रेंडरिंग में मोंटे कार्लो एकीकरण अनुप्रयोग

हम सभी ने गणित के पाठ्यक्रम में संख्यात्मक विधियों का अध्ययन किया। ये एकीकरण, प्रक्षेप, श्रृंखला और इतने पर जैसे तरीके हैं। दो प्रकार की संख्यात्मक विधियाँ हैं: नियतात्मक और यादृच्छिक।

विशिष्ट नियतात्मक कार्य एकीकरण विधि $$$च$ सीमा में $$$[ए, बी]$ यह इस तरह दिखता है: हम लेते हैं $$$n + 1$ समान रूप से अंक दिए गए $$$t_0 = a, t_1 = a + \ frac {b - a} {n}, \ ldots, t_n - b$ , गणना $$$च$ मध्य बिंदु पर $$$\ frac {t_i + t_ {i + 1}} {2}$ इन बिंदुओं द्वारा परिभाषित प्रत्येक अंतराल, परिणामों को संक्षेप में और प्रत्येक अंतराल की चौड़ाई से गुणा करें $$$\ frac {b -a} {b}$ । पर्याप्त रूप से निरंतर कार्यों के लिए $$$च$ बढ़ती के साथ $$$एन$ परिणाम सही मान में परिवर्तित हो जाएगा।


गणना के लिए संभाव्य विधि, या मोंटे कार्लो विधि, या, अधिक सटीक रूप से, अभिन्न का अनुमानित अनुमान $$$च$ सीमा में $$$[ए, बी]$ इस तरह दिखता है: चलो $$$X_1, \ ldots, X_n$ - अंतराल में यादृच्छिक रूप से चयनित बिंदु $$$[ए, बी]$ । तो $$$Y = (b - a) \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ {n} f (X_i)$ एक यादृच्छिक मूल्य है जिसका औसत एक अभिन्न है $$$\ int _ {[a, b]} f$ । विधि को लागू करने के लिए, हम एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर का उपयोग करते हैं जो उत्पन्न करता है $$$एन$ अंतराल में अंक $$$[ए, बी]$ हम प्रत्येक में गणना करते हैं $$$च$ , औसत परिणाम और से गुणा करें $$$बी-ए$ । यह हमें अभिन्न का अनुमानित मूल्य देता है, जैसा कि नीचे दिए गए आंकड़े में दिखाया गया है। $$$\ int _ {- 1} ^ {1} \ sqrt {1 - x ^ 2} dx$ के साथ 20 नमूने सही परिणाम के बराबर अनुमान लगाता है $$$\ frac {\ pi} {2}$ ।


बेशक, हर बार जब हम इस तरह के अनुमानित मूल्य की गणना करते हैं, तो हमें एक अलग परिणाम मिलेगा। इन मूल्यों का विचरण समारोह के आकार पर निर्भर करता है। $$$च$ । यदि हम यादृच्छिक अंक उत्पन्न करते हैं $$$x_i$ असमान रूप से, फिर हमें सूत्र को थोड़ा बदलने की आवश्यकता है। लेकिन अंकों के असमान वितरण के उपयोग के लिए धन्यवाद, हमें एक बड़ा लाभ मिलता है: अंकों के लिए वरीयता देने के लिए असमान वितरण को मजबूर करना $$$x_i$ जहाँ $$$च (x)$ बड़े, हम अनुमानित मूल्यों के विचरण को काफी कम कर सकते हैं। गैर-समान नमूनाकरण के इस सिद्धांत को महत्व द्वारा नमूनाकरण कहा जाता है।


