इस लेख में मैं एक असामान्य सूत्र के बारे में बात करूँगा जो आपको affine परिवर्तनों पर एक नए कोण को देखने की अनुमति देता है, और विशेष रूप से उलटा समस्याओं पर जो इन परिवर्तनों के संबंध में उत्पन्न होती है। मैं व्युत्क्रम समस्याओं की आवश्यकता होगी, जो व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना करने की आवश्यकता होती है: बिंदुओं द्वारा परिवर्तन का पता लगाना, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना, आधार बदलते समय निर्देशांक बदलना आदि। मैं तुरंत एक आरक्षण कर दूंगा कि लेख में कोई मौलिक खोज नहीं होगी, और न ही एल्गोरिथम जटिलता में कमी - मैं बस एक सममित और आसानी से याद किया गया फॉर्मूला दिखाऊंगा जिसके साथ आप अनपेक्षित रूप से चल रही कई समस्याओं को हल कर सकते हैं। गणितीय कठोरता के प्रेमियों के लिए, यहां एक अधिक औपचारिक प्रस्तुति है [1] (छात्रों की ओर उन्मुख) और एक छोटी समस्या पुस्तक [2] ।

अमीन परिवर्तन आमतौर पर मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया गया है $$$ए$ और अनुवाद वेक्टर और सूत्र द्वारा वेक्टर तर्क पर कार्य करता है

$$

$$\ mathcal {A} (\ vec {x}) = \ hat {A} \ vec {x} + \ vec {t}।$$

हालांकि, आप बिना कर सकते हैं $$$\ vec {t}$ यदि आप तर्क के लिए संवर्धित मैट्रिक्स और वर्दी निर्देशांक का उपयोग करते हैं (जैसा कि ओपनजीएल उपयोगकर्ताओं के लिए अच्छी तरह से जाना जाता है)। हालांकि, यह पता चला है, लेखन के इन रूपों के अलावा, आप एक विशेष मैट्रिक्स के निर्धारक का भी उपयोग कर सकते हैं, जिसमें तर्क के निर्देशांक और परिवर्तन को निर्धारित करने वाले पैरामीटर दोनों शामिल हैं। तथ्य यह है कि निर्धारक के पास किसी भी पंक्ति या स्तंभ के तत्वों पर रैखिकता गुण होता है, और यह इसे affine परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग करने की अनुमति देता है। यहां, वास्तव में, एक मनमाना वेक्टर पर एफ़िन परिवर्तन की कार्रवाई को कैसे व्यक्त किया जाए $$$\ vec {x}$ :


हॉरर में भागने की जल्दी मत करो - सबसे पहले, यहां एक परिवर्तन लिखा गया है जो मनमाने आयाम के रिक्त स्थान पर कार्य करता है (यहां से बहुत सारी चीजें हैं), और दूसरी बात, हालांकि सूत्र बोझिल दिखता है, यह बस याद किया जाता है और उपयोग किया जाता है। शुरू करने के लिए, मैं फ्रेम और रंग के साथ तार्किक रूप से संबंधित तत्वों को उजागर करूंगा


तो हम देखते हैं कि किसी भी परिवर्तन की क्रिया $$$\ mathcal {A}$ वेक्टर को दो निर्धारकों के अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है, वेक्टर तर्क केवल शीर्ष में प्रवेश करता है, और नीचे केवल एक निरंतरता है जो केवल मापदंडों पर निर्भर करता है।

