवल प्राइम संख्याओं पर विचार करने के लिए पर्याप्त है)। 1985 में, गेरहार्ड फ्रे ने दिखाया कि ए, बी और सी को फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है

(बी) "अण्डाकार वक्र" नामक एक नया समीकरण

उन गुणों के साथ जो हर किसी के लिए असंभव थे। अधिक सटीक रूप से, यह लंबे समय से ज्ञात है कि इस अण्डाकार वक्र को कैसे व्यक्त किया जाए

(ग) गैलोज प्रतिनिधित्व

जो अण्डाकार वक्र से और स्पष्ट नियमों द्वारा एक दूसरे से संबंधित समीकरणों का एक अनंत सेट है।

इन चरणों के बीच संबंध 1985 में अच्छी तरह से जाना जाता था। उस समय तक, संख्या सिद्धांत के अधिकांश विशेषज्ञ आश्वस्त थे - हालांकि अब तक कोई सबूत नहीं था - ताकि प्रत्येक गैलोज प्रतिनिधित्व को फिर से सौंपा जा सके, स्पष्ट नियमों के अनुसार,

(डी) एक मॉड्यूलर फ़ंक्शन,

त्रिकोणमिति से परिचित साइन और कोसाइन कार्यों के द्वि-आयामी सामान्यीकरण जैसा कुछ।

अंतिम लिंक तब प्राप्त हुआ जब केन रिबेट ने जीन-पियरे सेर की धारणा की पुष्टि की कि फ्रेय अण्डाकार वक्र के रूप में दिए गए एक मॉड्यूलर फ़ंक्शन के गुणों का अस्तित्व है

(ई) वजन 2 और स्तर 2 का एक और मॉड्यूलर फ़ंक्शन।

हालाँकि, ऐसे कार्य मौजूद नहीं हो सकते। इसलिए, न तो कोई मॉड्यूलर फ़ंक्शन (D) मौजूद है, न ही गैलोज़ प्रतिनिधित्व (C), न समीकरण (B), और न ही कोई समाधान (A)।

यह केवल (C) और (D) के बीच गुम लिंक को खोजने के लिए बना रहा, जिसे गणितज्ञों ने प्रतिरूपता परिकल्पना कहा।

यह लिंक विल्स की सात साल की खोज का विषय रहा है। हमारे वर्तमान दृष्टिकोण से, इस जोखिम भरे उद्यम के साहस की पूरी तरह से सराहना करना मुश्किल है। 1950 के दशक में पहली बार युताका तान्यामा और गोरो शिमुरा के बीच संबंधों (बी) और (डी) के बीच (सी) के बारे में सूचना मिली , गणितज्ञ धीरे-धीरे इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि ऐसा होना चाहिए। इस उम्मीद को आंद्रे वेइल द्वारा एक बहुत लोकप्रिय काम में व्यक्त किया गया था, जो कनाडा के गणितज्ञ रॉबर्ट लैंगलैंड्स के नाम पर बेहद प्रभावशाली लैंगलैंड्स कार्यक्रम में पूरी तरह से फिट है। यह संबंध सही नहीं होने के कारण बहुत अच्छा था। हालाँकि, प्रतिरूपकता परिकल्पना पूरी तरह से अप्राप्य थी। प्रकार (C) और (D) की वस्तुएँ बहुत भिन्न थीं।

कंप्यूटर वैज्ञानिक ने यह नहीं बताया कि क्या उनकी निराशा इस तथ्य के कारण थी कि यह संख्या सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण नहीं था कि प्रमाण (सी) और (डी) के बीच महत्वपूर्ण लिंक को खोजने तक सीमित था, या यह कि (ए) से लेकर (ई)। मैं इसका पता लगाने की कोशिश नहीं करूंगा। लेकिन अगर तर्कशास्त्रियों को केवल (C) और (D) के बीच के कनेक्शन के प्रकाशित प्रमाण की औपचारिक रूप से पुष्टि करने की आवश्यकता है, तो उनकी अपेक्षाएं बहुत अधिक थीं। सबसे पहले, Wiles कटौती ("ए) से (ई)" को पूरा करने के लिए प्रतिरूपकता परिकल्पना के लिए पर्याप्त से कुछ ही अधिक साबित हुए। प्रतिरूपकता की पूरी परिकल्पना कई वर्षों बाद क्रिस्टोफ़ ब्रोगली, ब्रायन कॉनराड, फ्रेड डायमंड और रिचर्ड टेलर द्वारा स्थापित की गई थी। लेकिन यह विल्स के काम पर छाया नहीं डालता है! इसके विपरीत, तथ्य यह है कि दुनिया के प्रमुख विशेषज्ञों की संख्या सिद्धांत में इतनी बड़ी संख्या में विल्स के नक्शेकदम पर चलने के कुछ महीने बाद ही इसकी संपत्ति की बात की जाती है।