पिछले दशकों से, प्रतिपादन तकनीकों में नियतात्मक से यादृच्छिक दृष्टिकोण के लिए बड़े पैमाने पर संक्रमण हुआ है, हम प्रतिपादन समीकरणों को हल करने के लिए उपयोग किए गए यादृच्छिक दृष्टिकोणों का अध्ययन करेंगे। ऐसा करने के लिए, हम यादृच्छिक चर, गणितीय अपेक्षा और विचरण का उपयोग करते हैं। हम असतत मूल्यों से निपट रहे हैं, क्योंकि कंप्यूटर प्रकृति में असतत हैं। निरंतर मात्रा संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन से निपटती है , लेकिन लेख में हम इस पर विचार नहीं करेंगे। हम संभावना बड़े पैमाने पर कार्य के बारे में बात करेंगे। PMF के दो गुण हैं:

1. प्रत्येक के लिए $$ वहाँ $$$p (s) \ geq 0$ ।
2. $$$\ sum_ {s \ _ S} p (s) = 1 $ मे$

पहली संपत्ति को गैर-नकारात्मकता कहा जाता है। दूसरे को "सामान्यता" कहा जाता है। सहज रूप से, वह $$$एस$ कुछ प्रयोग के परिणामों के सेट का प्रतिनिधित्व करता है, और $$$p (s)$ संभावना का परिणाम है $$$एस$ , एक सदस्य $$$एस$ । परिणाम संभावना स्थान का सबसेट है। एक परिणाम की संभावना इस परिणाम के PMF तत्वों का योग है, क्योंकि

$$

$$Pr \ {E \} = \ sum_ {s \ _ S} p (s) $ मे$$

एक यादृच्छिक चर एक फ़ंक्शन है, जिसे आमतौर पर एक कैपिटल लेटर द्वारा दर्शाया जाता है, जो संभावित स्थान में वास्तविक संख्या निर्धारित करता है:

$$

$$X: S \ rightarrow \ boldsymbol {R}।$$

ध्यान दें कि फ़ंक्शन $$$X$ - यह एक चर नहीं है, लेकिन वास्तविक मूल्यों के साथ एक फ़ंक्शन है। वह भी यादृच्छिक नहीं है , $$$X (s)$ किसी भी परिणाम के लिए एक अलग वास्तविक संख्या है $$ ।

परिणामों को निर्धारित करने के लिए एक यादृच्छिक चर का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, कई परिणाम $$$एस$ जिसके लिए $$$X (s) = 1$ , वह यह है कि, अगर ht और वें "ईगल" या "पूंछ" को दर्शाने वाली लाइनों का सेट हैं, तो

$$

$$E = {s \ _ S: X (s) = 1} $ मे$$

और

$$

$$= {ht, th}$$

यह संभावना के साथ एक परिणाम है $$$\ frac {1} {2}$ । हम इसे लिखते हैं $$$Pr \ {X = 1 \} = \ frac {1} {2}$ । हम विधेय का उपयोग करते हैं $$$X = 1$ विधेय द्वारा निर्धारित परिणाम के लिए एक छोटी प्रविष्टि के रूप में।

आइए ऊपर दिए गए सूत्रों द्वारा वर्णित एक प्रयोग का अनुकरण करते हुए एक कोड टुकड़े पर एक नज़र डालें:

headcount = 0 if (randb()): // first coin flip headcount++ if (randb()): // second coin flip headcount++ return headcount 

यहां हम ranb() बूलियन फ़ंक्शन द्वारा निरूपित करते हैं जो आधे मामलों में सच है। यह हमारे अमूर्तन से कैसे संबंधित है? बहुत कल्पना करो $$$एस$ कार्यक्रम के सभी संभव निष्पादन , दो निष्पादन को एक ही मूल्यों को घोषित करते हुए ranb द्वारा लौटाए गए, जोड़ीदार समान। इसका मतलब यह है कि कार्यक्रम के चार संभावित निष्पादन हैं जिसमें दो ranb() कॉल रिटर्न टीटी, टीएफ, एफटी, और एफएफ हैं। अपने स्वयं के अनुभव से, हम कह सकते हैं कि ये चार उपलब्धियाँ समान रूप से संभावित हैं, यानी प्रत्येक लगभग एक चौथाई मामलों में होता है।