ब्लू हाइलाइटेड वेक्टर $$$\ vec {x}$ एक तर्क है, सदिश जिस पर एफाइन परिवर्तन कार्य करता है $$$\ mathcal {A}$ । इसके बाद, ग्राहक वेक्टर के घटक को दर्शाते हैं। घटकों के ऊपरी मैट्रिक्स में $$$\ vec {x}$ लगभग पूरे पहले कॉलम पर कब्जा करें, केवल इस कॉलम में उनके अलावा शून्य (शीर्ष) और एक (नीचे)। मैट्रिक्स के अन्य सभी तत्व पैरामीटर वैक्टर हैं (वे सुपरस्क्रिप्ट द्वारा क्रमांकित किए गए हैं, कोष्ठक में लिए गए हैं ताकि डिग्री के साथ भ्रमित न हों) और अंतिम पंक्ति में इकाइयाँ। सभी affine परिवर्तनों के सेट के बीच, पैरामीटर हमें जो कुछ भी ज़रूरत है उसे भेद करते हैं। सूत्र की सुविधा और सुंदरता यह है कि इन मापदंडों का अर्थ बहुत सरल है: वे एक affine रूपांतरण को परिभाषित करते हैं जो वैक्टर का अनुवाद करता है $$$\ vec {x} ^ {\, (i)}$ में $$$\ vec {X} ^ {(i)}$ । इसलिए वैक्टर $$$\ vec {x} ^ {\, (1)}, \ dots, \ vec {x} ^ {\, (n + 1)}$ , हम "इनपुट" कहेंगे (वे मैट्रिक्स में आयतों से घिरे हुए हैं) - उनमें से प्रत्येक को अपने स्वयं के कॉलम में घटक-वार लिखा जाता है, एक इकाई नीचे जोड़ा जाता है। "आउटपुट" पैरामीटर ऊपर से लिखे गए हैं (लाल रंग में हाइलाइट किए गए) $$$\ vec {X} ^ {(1)}, \ dots, \ vec {X} ^ {(n + +)} $$ , लेकिन अब घटक नहीं है, लेकिन एक पूरी इकाई के रूप में।

यदि कोई ऐसे रिकॉर्ड से आश्चर्यचकित है, तो वेक्टर उत्पाद को याद रखें

$$$ $ प्रदर्शन $ $ [\ vec {a} \ टाइम्स \ vec {b}] = \ det \ start {pmatrix} \ vec {e} _1 & \ vec {e} _2 & \ vec {e} _ \ _ \ _ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 और b_3 \\ \ end {pmatrix}, $ $ $ $

जहां एक समान संरचना थी और उसी तरह पहली पंक्ति में वैक्टरों का कब्जा था। इसके अलावा, यह आवश्यक नहीं है कि वैक्टर के आयाम $$$\ vec {X} ^ {(i)}$ और $$$\ vec {x} ^ {(i)}$ मेल खाता है। सभी निर्धारकों को सामान्य माना जाता है और सामान्य "ट्रिक्स" की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, आप किसी भी कॉलम में एक और कॉलम जोड़ सकते हैं।

नीचे की मैट्रिक्स के साथ, सब कुछ बेहद सरल है - यह पहली पंक्ति और पहले कॉलम को हटाकर ऊपर से प्राप्त किया जाता है। (1) का नुकसान यह है कि आपको निर्धारकों को लेना होगा, हालांकि, यदि आप इस नियमित कार्य को कंप्यूटर पर स्थानांतरित करते हैं, तो यह पता चलता है कि व्यक्ति को केवल अपने कार्य से संख्याओं के साथ सही ढंग से मेट्रिसेस भरना होगा। एक ही समय में, एक सूत्र का उपयोग करके, आप कुछ सामान्य अभ्यास समस्याओं को हल कर सकते हैं:

• बिंदुओं द्वारा एक परिवृत्त परिवर्तन खोजना;
• बैरिएट्रिक निर्देशांक की गणना;
• मल्टीलाइनर इंटरपोलेशन;
• रैखिक परिवर्तन की समस्याएं (अनुवाद के बिना):
  
  • मैट्रिक्स उलटा;
  • एक सूत्र में Cramer का नियम (नहीं, जो आपने देखा, वह एक सूत्र में नहीं है);
  • जब परिवर्तन होता है तो वेक्टर के निर्देशांक का पुनर्गणना;
  • लैग्रेंज बहुपद द्वारा प्रक्षेप।

एक विमान पर तीन सूत्रीय परिशोधन परिवर्तन

एक अज्ञात चक्कर परिवर्तन के प्रभाव के तहत, विमान पर तीन बिंदु अन्य तीन बिंदुओं को पारित कर दिया। इस परिशोधन परिवर्तन का पता लगाएं।
निश्चितता के लिए, हमारे प्रवेश बिंदुओं को जाने दो


और परिवर्तन का परिणाम है

Affine परिवर्तन का पता लगाएं $$$\ mathcal {A}$ ।

वास्तव में, इस समस्या को अलग-अलग तरीकों से हल किया जा सकता है: रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का उपयोग करते हुए, बैरिएट्रिक निर्देशांक ... लेकिन हम अपने तरीके से जाएंगे। मुझे लगता है कि प्रयुक्त संकेतन से, आप अनुमान लगा सकते हैं कि मुझे क्या मिल रहा है: हम आयाम के लिए समीकरण (1) लेते हैं $$$n = 2$ और स्थानापन्न $$$\ vec {x} ^ {\, (i)}$ इनपुट मापदंडों के रूप में, और $$$\ vec {X} ^ {\, (i)}$ - सप्ताहांत के रूप में


और फिर यह केवल निर्धारकों की गणना करने के लिए रहता है


एक प्रशिक्षित आंख आसानी से एक मोड़ का पता लगा लेगी $$$30 ^ {\ circ}$ और पर प्रसारित $$$((3 + \ sqrt {3}) / 2, 2) ^ {\ mathsf {T}}$ ।

फॉर्मूला कब लागू होता है?