उदाहरण के लिए, थोड़ी देर बाद, 2016 के पतन में, 10 गणितज्ञ प्रिंसटन, न्यू जर्सी में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस स्टडीज में मिले, और नई स्थितियों के लिए अण्डाकार वक्रों और मॉड्यूलर कार्यों के बीच एक संबंध के अस्तित्व को साबित करने में सक्षम थे। वे सभी ने विल्स के साक्ष्य की संरचना को समझने के लिए अलग-अलग रास्तों का इस्तेमाल किया, जो तब दिखाई दिए, जब उनमें से कुछ अभी भी बच्चे थे। यदि उनसे तार्किक निष्कर्ष के अनुक्रम के रूप में इस प्रमाण का वर्णन करने के लिए कहा गया, तो वे निस्संदेह इसके 10 अलग-अलग संस्करण जारी करेंगे। उनमें से प्रत्येक ऊपर वर्णित (ए) से (ई) तक के मार्ग से मिलता-जुलता होगा, लेकिन अधिक विस्तृत होगा।

फिर भी - और इसे हमेशा साक्ष्य के दार्शनिक दृष्टिकोण से अनदेखा किया जाता है - इन दसों में से प्रत्येक विल्स के लिए अपने साक्ष्य के लेखकत्व को दर्शाएगा। वे उन्हें उसी तरह से संदर्भित करते हैं जैसे कि उनके द्वारा व्याख्यात्मक लेखों या प्रशिक्षण पाठ्यक्रमों में अध्ययन किए गए अन्य साक्ष्य जो उन्होंने भाग लिया या पढ़ाया था। और यद्यपि दस में से प्रत्येक ने कुछ विवरणों को छोड़ दिया होगा, सामान्य तौर पर वे सभी सही होंगे।

अगर इसके इतने सारे अलग-अलग विकल्प हो सकते हैं, तो इसका सबूत क्या है? गणितीय दर्शन में, एक प्रकाशित प्रमाण को एक आदर्श औपचारिक प्रमाण के सन्निकटन के रूप में माना जाता है, जिसे सिद्धांत रूप में एक औपचारिक प्रणाली के नियमों को लागू करने वाले कंप्यूटर पर जांचा जा सकता है। औपचारिक प्रणाली के बाहर किसी भी चीज से आदर्श प्रमाण दूषित नहीं होते हैं - जैसे कि प्रत्येक कानून अपने संवैधानिक औचित्य की पुष्टि करते हुए एक निशान देता है।

लेकिन इस दृष्टिकोण से विरोधाभासी है कि गणितज्ञ खुद अपने साक्ष्य के बारे में क्या कहते हैं। गणितज्ञ वैचारिक या दार्शनिक लिटमस परीक्षणों का उपयोग नहीं करते हैं, लेकिन मुझे विश्वास है कि मेरे अधिकांश साथी माइकल फ्रांसिस अतियाह के साथ सहमत होंगे, जिन्होंने कहा था कि प्रमाण "अंतिम परीक्षा है, लेकिन किसी भी चीज़ का आधार नहीं है।" प्रकाशित साक्ष्य स्पष्ट रूप से किसी भी चीज़ की नींव नहीं है।

अपने सिद्धांत को परिष्कृत करने और विस्तार करने के लिए नंबर थ्योरी में विल्स और विशेषज्ञ, निश्चित रूप से दो तर्कशास्त्रियों से प्रस्ताव प्राप्त करने की उम्मीद नहीं करते थे। लेकिन - दूर से संख्या सिद्धांत का पालन करने वाले कई लोगों के विपरीत - वे निश्चित रूप से समझ गए कि इस तरह के सबूत को विल्स द्वारा प्रकाशित किया जाना चाहिए, अपने आप में एक तरह की कलाकृतियों के रूप में नहीं माना जाना चाहिए। इसके विपरीत, विल्स का प्रमाण एक खुले संवाद का प्रारंभिक बिंदु है जो बहुत मायावी है और जीवंत रूप से गंभीर सीमाओं तक सीमित है जो इस विषय के लिए विदेशी हैं।