यादृच्छिक सतहें जटिल क्रम को छिपाती हैं

गणितज्ञों ने साबित किया है कि यादृच्छिक सतह पर लागू होने पर एक यादृच्छिक प्रक्रिया निश्चित रूप से कुछ पैटर्न उत्पन्न करती है

मूल लेख में, यह एक तीन-आयामी छवि है जिसे घुमाया जा सकता है

खोए हुए सन्दूक की खोज के बारे में फिल्म में, इंडियाना जोन्स को एक गुप्त कमरे की तलाश करनी थी, जिसमें महान आर्क ऑफ वाचा को छिपाया गया था। अपने सटीक स्थान को निर्धारित करने के लिए, इंडियाना को एक विशेष मानचित्र खोजने की आवश्यकता थी, केवल तब दिखाई देता है जब दिन के एक निश्चित समय में एक विशेष कमरे में सूरज एक विशेष क्रिस्टल के माध्यम से चमकता है।

एक समान विचार - कि सबसे महत्वपूर्ण जानकारी का खुलासा केवल कुछ परिस्थितियों के सटीक संयोग से किया जा सकता है - कई मिथकों में पाया जाता है। यह गणित में होता है, कभी-कभी अप्रत्याशित परिस्थितियों में। अब, तीन गणितज्ञों ने यह साबित कर दिया है कि यदि एक निश्चित प्रकार की यादृच्छिकता बहुत ठीक है, तो जटिल ज्यामितीय आंकड़े दिखाई देते हैं - जैसे कि एक साधारण मंजिल पर खजाने के साथ एक नक्शा।

ये टुकड़े ग्रिड पर बिखरी हुई शतरंज की कोशिकाओं की तरह हैं, जो बदले में खुद एक यादृच्छिक प्रक्रिया द्वारा बनाई जाती हैं। किसी को लगता है कि रैंडमनेस को बेतरतीब कर देने से हमें भ्रम हो जाएगा। यह पता चला है कि, जैसे कि बर्फ के टुकड़े के मामले में, जब उनमें से प्रत्येक अद्वितीय है, लेकिन साथ ही साथ वे सभी बर्फ के टुकड़े हैं, गड़बड़ एक सार्वभौमिक रूप में परिवर्तित हो जाती है - यदि केवल स्थितियां ठीक वैसे ही हो जाती हैं जैसी कि जरूरत है।

टर्निंग पॉइंट

हर कोई जानता है कि गणितज्ञ रूपों का अध्ययन करते हैं। इनमें से अधिकांश रूप निर्धारक नियमों का पालन करते हैं: यदि मैं आपको एक क्षेत्र के निर्माण के लिए निर्देश देता हूं, तो आप हर बार एक ही क्षेत्र प्राप्त करेंगे।

लेकिन यहां तक ​​कि गणितज्ञ यादृच्छिक प्रक्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त रूपों का अध्ययन करते हैं, जैसे कि, उदाहरण के लिए, यादृच्छिक चलना - एक पथ, जिसके प्रत्येक चरण की दिशा को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। यादृच्छिक चलता के अलावा, अन्य प्रकार की यादृच्छिक ज्यामितीय वस्तुएं हैं, उदाहरण के लिए, यादृच्छिक दो-आयामी सतहें (एक परिदृश्य की कल्पना करें जहां पहाड़ियों और घाटियों को यादृच्छिक रूप से बिखरा हुआ है) और यादृच्छिक नक्शे (लाइनों द्वारा जुड़े यादृच्छिक बिंदुओं का एक सेट)।


यादृच्छिक सतह gluing त्रिकोण द्वारा प्राप्त की

ऐसे सभी रूप एक-दूसरे से भिन्न होते हैं। हालांकि, गणितज्ञों ने पाया है कि ये यादृच्छिक प्रक्रियाएं कुछ विहित रूपों में परिवर्तित होती हैं। उदाहरण के लिए, सभी रैंडम वॉक, ब्राउनियन मोशन का एक रूप हैं जो लंबे समय तक चलते हैं। हाल के वर्षों में, गणितज्ञों ने विहित रूपों और अन्य यादृच्छिक प्रक्रियाओं की खोज की है - और अपने क्षेत्रों में इसके लिए सर्वोच्च पुरस्कार प्राप्त किया है।

नया प्रमाण एक अन्य यादृच्छिक प्रक्रिया के अंतर्निहित गुणों की समझ से संबंधित है।

यह एक यादृच्छिक सतह बनाकर शुरू होता है। सबसे पहले आपको त्रिकोणों को एक साथ गोंद करने की आवश्यकता है। फिर उन्हें किसी भी तरह से एक साथ मिलान करने की आवश्यकता होती है, केवल इतना है कि परिणामी रूप बंद है, एक उपहार पर पैकेज की तरह (जिसमें कोई छेद नहीं था)। यदि आप अपने हाथों पर एक निश्चित संख्या में त्रिकोण के साथ शुरू करते हैं, तो आपके पास कई अवसर होंगे। इनमें से कुछ "त्रिकोणासन" लगभग चिकनी सतहों का उत्पादन करेंगे जो एक गेंद की तरह दिखते हैं। उनमें से ज्यादातर अधिक खुरदरी दिखेंगी - जैसे पर्वत श्रृंखलाओं जैसी दिखने वाली चरम सतह।