इनपुट और आउटपुट वैक्टर के अलग-अलग आयाम हो सकते हैं - सूत्र किसी भी आयाम के रिक्त स्थान पर कार्य करने वाले affine परिवर्तनों के लिए लागू होता है। हालांकि, पर्याप्त इनपुट बिंदु होने चाहिए और वे "एक साथ छड़ी" नहीं होना चाहिए: यदि एफाइन परिवर्तन से कार्य करता है $$$एन$ -अनुकूलित स्थान - बिंदुओं से एक गैर-पतित सिंप्लेक्स बनना चाहिए $$$n + 1$ बिंदु। यदि यह स्थिति पूरी नहीं होती है, तो परिवर्तन को किसी भी तरीके से (किसी भी विधि से, केवल यही नहीं) को स्पष्ट रूप से बहाल करना असंभव है - सूत्र हर में इस बारे में शून्य से चेतावनी देगा।

एक प्रोग्रामर के लिए एक ट्रांसफ़ॉर्म रूपांतरण को बहाल क्यों करें?

अक्सर आपको दो चित्रों के बीच एक परिवर्तन खोजने की आवश्यकता होती है (उदाहरण के लिए, कैमरे की स्थिति की गणना करने के लिए)। यदि हमारे पास इन छवियों में कुछ विश्वसनीय विशेष बिंदु (विशेषताएं) हैं, या सिर्फ रैनजैक के साथ शुरू करने और परिचर्चा करने वालों के साथ लड़ने का मन नहीं है, तो इस सूत्र का उपयोग किया जा सकता है।

एक और उदाहरण टेक्सचरिंग है । एक बनावट से एक त्रिभुज को काटना और एक समतल या अंतरिक्ष में कहीं पर एक त्रिकोण पर खींचना एक बनावट अंतरिक्ष से बिंदुओं को एफाइन परिवर्तन लागू करने के लिए एक विशिष्ट कार्य है, उन्हें उस स्थान में अनुवाद करना जहां मॉडल रहते हैं। और अक्सर हमारे लिए यह इंगित करना आसान होता है कि बनावट पर कौन से बिंदु मॉडल के त्रिकोण के कोने से मेल खाते हैं, लेकिन यह स्थापित करने के लिए कि गैर-कोने वाले बिंदुओं को कुछ विचार की आवश्यकता हो सकती है। एक ही सूत्र के साथ, यह केवल सही कोशिकाओं में संख्याओं को सम्मिलित करने के लिए पर्याप्त है और ऐसी सुंदरता होगी।

मुझे व्यक्तिगत रूप से क्या सामना करना पड़ा: तंत्रिका नेटवर्क मार्कर कोनों के निर्देशांक देता है और हम मार्कर पर स्थित आभासी वस्तु के साथ "वास्तविकता को पूरक" करना चाहते हैं।
जाहिर है, मार्कर को स्थानांतरित करते समय, ऑब्जेक्ट को अपने सभी आंदोलनों को दोहराना होगा। और यहां सूत्र (1) बहुत उपयोगी है - यह मार्कर के बाद ऑब्जेक्ट को स्थानांतरित करने में हमारी मदद करेगा।

या एक अन्य उदाहरण: आपको मंच पर विभिन्न वस्तुओं के रोटेशन को प्रोग्राम करने की आवश्यकता है, जो कि उपयोगी उपकरण का उपयोग कर रहे हैं। ऐसा करने के लिए, हमें समन्वित अक्षों के समानांतर तीन अक्षों के चारों ओर चयनित मॉडल को घुमाने और ऑब्जेक्ट के केंद्र से गुजरने में सक्षम होना चाहिए। चित्र एक अक्ष के चारों ओर मॉडल के रोटेशन के मामले को दर्शाता है $$$Oz$ ।

