यादृच्छिकता, ऐसा प्रतीत होता है, प्रमेयों के प्रमाण को जटिल करता है। लेकिन वास्तव में, अक्सर इसका प्रभाव विपरीत होता है
गणितज्ञों के लिए उपलब्ध सभी साधनों में से, यादृच्छिकता में सबसे कम फायदे होंगे। गणित तर्क और सख्त अवधारणाओं के साथ संचालित होता है। इसके सामान्य लक्ष्य वस्तुओं के विशाल समुद्र में व्यवस्था और संरचना की खोज है। संपूर्ण गणितीय इतिहास संभव प्रतीत होता है क्योंकि गणित की दुनिया आकस्मिक नहीं है।
फिर भी हालिया लेख, "
रैंडम सतहें एक जटिल क्रम को छिपाती हैं, " एक नए सबूत के साथ पेश आती हैं जिसमें यादृच्छिकता सब कुछ तय करती है। परिणाम में शतरंज कोशिकाओं जैसे पैटर्न की उपस्थिति शामिल है जो यादृच्छिक रूप से निर्मित ज्यामितीय रिक्त स्थान पर दिखाई देते हैं। प्रमाण के लेखकों ने पाया कि ज्यामितीय अंतरिक्ष में यादृच्छिकता इन पैटर्नों के वर्णन को सरल बनाती है। "अप्रत्याशित रूप से, यादृच्छिकता को जोड़ने से आप अधिक करने की अनुमति देते हैं," इसके बिना,
निकोलस क्यूरियन ने कहा, पेरिस-साउथ इलेवन विश्वविद्यालय के गणितज्ञ, उस काम के सह-लेखक।
और यह पता चला है कि यादृच्छिकता कई मायनों में गणित में मदद करती है।
उदाहरण के लिए, गणितज्ञ अक्सर यह साबित करना चाहते हैं कि कुछ गुणों के साथ एक वस्तु है, उदाहरण के लिए, कुछ समरूपता के साथ एक ज्यामितीय आंकड़ा। अस्तित्व की समस्या को हल करने का सबसे सीधा तरीका उस वस्तु का उदाहरण खोजना है जिसमें आपके लिए आवश्यक गुण हैं। हालाँकि, इसे करने का प्रयास करें। "वांछित संपत्ति के साथ एक विशिष्ट वस्तु की कल्पना करना बहुत मुश्किल हो सकता है," फील्ड्स पदक के धारक
मार्टिन हेयरर ने कहा, जिसका काम यादृच्छिक प्रक्रियाओं से जुड़ा हुआ है।
यदि किसी समस्या पर एक ललाट हमले के सफल होने की संभावना नहीं है, तो आप फ्लैंक से जाने की कोशिश कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि यदि हमने एक निश्चित प्रकार की सभी वस्तुओं की जांच की और फिर उनमें से एक को बेतरतीब ढंग से चुना है, तो वांछित गुणों के साथ एक वस्तु का चयन करने का एक गैर-शून्य मौका है। इस तरह की "संभाव्य पद्धति" पहले गणितज्ञ
पाल एर्दो द्वारा लागू की गई थी।
गैर-आयामी समस्याओं के समाधान खोजने के लिए यादृच्छिकता का भी उपयोग किया जा सकता है। यह हाल के साक्ष्यों में शतरंज पर पैटर्न के बारे में किया गया था। शोधकर्ता सीपेज नामक एक प्रक्रिया में रुचि रखते हैं, जब आपको यह समझना होगा कि ग्रिड के एक हिस्से से दूसरे हिस्से में केवल एक रंग के बिंदुओं से गुजरना किन परिस्थितियों में संभव है।
नियतात्मक नियमों के अनुसार इस तरह के एक पैटर्न को आकर्षित करना - सही जाली की स्पष्ट रूप से परिभाषित रेखाओं के साथ - पथ पर प्रत्येक अगला चरण पिछले चरणों में से प्रत्येक पर निर्भर करेगा। एक जटिल ग्रिड के मामले में, यह आवश्यकता एक बोझ बन जाती है। यह बहुत आसान है कि टेट्रिस गेम में पहले तत्वों को रखना कितना आसान है - आप उन्हें कहीं भी रख सकते हैं - लेकिन बाद वाले लोगों को जगह देना अधिक कठिन है, क्योंकि उन्हें पिछले सभी की स्थिति को पूरा करना होगा।
और जब आपका रास्ता यादृच्छिक होता है, तो आपको पिछले चरणों के बारे में चिंता करने की आवश्यकता नहीं है। प्रत्येक अर्थ में, प्रत्येक नया कदम पहला बन जाता है: एक सिक्का टॉस करना जहां यह तय करना है कि आगे कहां जाना है।
गणितज्ञ इस तथ्य का उपयोग करने की कोशिश करते हैं। एक
काल्पनिक संबंध है , जिसे कारदार-पेरिस-झांग समीकरण (केपीजेड) के रूप में जाना जाता है, जो गणितज्ञों को एक निर्धारक एक के लिए एक परिणाम के रूप में एक यादृच्छिक जाली पर प्राप्त परिणाम को बदलने की अनुमति देता है, और इसके विपरीत। "सिद्धांत में, इसका मतलब है कि आप वहां और वहां दोनों कर सकते हैं," या तो एक यादृच्छिक या नियतात्मक पक्ष पर, ब्रांडिस विश्वविद्यालय के गणितज्ञ
ओलिवियर बर्नार्डी और एक हालिया काम के सह-लेखक ने कहा। यह काम एक मानक जाली के माध्यम से रिसाव के संबंध में पिछले परिणामों (जो साबित करना बहुत कठिन है) के अनुरूप है, जो सीएसडब्ल्यू समीकरण की वैधता की पुष्टि करता है।
यदि गणित सरल होता, तो गणितज्ञों को संयोग का सहारा नहीं लेना पड़ता। हालांकि, गणितज्ञों के लिए सबसे महत्वपूर्ण गणितीय प्रश्नों के उत्तर खोजना बहुत कठिन है। "यह स्पष्ट लग सकता है, लेकिन यह याद रखना उपयोगी है कि ज्यादातर मामलों में, जब गणित या सैद्धांतिक भौतिकी में कोई समस्या निर्धारित होती है, तो इसे हल नहीं किया जा सकता है," न्यूयॉर्क विश्वविद्यालय के गणितज्ञ
पॉल बर्गड ने कहा। "हमारे पास इसे हल करने के लिए उपकरण नहीं हैं।" इन स्थितियों में से कुछ में, यादृच्छिकता स्थिति को सरल बनाता है बस एक समाधान संभव बनाने के लिए पर्याप्त है।