गणित के दृष्टिकोण से हर किसी की शादी कैसे हो सकती है (एक-, दो- और तीन-लिंग विवाह)

2012 में, अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार लॉयड शैले और एल्विन रोथ को प्रदान किया गया था। "स्थिर वितरण और बाजार अभ्यास के सिद्धांत के लिए।" 2012 में एलेक्सी सवेटेव ने गणितज्ञों की खूबियों का सार बस स्पष्ट रूप से बताने की कोशिश की। मैं आपका ध्यान वीडियो लेक्चर नोट्स पर लाता हूं।


आज एक सैद्धांतिक व्याख्यान होगा। अल रोथ के प्रयोगों के बारे में, विशेष रूप से दान के साथ, मैं बात नहीं करूंगा।

जब यह घोषणा की गई कि लॉयड शैले (1923-2016) को नोबेल पुरस्कार मिला, तो एक मानक प्रश्न था: "कैसे! क्या वह अभी भी जीवित है?!? " उनका सबसे प्रसिद्ध परिणाम 1953 में प्राप्त हुआ था।

औपचारिक रूप से, पुरस्कार दूसरे के लिए दिया गया था। 1962 के कार्य के लिए "स्थायी विवाह पर प्रमेय": "कॉलेज प्रवेश और विवाह की स्थिरता"।

सस्टेनेबल मैरिज के बारे में

मैच ढूंढना मैच का काम है।

एक अलग-थलग गाँव है। "एम" युवा लोग हैं और "डब्ल्यू" लड़कियां हैं। एक-दूसरे से उनकी शादी करना आवश्यक है। (जरूरी नहीं कि एक ही राशि हो, शायद अंत में किसी को अकेला छोड़ दिया जाएगा।)

मॉडल में आपको क्या आवश्यकताएं हैं? जो सिर्फ यादृच्छिक नहीं है। नि: शुल्क चुनाव की दिशा में एक कदम उठाया जा रहा है। मान लीजिए कि एक बुद्धिमान अक्कल है जो शादी करना चाहता है ताकि उसकी मृत्यु के बाद तलाक शुरू न हो। (तलाक एक ऐसी स्थिति है, जहां एक पति चाहता है कि तीसरे पक्ष की महिला पत्नी से ज्यादा शादी करे।)

यह प्रमेय आधुनिक अर्थशास्त्र की आत्मा में है। वह बेहद अमानवीय है। अर्थव्यवस्था परंपरागत रूप से अमानवीय है। अर्थशास्त्र में, एक व्यक्ति को मुनाफे को अधिकतम करने के लिए एक कार द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। मैं जो बताने जा रहा हूं वह नैतिकता के मामले में पूरी तरह से पागल है। दिल पर मत लेना।

अर्थशास्त्री शादी को ऐसे देखते हैं।
एम ₁ , एम ₂ , ... एम _के पुरुष हैं।
डब्ल्यू ₁ , डब्ल्यू ₂ , ... डब्ल्यू _एल - महिलाएं।

एक आदमी की पहचान की जाती है कि वह कैसे लड़कियों को "आदेश" देता है। एक "शून्य स्तर" भी है, जिसके नीचे महिलाओं को शादी करने की पेशकश नहीं की जानी चाहिए, भले ही कोई अन्य न हो।



दोनों दिशाओं में सब कुछ होता है, लड़कियों का भी यही हाल है।

प्रारंभिक डेटा मनमाना है। एकमात्र सुझाव / सीमा यह है कि हम अपनी प्राथमिकताएँ नहीं बदलते हैं।

प्रमेय: वितरण और स्तर शून्य के बावजूद, हमेशा पुरुषों के एक हिस्से और महिलाओं के एक हिस्से के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित करने का एक तरीका है, ताकि यह किसी भी प्रकार के विभाजन (न केवल तलाक) के संबंध में स्थिर हो।

क्या खतरे हो सकते हैं?