अंततः, यह सभी एक मनमाना बिंदु के चारों ओर घूमने की द्वि-आयामी समस्या के लिए नीचे आता है। चलो इसे भी कुछ सरल मामले के लिए हल करें, कहते हैं, चालू करें $$$90 ^ \ _$ चारों ओर वामावर्त $$$(ए; बी)$ (सामान्य मामले को उसी तरह हल किया जाता है, मैं सिर्फ साइन और कॉशन के साथ गणना को अव्यवस्थित नहीं करना चाहता)। बेशक, आप समुराई के रास्ते पर जा सकते हैं और तीन मैट्रिसेस (रोटेशन पॉइंट का शून्य से अनुवाद, वास्तव में रोटेशन और ट्रांसलेशन बैक) में गुणा कर सकते हैं, या आप फार्मूला के पहले और बाद में किसी भी तीन बिंदुओं के निर्देशांक पा सकते हैं और सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। पहला बिंदु आसान है - हम पहले से ही जानते हैं $$$(ए; बी)$ खुद में चला जाता है। आइए एक बिंदु को दाईं ओर देखें, क्योंकि यह सच है $$$(a + 1; b) \ mapsto (a; b + 1)$ । खैर, और नीचे एक और एक, यह स्पष्ट है कि $$$(ए; बी -1) \ मैपस्टो (ए + 1; बी)$ । फिर सब कुछ सरल है

Barycentric निर्देशांक

हम लाप्लास नियम के अनुसार पहली पंक्ति के साथ ऊपरी निर्धारक (1) का विघटन करते हैं। यह स्पष्ट है कि परिणामस्वरूप हमें वैक्टर के कुछ भारित योग प्राप्त होते हैं $$$\ vec {X} ^ {(i)}$ । यह पता चला है कि इस राशि में गुणांक तर्क के द्विभाजित निर्देशांक हैं $$$\ vec {x}$ दिए गए सिम्पलेक्स के संबंध में $$$\ vec {x} ^ {\, (i)}$ (प्रमाणों के लिए देखें [१] )। यदि हम केवल बिंदु के बैरिएंट्रिक निर्देशांक में रुचि रखते हैं, तो हम यूनिट ऑर्ट्स के साथ पहली पंक्ति को धोखा दे सकते हैं और भर सकते हैं - यह निर्धारित करने के बाद कि हम एक वेक्टर प्राप्त करते हैं, जिनके घटक बायोरिएट्रिक निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं $$$\ vec {x}$ । रेखांकन, ऐसा रूपांतरण $$$\ mathcal {B}$ एक बिंदु का इसके बैरीकेन्टिक निर्देशांक के स्थान में अनुवाद करना इस प्रकार दिखेगा


आइए इस "नुस्खा" को व्यवहार में आजमाएं। कार्य: किसी दिए गए त्रिभुज के संबंध में एक बिंदु के द्विसंयोजक निर्देशांक को खोजें। इसे निश्चितता के लिए एक बिंदु होने दें $$$(2,2) ^ \ mathsf {T}$ , और एक त्रिकोण के कोने ले


बिंदु छोटा है - ले (1) के लिए $$$n = 2$ , सही ढंग से कार्य डेटा को वहां रखें और निर्धारकों की गणना करें


यहाँ समाधान है: द्विसंयोजक निर्देशांक $$$(2,2) ^ \ mathsf {T}$ किसी दिए गए त्रिकोण के संबंध में है $$$0.6$ । $$$0.3$ और $$$0.1$ । प्रोग्रामिंग में, बैरिएंटिक निर्देशांक की गणना अक्सर यह जांचने के संदर्भ में उत्पन्न होती है कि क्या एक बिंदु एक सिम्प्लेक्स के अंदर है (तब सभी बैरिकेट्रिक निर्देशांक शून्य से अधिक और एकता से कम हैं), साथ ही साथ विभिन्न प्रक्षेपों के लिए, जिनकी हम अब चर्चा करेंगे।

ध्यान दें कि सूत्र (1) में एक सुखद द्वंद्व है: यदि हम पहले कॉलम में निर्धारक का विस्तार करते हैं, तो हम एफाइन फ़ंक्शन के लिए मानक अंकन प्राप्त करते हैं, और यदि पहली पंक्ति में हमें आउटपुट वैक्टर का एफाइन संयोजन मिलता है।

मल्टीलियर इंटरपोलेशन

इसलिए, हमने पाया कि एफाइन ट्रांसफॉर्मेशन, तर्क के बेरिएट्रिक निर्देशांक के बराबर गुणांक वाले आउटपुट वैक्टर को वेट करता है। इस संपत्ति का उपयोग मल्टीलाइनर प्रक्षेप के लिए करना स्वाभाविक है।