अब उपमा स्पष्ट होती जा रही है। एक कार्यक्रम के कई संभावित निष्पादन और उनसे जुड़ी संभावनाएं एक संभावना स्थान हैं। प्रोग्राम वैरिएबल जो ranb कॉल्स पर निर्भर करते हैं वे रैंडम वैरिएबल हैं। मुझे उम्मीद है कि अब सब कुछ आपके लिए स्पष्ट है।

चलो अपेक्षित मूल्य पर चर्चा करते हैं, जिसे औसत भी कहा जाता है। यह मूल रूप से पीएमएफ और एक यादृच्छिक चर के उत्पाद का योग है:

$$

$$E [X] = \ sum_ {s \ _ S} p (s) X (s) $ मे$$

कल्पना कीजिए कि एच "ईगल" हैं और टी "टेल" हैं। हम पहले ही ht और th को कवर कर चुके हैं। Hh और tt भी हैं। इसलिए, अपेक्षित मूल्य निम्नानुसार होगा:

$$

$$E [X] = p (hh) X (hh) + p (ht) X (ht) + p (th) X (th) + p (tt) X (tt)$$

$$

$$= \ frac {1} {4}। 2 + \ frac {1} {4}। 1 + \ frac {1} {4}। 1 + \ frac {1} {4} .0$$

$$

$$= 1 \ पाठ {QED}$$

आप आश्चर्यचकित हो सकते हैं कि यह कहां से आया है $$$X$ । यहाँ मेरा मतलब था कि हमें अर्थ प्रदान करना चाहिए $$$X$ अपने आप से। इस मामले में, हमने एच को 1 और टी को 0 को सौंपा। $$$X (hh)$ 2 के बराबर होता है क्योंकि इसमें 2 होते हैं $$$ज$ ।

चलो वितरण के बारे में बात करते हैं। प्रायिकता वितरण एक फ़ंक्शन है जो किसी ईवेंट के विभिन्न परिणामों की संभावनाएं देता है।

जब हम कहते हैं कि एक यादृच्छिक चर $$$X$ एक वितरण है $$$च$ तब संकेत देना चाहिए $$$X \ sim f$ ।

चारों ओर बिखरे हुए मूल्य $$$X$ को इसका फैलाव कहा जाता है और इसे निम्नानुसार परिभाषित किया जाता है:

$$

$$\ boldsymbol {Var} [X] = E [(X - \ bar {X}) ^ 2]$$

जहाँ $$$\ पट्टी {X}$ औसत है $$$X$ ।

$$$\ sqrt {\ boldsymbol {Var}}$ मानक विचलन कहा जाता है। यादृच्छिक चर $$$X$ और $$$य$ स्वतंत्र कहलाते हैं यदि:

$$

$$Pr \ {X = x \ text {और Y = y \} = Pr \ {X = x \}। Pr \ {Y = y \} $$$

स्वतंत्र यादृच्छिक चर के महत्वपूर्ण गुण:

1. $$$E [XY] = E [X] E [Y]$
2. $$$\ boldsymbol {Var} [X + Y] = \ boldsymbol {Var} [X] + \ boldsymbol {Var} [Y]$

जब मैंने प्रायिकता के बारे में कहानी शुरू की, तो मैंने निरंतर और असतत संभावनाओं की तुलना की। हमने असतत संभावना की जांच की। अब चलो निरंतर और असतत संभावनाओं के बीच अंतर के बारे में बात करते हैं:

1. मूल्य निरंतर हैं। अर्थात् संख्या अनंत हैं।
2. विश्लेषण के कुछ पहलुओं को गणितीय सूक्ष्मता की आवश्यकता होती है जैसे कि औसत दर्जे का होना ।
3. हमारी संभावना स्थान अनंत होगा। पीएमएफ के बजाय, हमें संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) का उपयोग करना चाहिए।

पीडीएफ गुण:

1. प्रत्येक के लिए $$ हमारे पास है $$$p (s) \ geq 0$
2. $$$\ int_ {s \ _ S} p (s) = 1 $ मे$

