कंप्यूटिंग में त्रिकोणमिति के बारे में थोड़ा और

Habré पर पहले से ही कई लेख थे जो त्रिकोणमिति की तेज़ गणनाओं के लिए समर्पित थे जब यह दृढ़ता से आवश्यक होता है, लेकिन मैं उन्हें स्कूल त्रिकोणमिति के संदर्भ में एक छोटे नोट के साथ पूरक करना चाहूंगा।

कभी-कभी त्रिकोणमिति का हार्डवेयर कार्यान्वयन नहीं हो सकता है, कभी-कभी गणना को गति देने के तरीकों का आविष्कार करने के अन्य कारण भी हो सकते हैं।

गणित

चलो स्कूल के पाठ्यक्रम से कुछ सरल सूत्र याद करते हैं।

चलो सरल लोगों के साथ शुरू करते हैं:
(1)

• sin x = cos (90° - x)
• cos x = sin (90° - x)
• sin -x = -sin x
• cos -x = cos x
• सामान्य स्थिति में, sin (90°N ± x) = ±cos x विषम N और ±sin x लिए भी। सर्कल के संबंधित तिमाही में तर्क के संकेत के आधार पर संकेत लिया जाता है।

अगले:
(2)

• cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y
• sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y

और यह भी:
(3)

• sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ...
• cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...

किसी भी कोण के कोसाइन / साइन को पहले समूह के सूत्रों का उपयोग करके 0 ° से 45 ° तक की सीमा में एक तर्क तक घटाया जा सकता है।

छोटे कोणों के लिए, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस को असममित विस्तार तक कम किया जा सकता है, यदि खारिज किए गए शब्द जानबूझकर डिस्चार्ज ग्रिड से परे जाते हैं।

सभी मध्यवर्ती कोणों को एक निश्चित कदम के साथ बड़े कोणों को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है (और उनके लिए त्रिकोणमिति को सारणी माना जा सकता है), और अवशेष जो जल्द या बाद में एक रेखीय अपघटन देंगे।

आवेदन

मान लें कि हम IEEE-754 एकल परिशुद्धता संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं, उनके नाम नाव, एकल इत्यादि हैं। मंटिसा में 23 वर्ण हैं, जिसका अर्थ है कि हमें 2^-23 की सापेक्ष त्रुटि प्राप्त करने की आवश्यकता है।
आइए मूल्यांकन करें कि तर्क तालिकाओं के निर्माण के लिए आपको कितनी गहराई तक जाने की आवश्यकता है।

साइन के लिए, हम क्यूबिक शब्द को छोड़ देते हैं, इसलिए हमें रैखिक संबंध के लिए अनुमेय त्रुटि से कम होना चाहिए, जिसका अर्थ है: 1 - (x - x^3/3!) / x = x^2/6 2/6 2 ^ -23, यह इस प्रकार है कि 0.000846 रेडियन से अधिक के तर्क के लिए, साइन के लिए अनुमानित गणना की सटीकता हमारे लिए पर्याप्त है। कोसाइन के लिए, यदि आप द्विघात शब्द को छोड़ते हैं, तो आपको लगभग 2 गुना बेहतर सटीकता की आवश्यकता होती है - 0.000488 रेडियन।
इसलिए, हमें 0.000488 रेडियन से कम के तर्क के लिए सारणीबद्ध मान रखने की आवश्यकता नहीं है।

तालिका का निर्माण करने के लिए, हम इनपुट तर्क को बदल देते हैं ताकि मान 0 0 के कोण से मेल खाता हो, और मान 1 के लिए 45 °, या pi/4=0.78539816 रेडियन के कोण से मेल खाता है। फिर ऊपर प्राप्त न्यूनतम कोण 0.0006217 रेडियन में परिवर्तित हो जाएगा, या लगभग 1/1600 - यह 1/2048 = 2^-11 से अधिक है।