रंग प्रक्षेप

उदाहरण के लिए, चलो मानक जीएल - वें "हैलो वर्ल्ड" की गणना करते हैं - एक रंगीन त्रिकोण। बेशक, ओपनजीएल पूरी तरह से जानता है कि रंगों को कैसे प्रक्षेपित किया जाता है और यह भी बेरेंट्रिक निर्देशांक का उपयोग करता है , लेकिन आज हम इसे स्वयं करेंगे।

कार्य: त्रिभुज के शीर्ष पर रंगों को त्रिकोण के अंदर रंगों को प्रक्षेपित करने के लिए सेट किया जाता है। निश्चितता के लिए, हमारे त्रिभुज के कोने निर्देशांक हैं


हम उन्हें रंग प्रदान करते हैं: पीला, सियान और मैजेंटा


संख्या त्रिभुज एक रंग के RGB घटक हैं। (1) लें और इनपुट डेटा की सही व्यवस्था करें


यहाँ घटक हैं $$$\ mathcal {C} (x; y)$ इंगित करें कि बिंदु को कैसे चित्रित किया जाए $$$(x, y)$ RGB के संदर्भ में। आइए देखें क्या हुआ।

हम कह सकते हैं कि हमने सिर्फ एक तस्वीर के दो आयामी स्थान को रंगों (RGB) के तीन आयामी स्थान में बदल दिया।

सामान्य प्रक्षेप (फोंग छायांकन)

हम उन वैक्टरों में कई तरह के अर्थ डाल सकते हैं जिन्हें हम प्रक्षेपित करते हैं, जिनमें वे सामान्य वैक्टर भी हो सकते हैं। इसके अलावा, यह वही है जो फोंग छायांकन करता है, केवल प्रक्षेप के बाद वैक्टर को सामान्य करने की आवश्यकता होती है। इस प्रक्षेप की आवश्यकता क्यों है, यह अच्छी तरह से निम्नलिखित छवि (विकिपीडिया commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=1556366 से लिया गया) द्वारा चित्रित किया गया है।

मुझे नहीं लगता कि यह अब गणना करने लायक है - सभी विवरणों पर चर्चा की जाती है [2] , लेकिन मैं परिणाम के साथ एक तस्वीर दिखाऊंगा।

इस पर वैक्टर एकल नहीं हैं, और फोंग छायांकन में उपयोग के लिए, उन्हें पहले सामान्यीकृत किया जाना चाहिए, और, स्पष्टता के लिए, उन्हें बहुत अलग दिशाओं में निर्देशित किया जाता है, जो शायद ही कभी व्यवहार में होता है।

हवाई जहाज का पता लगाएं $$$z = z (x, y)$ तीन बिंदुओं पर

एफाइन परिवर्तन के आवेदन के एक और असामान्य उदाहरण पर विचार करें।
तीन अंक दिए गए हैं

हम फॉर्म में उनके माध्यम से गुजरने वाले विमान के समीकरण का पता लगाते हैं $$$z = z (x, y)$ । और हम इसे एफ़ाइन परिवर्तनों की मदद से करेंगे: आखिरकार, यह ज्ञात है कि वे विमानों में विमानों का अनुवाद करते हैं। शुरू करने के लिए, हम विमान के सभी बिंदुओं को डिज़ाइन करते हैं $$$Xy$ यह आसान है। और अब हम एक प्राइन ट्रांसफ़ॉर्मेशन स्थापित करेंगे, जो अंकों के अनुमानों को मूल तीन-आयामी बिंदुओं में बदल देता है


और जो अंक और पूरे विमान के साथ "उठाता है" $$$Xy$ इतना तो है कि परिवर्तन के बाद यह हमारे लिए ब्याज के बिंदुओं से गुजर जाएगा।

हमेशा की तरह, हमें केवल मैट्रिक्स के तत्वों के बीच संख्याओं को वितरित करने की आवश्यकता है


सामान्य रूप में अंतिम अभिव्यक्ति को फिर से लिखें


और जो हुआ उसे ड्रा करें।

रैखिक परिवर्तन

Affine परिवर्तनों के व्यावहारिक महत्व के बावजूद, अक्सर रैखिक लोगों से निपटना पड़ता है। निश्चित रूप से, रैखिक परिवर्तन एक परिवर्तन का एक विशेष मामला है, एक बिंदु को छोड़कर $$$\ vec {0}$ । यह हमें सूत्र को थोड़ा सरल बनाने की अनुमति देता है (आखिरकार, स्तंभों में से एक में लगभग केवल शून्य होगा और आप इसके द्वारा निर्धारक का विस्तार कर सकते हैं)