लेकिन अगर वितरण $$$एस$ समान रूप से , तब पीडीएफ को इस तरह परिभाषित किया जाता है:


निरंतर संभावना के साथ $$$E [X]$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

$$

$$E [X]: = \ int_ {s \ _ S} p (s) X (s) $ मे$$

अब पीएमएफ और पीडीएफ की परिभाषाओं की तुलना करें:

$$

$$\ mathbb {PMF} \ rightarrow p_y (t) = Pr \ {Y = t \} \ पाठ {for} t $ T मे$$

$$

$$\ mathbb {PDF} \ rightarrow Pr \ {a a leq X \ leq b \} = \ int_a ^ bp (r) dr$$

निरंतर संभावना के मामले में, यादृच्छिक चर को यादृच्छिक बिंदु कहा जाता है। क्योंकि अगर $$$एस$ संभावना स्थान है, और $$$Y: S \ rightarrow T$ से भिन्न स्थान में प्रदर्शित किया गया $$$\ mathbb {R}$ तो हमें फोन करना चाहिए $$$य$ रैंडम पॉइंट , रैंडम वेरिएबल नहीं। संभाव्यता घनत्व की अवधारणा यहां लागू है, क्योंकि हम कह सकते हैं कि किसी भी के लिए $$$U \ सब्सेट T$ हमारे पास है:


अब हम उस क्षेत्र में लागू होते हैं जो हमने सीखा है। क्षेत्र के तीन निर्देशांक हैं: अक्षांश, देशांतर और अक्षांश का पूरक। हम केवल देशांतर और अक्षांश जोड़ का उपयोग करते हैं $$$\ mathbb {R} ^ 2$ , दो-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक एक यादृच्छिक चर पर लागू होते हैं $$$एस$ उसे चालू करें $$$S ^ 2$ । हम निम्नलिखित विवरण प्राप्त करते हैं:

$$

$$Y: [0, 1] \ गुना [0, 1] \ rightarrow S ^ 2: (u, v) \ rightarrow (\ cos (2 \ pi u) \ sin (\ pi v), \ cos (\ pi) v) \ sin (2 \ pi u) पाप (\ pi v))$$

हम एक समान संभावना घनत्व के साथ शुरू करते हैं $$$पी$ पर $$$[0, 1] \ गुना [0, 1]$ , या $$$p (u, v) = 1$ । ऊपर समान संभावना घनत्व सूत्र को देखें। सुविधा के लिए, हम लिखेंगे $$$(x, y, z) = Y (u, v)$ ।

हमारे पास एक सहज समझ है कि यदि आप एक इकाई वर्ग और उपयोग में समान और बेतरतीब ढंग से अंक का चयन करते हैं $$$च$ एक इकाई क्षेत्र पर उन्हें बिंदुओं में बदलने के लिए, वे ध्रुव के बगल में जमा हो जाएंगे। इसका मतलब है कि प्राप्त संभावना घनत्व में $$$T$ वर्दी नहीं होगी। यह नीचे दिए गए आंकड़े में दिखाया गया है।


अब हम अभिन्न को निर्धारित करने के लिए एक सतत यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्य और इसके अनुप्रयोग के अनुमानित तरीकों पर चर्चा करेंगे। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि प्रतिपादन में हमें परावर्तन अभिन्नता के मूल्य को निर्धारित करने की आवश्यकता है:

$$

$$L ^ {Ref} (P, \ omega_o) = \ int _ {\ _ omega_i \ _ S _ {+} ^ {2}} L (P, - \ omega_i) f_s (P, \ omega_i, \ omega_0) \ _ omega_i में। \ boldsymbol {n} d \ omega_i,$$

विभिन्न मूल्यों के लिए $$$पी$ और $$$\ omega_0$ । मूल्य $$$\ _ ओमेगा$ क्या घटना की दिशा हल्की है। कोड अंतराल में समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करता है $$$[0, 1]$ और वर्गमूल को लेते हुए, 0 से 1 तक की सीमा में एक मान बनाता है। यदि हम इसके लिए पीडीएफ का उपयोग करते हैं, क्योंकि यह एक समान मूल्य है, तो अपेक्षित मूल्य बराबर होगा $$$\ frac {2} {3}$ । साथ ही यह मान औसत मूल्य है $$$f (x) = \ sqrt {x}$ इस अंतराल में। इसका क्या मतलब है?