अगला, आपको तालिकाओं के चरण को चुनने की आवश्यकता होगी कि हम गणनाओं को कैसे वितरित करना चाहते हैं, हम घातांक 11 को कई भागों में विभाजित करेंगे। उदाहरण के लिए, आप इसे दो भागों में विभाजित कर सकते हैं: 11 = 6 + 5, फिर हमें आकार 64 और 32 रिकॉर्ड (कुल 96), या तीन भागों: 11 = 4 + 4 + 3 (तालिका आकार 16 + 16 + 8) के दो तालिकाओं की आवश्यकता है। = 40 प्रविष्टियां), लेकिन अधिक गुणा संचालन होंगे - विशिष्ट विकल्प कार्य और उपलब्ध संसाधनों पर निर्भर करेगा।

नोट: एक टेबल प्रविष्टि साइन और कोज़ाइन तर्कों की एक जोड़ी है। यदि एकल परिशुद्धता के साथ संग्रहीत किया जाता है, तो रिकॉर्ड आकार 8 बाइट्स है।

उदाहरण

चलो एक उदाहरण के रूप में अपघटन 4 + 4 + 3 लेते हैं, और फिर सामान्य करते हैं।

तो, कार्य: मनमाना x लिए sin x के मान की गणना करें।

चरण 1. हम तर्क x को अपने पैमाने पर लाते हैं, इसे निरंतर pi/4 विभाजित करते हैं (चलो इसे x' )।

चरण 2. तर्क x' के मान पर निर्भर करता है x' सूत्र (1) का उपयोग करते हुए, हम वांछित फ़ंक्शन का चयन करते हैं ताकि इसका तर्क 0 से 1 (समावेशी) की सीमा में हो (चलो x'' कॉल करें x'' इस चरण पर, आपको परिणाम के चिह्न को भी चिह्नित करना होगा। ।

[उदाहरण के लिए मान लें कि साइन है]

चरण 3. हम तालिकाओं का उपयोग करेंगे (मैं आपको याद दिलाता हूं कि उनमें से 3 हैं), जबकि तालिका में सूचक तर्क x'' के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में "बिट फ़ील्ड" होंगे - दशमलव बिंदु के बाद पहले 4 बिट्स, फिर 4 और, और 3 और व्यापार के लिए शेष। बिट्स शेष पर जाएंगे।

टेबल साइन को S1, S2, S3 कहा जाता है, टेबल कोजाइन C1, C2, C3 हैं।

चूँकि हमने कोणों को pi/4 से विभाजित किया है, इसलिए रेडियन में शेष को प्राप्त करने के लिए, इसे उसी राशि से गुणा करना चाहिए। pi/4 से गुणा "शेष" ए द्वारा निरूपित किया जाता है। फिर इसकी साइन ए के बराबर होगी, और कोसाइन - 1।

चरण 4. जो कुछ भी हुआ उसे मिलाएं:

 C12 = C1 C2 - S1 S2 S12 = S1 C2 + C1 S2 C123 = C12 C3 - S12 S2 S123 = S12 C3 + C12 S3 

|sin x| = S123 + C123 A |sin x| = S123 + C123 A (यदि आपको चरण 2 में साइन मिला है)
|sin x| = C123 - S123 A |sin x| = C123 - S123 A (यदि आपको चरण 2 में कोसाइन प्राप्त हुआ है)

चरण 5. यदि चरण 2 पर हमने माना कि परिणाम नकारात्मक होना चाहिए, तो इस ऋण को परिणाम में दर्ज किया जाना चाहिए।

निष्कर्ष

एक समान दृष्टिकोण का उपयोग किसी भी आकार की वास्तविक संख्या में गणना के लिए किया जा सकता है, और, उदाहरण के लिए, विशेष निश्चित-बिंदु अंकगणित को लागू करने के लिए। दरअसल, एक समय यह सिर्फ आखिरी काम था जिसने मुझे इस दिशा में और गहरा कर दिया, लेकिन यह बहुत समय पहले था।