जैसा कि आप देख सकते हैं, इकाइयों और एक कॉलम के साथ अंतिम पंक्ति सूत्र से गायब है। यह परिणाम हमारे विचारों के साथ पूरी तरह से संगत है जो एक रैखिक परिवर्तन को निर्दिष्ट करने के लिए, इसके प्रभाव को इंगित करने के लिए पर्याप्त है $$$एन$ रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व।

तीन-बिंदु रैखिक परिवर्तन

आइए समस्या को हल करें कि कैसे सब कुछ काम करता है। समस्या: यह ज्ञात है कि कुछ रैखिक परिवर्तन की कार्रवाई के तहत


हम इस रैखिक परिवर्तन पाते हैं।

हम एक सरलीकृत सूत्र लेते हैं और सही संख्याओं को सही स्थानों पर रखते हैं:


हो गया!

उलटा रूप बदलना

याद रखें कि रैखिक परिवर्तन मैट्रिक्स


इसके कॉलम में यूनिट वैक्टर की छवियां शामिल हैं:


इसलिए, यूनिट वैक्टर पर एक मैट्रिक्स के रूप में कार्य करते हुए, हमें इसके कॉलम मिलते हैं। और उलटा परिवर्तन के बारे में क्या (चलो कहते हैं कि यह मौजूद है)? यह सब कुछ "इसके विपरीत" करता है:


एक मिनट प्रतीक्षा करें, क्योंकि हमने केवल एक रैखिक परिवर्तन के प्रभाव में तीन बिंदुओं की छवियों को पाया - परिवर्तन को पुनर्स्थापित करने के लिए पर्याप्त है!


जहाँ $$$\ vec {e} _1 = (1; 0; 0) ^ \ mathsf {T}$ । $$$\ vec {e} _2 = (0; 1; 0) ^ \ mathsf {T}$ और $$$\ vec {e} _3 = (0; 0; 1) ^ \ mathsf {T}$ ।

हम खुद को त्रि-आयामी स्थान तक सीमित नहीं करेंगे और पिछले सूत्र को अधिक सामान्य रूप में फिर से लिखेंगे

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमें वेक्टर तर्क के घटकों के साथ बाईं ओर एक स्तंभ पर मैट्रिक्स को असाइन करने की आवश्यकता है, शीर्ष पर - समन्वित वैक्टर के साथ एक पंक्ति, और फिर यह केवल निर्धारक लेने की क्षमता है।

उलटा परिवर्तन समस्या

आइए दिए गए तरीके को अभ्यास में आजमाते हैं। कार्य: मैट्रिक्स को उल्टा करें


हम (2) का उपयोग करते हैं $$$n = 3$


यह तुरंत स्पष्ट है कि

एक सूत्र में नियम

स्कूल के बाद से, हम फॉर्म के समीकरणों का सामना कर रहे हैं


यदि मैट्रिक्स $$$\ _ {ए}$ गैर पतित, तो समाधान के रूप में लिखा जा सकता है


हम्म ... क्या यह पिछले खंड में नहीं है कि मैंने एक ही अभिव्यक्ति देखी, लेकिन इसके बजाय $$$ब$ एक और पत्र था? हम इसका उपयोग करेंगे।

यह क्रैमर के नियम के अलावा और कोई नहीं है। यह पहली पंक्ति पर निर्धारक का विस्तार करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है: गणना $$$x_i$ बस मान लिया जाता है कि हम कॉलम को पार कर चुके हैं $$$\ vec {e} _i$ और इसके साथ $$$मैं$ मैट्रिक्स कॉलम $$$\ _ {A}$ । अब यदि आप कॉलम को पुनर्व्यवस्थित करते हैं $$$ब$ दूरस्थ एक के बजाय, फिर हमें बस नियम "इन्सर्ट कॉलम" प्राप्त करना चाहिए $$$ब$ जगह में $$$मैं$ Th कॉलम और निर्धारणकर्ता ढूंढें। " और हाँ, संकेतों के साथ, सब ठीक है: अकेले $$$\ pm$ हम लाइन के साथ विस्तार करते समय उत्पन्न करते हैं, जबकि अन्य जब पुनर्व्यवस्थित करते हैं - परिणामस्वरूप, वे एक दूसरे को रद्द करते हैं।