"यह एक नियमित क्षेत्र की तरह नहीं दिखेगा, इसमें इतने बड़े स्पाइक्स होंगे," ब्रांडेविस विश्वविद्यालय के एक गणितज्ञ ओलिवियर बर्नार्डी ने कहा, इस काम के सह-लेखक, जिसमें पेरिस-साउथ इलेवन विश्वविद्यालय से निकोलस क्यूरीयन और हायर नॉर्मल स्कूल से ग्रेगरी मांजर्मोंट शामिल हैं । ल्यों।


ओलिवियर बर्नार्डी, निकोलस क्यूरियन और ग्रेगरी मायरमोंट

मायरमोंट और एक अन्य गणितज्ञ, जीन-फ्रेंकोइस ले गैल ने अपने पिछले काम में इन यादृच्छिक त्रिकोणों के कई गुणों की स्थापना की। नया प्रमाण यादृच्छिक त्रिभुज के शीर्ष पर यादृच्छिकता की दूसरी परत जोड़कर और भी आगे बढ़ जाता है।

एक नया यादृच्छिकता जोड़ने के लिए, प्रत्येक बिंदु को चिह्नित करें, जिस पर त्रिकोण कोनों पर मिलते हैं - गणितज्ञ एक शीर्ष को क्या कहते हैं। बेतरतीब ढंग से काले या सफेद रंग में रंग डालें। आप एक सिक्के को उछालकर ऐसा कर सकते हैं, हालांकि सिक्का पूरी तरह से ईमानदार नहीं हो सकता है, और एक तरफ से निकल सकता है।

चोटियों को चित्रित करने के बाद, आप अपने द्वारा बनाए गए पैटर्न के बारे में विभिन्न प्रश्न पूछ सकते हैं। मूल में से एक: आप केवल एक काले शीर्ष का उपयोग करके सतह के साथ कितनी दूर जा सकते हैं? एक ही रंग के जुड़े कोने के साथ बढ़ने की प्रक्रिया को सीपेज कहा जाता है। यह उसी नाम की एक भौतिक घटना का अध्ययन करने के लिए एक गणितीय तरीका है जैसे कि द्रव एक छिद्रपूर्ण माध्यम से गुजरता है।

घुसपैठ करना आसान होगा (या नहीं), इस बात पर निर्भर करता है कि सिक्के का वजन कैसे वितरित किया जाता है: यदि सिक्का काला निकलता है, तो घुसपैठ लगभग गारंटी है; यदि गोरों के प्रत्यर्पण के लिए, सीपेज लगभग निश्चित रूप से असंभव होगा।



बर्नार्डी, क्यूरियन और मायरमोंट इन एक्स्ट्रेमा के बीच पड़ने वाले मामलों का अध्ययन करते हैं - सिक्के के वजन में परिवर्तन का एक महत्वपूर्ण बिंदु, जब रिसाव लगभग असंभव घटना से लगभग गारंटीकृत घटना में बदल जाता है। वे इस बिंदु को "महत्वपूर्ण सीमा" कहते हैं। यह एक चरण संक्रमण का एक उदाहरण है, वह जादुई क्षण जब गर्म पानी अचानक भाप बन जाता है।

"महत्वपूर्ण सीमा का मतलब है कि अगर मैं अपने मापदंडों को थोड़ा स्थानांतरित करता हूं, तो मेरे सिस्टम का व्यवहार नाटकीय से एक अलग संकेत के साथ नाटकीय रूप में बदल जाएगा," क्यूरियन ने कहा।

भौतिकविदों को चरण संक्रमण में रुचि है क्योंकि कई सबसे महत्वपूर्ण प्राकृतिक घटनाएं केवल कगार पर होती हैं। गणितज्ञ भी चरण संक्रमण में रुचि रखते हैं, क्योंकि महत्वपूर्ण गणितीय गुण अक्सर इन बिंदुओं पर बस दिखाई देते हैं।

"हम जानते हैं कि पानी 100 डिग्री पर उबलता है, इन सभी पागल पैटर्न, और भाप रूपों का निर्माण करता है," स्कॉट शेफ़ील्ड ने एमआईटी के एक गणितज्ञ ने कहा। “कभी-कभी ऐसा पागल और जंगली व्यवहार बहुत दिलचस्प हो जाता है। यह चरण संक्रमण हमें इसे समझने के लिए कहता है। ”