एक युगल (m, w) है जो विवाहित नहीं है। लेकिन w के लिए, वर्तमान पति m से भी बदतर है, और m के लिए, वर्तमान पत्नी w से भी बदतर है। यह एक अस्थिर स्थिति है।

एक और विकल्प है, कि किसी ने किसी ऐसे व्यक्ति से शादी की जो "शून्य से नीचे" है, इस स्थिति में शादी भी टूट जाएगी।

यदि एक महिला शादीशुदा है, लेकिन वह एक अविवाहित महिला को पसंद करती है, जिसके लिए वह शून्य से ऊपर है।

अगर दो लोग अविवाहित हैं, और दोनों एक-दूसरे के लिए "शून्य से ऊपर" हैं।

यह तर्क दिया जाता है कि किसी भी प्रारंभिक डेटा के लिए, ऐसी विवाह प्रणाली मौजूद है जो सभी प्रकार के खतरों के लिए प्रतिरोधी है। दूसरे, इस तरह के संतुलन को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म बहुत सरल है। M * N के साथ संवाद करें।

इस मॉडल को "बहुविवाह" के लिए सामान्यीकृत और विस्तारित किया गया और कई क्षेत्रों में लागू किया गया।

गेल-शप्पी प्रक्रिया

यदि सभी पुरुष और सभी महिलाएं "उपदेशों" का अनुपालन करती हैं, तो परिणामस्वरूप विवाह प्रणाली स्थिर होगी।

नुस्खे।
हमें आवश्यकतानुसार कुछ दिन लगते हैं। हर दिन हम दो हिस्सों (सुबह और शाम) में टूटते हैं।

पहली सुबह, हर पुरुष अपनी सबसे अच्छी महिला के पास जाता है और उसे शादी करने के लिए आमंत्रित करते हुए खिड़की पर दस्तक देता है।

एक ही दिन की शाम में, यह कदम महिलाओं के लिए चला जाता है। एक महिला क्या खोज सकती है? खिड़की के नीचे वह एक भीड़ है, या तो एक आदमी नहीं है। जिनके पास आज कोई नहीं था, वे याद करते हैं। बाकी, जिनके पास कम से कम एक है, उन पुरुषों की जांच करें जो आए हैं कि वे "शून्य से ऊपर" हैं। कम से कम एक करने के लिए। यदि आप पूरी तरह से अशुभ हैं और सब कुछ शून्य से नीचे है, तो सभी को भेजने की आवश्यकता है। महिला आने वालों में से अधिकतम को चुनती है, उसे इंतजार करने के लिए कहती है, और बाकी को भेजती है।

दूसरे दिन से पहले, स्थिति यह है: कुछ महिलाओं में एक आदमी है, कुछ के पास नहीं है।

दूसरे दिन, सभी "मुक्त" (भेजे गए) पुरुषों को दूसरी प्राथमिकता वाली महिला के पास जाने की आवश्यकता होती है। यदि कोई नहीं है, तो आदमी को एकल घोषित किया जाता है। जो पुरुष पहले से ही महिलाओं के साथ बैठे हैं, वे अभी तक कुछ नहीं कर रहे हैं।

शाम को, महिलाएं स्थिति को देखती हैं। यदि जो पहले से बैठा था, वह उच्च प्राथमिकता में शामिल हो गया, तो निचली प्राथमिकता दूर भेज दी जाती है। यदि आगंतुक मौजूदा से कम हैं, तो सभी भेजे जाते हैं। हर बार महिलाएं अधिकतम तत्व चुनती हैं।

हम दोहराते हैं।

परिणामस्वरूप, प्रत्येक पुरुष अपनी महिलाओं की पूरी सूची से गुजरता था और या तो अकेला रहता था या किसी महिला द्वारा पक्षपाती था। फिर हम सबकी शादी करेंगे।

क्या इस पूरी प्रक्रिया को चलाना संभव है, लेकिन इतना है कि महिलाएं पुरुषों को चलाती हैं? प्रक्रिया सममित है, लेकिन समाधान अलग हो सकता है। लेकिन सवाल यह है कि इससे बेहतर कौन है?