परिणामी समीकरण को देखते हुए, आप बायरसेंट्रिक निर्देशांक खोजने के लिए समीकरण के साथ इसकी समानता को नोटिस कर सकते हैं: रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान एक बिंदु के बैरिएट्रिक निर्देशांक ढूंढ रहा है $$$\ vec {b}$ एक सिंप्लेक्स के संबंध में, जिनमें से एक कोने में $$$\ vec {0}$ , और बाकी मैट्रिक्स के कॉलम द्वारा परिभाषित किए गए हैं $$$\ _ {A}$ ।

रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान

हम रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं


मैट्रिक्स के रूप में, यह ऐसा दिखता है


हम परिणामी सूत्र का उपयोग करते हैं


जवाब कहां से आता है $$$x = 1/25$ । $$$y = 14/25$ और $$$z = 2/5$ ।

आधार बदलते समय वेक्टर निर्देशांक का परिवर्तन

मान लीजिए कि हमने एक नया आधार चुना है (हमने एक अलग समन्वय प्रणाली में बदल दिया है)। यह ज्ञात है कि वैक्टर के नए निर्देशांक पुराने रैखिक रूप से व्यक्त किए जाते हैं। इसलिए, यह आश्चर्यजनक नहीं है कि हम आधार बदलने के लिए अपने उपकरणों का उपयोग कर सकते हैं। यह कैसे करना है, मैं एक उदाहरण के साथ दिखाऊंगा।

तो, आइए हम मानक आधार से आगे बढ़ें $$$\ {\ vec {e} _x, \ vec {e} _y \}$ वैक्टर से मिलकर एक आधार पर


पुराने आधार में, एक वेक्टर निर्दिष्ट है $$$\ vec {x} = (3,4) ^ \ mathsf {T}$ । इस वेक्टर के निर्देशांक को नए आधार में खोजें। नई समन्वय प्रणाली में, नए आधार के वैक्टर orts बन जाएंगे और उनके पास निर्देशांक होंगे


इसके बाद, स्तंभों के पास स्ट्रोक का मतलब है कि उनमें निर्देशांक एक नए आधार का उल्लेख करते हैं। यह अनुमान लगाना आसान है कि एक रैखिक परिवर्तन जो अनुवाद करता है


आवश्यकतानुसार हमारे वेक्टर के निर्देशांक को भी परिवर्तित करता है। यह केवल फॉर्मूला लागू करने के लिए बनी हुई है


सामान्य तरीके से समस्या के समाधान के लिए मैट्रिक्स व्युत्क्रम की आवश्यकता होती है (जो, हालाँकि, मुख्य रूप से गणना करने वाले निर्धारक भी होते हैं) और गुणन


हमने इन चरणों को केवल एक सूत्र में पैक किया है।

उलटा समस्याओं के लिए सूत्र क्यों काम करता है?

उलटा समस्याओं को हल करने में सूत्र की प्रभावशीलता को निम्नलिखित समानता से समझाया गया है (प्रमाण [1] में है )


इस प्रकार, सूत्र स्वयं व्युत्क्रम मैट्रिक्स में छिप जाता है और इसके अलावा किसी अन्य मैट्रिक्स द्वारा गुणा किया जाता है। यह अभिव्यक्ति अंकों द्वारा रैखिक परिवर्तन खोजने की समस्या का मानक समाधान है। ध्यान दें कि उत्पाद की पहचान में दूसरा मैट्रिक्स बनाने से, हमें बस उलटा मैट्रिक्स प्राप्त होता है। इसकी मदद से, रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली और इसे कम करने वाली समस्याओं को हल किया जा सकता है: बेरेंट्रिक निर्देशांक ढूंढना, लैग्रेंज पोलीनॉमिअल्स द्वारा प्रक्षेप, आदि। हालांकि, दो मैट्रिस के उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व हमें पहली पंक्ति में और पहले कॉलम पर विस्तार के साथ जुड़े "दो झलक" प्राप्त करने की अनुमति नहीं देता है।

अंतराल व्यवस्था और इसके गुण

आपको याद दिला दूं कि लग्र्ज प्रक्षेप में सबसे कम बहुपद है जो अंकों से गुजर रहा है $$$(a_0; b_0)$ । $$$(a_1; b_1)$ । $$$\ dots$ । $$$(a_n; b_n)$ । ऐसा नहीं है कि यह प्रोग्रामर अभ्यास में एक सामान्य कार्य था, लेकिन चलो इसे वैसे भी देखें।

बहुपद और रैखिक परिवर्तन कैसे संबंधित हैं?