नए काम में, तीन गणितज्ञ यह साबित करते हैं कि इस तरह के पागल व्यवहार खुद को रिसाव के चरण संक्रमण में सटीक रूप से प्रकट करते हैं। वे बताते हैं कि इस महत्वपूर्ण सीमा पर एक ज्यामितीय रूप प्रकट होता है - अद्वितीय, और एक ही समय में सार्वभौमिक।

अवसर में छिपा हुआ क्रम

काम का पहला हिस्सा एक सिक्का को सही करने के तरीके को निर्धारित करता है ताकि सीपियों की उपस्थिति और अनुपस्थिति के बीच कोने का रंग सीमा पर गिर जाए। अंतर्ज्ञान की पुष्टि करते हुए, वे साबित करते हैं कि आदर्श सिक्का महत्वपूर्ण मूल्य है - 50% गिरने का मौका देता है, और 50% गिरने का सफेद।

“यह काम का पहला हिस्सा है। हम साबित कर रहे हैं कि वास्तव में आधा कुछ दिलचस्प होता है, ”बर्नार्डी ने कहा।


एक यादृच्छिक सतह की चोटियों का नक्शा, सबसे बड़ा क्लस्टर नारंगी में चिह्नित है

दूसरे भाग में, हम वहाँ होने वाली चीज़ों का अध्ययन करते हैं। फेयर कॉइन के साथ ब्लैक और व्हाइट में वर्टिकल को कलर करना, आपको ब्लैक एंड व्हाइट वर्टीकल के क्लस्टर्स के बीच अच्छा बैलेंस मिलता है। गुच्छे एक दूसरे के चारों ओर उगते हैं, जैसे कि एक मोटे बगीचे में एक जगह के लिए प्रतिस्पर्धा करने वाले खरपतवार के ढेर, जटिल ज्यामितीय आकार बनाते हैं जो तब दिखाई नहीं देते जब फूलों में से एक चोटियों के बीच हावी होता है।

"एक महत्वपूर्ण पैरामीटर चुनकर, आप बड़े समूहों की खोज करते हैं," शेफील्ड ने कहा। "हालांकि, वे पूरी चीज को दाग नहीं देते हैं, और वे छोटे नहीं हैं।"

चूंकि सतह को यादृच्छिक रूप से बनाया गया था, और कोने को रंगने की प्रक्रिया भी यादृच्छिक है, इसलिए एक सतह पर बड़ा क्लस्टर हमेशा दूसरे पर बड़े क्लस्टर से अलग होगा। लेकिन गणितज्ञों ने साबित कर दिया है कि सभी सतहों और सभी संभव तरीकों के लिए अपने रंग को रंगने के लिए, सबसे बड़े समूहों में समान गुण होंगे। पहली बात जो उन्होंने साबित की वह सभी सतहों पर सबसे बड़े काले समूहों के आकार की सटीक संभावना वितरण है। उन्होंने पाया कि एक निश्चित मध्यवर्ती आकार का एक क्लस्टर सबसे अधिक बार होता है, और यह कि जिस आवृत्ति के साथ बड़े या छोटे क्लस्टर दिखाई देते हैं वह इस मध्यवर्ती से दूरी के साथ तेजी से बढ़ता है।

उनका यह भी तर्क है कि सभी बड़े समूहों को एक ही विहित रूप में कम किया जा सकता है, जिसे "स्थिर मानचित्र" के रूप में जाना जाता है। स्थिर मानचित्र इन समूहों को उसी तरह से दर्शाता है जैसे कि ब्राउनियन गति को यादृच्छिक रूप से चलना। इसका मतलब यह है कि यदि व्यक्तिगत समूहों को थोड़ा अलग किया जाता है - ताकि क्लस्टर के अंदर प्रत्येक यादृच्छिक चरण पूरे के रूप में पूरे आंकड़े की ज्यामिति में कम ध्यान देने योग्य हो - फिर क्लस्टर धीरे-धीरे एक सामान्य आकार में आ जाएंगे। वे बर्फ के टुकड़े की तरह दिखते हैं: वे आसपास के क्षेत्र में अद्वितीय लगते हैं, लेकिन दूर से उनकी समानता स्पष्ट रूप से दिखाई देती है।

शेफील्ड ने कहा, "उन्हें यह स्थिर नक्शा मिला, स्केलिंग की प्राकृतिक सीमा।"

काम हाल के वर्षों में गणितज्ञों द्वारा रैंडम रूपों और प्रक्रियाओं से संबंधित ज्ञान की सीमाओं का विस्तार करता है। इससे हमें यह भी पता चलता है कि यह ठीक उस क्षण में होता है जब यादृच्छिक प्रणाली सबसे अधिक अराजक लगती है कि उसके ऊपर एक असाधारण ज्यामितीय क्रम दिखाई देने लगता है।