प्रमेय। न केवल इन दो सममित समाधानों पर विचार करें, बल्कि सभी स्थिर विवाह प्रणालियों का सेट। प्रारंभिक प्रस्तावित तंत्र (पुरुष भागते हैं और महिलाएं सहमत / मना करती हैं) एक विवाह प्रणाली की ओर जाता है जो किसी भी पुरुष के लिए किसी अन्य की तुलना में बेहतर है और किसी भी महिला के लिए किसी अन्य की तुलना में बदतर है।

सेम-सेक्स मैरिज

समान-सेक्स विवाह के साथ स्थिति पर विचार करें। एक गणितीय परिणाम पर विचार करें जो उन्हें वैध बनाने की आवश्यकता पर संदेह करता है। एक वैचारिक रूप से गलत उदाहरण।

चार समलैंगिकों पर विचार करें a, b, c, d।

प्राथमिकता के लिए a: bcd
बी के लिए प्राथमिकताएं: कैड
सी के लिए प्राथमिकताएं: पेट
डी के लिए, यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह शेष तीन को कैसे रैंक करता है।

कथन: इस प्रणाली में कोई स्थायी विवाह प्रणाली नहीं है।

चार लोगों के लिए कितने सिस्टम हैं? तीन। ab cd, ac bd, ad bc जोड़े अलग हो जाएंगे और प्रक्रिया लूप होगी।

"तीन लिंग वाले" सिस्टम।
यह एक महत्वपूर्ण प्रश्न है जो गणित के पूरे क्षेत्र को खोलता है। यह मास्को, व्लादिमीर इवानोविच डेनिलोव में मेरे सहयोगी द्वारा किया गया था। "शादी" उन्होंने वोदका पीने के रूप में देखा और भूमिकाएं थीं: "डालना", "टोस्ट बात करना" और "सॉसेज काटने वाला"। ऐसी स्थिति में जहां प्रत्येक भूमिका के 4 या अधिक प्रतिनिधि होते हैं, यह जानवर बल द्वारा हल करना असंभव है। एक स्थायी प्रणाली का मुद्दा खुला है।

Shapley वेक्टर

झोपड़ी गांव में, उन्होंने सड़क को प्रशस्त करने का फैसला किया। में चिप लगाने की जरूरत है। कैसे?

1953 में शप्पी ने इस समस्या के समाधान का प्रस्ताव रखा। मान लीजिए कि व्यक्तियों के समूह N = {1,2 ... n} के साथ संघर्ष की स्थिति है। लागत / लाभ साझा करने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि लोगों ने एक साथ कुछ उपयोगी किया है, तो क्या वे बेचेंगे और लाभ कैसे साझा करेंगे?

जब इन लोगों में से एक या किसी अन्य उपसमुच्चय को निर्देशित किया जा सकता है, तो शापली ने साझा करने का सुझाव दिया। सभी 2 ^एन नॉनमीट सब्मिट कितने पैसे कमा सकते हैं। और इस जानकारी के आधार पर, शप्पी ने एक सार्वभौमिक सूत्र लिखा।

एक उदाहरण है। मास्को में अंडरपास में सोलोविस्ट, गिटारवादक और ड्रमर खेलते हैं। उनमें से तीन प्रति घंटे 1000 रूबल कमाते हैं। इसे कैसे साझा करें? आप समान रूप से कर सकते हैं।
वी (1,2,3) = 1000

मान लिया कि
वी (1,2) = 600
वी (1.3) = 450
वी (2,3) = 400
वी (1) = 300
वी (2) = 200
वी (3) = 100

जब तक हम यह नहीं जानते कि इस या उस कंपनी को किस तरह की जीत का इंतजार है, अगर वह डिस्कनेक्ट करता है और स्वतंत्र रूप से कार्य करता है, तो एक निष्पक्ष विभाजन निर्धारित करना असंभव है। और जब हमने संख्या निर्धारित की (हमने एक विशेषता रूप में एक सहकारी खेल पूछा)।