तथ्य यह है कि बहुपद


वेक्टर को प्रदर्शित करने वाले रैखिक परिवर्तन के रूप में माना जा सकता है $$$(x ^ n; x ^ {n-1}; \ dots; 1) ^ T$ में $$$\ mathbb {R}$ । तो बिंदु प्रक्षेप समस्या $$$(a_0; b_0)$ । $$$(a_1; b_1)$ । $$$\ dots$ । $$$(a_n; b_n)$ इस तरह के एक रेखीय परिवर्तन को खोजने के लिए कम कर देता है


और हम ऐसा करने में सक्षम हैं। सही कोशिकाओं में सही अक्षरों को स्थान दें और सूत्र प्राप्त करें


यह सबूत है कि यह लैग्रेंज बहुपद होगा (और कोई नहीं) [1] में पाया जा सकता है। वैसे, हर में अभिव्यक्ति वैंडमोंडे की पहचानकर्ता है। यह जानते हुए और पहली पंक्ति में अंश में निर्धारक का विस्तार करते हुए, हम Lagrange बहुपद के लिए एक अधिक परिचित सूत्र पर पहुंचते हैं।

लैग्रेंज बहुपद पर समस्या

क्या इसका उपयोग करना मुश्किल है? आइए इस समस्या पर बलों की कोशिश करें: अंक के माध्यम से गुजरने वाले लैग्रेंज बहुपद का पता लगाएं $$$(- 1; 2)$ । $$$(3; 4)$ और $$$(2; 7)$ ।

इन बिंदुओं को सूत्र में रखें


चार्ट पर, सब कुछ इस तरह दिखेगा।

लैग्रेंज बहुपद के गुण

पहली पंक्ति और पहले कॉलम में ऊपरी निर्धारक निर्धारित करने के बाद, हम दो अलग-अलग पक्षों से लग्र्ज बहुपद को देखते हैं। पहले मामले में, हमें विकिपीडिया से क्लासिक सूत्र मिलता है, और दूसरे में, हम बहुपद को मोनोमियल के योग के रूप में लिखते हैं $$$\ Alpha_i x ^ i$ जहाँ


और अब हम अपेक्षाकृत आसानी से जटिल बयानों को साबित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, [2] में यह एक पंक्ति में सिद्ध किया गया था कि मूल लैग्रेंज बहुपद का योग एक के बराबर होता है और यह कि लैग्रेंज बहुपद प्रक्षेप $$$(a_0 (a_0 ^ {n + 1})$ । $$$\ dots$ । $$$(a_n! a_n ^ {n + 1})$ शून्य मान है $$$(- 1) ^ {n} a_0 \ cdot \ cdots \ cdot a_n$ । खैर, एक भी लैग्रेंज नहीं - साइन-कॉसिन या कुछ अन्य कार्यों द्वारा प्रक्षेप के लिए एक समान दृष्टिकोण लागू किया जा सकता है।

निष्कर्ष

अंत तक पढ़ने वाले सभी को धन्यवाद। इस लेख में, हमने एक गैर-मानक सूत्र का उपयोग करके मानक समस्याओं को हल किया। मुझे यह पसंद आया क्योंकि, सबसे पहले, यह दर्शाता है कि एफ़िन (रैखिक) परिवर्तन, बेरेंट्रिक निर्देशांक, प्रक्षेप, और यहां तक ​​कि लैग्रेंज बहुपद भी निकटता से संबंधित हैं। आखिरकार, जब समस्याओं का समाधान उसी तरह लिखा जाता है, तो उनकी आत्मीयता के बारे में सोचा जाता है। दूसरे, ज्यादातर समय हम केवल अतिरिक्त बदलावों के बिना सही कोशिकाओं में इनपुट डेटा की व्यवस्था करते हैं।

जिन कार्यों को हमने माना है, वे भी काफी परिचित तरीकों से हल किए जा सकते हैं। हालांकि, छोटे आयाम या शैक्षिक कार्यों की समस्याओं के लिए, सूत्र उपयोगी हो सकता है। इसके अलावा, वह मुझे सुंदर लगती है।

संदर्भ

[ 1] शुरुआत करने के लिए शुरुआत में सरलता से मैपिंग करने के लिए गाइड

[ 2] सरलता से सरलता से मानचित्रण पर कार्यपुस्तिका