कंप्यूटर ग्राफिक्स: सिद्धांत और अभ्यास पुस्तक से प्रमेय 3.48 पर विचार करें। वह कहती है कि अगर $$$f: [a, b] \ rightarrow \ mathbb {R}$ वास्तविक मूल्यों के साथ एक समारोह है, और $$$X \ sim \ boldsymbol {U} (ए, बी)$ अंतराल में एक समान यादृच्छिक चर है $$$[ए, बी]$ तो $$$(b-a) f (x)$ एक यादृच्छिक चर है जिसका अपेक्षित मूल्य रूप है:

$$

$$E [(b-a) f (x)] = \ int_a ^ b f (x) dx।$$

यह हमें क्या बताता है? इसका अर्थ है कि यदि हम कई बार कोड निष्पादित करते हैं और परिणाम औसत करते हैं तो आप अभिन्न के मूल्य की गणना करने के लिए एक यादृच्छिक एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं ।

सामान्य मामले में, हमें एक निश्चित मूल्य मिलता है $$$सी$ , जैसा कि ऊपर दिखाए गए अभिन्न अंग में है, जिसे निर्धारित करने की आवश्यकता है, और कुछ यादृच्छिक एल्गोरिदम जो अनुमानित मूल्य देता है $$$सी$ । मात्रा के लिए इस तरह के एक यादृच्छिक चर को एक अनुमानक कहा जाता है। एक अनुमानक को विकृति माना जाता है- यदि इसका अपेक्षित मूल्य है तो मुक्त $$$सी$ । सामान्य मामले में, विकृतियों के बिना अनुमान लगाने वाले विकृतियों के लिए बेहतर हैं।

हमने पहले ही असतत और निरंतर संभावनाओं पर चर्चा की है। लेकिन एक तीसरा प्रकार है, जिसे मिश्रित संभावनाओं कहा जाता है और इसका उपयोग प्रतिपादन में किया जाता है। इस तरह की संभावनाएं द्विदिश प्रकीर्णन के वितरण कार्यों में दालों के कारण उत्पन्न होती हैं, या रोशनी के बिंदु स्रोतों के कारण दालों। ऐसी संभावनाओं को एक निरंतर सेट में परिभाषित किया जाता है, उदाहरण के लिए, अंतराल में $$$[0, 1]$ लेकिन पीडीएफ फ़ंक्शन द्वारा कड़ाई से परिभाषित नहीं किया गया है। निम्नलिखित कार्यक्रम पर विचार करें:

 if uniform(0, 1) > 0.6 : return 0.3 else : return uniform(0, 1) 

साठ प्रतिशत मामलों में, कार्यक्रम 0.3 वापस आ जाएगा, और शेष 40% में, यह समान रूप से वितरित मूल्य वापस कर देगा $$$[0, 1]$ । रिटर्न वैल्यू एक यादृच्छिक चर है जिसकी संभाव्यता द्रव्यमान ०.६ पर ०.३ है, और अन्य सभी बिंदुओं पर इसका पीडीएफ इस प्रकार है $$$d (x) = 0.4$ । हमें पीडीएफ को इस प्रकार परिभाषित करना चाहिए:


सामान्य तौर पर, एक मिश्रित चर यादृच्छिक चर वह होता है जिसके लिए पीडीएफ परिभाषा क्षेत्र में बिंदुओं का एक सीमित सेट होता है, और इसके विपरीत, समान रूप से वितरित बिंदु जहां पीएमएफ परिभाषित नहीं है।