सुपरड्रैडिटिविटी तब होती है जब वे एक साथ व्यक्तिगत रूप से अधिक कमाते हैं, जब इसे एकजुट करने के लिए अधिक लाभदायक होता है, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि लाभ कैसे विभाजित किया जाए। इस बारे में कई प्रतियां तोड़ी गई हैं।

एक खेल है। तीन व्यापारियों ने एक साथ $ 1 मिलियन जमा किए। यदि वे तीनों सहमत हैं, तो उनमें से एक लाख। कोई भी जोड़ा (व्यवसाय से हटाकर) डुबो सकता है और पूरे मिलियन को प्राप्त कर सकता है। और कोई भी अकेले कुछ भी नहीं कर सकता है। यह एक डरावना सहकारी खेल है जिसमें कोई समाधान नहीं है। हमेशा दो ऐसे होंगे जो तीसरे को खत्म कर सकते हैं ... सहकारी खेल सिद्धांत एक उदाहरण के साथ शुरू होता है जिसका कोई समाधान नहीं है।

लेकिन हम ऐसा समाधान चाहते हैं कि कोई भी गठबंधन एक सामान्य समाधान को अवरुद्ध नहीं करना चाहता। सभी शेयरों का सेट जिसे ब्लॉक नहीं किया जा सकता है, कोर है। ऐसा होता है कि कोर खाली है। लेकिन यहां तक ​​कि अगर यह खाली नहीं है, तो कैसे साझा करें?

Shapley उसी तरह साझा करने का सुझाव देता है। N के साथ एक सिक्का फेंको! सामना कर रहा है। इस क्रम में, हम सभी खिलाड़ियों को लिखते हैं। आइए बताते हैं पहला ढोलकिया। वह प्रवेश करता है और अपने 100 लेता है। फिर "दूसरा" आता है, कहते हैं, एक एकल। (एक साथ ड्रमर के साथ, वे 450 कमा सकते हैं, ड्रमर पहले ही 100 ले चुका है) एकल कलाकार 350 लेता है। गिटारवादक प्रवेश करता है (एक साथ 1000, -450), 550 लेता है। अंतिम व्यक्ति जो काफी बार आता है उसे एक जीत मिलती है। (Supermodularity)

यदि हम सभी आदेशों के लिए लिखते हैं:
जीएसबी - (जीत सी) - (जीत जी) - (जीत बी)
GBS - (C जीतो) - (G जीतो) - (B जीतो)
SBG - (C जीतो) - (G जीतो) - (B जीतो)
BSG - (C जीतो) - (G जीतो) - (B जीतो)
BGS - (C जीतें) - (G जीतें) - (B जीतें)
GBS - (C जीतो) - (G जीतो) - (B जीतो)

और प्रत्येक कॉलम के लिए हम 6 जोड़ते हैं और विभाजित करते हैं - सभी आदेशों पर औसत एक Shapley वेक्टर है ।

शापली ने प्रमेय (लगभग) को साबित किया: खेलों का एक वर्ग (सुपरमॉड्यूलर) है जिसमें बड़ी टीम में शामिल होने वाला अगला व्यक्ति - वह एक बड़ी जीत में लाया। कर्नेल हमेशा खाली नहीं होता है और अंकों का उत्तल संयोजन होता है (हमारे मामले में, 6 अंक)। शापली वेक्टर केंद्रक के बहुत केंद्र में स्थित है। यह हमेशा एक समाधान के रूप में पेश किया जा सकता है, कोई भी बुरा नहीं होगा।

1973 में, यह साबित हुआ कि कॉटेज के साथ समस्या सुपरमॉडलुलर है।

पहली झोपड़ी की सड़क को सभी n लोगों द्वारा साझा किया गया है। दूसरे तक - एन -1 लोग। और इसी तरह।

हवाई अड्डे के पास एक रनवे है। अलग-अलग कंपनियों को अलग-अलग लंबाई की जरूरत होती है। वही समस्या पैदा होती है।

मुझे लगता है कि जिन लोगों ने नोबेल पुरस्कार जारी किया था, उनके मन में यह योग्यता थी, न कि सिर्फ शादी का काम।

धन्यवाद!